概率统计 第3章随机变量的数字特征1节

注2º 级数绝对收敛性保证了级数的和不随级数各项次序的 改变而改变.
因为数学期望是反映随机变量X 取可能值的平均值, 它不 因可能值的排列次序而改变.
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例1. 设X服从Poisson分布 (), 求数学期望E(X).
解：X的概率函数为 P( X k) k e , k 0,1,2,; k!
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1. 随机变量的数学期望
(1)设有n个数x1，x2，，xn ,那么这n个数的算术平均
x
x1
x2
n
xn
i
n 1
xi
1 n
(2)这n 个数有相同,，不妨设其中有 ni个取值为 xi，i 1,, k,
其均值应为 1
n
k
ni xi
i 1
k i 1
ni n
xi
以数值xi出现的频率为权重做加 权平均
B. 1；
C. 4/3； D. 3/2
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分析 (1) X~B(10, 0.3), 于是 E(X)=10×0.3=3.
Y~P(2), 于是E(Y)=2. 根据数学期望的性质， E(Z)=2E(X)-3E(Y)+1=1，选A.
(2) X~e(1), 于是E(X)=1, 且X的概率密度为
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1. 离散随机变量的数学期望
定义: 设离散随机变量X的分布律为 P( X xk ) pk , k 1,2,,
若级数 xk pk 绝对收敛 ( 即 | xk | pk ),
k
k
注1º EX是一个常数, 它是一种加权平均.与一般的平均
值不同, 它从本质上体现了X 取可能值的真正的平均值.
第三章 随机变量的数字特征
基本内容：
一、数学期望、方差 二、原点矩与中心矩 三、协方差与相关系数 四、切比雪夫不等式与大数定律
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第一节 数学期望
引例1 加权平均成绩
设某学生四年大学各门功课 成绩分别为 x1, x2,, xn ,
其学分分别为 ω1,ω2,,ωn , 则称
x
x1
x2
k1 k1
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(4) 若X与Y相互独立，E( X )与E(Y )存在， 则E(XY ) E(X )E(Y ).
证：仅就连续随机变量情形
EXY xyf x, ydxdy
xy f X x f Y y dxdy
xf
X
x
dx
y fY y dy
分析：设想如果比赛再继续下去，会出现什么结果？
甲最终所得可能为10元，可能0元，这是随机变量X
且再比赛2局必能分出胜负，其结果不外乎4种情况：
甲甲，甲乙，乙甲，乙乙
X
0
10 甲期望所得：
P
1/4 3/4 0*1/4+10*3/4=7.5
此分法不仅考虑已经比赛结果，而且还包括了再
比赛下去的一种“期望”——数学期望（均值）.
)
分部积分
(x)dex/ 0
(xex/
0
ex / dx)
0
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3.随机变量函数的数学期望
(一) 一维随机变量函数的数学期望
(1)问题的导入
数学期望
E( X ) xk pk .
X
E(X)=
k
EX
xf
xdx
g(X) 数学期望EgX
g是连续函数, g(X) 是随机变量, 如: 2X+1, X2等等.
EY
EgX
gxk pk , X为离散型;
k
gx
f
xdx,
X为连续型.
当X为离散型时, P(Xxk) pk , (k 1,2,…); 当X为连续型时, X的密度函数为f (x).
求E[g(X)]时, 只需 知道X的分布即可.
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例5.某种商品每周的需求量 X～U(10,30）,而商场 每销售一单位商品可获利500元,若供大于求,则削价处理,
E[g( X )] g(xi ) pi ;
i
② 连续随机变量函数g(X)的数学期望
E[g( X )] g(x) f (x)dx.
二、熟悉数学期望的性质 (1) E(C) C, C为常量；
(2) 若E( X )存在, 则E(CX ) CE( X ), C为常量；
(3) 若E( X )与E(Y )存在，则E(X Y ) E(X ) E(Y )；
每单位商品亏损100元; 若供不应求,则可从外部调剂供应,
每单位商品获利300元. 要使商场获得最大收益,问进货多少?
解: 设应进货量为 a(10至 30 间的某数),收益为Y, 供大于求
则X的概率密度函数为
f (x)
1 20
,
10
x
30,
0 , 其他，
EY
E[g( X )]
30
10
1 20
b
E(X)
lim
0
i 1
xi
f
(xi
) xi
xf (x) dx
a
xf (x) d x
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2. 连续随机变量的数学期望
定义:设连续随机变量X的概率密度为f (x),
若积分
xf (x)dx 绝对收敛
(即
|
x
|
f ( x)dx
),
则X的数学期望（或均值）存在，记为E(X) , 即
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n
n
则 E( Ci X i ) Ci E( X i )；
i 1
i 1
(4) 若X与Y相互独立，E( X )与E(Y )存在，
则E(XY ) E(X )E(Y ).
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三、熟悉一些常见分布的期望 (1) 若X～B(1,p), E(X)=p . (2) 若X～B(n,p), E(X)=np . (3) 若 (4) 若X～U(a,b), E(X)
在区间 [a , b] 中任意插入 n –1 个分点
a x0 x1 x2 xn1 xn b
把 [a , b]分成n个小区间,各小区间长度 xi xi xi1
记
max{
1 i n
x
i
}，当n
时，
0，则
P(xi1 X xi )
xi f (x)dx
xi1
f (xi )xi
n
4.2
x 25(x 38)dx x (25)( x 4.2)dx
3.8
4
4
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例4. 设X ~ exp( ),求数学期望E( X ).
解：X的概率密度为 f (x) 1 ex/ , x 0; 0, x 0.
所以
0
x
1
e
x
/
dx
0
(
x)
e
x
/
d
(
x
Y g(X g( x) dx
)
500X100( aX ), 10 X a , 500a300( X a ), a X 30
供不应求 600X100a, 10 X a , 300X200 a, a X 30,
1 20
a
10
(600x
100a
)
dx
1 20
30
a
(300x
200a
)
dx
7. 5 a2 350a 5250. 故当 a =23. 33 时, EY 最大
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补充： 函数
( ) x 1exdx 0
函数有下列结论：
(1) ( 1) ();
(2) Γ(n 1) n !; (3) (1) (2) 1, (1) .
2
0
y12e y1 dy1
(3) 2! 2
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二、数学期望的性质
(1) E(C) C, C为常量；
(5) 若X ~ exp( ),
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四、计算数学期望的方法
1.利用数学期望的定义；
2.利用数学期望的性质；
常见的基本方法： 将一个比较复杂的随机变量X 拆成有限多个比较简
单的随机变量Xi之和,再利用期望性质求得X的期望.
3.利用常见分布的期望；
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作业
习题三(P94)：1、4、6、9、11、12
一只. 试求在取到正品之前, 已取出的废品只数的
分布和数学期望. 解：设X表示在取到正品前已取出的废品数, 则
X=0，1，2. (1)X的概率分布
设Ak={第k次取得的是正品}
k=1, 2, 3
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由乘法公式，有
8
P( X
0)
P( A1)
10
0.8
P( X 1) P( A1A2 ) P( A1)P( A2 | A1) 2 8 8 10 9 45
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备用题
1.选择题
(1) 设随机变量X和Y相互独立，且 X~B(10, 0.3), 且Y~P(2), 则Z=2X-3Y+1的数学期望为（ ）
A. 1 ； B. 0； C. 3； D. 11/2
(2) 随机变量X服从参数为1的指数分布, 则
E( X + e-2X )为( )
A. 2；
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(2)随机变量函数数学期望的计算 方法1 (定义法): g(X)是随机变量, 按照数学期望 的定义计算Eg(X). 关键: 由X的分布求出g(X)的分布. 难点: 一般g(X)形式比较复杂的, 很难求出其分布.
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方法2 (公式法):
定理 设X是一个随机变量, Y g(X), 则
所以X的数学期望
k
k
e
k k
e
k0 k!
k 1 k!
e
k 1
e k
k1 (k 1)!
k0 k!
ee
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例2. 据统计, 一位 60 岁的健康者在 5 年内健在的概率为 p (0 p 1). 保险公司开办 5 年人寿保险, 投保费 a 元, 若投保者在 5 年内死亡(非自杀死亡), 保险公司负责 赔偿 b 元(b a). 应如何确定 b 值可使保险公司获益?
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内容小结
一、掌握(数学)期望的定义 1. 离散随机变量X的期望(或均值)
E( X ) xi pi.
i
2. 连续随机变量X的数学期望
E( X ) xf (x)dx.
3. 随机变量函数的数学期望 设g (X)是随机变量X的实值函数，
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① 离散随机变量函数g(X)的数学期望
ex , x 0; f (x)
0, x 0.
从而 E(e-2X ) = e2x f (x)dx e2xexdx 1
0
3
E( X +e-2X )=E( X )+ E(e2X ) 4 , 选C. 3
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2.假设有十只同种电器元件,其中只有两只废品,
装配仪器时，从这批元件中任取一只，如是废品, 则扔掉重新任取一只; 如仍然是废品, 则扔掉再取
EX EY .
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例7.设盒中有25张形式各异的礼券，有人在盒中取10次， 每次取一张，做放回抽样。设抽出的10张礼券中包含X种 不同式样,求X的数学期望E(X).
解：设
Xi
1,第i种式样的礼券至少被抽到一次， 0，第i种式样的礼券从未被抽到，i 1,2,,25
则有 X X1 X 2 X 25
解:以 表示保险公司从一个投保者取得的收益, 则
取值为 a, a b, 相应的概率分布为 p, 1 p
于是 E a p (a b)(1 p) a b(1 p)
保险公司要获益, 必须 a b (1 p) 0,
即 b a 1 p
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设连续随机变X在[a,b]上概率密度f (x) 0,其他地方为0
E( X ) xf ( x)dx
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例3. 某种化学物的PH(记为X)是一个随机变量，它的概率
密度是
25(x 3.8), 3.8 x 4 f (x) 25(x 4.2), 4 x 4.2
0, 其他
求此化合物的PH的数学期望E(X).
解：
xf (x)dx
4
因为
P( X i
0)
(
24 25
)10，
P( X i
1)
1
(
24 25
)10
所以
E(
X
i
)
0
(
) 24 10
25
1
(1
(
) 24 10
25
)
1
(
24 25
)10
,
i
1,2,,25
故变再常利量E(见X用X)的期拆基E望E成((本性XX有11方质)限法X求多E2：(得个X可2X比)的以较X期将2简5望一)E单.(个X的比25随)较机2复5变(1杂量(的2245X)1随0i )之机 8和.38,
如： EE(X ) E(X )
(2) 若E( X )存在, 则E(CX ) CE( X ), C为常量；
证: ECX Cxk pk C xk pk CEX .
k
k
(3) 若E( X )与E(Y )存在,则E( X Y ) E( X ) E(Y )；
推广
E n
X k
n
EXk .
n
xn
n i1
xi来自百度文库
1 n
为该生各门课程的算术平均成绩. 而
n
xω
xi
ωi
n
n
xivi , 其中 vi ωi
i1
ωj
i 1
j1
则称 xω为该生的加权平均成绩.
n
ωj ,
j1
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引例2. 甲乙两名乒乓球爱好者球技相同，他们约定各出5元 作为奖金进行比赛，每局中无平局，谁先赢四局则得奖金10 元，当甲赢了3局，乙赢了2局时，因故要终止比赛。问这10 元奖金如何分配才算合理公平。