概率统计 第3章随机变量的数字特征1节

2020/9/21
3
1. 随机变量的数学期望
(1)设有n个数x1，x2，，xn ,那么这n个数的算术平均
x
x1
x2
n
xn
i
n 1
xi
1 n
(2)这n 个数有相同,，不妨设其中有 ni个取值为 xi，i 1,, k,
其均值应为 1
n
k
ni xi
i 1
k i 1
ni n
xi
以数值xi出现的频率为权重做加 权平均
2020/9/21
12
(2)随机变量函数数学期望的计算 方法1 (定义法): g(X)是随机变量, 按照数学期望 的定义计算Eg(X). 关键: 由X的分布求出g(X)的分布. 难点: 一般g(X)形式比较复杂的, 很难求出其分布.
2020/9/21
13
方法2 (公式法):
定理 设X是一个随机变量, Y g(X), 则
k1 k1
2020/9/21
17
(4) 若X与Y相互独立，E( X )与E(Y )存在， 则E(XY ) E(X )E(Y ).
证：仅就连续随机变量情形
EXY xyf x, ydxdy
xy f X x f Y y dxdy
xf
X
x
dx
y fY y dy
2020/9/21
15
补充： 函数
( ) x 1exdx 0
函数有下列结论：
(1) ( 1) ();
(2) Γ(n 1) n !; (3) (1) (2) 1, (1) .
2
0
y12e y1 dy1
(3) 2! 2
2020/9/21
16
二、数学期望的性质
(1) E(C) C, C为常量；
E[g( X )] g(xi ) pi ;
i
② 连续随机变量函数g(X)的数学期望
E[g( X )] g(x) f (x)dx.
二、熟悉数学期望的性质 (1) E(C) C, C为常量；
(2) 若E( X )存在, 则E(CX ) CE( X ), C为常量；
(3) 若E( X )与E(Y )存在，则E(X Y ) E(X ) E(Y )；
第三章 随机变量的数字特征
基本内容：
一、数学期望、方差 二、原点矩与中心矩 三、协方差与相关系数 四、切比雪夫不等式与大数定律
2020/9/21
1
第一节 数学期望
引例1 加权平均成绩
设某学生四年大学各门功课 成绩分别为 x1, x2,, xn ,
其学分分别为 ω1,ω2,,ωn , 则称
x
x1
x2
所以X的数学期望
k
k
e
k k
e
k0 k!
k 1 k!
e
k 1
e k
k1 (k 1)!
k0 k!
ee
2020/9/21
6
例2. 据统计, 一位 60 岁的健康者在 5 年内健在的概率为 p (0 p 1). 保险公司开办 5 年人寿保险, 投保费 a 元, 若投保者在 5 年内死亡(非自杀死亡), 保险公司负责 赔偿 b 元(b a). 应如何确定 b 值可使保险公司获益?
E( X ) xf ( x)dx
2020/9/21
9
例3. 某种化学物的PH(记为X)是一个随机变量，它的概率
密度是
25(x 3.8), 3.8 x 4 f (x) 25(x 4.2), 4 x 4.2
0, 其他
求此化合物的PH的数学期望E(X).
解：
xf (x)dx
4
EY
EgX
gxk pk , X为离散型;
k
gx
f
xdx,
X为连续型.
当X为离散型时, P(Xxk) pk , (k 1,2,…); 当X为连续型时, X的密度函数为f (x).
求E[g(X)]时, 只需 知道X的分布即可.
2020/9/21
14
例5.某种商品每周的需求量 X～U(10,30）,而商场 每销售一单位商品可获利500元,若供大于求,则削价处理,
2020/9/21
21
n
n
则 E( Ci X i ) Ci E( X i )；
i 1
i 1
(4) 若X与Y相互独立，E( X )与E(Y )存在，
则E(XY ) E(X )E(Y ).
2020/9/21
22
三、熟悉一些常见分布的期望 (1) 若X～B(1,p), E(X)=p . (2) 若X～B(n,p), E(X)=np . (3) 若 (4) 若X～U(a,b), E(X)
2020/9/21
4
1. 离散随机变量的数学期望
定义: 设离散随机变量X的分布律为 P( X xk ) pk , k 1,2,,
若级数 xk pk 绝对收敛 ( 即 | xk | pk ),
k
k
注1º EX是一个常数, 它是一种加权平均.与一般的平均
值不同, 它从本质上体现了X 取可能值的真正的平均值.
分析：设想如果比赛再继续下去，会出现什么结果？
甲最终所得可能为10元，可能0元，这是随机变量X
且再比赛2局必能分出胜负，其结果不外乎4种情况：
甲甲，甲乙，乙甲，乙乙
X
0
10 甲期望所得：
P
1/4 3/4 0*1/4+10*3/4=7.5
此分法不仅考虑已经比赛结果，而且还包括了再
比赛下去的一种“期望”——数学期望（均值）.
)
分部积分
(x)dex/ 0
(xex/
0
ex / dx)
0
2020/9/21
11
3.随机变量函数的数学期望
(一) 一维随机变量函数的数学期望
(1)问题的导入
数学期望
E( X ) xk pk .
X
E(X)=
k
EX
xf
xdx
g(X) 数学期望EgX
g是连续函数, g(X) 是随机变量, 如: 2X+1, X2等等.
n
xn
n i1
xi
1 n
为该生各门课程的算术平均成绩. 而
n
xω
xi
ωi
n
n
xivi , 其中 vi ωi
i1
ωj
i 1
j1
则称 xω为该生的加权平均成绩.
n
ωj ,
j1
2020/9/21
2
引例2. 甲乙两名乒乓球爱好者球技相同，他们约定各出5元 作为奖金进行比赛，每局中无平局，谁先赢四局则得奖金10 元，当甲赢了3局，乙赢了2局时，因故要终止比赛。问这10 元奖金如何分配才算合理公平。
2020/9/21
25
备用题
1.选择题
(1) 设随机变量X和Y相互独立，且 X~B(10, 0.3), 且Y~P(2), 则Z=2X-3Y+1的数学期望为（ ）
A. 1 ； B. 0； C. 3； D. 11/2
(2) 随机变量X服从参数为1的指数分布, 则
E( X + e-2X )为( )
A. 2；
一只. 试求在取到正品之前, 已取出的废品只数的
分布和数学期望. 解：设X表示在取到正品前已取出的废品数, 则
X=0，1，2. (1)X的概率分布
设Ak={第k次取得的是正品}
k=1, 2, 3
2020/9/21
28
由乘法公式，有
8
P( X
0)
P( A1)
10
0.8
P( X 1) P( A1A2 ) P( A1)P( A2 | A1) 2 8 8 10 9 45
EX EY .
2020/9/21
18
例7.设盒中有25张形式各异的礼券，有人在盒中取10次， 每次取一张，做放回抽样。设抽出的10张礼券中包含X种 不同式样,求X的数学期望E(X).
解：设
Xi
1,第i种式样的礼券至少被抽到一次， 0，第i种式样的礼券从未被抽到，i 1,2,,25
则有 X X1 X 2 X 25
注2º 级数绝对收敛性保证了级数的和不随级数各项次序的 改变而改变.
因为数学期望是反映随机变量X 取可能值的平均值, 它不 因可能值的排列次序而改变.
2020/9/21
5
例1. 设X服从Poisson分布 (), 求数学期望E(X).
解：X的概率函数为 P( X k) k e , k 0,1,2,; k!
如： EE(X ) E(X )
(2) 若E( X )存在, 则E(CX ) CE( X ), C为常量；
证: ECX Cxk pk C xk pk CEX .
k
k
(3) 若E( X )与E(Y )存在,则E( X Y ) E( X ) E(Y )；
推广
E n
X k
n
EXk .
在区间 [a , b] 中任意插入 n –1 个分点
a x0 x1 x2 xn1 xn b
把 [a , b]分成n个小区间,各小区间长度 xi xi xi1
记
max{
1 i n
x
i
}，当n
时，
0，则
P(xi1 X xi )
xi f (x)dx
xi1
f (xi )xi
n
4.2
x 25(x 38)dx x (25)( x 4.2)dx
3.8
4
4
2020/9/21
10
例4. 设X ~ exp( ),求数学期望E( X ).
解：X的概率密度为 f (x) 1 ex/ , x 0; 0, x 0.