初中数学圆锥的侧面积和全面积

圆锥的侧面积和全面积

教学内容

1．圆锥母线的概念．

2．圆锥侧面积的计算方法．

3．计算圆锥全面积的计算方法．

4．应用它们解决实际问题．

教学目标

了解圆锥母线的概念，理解圆锥侧面积计算公式，理解圆锥全面积的计算方法，并会应用公式解决问题．

通过设置情景和复习扇形面积的计算方法探索圆锥侧面积和全面积的计算公式以及应用它解决现实生活中的一些实际问题．

重难点、关键

1．重点：圆锥侧面积和全面积的计算公式．

2．难点：探索两个公式的由来．

3．关键：你通过剪母线变成面的过程．

教具、学具准备

直尺、圆规、量角器、小黑板．

教学过程

一、复习引入

1．什么是n°的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式，并请讲讲它们的异同点．2．问题1：一种太空囊的示意图如图所示，•太空囊的外表面须作特别处理，以承受重

返地球大气层时与空气摩擦后产生的高热，那么该太空囊要接受防高热处理的面积应由几部分组成的．

老师点评：（1）n °圆心角所对弧长：L=180n R π，S 扇形=2360n R π，公式中没有n °，而是n ；弧长公式中是R ，分母是180；而扇形面积公式中是R ，分母是360，两者要记清，不能混淆．

（2）太空囊要接受热处理的面积应由三部分组成；圆锥上的侧面积，•圆柱的侧面积和底圆的面积．

这三部分中，第二部分和第三部分我们已经学过，会求出其面积，•但圆锥的侧面积，到目前为止，如何求，我们是无能为力，下面我们来探究它．

二、探索新知

我们学过圆柱的侧面积是沿着它的母线展开成长方形，同理道理，我们也把连接圆锥顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线．

（学生分组讨论，提问二三位同学）

问题2：与圆柱的侧面积求法一样，沿母锥一条母线将圆锥侧面剪开并展平，容易得到，圆锥的侧面展开图是一个扇形，设圆锥的母线长为L ，•底面圆的半径为r ，•如图24-115所示，那么这个扇形的半径为________，扇形的弧长为________，•因此圆锥的侧面积为________，圆锥的全面积为________．

老师点评：很显然，扇形的半径就是圆锥的母线，•扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长．因

此，要求圆锥的侧面积就是求展开图扇形面积S=

2

360

n lπ，其中n可由2πr=2

180

n lπ求得：

n=360r

l ，•∴扇形面积S=

2

360

360

r

l

l

π

=πrL；全面积是由侧面积和底面圆的面积组成的，所

以全面积=πrL+r2．

例1．圣诞节将近，某家商店正在制作圣诞节的圆锥形纸帽，已知纸帽的底面周长为58cm，高为20cm，要制作20顶这样的纸帽至少要用多少平方厘米的纸？（结果精确到0.1cm2）

分析：要计算制作20顶这样的纸帽至少要用多少平方厘米的纸，只要计算纸帽的侧面积．

解：设纸帽的底面半径为rcm，母线长为Lcm，则

r=58

2π

≈22.03

S纸帽侧=πrL≈1

2

×58×22.03=638.87（cm）

638.87×20=12777.4（cm2）

所以，至少需要12777.4cm2的纸．

例2．已知扇形的圆心角为120°，面积为300πcm2．

（1）求扇形的弧长；

（2）若将此扇形卷成一个圆锥，则这个圆锥的轴截面面积为多少？

分析：（1）由S扇形=

2

360

n R

π

求出R，再代入L=

180

n R

π

求得．（2）若将此扇形卷成一个

圆锥，•扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长，就可求圆的半径，其截面是一个以底是直径，•

圆锥母线为腰的等腰三角形．

解：（1）如图所示：

∵300π=2

120360

R π ∴R=30

∴弧长L=12030180

π⨯⨯=20π（cm ） （2）如图所示：

∵20π=20πr

∴r=10，R=30

900100-2

∴S 轴截面=

12×BC ×AD =12

×2×10×22（cm 2） 因此，扇形的弧长是20πcm 卷成圆锥的轴截面是2cm 2．

三、巩固练习

教材P124 练习1、2．

四、应用拓展

例3．如图所示，经过原点O （0，0）和A （1，-3），B （-1，5）•两点的曲线是抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）.

（1）求出图中曲线的解析式；

（2）设抛物线与x 轴的另外一个交点为C ，以OC 为直径作⊙M ，•如果抛物线上一点P 作⊙M 的切线PD ，切点为D ，且与y 轴的正半轴交点为E ，连结MD ，已知点E 的坐标为（0，m ），求四边形EOMD 的面积（用含m 的代数式表示）．

（3）延长DM 交⊙M 于点N ，连结ON 、OD ，当点P 在（2）的条件下运动到什么

位置时，能使得S 四边形EOMD =S △DON 请求出此时点P 的坐标．

解：（1）∵O （0，0），A （1，-3），B （-1，5）在曲线y=ax 2+bx+c （a ≠0）上

∴035c

a b c a b c

=⎧⎪-=++⎨⎪=-+⎩

解得a=1，b=-4，c=0

∴图中曲线的解析式是y=x 2-4x

（2）抛物线y=x 2-4x 与x 轴的另一个交点坐标为c （4，0）,

连结EM ，

∴⊙M 的半径为2，即OM=DM=2

∵ED 、EO 都是⊙M 的切线

∴EO=ED ∴△EOM ≌△EDM

∴S 四边形EOMD =2S △OME =2×12OM ·OE=2m

（3）设点D 的坐标为（x 0，y 0）

∵S △DON =2S △DOM =2×1

2OM ×y 0=2y 0

∴S 四边形ECMD =S △DON 时即2m=2y 0，m=y 0

∵m=y 0

∴ED ∥x 轴

又∵ED 为切线

∴D （2，2）

∵点P 在直线ED 上，故设P （x ，2）

∵P 在圆中曲线y=x 2-4x 上

∴2=x 2-4x 解得：x=4168

±+=2±6