高等数学可视化实验教学案例的研究与实现

高等数学可视化实验教学案例的研究与实现摘要借助数学软件设计可视化课堂教学案例是实施高等数学现代化教学改革的重要举措之一。可视化课堂教学案例可以将抽象的数学概念、定理、公式与应用，通过数学软件以直观、形象的方式表现出来，在一定程度上起到活跃课堂气氛、激发学习兴趣、促进知识理解、增强教学效果的作用。如何选择合适内容结合数学软件恰当表现，需要在教学实践中不断地探索与研究。文中几种案例的研究与实现方法，对高等数学案例内容的选择和实现具有可供借鉴的作用。

关键词高等数学；mathematica；数学实验

中图分类号：g642.423 文献标识码：b 文章编号：1671—489x（2012）30—0114—03

1 引言

随着计算机技术，尤其是数学软件技术的发展，如何借助于它们实现现代高等数学教学与学习的改革来提高教学和学习的效率，成为世界各国实现教育信息化持续关注的课题。由于高等数学课程本身所具有的特点，在教学实践的过程中不能完全抛弃传统的教学方式来进行推理、论证，因此进行将数学软件mathematica融入教材内容、教学过程、学习过程、实践与评估过程等的教学改革。在课堂教学中则主要通过构建可视化的教学案例，让数学思想和理论“可视化”[1]，从几何直观、数值分析和符号推算的结合中加深

对概念和理论的理解，增强应用理论解决问题的能力，增强教学和学习效果。根据案例在教学过程中起到的作用，将构建的案例分为演示型案例、探索型案例、学科交叉应用型案例和理论说明型案例等，以下是各案例类型的具体实现过程与方法。

2 演示型案例

这种类型的案例主要通过图形、动画和数值演示的方法，让学生在案例的演示过程中对高等数学中相关图形、方法和结论加强直观印象，培养学生观察、分析、理解和解决问题的能力。

在这方面最有直观效果的就是mathematica软件的绘制函数图形的功能。借助mathematica软件提供的绘图命令函数，可以快捷绘制各类函数所对应的曲线和曲面图形。借助动画创建命令函数则可以实现交互式动画的演示效果。

案例1：摆线[2]。设动圆的半径为r，圆心至定点m的距离为d。通过建立适当的直角坐标系，可得定点随着圆滚动生成的曲线参数方程为：

将3个不同的参数r，d，t设置为可控参数，可实现交互式动态演示。通过调节不同参数值可以看到不同预置条件下生成的曲线过程，了解各参数的意义和摆线的实际曲线图形。

案例2：旋转曲面[3]。根据图形的生成过程，空间曲线x=φ（t），y=ψ（t），z=ω（t），t∈[a，b]绕z轴旋转一周所得旋转曲面的参数方程为：

绕其他坐标轴得到的曲面方程可以类似得到。通过取具体的空间曲线数学描述，可以实现曲线生成曲面的交互式动画演示，观察曲面生成效果。在高等数学教学内容中能够构建演示型案例的内容很多，这里只是其中的两个例子。通过这两个例子可以看到，演示型案例能够在视觉上让学生产生愉悦的学习心态，感受到数学的奇幻莫测的变化，从而在脑海中留下深刻印象，也进一步加深对所学知识的理解。

3 探索型案例

大学学习不仅仅是学习知识，更重要的是培养能力。高等数学作为几乎所有专业都要开设的基础课程，在培养学生的文化素养、创新能力和探索精神方面起着重要作用。课堂教学作为学生主要接受教育的形式，在这方面有着十分重要的引导作用。引导学生学会利用已有知识和经验，挖掘新问题，探索新领域，提出新观点，从不同角度思考问题，选用不同方法解决问题，形成多角度、多方面的思维品质也是课堂教学必不可少的教学环节。适当地构建合适的可视化教学案例能够起到极大的引导和推进作用。

案例3：交错级数的重排。有限个数相加，改变求和的顺序其和不变，这一性质称为加法的交换律。这里的问题是交换律对于无限个数相加还成立吗？根据交错级数的定义，借助于具体的交错级数进行探索。在数学软件的帮助下进行数值性的探索与验证，并通过图形绘制功能演示直观逼近效果。在实验中也给出数值列表和具体

的项求和形式，通过实验探索得出有趣的结论。

案例4：曲率。在现行的高等数学教材中对于曲率的引出一般都是通过弧微分的介绍，分析弧长变化与切线转角变化之间的关系得到。在课堂教学实践中，尝试使用“三点确定一个圆”的方法，直接使用圆的大小来度量曲线弯曲程度的方式进行引入与介绍。这样就很直观地和中学内容衔接起来，更容易让学生接受。并且，在实验结果的理论探讨过程中还加深对之前极限与导数内容的理解，可谓取得一举多得的教学效果。

具体实施方法：利用mathematica软件计算不同圆的半径，利用给定函数y=f（x）对应的曲线上三个点的坐标（x0，f（x0））和（x0±h，f（x0±h））求得对应圆的圆心坐标和半径计算公式；根据计算得到的公式，取f（x）=x2为例绘制曲线与不同位置的曲率圆，观察曲线弯曲程度与曲率圆大小的变化对应关系；对mathematica中求得的公式，取t→0进行理论推导得到半径和圆心坐标的极限值；最后发现得到的结果与教材中利用弧微分推导得到的结果一致，从而验证该方法的有效性。但是该方法相对于弧微分方法来说更加直观、简单和更容易被学生所接受。

4 学科交叉应用型案例

学习的目标是为了满足应用的需要。当然，这种需要有实际生活、工程等方面的需要，也包括后续学习的需要。因此，在教学过程中需要给学生充分展示数学的实际应用能力和其他学科知识的

相关性，这样既能激发他们学习的兴趣，唤起探索数学的热情，也从不同的角度更好地理解和掌握数学知识。

案例5：图像信息隐藏与伪装[2]。在mathematica中比较大的优势是能够将矩阵作为一个整体进行处理，而不管其元素是否为单个的数值。因此，借助于mathematica软件在不需要太多其他相关知识的前提下能够完成对图像的处理操作。因此，该案例只是对数字图像在计算机中的表示方法和在mathematica中读取图像和分离像素的方法进行简单、直观的介绍。通过线性函数y=ax+b就实现简单的图像融合处理。由此也将其应用进行拓广与比较，如直接的矩阵变换方法、按像素操作的方法、叠像术、图像分离以及多次融合的方法，将学生最感兴趣的图像处理引入简单的数学应用中。

案例6：图形变换。这是实施空间解析几何部分内容教学时使用的案例，主要是将立体图形的变换转换为矩阵对方程的操作，将一般方程转换为标准曲面方程，从而搭建起高等数学与线性代数之间的桥梁。

如xoy面绕z轴坐标旋转变换关系为：

。

方程z=xy使用该变换关系得到二次标准方程z=（x2—y2）/2，通过实验演示直观上得到一般曲线方程z=xy为马鞍面的结论。

5 理论说明型案例

在高等数学教学内容中，概念与相关理论结果的解释与说明一