2021新高考数学二轮总复习专题二函数与导数2.3热点小专题二导数的应用学案含解析.docx

2.3 热点小专题二、导数的应用

必备知识精要梳理

1.导数的几何意义

函数y=f (x )在点x 0处的导数是曲线y=f (x )在P (x 0,f (x 0))处的切线的斜率f'(x 0). 2.常用的导数及求导法则

(1)(x m )'=m x m -1

,(sin x )'=cos x ,(cos x )'=-sin x ,(e x )'=e x ,(ln x )'=1

x

,(a x )'=a x ln a ,(log a x )'=

1xlna

.

(2)[f (x )+g (x )]'=f'(x )+g'(x );[f (x )g (x )]'=f'(x )g (x )+f (x )g'(x );

f (x )

g (x )

'=

f '(x )

g (x )-f (x )g '(x )

g 2(x )

[g (x )≠0].

3.函数的极值、最值

(1)若在x 0附近左侧f'(x )>0,右侧f'(x )<0,则f (x 0)为函数f (x )的极大值;若在x 0附近左侧f'(x )<0,右侧f'(x )>0,则f (x 0)为函数f (x )的极小值.

(2)设函数y=f (x )在[a ,b ]上连续,在(a ,b )内可导,则f (x )在[a ,b ]上必有最大值和最小值且在极值点或端点处取得.

关键能力学案突破

热点一 利用导数求曲线的切线

【例1】(1)(2020福建福州模拟,理7)已知函数f (x )为偶函数,当x<0时,f (x )=x 2-ln(-x ),则曲线y=f (x )在x=1处的切线方程为( ) A.x-y=0 B.x-y-2=0 C.x+y-2=0 D.3x-y-2=0 (2)(2020全国Ⅲ,理10)若直线l 与曲线y=√x 和圆x 2+y 2=1

5都相切,则l 的方程为( ) A.y=2x+1 B.y=2x+1

2

C.y=1

2x+1

D.y=12x+1

2

解题心得求曲线y=f (x )的切线方程的三种类型及方法

(1)已知切点P (x 0,y 0)求切线方程,利用k=f'(x 0),再由点斜式写出方程.

(2)已知切线的斜率为k 求切线方程,设切点P (x 0,y 0),通过方程k=f'(x 0),解得x 0,再由点斜式写出方程.

(3)已知切线上非切点的一点(a ,b )求切线方程,设切点P (x 0,y 0),则k=f'(x 0)=y 0-b

x 0

-a ,y 0=f (x 0)解得x 0,

再由点斜式写出方程. 【对点训练1】(1)(2020全国Ⅰ,理6)函数f (x )=x 4-2x 3的图象在点(1,f (1))处的切线方程为( ) A.y=-2x-1 B.y=-2x+1 C.y=2x-3 D.y=2x+1

(2)(2020山东德州二模,14)已知f (x )为奇函数,当x<0时,f (x )=e x 3+2e -x ,则曲线y=f (x )在(1,f (1))处的切线方程是 .

热点二 已知曲线的切线方程求参数的值

【例2】(2020天津河北区线上测试,17)已知函数f (x )=ax ln x-bx (a ,b ∈R )在点(e,f (e))处的切线方程为y=3x-e,则a= ,b= .

解题心得解决已知曲线的切线方程求参数问题的一般思路是:利用方程的思想求解,即设出切点坐标,求出函数在切点的导数得切线的斜率,由斜率相等得一方程,由切点坐标代入函数解析式,又得一方程,联立求解即可. 【对点训练2】若函数f (x )=x-a ln x 在点(1,1)处的切线方程为y=2x-1,则实数a= .

热点三 求参数的取值范围(多维探究)

类型一 已知函数单调性求参数范围

【例3】(1)若函数f (x )=kx-ln x 在区间(1,+∞)上单调递增,则k 的取值范围是( ) A.(-∞,-2] B.(-∞,-1] C.[2,+∞) D.[1,+∞)

(2)若函数f (x )=x 2-4e x -ax 在R 上存在单调递增区间,则实数a 的取值范围为 . 解题心得利用导数求单调区间(或证明单调性),只要在函数定义域内解(或证明)不等式f'(x )>0或f'(x )<0.已知函数的单调性,则转化为不等式f'(x )≥0或f'(x )≤0在单调区间上恒成立问题来求解.

【对点训练3】(1)若函数f (x )=x-1

3sin 2x+a sin x 在区间(-∞,+∞)单调递增,则a 的取值范围是

( ) A.[-1,1] B.-1,

13 C.-13,

13

D.-1,-

13

(2)设f (x )=e x (ln x-a ),若函数f (x )在区间1e

,e 上单调递减,则实数a 的取值范围

为 .

类型二 已知极值、最值或恒成立求参数范围 【例4】(1)(2020山东青岛5月模拟,8)已知函数f (x )=lnx x 2

,若f (x )

x

2在(0,+∞)上恒成立,e 为

自然对数的底数,则实数m 的取值范围是( ) A.m>e

B.m>e

2

C.m>1

D.m>√e

(2)函数f (x )=ln x+1

2x 2-ax (x>0)在区间12

,3上有且仅有一个极值点,则实数a 的取值范围是

( )

A.52

,3

B.

52

,

103

C.

52

,10

3

D.2,10

3

解题心得在有关函数不等式恒成立的情况下求参数的范围问题,通过对问题的转化,一般都变成通过研究函数的极值、最值得到参数的范围;能分离出参数更是直接求最值问题.已知函数的极值点求参数的问题,最终还是通过求最值得到解决.

【对点训练4】设函数f (x )=√3sin πx

m .若存在f (x )的极值点x 0满足x 02+[f (x 0)]2

范围是 ( ) A.(-∞,-6)∪(6,+∞) B.(-∞,-4)∪(4,+∞) C.(-∞,-2)∪(2,+∞) D.(-∞,-1)∪(1,+∞)

类型三 已知函数零点情况求参数值或范围

【例5】已知函数f (x )=x 2+|x-a|,g (x )=(2a-1)x+a ln x ,若函数y=f (x )与函数y=g (x )的图象恰好有两个不同的交点,则实数a 的取值范围为 . 解题心得1.利用导数研究函数零点问题的思路

(1)讨论函数f (x )=g (x )-h (x )的零点个数,转化为讨论函数y=g (x )与y=h (x )的交点个数,通过函数的单调性、极值与最值,画出函数图象的变化趋势,数形结合求解.

(2)利用零点存在性定理:先用该定理判断函数在某区间上有零点,再利用导数研究函数的单调性、极值(最值)及区间端点值符号,进而判断函数在该区间上零点的个数.

2.已知函数零点情况求参数值或范围问题,一般思路是通过求函数的导数及对参数分类讨论确定函数的极值,参照函数图象的变化趋势,看参数在什么范围满足零点情况的要求.有时根据题意转化为两个函数图象交点个数,因此解决此类问题要注重数形结合.

【对点训练5】已知函数f (x )=x 2

2x -2elnx 与g (x )=2eln x+mx 的图象有4个不同的交点,则实数m 的取值范围是( ) A.(-4,0) B.

12

,2

C.0,1

2 D.(0,2)

热点四 利用导数求实际问题中的最值

【例6】(2020江苏,17)某地准备在山谷中建一座桥梁,桥址位置的竖直截面图如图所示:谷底O 在水平线MN 上,桥AB 与MN 平行,OO'为铅垂线(O'在AB 上).经测量,左侧曲线AO 上任一点D 到MN 的距离h 1(米)与D 到OO'的距离a (米)之间满足关系式h 1=1

40a 2;右侧曲线BO 上任一点F 到MN 的距离h 2(米)与F 到OO'的距离b (米)之间满足关系式h 2=-1800b 3+6b.已知点B 到OO'的距离为40米.