高考第61课椭圆的几何性质

第61课椭圆的几何性质【自主学习】

第61课椭圆的几何性质

(本课时对应学生用书第页

)

自主学习回归教材

1.(选修1-2-1P30例1改编)椭圆

2

25

x

+

2

9

y

=1的长轴长为，离心率为，

右焦点坐标为.

【答案】10 4

5(4，0)

2.(选修1-1P35习题4改编)若方程

2

||-1

x

m+

2

2-

y

m=1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取

值范围为.

【答案】(-∞，-1)∪

3 1

2⎛⎫ ⎪⎝⎭，

【解析】由题意有2-m>|m|-1>0，解得1

2或m<-1.

3.(选修1-1P60复习题7改编)若以椭圆

2

2

x

a.+

2

2

y

b=1(a>b>0)的左焦点F(-c，0)为圆心、

c为半径的圆与椭圆的左准线交于不同的两点，则该椭圆的离心率的取值范围是.

【答案】

1 2

⎛⎫

⎪ ⎪⎝⎭

【解析】由条件得椭圆的左准线方程为x=-

2

a

c，从而由-c-

2

-

a

c

⎛⎫

⎪

⎝⎭

以e

∈

1

⎫

⎪⎪

⎝⎭.

4.(选修1-1P35习题9改编)椭圆C：

2

45

x

+

2

20

y

=1上与两个焦点的连线互相垂直的点的

坐标是.

【答案】(-3，-4)，(-3，4)，(3，-4)，(3，4)

【解析】由题知椭圆C的两个焦点的坐标分别是(5，0)，(-5，0)，所以所求的点

即为以原点为圆心，半焦距为半径的圆与椭圆的交点，联立方程组

22

22

1 4520

25

x y

x y

⎧

+=

⎪

⎨

⎪+=

⎩

，

，解

得

3

4

x

y

=

⎧

⎨

=

⎩

，

或

-3

4

x

y

=

⎧

⎨

=

⎩

，

或

3

-4

x

y

=

⎧

⎨

=

⎩

，

或

-3

-4.

x

y

=

⎧

⎨

=

⎩

，

1.椭圆的标准方程及简单的几何性质

条件2a>2c，a2=b2+c2，a>0，b>0，c>0

标准方程及图形

2

2

x

a+

2

2

y

b=1(a>b>0)

2

2

y

a+

2

2

x

b=1(a>b>0)

范围|x|≤a，|y|≤b |y|≤a，|x|≤b 对称

性

曲线关于原点、x轴、y轴对称

顶点长轴顶点(±a，0)

短轴顶点(0，±b)

长轴顶点(0，±a)

短轴顶点(±b，0)

焦点(±c，0) (0，±c) 长、

短轴

的长

度

长轴长2a，短轴长2b

焦距F

1F

2

=2c(c2=a2-b2)

准线

方程x=±

2

a

c y=±

2

a

c

离心

率e=c

a∈(0，1)，e越大，椭圆越扁，e越小，椭圆越圆

2.点P(x0，y0)和椭圆

2

2

x

a+

2

2

y

b=1(a>b>0)

的关系

(1)点P(x0，y0)在椭圆外⇔

2

2

x

a+

2

2

y

b>1.

(2)点P(x0，y0)在椭圆上⇔

2

2

x

a+

2

2

y

b=1.

(3)点P(x0，y0)在椭圆内⇔

2

2

x

a+

2

2

y

b<1.

【要点导学】

要点导学各个击破求椭圆离心率的值

例1 在平面直角坐标系x O y中，已知椭圆

2

2

x

a+

2

2

y

b=1(a>b>0)的左顶点为A，

左焦点为F，上顶点为B，若∠BAO+∠BFO=90°，求椭圆的离心率.

【思维引导】根据所给的几何条件，建立关于a，b，c的方程.

【解答】方法一：因为∠BAO+∠BFO=90°，

所以sin∠BFO=cos∠BAO=cos∠BAF.

在△ABF中，由正弦定理得sin BF BAF

∠=sin AB AFB

∠=sin AB BFO

∠=cos AB BAF

∠，