幂的四大运算法则(整式的运算)解读
《整式的乘法》主要知识点解读
《整式的乘法》主要知识点解读-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN《整式的乘法》主要知识点解读1．同底数幂的乘法：法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
公式： (,)m n m n a a a m n +=为正整数。
解读：（1）法则的条件必须是底数相同的幂相乘（幂的个数不限），而不是相加，法则的结论是底数不变，指数相加，要注意指数是相加而不是相乘。
（2）底数不同的幂相乘，不能用此法则；不要忽视指数是1的因数，如606c c c +≠。
（3）底数是和、差或其他形式的幂相乘，应将这些和或差看成一个整体，勿犯232233()()()()x y x y x y x y ++=++的错误。
2．幂的乘方：法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。
公式：()(,)m n mn a a m n =为正整数解读：（1）幂的乘方的底数指的是幂的底数，而不是乘方的底数，法则中的结论“指数相乘”是指幂的指数与乘方的指数相乘。
（2）不要把幂的乘方的性质与同底数幂的乘法性质混淆。
幂的乘方运算是转化为指数的乘法运算（底数不变）；同底数幂的乘法是转化为指数的加法运算（底数不变）。
3．积的乘方：法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
公式：()().m m m ab a b m =为正整数解读：（1）法则中的积里的每一个因式是指组成积的所有因式，不能漏掉，且各自乘方后还是乘法运算。
（2）三个或三个以上的积的乘方也具有同样的性质，即().m m m m abc a b c =（3）幂的以上三种运算性质都可以逆用，并且逆用之后解决问题往往会很方便，请大家在学习中体会。
一、整式的乘法：1．单项式乘以单项式：法则：单项式乘以单项式，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式中出现的字母，连同它的指数作为积的一个因式。
解读：（1）单项式的乘法可分为三步：①把它们的系数相乘，包括符号的计算；②同底数幂相乘；③单独字母的处理。
(完整版)幂的运算总结及方法归纳
幂的运算一、知识网络归纳二、学习重难点学习本章需关注的几个问题：●在运用n m n m a a a +=•（m 、n 为正整数），n m n m a a a -=÷（0≠a ，m 、n 为正整数且m ＞n ），mn n m a a =)(（m 、n 为正整数），n n n b a ab =)(（n 为正整数），)0(10≠=a a ，n n aa 1=-（0≠a ，n 为正整数）时，要特别注意各式子成立的条件。
◆上述各式子中的底数字母不仅仅表示一个数、一个字母，它还可以表示一个单项式，甚至还可以表示一个多项式。
换句话说，将底数看作是一个“整体”即可。
◆注意上述各式的逆向应用。
如计算20052004425.0⨯，可先逆用同底数幂的乘法法则将20054写成442004⨯，再逆用积的乘方法则计算11)425.0(425.02004200420042004==⨯=⨯，由此不难得到结果为1。
◆通过对式子的变形，进一步领会转化的数学思想方法。
如同底数幂的乘法就是将乘法运算转化为指数的加法运算，同底数幂的除法就是将除法运算转化为指数的减法运算，幂的乘方就是将乘方运算转化为指数的乘法运算等。
◆在经历上述各个式子的推导过程中，进一步领悟“通过观察、猜想、验证与发现法则、规律”这一重要的数学研究的方法，学习并体会从特殊到一般的归纳推理的数学思想方法。
一、同底数幂的乘法1、同底数幂的乘法同底数幂相乘，底数不变，指数相加.公式表示为：()mnm na a am n +⋅=、为正整数2、同底数幂的乘法可推广到三个或三个以上的同底数幂相乘，即()m n p m m p a a a a m n p ++⋅⋅=、、为正整数注意点：（1） 同底数幂的乘法中，首先要找出相同的底数，运算时，底数不变，直接把指数相加，所得的和作为积的指数.（2） 在进行同底数幂的乘法运算时，如果底数不同，先设法将其转化为相同的底数，再按法则进行计算.例题：例1：计算列下列各题（1） 34a a ⋅； （2） 23b b b ⋅⋅ ； （3） ()()()24c c c -⋅-⋅- 简单练习： 一、选择题1. 下列计算正确的是( )A.ａ2+ａ3=ａ5B.ａ2·ａ3=ａ5C.3m +2m =5mD.ａ2+ａ2=2ａ42. 下列计算错误的是( )A.5ｘ2-ｘ2=4ｘ2B.ａm +ａm =2ａmC.3m +2m =5mD.ｘ·ｘ2m-1= ｘ2m3. 下列四个算式中①ａ3·ａ3=2ａ3 ②ｘ3+ｘ3=ｘ6 ③ｂ3·ｂ·ｂ2=ｂ5④p 2+p 2+p 2=3p 2正确的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个4. 下列各题中，计算结果写成底数为10的幂的形式，其中正确的是( )A.100×102=103B.1000×1010=103C.100×103=105D.100×1000=104二、填空题1. ａ4·ａ4=_______；ａ4＋ａ4=_______。
整式的乘除因式分解定义公式总结
《整式的乘除与因式分解》四大知识点归纳第一类、幂的运算法则：同底数幂的乘法a m a n=a m+n幂的乘方（a m ）n=a m n积的乘方(a b)n = a n b n同底数幂的除法a m÷a n=a m+n (a≠0，m、n为正整数，m﹥n）零指数幂a0 = 1（a≠0)负指数幂 a – p = （a≠0 ，p为正整数）第二类、整式的乘、除法整式的乘法1.单项式乘以单项式法则单项式和单项式相乘，把它们的系数,相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数一起作为积的一个因式.2。
单项式乘以多项式法则单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加。
即m（a+b+c）=ma+mb+mc3.多项式乘以多项式法则多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加即（a+b) (m+n) = am + an + bm +bn整式的除法1.单项式除以单项式法则单项式相除，把系数和同底数幂分别相除作为商的因式,对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式。
2．多项式除以单项式法则多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。
即(am+bm)÷m = a + b第三类、乘法公式平方差公式两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。
即(a+b）（a –b）= a2 –b2完全平方公式两数和(或差)的平方，等于它们的平方和,加（或减）它们的积的2倍.即(a+b）2=a2+2ab+b2 (a—b）2=a2—2ab+b2第四类、因式分解：1。
定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．2。
方法①提公团式法：如果一个多项式的各项含有公因式，那么可以把这个公因式提到括号外面,从而将多项式化成两个因式乘积的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法．②运用公式法:把乘法公式逆运用，可以把某些类型的多项式因式分解，这种方法叫公式法。
代数复习：幂的运算、整式乘法与因式分解
二.代数式的运算（一）整式的运算：●整式加减的运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项.整式的乘除●幂的运算1.概念：负数的奇数次幂是负数；负数的偶数次幂是正数2.运算：注意：1）底数a不能为0，若a为0，则除数为0，除法就没有意义了.2）只要底数不为0，则任何数的零次方都等于1●整式乘法：②单项式相乘：两个单项式相乘，把系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．③单项式与多项式相乘：单项式与多项式相乘，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．用式子表达：④多项式与多项式相乘：一般地，多项式乘以多项式，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．用式子表达：●因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解．因式分解的两种基本方法：①提公因式法：②运用公式法：平方差公式：完全平方公式：十字相乘法： 探索：阅读理解。
（1）计算后填空：①（x+1）（x+2）=②（x+3）（x-1）=（2）归纳、猜想后填空：（x+a ）（x+b ）= +（＿＿＿＿＿）x+＿＿＿＿＿（3）运用（2）的猜想结论，直接写出计算结果：（x+2）（x+m ）=＿＿＿＿＿＿＿＿＿（4）根据你的理解，把下列多项式因式分解：①x 2-5x+6=＿＿＿＿＿＿＿＿＿；②x 2-3x-10=＿＿＿＿＿＿＿＿＿第一部分：幂的运算例题：考点1．幂的运算法则例1． 计算（1）26()a a -⋅； （2） 32()()a b b a -⋅-； （3）12()n a +；（4）2232⎪⎭⎫ ⎝⎛-xy （5）53()a a -÷； （6）32(1)(1)a a +÷+ 变式 计算（1）35(2)(2)(2)b b b +⋅+⋅+ （2）3223()()x x -⋅-； （3）41n n a a ++÷；考点2．幂的法则的逆运算例2．（1）已知23m =，24n =，求2m n +的值； （2）比较55544433334,5，的大小（3）计算：2013201253()(2)135⨯ （4）已知323=+n m ，求n m 48⋅的值变式1．若n 为正整数，且72=n x ，求n n x x 2223)(4)3(-的值；2．已知4432=--c b a ，求4)161(84-⨯÷c b n 的值。
14.1整式乘法-幂运算(教案)
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《14.1整式乘法-幂运算》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要计算多次相同因数的乘积的情况？”（如：计算2的5次方）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索幂运算的奥秘。
3.成果分享：ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了幂运算的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对幂运算的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
-理解并运用积的乘方法则，特别是对于多个变量的乘积的幂运算；
-将幂运算应用于实际问题，建立数学模型。
举例：
a.难点一：在讲解同底数幂的除法时，学生可能难以理解当m < n时，a^m ÷ a^n = a^(m-n)中的指数为负数的含义。此时，教师需要通过具体的实例和图形，帮助学生形象地理解这一概念。
b.难点二：在讲解幂的乘方法则时，学生可能对指数相乘的理解存在困难。教师可以通过展示不同底数和指数的幂运算，让学生通过观察和总结，发现规律并加深理解。
另外，我发现学生在小组讨论环节表现得相当积极，他们能够围绕幂运算在实际生活中的应用提出很多有趣的观点和问题。但在分享讨论成果时，部分学生表达不够清晰，这可能是由于他们对知识点的掌握还不够熟练。针对这一点，我打算在之后的课程中加强学生的表达和交流能力，鼓励他们更自信地分享自己的观点。
此外，实践活动环节，我发现学生们在分组讨论时，有些小组的讨论效率不高，可能是因为组内分工不明确。为了提高讨论效率，我会在下一节课前明确给出分组讨论的要求和分工，确保每个学生都能参与到讨论中来。
代数复习：幂的运算、整式乘法与因式分解
二.代数式的运算（一）整式的运算：整式加减的运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项.整式的乘除幂的运算1.概念：a a正数的任何次幂都是正数；负数的奇数次幂是负数；负数的偶数次幂是正数2.运算：注意：1）底数a不能为0，若a为0，则除数为0，除法就没有意义了.2）只要底数不为0，则任何数的零次方都等于1整式乘法：②单项式相乘：两个单项式相乘，把系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．③单项式与多项式相乘：单项式与多项式相乘，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．用式子表达：④多项式与多项式相乘：一般地，多项式乘以多项式，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．用式子表达：因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解．因式分解的两种基本方法：①提公因式法：指数底数幂②运用公式法：平方差公式：完全平方公式：十字相乘法：探索：阅读理解。
（1）计算后填空：①（x+1）（x+2）=②（x+3）（x-1）=（2）归纳、猜想后填空：（x+a ）（x+b ）=a 2+（＿＿＿＿＿）x+＿＿＿＿＿（3）运用（2）的猜想结论，直接写出计算结果：（x+2）（x+m ）=＿＿＿＿＿＿＿＿＿（4）根据你的理解，把下列多项式因式分解：①x 2-5x+6=＿＿＿＿＿＿＿＿＿；②x 2-3x-10=＿＿＿＿＿＿＿＿＿第一部分：幂的运算例题：考点1．幂的运算法则例1． 计算（1）26()a a -⋅； （2） 32()()a b b a -⋅-； （3）12()n a +；（4）2232⎪⎭⎫ ⎝⎛-xy （5）53()a a -÷； （6）32(1)(1)a a +÷+ 变式 计算（1）35(2)(2)(2)b b b +⋅+⋅+ （2）3223()()x x -⋅-； （3）41n n a a ++÷；考点2．幂的法则的逆运算 例2．（1）已知23m =，24n =，求2m n +的值； （2）比较55544433334,5，的大小（3）计算：2013201253()(2)135⨯ （4）已知323=+n m ，求n m 48⋅的值变式1．若n 为正整数，且72=n x ，求n n x x 2223)(4)3(-的值；2．已知4432=--c b a ，求4)161(84-⨯÷c b n 的值。
整式的乘法(一)——幂的运算知识点讲解
（一 （ ， ） 其中 ｎ为正整数 ） ⑨ 题 口中有加 、 、 ， ； 减 乘混合运算 时 ， 应先计
（ ）避 免 同 底 数 幂 的 乘 法 ５ 与合 并 同类 项 法 则相 混 淆
系 数 底 数 指 数 合 并 同 类 项
阿底 数 的乘 法
算 同底 数幂 的乘 法 然 后再 合 ｌ 同类 项 ． 并
即
４ ＞３ ＞５ 踊 邶．
法 运算 是转 化 为 指 数 的加 法运 算
（ 数不变） 底 ．不 要 出 现 Ｆ面 的错
误 ． （ ＝ａ ．３・ ＝ ； 如 ） ７ａ
即 ｂ＞ｎ＞ｃ ． 点 拨 底数， ｉ Ｎ数且指数相 同的两个幂 ． Ｊｔ ￣！ － 底数大的幂大 ． 以要 比较 所
兰 积 的 乘 方
例＿ 计算：１ ‘ 。 。 ５；（） － ） ×（ ）。 ３ （） 了 ｘ － ２ （８ ４） ７ 一 ２； Ｌ ） ｌ
（ ）
（ 为正 整数 ） ，
即积 的 乘方 等 于 各 冈数 乘 方 的 积 ．
注意 （ ） Ｉ前 两 个 法 则 的 １ ＿ Ｊ ｊ 区别 ： 积 的 乘 方 等 于 将 积 的每 个 因 式 分 别 乘 方 （ 转 化 成 若 十 个 即 幂 的 乘 方 ， 把 所 得 的幂 牛 乘 ） 再 日 ： （） 的乘方可以推， ２ 积 到 个 或 ｉ 个 以 上 的 闪 式 的 秋 的 乘
的 数 或 字母 ． 也可 以 是一 个 单项
式 或多 项式 ． ： ｍ＋ ）２ ｎ 如 （ ２ ｎ ｍ＋ ） （ ＝ （ ｍ＋ ）， 数 就 是 一 个 二项 式 ， ２ ｎ ｓ底 即 ２ ＋ｎ 运 算 是指 数 相 加 ： ｍ ．
（ ）（ ２ ” ・ ２＋ 一（ ４ ＋ ） １ （ ） － ＋２ ＝（ ｔ ） ¨ －２ 知＝ ） －２ ¨ 一（ ｔ ） － －
幂的运算法则及其运算技巧
幂的运算法则及其运算技巧幂的运算法则是《整式的乘除》一章的重要内容,是整式运算的基础,怎样学好用好幂的运算法则呢?学习中应注意以下几点.一,弄清法则的结构特征1.同底数幂相乘:a?an:a;(Ill,n都是正整数)2.幂的乘方:(a)n_amn;(n,n都是正整数)3.积的乘方:(ab)n=a"b;(n是正整数)4.同底数幂相除:a÷aa…;(a4-0,m>n,ITI,n都是正整数)5.商的乘方:()n_;(a4-0,n为正整数)6.零次幂:a.=1;(a4-0)7.负整数指数:a.(a4-0,P是正整数)二,明确运算法则的异同法则的相同点:1.幂的运算法则的运算都是底数不变,只是对指数进行运算;2.法则中作为公式的底数具有普遍性,即可以是数,也可以是式(单项式或多项式); 3.指数都是正整数.法则的不同点:1.同底数的幂相乘(除),底数不变,指数相加(减);2.幂的乘方是指数相乘;3.积(商)的乘方是每个因式各自乘方.三,避免发生以下错误1.法则混淆不清,乱用法则例如计算:(1)(a.);(2)a3a;(3)(÷)2.往往易出现:(1)(a)ka3-=a;(2)J^^,■a?a2--~-a:a;(3)(争)=等=÷等错误.出JJJ现错误的原因是没有真正弄清法则的意义.2.忽视看不见的指数1例如计算:(1)X?X?X;(2)a÷a.往往易出现:(1)x?x?X3-----X;(2)a3÷a:a等错误,出现错误的原因是忽视字母指数为1的情况, 把指数看为0而不是1.3.忽视应用法则的前提条件例如计算:(1)x3+x;(2)8a一5.a;(3)(,/2一,/2)..往往易出现:(1)X3+x=x';(2)8a一5a.=3a;(3)(,/2一,/2).:1等错误.出现错误的原因是只关注幂的运算法则的计算,而又忽视了法则应用的前提条件.四,学会灵活运用法则进行计算运用幂的运算法则进行计算,除了能正确地进行正向运算外,还要学会逆向运用,正逆互用就可很好地解有关问题.下面举例予以说明. 例1计算:一3x5-?4xYZ(x2yZ)2.解:原式:一3x2y?4x3YZ?x4yZ一12x"¨¨.=一12xYz.例2下列计算正确的是()(A)a+a=a..(B)X?x=x,(C)x.+x3--2x.(D)(a2bC)=a4bC.例3若a2n=2,则a"+a=——.解:因为an:=2,所以a"+a8n=(a")+(a")=2+2=8+16=24.例4若3x=3—5y,则8?32——,解:由3x=3—5y,得3x+Sy:3.-..8?32:2?2Y=23x+52k8.例5若10=27,求1O.解:由10=27,得(10)=3,则1O=3...10=1010=3X10=30.—L例6若20=2,20Y=3,求3Or.二次一二次根式运算是初中数学的重要内容,也是中考和竞赛试题中常见的题型.不少题1/1用常规方法解决比较繁琐,若能抓住题t/l的数字和结构特征,找出其本质和规律性,采用灵活巧妙的方法,则可驭繁就简,化难为易,达到事半功倍之效.一,整体代入例1若x=x/T丽-x/T,y=而V-5-+x/Y,求X2--xy+y的值.解:'.x/T丽-x/Y,,~.x=S-2V7-?同理y=5+2,/..'.x+y=10.x'y1...原式=(x+y)一3xy=10一3x197.例2若a+b=6ab=4(a>h).gx,//7a-十xv/bb-的值.解:?.?(+)=a+b+2=10,..,/+,/:,/又...(一)z=a+b一2=2,.a>b...x/a—x/b=x/2. ..原式x/T孚?二,配方例3化简.解:?.?2=2?,厂,(x/2-).+(,/).一(,/)=0,.'.原式::2X/~—"X/'5—+(X/2-)2+(X/'5)2-(X/-7-)2 x/2+,/5+,/7,/+,/)z一(,/2+x/5+x/7,/+,/一,/.三,换元例4当x时,求代数式一x+l?一,/F一一解:设P=q=.则P=1+x.q2=1一x..'.原式P一q+2辫:±±二:l+x一(卜X)X'.'.当x时,原式x/Y+?四,逆用法则例5计算(2一,/)..(2+,/)2001.解:原式=【(2一,/)(2+x/T)】解:?.?30=20x3——20x20y20=20y一. 壁Y—:土一...30竹一=(20'+y-x)1+y-x=20川=20?20Y=2X3=6.练习:1.计算:(一0.125)...?4姗.2.比较:3sss,4似,5的大小.3.填空:24.+34.+74.的个位数字是——.4.已知:x=2+2,y=4～4,若用X的代表式表示Y,则Y参考答案:①1;②53<3<4似;③8; x一4x.2aa4/5初尹窖学习技巧.。
初一下册数学知识点：整式的运算知识点总结
初一下册数学知识点：整式的运算知识点总结整式的运算是初一下学期学习的第一章内容，主要讲解了整式的概念、同底数幂的乘法、同底数幂的除法、整式的乘除法、平方差公式、完全平方公式等。
通过对本篇知识点的学习，相信同学们对整式的运算有了更深的把握，同时也为今后学习数学打下扎实的基础!初一下册数学知识点：整式的运算第四章整式的运算一、整式单项式和多项式统称整式。
a)由数与字母的积组成的代数式叫做单项式。
单独一个数或字母也是单项式。
b)单项式的系数是这个单项式的数字因数，作为单项式的系数，必须连同数字前面的性质符号，如果一个单项式只是字母的积，并非没有系数，系数为1或-1。
c)一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数(注意：常数项的单项式次数为0)a)几个单项式的和叫做多项式。
在多项式中，每个单项式叫做多项式的项。
其中，不含字母的项叫做常数项。
一个多项式中，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数.b)单项式和多项式都有次数，含有字母的单项式有系数，多项式没有系数。
多项式的每一项都是单项式，一个多项式的项数就是这个多项式作为加数的单项式的个数。
多项式中每一项都有它们各自的次数，但是它们的次数不可能都作是为这个多项式的次数，一个多项式的次数只有一个，它是所含各项的次数中最高的那一项次数.a)整式的加减实质上就是去括号后，合并同类项，运算结果是一个多项式或是单项式.b)括号前面是-号，去括号时，括号内各项要变号，一个数与多项式相乘时，这个数与括号内各项都要相乘。
二、同底数幂的乘法(m，n都是整数)是幂的运算中最基本的法则，在应用法则运算时，要注意以下几点：a)法则使用的前提条件是：幂的底数相同而且是相乘时，底数a可以是一个具体的数字式字母，也可以是一个单项或多项式;b) 指数是1时，不要误以为没有指数;c)不要将同底数幂的乘法与整式的加法相混淆，对乘法，只要底数相同指数就可以相加;而对于加法，不仅底数相同，还要求指数相同才能相加;d)当三个或三个以上同底数幂相乘时，法则可推广为 (其中m、n、p均为整数);e)公式还可以逆用： (m、n均为整数)a)幂的乘方法则： (m，n都是整数数)是幂的乘法法则为基础推导出来的，但两者不能混淆。
幂的运算
幂的运算幂运算一、教学内容：1.同底数幂的乘法2.幂的乘方与积的乘方3.同底数幂的除法幂运算二、技能要求：掌握正整数幂的运算性质（同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方、同底数幂的除法），能用字母式子和文字语言正确地表述这些性质，并能运用它们熟练地进行运算。
幂运算三、主要数学能力1．通过幂的运算到多项式乘法的学习，初步理解“特殊——一般——特殊”的认识规律，发展思维能力。
2．在学习幂的运算性质、乘法法则的过程中，培养观察、综合、类比、归纳、抽象、概括等思维能力。
幂运算四、学习指导1．同底数幂的乘法：同底数幂的乘法法则是本章中的第一个幂的运算法则，也是整式乘法的主要依据之一。
学习这个法则时应注意以下五个问题：（1）先弄清楚底数、指数、幂这三个基本概念的涵义。
（2）它的前提是“同底”，而且底可以是一个具体的数或字母，也可以是一个单项式或多项式，如：(2x+y)2·(2x+y)3=(2x+y)5，底数就是一个二项式(2x+y)。
（3）指数都是正整数（4）这个法则可以推广到三个或三个以上的同底数幂相乘，即a m·a n·a p....=a m+n+p+... (m, n, p都是正整数)。
（5）不要与整式加法相混淆。
乘法是只要求底数相同则可用法则计算，即底数不变指数相加，如：x5·x4=x^（5+4）=x9；而加法法则要求两个相同；底数相同且指数也必须相同，实际上是幂相同系数相加，如-2x5+x5=(-2+1)x5=-x5，而x5+x4就不能合并。
例1．计算：(1) (- )(- )2(- )3 (2) -a4·(-a)3·(-a)5解：(1) A×Α^2×A^3 分析：①(- )就是(- )1，指数为1=A^（1+2+3）②底数为- ，不变。
=A^6 ③指数相加1+2+3=6= ④乘方时先定符号“+”，再计算的6次幂解：(2) -a4·(-a)3·(-a)5分析：①-a4与(-a)3不是同底数幂=-(-a)4·(-a)3·(-a)5 可利用-(-a)4=-a4变为同底数幂=-a（4+3+5）=-(-a)12②本题也可作如下处理：-a4·(-a)3·(-a)5-a4·(-a)3·(-a)5=-a4(-a3)(-a5)=-a12 =-(a4·a3·a5)=-a12例2．计算(1) (x-y)^3(y-x)(y-x)^6解：(x-y)^3(y-x)(y-x)6分析：(x-y)3与(y-x)不是同底数幂=-(x-y)^3(y-x)(y-x)6可利用y-x=-(x-y), (y-x)6=(x-y)6=-(x-y)（3+1+6 ）变为(x-y)为底的同底数幂，再进行=-(x-y)10 计算。
整式的乘除知识点及题型复习
整式运算考点1、幂的有关运算①=⋅nm a a （m 、n 都是正整数）②=n m a )( （m 、n 都是正整数）③=n ab )( （n 是正整数） ④=÷nm a a （a ≠0，m 、n 都是正整数，且m>n ） ⑤=0a （a ≠0）⑥=-p a （a ≠0，p 是正整数） 幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。
积的乘方法则：积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
同底数幂相除，底数不变，指数相减。
例：在下列运算中，计算正确的是（ ）（A ）326a a a ⋅= （B ）235()a a =（C ）824a a a ÷=（D ）2224()ab a b =练习：1、()()103x x -⨯-=________.2、()()()32101036a a a a -÷-÷-÷ = 。
3、23132--⎛⎫-+ ⎪⎝⎭= 。
4、322(3)---⨯- = 。
5、下列运算中正确的是（ ）A ．336x y x =；B ．235()m m =；C ．22122x x-=； D ．633()()a a a -÷-=- 6、计算()8pm n a aa ⋅÷的结果是（ ）A 、8mnp a - B 、()8m n p a ++ C 、8mp np a+- D 、8mn p a+-7、下列计算中，正确的有（ ）①325a a a ⋅= ②()()()4222ab ab ab ab ÷= ③()322a a a a ÷÷= ④()752a a a -÷=。
A 、①②B 、①③C 、②③D 、②④ 8、在①5x x ⋅ ②7x y xy ÷ ③()32x - ④()233x y y ÷中结果为6x 的有（ ）A 、①B 、①②C 、①②③④D 、①②④ 提高点1：巧妙变化幂的底数、指数 例：已知：23a =，326b =，求3102a b+的值；1、 已知2a x =，3bx =，求23a bx-的值。
幂的运算
（1）底数可以是任意实数，也可以是单项式、多项式.（2）同底数幂的乘法时，只有当底数相同时,指数才可以相加.指数为1，计算时不要遗漏.（3）幂的乘方运算时，指数相乘，而同底数幂的乘法中是指数相加.（4）积的乘方运算时须注意，积的乘方要将每一个因式(特别是系数)都要分别乘方.（5）灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁.（6）带有负号的幂的运算，要养成先化简符号的习惯.【典型例题】类型一、同底数幂的乘法性质1、计算：(1)；(2) ．【总结升华】（1）同底数幂相乘时，底数可以是多项式，也可以是单项式．（2）在幂的运算中，经常用到以下变形：．类型二、幂的乘方法则2、计算：（1）； （2）；（3）； （4）．3、（2015春•南长区期中）已知2x =8y+2，9y =3x ﹣9，求x+2y 的值．举一反三：35(2)(2)(2)b b b +⋅+⋅+23(2)(2)x y y x -⋅-()()(),n n n a n a a n ⎧⎪-=⎨-⎪⎩为偶数,为奇数()()()()()n n n b a n a b b a n ⎧-⎪-=⎨--⎪⎩为偶数为奇数23[()]a b --32235()()2y y y y +-22412()()m m xx -+⋅3234()()x x ⋅【变式】已知，则＝ ．类型三、积的乘方法则4、计算：（1） （2）举一反三：【变式1】下列等式正确的个数是( )．① ② ③ ④ ⑤A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【变式2】（2015春•泗阳县校级月考）计算：（1）a 4•（3a 3）2＋（﹣4a 5）2（2）（2）20•（）21．5、（2016秋•济源校级期中）已知x 2m =2，求（2x 3m ）2﹣（3x m ）2的值．【要点梳理】【高清课堂 乘法公式 知识要点】要点一、平方差公式平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.要点诠释：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型：（1）位置变化：如利用加法交换律可以转化为公式的标准型 322,3m m ab ==()()()36322mm m m a b a b b +-⋅24(2)xy -24333[()]a a b -⋅-()3236926x y x y -=-()326m m a a -=()36933a a =()()57355107103510⨯⨯⨯=⨯()()1001001010.520.522-⨯=-⨯⨯22()()a b a b a b +-=-b a ,()()a b b a +-+（2）系数变化：如（3）指数变化：如（4）符号变化：如（5）增项变化：如（6）增因式变化：如要点二、完全平方公式完全平方公式：两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形：要点三、添括号法则添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.要点诠释：添括号与去括号是互逆的，符号的变化也是一致的，可以用去括号法则检查添括号是否正确. 要点四、补充公式；； ；.【典型例题】类型一、平方差公式的应用1、计算(2＋1)()( )()()()＋1．举一反三：【变式1】计算：(1)(2)(＋)( －)( )( ) (35)(35)x y x y +-3232()()m n m n +-()()a b a b ---()()m n p m n p ++-+2244()()()()a b a b a b a b -+++()2222a b a ab b +=++2222)(b ab a b a +-=-()2222a b a b ab +=+-()22a b ab =-+()()224a b a b ab +=-+2()()()x p x q x p q x pq ++=+++2233()()a b a ab b a b ±+=±33223()33a b a a b ab b ±=±+±2222()222a b c a b c ab ac bc ++=+++++221+421+821+1621+3221+2(3)(9)(3)x x x -++a b a b 22a b +44a b +【变式2】（2015•内江）（1）填空：（a ﹣b ）（a+b ）= ；（a ﹣b ）（a 2+ab+b 2）= ；（a ﹣b ）（a 3+a 2b+ab 2+b 3）= ．（2）猜想：（a ﹣b ）（a n ﹣1+a n ﹣2b+…+ab n ﹣2+b n ﹣1）= （其中n 为正整数，且n≥2）．（3）利用（2）猜想的结论计算：29﹣28+27﹣…+23﹣22+2．2、先化简，再求值．已知|m ﹣1|+（n +）2=0，求（﹣m 2n +1）（﹣1﹣m 2n ）的值．举一反三：【变式】解不等式组：类型二、完全平方公式的应用3、运用乘法公式计算：（1）；（2）．举一反三：【变式】运用乘法公式计算：(1)； (2)；(3)； (4)．4、已知△ABC 的三边长、、满足，试判断△ABC 的形状．举一反三：(3)(3)(2)1,(25)(25)4(1).x x x x x x x x +--->⎧⎨---<-⎩2(23)a b +-(23)(23)a b c a b c +--+()()a b c a b c -++-()()2112x y y x -+-+()2x y z -+()()231123a b a b +---a b c 2220a b c ab bc ac ++---=。
整式的乘除
整式的乘除概念总汇1、同底数幂的乘法（1）同底数幂的乘法法则，其推到过程是特殊到一般的过程，即由103· 102，33· 32到a 3· a 2到a m· a n，把幂的底数与指数分两步进行概括抽象，要注意推出这一法则每一步的依据（2）同底数幂的乘法法则是： 同底数幂相乘，底数不变，指数相加 a m· a n= anm +（字母m ，n 表示正整数）当三个或三个以上的同底数幂相乘时，也具有这样的性质，即： a m · a n · a p = a pn m ++（字母m ，n ，p 表示正整数）说明：（1）同底数幂相乘，就应用同底数幂的乘法法则；整式加减就要合并同类项。
两者不能混淆。
（2）、—a ²的底数a ，不是—a 。
计算—a ²·a ²的结果是—（a ²·a ²）=—a 4 ，而不是（—a 2+ 2）=a 4 。
（3）、若底数是多项式时，要把底数看成一个整体进行计算 2、幂的乘方（1）、幂的乘方的性质推导当乘方的运算中底数变成幂时，这种运算就变成一种新的运算：即幂的乘方，其运算法则可由乘方运算的定义和同底数幂的乘法法则推导出来。
（2）、幂的乘方法则幂的乘方，底数不变，指数相乘。
用字母表示就是（a m ）n =a mn （m 、n 都是正整数）。
如（103 ）2=106说明：（1）、幂的乘方是单项式乘除运算的基础，应学会运用乘方的定义及同底数幂乘法推导其运算法则，同时注意与同底数幂乘法法则的区别，应用时不能混淆。
（2）、不管是同底数幂的乘法运算，还是幂的乘方运算，要学会正确识别幂的“底”是什么？幂的指数是什么？乘方的“指数”是什么？若在底数中有负号，则要根据指数的奇偶性决定正负号，即乘方的指数为奇数，负号保留，乘方的指数为偶数，负号去掉。
3、积的乘方（1）积的乘方当幂的底数有两个或两个以上数或字母相乘时，就是积的乘方。
《幂的乘方和积的乘方》整式的乘除
《幂的乘方和积的乘方》整式的乘除汇报人：日期:contents •幂的乘方•积的乘方•整式的乘法•整式的除法•整式的混合运算•整式乘除的应用目录01幂的乘方定义性质定义与性质幂的运算规则幂的实例$(2^3)^2=2^6=64$$(3\times4)^3=3^3\times4^3=27\times64=1728$$2^3\times3^2=8\times9=72$02积的乘方定义性质定义与性质运算法则积的乘方运算规则是先分别计算出每个因式的幂，再将所得的幂相乘。
特殊情况当幂的底数为0时，积的乘方的结果为1，即 $ (0^n) = 1 $。
积的运算规则积的实例例子若要求$(2x^2y^3)^3$的值，首先将每个因式分别乘方，即$2^3, x^{2\times3}, y^{3\times3}$，再将所得的幂相乘，即$2^3 \times x^{2\times3} \times y^{3\times3}$。
结果$(2x^2y^3)^3 = 8x^6y^9$。
03整式的乘法定义与性质定义性质整式的乘法规则交换律三个或更多个整式相乘，可以任意组合，例如$(a \times b) \times c = a \times (b \times c)$。
结合律分配律例子2$5x \times 3x^{2} = 15x^{3}$。
这里运用了单项式与单项式的乘法规则。
例子1$(x + 2) \times (x + 3) = x^{2} + 5x + 6$。
这里运用了分配律来展开。
例子3$(2x^{2} + x) \times (x - 4) = 2x^{3} - 8x^{2} + x^{2} - 4x = 2x^{3} - 7x^{2} - 4x$。
这里运用了多项式与多项式的乘法规则。
整式的乘法实例04整式的除法定义整式的除法是单项式除以单项式，其结果仍为单项式。
要点一要点二性质整式的除法具有与加法、减法和乘法相同的交换律、结合律和分配律。
整式的乘法与因式分解知识点
整式乘除与因式分解一．知识点 （重点） 1．幂的运算性质： a m·a n＝a m ＋n（m 、n 为正整数）同底数幂相乘，底数不变，指数相加．例：(－2a )2(－3a 2)32．＝ a mn（m 、n 为正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘．例：(－a 5)53． （n 为正整数）积的乘方等于各因式乘方的积．例：(－a 2b )3练习：（1）y x x 2325⋅ （2）)4(32b ab -⋅- （3）a ab 23⋅（4）222z y yz ⋅ （5）)4()2(232xy y x -⋅ （6）22253)(631ac c b a b a -⋅⋅4．＝ am －n（a ≠0，m 、n 都是正整数，且m ＞n ）同底数幂相除，底数不变，指数相减．例：（1）x 8÷x 2（2）a 4÷a （3）（a b ）5÷（a b ）2（4）（-a ）7÷（-a ）5 （5） (-b ) 5÷(-b )25．零指数幂的概念：a 0＝1 （a ≠0）任何一个不等于零的数的零指数幂都等于l ． 例：若1)32(0=-b a 成立，则b a ,满足什么条件6．负指数幂的概念：a －p＝ （a ≠0，p 是正整数）任何一个不等于零的数的－p （p 是正整数）指数幂，等于这个数的p 指数幂的倒数． 也可表示为：（m ≠0，n ≠0，p 为正整数） 7．单项式的乘法法则：单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．例：（1）223123abc abc b a ⋅⋅ （2）4233)2()21(n m n m -⋅- 8．单项式与多项式的乘法法则：单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加． 例：（1）)35(222b a ab ab + （2）ab ab ab 21)232(2⋅- （3）)32()5(-22n m n n m -+⋅ （4）xyz z xy z y x ⋅++)(23229．多项式与多项式的乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加．例：（1）)6.0(1x x --）（ （2）))(2(y x y x -+ （3）2)2n m +-（ 练习：1．计算2x 3·(－2xy)(－12xy) 3的结果是 2．(3×10 8)×(－4×10 4)＝3．若n 为正整数，且x 2n＝3，则(3x 3n) 2的值为 4．如果(a nb ·ab m) 3＝a 9b 15，那么mn 的值是5．－[－a 2(2a 3－a)]＝6．(－4x 2＋6x －8)·(－12x 2)＝ 7．2n(－1＋3mn 2)＝ 8．若k(2k －5)＋2k(1－k)＝32，则k ＝9．(－3x 2)＋(2x －3y)(2x －5y)－3y(4x －5y)＝ 10．在(ax 2＋bx －3)(x 2－12x ＋8)的结果中不含x 3和x 项，则a ＝ ，b ＝11．一个长方体的长为(a ＋4)cm ，宽为(a －3)cm ，高为(a ＋5)cm ，则它的表面积为，体积为。
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幂的四大运算法则
一、知识提要
1.
一个单项式中，所有字母的叫做这个单项式的次数；一个多项式中，，叫做这个多项式的次数．
2. 幂的四大运算法则：
①同底数幂相乘，，．表示；
②同底数幂相除，，．表示；
③幂的乘方，，．表示；
④积的乘方等于．表示．
3. 我们规定：
①单独的一个数或字母也是；
②单独一个非零数的次数是；
③a 0 ；
④a -P ．
二、精讲精练
1. 代数式x x 32
52-，y x 22πx 1，5-，a ，0中，单项式的个数是． 2. 在代数式a 3，4
x ，y +2，-5m 中，为单项式，
3. 2
32y x -的系数是；22b a π-的系数是，次数是. 4. 若62y x -与n m y x 313-的和仍是单项式，则=n m ．
5. 多项式-3x 2y 2+6xyz +3xy 2-7是次项式，其中最高次项为．
6. 多项式(1231224+-+-+xy y x y x y x a b 是关于x ，y 的四次多项式，则
a b
7. 如果一个多项式的次数是6，则这个多项式的任何一项的次数都(
A ．小于6
B ．等于6
C ．不大于6
D ．不小于6
8. 65105104⨯⨯⨯；
x a ⋅x 2a -1⋅x b +1；
2034a a a a a =⋅=⋅）（）（．
9. 已知a m =2，a n =3，则a m +n ；
已知a n -3a 2n +1=a 10则n = ；
已知a =10，a =2，则a 10. (-12n -1⋅(-12n ⋅(-12n +1 m 3⋅m 6-(-m 2⋅m 3(-m 4；
(x -y 6⨯(x -y 4(y -x 3；
((=-+⋅+--⋅-+342 (c b a c b a c b a
11. -0.2-3；当x (3x +
21 0=1； (02 3(1----π；=-÷--02 14. 3( 4
3(π 12. (-a 3n +1÷(-a n ；
÷a m =1(a ≠0 ；
a 2m ÷a m -1 ．
13. (3
n a (m 2 3⋅m n =m 9, 则n ；
(3a 2 3+(a 2 2⋅a 2
14. [(a 2
1- 3]2； [(-x 3]4⋅(-x 5
(-x 2 3⋅(-y 2-(-x 3 2⋅(-y 2
15. =⋅-1011002 5. 0(；
若2x +3⋅3x +3=36x -2，，则x = ．
16. 下列运算正确的有①954a a a =+ ②5328 2(a a = ③6326 2(a a =- ④b b b m m =÷-1 ⑤a a a 110=
÷- ⑥(111=-- ⑦3322a a =
- ⑧044a a a =- ⑨(ab 2 3=a 3b 6 17. 计算
(1433553 ( (x x x x x x x ⋅⋅+-⋅--⋅
(2(
122 (+-⋅-⋅p p p a a a (p 为整数
(3(((1221122-⋅-⋅-x x x m m (4(a 3 4÷(a 2 3÷(-a 4 2
(5(x m n -1÷(x m -1 n (6(a +2b m +1÷(a +2b m -3÷(a +2b 2
(7(x +y 5÷(-x -y 3(x +y 2 (83210101101101101---⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫
⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛
(9(-a 2 3+(-a 3 2-a 2⋅a 3 (10(-x 2y 3+7(x 2 2⋅(-x 2⋅(-y 3
三、测试提高
【板块一】整式的相关概念
1. 在代数式2
52+x ，－1，x 2－3x ，π，x 5，x 2＋21x 中是整式的有（）
A ．3个
B ．4个
C ．5个
D ．6个
【板块三】同底数幂相除
2. 计算25m ÷5m 的结果为（）
A ．5
B ．20
C ．5m
D ．20m
【板块四】幂的乘方
3. 下列各式的计算中，正确的是（）
A ．(-x 3 3= x 9
B ．(-x 2 5= -x 10
C ．-(-x 2 4=x 8
D ．(x 2 3=x 5
【板块五】积的乘方
4. 计算620.25(32 ⨯-等于(
A ．-
14 B. 14
C.1
D.-1 5. 下列说法中正确的是( A. n a -和( n a -一定是互为相反数
B. 当n 为奇数时，n a -和( n a -相等
C. 当n 为偶数时，n a -和( n a -相等
D. n a -和( n a -一定不相等
四、课后作业
1. 下列选项正确的是(
A.5ab －(－2ab =7ab
B. －x －x =0
C. x －(m +n －x =－m －n
D. 多项式a 2－21a +41是由a 2，21a ，4
1三项组成的 2. 若0.5a 2b y 与3
4a x b 的和仍是单项式，则正确的是( A. x =2,y =0 B. x =－2, y =0 C. x =－2, y =1 D. x =2,y =1
3. 下列计算正确的是(
A ．(－1 0=－1
B ．(－1 -1=1
C ．2a -3=321a
D ．(－a 3÷(－a 7=41a
4. 判断正误：
1 x ·x =2x
( 2 (21
xy 2 3=21x 3y 6 (
3 (x －y 2·(y －x 4=(x －y 6 (
4 a 2·a 3=a 6 (
5. 4(a +b +2(a +b －5(a +b =_____.
(－b 2·(－b 3·(－b 5.
(－x 2(－x 2·(－x 3=____. [-a 2(b 4 3]2.
(10
1 2+(101 0+(101 －2=____. (－102÷50÷(2×10 0－(0.5－2=_____.
( 3=－(7×7×7(m ·m ·m
6. x +y =－3，则3
2－2x －2y =_____.
若3x =12，3y =4，则27x-y =_____.
已知(9n 2=38，则n =_____.
7. 计算：
1 [-x 2(x 3 4]2
2 [-(-2
3 3]3+(29 3-2×211×216
3 (-x 2·(-x 2m -1·(-x 6 2m
4 (
41 -2×(-50×(-3-1÷23×23
5 (-2a6-(-5a32-[-(-3a2]3
6 [( x 6 n ÷ x 2 n ⋅ x n ]2 − 2 x 6 n ⋅ x 4 n 第 6 页共 6 页。