高中数学北师大版必修教材《利用函数性质判定方程解的存在》导学课件1
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北师大版高中数学必修1第五章1.1利用函数性质判定方程解的存在性课件PPT
32
x ③
代数法求函数零点
要求下列函数的零点 （1）f (x) 2 x 1 （2）f (x) x2 2x 3
（3）f (x) x2 2x 3
进一步探究
函数零点的个数 函数零点的存在性
函数零点的个数
1. 确定二次函数 y x2 2x 2的零点个数
数的角度： 方程x2 2x 2 0
2.判定方程x2 2x 1 0有两个不相等的实数根 ，且一个根大于 2，另一个根小于 0
巩固练习 1 求下列函数的零点个数.
① f (x) lg x x ② f (x) x 1
x
③ f (x) log2 x x 2
思考题 请判定方程 2x x 0是否存在实数解， 若存在，请给出一个实数解的存在区间.
但是，由f
(
x)
x, 1,
1
x2 x2
的图象可知，f (x)在区间1,2上没有零点
定理理解：判断正误
1 若f (a) f (b) 0,则函数y f (x)在区间 a,b内有零点.
2函数y f (x)在区间 a,b内有零点，则 f (a) f (b) 0.
3函数f (x)在区间a,b 上连续，且f (a) f (b) 0,
f (a) 0, f (b) 0
函数不间断
函数不间断（连续）， f (a) f (b) 0
函数f (x)在区间（a,b） 上存在零点
零点存在定理
若函数y f (x)在区间a,b上的图象是一条连续的曲线，且f (a) f (b) 0
则函数y f (x)在区间（a,b）上至少有一个零点 .
的根的个数
形的角度： 函数y x2 2x 2
的图象与x轴交点的个数 y
0
x1 0
x ③
代数法求函数零点
要求下列函数的零点 （1）f (x) 2 x 1 （2）f (x) x2 2x 3
（3）f (x) x2 2x 3
进一步探究
函数零点的个数 函数零点的存在性
函数零点的个数
1. 确定二次函数 y x2 2x 2的零点个数
数的角度： 方程x2 2x 2 0
2.判定方程x2 2x 1 0有两个不相等的实数根 ，且一个根大于 2，另一个根小于 0
巩固练习 1 求下列函数的零点个数.
① f (x) lg x x ② f (x) x 1
x
③ f (x) log2 x x 2
思考题 请判定方程 2x x 0是否存在实数解， 若存在，请给出一个实数解的存在区间.
但是，由f
(
x)
x, 1,
1
x2 x2
的图象可知，f (x)在区间1,2上没有零点
定理理解：判断正误
1 若f (a) f (b) 0,则函数y f (x)在区间 a,b内有零点.
2函数y f (x)在区间 a,b内有零点，则 f (a) f (b) 0.
3函数f (x)在区间a,b 上连续，且f (a) f (b) 0,
f (a) 0, f (b) 0
函数不间断
函数不间断（连续）， f (a) f (b) 0
函数f (x)在区间（a,b） 上存在零点
零点存在定理
若函数y f (x)在区间a,b上的图象是一条连续的曲线，且f (a) f (b) 0
则函数y f (x)在区间（a,b）上至少有一个零点 .
的根的个数
形的角度： 函数y x2 2x 2
的图象与x轴交点的个数 y
0
x1 0
2024-2025学年高一数学必修第一册(配北师版)教学课件1.1利用函数性质判定方程解的存在性
C.(-1,1)和(1,2)
D.(-∞,-3)和(4,+∞)
解析 易知f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象是一条连续不断的曲线,又f(-3)·f(-1)
(1)函数的零点是一个点.( × )
(2)函数的零点是一个点的坐标.( × )
1
2.函数y=1+ 的零点是( B )
A.(-1,0)
B.-1
C.1
D.0
3.[人教B版教材例题]如图所示是函数y=f(x)的图象,分别写出
f(x)=0,f(x)>0,f(x)≤0的解集.
解 由图可知,f(x)=0的解集为{-5,-3,-1,2,4,6}.
f(x)=0,通过求方程f(x)=0的解求得函数的零点;二是几何法,画出函数y=f(x)
的图象,图象与x轴交点的横坐标即函数的零点.
变式训练1已知函数f(x)=x2+3(m+1)x+n的零点是1和2,求函数y=logn(mx+1)
的零点.
解 由题意知函数f(x)=x2+3(m+1)x+n的零点为1和2,则1和2是方程
【例2】 判断下列函数零点的个数:
(1)f(x)=(x2-4)log2x;
(2)f(x)=x2-
1
;
(3)f(x)=2x+lg(x+1)-2.
解 (1)令f(x)=0,得(x2-4)log2x=0,因此x2-4=0或log2x=0,解得x=±2或x=1.
又因为函数定义域为(0,+∞),所以-2不是函数的零点,故函数有1和2两个零点.
(方法二)令h(x)=2-2x,g(x)=lg(x+1),在同一平面直
D.(-∞,-3)和(4,+∞)
解析 易知f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象是一条连续不断的曲线,又f(-3)·f(-1)
(1)函数的零点是一个点.( × )
(2)函数的零点是一个点的坐标.( × )
1
2.函数y=1+ 的零点是( B )
A.(-1,0)
B.-1
C.1
D.0
3.[人教B版教材例题]如图所示是函数y=f(x)的图象,分别写出
f(x)=0,f(x)>0,f(x)≤0的解集.
解 由图可知,f(x)=0的解集为{-5,-3,-1,2,4,6}.
f(x)=0,通过求方程f(x)=0的解求得函数的零点;二是几何法,画出函数y=f(x)
的图象,图象与x轴交点的横坐标即函数的零点.
变式训练1已知函数f(x)=x2+3(m+1)x+n的零点是1和2,求函数y=logn(mx+1)
的零点.
解 由题意知函数f(x)=x2+3(m+1)x+n的零点为1和2,则1和2是方程
【例2】 判断下列函数零点的个数:
(1)f(x)=(x2-4)log2x;
(2)f(x)=x2-
1
;
(3)f(x)=2x+lg(x+1)-2.
解 (1)令f(x)=0,得(x2-4)log2x=0,因此x2-4=0或log2x=0,解得x=±2或x=1.
又因为函数定义域为(0,+∞),所以-2不是函数的零点,故函数有1和2两个零点.
(方法二)令h(x)=2-2x,g(x)=lg(x+1),在同一平面直
4.1.1利用函数性质判断方程解的存在 课件-北师大版高中数学必修1
x 22
解 因为函数f ( x)的定义域x x 0，所以，函数图像
y 4
在区间( 1 , 1 )内是不连续的， 22
函数的图像如图所示，
虽然f ( 1 ) 3 0, f ( 1 ) 3 0, f ( 1 ) f ( 1 ) 0，
22
22
22
但函数在区间( 1 , 1 )内没有零点. 22
_4
_3 横坐标为 3 ;
_5
–4
4
_6
函数图像与横轴的交点的 横坐标为 2或3.
方程
函数
函 数 的 图 像
方程的实数根 函数的图像 与横轴交点
的横坐标
4x 3 0
f (x) 4x 3
y 4 3 2 1 _2 _1 _1O 1 2 x _2 _3 –4
3 4 3 4
x2 x 6 0 f (x) x2 x 6
问题一 零点是个点吗？
不是 ，函数的零点是一个实数，当函数的自变量取这 个实数时，其函数值等于零.
问题二 函数y f (x)的零点和方程f (x) 0的根的关系?
函数 y f (x)的零点就是方程f (x) 0的解， 函数零点的个数就决定了相应方程实数解的个数.
函数f (x)有零点
方程f (x) 0有实数解
问题2 能否判断方程x5 x 1 0的解所在的区间？
画出下列函数的图像，并求出函数图像与横轴的交点的横坐标.
（1）f (x) 4x 3；
4
y
（2）
f
(x)
x2
x
6.
解
y 4
3 2
3
1
_3 _2 _1 O 1 2 3
x
1
_1
_2 _1 O 1 2 x
高中数学北师大版必修一《利用函数性质判定方程解的存在》课件
1
o
1
2
x
-1
视察二次函数 f (x) x2 3x 2 的图像，此函数
在区间
0,
3 2
上没有零点？
计算二次函数 f (x) x
两个端点对应的函数值 f
2
(0)
3x 2
和f (3)
在区间
0,
3 2
的
，你能发现这个
乘积有何特点？
2
y
此函数在区间
3 2
,3
上是否也
具有这样的特点？
2
o 1 23
1、课本P116练习
2、（思考题）判定方程 ln x 2x 6 0 的根的个数
1、方程的根与函数的零点的关系 2、判断图像连续的函数在某个给定区间存在零点的方法
课本P119习题4—1 A组 1、4
北师大版 高中数学
谢谢大家
o 12 x
1、函数零点的概念： 我们把函数的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函 数的零点。
等价关系：方程f (x) 0 有实数根
函数y f (x) 的图像与 x 轴有交点
函数y f (x) 有零点
例1、求函数 f (x) lg(x 1)的零点
练习：求下列函数的零点：
(1)、f (x) x2 5x 6 (2)、f (x) 2x 1
问题三：
函数y f (x) 在某个区间上是否一定有零点？ 怎样的条件下，函数 y f (x) 一定有零点？
视察函数 f (x) x 1的图像，此函数在区间
0,2 上有没有零点？
计算函数 f (x) x 1在区间 0,2的两个端
点对应的函数值 f (0) 和 f (2) 的乘积，你能发
现这个乘积有何特点？ y
北师大版高中数学必修一课件-4.1.1利用函数性质判定方程解的存在 (共12张PPT)
4
议一议
3.如何判断一元二次方程根的个数，如何判断二次 函数图像与x轴交点的个数，它们之间有什么关系？
一元二次方程根的个数就是二次函数图像 与x轴交点的个数，可以用判别式法来制定一 元二次方程根的个数，当△＞0时，有两个不 相等的实根x1、x2，相应的二次函数的图像与x 轴的两个交点(x1，0)、(x2，0)；当△＝0时， 一元二次方程有两个相等的实根x1＝x2，相应 的二次函数的图像与x轴有唯一的交点(x，0); 当△＜0时，一元二次方程没有实根，相应的 二次方程与x轴没有交点.
分析：转化判断函数
f(x)＝(x－2) (x－5)－1，在(－∞，2)
和(5，＋∞)内各有一个零点.
10
例题解析
解：设函数f(x)＝(x－2) (x－5)－1， 有f(5)＝(5－2) (5－5)－1＝1, f(2) ＝(2－2) (2－5)－1＝－1, 因为f(x)为开口向上的抛物线,
所以抛物线与横轴在(5，＋∞)，(－∞，2)内 各有一个交点. 故方程(x－2) (x－5)＝1有两个相异的实 数解，且一个大于4，一个小于2.
1.1 利用函数性质判 定 方程解的存在
1
问题提出 ①求方程x2－2x－3＝0的根，画函 数y=x2－2x－3的图像.
方程的两个实 根分别为－1，3.
2
问题提出 ②求方程x2－2x＋1＝0的根，并画 出函数y＝x2－2x＋1的图像.
方程的实根为1.
3
议一议 1.观察图像：方程的根与函数的图 像和x轴的交点的横坐标有什么关系？ 方程的根就是函数的图像与x轴交点 的横坐标. 2.归纳函数零点的概念 一般对于函数y＝f(x)，我们把f(x)=0 的实数x叫作函数y＝f(x)的零点.
2
议一议
3.如何判断一元二次方程根的个数，如何判断二次 函数图像与x轴交点的个数，它们之间有什么关系？
一元二次方程根的个数就是二次函数图像 与x轴交点的个数，可以用判别式法来制定一 元二次方程根的个数，当△＞0时，有两个不 相等的实根x1、x2，相应的二次函数的图像与x 轴的两个交点(x1，0)、(x2，0)；当△＝0时， 一元二次方程有两个相等的实根x1＝x2，相应 的二次函数的图像与x轴有唯一的交点(x，0); 当△＜0时，一元二次方程没有实根，相应的 二次方程与x轴没有交点.
分析：转化判断函数
f(x)＝(x－2) (x－5)－1，在(－∞，2)
和(5，＋∞)内各有一个零点.
10
例题解析
解：设函数f(x)＝(x－2) (x－5)－1， 有f(5)＝(5－2) (5－5)－1＝1, f(2) ＝(2－2) (2－5)－1＝－1, 因为f(x)为开口向上的抛物线,
所以抛物线与横轴在(5，＋∞)，(－∞，2)内 各有一个交点. 故方程(x－2) (x－5)＝1有两个相异的实 数解，且一个大于4，一个小于2.
1.1 利用函数性质判 定 方程解的存在
1
问题提出 ①求方程x2－2x－3＝0的根，画函 数y=x2－2x－3的图像.
方程的两个实 根分别为－1，3.
2
问题提出 ②求方程x2－2x＋1＝0的根，并画 出函数y＝x2－2x＋1的图像.
方程的实根为1.
3
议一议 1.观察图像：方程的根与函数的图 像和x轴的交点的横坐标有什么关系？ 方程的根就是函数的图像与x轴交点 的横坐标. 2.归纳函数零点的概念 一般对于函数y＝f(x)，我们把f(x)=0 的实数x叫作函数y＝f(x)的零点.
2
5.1.1利用函数性质判定方程解的存在性课件高一上学期数学北师大版
谢
聆
谢
听
22:46
18
(3)零点不是点，而是一个实数.
22:46
4
小试牛刀
A．(-1,0), (3,0) C. x=3
1，0，2 a
D
B. x=-1 D. x=-1或3
0
22:46
5
b
f (x) 1 x
问：下列哪些情况一定可以判定小马过河？
(1)
(2) 22:46
抽象归纳：
A
a
b
B
(1) 如果有，则有几个？
(2) 如果把“连续不断”去掉结果如何？
22:46ຫໍສະໝຸດ 1222:4613
解: 设函数f (x) x3 x 5
由于 f (1) 3 0, f (2) 5 0, 所以f(1)·f(2)<0 又因为函数 f(x)是一条连续的曲线 所以由零点存在定理可知函数f(x)在区间[0,1]存在零点，
又因为函数 f(x)是在R上单调递增， 所以函数 f(x)是在R至多一个交点 综上，函数 f(x)是在[0,1]恰有一个零点
即方程 x3 x 5 0 在区间[0,1]只有一个解。
22:46
14
1.已知方程
6 x
log2
x
0，在下列区间中，包含此方程根的区间是(
)
A.(0,1)
B.(1, 2)
C.(2, 4)
D.(4, )
2.函数
f (x)
x2 2, x 0
的零点个数为_________
2x 6 ln x, x 0
由于 f (1) 2 0, f (0) 1 0, 所以f(-1)·f(0)<0
3
又因为函数 f(x)是一条连续的曲线
高一数学4.1.1《利用函数性质判定方程解的存在》课件(北师大必修1)
• 若y=f(x)的图像在[a,b]上是连续曲线， 且f(a)f(b)<0，则在(a,b)内至少有一个 零点，即f(x)=0在 (a,b)内至少有一个 实数解。
例2
• f(x)=x2-5x+m=0的两 根都大于1，求m的 范围。
数形 结合
例3
•讨论 2-x=log2x解 的个数和分布情
况。
数形
Байду номын сангаас
结合
4.1.1
利用函数性质判 定方程解的存在
问题提出
• 方程与函数都是代数的重 要内容 • 多数方程没有求解公式 • 如何利用方程与函数的关 系求方程的解？
实例分析
• 判断方程 x2-x-6=0 解的存在。 F(x)=x2-x-6
-3
0
4
-6
抽象概括
• y=f(x)的图像与x轴的交点的横坐标叫 做该函数的零点。即f(x)=0的解。
（B）
（C）
f (x) 解x 的个数为 （D）
（A）1 （B）2 y
3、已知函数
log
1 4
x（与yC）kx3（D）4 k的图象有公共点A，且点A
的横坐标1 为2，则1 （A） 4（B） 2
= （C）
1 4
1
（D） 2
总结
•方程与函数的关系
•根的存在性的判断的 方法
作业
• P136:A 2 • B1 • P125:A 6
怎样求这个根的近似值？
练习
• P133:1,2,3
• •
12、、若设函y=a数x2-fx(x-)1 只2x,2 有bxc一,x 个0,xx若零00 点，f 求4 a，f范0围。f 2， 则2
关于x的方程 已知函数的图象有公共点A，且点A的横坐标为2，则
例2
• f(x)=x2-5x+m=0的两 根都大于1，求m的 范围。
数形 结合
例3
•讨论 2-x=log2x解 的个数和分布情
况。
数形
Байду номын сангаас
结合
4.1.1
利用函数性质判 定方程解的存在
问题提出
• 方程与函数都是代数的重 要内容 • 多数方程没有求解公式 • 如何利用方程与函数的关 系求方程的解？
实例分析
• 判断方程 x2-x-6=0 解的存在。 F(x)=x2-x-6
-3
0
4
-6
抽象概括
• y=f(x)的图像与x轴的交点的横坐标叫 做该函数的零点。即f(x)=0的解。
（B）
（C）
f (x) 解x 的个数为 （D）
（A）1 （B）2 y
3、已知函数
log
1 4
x（与yC）kx3（D）4 k的图象有公共点A，且点A
的横坐标1 为2，则1 （A） 4（B） 2
= （C）
1 4
1
（D） 2
总结
•方程与函数的关系
•根的存在性的判断的 方法
作业
• P136:A 2 • B1 • P125:A 6
怎样求这个根的近似值？
练习
• P133:1,2,3
• •
12、、若设函y=a数x2-fx(x-)1 只2x,2 有bxc一,x 个0,xx若零00 点，f 求4 a，f范0围。f 2， 则2
关于x的方程 已知函数的图象有公共点A，且点A的横坐标为2，则
新教材高中数学第5章函数应用1利用函数性质判定方程解的存在性ppt课件北师大版必修第一册
3．能借助函数单调性及图象判断 决，培养直观想象素养．
零点个数．(重点、难点)
自主 预习 探新 知
1．函数的零点概念 (1)概念：使得__f_(x_0_)＝__0__的数 x0 称为方程 f(x)＝0 的解，也称为函 数 f(x)的零点． (2)方程、函数、图象之间的关系： 函数 y＝f(x)的_零__点_就是函数 y＝f(x)的图象与_x_轴__交__点__的__横__坐__标__， 也就是方程 f(x)＝0 的解．
2．在探究1中，只利用零点存在定理，能判断函数f(x)＝lg x＋x 的零点的个数吗？要与什么指示相结合才能判断其零点的个数？
提示：只利用零点存在定理，不能判断函数f(x)＝lg x＋x的零点 的个数，应再利用函数的单调性，才能判断其零点的个数．即函数 f(x)＝lg x＋x在其定义域(0，＋∞)内单调递增，所以函数f(x)只有一个 零点．
第五章 函数应用
§1 方程解的存在性及方程的近似解 1.1 利用函数性质判定方程解的存在性
学习目标
核心素养
1.理解函数的零点、方程的根与图
象交点三者之间的关系．(重点、 1．通过对函数零点概念的学习，
易混点)
培养数学抽象素养．
2．会借助零点存在定理判断函数 2．通过把函数零点问题转化为对
的零点所在的大致区间．(重点) 应函数图象交点的问题加以解
[解] (1)解方程f(x)＝x2＋7x＋6＝0，
得x＝－1或x＝－6，所以函数的零点是－1，－6.
(2)解方程f(x)＝1－log2(x＋3)＝0，得x＝－1，所以函数的零点是
－1.
(3)解方程f(x)＝2x－1－3＝0，得x＝log26，所以函数的零点是
log26.
(4)解方程f(x)＝
5.1.1利用函数性质判定方程解的存在性课件(北师大版)
不出来，那么我们能不能判断这个函数是否存在零点呢？
导入课题 新知探究 典例剖析 课堂小结
2
1. 观察二次函数 f ( x) x 2 x 3 的图象填空:
(1) f (2) f (1)
“
, ”）
___0. （填“”
<
有 (填“有”“无”
f ( x)在区间 2，
1上___
,
定理的作用：
判定函数零点的存在，判定函数零点所在区间.
导入课题 新知讲授 典例剖析 课堂小结
[基础自测]
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)所有的函数都有零点．( × )
(2)若方程 f(x)＝0 有两个不等实根 x1，x2，则函数 y＝f(x)的零点为
(x1,0)，(x2,0)．( × )
4
y
y
5
3
4
2
3
1
_ _ _
3 2 1_ O 1
1
_
2
_
3
_
4
2
2
3
x
不一定
1
_ _ _
3 2 1_ O 1
1
_2
2
3
x
导入课题 新知探究 典例剖析 课堂小结
探究 3
在什么条件下，函数f(x)在区间(a,b)上只存在唯一的零点？
4
y
3
2
1
_ _ _
3 2 1_ O 1
1
_
2
_
3
_
4
2
3
x
在区间(a,b)上单调
x
2
解：设函数 f ( x) 3 x 在区间 [1, 0]有
导入课题 新知探究 典例剖析 课堂小结
2
1. 观察二次函数 f ( x) x 2 x 3 的图象填空:
(1) f (2) f (1)
“
, ”）
___0. （填“”
<
有 (填“有”“无”
f ( x)在区间 2，
1上___
,
定理的作用：
判定函数零点的存在，判定函数零点所在区间.
导入课题 新知讲授 典例剖析 课堂小结
[基础自测]
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)所有的函数都有零点．( × )
(2)若方程 f(x)＝0 有两个不等实根 x1，x2，则函数 y＝f(x)的零点为
(x1,0)，(x2,0)．( × )
4
y
y
5
3
4
2
3
1
_ _ _
3 2 1_ O 1
1
_
2
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3
_
4
2
2
3
x
不一定
1
_ _ _
3 2 1_ O 1
1
_2
2
3
x
导入课题 新知探究 典例剖析 课堂小结
探究 3
在什么条件下，函数f(x)在区间(a,b)上只存在唯一的零点？
4
y
3
2
1
_ _ _
3 2 1_ O 1
1
_
2
_
3
_
4
2
3
x
在区间(a,b)上单调
x
2
解：设函数 f ( x) 3 x 在区间 [1, 0]有
北师大版高中数学必修《利用函数性质判定方程解的存在》教学课件1
y
Y= lg x
Y= 2
01
x
从图可得：方程 lg x 2 0 在(0,1)和(1,+∞)上各有一解。 小结： ①函数图象与x轴交点的横坐标叫做函数的零点，即
函数的零点为对应方程的解。 ②利用函数图像判断方程的解更加直观。 ③数形结合思想的应用。 ④发散思维一题多解。
北师大版高中数学必修《利用函数性 质判定 方程解 的存在 》教学 课件1
• 课堂练习： • 1、判断方程x3-x=0在[-2，2]上是否有解。 • 2、判断方程x3+x=0 在（-∞，0）上是否
有解。 • 3、利用函数增长的快慢判断方程x3=2x是
否有解。
北师大版高中数学必修《利用函数性 质判定 方程解 的存在 》教学 课件1
• 思考： 如何判定函数f(x)在区间(a,b)上有唯一零点？
解决办法： 在原有判断方法的基础上：加入区间(a,b) 上的单调性即可。
北师大版高中数学必修《利用函数性 质判定 方程解 的存在 》教学 课件1
• 例1：判定方程3x-x2=0在（-1,0）上是 否有解。
• 例2：判定方程x3+2x+1=0在区间(-2,3)上是 否有解？
• 练习： • 你能从函数y=f(x)图像中找到函数零点吗？
函数y=f(x)零点为：-1,1,3
北师大版高中数学必修《利用函数性 质判定 方程解 的存在 》教学 课件1
• 观察上述三个函数图像中零点附近的图像 你能得什么结论吗？
结论： 1、零点附近的图像是从上到下或者从下到上地穿过x轴。
（零点个数即函数交点个数） 2、零点两侧的附近区间内自变量x对应的函数值一正一 负。（即f(a)f(b)﹤0） 3、此类零点称为变号零点。
Y= lg x
Y= 2
01
x
从图可得：方程 lg x 2 0 在(0,1)和(1,+∞)上各有一解。 小结： ①函数图象与x轴交点的横坐标叫做函数的零点，即
函数的零点为对应方程的解。 ②利用函数图像判断方程的解更加直观。 ③数形结合思想的应用。 ④发散思维一题多解。
北师大版高中数学必修《利用函数性 质判定 方程解 的存在 》教学 课件1
• 课堂练习： • 1、判断方程x3-x=0在[-2，2]上是否有解。 • 2、判断方程x3+x=0 在（-∞，0）上是否
有解。 • 3、利用函数增长的快慢判断方程x3=2x是
否有解。
北师大版高中数学必修《利用函数性 质判定 方程解 的存在 》教学 课件1
• 思考： 如何判定函数f(x)在区间(a,b)上有唯一零点？
解决办法： 在原有判断方法的基础上：加入区间(a,b) 上的单调性即可。
北师大版高中数学必修《利用函数性 质判定 方程解 的存在 》教学 课件1
• 例1：判定方程3x-x2=0在（-1,0）上是 否有解。
• 例2：判定方程x3+2x+1=0在区间(-2,3)上是 否有解？
• 练习： • 你能从函数y=f(x)图像中找到函数零点吗？
函数y=f(x)零点为：-1,1,3
北师大版高中数学必修《利用函数性 质判定 方程解 的存在 》教学 课件1
• 观察上述三个函数图像中零点附近的图像 你能得什么结论吗？
结论： 1、零点附近的图像是从上到下或者从下到上地穿过x轴。
（零点个数即函数交点个数） 2、零点两侧的附近区间内自变量x对应的函数值一正一 负。（即f(a)f(b)﹤0） 3、此类零点称为变号零点。
北师大版高中数学必修《利用函数性质判定方程解的存在》课堂课件1
北师大版高中数学必修《利用函数性 质判定 方程解 的存在 》课堂 课件1
说 明
①图像连续。
y
例f (x) 1 , x 2,1
x
f 2 0 f 1 0
②但区没间有的零“点闭”与“开”.“闭2”是0为f了1(a保) 证f (b)x ,
值的存在性，“开”是为了强调零点在区间的 内部.
③该定理只是指出了方程解的存在性，不 能确定解的个数
g(3) 6 0, g(0) 6 0 g ( x) 的图像是连续的，在区间（-3,0）之间
f (x)的图像是连续的，在区间（0,1）之间
存在零点
存在零点
g(0) 6 0, g(4) 6 0
f
(
x)的图像在[a,b]上是连续的，若 在零点
f
(ag)(xf)的(b图) 像0是连在续区的间，（在a,区b）间之（间0,存4）之间 存在零点
1
函数 y 3x的图像与函数y x2的
图像在区间-1,0内有交点
1 a 0
x
北师大版高中数学必修《利用函数性 质判定 方程解 的存在 》课堂 课件1
变式：
若 f (x) 3x x2.问：方程 f (x) 0 在区间 -1,4内有
没有实数解？
分析：f (1) 0 ，f (4) 0不符合定理条件，但我们
A.至少一个 B.至多一个 C.只有一个ห้องสมุดไป่ตู้D.不能确定
y
y
y
b
0
x
0a
m
x
0
x
0
0
北师大版高中数学必修《利用函数性 质判定 方程解 的存在 》课堂 课件1
所以满足定理条件，则函数 y f (x)在区间
a,b 必有零点，若不满足条件也可能存在
高中数学必修一北师大版本《5.1.1 利用函数性质判定方程解的存在性》教学课件
状元随笔 (1)一个函数 y＝f(x)在区间(a，b) 上有零点必须同 时满足：①函数 f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线； ②f(a)·f(b)<0.这两个条件缺一不可．可从函数 y＝1x来理解，易知 f(－ 1)·f(1)＝－1×1<0，但显然 y＝1x在(－1,1) 上没有零点．
题型二 函数零点个数的判断——师生共研
例 1 (1)函数 f(x)＝ln x－x－1 1的零点个数是(
)
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：(1)由 f(x)＝ln x－x－1 1＝0 得 ln x＝x－1 1，在同一坐标系 中画出 y＝ln x 与 y＝x－1 1的图象，如图所示，函数 y＝ln x 与 y＝x－1 1 的图象有两个交点，所以函数 f(x)＝ln x－x－1 1的零点个数为 2.
解析：∵f(x)＝log3x－8＋2x， ∴f(1)＝log31－8＋2＝－6<0， f(2)＝log32－8＋4<0， f(3)＝log33－8＋6＝－1<0， f(4)＝log34>0， f(5)＝log35＋2>0， f(6)＝log36＋4>0， ∴f(3)·f(4)<0，
又函数 f(x)＝log3x－8＋2x 的图象是连续的． ∴函数 f(x)的零点所在区间是(3,4)．
答案：(1)B
(2)若函数 f(x)＝24ax2＋4x－1 在区间(－1,1)上恰有一个零点，
则实数 a 的取值范围是( )
A.－18，254
B.－18，254∪－16
C.－18，0∪0，D.－16
解析：(2)∵f(x)＝24ax2＋4x－1， ∴f(0)＝－1≠0，x＝0 不是函数的零点． ∴当 x≠0 时，由 f(x)＝24ax2＋4x－1＝0. 得 a＝12－4x42x＝2141x2－16·1x＝2141x－22－16. 令 t＝1x，则 t∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)， 令 g(t)＝214(t－2)2－16， 则 g(－1)＝254，g(1)＝－18，g(2)＝－16.
北师大版高中数学必修《利用函数性质判定方程解的存在演示课件1
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上
的图像是连续曲线，并且有 f(a)·f(b)<0,那么，函数y=f(x)在 区间 (a,b) 内至少有一个零点.
1 .正确使用定理，需满足什么条件？若不满足会如何？ 2.定理中的至少有一个是什么意思？ 3 .若 f(a)·f(b)>0 ，则函数在区间（a,b）内一定没有零点吗？ 4.给定理再加一个什么条件就能保证函数有唯一零点？
例2 已知函 f(x数 )3xx2,问方f程 (x)0
在区[间 1,0]内有没有实数解？
北师大版 高中数 学必修 《利用 函数性 质判定 方程解 的存在 演示课 件1（公 开课课 件）
北师大版 高中数 学必修 《利用 函数性 质判定 方程解 的存在 演示课 件1（公 开课课 件）
课堂练习
1.函数f (x) ln x 1的零点所在区间为( A ) x
北师大版高中数学必修1 第四章 函数应用
1.1利用函数性质判定 方程解的存在
思考：下列方程有解吗？
问
x1 0 x2 3x 2 0
题
x3 3x 2 0
引
3x x2 0
入
lg x 1 0
x
利用函数性质判定方程解的存在
新
知
探究一：方程的解和相应函数有什么关系？
探
f (x)0 与 y f(x)
将河流抽象为x轴，将小马前后的两个位置抽象 为函数y=f(x)图像上两点A和B。
问题1： A、B两点与x轴满足怎样的关系时它们之间 的函数图像与x轴一定会有交点？此时A、B两 点的纵坐标满足什么条件呢？
y A（a,f(a))
f(a)·f(b)<0
y A（a,f(a)) B（b,f(b))
北师大版高中数学必修1第5章1.1利用函数性质判断方程解的存在性课件
（2,0）
x1 2 x2 3 （2,0）（ 3,0）
利用函数性质判断方程解的存在性 复习回顾 | 新知讲授 | 典型例题 | 课堂小结 | 课后作业
函数零点：函数y f x 的图象与 x 轴的交点的横坐标，称为这个函数的零点.
方程
2x 4 0
x2 x 6 0
函数
f x =2x 4
（1）f a f b 0 （2）函数 y f x在区间a,b连续
y f(4)=6 C x
f(0)=-6
利用函数性质判断方程解的存在性 复习回顾 | 新知讲授 | 典型例题 | 课堂小结 | 课后作业
函数零点存在定理：
若函数 y f x满足：
①在闭区间 a,b上的图像是连续曲线，
②并且在区间端点处的函数值符号相反，即f a f b 0 ，则在开 区间 a,b 内，函数 y f x 至少有一个零点，即在开区间 a,b 内相 应的方程 f x 0在内至少有一个实数解.
解：易得 f 0 6, f 4 14 0, f 4 6 0, 所以在区间 0，4内必有一点 x1,使得 f x1 =0; 且函数 f x是连续的曲线， 同理，在区间 -4,0内必有一点 x2,使f x2 0.
f(-4)=14 A
启示思考：
在怎样的条件下，函数 y f x 在区间 a,b 上一定有零点？
内是一条连续曲线，所以由零点
存在定理可知方程 f x 0 在区间1,0
内有解，即3x x2 0 在区间1,0 内有实数解.
函数零点存在定理
利用函数性质判断方程解的存在性 复习回顾 | 新知讲授 | 典型例题 | 课堂小结 | 课后作业
例2 方程3x x2 0 在区间1,0内有没有实数解，为什么？
f x x2 x 6
x1 2 x2 3 （2,0）（ 3,0）
利用函数性质判断方程解的存在性 复习回顾 | 新知讲授 | 典型例题 | 课堂小结 | 课后作业
函数零点：函数y f x 的图象与 x 轴的交点的横坐标，称为这个函数的零点.
方程
2x 4 0
x2 x 6 0
函数
f x =2x 4
（1）f a f b 0 （2）函数 y f x在区间a,b连续
y f(4)=6 C x
f(0)=-6
利用函数性质判断方程解的存在性 复习回顾 | 新知讲授 | 典型例题 | 课堂小结 | 课后作业
函数零点存在定理：
若函数 y f x满足：
①在闭区间 a,b上的图像是连续曲线，
②并且在区间端点处的函数值符号相反，即f a f b 0 ，则在开 区间 a,b 内，函数 y f x 至少有一个零点，即在开区间 a,b 内相 应的方程 f x 0在内至少有一个实数解.
解：易得 f 0 6, f 4 14 0, f 4 6 0, 所以在区间 0，4内必有一点 x1,使得 f x1 =0; 且函数 f x是连续的曲线， 同理，在区间 -4,0内必有一点 x2,使f x2 0.
f(-4)=14 A
启示思考：
在怎样的条件下，函数 y f x 在区间 a,b 上一定有零点？
内是一条连续曲线，所以由零点
存在定理可知方程 f x 0 在区间1,0
内有解，即3x x2 0 在区间1,0 内有实数解.
函数零点存在定理
利用函数性质判断方程解的存在性 复习回顾 | 新知讲授 | 典型例题 | 课堂小结 | 课后作业
例2 方程3x x2 0 在区间1,0内有没有实数解，为什么？
f x x2 x 6
北师大版高中数学必修一利用函数性质判定方程解的存在课件1
§ 1.1利用函数性质判断方程解 的存在
本节课需要解决的问题：
1、给定一个方程如何判断它有无根 2、若有根能否确定根所在的范围
观察与思考
给定的二次函数 y＝x2＋2x－3，其图像如下：
y
-3 -1 0 1
问题1：函数的图像与x轴的交点是什么？ 交点为(－3,0)，(1,0)．
问题2：方程 x2 +2x-3 0 的根是
x
实践应用
方程
的根是函数
与 轴交点的横坐标
二、判断函数零点的个数 观察二次函数
的图像:
问题3：由问题1与问题2 你有什么发现？
所以
在区间
内有零点，
f ( x) 2 lg( x 1) 2 [例2] 求函数 （2）函数零点存在性的判断——零点存在定理
x
(2) 此定理只能判断出零点的存在性，而不能判断出零点的个数
即
，则在区间 内，函数 至少有一个零点，即相应的方程
在区间 内
本节课需要解决的问题： 问：方程
在故区间方程 内f有(没x)有实数0解有？且为什只么？有一个实数解
即函数 仅有一个零点
函数 方程
在区间 有实数解
内有一零即点 函数 f (x) 仅有一个零点
f ( x) (0, 2) 并且在区间端点的函数值符号相反，即
，则在区间 内，函数 至少有一个零点，即相应的方程
在区间 内
即在区间
内有实数解 由零点存在性定理知
在区间
上必定存在零点
给定的二次函数 y＝x2＋2x－3，其图像如下：
又易知 ① 函数在闭区间上的图像是连续曲线
观察二次函数
的图像:
f (x)
什么？
x
方程的根为－3,1.
本节课需要解决的问题：
1、给定一个方程如何判断它有无根 2、若有根能否确定根所在的范围
观察与思考
给定的二次函数 y＝x2＋2x－3，其图像如下：
y
-3 -1 0 1
问题1：函数的图像与x轴的交点是什么？ 交点为(－3,0)，(1,0)．
问题2：方程 x2 +2x-3 0 的根是
x
实践应用
方程
的根是函数
与 轴交点的横坐标
二、判断函数零点的个数 观察二次函数
的图像:
问题3：由问题1与问题2 你有什么发现？
所以
在区间
内有零点，
f ( x) 2 lg( x 1) 2 [例2] 求函数 （2）函数零点存在性的判断——零点存在定理
x
(2) 此定理只能判断出零点的存在性，而不能判断出零点的个数
即
，则在区间 内，函数 至少有一个零点，即相应的方程
在区间 内
本节课需要解决的问题： 问：方程
在故区间方程 内f有(没x)有实数0解有？且为什只么？有一个实数解
即函数 仅有一个零点
函数 方程
在区间 有实数解
内有一零即点 函数 f (x) 仅有一个零点
f ( x) (0, 2) 并且在区间端点的函数值符号相反，即
，则在区间 内，函数 至少有一个零点，即相应的方程
在区间 内
即在区间
内有实数解 由零点存在性定理知
在区间
上必定存在零点
给定的二次函数 y＝x2＋2x－3，其图像如下：
又易知 ① 函数在闭区间上的图像是连续曲线
观察二次函数
的图像:
f (x)
什么？
x
方程的根为－3,1.
新教材高中数学第五章利用函数性质判定方程解的存在性同步pptx课件北师大版必修第一册
即函数f(x)的零点为-1和2.
(2)要使f(x)有零点,则方程x2-x-2a=0有解,即Δ=1+8a≥0,
解得a≥- ,1所以a的取值范围是a≥- . 1
8
8
2
因为函数f(x)=2x- 1 的图象是一条连续的曲线,
x
所以由函数零点存在定理可知零点所在区间为 (1，1. )
2
3.(教材二次开发:练习改编)下列图象表示的函数中没有零点的是( )
【解析】选A.因为B,C,D的图象均与x轴有交点,故函数均有零点,A的图象与x轴 没有交点,故函数没有零点.
4.函数f(x)=2x+x-2有
【思考】 函数零点存在定理要求具备哪些条件? 提示:定理要求具备两个条件:①函数在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲 线;②f(a)·f(b)<0.
【基础小测】 1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”). (1)任何函数都有零点. ( ) (2) 若f(a)·f(b) >0,则f(x)在[a,b]内无零点. ( ) (3)若函数y=f(x)在区间(a,b)上有零点,则一定有f(a)·f(b)<0. ( )
角度1 图象法求函数零点的个数
【典例】判断函数f(x)=ln x+x2-3的零点的个数为
()
A.1 B.2 C.3 D.4
【思路导引】将原函数转化为两个函数y=ln x与y=3-x2,在同一平面直角坐标系
中作出两个函数的图象,根据函数图象交点的个数得出原函数零点的个数.
【变式探究】 将典例中函数改为y=a|x|-|logax|(0<a<1),那么答案选择哪一个呢?
2.函数y=2x-1的零点是 ( )
A. 1
B.( 1 ，0)
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§ 1.1利用函数性质判断方程解 的存在
本节课需要解决的问题：
1、给定一个方程如何判断它有无根 2、若有根能否确定根所在的范围
观察与思考
给定的二次函数 y＝x2＋2x－3，其图像如下：
y
-3 -1 0 1
问题1：函数的图像与x轴的交点是什么？ 交点为(－3,0)，(1,0)．
问题2：方程 x2 +2x-3 0 的根是
y
高中数学北师大版必修教材《利用函 数性质 判定方 程解的 存在》 导学课 件1（公 开课课 件）
2 1
- -1 0 1 2 3 4 x
2
－1
－2
－3 －4
注：
（1）此定理的两个条件 ① 函数在闭区间上的图像是连续曲线
② f (a) f (b) 0
缺一不可
(2) 此定理只能判断出零点的存在性，而不能判断出
所以 f (x) 在区间 [1, 0]内有零点，
即在区间 [1, 0] 内有实数解
高中数学北师大版必修教材《利用函 数性质 判定方 程解的 存在》 导学课 件1（公 开课课 件）
巩固提升 练习1
函数 y lg x 9 的零点所在的大致区间是 （ D ） x
A.(6,7) B.(7,8) C.(8,9) D.(9,10)
零a点的个数
b
a
b
a
b
a
b
实践应用
一、判断零点所在的区间
[例1] 已知函数 f (x) 3x x2 .问：方程 在区间 [1, 0]内有没有实数解？为什么？
解 因为
f (1) 31 (1)2 2 0, 3
f (0) 30 02 1 0
f (x) 0
函数 f (x) 3x x2 图像是连续曲线，
函数 y f (x)零点
知识探究
函数零点存在性的判断
观察二次函数 f (x) x2 2x 3的图像:
y
f (2) 0, f (1) 0
2 1
-2 -1 0 1
－1 －2 －3 －4
234
函数 f (x) 在区间 (2,1) 内有一零点
f (2) 0, f (4) 0
x
函数 f (x) 在区间 (2, 4) 内有一零点
高中数学北师大版必修教材《利用函 数性质 判定方 程解的 存在》 导学课 件1（公 开课课 件）
课堂小结
（1）方程的根与相应函数的关系 （2）函数零点存在性的判断——零点存在定理
P119 习题4-1 A组 1 , 2 , 4
作业
高中数学北师大版必修教材《利用函 数性质 判定方 程解的 存在》 导学课 件1（公 开课课 件）
解析：
f (6) lg 6 9 0 6
f (8) lg 8 9 0 8
f (10) lg10 9 0 10
f (6) f (7) 0
f (7) lg 7 9 0 7
f (9) lg 9 1 0
f (7) f (8) 0
高中数学北师大版必修教材《利用函 数性质 判定方 程解的 存在》 导学课 件1（公 开课课 件）
f (8) f (9) 0
f (9) f (10) 0 Nhomakorabeay lg x 9 在区间 (9,10) 上有零点
x
高中数学北师大版必修教材《利用函 数性质 判定方 程解的 存在》 导学课 件1（公 开课课 件）
实践应用
二、判断函数零点的个数
[例2] 求函数 f (x) 2x lg(x 1) 2 零点的个数.
什么？
x
方程的根为－3,1.
问题3：由问题1与问题2 你有什么发现？
方程 f (x) 0 的根是函数 y f (x)
与 x 轴交点的横坐标
知识探究
函数的零点
我们把函数 y f (x) 的图像与横轴的 交点的横坐标 称为这
个函数的零点.
几个等价关系：
方程 f (x) 0 有实数解
函数 y f (x)的图像与 x 轴有交点
高中数学北师大版必修教材《利用函 数性质 判定方 程解的 存在》 导学课 件1（公 开课课 件）
知识探究
零点存在定理:
若函数 y f (x)在区间[a,b] 上的图像是 连 续曲线 ，
并且在区间端点的函数值符号相反，即 f (a) f (b) 0 ，
则在区间 (a,b) 内，函数 y f (x) 至少有一个零点，即相 应的方程 f (x) 0 在区间 (a, b) 内至少有一个实数解.
解：
f (0) 1 0 2 1 0, f (2) 4 lg 3 2>0
由零点存在性定理知 f (x) 在区间 (0, 2) 上必定存在零点
又易知 f (x) 在定义域内单调递增 故方程 f (x) 0 有且只有一个实数解 即函数 f (x) 仅有一个零点
高中数学北师大版必修教材《利用函 数性质 判定方 程解的 存在》 导学课 件1（公 开课课 件）
本节课需要解决的问题：
1、给定一个方程如何判断它有无根 2、若有根能否确定根所在的范围
观察与思考
给定的二次函数 y＝x2＋2x－3，其图像如下：
y
-3 -1 0 1
问题1：函数的图像与x轴的交点是什么？ 交点为(－3,0)，(1,0)．
问题2：方程 x2 +2x-3 0 的根是
y
高中数学北师大版必修教材《利用函 数性质 判定方 程解的 存在》 导学课 件1（公 开课课 件）
2 1
- -1 0 1 2 3 4 x
2
－1
－2
－3 －4
注：
（1）此定理的两个条件 ① 函数在闭区间上的图像是连续曲线
② f (a) f (b) 0
缺一不可
(2) 此定理只能判断出零点的存在性，而不能判断出
所以 f (x) 在区间 [1, 0]内有零点，
即在区间 [1, 0] 内有实数解
高中数学北师大版必修教材《利用函 数性质 判定方 程解的 存在》 导学课 件1（公 开课课 件）
巩固提升 练习1
函数 y lg x 9 的零点所在的大致区间是 （ D ） x
A.(6,7) B.(7,8) C.(8,9) D.(9,10)
零a点的个数
b
a
b
a
b
a
b
实践应用
一、判断零点所在的区间
[例1] 已知函数 f (x) 3x x2 .问：方程 在区间 [1, 0]内有没有实数解？为什么？
解 因为
f (1) 31 (1)2 2 0, 3
f (0) 30 02 1 0
f (x) 0
函数 f (x) 3x x2 图像是连续曲线，
函数 y f (x)零点
知识探究
函数零点存在性的判断
观察二次函数 f (x) x2 2x 3的图像:
y
f (2) 0, f (1) 0
2 1
-2 -1 0 1
－1 －2 －3 －4
234
函数 f (x) 在区间 (2,1) 内有一零点
f (2) 0, f (4) 0
x
函数 f (x) 在区间 (2, 4) 内有一零点
高中数学北师大版必修教材《利用函 数性质 判定方 程解的 存在》 导学课 件1（公 开课课 件）
课堂小结
（1）方程的根与相应函数的关系 （2）函数零点存在性的判断——零点存在定理
P119 习题4-1 A组 1 , 2 , 4
作业
高中数学北师大版必修教材《利用函 数性质 判定方 程解的 存在》 导学课 件1（公 开课课 件）
解析：
f (6) lg 6 9 0 6
f (8) lg 8 9 0 8
f (10) lg10 9 0 10
f (6) f (7) 0
f (7) lg 7 9 0 7
f (9) lg 9 1 0
f (7) f (8) 0
高中数学北师大版必修教材《利用函 数性质 判定方 程解的 存在》 导学课 件1（公 开课课 件）
f (8) f (9) 0
f (9) f (10) 0 Nhomakorabeay lg x 9 在区间 (9,10) 上有零点
x
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实践应用
二、判断函数零点的个数
[例2] 求函数 f (x) 2x lg(x 1) 2 零点的个数.
什么？
x
方程的根为－3,1.
问题3：由问题1与问题2 你有什么发现？
方程 f (x) 0 的根是函数 y f (x)
与 x 轴交点的横坐标
知识探究
函数的零点
我们把函数 y f (x) 的图像与横轴的 交点的横坐标 称为这
个函数的零点.
几个等价关系：
方程 f (x) 0 有实数解
函数 y f (x)的图像与 x 轴有交点
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知识探究
零点存在定理:
若函数 y f (x)在区间[a,b] 上的图像是 连 续曲线 ，
并且在区间端点的函数值符号相反，即 f (a) f (b) 0 ，
则在区间 (a,b) 内，函数 y f (x) 至少有一个零点，即相 应的方程 f (x) 0 在区间 (a, b) 内至少有一个实数解.
解：
f (0) 1 0 2 1 0, f (2) 4 lg 3 2>0
由零点存在性定理知 f (x) 在区间 (0, 2) 上必定存在零点
又易知 f (x) 在定义域内单调递增 故方程 f (x) 0 有且只有一个实数解 即函数 f (x) 仅有一个零点
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