多边形和正多边形镶嵌一对一辅导讲义(20200919163720)
沪科版八下数学第19章：1综合与实践多边形的镶嵌教学课件
使地面密铺，小芳应选择另一种形状的地砖是( B )
导引：
知3－讲
A、正八边形、正三角形的每个内角度数分别为135°，60°，
显然不能构成360°，故不能密铺；B、正方形、正八边形的
每个内角度数分别为90°，135°，由于135°×2＋90°＝360°，
1. 平面镶嵌的原则：环绕一点拼在一起的多边形的 内角加在一起恰好组成一个周角．
2. 平面镶嵌的常用方法： (1)只用一种正多边形； (2)同时用两种正多边形； (3)用非正多边形．
知2－讲
例1 〈六盘水〉下列图形中，单独选用一种图形不能
进行平面镶嵌的是( D )
A．正三角形
B．正六边形
C．正方形
1
y＋y＝360°，即2y－x＝180°，得y＝ x＋290°.
总结
知3－讲
此题主要考查了菱形的性质和平面镶嵌的知 识，得出∠ADC＋∠CDB＋∠ADB＝360°是解决 问题的关键．
1 能够铺满地面的正多边形的组合是( B )
(1)正三角形与正方形；
(2)正五边形与正十边形；
(3)正六边形与正三角形．
A．(1)(2)
B．(1)(3)
C．(2)(3)
D．(1)(2)(3)
知3－练
知3－练
2 利用边长相等的正三角形和正六边形的地砖镶嵌 (密铺)地面时，若在每个顶点周围有a块正三角形和
b块正六边形的地砖(a，b≠0)，则a＋b的值为
( B) A．3或4
B．4或5
C．5或6
D．4
1. 用相同的正多边形镶嵌的条件： (1)边长要相等； (2)有公共顶点； (3)在公共顶点处各内角的和为360°.
第2课时多边形内角和定理;镶嵌
第七章三角形第7课时多边形内角和定理；镶嵌本节内容是多边形及内角和，镶嵌等，由三角形的有关概念推广介绍了多边形的有关概念，利用三角形的有关性质研究了多边形的内角和、外角和公式。
这些知识加深了学生对三角形的认识，既是学习特殊三角形的基础，也是研究其它图形的基础。
最后结合实例研究了镶嵌的有关问题，体现了多边形内角和公式在实际生活中的应用. 多边形的有关概念（边、内角、外角、对角线、正多边形）探索并了解多边形的内角和、外角和公式。
通过探索平面图形的镶嵌，知道任意一个三角形、四边形或正六边形可以镶嵌平面，并能运用这几种图形进行简单的镶嵌设计。
镶嵌是重点；简单的平面镶嵌设计是难点点击一：多边形及其相关的概念1．多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.理解多边形的概念应注意两点：①在平面内，②线段首尾顺次连接.如图1，是一个多边形，这是一个六边形.如果一个多边形由n条线段组成，那么这个多边形就叫做n边形.图1 图22．正多边形：在平面内，各个内角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形.一个多边形是正多边形应具备两个条件：①各个内角大小相等；②每条边长度一样.3．多边形的内角：多边形相邻两条边组成的角叫做多边形的内角.如图1，∠A、∠B、∠C、∠D、∠E、∠F是六边形的6个内角.多边形内角的个数与边数相等.4．多边形的内角和：多边形所有的内角的和叫做多边形的内角和.如图1中的内角和为∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F.5．多边形的外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.如图2，延长CD，则∠EDG是六边形的一个外角.在多边形的一个顶点处可画出两个外角.6．多边形的外角和：在多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和.如图3，六边形的外角和为∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6.7．多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线.连接n边形的一个顶点和其它不相邻的各顶点，可得(n-3)条对角线.如图4，线段AC、AD、AE是六边形ABCDEF的三条对角线.图3 图4点击二：理解内角和公式的推导以及外角和的推导1.多边形内角和公式的推导多边形的内角和公式(n-2)·180°的推导是将多边形分割为三角形,将多边形的内角和转化为我们熟悉的三角形的内角和来解决的.这里体现一种转化思想.常见的推导方法有三种:(1) 从一个顶点出发引n 边形的(n-3)条对角线,把n 边形分割成(n-2)个三角形,则这(n-2)个三角形的内角和就是n 边形的内角和,从而得到n 边形的内角和为(n-2)·180°.(2)在n 边形内任意取一点,然后把这一点与各顶点连接,将n 边形分割成n 个三角形,这n 个三角形的内角和比n 边形的内角和多出了一个周角360°,所以n 边形的内角和为n ×180°-360°=(n-2)·180°.(3)在n 边形的一边上取一点,把这点与多边形的个顶点连接,把n 边形分割成(n-1)个三角形,这(n-1)个三角形的内角的和比n 边形的内角的和多出了一个平角即180°,所以n 边形的内角和是(n-1)×180°-180°=(n-2)·180°.2.多边形外角和的推导n 边形的任何一个外角加上与它相邻的内角都等于180 ,n 边形的n 个外角连同它们各自相邻的内角，共有2n 个角，这些角的总和为n ·180°.这些总和就是n 边形的外角和加上内角和，所以外角和等于总和减去内角和，即外角和等于n ·180°-(n-2)·180°=2×180°=360°.需注意的几个问题：1.利用多边形的内角和公式(n-2)·180°,当知道n 的值时可以直接求出n 边形的内角和；当知道内角和时,可以根据公式构造方程,通过解方程求到边数,注意方程思想的应用.2.对于多边形的外角和360°,应注意理解多边形的外角和与边数无关；解决多边形问题常把内角问题转化为外角问题解决,注意转化思想的应用.针对练习：1.. 在平面内由不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接围成的图形叫做 ，n 边形有 条边， 个顶点， 个内角．2.. 如图，是 边形，它的边是 ，顶点是 ，内角是 ，过A 点作出这个多边形的所有对角线，分别为 ．3. 如图，下面四边形的表示方法：①四边形ABCD ；②四边形ACBD ；③四边形ABDC ；④四边形ADCB ．其中正确的有 （ ）Ａ．1种 Ｂ．2种 Ｃ．3种 Ｄ．4种4. 四边形没有稳定性，当四边形形状改变时，发生变化的是 （ ）Ａ．四边形的边长 Ｂ．四边形的周长Ｃ．四边形的某些角的大小 Ｄ．四边形的内角和5. 由一些线段首尾顺次相接的图形叫做多边形，如果延长多边形的任一条边，整个多边形都在这条延长线的一侧，那么这样的多边形称为凸多边形，请根据上面定义判断下列图中不是凸多边形的是A B CD EF AB C D（ ）6. 一个七边形的内角和等于 ，十边形的内角和等于 ，n 边形(3)n ≥的内角和等于 ．7. 一个多边形的内角和等于1440°，则它的边数为 ．8. 一个八边形，它的内角都相等，则每个内角的度数都等于 ．9. 一个多边形的每一个内角都等于144°，求这个多边形的边数．10. 若一个四边形的四个内角度数的比为3:4:5:6，则这个四边形的四个内角的度数分别为 ．11. 七边形的六个内角都等于130°，则第七个角的度数为 ．12. 若八边形的每个内角都相等，则其每个内角是 ．13. 如果一个四边形的四个内角之比是2:2:3:5，那么这个四边形的四个内角中 （ ）Ａ．只有一个直角 Ｂ．只有一个锐角 Ｃ．有两个直角 Ｄ．一个锐角一个直角14. 四边形ABCD ，A ∠，B ∠，C ∠，D ∠的度数比为2:3:4:3，则D ∠等于（ ） Ａ．60° Ｂ．75° Ｃ．90° Ｄ．120°15. 四边形ABCD 中，如果280A C D ∠+∠+∠=︒，则B ∠=（ ）Ａ．20° Ｂ．90° Ｃ．170° Ｄ．80°16. 当一个多边形的边数增加2时，它的内角和增加 度．17. 如果一个多边形的边数增加一倍，它的内角和是2160°，那么原来多边形的边数是（ ）Ａ．5 Ｂ．6 Ｃ．7 Ｄ．818. 一个多边形的内角和不可能是 （ ）Ａ．1800° Ｂ．540° Ｃ．720° Ｄ．810°19. 一个多边形除了一个内角之外，其余各角的和为2750°，则这个内角是 （ ）Ａ．130° Ｂ．140° Ｃ．155° Ｄ．120°20. 四边形的四个内角 （ ）Ａ．可以都是锐角 Ｂ．可以都是钝角Ｃ．可以都是直角 Ｄ．必须有两个锐角21. 一个四边形中锐角最多有 （ ）Ａ．1个 Ｂ．2个 Ｃ．3个 Ｄ．4个22. 已知两个多边形的内角和为1800°，且两多边形的边数之比为2:5，求这两个多边形的边数．23. 多边形边数增加1条时，其内角和增加 ．24. 一个多边形截去一个角后，变为16边形，则原来的多边形的边数为 （ ）Ａ．15或17 Ｂ．16或17 Ｃ．16或18 Ｄ．15或16或17答案：1：多边形，n ，n ，n ．2：六边形；AB ，BC ，CD ，DE ，EF ，AF ；点A ，B ，C ，D，E ，F；A ∠，B ∠，C ∠，D ∠，E ∠，F ∠；AC ，AD ，AE ．3：Ｂ．4：Ｃ．5：Ａ．6：900︒；1440︒；(2)180n -︒．7：十．8：135°．9：设这个多边形的边数为nＡ Ｂ Ｃ Ｄ(2)180144n n -︒=⨯︒180144360n n ︒-︒=︒(180144)360n ︒-︒=︒10n =10：60°，80°，100°，120°．11：120°．12：135°．13：Ａ．14：Ｃ．15：Ｄ．16：360．17：Ｃ．18：Ｄ．19：Ａ．20：Ｃ．21：Ｃ．22：设两多边形的边数为2n 和5n ，则它们的内角和分别为(22)180n -︒，(52)180n -︒则(22)180(52)1801800n n -︒+-︒=︒解得2n =，24n =，510n =因此这两个多边形分别为四边形和十边形．23：180°．24：Ｄ．点击三：多边形镶嵌用形状相同或不同的平面封闭图形，把一块地面既无缝隙、又不重叠地全部覆盖，叫做平面镶嵌，也叫做密铺。
多边形及其内角和(1对1辅导精品)
多边形及其内角和一、知识点总结边形的内角和等于180°（n-2）。
360°。
边形的对角线条数等于1/2·n（n-3）3、4、6/。
拼成360度的角：3、4。
1、多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.（1）多边形的一些要素：边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n边形有n个内角。
外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。
（2）在定义中应注意：①一些线段（多边形的边数是大于等于3的正整数）；②首尾顺次相连，二者缺一不可;③理解时要特别注意“在同一平面内”这个条件,其目的是为了排除几个点不共面的情况,即空间多边形.2、多边形的分类:(1)多边形可分为凸多边形和凹多边形，画出多边形的任何一条边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，则此多边形为凸多边形，反之为凹多边形（见图1）.本章所讲的多边形都是指凸多边形.凸多边形凹多边形图1(2)多边形通常还以边数命名，多边形有n条边就叫做n边形．三角形、四边形都属于多边形，其中三角形是边数最少的多边形．知识点二：正多边形各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形。
如正三角形、正方形、正五边形等。
正三角形正方形正五边形正六边形正十二边形要点诠释：各角相等、各边也相等是正多边形的必备条件，二者缺一不可. 如四条边都相等的四边形不一定是正方形，四个角都相等的四边形也不一定是正方形，只有满足四边都相等且四个角也都相等的四边形才是正方形知识点三：多边形的对角线多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线. 如图2，BD为四边形ABCD的一条对角线。
要点诠释：(1)从n边形一个顶点可以引(n－3)条对角线，将多边形分成(n－2)个三角形。
(2)n边形共有条对角线。
证明：过一个顶点有n－3条对角线(n≥3的正整数)，又∵共有n个顶点，∴共有n(n-3)条对角线，但过两个不相邻顶点的对角线重复了一次，∴凸n边形，共有条对角线。
正多边形的镶嵌知识介绍
正多边形的镶嵌知识介绍浙江省定海五中薛晓波在镶嵌问题中最常见的，在数学中考查最多是正多边的镶嵌，镶嵌的基本条件是即不留缝隙，又不互相重叠，下面对于正多边形的镶嵌进行介绍：一、一种正多边形的自镶嵌可能方案正三角形、正方形和正六边形是仅有的三种自镶嵌正多边形。
为什么正三角形、正方形、正六边形能够覆盖一个平面？因为过每一个正三角形顶点可安排六个正三角形，每个内角60°，共为360°。
过每一个正方形公共顶点的正方形有四个，每个正方形的每个内角为90°，4个90°正好是360°。
同样，过每个正六边形顶点有三个正六边形，每个内角为120°，三个内角正好为360°，由此可知，要使正多边形能覆盖平面，必须要求这个正多边形的内角度数能整除360°。
如图二、二种正多边形镶嵌可能方案如果这种镶嵌由二种正多边形，只要求同一种正多边形是有同样尺寸的。
那么怎样寻求其它种类的镶嵌方案呢？如果能实现平面的镶嵌，镶嵌图的每个顶点都必须是集中了几个正多边形的顶角。
于是在每一顶点集中的顶角刚好拼成一个圆周角。
由六种分别是一个正三角形和二个十二边形，为了方便说明记作（3，12，12），则六种分别为（3，12，12）（4，8，8）（5，5，10）（3，3，6，6）（3，3，3，4，4）（3，3，3，3，6）部分图案如图所示三、由三种正多边形镶嵌可能方案三种以上正多边形的镶嵌比用一种或二种要麻烦一点，虽然其图案的变化更多，但在生活中除了艺术设计，我们并不常见，下面对于三种正多边形镶嵌可能方案进行说明，经探究发现共有八种，分别是（3，7，42）（3，8，24）（3，9，18）（3，10，15）（4，5，20）（4，6，12）（3，3，4，12）（3，4，4，6）但在室内的墙纸或地板的实际操作时，如果光是用不同的正多边形来分割图案显得有点单调，因此常常考虑利用不同的颜色块，这样做可以使图案看上去更美妙。
1对1辅导教案--多边形
姓名学生姓名填写时间学科数学年级教材版本人教版阶段第（31 ）周观察期：□维护期：□上课时间课题名称多边形课时计划第（）次课共（）次课教学目标知识与技能：认识多边形，知道多边形的基本概念，理解多边形内角和与外角和的意义，知道其推导过程。
过程与方法：通过对三角形的学习，引出多边形的概念及各种问题的推导方法。
情感态度与价值观：培养学生图形意识和几何思想。
教学重点难点重点：多边形内角和外角和。
难点：正多边形外角和的应用。
教学过程三角形复习三角形的重要线段意义图形表示法三角形的高线从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线,顶点和垂足之间的线段三角形的中线三角形中,连结一个顶点和它对边中的线段三角形的角平分线三角形一个内角的平分线与它的对边相交,这个角顶点与交点之间的线段三角形内角和外角和：1．在平面内，由一些线段首位顺次相接组成的图形叫做多边形．如果一个多边形由n条线段组成，那么这个多边形叫做n边形．（一个多边形由几条线段组成，就叫做几边形．）2．多边形的边、顶点、内角和外角．多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角，多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角．3．多边形的对角线连接多边形的不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．让学生画出五边形的所有对角线．4．凸多边形与凹多边形在图（1）中，画出四边形ABCD的任何一条边所在的直线，整个图形都在这条直线的同一侧，这样的四边形叫做凸四边形，这样的多边形称为凸多边形；而图（2）就不满足上述凸多边形的特征，因为我们画BD所在直线，整个多边形不都在这条直线的同一侧，我们称它为凹多边形，今后我们在习题、练习中提到的多边形都是凸多边形．5．正多边形由正方形的特征出发，得出正多边形的概念．各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形．6、分割多边形，求内角和1．画出图（1）中的六边形ABCDEF的所有对角线．2．如图（2），O 为四边形ABCD 内一点，连接OA 、OB 、OC 、OD 可以得几个三角形？它与边数有何关系？ 3．如图（3），O 在五边形ABCDE 的AB 上，连接OC 、OD 、OE ，可以得到几个三角形？它与边数有何关系？ 4．如图（4），过A 作六边形ABCDEF 的对角线，可以得到几个三角形？它与边数有何关系？多边形内角和公式： .例 如图，在六边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做六边形的外角和．六边形的外角和等于多少？1234A BCDEF56多边形及其内角和基础过关作业1．四边形ABCD中，如果∠A+∠C+∠D=280°，则∠B的度数是（）A．80° B．90° C．170° D．20°2．一个多边形的内角和等于1080°，这个多边形的边数是（）A．9 B．8 C．7 D．63．内角和等于外角和2倍的多边形是（）A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形4．六边形的内角和等于_______度．5．正十边形的每一个内角的度数等于______，每一个外角的度数等于_______．6．如图，你能数出多少个不同的四边形？7．四边形的四个内角可以都是锐角吗？可以都是钝角吗？可以都是直角吗？•为什么？8．求下列图形中x的值：综合创新作业9．（综合题）已知：如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，BE平分∠ABC，•DF平分∠ADC．BE与DF有怎样的位置关系？为什么？10．（应用题）有10个城市进行篮球比赛，每个城市均派3个代表队参加比赛，规定同一城市间代表队不进行比赛，其他代表队都要比赛一场，问按此规定，•所有代表队要打多少场比赛？11．（创新题）如图，以五边形的每个顶点为圆心，以1为半径画圆，求圆与五边形重合的面积．12．（1）（2005年，南通）已知一个多边形的内角和为540°，则这个多边形为（） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形（2）（2005年，福建泉州）五边形的内角和等于_______度．13．（易错题）一个多边形的每一个顶点处取一个外角，这些外角中最多有钝角（• ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个培优作业14．（探究题）（1）四边形有几条对角线？五边形有几条对角线？六边形有几条对角线？……猜想并探索：n边形有几条对角线？（2）一个n边形的边数增加1，对角线增加多少条？15．（开放题）如果一个多边形的边数增加1，•那么这个多边形的内角和增加多少度？若将n边形的边数增加1倍，则它的内角和增加多少度？多边形的内角和与外角和练习一、判断题．1．由四条线段首尾顺次相接组成的图形叫四边形．（）2．由不在一直线上四条线段首尾次顺次相接组成的图形叫四边形．（） 3．由不在一直线上四条线段首尾顺次接组成的图形，且其中任何一条线段所在的直线、使整个图形都在这直线的同一侧，叫做四边形．（）4．在同一平面内，四条线段首尾顺次连接组成的图形叫四边形．（）二、填空题．1．连接多边形的线段，叫做多边形的对角线．2．多边形的任何所在的直线，整个多边形都在这条直线的，这样的多边形叫凸多边形．3．各个角，各条边的多边形，叫正多边形．三、解答题．一、判断题．1．当多边形边数增加时，它的内角和也随着增加．（）2．当多边形边数增加时．它的外角和也随着增加．（）3．三角形的外角和与一多边形的外角和相等．（）4．从n边形一个顶点出发，可以引出（n一2）条对角线，得到（n一2）个三角形．（）5．四边形的四个内角至少有一个角不小于直角．（）二、填空题．1．一个多边形的每一个外角都等于30°，则这个多边形为边形．2．一个多边形的每个内角都等于135°，则这个多边形为边形．3．内角和等于外角和的多边形是边形．4．内角和为1440°的多边形是．5．一个多边形的内角的度数从小到大排列时，恰好依次增加相同的度数，其中最小角为100°，最大的是140°，那么这个多边形是边形．6．若多边形内角和等于外角和的3倍，则这个多边形是边形．7．五边形的对角线有条，它们内角和为．8．一个多边形的内角和为4320°，则它的边数为．9．多边形每个内角都相等，内角和为720°，则它的每一个外角为．10．四边形的∠A、∠B、∠C、∠D的外角之比为1：2：3：4，那么∠A：∠B：∠C：∠D= ．11．四边形的四个内角中，直角最多有个，钝角最多有个，锐角最多有个．12．如果一个多边形的边数增加一条，那么这个多边形的内角和增加，外角和增加．三、选择题．1．多边形的每个外角与它相邻内角的关系是（）A．互为余角B．互为邻补角C．两个角相等D．外角大于内角2．若n边形每个内角都等于150°，那么这个n边形是（）A．九边形B．十边形C．十一边形D．十二边形3．一个多边形的内角和为720°，那么这个多边形的对角线条数为（）A．6条B．7条C．8条D．9条4．随着多边形的边数n的增加，它的外角和（）A．增加B．减小C．不变D．不定5．若多边形的外角和等于内角和的号，它的边数是（）A．3 B．4 C．5 D．76．一个多边形的内角和是1800°，那么这个多边形是（）A．五边形B．八边形C．十边形D．十二边形7．一个多边形每个内角为108°，则这个多边形（）A．四边形B，五边形C．六边形D．七边形8，一个多边形每个外角都是60°，这个多边形的外角和为（）A．180°B．360°C．720°D．1080°9．n边形的n个内角中锐角最多有（）个．A．1个B．2个C．3个D．4个10．多边形的内角和为它的外角和的4倍，这个多边形是（）A．八边形B．九边形C．十边形D，十一边形四、解答题．1．一个多边形少一个内角的度数和为2300°．（1）求它的边数；（2）求少的那个内角的度数．2．一个八边形每一个顶点可以引几条对角线？它共有多少条对角线？n边形呢？3．已知多边形的内角和为其外角和的5倍，求这个多边形的边数．4．若一个多边形每个外角都等于它相邻的内角的21，求这个多边形的边数．5．多边形的一个内角的外角与其余内角的和为600°，求这个多边形的边数．6．n 边形的内角和与外角和互比为13：2，求n ．7．五边形ABCDE 的各内角都相等，且AE ＝DE ，AD ∥CB 吗？8．将五边形砍去一个角，得到的是怎样的图形？9．四边形ABCD 中，∠A+∠B=210°，∠C ＝4∠D ．求：∠C 或∠D 的度数．10．在四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，∠DAC＝2∠BAC．求证：∠DBC＝2∠BDC．家庭作业一、填空：1、一个多边形的每一个外角等于40°，则此多边形是边形，它的内角和等于。
综合与实践多边形的镶嵌课件沪科版八年级数学下册(1)
n
（2）进行平面镶嵌就是在同一顶点处的几个多边形的内角和等于360°，因 此只需验证360°是不是上面所给的几个正多边形的内角度数的整数倍即可； （3）常见的两种正多边形的密铺组合有正三角形和正四边形，正六边形和正 三角形，正方形和正八边形，画出其中一种即可.
三、自主学习
知识点一：镶嵌的定义
用形状相同或不同的平面封闭图形，覆盖平面区域，使图形间 既无缝隙又不重叠地全部覆盖，在几何里面叫做平面镶嵌．
三、自主学习
知识点二：镶嵌的条件
围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．
平面镶嵌的常用方法： （1）只用一种正多边形； （2）同时用两种正多边形； （3）用一种非正多边形．
练一练
1.某商店出售下列四种形状的地砖：①正三角形；②正方形；③正五边形；
④正六边形.若只选购其中一种地砖镶嵌地面，可供选择的地砖共有（ B ）
A．4 种
B．3 种
C．2 种
D．1 种
分析：判断一种图形是否能够镶嵌，只要看正多边形的内角度数是否是 360°的约数.正五边形每个内角是180°-360°÷5=108°，不是360°的约 数，不能镶嵌，正三角形的内角是60°，正方形的内角是90°，正六边形的 内角是120°，都是360°的约数，能镶嵌成平面.
四、合作探究
问题解决：（1）
正多边形边数
正多边形每个 内角的度数
3…
108° 120°
n
180 360 n
（2）如果限于用一种正多边形镶嵌，则由一顶点处的几个内角和等于 360°得正三角形、正四边形（或正方形）、正六边形都能镶嵌成一个平 面图形； （3）如：正方形和正八边形能进行平面镶嵌，如图：
19.4综合与实践多边形的镶嵌 课件(19张PPT) 2023-2024学年沪科版数学八年级下册
知1－练
，所以正五边形不能在一个顶点
处实现内角之和等于 360°，符合题意；
D 选项， 正六边形的内角为 120 °，
360 °÷120 ° =3，所以 3 个正六边形可以在
一个顶点处实现内角之和等于360°，不符合题意 .
答案：C
感悟新知
知1－练
方法点拨
用一种正多边形作平面镶嵌的条件：
(1)边长要相等；
特别解读
使用给定的某种正多边形，当围绕一点拼
在一起的几个正多边形的内角加在一起恰好组
成一个周角时，就可以作平面镶嵌 .
感悟新知
知1－讲
2.平面镶嵌的原理
在一个顶点处的几个内角恰好拼成一个
周角 .
3. 平面镶嵌的常用方法
(1)只用一种正多边形；
(2)同时用两种正多边形；
(3)用非正多边形 .
感悟新知
可以拼成 360°的角 , 但铺的过程会有重叠 , 故不
能铺满地面 , 此选项不符合题意 .
答案： C
感悟新知
知1－练
方法点拨
用多种正多边形作平面镶嵌应满足三个条件：
(1)拼接在一个顶点处的几个正多边形的内角加
在一起恰好能组成一个周角；
(2)边长相等；
(3)图形间既无缝隙又不重叠 .
感悟新知
例3 某生产瓷砖的厂家因工作失误，使一批正方形瓷
知1－练
砖的一个角都受到了同样的破坏(如图 19.4-1)，在有人
决定将这批瓷砖全部报废时，一名技术员设计了一个
合理的方案，使这批瓷砖经过简单的加工后又能铺设
地面了，请你说出工人师傅根据技术员
提出的方案采取了什么措施，才使破损
的瓷砖“变废为宝”的，画图表示这名技术员的设计 .
多边形的镶嵌课件
每个顶点周围有一个正方形和两个正八边形
2020/7/23
设在一个顶点周围有m个正三角形，n个正 六边形的角.
m4 m2 60m120n360n1,n2
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图案（Ⅰ）
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图案（Ⅱ）
60° 60°
4×108°＞ 360° 不能镶嵌
3×120°= 360° 能镶嵌
3×135°＞ 360° 不能镶嵌
通过上面的探究我们来总结：如果只用 一种正多边形进行镶嵌，有哪些正多边 形可以进行镶嵌呢？
用一种正多边形进行镶嵌只有：正三角形、 正方形、正六边形三种情况。
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探究二
用两种正多边形镶嵌,哪些图形可以 进行镶嵌呢? ①尝试用正三角形和正方形进行镶嵌
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平面图形的镶嵌：
用一种或几种形状、大小相同的平面图形 进行拼接，彼此之间不留空隙，且不重叠地铺 成一片，就叫做平面图形的镶嵌，也叫做平面 图形的密铺。
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每个顶点处正六边形1个，正三角形4个.
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探究总结： 用两种正多边形经进行镶嵌可能的组合： 正三角形和正方形、正三角形和正六边形、 正方形和正八边形等
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本节小结：
1、平面图形的镶嵌 2、平面图形镶嵌的条件 3、任意形状但全等的三角形都可以进行镶嵌
4、任意形状但全等的四边形也都可以进行镶嵌 5、用一种正多边形可以进行镶嵌的是：正三角形、 正方形、正六边形 6、用两种正多边形可以进行镶嵌的是：正三角形和正 方形、正三角形和正六边形、正方形和正八边形 等
正多边形平面镶嵌问题ppt课件
拓展
18
谈谈收获
1.正多边形及镶嵌的概念 2. 平面镶嵌的有关规律
研究美各都边相相等等，，各边内也角都也相相等等的的多多边边形形叫做正多边形。
收获
规律小结：
（1）共顶点的各个角之和应等 于360°.；
（2）能单独用来镶嵌平面的正 多边形的内角度数一定能整 除360。
8
收获
规律小结：
(1)如果正多边形能够镶嵌平面，那么共 顶点的各个角的度数之和应等于360°. (2)能单独用来镶嵌平面的正多边形的 内角度数一定能整除360.
9
试一试
能用下列正多边形单独镶嵌平面吗？
(1)正八边形； (8 2)180 135
8
(2)正十边形；
(10 2)180 144 10
(3)正二十边形； (20 2)180 162
20
结论：能单独镶嵌平面的正多边形只有3
种，即正三角形、正方形、正六边形。
10
例题
用边长相等的正八边形和正方形能镶嵌平面吗？
解：因为正八边形的内角为135o，正方形的内角为90o,
由于135o×2+90o×1＝360o，所以两个正八边形和一个
①
2
1
3
②
12
34
15
拓展
形状、大小完全相同的任意三角形可以镶嵌平面.
1
3
1
2
1
3
2
2
1
3
2
1
3
3
1
3
2
1
3
2
2
1
3
2
共顶点的各个角的度数之和等于360°
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拓展
形状、大小完全相同的任意四边形可以镶嵌平面。
七年级数学课题学习——镶嵌人教实验版知识精讲
七年级数学课题学习——镶嵌人教实验版【同步教育信息】一. 本周教学内容：课题学习——镶嵌［教学目的］1、掌握有关镶嵌的概念2、了解能够镶嵌的几种正多边形的情况3、能够利用镶嵌的知识解决简单的实际问题［教学重点］正多边形的镶嵌［教学难点］镶嵌的实际应用［教学过程］一、知识点1. 平面镶嵌用形状相同或不同的平面封闭图形，把一块地面既无缝隙，又不重叠地全部覆盖，在几何里叫平面镶嵌。
平面镶嵌分为用正多边形镶嵌和用一般多边形镶嵌等。
2. 用正多边形镶嵌（1）正多边形的顶点落在另一个正多边形上。
象这类镶嵌比较简单，不讨论。
（2）正多边形的顶点重合具备的条件：①镶嵌的正多边形的边长相等。
②顶点重合（3）一个顶点处的各角之和为360度3. 限用一种正多边形镶嵌 例如上图面镶嵌。
个正六边形都能形成平个正四边形，个正三角形，在一个顶点处分别用即只有三种镶嵌；的正整数解有三组。
不定方程不是正整数。
时，）当（时，）当（（舍）时，）当（时，）当（时，）当（，都为正整数且，即）（边行个正设在一个顶点处有3463N 6K )3(4N 4K )2(6N 3K )1(0N 2K 2KN N 7K 53N 6K 4342N 5K 34N 4K 26N 3K 13K 3N K N 2K 42N 0N 2K 2KN 360N 1802N K N K 332211⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧===--∴≥==+======∴≥≥-+==--∴︒=︒⋅-•∴4. 限用两种正多边形镶嵌 （1）正三角形与正方形设在一个顶点周围有M 个正三角形的角，N 个正方形的角，那么这些角的和应该满足方程；12N 3M 236090N 60M =+︒=︒⋅+︒⋅即这个方程的正整数解为M=3，N=2。
即存在这样的镶嵌，在它的每一个顶点周围有3个正三角形和2个正方形。
如：（2）正三角形与正六边形设在一个顶点周围有M 个正三角形的角，N 个正六边形的角，那么，应有6N 2M 360120N 60M =+︒=︒⋅+︒⋅。
1对1辅导教案--多边形整章复习课14.docx
CD±AB,则ZXABC 中AC 边上的高是哪条垂线段。
（三角形一边上的高（能将三角形的面积分成相等的两部分的是（A ：三角形的角平分线B ：三角形的屮线C ：三角形的高线D ：以上都不对AD 是Z\ABC 的中线，已知Z\ABD 比Z\ACD 的周长大6 cm ,则AB 与AC 的差为具备下列条件的三角形屮，不是直角三角形的是（△ABC 的周长是12 cm ,边长分别为a , b, c,且a=b+l , b 二c+1，则如图，AB/7CD, ZABD. ZBDC 的平分线交于E,试判断ABED 的形状?A ： AEB ： CDC ：BF D ： AF 如图,AE 丄BC, BF 丄AC, A ：必在三角形内部 必在三角形的边上C ：必在三角形外部D ：以上三种情况都有可能 )oA ：cm B ： 3 cm C ： cm D ： 12 cm如图,A ： ZA+ZB 二ZCB: ZA=ZB=I ZCC ： ZA=90° -ZBD ： ZA-ZB 二90° -个三角形最多有个直角，有个钝角，有 个锐角。
cm , c= ClBoDA第二部分：三角形的内、外角和定理及其推论的应用1、下列说法错误的是（）。
A：一个三角形中至少有两个锐角B：一个三角形中，一定有一个外角大于其中的一个内角C：在一个三角形屮至少有一个角大于60°D：锐角三角形，任何两个内角的和均大于90°2、一个三角形的外角恰好等于和它相邻的内角，则这个三角形是（）。
A：锐角三角形B：直角三角形C：钝角三角形D：不能确定3、直角三角形两锐角的平分线相交所成的钝角是（）oA： 120° B： 135° C： 150° D： 165°4、/XABC中，ZA = 100°,ZC = 3ZB,则ZB = _______________________________________ ・5、在ZXABC 中，ZA二100° , ZB-ZC=40°,则ZB二_________ , ZC二______ 。
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一对一个性化辅导讲义学科：数学任课教师：授课时间：20 14 年月日(星期)姓名年级七性别学习内容多边形复习上课次数2学1、理解多边形及正多边形的定义•习2、了解多边形的外角定义，并能准确找出多边形的外角.目标3、掌握多边形的内角和、外角和公式，利用内角和与外角和公式解决实际问题.难占八、、重点：多边形的内角和、外角和公式及其应用•重占八、、难点：多边形的内角和、外角和公式及其应用•一、中考知识清单(一)多边形的概念，1、如图(1)它是由不在同一直线上的4条线段首尾顺次连结组成的平面图形，记为四边形ABCD。
(按顺时针或逆时针方向书写)DCA <〉C E OA BB(1)(2)图(2)是由不在同一直线上的5条线段首尾顾次连结组成的平面图形，记为一般地，，记为n边形，又称多边形。
2、连接多边形不相邻的两个顶点的线段是它的对角线，四边形有两条对角线，五边形有五条对角线，n边形有- n(n 3)条对角线,2从同一个顶点出发的对角线有(n —3)条。
3、多边形的内角和公式。
民- 一 -—\\、、1i "儿(1) n边形的内角和等于•这是因为，从n边形的一个顶点出发,可以引条对角线，它们将此n边形分为个三角形. 而这些三角形的内角和的总和就是此n边形的内角和，所以，此n边形的内角和等于180°x(2)请按下面给出的思路，进行推理填空.如图，在n边形A1A2A3…A n-l A n内任取一点0,依次连结____________ 、_______ 、______ 、……、 ______ 、 _____ •则它们将此n边形分为_______ 三角形，而这些三角形的内角和的总和，减去以0为顶点的一个周角就是此多边形的内角和•所以，n边形的内角和=180°X ____________ -( ) = ( ) X 180°.(二)用正多边形拼地板(1 )正n边形的每一个内角等于________ ，每一个外角等于_______(2) ___________________________ .正三角形的内角度数为 _____ ,正方形的内角度数为 ___________________________ ，正五边形的内角度数为_______ ,正六边形的内角度数为_________ ,正八边形的内角度数为 ________ 正十二边形的内角度数为_________ 。
三角形的内角和为 _________ ,四边形的内角和为(3) .定义：用一些 __________ 的多边形把平面的一部分, 叫做平面镶嵌。
它的特点是相邻的多边形之间既不________ 又不 _______ ，严丝合缝。
(4) .平面镶嵌的条件是：拼接在同一个顶点处的各个多边形的内角之和等二、典例分析1 •一个零件的形状如图7-2-2-6所示，按规定/ A应等于90°，/ B、/ D应分别是30 °和20°，李叔叔量得/ BCD=142 °，就断定这个零件不合格，你能说出道理吗？例 2.在厶ABC 中，/ ABC=80°,/ ACB=50°, BP 平分/ ABC, CP 平分/ ACB,求 / BPC的度数.例3.(1)如果等腰三角形的一边长是4cm另一边长是9cm则这个等腰三角形的周长为多少？⑵如果等腰三角形的一边长是5cm另一边长是8cm则这个等腰三角形的周长是多少？4.观察并探求下列各问题，写出你所观察得到的结论，并说明理由.(1)如图①，△ ABC中，P为边BC上一点，试观察比较BP + PC与AB + AC的大小，并说明理由.P移至△ ABC内，得图②，试观察比较△ BPC的周长与厶ABC的周长的大小,(3)将(2)中点P变为两个点P i、P2得图③，试观察比较四边形BP1P2C的周长与并说明理由.A厶ABC的周长的大小，并说明理由.中小学个性化教育辅导专家例5、已知多边形的每一个内角都是等于和及对角线条数•156°，求此多边形的边数、内角和、外角且ZP 1BC<Z ABC/P2CB</ ACB得图④，试观察比较四边形BRPC的周长与厶ABC的周长的大小，并说明理由.例9、有边数分别为a、b、c型号不同的多边形，且每种型号的多边形均满足各边相等、各角相等；如果每种型号的多边形各取一个，拼在A点，恰好能覆盖住A点及其周围小区域，请你写出一个关于a、b、c之间关系的猜想，你能对你给出的这个猜想进行证明吗？例10.在厶ABC中，已知/ A=80 ° , / C=30 ° ,现把△ CDE沿DE进行不同的折叠得△ C' DE, 对折叠后产生的夹角进行探究：(1)如图(1)把厶CDE沿DE折叠在四边形ADEB内，则求/ 1 + Z 2的和；(2)如图(2)把厶CDE沿DE折叠覆盖/ A，则求/ 1 + / 2的和；(3)如图(3)把厶CDE沿DE斜向上折叠，探求/ 1、/ 2、/ C的关系.C r⑴⑵4 .已知4条线段的长度分别为 2、3、4、5，若三条线段可以组成一个三角形，则这四条线段可以组成（）个三角形• A 、1 B 、2 C 、3D 、45 .已知a>b>c>0，则以a 、b 、c 为三边组成三角形的条件是（ ） A 、b+c>aB 、a+c>bC 、a+b>cD 、以上都不对6 .下列正多边形的组合中，能够铺满地面不留缝隙的是（）A 、正八边形和正三角形；B 、正五边形和正八边形；C 、正六边形和正三角形；D 、正六边形和正五边形7 .如果三角形的一个外角小于与它相邻的内角，那么这个三角形一定是（）A 、锐角三角形B 、直角三角形C 、钝角三角形D 、任意三角形8 .下面的说法正确的是（）A .三角形的角平分线、中线和高都在三角形内B .直角三角形的高只有一条C .三角形的高至少有一条在三角形内D .钝角三角形的三条高都在三角形外例11、如图，△ ABC 中，/ ABC 与/ ACB 的平分线交于点I ，根据下列条件，求/ BIC 的度数。
① 若/ ABC = 60。
，/ ACB = 70°，则/ BIC = ________ 。
② 若/ ABC +Z ACB = 130°,则/ BIC = _________ 。
③ 若/ A = 50°，则/ BIC = _______ 。
④若/ A = 110° 则/ BIC = ⑤从上述计算中，我们能发现已知/A ，求/ BIC 的公式是：/ BIC = ________⑥如图，若BP , CP 分别是/ ABC 与/ ACB 的外角平分线，交于点 公式是：/ BPC = _______ 。
P ,若已知/ A ，则/ BPC 的（三）目标检测 （一）、选择题：1.一个三角形的内角中，至少有（ ）A 、一个锐角B 、两个锐角C 、一个钝角2.三角形中，最大角a 的取值范围是（）A 、O°VaV 90°B 、60°<a< 180°C、 D 、一个直角60°<a< 90D 、60°<a3 •下列长度的各组线段中，能作为一个三角形三边的是（A 、1、2、3B 、2、4、4、C 、2、2、4D 、a, a-1,a+1 （a 是自然数）O9 .如果一个多边形的边数增加1倍，它的内角和是2160 o,那么原来多边形的边数是（）C、710 •用一种正多边形能进行平面图形铺设的条件是（）A、内角都是整数度数B、边数是3的整数倍C、内角整除360 0D、内角整除180 0（二），精心选一选:11,等腰ABC的周长为10cm ,底边长为y cm ,腰长为x cm ,则腰长x的取值范围是。
12 . n边形有一个外角是60°，其它各外角都是750,则n= 13.从n边形一个顶点出发共可作9条对角线，则这个n边形的内角和=14 • n边形的内角和与外角和相等，则n=15 .三角形ABC中，/ B和/ C的平分线交于O,若/ A=40°,则/ AOC=16 •用同一种正多边形能铺满地面的有___________________________ 。
17 .已知等腰三角形一边的长是4cm,另一边的长是7cm，则这个三角形的周长是_________________18 .八边形的内角和为，外角和为19 . （n+1）边形的内角和比n边形的内角和大_________ 。
20 .一个多边形的外角和是内角和的 2 ,多边形的边数是（三）解答题21 △ ABC中，/ B=38。
，/ C=76 ° , AD为/ BAC的平分线，AF为BC边上的高，求/ DAF的度数。
中小学个性化教育辅导专家23、如图所示的模板，按规定,AB,CD 的延长线相交成 80°的角，因交点不在板上，不便测量, 质检员测得/ BAE=122。
，/ DCF=155 ° •如果你是质检员24 .如图，D 在AC 上，E 点在BC 的延长线上，试说明/ ADB > / CDE 的理由。
25、中考题竞赛题:（共10分）25、用黑、白两种颜色的正六边形地砖按如图 3所示的规律,拼成若干个图案第一个 第二牛 第三牛（1）第四个图案中有白色地砖 ________ 块；⑵第n 个图案中有白色地砖 ____________ 块.签字教学组长签字:多边形的所有内角与它的一个外角的和为 和.，如何知道模板是否合格 ？为什么？ （ 12分）。