目标规划的数学模型

在一次决策中，实际值不可能既超过目标值又 未达到目标值，故有 d＋× d－ ＝0,
并规定d＋≥0, d－≥0 实际操作中，当目标值确定时，所做的决策只可 能出现以下三种情况（即由d+和d- 所构成的3种不 同组合表示的含义）： 当完成或超额完成规定的指标则表示：d＋≥0, d－＝0 当未完成规定的指标则表示： d＋＝0, d－≥0 当恰好完成指标时则表示： d＋＝0, d－＝0 ∴ d＋× d－ ＝0 成立。
5、满意解（具有层次意义的解） 对于这种解来说， 前面的目标可以保证实现或部分实现， 而后面的目标就不一定能保证实现或部分实现， 有些可能就不能实现。
分析：这是一个含有两个目标的数学规划问题． 设 若只考虑花钱最少，则 x1 ,x2分别为采购甲级、乙级原材料的数量 显然属于线性规划问题， 若只考虑采购数量最 （单位：kg）
由（1），（3）至（6） 多，则也属于线性规 构成它的数学模型 划问题，由（2）， （3）至（6）构成它 y2为所购原料总量．则： 的数学模型
资源限制 3600 2000 3000
钢1 , X2 一般有： 同时： maxZ1=70 x1 + 120x2 maxZ2= x1 maxZ3= x2 9 x1 +4 x2 ≤3600 4 x1 +5 x2 ≤ 2000 3 x1 +10 x2 ≤3000 x1 ， x2 ≥0
表示Pk比Pk+1具有绝对的优先权．
因此，不同的优先因子代表着不同的优先等级．
若要进一步区别具有相同优先级的多个目标，
则可分别赋予它们不同的权系数ωj
(ωj 可取一确定的非负实数)，
根据目标的重要程度而给它们赋值，
重要的目标，赋值较大，
反之ωj 值就小．
4、达成函数（即目标规划中的目标函数） 通过引入目标值和偏差变量，使原规划问题中的目 标函数变成了目标约束， 那么现在问题的目标是什么呢？ 目标规划的目标函数(准则函数) 是按各目标约束的正、负偏差变量和赋予相应的优 先因子及权系数而构造的。 当每一目标值确定后，决策者的要求是尽可能缩小 偏离目标值。
矩阵表示为：
MaxY CX , AX B 约束条件 : X 0 (GP1)
其他情况：如目标函数为 min y , 约束条件
为“≥”，都可作适当的变换，调整为上面的形
式.
对于多目标问题中大多的情况是：
由于多目标之间存在相互矛盾，
最优解往往不可能存在， 这就要求我们退而求其次， 根据目标之间的相对重要程度， 分等级和权重， 求出相对最优解——有效解（满意解）， 为此引入以下概念，
•缺点是：这个最优解若是超过了实际的需要，很 可能是以过分地消耗了约束条件中的某些资源作为 代价。 •线性规划把各个约束条件的重要性都不分主次地 等同看待，这也不符合实际情况。
•求解线性规划问题，首先要求约束条件必须相 容，如果约束条件中，由于人力，设备等资源条 件的限制，使约束条件之间出现了矛盾，就得不 到问题的可行解， 但实际中出现矛盾时，生产还得继续进行，这将 给人们进一步应用线性规划方法带来困难。
（2）绝对约束（系统约束） 是指必须严格满足的等式或不等式约束。 如线性规划中的所有约束条件都是绝对约束， 否则无可行解。 所以，绝对约束是硬约束。
①将原目标函数转化为目标约束： （需引入目标值和正、负偏差变量） 例如：在下例中，规定Z1 的目标值为 50000, 正、负偏差为d＋、d－ ,则目标函数可以转换为目标约 maxZ1=70 x1 + 120x2 束，即70 x1 + 120 x2＋ d1 d1 maxZ2= x1 ＝50000， 同样，若规定产品甲期望值是maxZ3= x2 200件，产品乙期望 9 x1 +4 x2 ≤3600 值是 250件,则有： 4 x1 +5 x2 ≤ 2000
y1 为花掉的资金，
Min y 1 2x1 x 2 目标函数为： Max y 2 x1 x 2
2 x1 x2 20 约束条件有： x x 100 1 2 x1 50 x1 , x2 0
1 2
3 4 5 6
目标规划正是在线性规划的基础上为适应这种复 杂的多目标最优决策的需要，而发展起来的． 它对众多的目标分别确定一个希望实现的目标值 然后按目标的重要程度（级别）依次进行考虑与 计算，以求得最接近各目标预定数值的方案． 如果某些目标由于种种约束不能完全实现，它也 能指出目标值不能实现的程度以及原因，以供决 策者参考．
因此目标规划的目标函数只能是一个使总偏差量为 最小的目标函数，
记为 minZ = f（d＋、d－）。
一般说来，对于达成函数有以下三种情况， 但只能出现其中之一： ⑴.要求恰好达到规定的目标值， 即正、负偏差变量要尽可能小， 则minZ = f（d＋＋ d－）。 ⑵.要求不超过目标值， 即允许达不到目标值， 也就是 正偏差变量尽可能小， 则minZ = f（d＋）。 ⑶.要求超过目标值， 即超过量不限，但不低于目标 值， 也就是负偏差变量尽可能小， 则minZ = f（d－）。 这样根据各个目标的不同要求，可确定出总的目标 函数
maxZ=70 x1 + 120 x2 9 x1 +4 x2 ≤3600 4 x1 +5 x2 ≤ 2000 3 x1 +10 x2 ≤3000 x1 ， x2 ≥0
显然，这是一个多目标规划问题，用线性规划 方法很难找到最优解。
对于多目标问题，线性规划很难为其找到
最优方案．极有可能出现：第一个方案使第一目 标的结果优于第二方案，而对于第二目标，第二 方案优于第一方案．就是说很难找到一个方案使 所有目标同时达到最优，特别当约束条件中有矛
从线性规划问题可看出： 线性规划只研究在满足一定条件下，单一目标 函数取得最优解. 而在企业管理中，经常遇到多目标决策问题， 如拟订生产计划时，不仅考虑总产值，同时要考虑 利润，产品质量和设备利用率等。 这些指标之间的重要程度（即优先顺序）也不相同， 有些目标之间往往相互发生矛盾。 •线性规划致力于某个目标函数的最优解，
一、问题的提出
引例1： 某生物药厂需在市场上采购某种原料， 现市场上有甲、乙两个等级，
单价分别为 2 千元/kg和 1 千元/kg，
要求采购的总费用不得超过 20 万元，
购得原料的总重量不少于 100 kg，
而甲级原料又不得少于 50 kg， 问如何确定最好的采购方案? （即用最少的钱、采购最多数量的原料）．
2 1
maxZ3= x2 若规定3600的钢材必须用完， 9 x1 +4 x2 ≤3600 原式9 x1 +4 x2 ≤3600 4 x1 +5 x2 ≤ 2000 3 x1 +10 x2 , d 则变为 9 x1 4 x2 d 4 d 4 3600 d 4 ≤3000 0 4 x1 ， x2 ≥0
引例2:
某厂计划在下一个生产周期内生产甲、乙两种 产品，已知资料如表所示。 试制定生产计划，使获得的利润最大？ 同时，根据市场预测: 甲的销路不是太好，应尽可能少生产；乙的销路较好， 可以扩大生产，在此基础上使产量达到最大。 试建立此问题的数学模型。
单位 产品 资源 消耗
甲 9 4 3 70
乙 4 5 10 120
盾方程时，线性规划方法是无法解决的．实践中，
人们转而采取“不求最好，但求满意”的策略，
在线性规划的基础上建立一种新的数学规划方
法——目标规划．
二 目标规划概述 目标规划是在线性规划的基础上，为适应经济管理 中多目标决策的需要而逐步发展起来的一个分支。 （一）目标规划与线性规划的比较 1、线性规划只讨论一个线性目标函数在一组线性约 束条件下的极值问题； 而目标规划是多个目标决策，可求得更切合实际的解。 2、线性规划求最优解； 目标规划是找到一个满意解。
3、优先因子（优先等级）与优先权系数 一个规划问题常常有若干目标。 但决策者在要求达到这些目标时， 是有主次或轻重缓急的不同。 优先因子Pk 是将决策目标按其重要程度排序 并表示出来。
要求第一位达到的目标赋予优先因子P1， 次位的目标赋予优先因子P2，…， 并规定Pk>>Pk+1， 表示Pk比Pk+1有更大的优先权。 即首先保证P1级目标的实现， 这时可不考虑次级目标； 而P2级目标是在实现P1级目标的基础上考虑的； 依此类推。 即不管Pk+1乘以一个多大的正数M， 总成立Pk>MPk+1,
s.t
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a21 x1 a22 x2 a2 n xn b2 a x c x c x b k2 2 kn n k k1 1 x1 , x2 , , xn 0
2、目标约束和绝对约束
（1）目标约束是目标规划中所特有的， 可把约束条件的右端项看作要追求的目标值； 也可以对目标函数规定一个目标值。 在达到此目标值时允许发生正或负偏差， 因此可在这些约束或目标函数中加入正、负偏差变量； 引入目标值和正、负偏差变量后， 把原目标函数和原约束条件转化成约束方程， 都并入到约束条件中， 我们称这类具有机动余地的约束为目标约束 。 也称为软约束。
3、线性规划中的约束条件是同等重要的，是硬约束； 而目标规划中有轻重缓急和主次之分，即有优先权 是软约束。
4、线性规划的最优解是绝对意义下的最优，但 需花去大量的人力、物力、财力才能得到； 实际过程中，只要求得满意解，就能满足需要 （或更能满足需要）。
因此，目前，目标规划已经在经济计划、生产管理、 经营管理、市场分析、财务管理等方面得到了广泛 的应用。
(二)、目标规划的基本概念 多目标规划问题的一般形式如下(简记为：GP1)
Max y1 c11 x1 c12 x2 c1n xn C1 X Max y2 c21 x1 c22 x2 c2 n xn C 2 X Max y c x c x c x C X m m1 1 m2 2 mn n m