江苏省南京市大厂高级中学2012-2013学年高二下学期期末考试数学(理)试题 Word版

南京市大厂高级中学2012－2013学年第二学期期末调研高二数学（理）2013.6一、填空题：(本大题共14小题，每小题5分，共70分。

请把答案填写在答题卡相应位置上) 1. 设集合A ＝{－1，1，3}，B ＝{a ＋2，a 2＋4}，A ∩B ＝{3}，则实数a ＝_1__．2. .已知矩阵27b A a -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦的逆矩阵是273a B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则=+b a 8 ． 3. 函数()ln 1y x x =-的定义域为 [)0,14. 在极坐标系中，点(2，6π)到直线ρsin θ=2的距离等于 .1 5.函数()27x f x x =+-的零点所在的区间是(,1),k k k Z +∈,则k = 2 6. 7(12)x +的展开式中第4项的系数是 （用数字作答） 2807.两名女生，4名男生排成一排，则两名女生不相邻的排法共有 480 种（以数字作答） 8. 袋中有4只红球3只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑球得3分，设得分为随机变量ξ，则P （ξ≤7）= 13/35 .9. 设357log 6,log 10,log 14a b c ===，则 a b c >>10.已知)(x f 是定义在R 上的奇函数。

当0>x 时，2()5f x x x =-，则不等式()f x x ≤的解集用区间表示为 (],6[0,6]-∞-⋃ 11．下列四个命题：①“∃x ∈R ，x 2－x ＋1≤0”的否定； ②“若x 2＋x —6≥0，则x ＞2”的否命题；③ 在△ABC 中，“A ＞B ”是“sin A ＞sinB ”的充分不必要条件； ④“函数f (x )为奇函数”的充要条件是“f (0)=0”． 其中假．命题的序号是 3,4 （把假命题的序号都填上） 12. 12. 关于x 的方程)2(12-=-x k x 有两个不相等的实根,则实数k 的取值范围是 ▲.033≤<-k 13. . 已知函数错误！未找到引用源。

，若错误！未找到引用源。

互不相同，且错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

的取值范围是_____错误！未找到引用源。

____14. x 的不等式ax 2＋x －2a ＜0的解集中仅有4个整数解，则实数a 的取值范围为23,77⎡⎫⎪⎢⎣⎭．二、解答题：本大题共6小题，共90分。

请在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、求证过程或演算步骤 ． 15.已知矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=d c A 33，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=111α，属于特征值1的一个特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=232α．求矩阵A 的逆矩阵．解：由矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=111α，可得⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c 33⎥⎦⎤⎢⎣⎡11＝6⎥⎦⎤⎢⎣⎡11， 即6=+d c ； 由矩阵A 属于特征值1的一个特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=232α可得，⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c 33⎥⎦⎤⎢⎣⎡-23＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡-23， 即223-=-d c ，解得⎩⎨⎧==,4,2d c 即A ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡4233，A 逆矩阵是⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡2131-21-32. 16.设2213x M xx -⎧⎫=>⎨⎬+⎩⎭，{}2(8)80N x x a x a =+--≤，命题:p x M ∈，命题:q x N ∈（Ⅰ）当6a =-时，试判断命题P 是命题q 的什么条件；（Ⅱ）求a 的取值范围，使命题p 是命题q 的一个必要但不充分条件．16、解：{}53>-<=x x x M 或，{}0))(8(≤+-=a x x x N ． （2分）（Ⅰ）当6-=a 时，{}86≤≤=x x N ．M N ⊂ ，∴当N x ∈时，有M x ∈，但M x ∈时不能得出N x ∈．因此，命题p 是命题q 的必要但不充分条件．（7分）（Ⅱ）当8-<a 时，{}a x x N -≤≤=8，有M N ⊂，满足命题p 是命题q 的必要但不充分条件． （10分）当8->a 时，{}8≤≤-=x a x N ，要使M N ⊂，须5>-a ，即58-<<-a ．（12分） 当8-=a 时，{}8=N ，满足命题p 是命题q 的必要但不充分条件． 因此，a 的取值范围是5-<a ． （15分）17.已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点，极轴与x 轴的正半轴重合．曲线C 的极坐标方程为2222cos 3sin 3+=ρθρθ，直线l 的参数方程为3,1x t y t ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩(t 为参数，t ∈R )．试在曲线C 上求一点M ，使它到直线l 的距离最大．解：曲线C 的普通方程是2213x y +=． ………………………………………2分直线l 的普通方程是330x y +-=． …………………………………………4分 设点M 的直角坐标是(3cos ,sin )θθ，则点M 到直线l 的距离是3cos 3sin 32d +-=θθπ32sin()142θ+-=． …………………………………7分因为22sin()24-≤+≤πθ，所以当πsin()14θ+=-，即ππ2π(42k k θ+=-∈Z )，即3π2π(4k k θ=-∈Z )时，d 取得最大值．此时623cos ,sin 22=-=-θθ． 综上，点M 的极坐标为7π(2,)6时，该点到直线l 的距离最大． ……10分注 凡给出点M 的直角坐标为62(,)22--，不扣分． 18.(本小题16分)在n（1+x ）的展开式中，已知第3项与第5项的系数相等． （1）求21nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的系数最大的项和系数最小的项；（2）求2(2)n x x +-展开式中含2x 项的系数．19. 解：由已知得246n n C C n =⇒= ………………………3分（1）621x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的通项261231661()()(1)r r r r r r r T C x C x x --+=-=-当3r =时，展开式中的系数最小，即3520T x =-为展开式中的系数最小的项；当2r =或4时，展开式中的系数最大，即63515,15T x T ==为展开式中的 系数最大的项 ………………………9分（2）26(2)x x +-展开式中含2x 项的系数为1522466(2)1(2)48C C ⨯-+⨯⨯-=．………………………15分19.甲、乙等五名南京亚青会志愿者被随机地分到AB C D ，，，四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．（1）求甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率； （2）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；（3）设随机变量ξ为这五名志愿者中参加A 岗位服务的人数，求ξ的分布列．19.（1）记甲、乙两人同时参加A 岗位服务为事件A E ，那么3324541()40A A P E C A ==，即甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率是140． …………4分 （2）记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件E ，那么4424541()10A P E C A ==，所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是9()1()10P E P E =-=． ……………………………8分（3）随机变量ξ可能取的值为1，2．事件“2ξ=”是指有两人同时参加A 岗位服务，则235334541(2)4C A P C A ξ===．所以3(1)1(2)4P P ξξ==-==，ξ的分布列是……………………………14分20已知()||,=-+∈R f x x x a b x ．（1）当1,0a b ==时，判断()f x 的奇偶性，并说明理由； （2）当1,1a b ==时，若5(2)4xf =，求x 的值； （3）若0b <，且对任何[]0,1x ∈不等式()0f x <恒成立，求实数a 的取值范围．ξ12P34 1422. [解]（1）当1,0a b ==时，()|1|f x x x =-既不是奇函数也不是偶函数．……2分 ∵(1)2,(1)0f f -=-=，∴(1)(1),(1)(1)f f f f -≠-≠-所以()f x 既不是奇函数，也不是偶函数．………………………………………2分 （2）当1,1a b ==时，()|1|1f x x x =-+， 由5(2)4xf =得52|21|14x x-+= ……………………………2分 即2211(2)204x x x ⎧≥⎪⎨--=⎪⎩或2211(2)204x x x⎧<⎪⎨-+=⎪⎩ ………………………2分 解得12121222222xx x +-===或（舍），或 所以2212log log (12)12x +==+-或1x =-． ………………2分 （3）当0x =时，a 取任意实数，不等式()0f x <恒成立， 故只需考虑(]0,1x ∈，此时原不等式变为||bx a x--< 即b bx a x x x +<<- ………………………………………………………2分 故(]max min ()(),0,1b bx a x x x x+<<-∈又函数()b g x x x =+在(]0,1上单调递增，所以max ()(1)1bx g b x +==+；对于函数(](),0,1bh x x x x=-∈①当1b <-时，在(]0,1上()h x 单调递减，min ()(1)1bx h b x-==-，又11b b ->+，所以，此时a 的取值范围是(1,1)b b +-． ……………………………………2分 ②当10b -≤<，在(]0,1上，()2bh x x b x=-≥-， 当x b =-时，min ()2bx b x-=-，此时要使a 存在，必须有1210b bb ⎧+<-⎪⎨-≤<⎪⎩ 即1223b -≤<-，此时a 的取值范围是(1,2)b b +-综上，当1b <-时，a 的取值范围是(1,1)b b +-；当1223b -≤<-时，a 的取值范围是(1,2)b b +-；当2230b -≤<时，a 的取值范围是∅． ……………………………2分。