北师大版三角形的证明

等腰三角形（基础）知识讲解

【学习目标】

1. 了解等腰三角形、等边三角形的有关概念, 掌握等腰三角形的轴对称性；

2. 掌握等腰三角形、等边三角形的性质，会利用这些性质进行简单的推理、证明、计算和作图．

3. 理解并掌握等腰三角形、等边三角形的判定方法及其证明过程. 通过定理的证明和应用，初步了解转化思想，并培养学生逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力.

4. 理解反证法并能用反证法推理证明简单几何题.

【要点梳理】

要点一、等腰三角形的定义

1.等腰三角形

有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.

如图所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角．

2.等腰三角形的作法

已知线段a,b(如图).用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使AB=AC=b,BC=a.

作法：1.作线段BC=a；

2.分别以B,C为圆心，以b为半径画弧，两弧

相交于点A;

3.连接AB,AC.

△ABC为所求作的等腰三角形

3.等腰三角形的对称性

(1)等腰三角形是轴对称图形；

(2)∠B＝∠C；

(3)BD＝CD，AD为底边上的中线.

(4)∠ADB＝∠ADC＝90°，AD为底边上的高线.

结论：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线(底边上的高线或中线)所在的直线是它的对称轴.

4.等边三角形

三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形.等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴.

要点诠释：（1）等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为

钝角（或直角）.∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝180

2

A

︒-∠

.

（2）等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形.

要点二、等腰三角形的性质

1.等腰三角形的性质

性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”．

推论：等边三角形的三个内角都相等，并且每个内角都等于60°.

性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”．

2.等腰三角形中重要线段的性质

等腰三角形的两底角的平分线（两腰上的高、两腰上的中线）相等.

要点诠释：这条性质，还可以推广到一下结论：

（1）等腰三角形底边上的高上任一点到两腰的距离相等。

（2）等腰三角形两底边上的中点到两腰的距离相等.

（3）等腰三角形两底角平分线，两腰上的中线，两腰上的高的交点到两腰的距离相等，到底边两端上的距离相等.

（4）等腰三角形顶点到两腰上的高、中线、角平分线的距离相等.

要点三、等腰三角形的判定定理

1.等腰三角形的判定定理

如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.可以简单的说成：在一个三角形中，等角对等边.

要点诠释：(1)要弄清判定定理的条件和结论，不要与性质定理混淆．判定定理得到的结论是等腰三角形，性质定理是已知三角形是等腰三角形，得到边和角关系.

（2）不能说“一个三角形两底角相等，那么两腰边相等”，因为还未判定它是一个等腰三角形．

2.等边三角形的判定定理

三个角相等的三角形是等边三角形.

有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.

3. 含有30°角的直角三角形

定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.要点四、反证法

在证明时，先假设命题的结论不成立，然后从这个假设出发，经过逐步推导论证，最后推出与学过的概念、基本事实，以证明的定理、性质或题设条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明命题的方法叫做反证法.

要点诠释：反证法也称归谬法，是一种间接证明的方法，一般适用于直接证明有困难的命题．一般证明步骤如下：

（1）假定命题的结论不成立；

（2）从这个假设和其他已知条件出发，经过推理论证，得出与学过的概念、基本事实，以证明的定理、性质或题设条件相矛盾的结果；

（3）由矛盾的结果，判定假设不成立，从而说明命题的结论是正确的.

【典型例题】

类型一、等腰三角形中有关角度的计算题

1、如图，在△ABC中，D在BC上，且AB＝AC＝BD，∠1＝30°，求∠2的度数.

举一反三：

【变式】已知：如图，D、E分别为AB、AC上的点，AC＝BC＝BD，AD＝AE，DE＝CE，求∠B的度数．

类型二、等腰三角形中的分类讨论

2、在等腰三角形中，有一个角为40°，求其余各角．

3、已知等腰三角形的周长为13，一边长为3，求其余各边．

举一反三：

【变式】已知等腰三角形的底边BC＝8cm，且|AC－BC|＝2cm，那么腰AC的长为( )． A．10cm或6cm B．10cm C．6cm D．8cm或6cm

类型三、等腰三角形的性质及其运用

4、如图，在△ABC中，边AB＞AC．

求证：∠ACB＞∠ABC

举一反三：

【变式】已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，BD是中线，延长BC至点E，使CE=CD．求证：DB=DE．

5、已知：如图，△ABC的两条高BE、CD相交于点O，且OB=OC，求证：

△ABC是等腰三角形．

举一反三

【变式1】如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAD=∠CAE，点D、E在BC上，试说明

△ADE是等腰三角形．

类型三、含有30°角的直角三角形

6. 如图所示，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足是D，∠A=60°.求证：BD=3AD.

举一反三：

【变式】如图，等边三角形ABC内一点P，AP=3，BP=4，CP=5，求∠APB的度数．

类型四、反证法

7. 求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°。

举一反三：

【变式】下列选项中，可以用来证明命题“若a2＞1，则a＞1”是假命题的反例是（） A . a= —2 B . a= —1 C . a=1 D. a=2

【巩固练习】

一.选择题