47 两角和与差的正切公式

课时分层作业(四十七) 两角和与差的正切

公式

(建议用时：60分钟)

[合格基础练]

一、选择题

1．已知点P (1，a )在角α的终边上，tan ⎝ ⎛⎭

⎪⎫α＋π4＝－13，则实数a 的值是( ) A ．2

B.12 C ．－2

D ．－12 C [∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋tan π41－tan αtan π4

＝tan α＋11－tan α＝－13， ∴tan α＝－2，

∵点P (1，a )在角α的终边上，

∴tan α＝a 1＝a ，∴a ＝－2.] 2.3－tan 18°1＋3tan 18°

的值等于( ) A ．tan 42°

B ．tan 3°

C ．1

D ．tan 24° A [∵tan 60°＝3，∴原式＝tan 60°－tan 18°1＋tan 60°tan 18°

＝tan(60°－18°)＝tan 42°.] 3．若tan(180°－α)＝－43，则tan(α＋405°)等于( )

A.17

B ．7

C ．－17

D ．－7

D [∵tan(180°－α)＝－tan α＝－43，

∴tan α＝43，

∴tan(α＋405°)＝tan(α＋45°)＝1＋tan α1－tan α＝1＋431－43

＝－7.]

4．已知tan(α＋β)＝35，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝14，那么tan ⎝ ⎛⎭

⎪⎫α＋π4等于( ) A.1318

B.1323

C.723

D.16

C [tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤(α＋β)－⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝tan (α＋β)－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π41＋tan (α＋β)tan ⎝ ⎛⎭

⎪⎫β－π4＝35－141＋35×14＝723.] 5．若tan 28°tan 32°＝m ，则tan 28°＋tan 32°＝( ) A.3m B.3(1－m ) C.3(m －1) D.3(m ＋1)

B [由公式变形tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)可得，tan 28°＋tan 32°＝tan 60°(1－tan 28°tan 32°) ＝3(1－m )．]

二、填空题

6．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝12，tan ⎝ ⎛⎭

⎪⎫β－α2＝－13，则tan α＋β2＝________. 17 [tan α＋β2＝tan ⎣⎢⎡⎦

⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫β－α2 ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－α21－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2tan ⎝ ⎛⎭

⎪⎫β－α2 ＝12－131＋12×13

＝17.]

7．在△ABC 中，若tan A ，tan B 是方程6x 2－5x ＋1＝0的两根，则角C ＝________.

3π4 [由题意得tan A ＋tan B ＝56，tan A tan B ＝16，

∴tan(A ＋B )＝

tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝561－16＝1. 又A ＋B ＋C ＝π，∴tan C ＝－tan(A ＋B )＝－1，

∴C ＝3π4.]

8．化简：tan 10°tan 20°＋tan 20°tan 60°＋tan 60°tan 10°的值等于________． 1 [原式＝tan 10°tan 20°＋tan 60°(tan 20°＋tan 10°)

＝tan 10°tan 20°＋3tan(20°＋10°)(1－tan 20°tan 10°)

＝tan 10°tan 20°＋1－tan 20°tan 10°

＝1.]

三、解答题

9．已知tan ⎝ ⎛⎭

⎪⎫π4＋α＝2，tan β＝12， (1)求tan α的值；

(2)求sin (α＋β)－2sin αcos β2sin αsin β＋cos (α＋β)

的值． [解] (1)∵tan ⎝ ⎛⎭

⎪⎫π4＋α＝2， ∴tan π4＋tan α

1－tan π4tan α

＝2， ∴1＋tan α1－tan α

＝2，解得tan α＝13. (2)原式

＝

sin αcos β＋cos αsin β－2sin αcos β2sin αsin β＋cos αcos β－sin αsin β ＝cos αsin β－sin αcos βcos αcos β＋sin αsin β＝sin (β－α)cos (β－α)

＝tan(β－α)＝tan β－tan α1＋tan βtan α

＝

1

2－

1

3

1＋

1

2×

1

3

＝

1

7.

10．如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知

A，B的横坐标分别为

2

10，

25

5.

求：(1)tan(α＋β)的值；(2)α＋2β的大小．

[解]由条件得cos α＝

2

10，cos β＝

25

5.

∵α，β为锐角，

∴sin α＝1－cos2α＝72 10，

sin β＝1－cos2β＝

5 5.

因此tan α＝sin α

cos α＝7，

tan β＝sin βcos β＝

1

2.

(1)tan(α＋β)＝

tan α＋tan β1－tan α·tan β

＝

7＋

1

2

1－7×

1

2

＝－3.

(2)∵tan 2β＝tan(β＋β)＝

2tan β1－tan2β

＝

2×

1

2

1－⎝

⎛

⎭

⎪

⎫1

2

2

＝

4

3，

∴tan(α＋2β)＝

tan α＋tan 2β1－tan α·tan 2β

＝

7＋

4

3

1－7×

4

3

＝－1.∵α，β为锐角，