强度因子和能量释放率的统一

（2）应力强度因子 K m (m=Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ） 在极坐标下，可以根据 K m 、θ、r 求出裂端区的应 力场，也可以求出裂端区的位移场。
既然知道了应力，和相应的位移，我们可不可以求 出应变能U，然后通过U和G的关系，让G和 K 建立 联系呢？
二，推证
能量释放率、griffith断裂判据
通过能量原理建立联系
1 2 1 2
（ 4 —6 ） （ 4 —7 ）
图A
裂纹长度a的裂纹端点正前方使裂纹面撑开的拉伸应力： θ=0,R=r代入公式 （4—4）
y r , o
K 2r
（4—8）
设裂纹可以延长s长度,即裂端 前方撑开成长度为a+s的裂纹， (如图B)
此时在原原坐标系x=r处，离 新裂纹端点s-r处。 新裂纹上表面的位移为： θ= ,R=s-r 代入公式（4—7）
则
BK K a s 1 s BK K a s 1s U 1 8 4 2
s 0
把 U1 代入（4—1）: G lim
当s→0时，有 K a s K
1 BK K a s 1s B 8
s
(r ,0)v( s r , ）
Bdr
把（4—8）（4—9)代入（4—10）得
U
1

BK

K a s (
4
2
1)

s 0
s r dr r
0, 2
令
r s sin
s

0
积分区间变成 sr s 2 2 dr 2s cos d 0 r 2
平面应力 平面应变
在线弹性范围内，剪切模量μ，弹性模E，泊松比ν有 E 下列关系: 21 把平面应力相应的参数，平面应变相应的参数代 入 （4—11） 1 1
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8
K 2 G E 2 2 ( 1 ) K E

E1
K G （4—12） E1
G G G GⅢ K K E1
2 2

1 K Ⅲ
E
2
（4—15）
实验结果指出，除Ⅰ型裂纹可以沿原方向扩展外，其 余裂纹型往往不沿原方向扩展。 因此（4—13） 至（4—15）是能量释放率的近似估 计。如果要考虑裂纹真正的扩展方向必须用数值解法。
应力强度因子
假设：不考虑其他能量的损耗，则能量转换表现为所 有能量在裂端释放以形成新的裂纹面积
Ⅰ型裂端区应力场:
x
y
KI 3 cos 1 sin sin 2 2 2 2 r KI 3 cos 1 sin sin 2 2 2 2 r
（ 4 —3 ）
（ 4 —4 ） （ 4 —5 ）
xy
KI 2r
sin

3 cos cos 2 2 2
Ⅰ型裂端区位移场:
r 2u K I k 1 2 sin 2 cos 2 2 2 r 2 K I k 1 2 sin 2 sin 2 2 2
2
平面应力 平面应变
三，总结
K G E1 注：基于裂纹沿原方向扩展的假设上
假设Ⅱ型裂纹和Ⅲ型裂纹的扩展方向也是裂端正 前方，则：
2
K G E1
GⅢ
2
（4—13）
1 K Ⅲ 2
E
（4—14）
如果带裂纹的平板受到Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三种载荷而成复 合型裂纹时，上述假设仍成立，则总能量释放率为
图B
1 s r K I a s （4—9） s r , 2 2
K I as 为裂纹长度为a+s时的应力强度因子
由于假设没有其他能量损耗，则总的附加应变能 U1 为： （4—10） 2 注：积分号外面的2，是因为上下两个面；B是板的厚度
0
U1 2
1 2 则Ⅰ型能量释放率 G G 8 K
（4—11）
对于平面问题,取有效弹性模量 1 和有效泊松比 E1
E 平面应力 E1 E ` 1 2 平面应变
1 1
平面应力 平面应变
3 1 3 4
一,引出问题
(1)griffith提出能量释放的观点，得到能量释放率的 公式: 1 U1 1 U1 G lim a 0 B a B a (单边裂纹) （4—1） 根据附加应变能 U1 和σ关系 G和σ的关系
得到griffith裂纹断裂判据:
a
2
2 E S

（ 4 —2 ）