强度因子和能量释放率的统一
第十一章 混凝土断裂力学
一、小范围塑性屈服时对应力强度因子的修正
由线弹性理论可知，Ⅰ型裂缝在平面应力状态下，其裂缝附近的主应力表达
式为：
1
K cos 1 sin
2r 2
2
2
K cos 1 sin
2r 2
2
3 0
为了确定塑性区的大小，这里采用米赛斯屈服条件，即：
应力随着r减小时趋向无限大就愈迅速。所以K可以反映出裂缝尖端附近的应力场 强度， 故称为应力强度因子。
线性断裂力学
2.应力强度因子的计算公式 对于带裂缝的无限大平板，Ⅰ型、Ⅱ型、Ⅲ型裂缝的应力强度因子分别为：
K a
K a
K l a
一般情况下，应力强度因子的大小与荷载性质、裂缝的几何形态等因素有关，
混凝土断裂力学
线性断裂力学 非线性断裂力学基础 复合型裂缝的断裂判据 混凝土断裂韧度 混凝土断裂的数值分析
线性断裂力学
一、概述
1.断裂力学的概念 断裂力学是研究含裂缝的构件在各种环境条件下（包括荷载作用、腐蚀性介
质作用、温度变化等）裂缝的平衡、扩展和失稳的规律，并且研究其强度条件的 一门科学。 2.断裂力学研究的问题 ①研究裂缝尖端区的应力状态、应变状态和位移状态； ②研究材料本身抵抗裂缝扩展的能力； ③研究测定材料本身抵抗裂缝扩展能力的方法和标准。 3.断裂力学的产生及其发展过程 产生：传统的强度理论、实际工程的破坏情况、是否有裂缝构件受力就断裂。
1
2 2
2
3 2
3
1 2
2
2 s
非线性断裂力学基础
式中 s为材料单轴受力条件下的屈服极限。将主应力代入此式可得屈服边界区的
Ⅰ-Ⅱ-Ⅲ复合型裂缝应力强度因子与能量释放率的关系
第33卷第4期2016年12月河北工程大学学报（自然科学版）Journal of Hebei University of Engineering (Natural Science Edition)Vol.33 No. 4Dec. 2016文章编号：1673 -9469(2016)04-0010-04d oi：10. 3969/j. issn. 1673 -9469.2016. 04. 003I- II- III复合型裂缝应力强度因子与能量释放率的关系曹晨曦，王向东，吴京(河海大学力学与材料学院，江苏南京210098)摘要:基于断裂力学理论，应用复合型断裂判据中的最大周向应力判据和最大拉应变判据，以单 一型裂缝应力强度因子X与能量释放率G的关系为基础，推导出I- II- III复合型裂缝应力强 度因子^、尺^、尺m与能量释放率关系公式；并应用有限元软件进行I - II - III复合型裂 缝的有限元模拟，模拟值与理论值之间相差为1. 14%，拟合良好，分析验证了复合型裂缝应力 强度因子、尺m与能量释放率G w关系公式的合理性。
关键词：I- II- III复合型裂缝;应力强度因子；能量释放率；有限元模拟中图分类号:TV313 文献标识码:ARelationship between stress intensity factor and strain energy releaserate of I - II - III mixed mode cracksCAO Chenxi,WANG Xiangdong,WU Jing(College of Mechanics and Materials, Hohai University, Jiangsu Nanjing 210098, China) Abstract ：Based o n the theory of fracture mechanics,the m axim um stress criterion and the m axim um principal strain criterion,the relationship between stress intensity factor and strain energy release rate of I- II- III m ixed m ode cracks was studied.And the I - II - III m ixed m ode fracture cracks were sim ulated by using the finite elem ent software.And the relative error between the sim ulated value and the theoretical value is ,which is within the tolerance range.It is show n that the form ula of the relationship between stress intensity factor and strain energy release rate of I- II- III m ixed m ode cracks is reasonable.Key words：I-II-III m ixed m ode cracks;stress intensity factor；strain energy release rate;finite elem ent sim ulation断裂力学是研究带裂纹结构的强度以及裂纹 扩展规律的一门学科。
损伤与断裂力学第4章(矿大)高峰
图4-9 非平面应变的R曲线
韧性断裂阻力曲线
例如在韧性断裂时，裂纹扩 展阻力往往是呈曲线的。一旦达 到并稍为超过裂纹开始扩展的条 件时，若外力仍维持不变，则较 长的裂纹(例如图中的裂长a2受到 2作用时)有可能稍为扩展，然后 很快地停止下来。只有当外力较 大时，才有可能引起失稳扩展。
图4-9 非平面应变的R曲线
的关系式。
其余裂纹类型情况
上式成立是基于裂纹沿原方向扩展的假设上。若假设
II型裂纹和III型裂纹的扩展方向也是裂端正前方，则
有：
GII
K
2 II
E1
GIII
(1
)
K
2 III
E
如果带裂纹的平板受到I，II，III三种载荷而成复合型
裂纹时，若仍假设裂纹沿原方向扩展，则总能量释放
率为 ：
G
GI
GII
K场区
在第三章中，给出各型裂纹的裂端应力场 时，已忽略掉高次项，因此也仅适合裂纹尖端 的小区域内，此区域称为K场区。K场区内的应 力应变强度可用应力强度因子来度量；场区外 则须加上高次项。
关于K场区和断裂过程区
如果K场区尺寸小于断裂进行区尺寸，则计算 应力强度因子已失掉意义，此时宏观力学在裂端 区是不实用的。
3.如图所示，在上下表面，有位移v=±v0和τxy=0，即被刚
体固接。此时横向位移u不受约束。求在平面应力时的
应力强度因子。
4-3 断裂判据
断裂过程区 断裂总是始于裂端的极小区域，当其损伤 达到临界程度时才发生的。在此小区域中材料 的微结构起决定影响，也是宏观力学不适用的 地方。这个小区域就叫做断裂过程区FPZ (fracture process zone)。
思考题 为何不同型裂纹的能量释放率可以线性叠加?而应力强 度因子却不能?
断裂力学总结
断裂力学学习报告姓名：zx 学号：xxxxxxxx一、绪论（1）传统强度理论是在假定材料无缺陷、无裂纹的情况下建立起来的，认为只要满足r []σσ≤，材料将处于安全状态。
其中：[]σ——用安全系数除失效应力得到的许用应力;r σ——为相当应力，它是三个主力学按照一定顺序组合而成的，按照从第一强度理论到第四强度强度理论的顺序，相应的应力分别为1121233134()r r r r σσσσμσσσσσσ==-+=-=但是许多事实表明，材料受应力远小于设计应力，材料仍然被破坏。
使许多力学工作者迷惑不解，于是投入对其研究，最终发现所有材料并不是理想的，材料中含有大大小小、种类各异的裂纹，于是产生了对裂纹地研究。
断裂力学从客观存在裂纹出发，把构件看成连续和和间断的统一体，从而形成了这门新兴的强度学科。
（2）断裂力学的任务是：1. 研究裂纹体的应力场、应变场与位移场，，寻找控制材料开裂的物理参量;2. 研究材料抵抗裂纹扩展的能力——韧性指标的变化规律，确定其数值与及测定方法;3. 建立裂纹扩展的临界条件——断裂准则;4. 含裂纹的各种几何构件在不同荷载作用下，控制材料开裂的物理参量的计算。
（3）断裂力学的研究方法是：假设裂纹已经存在，从弹性力学或弹塑性力学的基本方程出发，把裂纹当作边界条件，考察裂纹顶端的应力场、应变场和位移场，设法建立这些场与控制断裂的物理参量的关系和裂纹尖端附近的局部断裂条件。
（4）断裂力学的几个基本概念：根据裂纹受力情况，裂纹可以分为三种基本类型：1. 张开型(I 型)裂纹受垂直于裂纹面的拉应力作用,裂纹上下两表面相对张开,如上图a 所示;2. 滑开型(II 型),又称平面内剪切型裂纹受平行于裂纹面而垂直于裂纹前缘OO ’的剪应力作用,裂纹上下两表面沿x 轴相对滑开,如上图b 所示;3. 撕开型(III 型),又称出平面剪切型或反平面剪切型裂纹受既平行于裂纹面又平行于裂纹前缘的剪应力作用,裂纹上下两表面沿z 轴相对错开,如上图c 所示.上述三种裂纹中I 型最为危险.而我们主要也是研究I 型裂纹,因为只要确定了I 型裂纹是安全的,则其它两种裂纹也是安全的。
断裂过程的有限元模拟
第14卷第4期计算力学学报V ol.14N o.4 1997年11月CHIN ESE JOU R N AL O F CO M PU T A T IO N A L M ECHA N ICS N ov.1997断裂过程的有限元模拟*杨庆生 杨 卫(北方交通大学土木建筑系,北京,100044) (清华大学工程力学系,北京,100084) 摘 要 讨论了材料断裂过程的有限元模拟技术。
基于自适应有限元法的一般原理,并针对多相材料的裂纹扩展的特点,提出了一种简化的高精度和高效率有限元网格的动态重新划分策略。
裂纹被假设沿着单元之间的路径连续扩展,利用节点力释放技术生成新的裂纹自由表面,发展了一种可随裂尖连续移动的网格动态加密和释放方法。
这种方法已在各种裂纹问题中得以实现与应用。
关键词 断裂;裂纹扩展;网格重划分;有限元法;数值模拟分类号 O346.1;O242.211 引 言研究超大规模系统的复杂发展过程是现代化计算力学的主要特征之一。
例如在固体力学中的材料大变形的损伤起始与演化问题,复合材料等新型材料中的裂纹传播问题,相变过程中的边界移动问题等,都要经历一个很长的过程,而在此变形过程中,有可能随机性地出现新的裂纹、损伤甚至新的材料相等。
目前已有各种相应的本构理论来描述这些现象,却给数值计算和模拟带来了新的问题。
有限元方法仍然是有希望解决这些问题的强有力的工具。
现在的有限元计算与过去相比已经发生了很大变化,在过去,有限元分析的目的往往是为了得到一个满意的最终结果,随着计算环境的改善和实际问题的客观要求,有限元分析正在转向整个结构和一个发展过程的全程分析,这种由一点一时的状态计算到整个空间和时间上的全程模拟是有限元法的一个重大发展和应用。
这样就要发展与之相应的网格划分策略和计算模拟方法。
本文主要研究裂纹的扩展问题,通过网格动态重新划分和扩展准则、节点力释放等主要环节来说明有限元模拟技术的发展,最后给出这些技术的评价和可能的应用领域。
计算应力强度因子
基于ANSYS的断裂参数的计算本文介绍了断裂参数的计算理论，并使用ANSYS进展了实例计算。
通过计算说明了ANSYS可以用于计算断裂问题并且可以取得很好的计算结果。
1 引言断裂事故在重型机械中是比拟常见的，我国每年因断裂造成的损失十分巨大。
一方面，由于传统的设计是以完整构件的静强度和疲劳强度为依据，并给以较大的安全系数，但是含裂纹在役设备还是常有断裂事故发生。
另一方面，对于一些关键设备，缺乏对不完整构件剩余强度的估算，让其提前退役，从而造成了不必要的浪费。
因此，有必要对含裂纹构件的断裂参量进展评定，如应力强度因了和J积分。
确定应力强度因了的方法较多，典型的有解析法、边界配位法、有限单元法等。
对于工程上常见的受复杂载荷并包含不规如此裂纹的构件，数值模拟分析是解决这些复杂问题的最有效方法。
本文以某一锻件中取出的一维断裂试样为计算模型，介绍了利用有限元软件ANSYS计算应力强度因子。
2 断裂参量数值模拟的理论根底对于线弹性材料裂纹尖端的应力场和应变场可以表述为：其中K是应力强度因子，r和θ是极坐标参量，可参见图1，(1)式可以应用到三个断裂模型的任意一种。
图1 裂纹尖端的极坐标系应力强度因子和能量释放率的关系：G=K/E" (3)其中：G为能量释放率。
平面应变：E"=E/(1-v2)平面应力：E=E"3 求解断裂力学问题断裂分析包括应力分析和计算断裂力学的参数。
应力分析是标准的ANSYS线弹性或非线性弹性问题分析。
因为在裂纹尖端存在高的应力梯度，所以包含裂纹的有限元模型要特别注意存在裂纹的区域。
如图2所示，图中给出了二维和三维裂纹的术语和表示方法。
图2 二维和三维裂纹的结构示意图3.1 裂纹尖端区域的建模裂纹尖端的应力和变形场通常具有很高的梯度值。
场值得准确度取决于材料，几何和其他因素。
为了捕获到迅速变化的应力和变形场，在裂纹尖端区域需要网格细化。
对于线弹性问题，裂纹尖端附近的位移场与成正比，其中r是到裂纹尖端的距离。
Ⅰ-Ⅱ复合型裂缝应力强度因子和应变能释放率的关系
Ⅰ-Ⅱ复合型裂缝应力强度因子和应变能释放率的关系刘梦和;王向东;邵兵【摘要】为了探究复合型裂缝的应力强度因子K和应变能释放率G的关系,基于最大应力准则,采用能量法对Ⅰ-Ⅱ复合型裂缝的扩展进行理论分析.根据单一型裂缝应力强度因子和应变能释放率的关系,推导出Ⅰ-Ⅱ复合型裂缝K与G的关系公式,利用Abaqus软件建立Ⅰ-Ⅱ复合型裂缝的有限元模型,计算Ⅰ-Ⅱ复合型裂缝的应力强度因子和应变能释放率,与推导公式的计算结果进行对比,二者误差仅为2.5％,验证了推导公式的合理性.%In order to study the relationship between stress intensity factor and strain energy release rate of mixed mode cracks, the growth of I-II mixed mode cracks is theoretically analyzed by means of the energy method based on the maximum stress criterion. A formula for the relationship between the stress intensity factor and the strain energy release rate of the I-II mixed mode cracks is deduced according to the available relationship between the stress intensity factor and the strain energy release rate of single mode crack. A FEM model for the I-II mixed mode cracks is established by use of the software ABAQUS. It is employed to calculate the stress intensity factor and strain energy release rate of the I-II mixed mode cracks. The model results are compared with those calculated by the deduced formula. The error is only 2. 5% , and the rationality of the proposed formula is validated.【期刊名称】《水利水电科技进展》【年(卷),期】2012(032)006【总页数】3页(P31-33)【关键词】Ⅰ-Ⅱ复合型裂缝;最大应力准则;应力强度因子;应变能释放率【作者】刘梦和;王向东;邵兵【作者单位】河海大学力学与材料学院,江苏南京210098;河海大学力学与材料学院,江苏南京210098;河海大学力学与材料学院,江苏南京210098【正文语种】中文【中图分类】TV313断裂力学是以含裂缝构件为研究对象，分析在各种外界因素(荷载、腐蚀和温变等)作用下裂缝稳定扩展或失稳扩展的规律，研究含裂缝构件安全性的学科［1］。
断裂力学总结
失稳扩展
可以止裂
若材料的表面自由能是常数，则有：
失稳扩展
可以止裂
第二章应力பைடு நூலகம்度因子
2.1裂纹的几种基本型
断裂发生时在裂纹端点要释放出多余的能量，因此，裂端区的应力场和应变场必然与此裂端的能量释放率有关。若裂端应力应变场的强度足够大，断裂即可发生，反之则不发生。
图4-2
等于 时，则 ，当 时， 趋近于 值，得 ；当 时， 得： ，最后得到 。
4.2裂纹张开位移CTOD及J积分
裂纹张开位移是指一个理想裂纹受载荷时，其裂纹表面间的距离。对I型裂纹来说，线弹性断裂力学给出 。若用Irwin塑性区修正，真正裂纹长度被有效裂纹长度所取代，此时原点移动到有效裂纹的端点，以 代替 ， 代替 ，可得小范围屈服修正时 ，利用能量释放率 与 的关系有：
考虑带有裂纹的弹性体，在拉伸载荷作用下，若裂纹仍然维持静止，则此弹性体所储存的总应变能 要比在没有裂纹时所储存的总应变能 大，两者之差用 表示。由于没裂纹时的总应变能 与裂纹长度无关，故有：
1.2能量平衡理论的应用
按照热力学的能量守恒定律，在单位时间内，外界对于系统所做功的改变量，应等于系统储存应变能的该变量，加上动能的改变量，再加上不可恢复消耗能地改变量。假设 为外界对系统所做的功， 为系统储存的应变能， 为裂纹总面积， 为表面能，则断裂发生的临界条件为： 此式为带裂纹物体的断裂判据。按照线性弹性力学的原理，在外力拉伸下，因裂纹扩展而引起的功的变化量 ，将等于两倍的总应变能的变量 ，因此能量释放率在给定外力拉伸的情形下，有：
现以I型单边裂纹为例，来说明柔度法的原理。一块很长的矩形板，如图3-3，
复合材料失效准则
复合材料失效准则复合材料是由两种或多种不同材料的复合结合而成的材料，具有较好的强度、刚度和重量比等优点。
然而，复合材料在使用过程中也会出现失效现象，为了保证复合材料的可靠性和安全性，需要建立相应的失效准则来预测和评估其失效情况。
复合材料的失效准则主要有以下几种：强度失效准则、疲劳失效准则和断裂失效准则。
强度失效准则是指在复合材料承受外载荷作用下，由于应力达到或超过了材料本身的强度极限而导致失效。
强度失效准则主要分为静力失效准则和动力失效准则两种。
静力失效准则是指在静态载荷作用下，当复合材料中的应力达到或超过其本身的强度极限时，会引发失效现象。
常见的静力失效准则有最大应力准则、最大应变准则和von Mises准则等。
最大应力准则是利用材料本身的强度敏感参数（如材料的最大拉伸强度、最大压缩强度等）来判断材料的失效情况，当应力超过这些强度参数时，材料发生失效。
最大应变准则是通过根据材料的最大应变来判断失效情况，当应变超过材料的最大应变极限时，材料发生失效。
von Mises准则是利用材料的等效应力与材料的强度参数进行比较，当等效应力超过强度参数时，材料发生失效。
动力失效准则是指在动态载荷作用下，由于应力的急剧变化或加载速率的变化而导致的失效。
动力失效准则主要有Johnson-Cook准则、Cockcroft-Latham准则和Chaboche准则等。
这些准则是根据材料的动态力学性能参数来判断材料的失效情况，如动态增强系数、应变硬化指数等。
这些参数是在试验或数值模拟中得到的，通过与材料的动态力学性能进行比较，可以判断材料的失效情况。
疲劳失效准则是指在复合材料中，由于长时间作用的循环载荷引起的失效现象。
疲劳失效准则主要有S-N曲线准则和e-N曲线准则等。
S-N曲线准则是指在不同应力水平下，循环载荷下发生失效的循环次数与应力的关系，通过试验得到的S-N曲线可以用来预测材料的疲劳寿命。
e-N曲线准则是指在不同应变水平下，循环载荷下发生失效的循环次数与应变的关系。
《断裂力学》考试题含解析
二 K i',=dxJ(a 2-x 2)10分一、 简答题（本大题共5小题，每小题6分，总计30分）1、 （1）数学分析法：复变函数法、积分变换；（2）近似计算法：边界配置法、 有限元法；（3）实验应力分析法：光弹性法.（4）实验标定法：柔度标定法；2、 假定：（1）裂纹初始扩展沿着周向正应力；一、为最大的方向；（2）当这个方向上的周向正应力的最大值（；=）max 达到临界时,裂纹开始扩展•S3、 应变能密度:W，其中S 为应变能密度因子，表示裂纹尖端附近应力场r密度切的强弱程度。
4、 当应力强度因子幅值小于某值时，裂纹不扩展，该值称为门槛值。
5、 表观启裂韧度，条件启裂韧度，启裂韧度。
二、 推导题（本大题10分）D-B 模型为弹性化模型，带状塑性区为广大弹性区所包围，满足积分守恒的 诸条件。
积分路径：塑性区边界。
AB 上：平行于％，有dx 2 r O’ds r d %兀》s BD 上：平行于 ％，有 dx 2 = 0 , ds = d% , T 2 - sJ(WdX 2 -T 凹 ds) T 2 竺 dX !X-IAB rBDA ；「s VB =：；S (V A ' V D )三、计算题（本大题共3小题，每小题20分，总计60分）1、利用叠加原理：微段一集中力qdx — dKi = 2q ；a 2 dx 业（a-x 2）2007断裂力学考试试题 B 卷答案T 2 土 dx ,BD 2 :x,1SvZ 二.—(sin 2b -sin ( a) 2b 二（a ））2兀a 2 -(sin 2b )31 uJ-L u,cos = 12b2b JE JEJE it二 sin ——cos 一a cos 一 sin — a2b2b2bTt .. Tt二——cos ——a sin 2b 2b■ .2'- 22二[sin (a)] = () cos a 2b2b 2b—0 时，sin 2b sin =( a)二2bn a2b 仝 2b 2b - nn IT 2cos ——a sin ——a (sin — a)b 2b 2bb.在所有 裂纹 内部 应力 为零.y =0, -a ::: x ::: a, -a _ 2b ：：： x ：：： a _ 2b 在区间内C.所有裂纹前端；「y •匚 单个裂纹时Z - —^Z —Jz 2—a 2又Z 应为2b 的周期函数二 Z 二J 兀z 2 兀a 2 、(sin —)2- (sin —)2Y 2b 2b采用新坐标：『：=z - a令 x=acosv= \ a -x = acosv, dx 二 acosrdr 匚 K “ 2q. a ：n1(a1a )咤 d 一Yu '0 a cos 日当整个表面受均布载荷时，耳-；a. K i = 2q J^s in10分2、 边界条件是周期的：a. Z 、，二y 7 一；「.兀z 二sin b10分sin A (a /a)10分当V -0时,第3页 共3页一、简答题（80分）1•断裂力学中，按裂纹受力情况，裂纹可以分为几种类型？请画出这些-： - 2 ■ ■ 2=[sin (a)] -(sin a) 2 cos asin a2b2b 2b 2b 2bZ -0 =.na二 sin 2b2“'： ：■. a 二acos ——sin ,2b 2b 2b二 sin -2b K I 二 lim 、尹Z =-=口0 Ji na 兀 a in ———cos 2b 2b 2b ■: a2b =匚二a 、，—tan —10分 3、当复杂应力状态下的形状改变能密度等于单向拉伸屈服时的形 状改变能密度，材料屈服，即：注 意 行 为 规 范2 2 2 2（匚1-匚2）（二2-匚3）（匚3-匚1）=2j对于I 型裂纹的应力公式：cr +cr J cr -cr nX丫 * xy二亠cos 邛一沐］2 2-2遵 守 考 场 纪律二3 =0（平面应力,薄板或厚板表面）r =cos 2[1 _3si n 2』]2 210分--平面应力下，I 型裂纹前端屈服区域的边界方 管导核字主领审签类型裂纹的受力示意图。
弹性能释放率与应力强度因子之关系研究
机 械 工 业 出 版 社 ，０ ６：６ －０ ． ２ ０ ｌ ５２ ７
于计算钢 筋混凝 土结构 的受力性 能 ， 可用于模 拟过程分析 。通 ［ ］ 石 亦平 ， 也 ２ 周玉蓉． Ｂ Ｑ Ｓ有限元 分析 实例 讲解 ［ ． Ａ ＡＵ Ｍ］ 北京 ：
ｒ ｎ通 ｗ １２ ９０年 的研究工作 ， ｒｆｈ最先应用 能量 法对玻璃 、 Ｇｉｉ ｆｔ 陶瓷等脆 性 纹尖端附近的应力场有直接 关系 。Ｉ ｉ 过对裂纹 尖端附近 应 力场的研究 ， 出了一个新参量—— 应力强度因子 Ｋ， 提 并建立 了断 材料进行 了断裂分析 ， 出 了在 平面应 力状态 下 ， 提 断裂应 力与 裂
一
定 量 的 形 变 功 。所 以 在 １４ ９ ９年 Ｏ ｏ ａ ｒｗ ｎ对 Ｇｉｉ ｒｆｈ的 研 究 成 果 ｆｔ
Ｅ ｒ ＋Ｕ ｎ
设在扩展前 ， 裂纹 的面积为 ， 在外力 Ｐ的作用 下 ， 纹的面 裂 积扩展 了 ， 在这个过程 中拉力所做的功为 ｄ 体系弹性应变能 Ｗ， 变化 了 ｄ 塑性功变化 了 ， Ｕ， 裂纹表 面能 的增加 为 ｄ 。不考虑
进行 了修正 ， 出了如下 的修正公式 ： 提
√— ｌ 一 ＿
其中 ， 为裂纹在扩展过程中所消耗的形 变功。
（） ２
热功间的转换 ， 则根 据能量 守恒 和转换 定律 ， 体系 内能的增加 等
于外力功 ， ： 即
ｄ ＝ｄ Ｗ Ｕ＋ｄ ＋ｄ Ａ Ｔ （） ３
Ｇｉｉ ｒ ｔ ｔ ｈ和 Ｏｏ ａ ｔ ｒｗ ｎ的 理 论 构 成 了 断 裂 力 学 中 的 能 量 理 论 基
各 种 特 征 值 ， 今 后 更 深 入 全 面 地 认 识 钢 筋 混 凝 土 构 件 的 力 学 性 ［ ］ 张国丽 ． 为 ３ 苏 军． 于 Ａ Ａ Ｕ 基 Ｂ Ｑ Ｓ的钢筋 混凝土非 线性分析
断裂力学讲义第五章8-12应变能释放率
断裂⼒学讲义第五章8-12应变能释放率§5.8 应⼒强度因⼦与断裂韧性5.8.1 应⼒强度因⼦的基本概念在上节中，我们将各类裂纹端部各个应⼒分量归纳为⼀个统⼀的表达式:)()(22/1)()(-+=r o f r K J ij JJ ij θπσ (5.61) 它说明对每⼀种类型的裂纹端部应⼒场的分布规律（即ij σ随r 及θ的变化规律）是相同的。
其⼤⼩则完全取决于参数K J 。
所以K J 是表征裂纹端部应⼒场的唯⼀物理量，因⽽称为应⼒场强度因⼦或应⼒强度因⼦。
如式(5.61)所⽰，应⼒在裂纹端部具有奇异性。
⽽K J 也正是⽤以描述这种奇异性的参数。
由式(5.25)可知：rK yy πσθ2|I0== (5.62) 即[]r K yy πσθ2)0(I ?==。
此公式仅在r/a << 1时才适⽤，因⽽[][][]====→=→=→r K r K r K yz r xy r yy r πσπσπσθθθ2lim 2lim 2lim )0(0III)0(0II )0(0I (5.63)上式即应⼒强度因⼦K J 的定义。
应该指出应⼒强度因⼦的量纲[应⼒]×[长度]1/2或[⼒] ×[长度]-3/2。
在SI 单位制中其单位为2/1mMPa ?，在公制中的单位为kg/mm 3/2。
在英制中为lb/in 3/2(磅/英⼨3/2)，它们之间的换算关系为： 1kg=2.2046lb1in=2.54000cm1kg/mm 3/2=0.31012/1mMPa ?5.8.2断裂韧性由上⾯的分析可知，应⼒强度因⼦K J 是表征裂纹端应⼒场的唯⼀参量。
不同样品中的裂纹，⼏何参数及受载情况可以完全不同。
但只要其K J 相同，则裂纹端部的应⼒场是完全相同的。
进⼀步由式(5.57)可知，其位移场，进⽽其应变能场也是相同的。
因此K J 完全表征了裂纹端部的物理状态（即端部各种物理场的情况）。
2-线性断裂力学
11
1）固定位移情况 在图中体系应变能减少，释放出的应变能作为裂纹扩展所 需的功。
应变能减少量=
oac obc
12
2） 固定载荷情况
在图中，体系应变能增加，载荷作的功一半用于增加系统应变能， 一半作为剩余功用于裂纹扩展。
应变能增加量=
(ode oac)
矩形- (ode oac)
K Kc
16
§1.2 裂纹的类型.裂纹尖端附近的应力场和位型分类 穿透裂纹:裂纹沿构件整个厚度贯穿. 表面裂纹:深度和长度皆处于构件表面的裂纹,可简化为 半椭圆裂纹. 深埋裂纹:完全处于构件内部的裂纹,片状圆形或片状椭 圆裂纹.
17
2.按裂纹的受力和断裂特征分类
rei
ZⅠ( )
+a） f ( ) （ ( 2a)
f ( )
( a) 2a
令
lim f ( ) lim ZⅠ( )
0 0
K Ⅰ 2
a
2
KⅠ a
--应力强度因子
30
ZⅠ( )
第一章
线弹性断裂力学
1
线弹性断裂力学认为，材料和构件在断裂以前基本上处 于弹性范围内，可以把物体视为带有裂纹的弹性体。
研究裂纹扩展有两种观点：
一种是能量平衡的观点，认为裂纹扩展的动力是构件在 裂纹扩展中所释放出的弹性应变能，它补偿了产生新裂纹表 面所消耗的能量，如Griffith理论； 一种是应力场强度的观点，认为裂纹扩展的临界状态是
Re ZⅠ ( Im ZⅠ Im ZⅠ y Re ZⅠ) Re ZⅠ y y y
Re ZⅠ y Im ZⅠ
24
断裂力学试题
2007断裂力学考试试题 B 卷答案一、简答题（本大题共5小题，每小题6分，总计30分）1、（1）数学分析法:复变函数法、积分变换；（2）近似计算法：边界配置法、有限元法；（3）实验标定法：柔度标定法；（4）实验应力分析法：光弹性法.2、假定：（1）裂纹初始扩展沿着周向正应力为最大的方向；（2）当这θσ个方向上的周向正应力的最大值达到临界时,裂纹开始扩展.max ()θσ3、应变能密度:，其中S 为应变能密度因子，表示裂纹尖端附近应力rSW =场密度切的强弱程度。
4、当应力强度因子幅值小于某值时，裂纹不扩展，该值称为门槛值。
5、表观启裂韧度，条件启裂韧度，启裂韧度。
二、推导题（本大题10分）D-B 模型为弹性化模型，带状塑性区为广大弹性区所包围，满足积分守恒的诸条件。
积分路径：塑性区边界。
AB 上：平行于，有1x s T dx ds dx σ===212,,0BD 上：平行于，有5分1x s T dx ds dx σ-===212,,05分δσσσσΓs D A s DB s BA s BD AB i iv v v v dx x uT dx x u T ds x u T Wdx J =+=+-=∂∂-∂∂-=∂∂-=⎰⎰⎰)()(1122112212三、计算题（本大题共3小题，每小题20分，总计60分）1、利用叠加原理:微段集中力→qdx →dK =Ⅰ 10分⇒0K =⎰ⅠA令,cos cos x a a θθ=⇒=cos dx a d θθ=⇒111sin ()10cos 22()cos a a a a a K d a θθθ--==Ⅰ当整个表面受均布载荷时,.1a a →10分⇒12()a a K -==Ⅰ2、边界条件是周期的:a. .,y x z σσσ→∞==b.在所有裂纹内部应力为零.在区间内0,,22y a x a a b x a b =-<<-±<<±0,0y xy στ==c.所有裂纹前端y σσ>单个裂纹时 Z =又应为的周期函数Z 2b 10分⇒Z =采用新坐标:z aξ=-⇒Z =当时,0ξ→sin,cos 1222bbbπππξξξ==⇒sin()sincos cossin22222a a abbbbbπππππξξξ+=+ cossin222a abbbπππξ=+2222[sin()]()cos 2cossin(sin)2222222a a a a a bbbbbb b πππππππξξξ+=++thn22[sin()](sin)2cos sin22222a a a ab b b b bπππππξξ⇒+-=Zξ→⇒=limKξσ→⇒===Ⅰ10分=3、当复杂应力状态下的形状改变能密度等于单向拉伸屈服时的形状改变能密度,材料屈服,即:2222122331()()()2sσσσσσσσ-+-+-=对于Ⅰ型裂纹的应力公式:122x yσσσσ+⎧=±⎨⎩12[1sin]22σθθσ⎧⇒=±⎨⎩10分(平面应力,薄板或厚板表面)3σ=2222cos[13sin222sKrθθπσ⇒=±Ⅰ10分--平面应力下,Ⅰ型裂纹前端屈服区域的边界方程.当时,θ=21()2sKrπσ=Ⅰ第3页共3页一、简答题（80分）1. 断裂力学中，按裂纹受力情况，裂纹可以分为几种类型？请画出这些类型裂纹的受力示意图。
临界应力强度因子 与能量释放率
临界应力强度因子与能量释放率下载温馨提示：该文档是我店铺精心编制而成，希望大家下载以后，能够帮助大家解决实际的问题。
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基于能量释放率的界面断裂实验分析方法
基于能量释放率的界面断裂实验分析方法王硕;张铮【摘要】基于对断裂力学常用实验方法的研究,结合界面断裂问题的特殊性,以断裂力学为理论基础,通过能量释放率建立了界面断裂测量的实验分析方法,并且利用文献中的实验数据进行了验证,取得了良好的一致性.该方法通过测量试验件的载荷--位移关系,利用裂纹扩展过程中的能量变化关系得到该裂纹长度下的临界能量释放率;在此基础上,根据试件的阻抗能量曲线预测结构的最大承载能力.该方法以能量释放率为理论基础,为界面裂纹的强度分析提供了合理的手段,基于能量角度建立的实验分析方法也具有良好的实用性和适用性.%Based on commonly used experimental methods in fracture mechanics, with special consideration of the features of the interface fracture, an experimental method for the interface crack is established in the framework of fracture mechanics. With this method,the critical energy release rate can be obtained through the measurement of the load and the displacement of the specimens,for a given length of a crack. Related experiment data verify the robustness of this method,and the qualified consistency between the set of experimental results and the corresponding ones obtained by this method. Further,with this method,the maximum load capacity of the structure can be predicted according to the impedance energy curve. So,this analytic method is a powerful experimental method for the determination of the strength of the interface crack through the energy release rate with wider applications.【期刊名称】《力学与实践》【年(卷),期】2018(040)001【总页数】6页(P18-23)【关键词】界面断裂;能量释放率;有限元模拟【作者】王硕;张铮【作者单位】北京航空航天大学固体力学研究所,北京100191;北京航空航天大学固体力学研究所,北京100191【正文语种】中文【中图分类】O346.1断裂作为材料常见的失效形式，已经受到研究人员的广泛关注，并由此发展出了断裂力学等诸多相关学科，以及安全寿命、损伤容限与耐久性、结构可靠性等相关概念.现阶段，随着各种新材料的出现，尤其是多组份宏观复合型材料的大量使用，不同材料界面的力学失效问题尤其突出，需要更加深入的研究，这也是界面断裂力学产生并快速发展的动力.裂纹尖端场是复杂应力场，决定了断裂问题的性质.不同材料界面的断裂问题尤其复杂，形成了多型裂纹耦合的状况.因此，这类问题的实验研究具有重要意义，实验测量是断裂问题中必不可少的环节.在断裂实验中选取一些便于测量的参数来揭示问题的性质和规律，是断裂力学试验测量方法的内涵.一般来说，反映含裂纹体性质的评价参数有两类：(1)局部参数法.依据裂纹尖端附近物理场(应力、位移等)的相关参数来分析断裂发生条件，主要有应力强度因子 K、裂纹张开位移 COD和 J积分；(2)能量法.利用含裂纹体的能量 (如应变能)随裂纹扩展而产生的变化来判断断裂是否产生，主要有裂纹扩展能量释放率G.对于均质材料裂纹，最常用的评价参数就是断裂韧度KIC.断裂试件一般有4种形式：紧凑拉伸、三点弯曲、C形拉伸、圆紧凑拉伸.每一种试件的规格都有详细的要求，具体规定可见GB/T 21143-2007[1].根据界面断裂力学的相关理论[2]，平面应变状态下的界面裂纹，即使远场只存在拉应力，裂尖仍然处于I,II型的复合状态.这是界面断裂问题的复杂之处，也是断裂实验的复杂之处.1 界面裂纹特殊性均质材料的断裂实验测量方法已经较为完备，但目前关于双材料界面裂纹的实验相对较少，并没有形成一套完整的实验体系[3].另外，相比于均质材料裂纹，界面裂纹扩展规律呈现出更加复杂的形式，对应的实验方法和实验研究具有更重要的意义. 对于三维界面裂纹情况，其裂纹前缘的应力状态是比较复杂的 [4]，以最简单的穿透裂纹来说，其裂尖处往往会出现I,II,III型复合的情况.作者依照图1建立有限元模型，利用软件ANSYS 15.0中的应力强度因子的计算命令，可以求得如图2所示的界面裂纹三型复合的应力强度因子组成.图1 界面裂纹模型示意图图2 三维裂纹应力强度因子分布(沿厚度方向)根据有限元计算结果可以看出：(1)在远场仅施加单向拉力的情况下，界面裂纹确实存在三型状态的叠加，其中以I 型裂纹为主，KII,KIII比KI大致小一个数量级，也就是说界面裂纹中的I型加载所对应的K 并不只有KI，这也验证了文献[4]中不同的均质材料裂纹的KI并不完全等同于界面裂纹的KI的说法；(2)KI在试件厚度方向上以中面对称且前后均为自由面，中间大，两边小；KII沿厚度方向则基本不变；KIII则以中面呈现反对称，即中间为零，两边大且变号.由此可见，通过应力强度因子判据，在试验中明确各型裂纹的比例和相应的应力强度因子数值，这无疑是一个比较难以达成的任务，增加了实验测量和研究的难度.所以使用能量判据，即应用能量释放率，通过计算外力做功而不必具体计算各型裂纹，这样的实验方式相比之下更加方便有效.2 界面断裂实验方法建立本文以断裂力学为基础，结合界面断裂分析，建立了以能量释放率为测量对象的界面断裂实验方法.类比于CT试件，本文设计形状如图3所示的试件为实验对象，该试件具体尺寸可根据实际情况进行相关调整，此处仅为示意图.图3 含界面裂纹的试件设计图2.1 准静态加载下的界面断裂实验方法在驻止裂纹条件下，如图3所示试件，载荷P与位移u的关系可以写成以下形式式中，P为在位移u上做功的载荷，f(a)为含裂纹体的柔度，是关于裂纹尺寸的函数.参照图3建立有限元模型，根据不同的裂纹尺寸a计算相应的柔度，建立试件柔度函数 f(a)，此函数可用幂函数多项式拟合为式中，f0为无裂纹时的试件柔度.能量释放率G的物理意义如图4所示，含裂纹体的应变能W为由式(3)可得能量释放率，即裂纹扩展动力G为式中，B为试件厚度，于是有实验表明，在裂纹开始扩展后，要使裂纹继续扩展，需要继续提高G，否则裂纹就会停止扩展.恰好能促使裂纹继续扩展所需的能量释放率G称为裂纹扩展阻抗能量释放率GR，图5所示曲线即裂纹扩展阻抗能量释放率曲线.图4 能量释放率的物理含义图5 裂纹扩展阻抗能量释放率曲线裂纹扩展阻力GR取决于如式(6)所示的微分方程[5]其中 m，α均为与材料有关的常数，可认为是已知的.对于准静态加载情况，消去时间t可得到对式(7)积分可得到即令则式(8)变为于是，裂纹扩展条件为G=GR，将式(5)和式(8)代入式(10)，且令P=PR，可得PR称为裂纹扩展阻力，与裂纹尺寸a的关系如图6所示.图6 裂纹扩展阻力曲线由图 6可知，对于含裂纹体的最大承载能力PR,max，有对式(11)求导可以得到对应的临界裂纹尺寸为而且结构的最大承载能力为2.2 一般加载状态下界面断裂实验方法修正考虑到加载过程中往往不能完全保证外加载荷P在裂纹扩展时完全不变，所以将上述实验方法进行一般性扩展，而一般性的载荷--位移曲线如图7所示.图7 实际加载过程中的P--u曲线裂纹扩展微段出现∆a的增量时，沿载荷作用方向的位移u产生增量du，由两部分组成由式(1)可得到其中，可参照式(13)求得.将上两式代入式(14)后有式中，f(a)与f′(a)仍取决于式(2).将式(15)代回式(3)计算外力功，可得到将实际载荷位移曲线 (需实验测得)代入式(17)，即可计算出对应的能量释放率以及裂纹扩展阻力等参数.2.3 实验方法小结本文中所提出的界面断裂实验分析方法具有以下特点：(1)考虑到界面断裂问题中多型裂纹混合，舍弃应力强度因子而以更加简洁普适的能量释放率为研究对象，基于清晰而严谨的理论推导建立本文实验测量方法；(2)对于已知尺寸的试件，可先利用有限元拟合其柔度曲线，在不同裂纹长度情况下，可对裂纹扩展进行理论评估，为结构设计提供理论指导和参考；(3)本实验方法可以利用任意一组发生扩展的裂纹长度以及对应的载荷和相应的位移，得到该裂纹长度下试件的能量释放率，并且可以确定待测试件的裂纹扩展阻力曲线，根据阻力曲线也可以预测整个构件的最大承载.3 本文数据处理方法的有效性验证从验证本文实验方案合理性与准确性的角度，作者利用文献[6]中相关界面材料实验的数据，与本文实验计算方法的结果进行对比.该文献中设计的试件如图8所示，模型参数按表1和表2选取，作者同时利用有限元软件ANSYS进行模拟分析.图8 实验模型图表1 模型材料参数材料弹性模量E/GPa 泊松比ν材料 1(环氧树脂) 1.72 0.4材料 2(玻璃) 68.95 0.2表2 模型尺寸H1/m H2/m a/m S/m 0.01 0.01 0.075 0.15参照模型尺寸和材料参数，利用有限元模型计算，拟合出的构件柔度曲线如图9所示，采用软件MATLAB 2014b程序进行拟合，由于三次曲线拟合的残差已经足够小 (参看图 9中的下图)，为简化计算可以用三次多项式表示该模型的柔度曲线函数,为 (单位：m/N)下面利用文献 [6]中的实验数据(如图10所示)进行验证.图9 模型柔度曲线拟合图10 文献[6]中的实验数据选取实验中使用 I型加载 (仅施加纵向位移，同时控制u=0)的数据点1,2,3进行计算，此时做功的载荷只有纵向载荷，并且将文献[6]中的相关数据列于表3中.表3 实验数据列表数据点序号 1 2 3 平均值临界载荷PC/kN 19.8619.35 19.47 19.56文献GC/(J·m−2)7.8 7.5 7.6 7.63根据表3可知，产生破坏时材料临界载荷PC=19.56kN，对应裂纹长度ac=0.075m[6]，于是结合有限元结果得再依据式(11)可得相对文献[6]中的能量释放率误差约为4.9%，满足工程使用中的误差要求，所以该方法可以正确算出界面裂纹的能量释放率.另外，如果有相关的实验数据，还可以根据实际的载荷--位移曲线进行实际加载情况下的修正，将误差进一步缩小.4 总结由于界面断裂问题的特殊性，现有的断裂力学实验方法不完全适用于界面裂纹，所以本文的目的在于建立基于断裂力学理论的、适用于界面裂纹的相关实验方法.考虑到理论分析时界面裂纹的应力强度因子成分比较复杂，本文以能量释放率为核心，建立针对界面裂纹的实验数据分析方法，并且利用文献中相关的实验数据验证本方法的准确度满足工程应用要求.另外本方法不仅可以根据实验中试件的载荷--位移关系得到临界能量释放率，在此基础上，还能够根据试件的阻抗能量曲线计算结构的最大承载能力.总而言之，本文中的方法为含界面裂纹的结构进行强度分析提供了理论工具.本文所提出的方法比较简明，与实验结果的对比表明了本方法良好的应用性，因而具有良好的工程应用价值.本文在3.2节提出的改进型实验方法具有更严谨的理论基础，在实验数据完备的情况下，将产生更准确的理论评估结果. 参考文献1中华人民共和国标准化管理委员会.金属材料准静态断裂韧度的统一试验方法.2007-09-112许金泉.界面力学.北京：科学出版社,20063向毅斌.双材料界面断裂韧性的测定方法. 兵工学报,2002,23(1):112-1154朱莉.三维复合型脆性断裂行为的数值计算与实验研究.[博士论文].哈尔滨：哈尔滨工程大学,20125杨继运,张行.裂纹扩展阻力曲线与剩余强度关系的理论研究.机械强度,2003,25(3):334-3396 Meng Q,Lee DJ,Xing Z.Solution of analytical-variational method on bi-material interface crack and its comparison with experiment.Journal of Mechanical Science and Technology,1997,11(5):521-529。
120509462387_05.6能量释放率
疲劳与断裂
土木工程与力学学院
5.6能量释放率
5.6 能量释放率
Griffith早在1921年就指出，由于裂纹的出现使得固体材料出现新的表面，在开裂过程中，必然会有一部分能量转化成裂纹表面能。
根据能量转化关系，有
这里，是外力功，是系统释放的应变能，是裂纹面单位面积的表面能，是裂纹尺寸。
5.6 能量释放率 Irwin 引入能量释放率的概念，定义为
它表示裂纹扩展单位面积需要消耗的能量，又称为裂纹扩展力，与
结构的受力形式、裂纹尺寸等有关。
能量释放率的量纲为[力]/[长度]，常用单位为N/m 。
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5.6 能量释放率
裂纹要扩展就必须克服裂纹扩展阻力，即满足裂纹扩展条件对于Ⅰ型裂纹，上述表达式可以表示为
5.6 能量释放率 由于能量释放率 和应力强度因子
描述的是同一个物理现象，因此它们之间必然存在一定的关系。
以无穷远处受均匀拉应力作用的无限大中心裂纹板为例。
假设远场应力保持不变，裂纹两端各向前扩展 ，此时外力所做的功一半用于增加结构应变能，一半用于推动裂纹向前扩展。
因此有 即
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5.6 能量释放率
代入裂尖应力场和位移场表达式，可得
这表明能量释放率和应力强度因子之间存在明确的关系。
因此，能量释放率和应力强度因子都可以用来作为断裂控制参量。
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2 2
1 K Ⅲ
E
2
（4—15）
实验结果指出，除Ⅰ型裂纹可以沿原方向扩展外，其 余裂纹型往往不沿原方向扩展。 因此（4—13） 至（4—15）是能量释放率的近似估 计。如果要考虑裂纹真正的扩展方向必须用数值解法。
s
(r ,0)v( s r , ）
Bdr
把（4—8）（4—9)代入（4—10）得
U
1
BK
K a s (
4
2
1)
s 0
s r dr r
0, 2
令
r s sin
s
0
积分区间变成 sr s 2 2 dr 2s cos d 0 r 2
1 2 则Ⅰ型能量释放率 G G 8 K
（4—11）
对于平面问题,取有效弹性模量 1 和有效泊松比 E1
E 平面应力 E1 E ` 1 2 平面应变
1 1
平面应力 平面应变
3 1 3 4
（2）应力强度因子 K m (m=Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ） 在极坐标下，可以根据 K m 、θ、r 求出裂端区的应 力场，也可以求出裂端区的位移场。
既然知道了应力，和相应的位移，我们可不可以求 出应变能U，然后通过U和G的关系，让G和 K 建立 联系呢？
二，推证
能量释放率、griffith断裂判据
通过能量原理建立联系
（ 4 —3 ）
（ 4 —4 ） （ 4 —5 ）
xy
KI 2r
sin
3 cos cos 2 2 2
Ⅰ型裂端区位移场:
r 2u K I k 1 2 sin 2 cos 2 2 2 r 2 K I k 1 2 sin 2 sin 2 2 2
平面应力 平面应变
在线弹性范围内，剪切模量μ，弹性模E，泊松比ν有 E 下列关系: 21 把平面应力相应的参数，平面应变相应的参数代 入 （4—11） 1 1
8
K 2 G E 2 2 ( 1 ) K E
E1
K G （4—12） E1
图B
1 s r K I a s （4—9） s r , 2 2
K I as 为裂纹长度为a+s时的应力强度因子
由于假设没有其他能量损耗，则总的附加应变能 U1 为： （4—10） 2 注：积分号外面的2，是因为上下两个面；B是板的厚度
0
U1 2
一,引出问题
(1)griffith提出能量释放的观点，得到能量释放率的 公式: 1 U1 1 U1 G lim a 0 B a B a (单边裂纹) （4—1） 根据附加应变能 U1 和σ关系 G和σ的关系
得到griffith裂纹断裂判据:
a
2
2 E S
（ 4 —2 ）
应力强度因子
假设：不考虑其他能量的损耗，则能量转换表现为所 有能量在裂端释放以形成新的裂纹面积
Ⅰ型裂端区应力场:
x
y
KI 3 cos 1 sin sin 2 2 2 2 r KI 3 cos 1 sin源自sin 2 2 2 2 r则
BK K a s 1 s BK K a s 1s U 1 8 4 2
s 0
把 U1 代入（4—1）: G lim
当s→0时，有 K a s K
1 BK K a s 1s B 8
1 2 1 2
（ 4 —6 ） （ 4 —7 ）
图A
裂纹长度a的裂纹端点正前方使裂纹面撑开的拉伸应力： θ=0,R=r代入公式 （4—4）
y r , o
K 2r
（4—8）
设裂纹可以延长s长度,即裂端 前方撑开成长度为a+s的裂纹， (如图B)
此时在原原坐标系x=r处，离 新裂纹端点s-r处。 新裂纹上表面的位移为： θ= ,R=s-r 代入公式（4—7）
2
平面应力 平面应变
三，总结
K G E1 注：基于裂纹沿原方向扩展的假设上
假设Ⅱ型裂纹和Ⅲ型裂纹的扩展方向也是裂端正 前方，则：
2
K G E1
GⅢ
2
（4—13）
1 K Ⅲ 2
E
（4—14）
如果带裂纹的平板受到Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三种载荷而成复 合型裂纹时，上述假设仍成立，则总能量释放率为