第7课时商不变的规律

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第二单元第7课时商不变的规律(课件)数学四年级上册

归纳总结
被除数和除数末尾都有0的除法：将被除数和除数末尾都划去相同个数的0再计算
如果买对号，可以买多少把？ 900÷40=
22 40 9 0 0
80 100
80
20
900÷40= 22（把）······20（元）
22
40 9 0 0 8
10
余数是2对吗？
8
20
Байду номын сангаас
被除数和除数同时划去几个 0？
250÷50=5 50÷10=5 25÷5=5
420÷20=211 4
840÷40=21
42÷2=21
4
12
3
24 ÷ 6 = 4
120
30
240
60
600
60
300
÷
30
= 10
60
6
30
3
归纳总结

被除数和除数同时乘以或除以
一个相同的数（0除外），商不变。
2. 在（）里填上适当的数，使计算简便。
40×22+2 =882（元） 40×22+20=900（元）
900÷40= 22（把）······20（元） 22
40 9 0 0 8
10 8
“90个十”里面有22个“40” 和2个“10”
20
余数为什么是20不是2？
归纳总结
被除数和除数末尾都有0的除法：将被除数和除数末尾都划去相同个数的0，再计算；如果有余数，划去几个 0，就在余数后面添加几个0。
被除数和除数同时 ÷4，商不变。
先按要求算一算，填一填，再比较算出的结果。
被除数
除数
除法算式

人教版数学四年级上册6.7商的变化规律课件(23张ppt)

100
200÷
10
5
视察第一组算式。
除数不变，被除数乘几或除几（0除外），商也乘几或除几。
被除数不变，除数乘视察第二组算式。几或除几（0除外），商反而除以或乘以几。
知识提炼 1.除数不变，商随被除数变化的规律：被除
数乘（或除以）几（0除外）商也乘（或除以）相同的数。
2.被除数不变，商随除数变化的规律：除数乘（或除以）几（0除外），商就除以（或乘）相同的数。
正确解答：×
1.根据每组题中第1题的商，写出下面两题的商。（选自教材P87做一做）
72÷9= 8
36÷3= 12
80÷4=20
720÷90= 8
360÷30=12
Байду номын сангаас
800÷40=20
7200÷900= 8 3600÷300=12 8000÷400=20
2.你能直接写出下面各题的得数吗？（选自教材P89练习十七第5题）
旧知回顾：两位数除三位数的计算方法：从被除数的最
高位开始除，除到哪一位，商就写在那一位的上面，不够商1就商0占位。
通过比较因数和积的变化情况，发现积的变化规律。
例题分析计算下面两组题，你能发现什么？
先计算出结果，然后
2
再仔细视察哦。
20
40
与上一组题相比，
你是否看出了两
组题有哪些不同。
5400÷600= 9 2800÷700= 4 3000÷500= 6
6300÷900= 7 4800÷800= 6 2000÷400= 5
1500÷300= 5 4200÷600= 7 4500÷500= 9
3.根据每组题中第1题的商，写出下面两题的商。

四年级上第7课时商不变的规律

四年级上第7课时商不变的规律在数学的奇妙世界里，四年级上册的第 7 课时，我们迎来了一个非常重要的规律——商不变的规律。

这个规律就像是一把神奇的钥匙，能够帮助我们更轻松地解决许多数学问题。

让我们先从一个简单的例子开始说起。

假设我们有 6 个苹果，要平均分给 2 个人，每人能得到 3 个苹果。

那如果我们有 60 个苹果，平均分给 20 个人呢？答案是每人仍然能得到 3 个苹果。

再假设我们有 600个苹果，平均分给200 个人，结果会怎样？没错，还是每人3 个苹果。

在这些例子中，虽然被除数和除数都在不断地变大，但商始终保持不变，都是 3。

这其实就是商不变规律的一个体现。

那么，商不变的规律到底是什么呢？简单来说，就是被除数和除数同时乘或除以相同的数（0 除外），商不变。

为了更好地理解这个规律，我们来做几道数学题。

比如 8÷2 ＝ 4，如果被除数 8 乘以 3 变成 24，除数 2 也乘以 3 变成 6，那么 24÷6 的商还是 4。

再比如 18÷6 ＝ 3，如果被除数 18 除以 3 变成 6，除数 6 也除以 3 变成 2，6÷2 的商依然是 3。

商不变的规律在我们的日常生活中也有很多实际的应用。

比如，在购物时，如果某种商品的单价不变，我们购买的数量增加或减少一定的倍数，总价也会相应地增加或减少相同的倍数。

想象一下，一家商店里的某个玩具每个卖 10 元，你买 2 个需要花费 20 元。

如果商店搞促销，同样的玩具每个价格不变，你决定买 10 个，那么总价就是 100 元。

这里，单价就相当于商，购买的数量相当于除数，总价相当于被除数。

购买数量从 2 变成 10，扩大了 5 倍，总价从 20 变成 100，也扩大了 5 倍，而单价始终是 10 元不变。

商不变的规律还能帮助我们简化计算。

比如计算 1200÷400，如果直接计算可能会有点麻烦，但我们可以根据商不变的规律，将被除数和除数同时除以 100，就变成了 12÷4，结果一下子就出来了，等于 3。

北师大版四年级数学上册第六单元除法---第7课时《商不变的规律》PPT课件

100÷20＝ 5 （100÷2）÷（20÷2）＝ 5
被除数、除数同时除以2
（100÷10）÷（20÷10）＝ 5
被除数、除数同时除以10 商不变
第三组算式，被除数、除数和商有什么变化？
正确。
被除数和除数同时乘或除以相同的数（零你除认外为）淘，气商改不的变正。确吗？
这就是商不变的规律。
÷5
÷5 不变
10 ÷ 2 ＝ 5 结论正确。
被除数和除数同时乘或除以相同的数（不为0），商不变。
淘气把三组算式改写了一下，你同意吗？尝试用自己的语言说出其中的规律。
小组讨论
1.小组讨论淘气改的算式是否正确。 2.在小组内说说自己看法。
8÷2＝ 4 （8×10）÷（2×10）＝ 4
被除数、除数同时乘10
48 ÷ 24 ＝ 2
÷2 ÷2 不变
24 ÷ 12 ＝ 2
与算式48÷24＝2相比较，当被被除除数数、4除8和数除与数商24同时除以2时，有得什到么2变4÷化1？2，商仍然是2。
48 ÷ 24 ＝ 2
÷8 ÷8 不变
6 ÷ 3 ＝2
与算式48÷24=2相比较，当被被有除什除数么数、变48除化和数？除与数商24同时除以8时，得到6÷3，商仍然是2。
2.下面的计算对吗？和同伴交流。
√
×
√
被除数和除数同时缩小到原来的十分之一，商不变，应该是31，而不是310。
3.计算下列各题，并与同伴进行交流。
240÷30 ＝8 80÷20＝4
360÷90＝4 4800÷400＝12
440÷20＝22 9200÷400＝23 120÷40＝3 2400÷60＝40
＝6
＝16

7商不变的性质 ppt课件

星光小学冬山小学李庄小学
总价（元） 900
300
600
数量（个）
45
15
30
拓展运用
南山村有36个太阳灶。用这些太阳灶做饭，全年大约可以节约煤炭43200千克。平均每个太阳灶每月大约能节约煤炭多少千克？（用计算器计算）
不变。√（） 5、在除法里，被除数扩大3倍，除数缩小3倍，商不变。（×） 6、在除法里，被除数扩大5倍，除数扩大6倍，商不变。（× ）
7、在除法里，被除数缩小6倍，除数缩小6倍，商不变。（√ ）
用简便方法计算，并验算。
360÷30=
700÷40=
小结
被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），
5400 ÷ 300= 96 ÷ 4=
6000 ÷ 3000=
3. 下面的计算对吗？把不对的改正过来。
5700÷30=19
750÷40=18 ……3
19
30 5 7 0 0 3 27 27 0
18
40 7 5 0 4 35 32 3
4. 用简便方法计算，并且验算。
750÷30=
900÷700=
5.下面是新明乡三所小学购买计算器的数量和所付的总价。他们购买的计算器单价相同吗？为什么？
规律呢？ 4、你能用一句话来总结我们今天学习的商不变的
性质吗？ 5、24页例题中，用简便方法计算时，被除数的末
尾为什么只划去一个0？余数为什么是20而不是2？
检测
孙悟空给猴儿们分桃子，孙悟空说：“60 个桃子分给30人。”小猴子们嫌少，都吵着不干。孙悟空于是说：“那600个桃子分给300人。”小猴子们都同意了，只有一个稍微大一点的猴子说：“还是少，我不同意。”众猴又嚷嚷起来。“那好，6000 个桃子分给3000人！”小猴子们想想，同意了。小猴子们笑了，悟空也笑了。

2024年新人教版四年级数学上册《第6单元第7课时商的变化规律》教学课件

45÷9＝5 90÷18＝ 5 180÷36＝ 5
40÷5＝8 120÷5＝ 24 280÷35＝ 8
课堂小结
通过这节课的学习，你有什么收获?
36÷3＝ 12 360÷30＝12 3600÷300＝ 12
80÷4＝20 800÷40＝20 8000÷400＝20
巩固运用 1.填一填。 36÷4＝（36×4 ）÷（4 ×○ □4 ） 240÷16＝（240 ○÷ □4 ）÷（16÷4） 144÷12＝（144×2）÷（12 ×○ □2 ）
除数也要乘15。
（√ ）
（2）两个数的商是8，如果被除数不变，除数乘4，
商就变成32。商应是2。
（ ×）
（3）一个除法算式的被除数、除数都除以3以后，
商是20，那么原来的商是60。
（×）
商不变，是20。
4.根据每组题的第1题的商，写出下面两题的商。(教材P90 T6)
56÷2＝28 560÷20＝ 28 560÷2＝ 280
（3）计算并观察下面的题。
6 ÷3 ＝ 60 ÷ 30 ＝ 600 ÷ 300 ＝ 6000 ÷ 3000 ＝
自主探究 • 计算出各题的商。 • 观察比较这些算式中什
么数变了，什么数没变，变化有什么特点。 • 举例验证你的发现。
6
÷ 3 ＝2
÷10 ×10 ÷10 ×10 不变不变
60 ÷ 30 ＝ 2
÷10 ×10 ÷10 ×10 不变不变
600 ÷ 300 ＝ 2
÷10 ×10 ÷10 ×10 不变不变
6000 ÷ 3000 ＝ 2
被除数和除数都乘或除以一个相同的数（0除外），商不变。
做一做
根据每组题中第1题的商，写出下面两题的商。(教材P87)

《商不变的规律》ppt

的商相同。
问题二
解决方法
学生在计算过程中可能出现错误，影响实验结
果。
教师需提醒学生仔细进行计算，并核对计算结果是否与预期商值一致。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
具体来说，如果有一个除法运算 a ÷ b = c，那么当被除数 a 和除数 b 同时扩大或缩小 k 倍时，新的除法运算 (a × k) ÷ (b × k) 的结果仍然是 c。
性质

01
02
03
普遍性
商不变的规律适用于任何形式的除法运算，无论是整数、小数、分数还是代数表达式。
双向性
被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数时，商保持不变。
稳定性
无论被除数和除数扩大或缩小的倍数是多少，只要倍数相同，商始终保持不变。
商不变的规律在数学中的地位和作用
基础性
商不变的规律是数学中除法运算的基础，是学习其他代数知识和解决数学问题的重要基础。
应用性
商不变的规律在数学中有广泛的应用，如简化计算、证明代数恒等式、解决方程和不等式问题等。
商不变的规律的推广
商不变的规律在乘法中的推广
虽然商不变的规律原本是用于除法的，但也可以推广到乘法中。当两个数同时扩大或缩小相同的倍数时，它们的乘积也保持不变。
商不变的规律在其他数学领域的应用
商不变的规律不仅在算术中有应用，还可以推广到其他数学领域，如代数、几何等。例如，在几何图形变换中，图形的大小变化不会影响其形状和比例。
在计算几何形状的面积和周长时，可以利用商不变规律来简化计算过程。
图形变换
在图形变换中，可以利用商不变规律来研究图形之间的变换关系，例如相似、位似等。

四年级上册数学教案-第6单元 7商的变化规律(人教版)

四年级上册数学教案-第6单元 7商的变化规律（人教版）一、教学目标1. 知识与技能：理解商的变化规律，掌握除法算式中被除数、除数同时扩大或缩小相同倍数（0除外）时，商不变的规律。

2. 过程与方法：通过观察、分析、归纳等数学活动，培养学生的逻辑思维能力和抽象概括能力。

3. 情感态度与价值观：激发学生对数学的好奇心和求知欲，体验数学学习的乐趣，培养学生合作交流、积极思考的良好习惯。

二、教学内容人教版小学数学四年级上册第6单元第7课时：商的变化规律。

三、教学重点与难点1. 教学重点：掌握商的变化规律，能运用规律解决实际问题。

2. 教学难点：理解商的变化规律的本质，能灵活运用规律进行计算。

四、教学过程1. 导入新课（1）利用生活中的实例，如分苹果、分糖果等，引导学生回顾除法的意义和计算方法。

（2）提出问题：如果苹果（糖果）的数量和人数都增加一倍，每人分到的苹果（糖果）会变吗？为什么？2. 探究新知（1）让学生分组讨论，每组选一个代表汇报讨论结果。

（2）教师引导学生观察、分析、归纳，总结出商的变化规律。

（3）通过例题，让学生运用商的变化规律进行计算，加深对规律的理解。

3. 巩固练习（1）布置课堂练习，让学生独立完成。

（2）针对学生的错误，进行讲解和指导。

4. 总结提升（1）让学生用自己的话总结商的变化规律。

（2）教师对学生的回答进行点评和补充。

5. 课后作业（1）布置课后作业，让学生巩固所学知识。

（2）鼓励学生将所学知识运用到生活中，解决实际问题。

五、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、发言情况、合作交流等方面。

2. 练习完成情况：检查学生的课堂练习和课后作业，了解学生对商的变化规律的掌握程度。

3. 学生反馈：听取学生对本节课的看法和建议，不断改进教学方法，提高教学效果。

六、教学反思1. 教师要关注学生在学习过程中的思维发展，引导他们从具体实例中抽象出数学规律。

2. 注重培养学生的合作意识和交流能力，让他们在讨论中互相学习、共同进步。

商不变规律ppt

商不变规律是数学教育中一个重要的知识点，是学生学习除法运算的基础。
商不变规律的应用场景
在解决实际问题的过程中，如工程、经济、科技等领域，常常需要使用商不变规律来简化计算过
程。
在数学题目的解答中，商不变规律也经常被用来简化复杂的除法
运算。
在学习其他数学知识点时，如乘法分配律、分数的约分等，商不
变规律也是重要的基础。
02
商不变规律的证明
证明的思路
引入商不变规律的概念
商不变规律是指在除法运算中，如果被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数，商保持不变。
确定证明方法
为了证明商不变规律，可以采用举例法和演绎推理相结合的方法。首先通过具体的例子来直观理解规律，然后运用数学推导来证明其正确性。
被除数和除数都不能为0，否则不符合数学的基本定义和规则。
商不变规律的推广
指数法则
在高等数学中，商不变规律可以推广为指数法则，即当底数相同时，指数相加或相减保持不变。
矩阵运算
在矩阵运算中，当两个矩阵同时进行相似变换时，它们的行列式值保持不变，这也与商不变规律
有一定的联系。
分式运算
在分式运算中，如果两个分数的分子和分母同时扩大或缩小相同的倍数，分数值保持不变，这也
符合商不变规律的原理。
04
商不变规律的应用
在数学中的应用
简化计算
商不变规律可以用于简化计算，例如在除法中，如果被除数和除数同时乘以或除以同一个非零数，商不变。
解决数学问题
商不变规律是数学中解决一些问题的重要工具，例如在分数的加减法中，可以通过商不变规律进行分母的通分。
数学证明
商不变规律在数学证明中也有广泛应用，例如在证明一些等式或不等式时，可以利用商不变规律进行推导。

《商不变的规律》(教学设计)-四年级上册数学苏教版

《商不变的规律》（教学设计）四年级上册数学苏教版在今天的数学课上，我们来学习《商不变的规律》。

这是一节四年级上册的数学课，所使用的教材是苏教版。

一、教学内容我们今天的学习内容是第七章第二节的《商不变的规律》。

这部分内容主要讲解在除法运算中，被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数（0除外），商不变的规律。

我们将通过具体的例题来理解和掌握这个规律。

二、教学目标通过本节课的学习，希望同学们能够理解和掌握商不变的规律，并能运用到实际的除法运算中。

三、教学难点与重点本节课的重点是理解和掌握商不变的规律，难点是能够将这个规律运用到实际的除法运算中。

四、教具与学具准备为了帮助同学们更好地理解和掌握商不变的规律，我已经准备好了PPT和一些练习题。

五、教学过程1. 实践情景引入：我会通过一个实际的例子来引入今天的课题，让同学们能够更好地理解商不变的规律。

2. 讲解与演示：我会通过PPT和具体的例题来讲解和演示商不变的规律。

3. 随堂练习：我会给出一些练习题，让同学们能够在课堂上运用所学的知识来解答。

六、板书设计我会在黑板上写出商不变的规律，以及我们在课堂上讲解的例题。

七、作业设计1. 请同学们用自己的话复述一下商不变的规律。

2. 请同学们举一个例子，来说明商不变的规律。

八、课后反思及拓展延伸课后，我会对今天的课程进行反思，看看哪些地方讲解得不够清楚，哪些地方同学们反应比较好。

同时，我也会给同学们提供一些拓展延伸的材料，帮助他们更好地理解和掌握商不变的规律。

这就是我今天的教学设计。

希望通过我的讲解和同学们的认真学习，我们能够更好地理解和掌握商不变的规律。

重点和难点解析在上述的教学设计中，有几个重点和难点是我认为同学们需要特别关注的。

一、实践情景引入在实践情景引入环节，我会通过一个实际的例子来引入今天的课题。

这个例子是将36分成9份，每份是4。

然后我会提问，如果我们将36分成6份，每份是多少？这个例子能够帮助同学们直观地理解商不变的规律，因此在讲解这个例子时，我会特别强调被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数（0除外），商不变的规律。

《商不变的规律》教案设计

《商不变的规律》教案设计“商不变规律”是小学数学中的重要基础知识，它是进行除法简便计算的依据，也是今后学习小数乘除法，分数、比的基本性质等知识的基础。

下面是店铺为大家整理的关于《商不变的规律》教案教学设计，希望对你们有帮助。

《商不变的规律》教学设计教学目标：1.理解掌握商不变的规律。

2.培养学生观察、比较、抽象概括等能力。

3.通过体会“变”与“不变”的数学现象，引导学生感受辩证唯物主义思想。

教学重难点：理解商不变的规律。

归纳商不变规律的过程。

教学过程：一、激趣导入互动猜数124711……(一个一个出示)师：最后猜对了，前面怎么猜不准呢?生：最后找到规律了师：今天我们一起再来探索一节有关规律的课。

【设计意图：由猜数激趣导入，能很快集中学生的注意力，激发学生学习的兴趣，同时为本节课探索新知做了铺垫】二、探究规律出示一组=2的算式6÷3=12÷6=36÷18=24÷12=20÷10=200÷10024÷6=学生口算师：看这几个算式，你有什么发现?生：商不变，被除数、除数变了。

师根据学生的回答板书：被除数、除数变，商不变。

师：被除数和除数怎么变，商才不变呢?这节课我们好好研究研究这个问题，拿什么来研究啊?生：除法算式。

师：拿几个算式来研究比较合适、比较方便、比较可信呢?师生一起探讨最后得出：拿一组算式来研究然后找一些算式看看是不是和我们所找的规律符合。

出示6÷3=212÷6=236÷18=2生找规律呈现学生资源，交流师：还能找到第三组吗指出可以从上往下比较也能从下往上比较想一想还能以谁为标准?师：进行了几次比较?在几次比较中有什么规律?生：被除数和除数同时乘一个相同的数，商不变。

生：同时除以一个相同的数，商也不变。

重新回放课件师：大家说说被除数和除数怎么变的时候商不变呢?生：被除数和除数同时乘或除以相同的数，商不变。

四年级上第7课时商的变化规律

四年级上第7课时商的变化规律《四年级上第 7 课时商的变化规律》同学们，在数学的奇妙世界里，有很多有趣的规律等待着我们去发现。

今天，咱们要一起来探索的是“商的变化规律”。

首先，我们来思考这样一个问题：如果被除数不变，除数发生变化，商会怎么变呢？假设我们有一道除法算式 100÷20 ＝ 5。

现在，如果除数变为 10，也就是 100÷10，商就变成了 10。

大家发现了吗？当被除数不变，除数变小，商反而变大了。

反过来，如果除数从 20 变成 40，算式变成100÷40，商就变成了25。

这说明当被除数不变，除数变大，商就变小。

那如果除数不变，被除数发生变化，商又会有怎样的规律呢？比如还是 100÷20 ＝ 5，现在被除数变成 200，算式就是 200÷20 ＝10。

可以看到，除数不变，被除数变大，商也跟着变大。

要是被除数变成 50，算式是 50÷20 ＝ 25，这就表明除数不变，被除数变小，商也变小。

接下来，咱们再看看被除数和除数同时变化的情况。

假如有算式 40÷2 ＝ 20，如果被除数和除数都乘以 2，变成 80÷4，商依然是 20。

这意味着被除数和除数同时乘以相同的数（0 除外），商不变。

那要是被除数和除数同时除以 2 呢？算式就变成 20÷1 ＝ 20，商还是不变。

但是，如果被除数乘以 2，除数除以 2，算式变成 80÷1，商就变成了 80。

同样，如果被除数除以 2，除数乘以 2，算式变成 20÷4 ＝ 5，商就发生了很大的变化。

同学们，通过这些例子，我们总结出了商的变化规律：被除数不变，除数乘（或除以）一个非0 的数，商反而除以（或乘）相同的数；除数不变，被除数乘（或除以）一个非 0 的数，商也乘（或除以）相同的数；被除数和除数同时乘（或除以）相同的数（0 除外），商不变。

掌握了这些规律，对我们解决很多数学问题都有很大的帮助。

第六单元_第07课时_商的变化规律(教学课件)-四年级数学上册人教版

被除数不变，除数乘或除以几(0除外)，商就除以或乘几。
探究商不变的规律
计算下面各题。
6÷3＝___2___
×10
×10
60÷30＝___2___
×10
×10
600÷300＝___2___
×10
×10
6000÷3000＝___2___
从上往下观察，发现了什么？
被除数和除数都乘一个相同的数，商不变。
计算下面各题。
6÷3＝___2___
÷10
÷10
60÷30＝___2___
÷10
÷10
600÷300＝___2___
÷10
÷10
6000÷3000＝___2___
从下往上观察，发现了什么？
被除数和除数都除以一个相同的数，商不变。
仔细观察这些算式，你发现了什么？被除数和除数都乘一个相同的数，商不变。
巩固成果，达标练习
根据第一题的商，写出后面两道题的商。
80÷4= 18 800÷40= 9 8000÷400= 6
被除数和除数都乘或除以一个相同的数（0除外），商不变。
填一填。
18÷2=（18×2 ） ÷（2 × 2 ） 80÷16＝（80 ÷ 4 ）÷（16÷4） 48÷12＝（48×3）÷（12 × 3 ）
1. 绘制本节课知识的思维导图； 2. 完成《分层作业》。
条件问题
16个足球 160个羽毛球 320个毽子平均分给8个班平均每个班分到足球、羽毛球和毽子各几个？
把16个足球、160个羽毛球和320个毽子平均分给四年级的8个班，平均每个班分到足球、羽毛球和毽子各几个？
理解把16平均分成8份，求每份是多少，用除法 16÷8=2 理解把160平均分成8份，求每份是多少，用除法 160÷8=20 理解把320平均分成8份，求每份是多少，用除法 320÷8=40

《商不变的规律》课件

03
商不变规律是数学中一个重要的基本性质，它在很多数学问题中都有应用。
商不变规律的数学表达
如果被除数a和除数b 同时扩大m倍，则商的表达式为 a/b=ma/mb。
通过数学表达，我们可以更清晰地理解商不变规律的内涵和运用方式。
如果被除数和除数同时缩小n倍，则商的表达式仍为 a/b=(a/n)/(b/n)。
步骤二
利用代数表达式表示被除数和除数，并设定一个非零数用于变换。
B
C
步骤三
根据代数运算法则，将被除数和除数同时乘以或除以该非零数，得到新的被除数和除数。
步骤四
计算新的商，发现商与原来的商相等，证明商不变的规律。
D
证明中的注意事项
注意事项一
确保非零数的选择是合理的，不能导致除数为零的情况。
03 商不变规律的证明
证明方法的概述
证明方法
通过数学推导和演绎推理，利用已知的数学定理和性质，证明商在某些条件下保持不变的规律。
证明思路
首先明确商不变的条件，然后通过代数变换和等价变换，逐步推导出商不变的结论。
具体的证明步骤
A
步骤一
明确商不变的条件，即被除数和除数同时乘以或除以同一个非零数，商保持不变。
如速度、加速度等。
化学
在化学中，商不变规律可以用于计算化学反应中各物质之间的比例关系，如反应速率、化学平衡
常数等。
经济学
在经济学中，商不变规律可以用于研究市场供需关系、商品价格变化等问题，帮助我们更好地理
解经济现象。
05 总结与展望
商不变规律的总结
01
商不变规律的定义
在除法中，当被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数时，商不变。

四年级上册第7课时商不变规律的应用最新人教版

(2) 120÷8＝15 240÷16＝(15)
2400÷160＝(15)
商不变的规律：在除法中，被除数和除数都乘（或除以）一个相同的数（0除外），商不变。
应用商的变化规律不仅可以使口算简便，还可以使笔算简便。
新知探究
(1) 780÷30＝ 26
小东这样算：
26 30 7 8 0
60
180 180
0
小英这样算：
26 30 7 8 0
6 18 18
0
小对英。那被样除做数对和吗除？数为都什除么以？10 ，商不变。
教科书第88页例9（1）
1. 600÷40＝15
15 40 6 0 0
4 20 20
0
540÷20＝ 27
27 20 5 4 0
4 14 14
0
运用商不变的规律，可以使计算简便。
教科书第88页“做一做”第1题节选
教科书第88页“做一做”第2题
新知探究
840 ÷ 50 ＝ 16……40
除以10 除以10 不变
乘10
16 50 8 4 0
5
34 30
40
验算：
4在十位上。
余4。
余40。
用竖式计算。
16 × 50
8 00 + 40
840
教科书第88页例10
840 ÷ 50 ＝ 16……40
除以10 除以10 不变
6 除数是两位数的除法
2. 笔算除法
第7课时商不变规律的应用
人教版数学四年级（上）
学习目标
1. 通过创设自主探究的情境，探索发现笔算被除数和除数末尾有 0 的除法的简便算法，加深对商不变规律的理解，能运用规律解决生活中的实际问题。

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被除数
除数
除法算式
商
180
60
180÷60
3
180÷2 60÷2
90÷30
3
180÷10 60÷10
18÷6
3
180÷0 60÷0 ×
被除数和除数同时除以一个相同的数（0除外），商不变。
巩固练习
先说说被除数和除数分别是怎样变化的，再直接填出商。
5
5
5
5
巩固练习根据每组第1题的商，直接写出下面两题的商
2 两、三位数除以两位数
第7课时商不变的规律
课时目标
1．理解掌握商不变的规律，能运用商不变的规律进行简便运算。 2．初步培养抽象和概括的能力，激发对数学学习的兴趣。
探究新知先按要求算一算，填一填，再比较算出的结果。
7
5
商
400÷80 5 没
50÷10
5
有
25÷5
5
变
探究新知
5 400÷80 5
星光小学：900÷45=20（元）东山小学：300÷15=20（元）李庄小学：600÷30=20（元）
相同，都是每个20元。
课堂小结
被除数和除数同时乘或除以一个相同的数（0除外），商不变。
42÷3＝ 14 250÷50＝5 420÷20＝21 84÷6＝14 50÷10＝5 840÷40＝21 420÷30＝14 25÷5＝ 5 42÷2＝ 21
巩固练习你能根据商不变规律直接说出下面各题的得数吗？
32
12
30
13
17
16
巩固练习
6
300
30
60
60
30
巩固练习下面是新明数都×2，商不变。除数和被除数都×4，商不变。
探究新知
除数和被除数都÷2 ，商不变。除数和被除数都÷4，商不变。
探究新知
被除数
除数
除法算式
商
30
5
30÷5
6
30×2
5×2
60÷10
6
30×6
5×6
180÷30
6
30×0
5×0
？
被除数和除数同时乘一个相同的数（0除外），商不变。
探究新知