4.静定拱讲解
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《结构力学》第四章静定拱
受力特点概述
静定拱在荷载作用下，拱身主要承受 压力作用，这使得拱具有较好的受压 性能。
拱身受压力作用
由于拱的曲线形状和荷载作用位置的 不同，拱身内力分布通常不均匀，需 要进行详细的内力分析。
内力分布不均匀
静定拱在荷载作用下，其变形主要以 压缩变形为主，弯曲变形相对较小。
变形以压缩为主
影响因素分析
面内失稳
1
拱在面内发生屈曲，导致承载力急剧下降。
面外失稳
2
拱在面外方向发生侧倾或扭转，失去原有形状。
局部失稳
3
拱的局部区域发生失稳，如拱脚的局部压曲等。
提高稳定性的措施
合理选择拱的轴线形式 使拱在受力时能够均匀分布荷载，避 免应力集中。
加强拱的横向联系
通过设置横撑、横系梁等构件，增强 拱的横向稳定性。
贰
静定拱的受力特点
受力分析基本假设
拱身是理想弹性体 在分析中，假设拱身材料符合胡克定律， 即应力与应变成正比关系。 荷载作用在拱的节点上 为简化计算，通常将荷载（如均布荷载、 集中力等）作用在拱的节点上进行分析。 忽略拱身自重影响 在分析中，通常忽略拱身自重对受力的影 响，或将其简化为等效荷载进行处理。
增加拱的刚度
采用高强度材料、增加截面尺寸等措 施，提高拱的整体刚度。
考虑施工方法和顺序
合理的施工方法和顺序可以有效减少 拱在施工过程中的变形和应力，有利 于提高稳定性。
陆
静定拱的工程应用
桥梁工程中的应用
拱桥
静定拱是拱桥的主要结构形式，能够承受较大的竖向荷载和水平推 力，具有良好的经济性和美观性。
习题一
某静定拱的跨度为L，矢高为f，承受均布 荷载q作用，试求其拱脚处的水平推力H和 竖向反力V。
第四章-静定拱
§4-1 基本概念 2.常见形式
铰 静 拱 三 拱—— 定 拱两 拱 铰 静 结 无 拱 超 定 构 铰
三铰拱
两铰拱
无铰拱
第四章 静定拱式结构（Arch） 静定拱式结构（Arch）
§4-1 基本概念 3. 几何特性：
拱 顶 拱轴线 (拱轴 )拱高 起拱线来自拱趾 、 ) ( 跨度
内力不仅与三铰拱位置有关， 内力不仅与三铰拱位置有关，且与拱轴线形 状有关。
谢
谢 ！
第四章 静定拱式结构（Arch） 静定拱式结构（Arch）
§4-4 三铰拱的合理拱轴线
3.方法： 方法： 先作出压力线， ⑴ 先作出压力线，然后以压力线代 替拱轴。 替拱轴。 ° M 利用弯矩方程： ⑵ 利用弯矩方程： = M − Hy ° M∗ 令 M = M − Hy = 0 ⇒ y = H 即为合理拱轴线的纵坐标。 y即为合理拱轴线的纵坐标。
第四章 静定拱式结构（Arch） 静定拱式结构（Arch）
§4-4 三铰拱的合理拱轴线（Optimal centre line of arch） 三铰拱的合理拱轴线（ arch）
1.定义： 定义： 在已知荷载作用下， 在已知荷载作用下，能选择三铰拱的 轴线， 轴线，使得拱的所有横截面上的弯矩 为零。该拱的轴线就称为三铰拱的合 为零。该拱的轴线就称为三铰拱的合 理拱轴线。 理拱轴线。 条件： 2.条件： 拱轴线与压力线重合时， 拱轴线与压力线重合时，满足横截面 上的弯矩M Q=0 而仅有轴力N 上的弯矩M＝0、Q=0，而仅有轴力N。
l 9
dy 2 tgϕ = = (6 − x) dx 9
截面1 截面1：x1 = 1.56m
y1 = 1.75m tgϕ1 = 1 ϕ1 = 450
铰 静 拱 三 拱—— 定 拱两 拱 铰 静 结 无 拱 超 定 构 铰
三铰拱
两铰拱
无铰拱
第四章 静定拱式结构（Arch） 静定拱式结构（Arch）
§4-1 基本概念 3. 几何特性：
拱 顶 拱轴线 (拱轴 )拱高 起拱线来自拱趾 、 ) ( 跨度
内力不仅与三铰拱位置有关， 内力不仅与三铰拱位置有关，且与拱轴线形 状有关。
谢
谢 ！
第四章 静定拱式结构（Arch） 静定拱式结构（Arch）
§4-4 三铰拱的合理拱轴线
3.方法： 方法： 先作出压力线， ⑴ 先作出压力线，然后以压力线代 替拱轴。 替拱轴。 ° M 利用弯矩方程： ⑵ 利用弯矩方程： = M − Hy ° M∗ 令 M = M − Hy = 0 ⇒ y = H 即为合理拱轴线的纵坐标。 y即为合理拱轴线的纵坐标。
第四章 静定拱式结构（Arch） 静定拱式结构（Arch）
§4-4 三铰拱的合理拱轴线（Optimal centre line of arch） 三铰拱的合理拱轴线（ arch）
1.定义： 定义： 在已知荷载作用下， 在已知荷载作用下，能选择三铰拱的 轴线， 轴线，使得拱的所有横截面上的弯矩 为零。该拱的轴线就称为三铰拱的合 为零。该拱的轴线就称为三铰拱的合 理拱轴线。 理拱轴线。 条件： 2.条件： 拱轴线与压力线重合时， 拱轴线与压力线重合时，满足横截面 上的弯矩M Q=0 而仅有轴力N 上的弯矩M＝0、Q=0，而仅有轴力N。
l 9
dy 2 tgϕ = = (6 − x) dx 9
截面1 截面1：x1 = 1.56m
y1 = 1.75m tgϕ1 = 1 ϕ1 = 450
第4章 静定拱
第四章 静定拱
§4—1概述 拱——曲线杆件， 竖向荷载作用下有水平反力。 常用形式： 三铰拱、两铰拱、无铰拱
重要特点： 竖向荷载产生水平推力（与梁相比）
优点： M减小，N为主 ——便于使用抗压材料：砖、石、混凝土
缺点： 水平反力要求 ——地基、支承结构、（墙、柱、墩等）
更坚固。 ——可称拱式结构或推力结构
y(x) x1=1.5,y1=1.75 tanφ=y’ sinφ,cosφ
3.M1=M10-FHy1 S1=S10*c-FH*s N1=S10*s+FH*c
4.表4－1，作图。
3．特点： （1）竖向荷载作用下，
有水平推力H （2）推力使拱M减小，
M = M0 － Hy （3）拱截面内轴力较大，
（梁N=0） 4．斜拱与一般荷载作用 ①斜拱
【例4—2】 均布荷载满跨 【解】
M 0 ql x qx2 qx (l x) 2 22
H
M
0 c
1
ql 2
f f8
y M 0 qx (l x) 8 f 4 f x(l x)
H2
ql 2 l 2
具有不同髙跨比的一组抛物线——合理拱轴线
[例4—3]q = qc+ γy 解：坐标系如图，
M=M0－H（f－y）=0
f y M0 H
求导二次：
y"
1 H
d2M 0 dx2
1 H
(q)
y q H
q=qc+γy
y " x y qc HH
微分方程解 边界条件
——二阶常系数线性非齐次方程 ——确定合理拱轴线方程
[例4-4] 静水压力 解：非竖向荷载，设M＝0状态，
用微元平衡求合理拱轴线 微段：N 平衡：
§4—1概述 拱——曲线杆件， 竖向荷载作用下有水平反力。 常用形式： 三铰拱、两铰拱、无铰拱
重要特点： 竖向荷载产生水平推力（与梁相比）
优点： M减小，N为主 ——便于使用抗压材料：砖、石、混凝土
缺点： 水平反力要求 ——地基、支承结构、（墙、柱、墩等）
更坚固。 ——可称拱式结构或推力结构
y(x) x1=1.5,y1=1.75 tanφ=y’ sinφ,cosφ
3.M1=M10-FHy1 S1=S10*c-FH*s N1=S10*s+FH*c
4.表4－1，作图。
3．特点： （1）竖向荷载作用下，
有水平推力H （2）推力使拱M减小，
M = M0 － Hy （3）拱截面内轴力较大，
（梁N=0） 4．斜拱与一般荷载作用 ①斜拱
【例4—2】 均布荷载满跨 【解】
M 0 ql x qx2 qx (l x) 2 22
H
M
0 c
1
ql 2
f f8
y M 0 qx (l x) 8 f 4 f x(l x)
H2
ql 2 l 2
具有不同髙跨比的一组抛物线——合理拱轴线
[例4—3]q = qc+ γy 解：坐标系如图，
M=M0－H（f－y）=0
f y M0 H
求导二次：
y"
1 H
d2M 0 dx2
1 H
(q)
y q H
q=qc+γy
y " x y qc HH
微分方程解 边界条件
——二阶常系数线性非齐次方程 ——确定合理拱轴线方程
[例4-4] 静水压力 解：非竖向荷载，设M＝0状态，
用微元平衡求合理拱轴线 微段：N 平衡：
4静定拱(李廉锟_结构力学)
第四章 静定拱
§4-1 概述 §4-2 三铰拱的计算 §4-3 三铰拱的合理拱轴线
拱 (arch)
§4-1 概述
杆轴线为曲线 在竖向荷载作 用下不产生水
平反力。
1.拱的定义
结构力学
这是拱结构吗?
曲梁
拱--杆轴线为曲
线，在竖向荷载 作用下会产生水
拱
平推力的结构。
退出
拱 (arch) 2.拱的受力特点 §4-1 概述
7.5kN
1 0
A
2
2
y2
x
x2=3m 6m
6
7 8
B
3m
f=4m 图所示拱的轴线为抛物线方程
H 7.5kN
y
4f l2
xl x
计算反力并绘
制内力图。
6m
VB 9kN （1）计算支座反力
VA 11kN
VA
P1
Qo
Q Q cos H sin
Mo
V
A
N Q sin H cos
Ｈ
三、受力特点
（1）在竖向荷载作用下有水平反力 H;
（2）由拱截面弯矩计算式可见，比相应简支梁小得多;
（3）拱内有较大的轴向压退力出 N.
q=2kN .m
P=8kN
结构力学
y
34
5
例 1、三铰拱及其所受荷载如
2.内力一般有弯矩、剪力和轴力，由于推力 的存在弯矩比同跨度梁小很多，拱主要承
点 受压力。 3.拱截面上应力分布均匀，更能发挥材料的 作用。可利用抗拉差抗压强的材料，如： 砖、石、混凝土。
退出
拱的特点：
结构力学
1.支座承受水平推力，需要更坚固的地基和
§4-1 概述 §4-2 三铰拱的计算 §4-3 三铰拱的合理拱轴线
拱 (arch)
§4-1 概述
杆轴线为曲线 在竖向荷载作 用下不产生水
平反力。
1.拱的定义
结构力学
这是拱结构吗?
曲梁
拱--杆轴线为曲
线，在竖向荷载 作用下会产生水
拱
平推力的结构。
退出
拱 (arch) 2.拱的受力特点 §4-1 概述
7.5kN
1 0
A
2
2
y2
x
x2=3m 6m
6
7 8
B
3m
f=4m 图所示拱的轴线为抛物线方程
H 7.5kN
y
4f l2
xl x
计算反力并绘
制内力图。
6m
VB 9kN （1）计算支座反力
VA 11kN
VA
P1
Qo
Q Q cos H sin
Mo
V
A
N Q sin H cos
Ｈ
三、受力特点
（1）在竖向荷载作用下有水平反力 H;
（2）由拱截面弯矩计算式可见，比相应简支梁小得多;
（3）拱内有较大的轴向压退力出 N.
q=2kN .m
P=8kN
结构力学
y
34
5
例 1、三铰拱及其所受荷载如
2.内力一般有弯矩、剪力和轴力，由于推力 的存在弯矩比同跨度梁小很多，拱主要承
点 受压力。 3.拱截面上应力分布均匀，更能发挥材料的 作用。可利用抗拉差抗压强的材料，如： 砖、石、混凝土。
退出
拱的特点：
结构力学
1.支座承受水平推力，需要更坚固的地基和
结构力学-静定拱
H=M’C/f 2 内力计算：
截面Ｋ的弯矩： M=[Vax－P1(x－a1)]－Hy
即 M=M’－Hy
A
P1
P2
B
ＫC
剪力：
Ｑ=VA cos --P1 cos--H sin V’A
V’B
＝Ｑ’ cos --H sin
轴力：
HA
P1 Ｋ
A
P2
B
HB
N=(VA--P1) sin+
Hcos
第四章 静定拱
§4--1 概述
拱：杆轴线为曲线并且有竖向荷载作用下会产生 水平反力的结构。
拱的常用形式有三种：
1、三铰拱
HA
A
P
HB B
VA
VB
2 两铰拱
3 无铰拱
拱的各部分名称如右图：拱 趾
起拱线
A
拱轴线
拱
拱高f
趾
B
跨度l
§4--2 三铰拱的数解法
1 支座反力计算
如右图： 由MB=0
a1
b1
VA
VB
=Q’sin +Hsin
综上所述，三铰平拱的内力计算公
式可写为：
M=M’--Hy
Q=Q’ cos --H sin
N=Q’ sin --H cos
§4--3 三铰拱的合理拱轴线
当拱上所有截面的弯矩都为零而只有轴力时，这
时的拱轴线为合理拱轴线。其方程为： y=M’/H
q
例４－２
y
a2
b2
P1
P2
MA=0
HA
A
HB B
HA=HB=H
l1
MC=0
VA
l2 VB
VAl1－P1(l1－a1)－Hf=0 l
结构力学第4章静定拱(f)
FH
FH
由边界条件
x 0, y 0 : x 0, y 0 :
A qc
B0
合理拱轴线的方程为
y qc (cosh x 1)
FH
§4-3 三铰拱的合理拱轴线
例4-3 试求三铰拱在垂直于拱轴线的均布荷载作用下的合理 拱轴线。
解：由图a，荷载为非竖向荷载。
思路：假定拱处于无弯矩状态，根据平衡 条件推求合理拱轴线方程。
Fi ai l
Fx 0 FAH FBH FH
相应简支梁
取左半拱为隔离体
MC 0
FH
FAV l1 F1(l1 a1) f
可 得
FAV FBV
FA0V FB0V
FH
M
0 C
f
三铰拱的反力只与 荷载及三个铰的位置有 关，与拱轴线形状无关；
推力FH 与拱高 f 成反比。
§4-2 三铰拱的计算
§4-2 三铰拱的计算
2、内力的计算
压力为正
任一截面的轴力等于该截面一 侧所有外力在该截面法线方向 上的投影代数和。
FN FAV sin FH cos F1 sin (FAV F1) sin FH cos FS0 sin FH cos
相应简支梁
§4-2 三铰拱的计算
2、内力的计算
区别拱与梁的主要标志：推力的存在与否。
§4-1 概述
拉杆拱： 拱两支座间的拉杆代替支座承受水平推力
拉杆做成折线形可获得较大空间
高跨比：f/l
平拱： 两拱趾在同一水平线上 斜拱： 两拱趾不在同一水平线上
§4-2 三铰拱的计算
1、支座反力的计算
由拱的整体平衡
M B 0 FAV
Fibi l
M A 0 FBV
第四章静定拱
小结： 1) 压力线一定通过铰C。
2) 压力线与拱轴形状无关，只与三个铰A、B、 C及荷载的相对位置和荷载的大小有关。 3) 合力大小由力多边形确定，合力作用线由压 力线确定。 4) 若荷载是竖向集中力，则压力线为折线；若 为均布荷载，压力线为曲线。
四. 三铰拱的合理拱轴线
在给定荷载作用下，三铰拱任一截面弯矩为零 的轴线就称为合理拱轴线。 若用压力线作为三铰拱轴线，则任一截面弯矩 都为零，故压力线为合理拱轴线。
下面列举工程实例给以说明:
三铰拱的构造特征:杆轴线通常为曲线，三个刚 片(包括地基基础)用不在同一直线上的三个铰两两 相连而组成。
三铰拱的受力特征:在竖向荷载作用下，拱脚处 产生很大的水平推力;因此拱轴任一截面的轴力FN 比 较大，弯矩比较小。 当基础薄弱时,常用拉杆来承受其水平推力，成 为带拉杆的三铰拱。
12.5kN 求MK
yk 44 16
2
4(1 6 4 ) 3 m .
M K 0,
M K 1 2 .5 4 1 0 3 2 0 k N m ( 下 拉 ).
求MJ
yJ 3m
M J 7 .5 4 1 0 3 3 0 3 0 0 .
三铰拱任一截面的弯矩为:
M M
0
FH y
令: 得到:
M 0
y M
0
FH
合理拱轴线方程的表达式。
例: 求三铰拱在均布荷载作用下的合理拱轴。 q C
FH A FVA l /2 q A
ql / 2
M qx( l x ) / 2
0
f B FH l /2 FVB
x 代 梁
解：
y
4静定拱
FF
CC
BB
F
V0BF
0 VB
FH FfH f
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§4-3 三铰拱的合理拱轴线
结构力学
三铰拱的合理拱轴线
三铰拱在竖向荷载作用下任一截面的弯矩为：
MK
M
0 K
FH y
拱合理拱轴线：若拱的所有截面上的弯矩都为零，
这样的拱轴线为合理拱轴线。
由 M M 0 FH y 0 得合理拱轴线方程
C
A B
B
A
B
有拉杆的三铰拱
两铰拱
(c)
梁式结构在竖向荷载作用下是不会产生推力的。
C
B
A
B
曲梁
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§4-1 概 述
结构力学
三铰拱各部分名称
拱顶
拱轴线
f 矢高
拱趾
拱趾
l 跨度
拱顶：拱的最高点。 拱趾： 支座处。 跨度：两支座之间的水平距离， 用l表示。 矢高：拱顶到两拱趾间联线的竖向距离，用f表示。
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§4-3 三铰拱的合理拱轴线
结构力学
例4-2 设三铰拱上作用沿水平向均布的竖向荷载q
试求拱的合理轴线。
q
M0
解:由式（4-5） y FH
Y
C
在均布荷载q作用下， 代梁的弯矩方程为
f
A l 2
X B l
2
M 0 ql x qx2 q x(l x)
q
2 22
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第四章：静定拱(李廉锟第五版配套)
第4章 静定拱
4.1 概述
4.2 静定拱的计算
4.3 静定拱的合理拱轴线
4.1 概述
静定拱的特点
静定拱的特点
拱的特点： 在竖向荷载作用下有水 平反力或称推力，如图(a)。 推力是拱式结构的主要标志 优点：弯矩小得多，主要承受压力。应力分布均匀。 缺点：地基或者支撑结构要坚固 图(b)为有拉杆的三铰拱， 推力就是拉杆内的拉力。
ql 2
ql 2
先列出简支梁的弯矩方程
q M x x l x 2
拱的推力为：
MC ql 2 H f 8f
注意
*合理轴线对应的是
一组固定荷载； *合理轴线是一组。
所以拱的合理轴线方程为：
q 8f 4f y x x l x 2 2 x l x 2 ql l
f=4m
8 B
பைடு நூலகம்
1 x
y1
A
50.25kN
H 50.25kN
VB 58.5kN
4f y 2 x l x l 制内力图。
计算反力并绘
3m VA 75.5kN
3m 6m 6m
（1）计算支座反力
（2）内力计算
y1
以截面1为例
4f 4 4 x l x 312 1.5 1.75m 2 2 l 12
dy dx
x 3
14 6 9 50 3 75.5kN 12 14 6 3 50 9 VB VB 58.5kN 12 MC 75.5 6 14 6 3 H 50.25kN f 4
VA VA
M1 M1 Hy2 75.5 1.5 141.5 1.5 / 2 50.251.75 9.6kN m
4.1 概述
4.2 静定拱的计算
4.3 静定拱的合理拱轴线
4.1 概述
静定拱的特点
静定拱的特点
拱的特点： 在竖向荷载作用下有水 平反力或称推力，如图(a)。 推力是拱式结构的主要标志 优点：弯矩小得多，主要承受压力。应力分布均匀。 缺点：地基或者支撑结构要坚固 图(b)为有拉杆的三铰拱， 推力就是拉杆内的拉力。
ql 2
ql 2
先列出简支梁的弯矩方程
q M x x l x 2
拱的推力为：
MC ql 2 H f 8f
注意
*合理轴线对应的是
一组固定荷载； *合理轴线是一组。
所以拱的合理轴线方程为：
q 8f 4f y x x l x 2 2 x l x 2 ql l
f=4m
8 B
பைடு நூலகம்
1 x
y1
A
50.25kN
H 50.25kN
VB 58.5kN
4f y 2 x l x l 制内力图。
计算反力并绘
3m VA 75.5kN
3m 6m 6m
（1）计算支座反力
（2）内力计算
y1
以截面1为例
4f 4 4 x l x 312 1.5 1.75m 2 2 l 12
dy dx
x 3
14 6 9 50 3 75.5kN 12 14 6 3 50 9 VB VB 58.5kN 12 MC 75.5 6 14 6 3 H 50.25kN f 4
VA VA
M1 M1 Hy2 75.5 1.5 141.5 1.5 / 2 50.251.75 9.6kN m
结构力学第4章 静定拱结构
一、工程中的拱结构轴线为曲线、仅在竖向荷载下能产生水平反力(推力)的结构称为拱。
图4-1所示为拱结构的工程实例。
图4-1工程中的拱结构二、拱式结构的特征及其应用1、定义：通常杆轴线为曲线，在竖向荷载作用下，支座产生水平反力的结构。
2、特点：（1）弯矩比相应简支梁小，水平推力存在的原因。
（2）用料省、自重轻、跨度大。
（3）可用抗压性能强的砖石材料。
（4）构造复杂，施工费用高。
3、拱的种类：图4-2拱的种类4、拱各部分的名称：一、支座反力的计算C拱顶铰BA拱肋跨度拱趾铰(a) 等高三铰拱C高差hAB(b) 不等高三铰拱严格的来说，实体三铰拱支座反力的计算与一般三铰刚架结构反力计算相同。
本书介绍的是等代梁解法。
图4-4实体三铰拱第二节实体三铰拱的数解法图4-5等代粱ll 1l 2a 3b 3b 2b 1a 2a 1F P1F P2F P3F P1F P2F P3F A yF B yF A yF B yF B xF A x 00A CBAB C(b)(a )f0CH M F =HB A F F F ==x x 0Ay Ay F F =0ByBy FF =二、拱内截面内力的计算图4-6拱内截面内力1、拱的内力计算原理仍然是截面法。
2、拱通常受压力，所以计算拱时，规定轴力以受压为正。
对于竖向荷载作用三铰拱，其内力计算有简捷公式。
(c)CB A00F B yF A yF P3F P2F P1B F B xAF A x F A yF B y(a )C F P3F P2F P1a 1a 2b 1b 2b 3a 3lϕK F A y F A xF P1KM K F NKF QKx KK ϕy KxyK K(b)yF MM H 0-=ϕϕsin cos H 0Q Q F F F -=ϕϕcos sin H 0Q N F F F --=A0AyFQ F 0M (b) 代梁受力F Ax =F H F Ayx A y k F y FxyϕM(a) 截面k 坐标方向力图4-7拱内截面内力需要指出的是，非竖向荷载作用不等高三铰拱等情形，上述公式是不适用的。
4第四章静定拱
结 构 力 学 （ 08-09
21
12:14
合理拱轴线小结： 1）不同荷载作用下三铰拱的合理拱轴 线不同。 2）实际工程中，尽可能使受力状态接 近无弯矩状态。通常是以主要荷载作用 下的合理拱轴线作为拱的轴线。
学 年 ）
学 年 ）
M y FH
M M FH y 0
0
0
只限于三铰平拱受 竖向荷载作用
在竖向荷载作用下，三 铰拱的合理拱轴线的纵 坐标与相应简支梁弯矩 图的竖标成正比。
§4-3三铰拱的合理拱轴线
12:14
结 试求图示对称三铰拱在均布荷载作用下的合理拱轴线 构 力 q MC0=ql2/8 学 （ C 2/8f y F = ql f H A B 学 x l M0=qlx/2-qx2 /2 年 =qx(l-x)/2 ） q 08-09
0 FP2=50kN FH= MC / f =50.25 KN
8.5 163.5 201
58.5 175.5
FQ(kN)
M(kN.m)
0 MK MK FH y 0 FQK FQK cos FHsin
FNK FQK 0sin FHcos
§4-2三铰拱的计算
17
y=4fx(l-x)/l2
x
抛物线
§4-3三铰拱的合理拱轴线
结 构 力 学 （ 08-09
18
12:14
试求，在填土重量作用下，三铰拱的合理 轴线。土的容重为γ，拱所受的竖向荷载 为q(x)=qc+ γy
学 年 ）
§4-3三铰拱的合理拱轴线
结 构 力 学 （ 08-09
19
12:14
M f y FH
第四章 静定拱
21
12:14
合理拱轴线小结： 1）不同荷载作用下三铰拱的合理拱轴 线不同。 2）实际工程中，尽可能使受力状态接 近无弯矩状态。通常是以主要荷载作用 下的合理拱轴线作为拱的轴线。
学 年 ）
学 年 ）
M y FH
M M FH y 0
0
0
只限于三铰平拱受 竖向荷载作用
在竖向荷载作用下，三 铰拱的合理拱轴线的纵 坐标与相应简支梁弯矩 图的竖标成正比。
§4-3三铰拱的合理拱轴线
12:14
结 试求图示对称三铰拱在均布荷载作用下的合理拱轴线 构 力 q MC0=ql2/8 学 （ C 2/8f y F = ql f H A B 学 x l M0=qlx/2-qx2 /2 年 =qx(l-x)/2 ） q 08-09
0 FP2=50kN FH= MC / f =50.25 KN
8.5 163.5 201
58.5 175.5
FQ(kN)
M(kN.m)
0 MK MK FH y 0 FQK FQK cos FHsin
FNK FQK 0sin FHcos
§4-2三铰拱的计算
17
y=4fx(l-x)/l2
x
抛物线
§4-3三铰拱的合理拱轴线
结 构 力 学 （ 08-09
18
12:14
试求，在填土重量作用下，三铰拱的合理 轴线。土的容重为γ，拱所受的竖向荷载 为q(x)=qc+ γy
学 年 ）
§4-3三铰拱的合理拱轴线
结 构 力 学 （ 08-09
19
12:14
M f y FH
第四章 静定拱
静定拱结构(力学)
全性。
03
静定拱结构的分析方法
解析法
解析法是通过数学公式和定理来求解静定拱结构 的内力和变形的方法。
这种方法基于力学的基本原理和数学工具，能够 得到精确的解答。
解析法适用于简单形状和边界条件的静定拱结构， 但不适用于复杂结构和非线性问题。
有限元法
有限元法是一种数值计算方法， 通过将连续的结构离散化为有 限个小的单元，来求解结构的
02
静定拱结构的力学原理
力的平衡原理
总结词
静定拱结构在力的平衡原理下保持稳定，各部分受力相互抵消，不产生额外的 力矩或力。
详细描述
静定拱结构通过合理的设计，使得作用在结构上的外力（如重力、风载、雪载 等）在内部各部分之间相互抵消，没有产生额外的力矩或力，从而保持结构的 稳定。
力的分布原理
总结词
THANKS
感谢观看
静定拱结构(力学)
目录
• 静定拱结构概述 • 静定拱结构的力学原理 • 静定拱结构的分析方法 • 静定拱结构的优化设计 • 静定拱结构的稳定性分析 • 静定拱结构的案例分析
01
静定拱结构概述
定特定受力 特性的拱形结构，其受力状态仅 由其自身刚度和所受外力决定， 不依赖于其他结构部分。
静定拱结构能够将外力均匀地传递到结构的各个部分，以减小局部应力集中。
详细描述
静定拱结构的设计能够确保外力在结构中均匀分布，避免应力集中现象，从而减 小结构损坏的风险。这种力的分布原理有助于提高结构的承载能力和稳定性。
弹性力学基础
总结词
静定拱结构在弹性力学基础上进行分析和设计，考虑结构的 变形和应力分布。
优化变量
设计过程中需要优化的参数，如拱的形状、尺寸、材料等。
优化设计的数学模型
03
静定拱结构的分析方法
解析法
解析法是通过数学公式和定理来求解静定拱结构 的内力和变形的方法。
这种方法基于力学的基本原理和数学工具，能够 得到精确的解答。
解析法适用于简单形状和边界条件的静定拱结构， 但不适用于复杂结构和非线性问题。
有限元法
有限元法是一种数值计算方法， 通过将连续的结构离散化为有 限个小的单元，来求解结构的
02
静定拱结构的力学原理
力的平衡原理
总结词
静定拱结构在力的平衡原理下保持稳定，各部分受力相互抵消，不产生额外的 力矩或力。
详细描述
静定拱结构通过合理的设计，使得作用在结构上的外力（如重力、风载、雪载 等）在内部各部分之间相互抵消，没有产生额外的力矩或力，从而保持结构的 稳定。
力的分布原理
总结词
THANKS
感谢观看
静定拱结构(力学)
目录
• 静定拱结构概述 • 静定拱结构的力学原理 • 静定拱结构的分析方法 • 静定拱结构的优化设计 • 静定拱结构的稳定性分析 • 静定拱结构的案例分析
01
静定拱结构概述
定特定受力 特性的拱形结构，其受力状态仅 由其自身刚度和所受外力决定， 不依赖于其他结构部分。
静定拱结构能够将外力均匀地传递到结构的各个部分，以减小局部应力集中。
详细描述
静定拱结构的设计能够确保外力在结构中均匀分布，避免应力集中现象，从而减 小结构损坏的风险。这种力的分布原理有助于提高结构的承载能力和稳定性。
弹性力学基础
总结词
静定拱结构在弹性力学基础上进行分析和设计，考虑结构的 变形和应力分布。
优化变量
设计过程中需要优化的参数，如拱的形状、尺寸、材料等。
优化设计的数学模型
6-4a：静定拱
0
可见合理拱轴为抛物线方程。
注：
1．拱的合理轴线是与荷载一一对应的，即：不同 的荷载对应有不同的合理拱轴。 2．在矢高不确定的情况下，一个荷载对应的合理 拱轴不是一条，而是一组。 3．若用压力线作为三铰拱轴线，则任一截面弯矩 都为零，故压力线为合理拱轴。 4．在工程实际中，同一结构往往受到各种荷载作 用，因此根据某一固定荷载确定的合理拱轴并不 能保证在各种荷载作用下均处于无弯矩状态。在 设计中，通常是以主要荷载作用下的合理拱轴作 为拱的轴线。
例3-2 求三铰拱在均布荷载作用下的合理拱轴。 q C FH A FVA l /2 q A f B FH l /2 FVB
M0 = qx(l − x)/ 2
x 代梁
ql / 2
解：
M0 y= FH 1 M = qx (l − x ) 2 0 M C 1 1 2 ql 2 FH = = × ql = f f 8 8f 8f 1 4f y = 2 × qx (l − x ) = 2 x (l − x ) ql 2 l
§ 4-3 三铰拱的合理拱轴
1、三铰拱的合理轴线 在固定荷载作用下使拱处于无弯距状态的轴线。 在固定荷载作用下使拱处于无弯距状态的轴线。 求解公式：在竖向荷载作用下， 求解公式：在竖向荷载作用下，三铰拱的合理轴线使拱 的各截面处于无弯距状态，即由（ 第一式， 的各截面处于无弯距状态，即由（4-2）第一式，得：
斜拱的反力计算
A
P1
C
P2
B
F
f h
/ R
F
/ AV
/ R
F
= F
0 BV
0 AV
F
/ R
/ BV
= F
0 C
F = M
/h
可见合理拱轴为抛物线方程。
注：
1．拱的合理轴线是与荷载一一对应的，即：不同 的荷载对应有不同的合理拱轴。 2．在矢高不确定的情况下，一个荷载对应的合理 拱轴不是一条，而是一组。 3．若用压力线作为三铰拱轴线，则任一截面弯矩 都为零，故压力线为合理拱轴。 4．在工程实际中，同一结构往往受到各种荷载作 用，因此根据某一固定荷载确定的合理拱轴并不 能保证在各种荷载作用下均处于无弯矩状态。在 设计中，通常是以主要荷载作用下的合理拱轴作 为拱的轴线。
例3-2 求三铰拱在均布荷载作用下的合理拱轴。 q C FH A FVA l /2 q A f B FH l /2 FVB
M0 = qx(l − x)/ 2
x 代梁
ql / 2
解：
M0 y= FH 1 M = qx (l − x ) 2 0 M C 1 1 2 ql 2 FH = = × ql = f f 8 8f 8f 1 4f y = 2 × qx (l − x ) = 2 x (l − x ) ql 2 l
§ 4-3 三铰拱的合理拱轴
1、三铰拱的合理轴线 在固定荷载作用下使拱处于无弯距状态的轴线。 在固定荷载作用下使拱处于无弯距状态的轴线。 求解公式：在竖向荷载作用下， 求解公式：在竖向荷载作用下，三铰拱的合理轴线使拱 的各截面处于无弯距状态，即由（ 第一式， 的各截面处于无弯距状态，即由（4-2）第一式，得：
斜拱的反力计算
A
P1
C
P2
B
F
f h
/ R
F
/ AV
/ R
F
= F
0 BV
0 AV
F
/ R
/ BV
= F
0 C
F = M
/h
04第四章 静定拱
方程的一般解为
y A cosh
FH
x B sinh
FH
x
qc
由边界条件
x 0, y 0 : x 0, y 0 :
A
qc
B0
合理拱轴线的方程为
y
qc
(cosh
FH
x 1)
在填土重量作用下，三铰拱的合理拱轴线是一悬链线。
§4-3 三铰拱的合理拱轴线
例4-4 试求三铰拱在垂直于拱轴线的均布荷载作用下的合理 拱轴线。
受力特点 （1）在竖向荷载作用下有水平反力 FH ; （2）由拱截面弯矩计算式可见，比相应简支梁小得多 ; （3）拱内有较大的轴向压力FN.
§4-2 三铰拱的计算
q=2kN .m y
1 0 3 4 5
F=8kN
6 7 8
2
2 y2 x
f=4m
B
例1 三铰拱及其所受荷载如 图所示拱的轴线为抛物线方 程 y 4 2f xl x
MC 0
FAV
FB V
d
F1
A
F2
c
f
B
FAV l1 F1 d FH f 0
M MC FH f 0 FH C f
FAV
x
c
F
BV
FH FAV
l1
§4-2 三铰拱的计算
二、内力计算
F1
x-a1 FS
D
FH
FN
y
以截面D为例 截面内弯矩要和竖向力及水平力对D点构成 的力矩相平衡，设使拱内侧受拉为正。 MD 0 M FAV x F1 x a1 FH y
y A cosh
FH
x B sinh
FH
x
qc
由边界条件
x 0, y 0 : x 0, y 0 :
A
qc
B0
合理拱轴线的方程为
y
qc
(cosh
FH
x 1)
在填土重量作用下，三铰拱的合理拱轴线是一悬链线。
§4-3 三铰拱的合理拱轴线
例4-4 试求三铰拱在垂直于拱轴线的均布荷载作用下的合理 拱轴线。
受力特点 （1）在竖向荷载作用下有水平反力 FH ; （2）由拱截面弯矩计算式可见，比相应简支梁小得多 ; （3）拱内有较大的轴向压力FN.
§4-2 三铰拱的计算
q=2kN .m y
1 0 3 4 5
F=8kN
6 7 8
2
2 y2 x
f=4m
B
例1 三铰拱及其所受荷载如 图所示拱的轴线为抛物线方 程 y 4 2f xl x
MC 0
FAV
FB V
d
F1
A
F2
c
f
B
FAV l1 F1 d FH f 0
M MC FH f 0 FH C f
FAV
x
c
F
BV
FH FAV
l1
§4-2 三铰拱的计算
二、内力计算
F1
x-a1 FS
D
FH
FN
y
以截面D为例 截面内弯矩要和竖向力及水平力对D点构成 的力矩相平衡，设使拱内侧受拉为正。 MD 0 M FAV x F1 x a1 FH y
第四章 静定拱
结构力学
第四章 静定拱
海南大学土木工程系
韩建刚
1
三 角 拱 三角拱的内力计算 三角拱的合理拱轴线
2
§4.1 三角拱
拱是在竖向荷载作用下能 产生水平反力的结构，如图。 水平反力 产生负弯矩， 可以抵消一 部分正弯矩
1、拱的特点
C ↓↓↓↓↓
矢高f
A
B
l跨度
与简支梁相比拱的弯矩、剪力较小，轴力较大（压力）, 应力沿截面高度分布较均匀。 节省材料，减轻自重，能跨越大 跨度 , 宜采用耐压不耐拉的材料 ， 如砖石混凝土等。有较大 的可利用空间。 其缺点是：拱对基础或下部结构施加水平推力，增加了下部结构的 拱具有曲线形状，施工不方便. 材料用量；
11
重复上述步骤，可求出各等分截面的内力，作出内力图。 8
0.5 1.5 12 0.71 M° 0.4 2 1.5 M图 (kN.m) 0 20 24 -0.49 24 -1 -6 -1.79 -5.81 -7.6 0.49 1.79 20 2
0.5
Hy -0.40
Q图 (kN) -9.19
其中 ∑MBP 是所 有荷载对B点的矩 VB=YB； H=MC0/f
二、内力计算
M P H VA x P M° YA d Q°Y A
x
P N ϕ H
C
f
↓↓↓↓↓
A
a l/2
B H
l/2
P VB
y
Q VA
c
d
↓↓↓↓↓
l
a
YB
注：1、该组公式仅用于两底铰在
VA ×x 0 MM＝ A×M－P×d ＝VM°－H×y x－P×d－H×y Q＝Q°× cos ϕ－ H×sinϕ Q＝（VA－P）×cosϕ－H×sin ϕ N＝－Q°sin ϕ －Hcos ϕ N＝－（VA－P）sinϕ－Hcosϕ
第四章 静定拱
海南大学土木工程系
韩建刚
1
三 角 拱 三角拱的内力计算 三角拱的合理拱轴线
2
§4.1 三角拱
拱是在竖向荷载作用下能 产生水平反力的结构，如图。 水平反力 产生负弯矩， 可以抵消一 部分正弯矩
1、拱的特点
C ↓↓↓↓↓
矢高f
A
B
l跨度
与简支梁相比拱的弯矩、剪力较小，轴力较大（压力）, 应力沿截面高度分布较均匀。 节省材料，减轻自重，能跨越大 跨度 , 宜采用耐压不耐拉的材料 ， 如砖石混凝土等。有较大 的可利用空间。 其缺点是：拱对基础或下部结构施加水平推力，增加了下部结构的 拱具有曲线形状，施工不方便. 材料用量；
11
重复上述步骤，可求出各等分截面的内力，作出内力图。 8
0.5 1.5 12 0.71 M° 0.4 2 1.5 M图 (kN.m) 0 20 24 -0.49 24 -1 -6 -1.79 -5.81 -7.6 0.49 1.79 20 2
0.5
Hy -0.40
Q图 (kN) -9.19
其中 ∑MBP 是所 有荷载对B点的矩 VB=YB； H=MC0/f
二、内力计算
M P H VA x P M° YA d Q°Y A
x
P N ϕ H
C
f
↓↓↓↓↓
A
a l/2
B H
l/2
P VB
y
Q VA
c
d
↓↓↓↓↓
l
a
YB
注：1、该组公式仅用于两底铰在
VA ×x 0 MM＝ A×M－P×d ＝VM°－H×y x－P×d－H×y Q＝Q°× cos ϕ－ H×sinϕ Q＝（VA－P）×cosϕ－H×sin ϕ N＝－Q°sin ϕ －Hcos ϕ N＝－（VA－P）sinϕ－Hcosϕ
结构力学(拱结构)
14
三铰拱的内力计算
表4-1：三铰拱各截面内力计算表
内力计算时，常通过 公式、列表完成
15
合理拱轴
五、 合理拱轴的概念
1、合理拱轴的概念
定义：在给定荷载作用下，拱各截面只承受轴力， 而弯矩、剪力均为零，这样的拱轴称为合理拱轴。
?
2、合理拱轴的确定
写出任一截面的弯矩表达式，令其等于零即可确 定合理拱轴。
VA0
0 2x、 荷 载 与 跨 度 一 定 M C VAl1 P1 (l 1 a 1 ) V 0 时，水平推力与矢高 MC （4-2） 等代梁计算简图 H 成反比。 f
0 B
作为结构。
7
三铰拱的内力计算
a1
a2 b1 P1 b2 P2 f
2、弯矩计算
M K [VA x K P1 (x K a1 )] H y K
q= 1kN/m
y
4f (l x)x 2 l
P=4kN 3 4 5 C 4m
x
2
6
1
H =6kN A 0
7
B H =6kN
8
VA =7kN
8×2=16m VB =5kN
解： 1、计算支座反力
0 VA VA
1 8 12 4 4 7kN 16 1 8 4 4 12 0 VB VB 5kN 16
拱结构的组成
2、拱结构的组成
3
拱结构的种类
3、拱结构的种类 静定拱
超静定拱
三铰拱
两铰拱 超静定拱
静定拱
无铰拱
高差h
静定拱
带拉杆的三铰拱
斜拱
4
拱结构的特点
4、拱结构的特点
1、弯矩比相应等代梁小；
三铰拱的内力计算
表4-1：三铰拱各截面内力计算表
内力计算时，常通过 公式、列表完成
15
合理拱轴
五、 合理拱轴的概念
1、合理拱轴的概念
定义：在给定荷载作用下，拱各截面只承受轴力， 而弯矩、剪力均为零，这样的拱轴称为合理拱轴。
?
2、合理拱轴的确定
写出任一截面的弯矩表达式，令其等于零即可确 定合理拱轴。
VA0
0 2x、 荷 载 与 跨 度 一 定 M C VAl1 P1 (l 1 a 1 ) V 0 时，水平推力与矢高 MC （4-2） 等代梁计算简图 H 成反比。 f
0 B
作为结构。
7
三铰拱的内力计算
a1
a2 b1 P1 b2 P2 f
2、弯矩计算
M K [VA x K P1 (x K a1 )] H y K
q= 1kN/m
y
4f (l x)x 2 l
P=4kN 3 4 5 C 4m
x
2
6
1
H =6kN A 0
7
B H =6kN
8
VA =7kN
8×2=16m VB =5kN
解： 1、计算支座反力
0 VA VA
1 8 12 4 4 7kN 16 1 8 4 4 12 0 VB VB 5kN 16
拱结构的组成
2、拱结构的组成
3
拱结构的种类
3、拱结构的种类 静定拱
超静定拱
三铰拱
两铰拱 超静定拱
静定拱
无铰拱
高差h
静定拱
带拉杆的三铰拱
斜拱
4
拱结构的特点
4、拱结构的特点
1、弯矩比相应等代梁小；
结构力学第4章静定拱
y M0 H
三铰拱合理拱轴线的纵坐标y与相应简支梁弯矩图的竖标成 正比。当荷载已知时，只需求出相应简支梁的弯矩方程式，除 以常数H便得到合理拱轴线方程。
11
例 4－2 求图示对称三铰拱在均布荷载q作用下的合理拱轴线。
解：
相应简支梁的弯矩方程为
y
M 0 qL x qx2 1 qx(L x) 2 22
x
所以
H
M
0 C
qL2
f 8f
y
M0 H
4f L2
x(L x)
x
合理拱轴线为抛物线
12
本章小结
三铰拱是按三刚片规则组成的静定结构； 在竖向荷载作用下，产生竖向反力与水平推力； 拱的主要内力是轴力； 利用合理拱轴可以使拱的弯矩达到最小。
13
y
23
1
50.25kN
→H o
↑VA
75.5kN
4
x
50.25kN
←H ↑ VB
58.5kN
以1截面为例： L=12m、f=4m代入拱轴方程
y
44 122
x(12
x)
x 9
(12
x)
tg dy 2 (6 x) dx 9
9
1截面： x1=1.5m 1=450
y1=1.75m tg1=1 sin 1=0.707 cos 1=0.707
503
755
→H
↑ VA
kN 75.5kN
←H
↑VB
58.5kN
VB VB0 14 6 3 50 9 58 5 kN 12
↑VA0
↑VB0
H
M
0 C
75 5 6 14 6 3
50 25kN
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黑龙江大学 建筑工程学院
§4-1 概述
与简支梁相比，拱的优点是：
☻ 弯矩、剪力较小，轴力较大（压力）； ☻应力沿截面高度分布较均匀； ☻节省材料，减轻自重，能跨越大跨度； ☻宜采用耐压不耐拉的材料 ，如砖石混凝土等； ☻有较大的可利用空间。 其缺点是：
☻拱对基础或下部结构施加水平推力，要求有更坚 固的地基或支撑结构，增加了下部结构的材料用量。 ☻拱具有曲线形状，施工不方便。
y tan 2 6 x
9
故 tanD 0.1667 ，因而 sin D 0，.1644
cosD 0.9864
黑龙江大学 建筑工程学院
§4-2 三铰拱的数值解
(2) 求支座反力,结果为： FVA 10,5 kN FVB 115 kN
FP2 B
b2 FBV0
黑龙江大学 建筑工程学院
§4-2 三铰拱的数值解
考虑整体平衡 由∑MA=0
F1
由∑X=0，得
FAH FBH FH
A
FAH
∑MB=0，得：
l1
FAV
FAV
1 l
F1b1 F2b2
C
F2
fB FBHFra bibliotekl2l
FBV
FBV
1 l
F1b1 F2b2
考虑C 铰左侧部分平衡
黑龙江大学 建筑工程学院
§4-2 三铰拱的数值解
(2)内力计算
y
F
F
F
C
K截面形心的坐标为x、 y，截面切线的倾斜角 为 θ 。 且 左 半 拱 的 为 正 FHA 值，右半拱的θ为负值。
考虑截面左侧部份平衡,由 FH
K f
A
x
B
x
l/ 2 FVA F2
F1 K
l/ 2
MK FN K y
F SK
FHB FVB
第4章 静定拱
❖概述 ❖三铰拱的计算 ❖三铰拱的合理拱轴线
黑龙江大学 建筑工程学院
第4章 静定拱
基本要求
❖理解拱的受力特点及拱结构的优点和缺点。
❖掌握三铰拱的反力计算和内力计算及内力图的形 状特征、内力计算方法。
❖了解三铰拱的受力特征。
❖掌握三铰拱合理拱轴线的概念，及几种常见荷载 下的三铰拱的合理拱轴线。
2020-08-13
黑龙江大学 建筑工程学院
§4-1 概述
拱式结构的杆特轴点线：为曲线，在竖向荷载作用下会 产生水平反力（称为推力）。
拱式结构又称为推力结构。
黑龙江大学 建筑工程学院
§4-1 概述
拱的分类
三铰拱
两铰拱
（为了消除拱对支座的水平推力，可采用带拉杆的拱）
无铰拱
斜拱
梁式结构在竖向荷载作用下
a2 a3
可见：
F
f B
l/ 2 F3
FHB
FVB
B
FV0B
三铰拱的竖向支座反力就等于代梁的反力；
水平推力就等于代梁C 截面的弯矩除以矢高；
拱的矢高对水平推力影响很大（矢高愈小即拱的形状 愈扁平推力愈大）。
黑龙江大学 建筑工程学院
§4-2 三铰拱的数值解
2.内力计算
(1)截面的内力假定： 轴力以压力为正， 剪力以有使截面产生顺时针转动的趋势者为正， 弯矩以拱内侧纤维受拉者为正。
B
A
曲梁
B
是不会产生推力的。
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§4-1 概述
三铰拱各部分名称
拱顶
拱轴线
f 矢高
拱趾
拱趾
l 跨度
拱顶：拱的最高点。 拱趾：支座处。 跨度：两支座之间的水平距离， 用l表示。 矢高：拱顶到两拱趾间联线的竖向距离，用f表示。
高跨比f/l是拱的一个重要的几何参数。工程实际中， 高跨比在l~1／10之间，变化的范围很大。
由∑MC=0，得
FAH FBH FH
1 f
FAV l1 F1 l1 a1
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§4-2 三铰拱的数值解
与代梁相比较有：
FVA
FV0A
FVB
FV0B
y
F
F
C
K
A
x
FHA
x
FH
M
0 C
f
l/ 2
FVFA1 F2
A
FV0A
a1
K C
（此公式只适用于三铰平拱）
q=20 kN/m
Y F = 100 kN
解:(1) 代入数据后拱
C
轴线方程为：
y 1 x(12 x) 9
FH= 82.5 kN
D y=3.983 m A
X
FVA =105 kN 3m
f=4m B
FH= 82.5 kN F = 115 kN
VB
当x =5.25m 时，y =3.938m
5.25m 12m
F3
与代梁相比较
A
FV0A
a1
K C
B
FV0B
FNK FS0K sin FH cos
a2 a3
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§4-2 三铰拱的数值解
三铰拱任意截面K上的内力MK、FSK和FNK的计算 公式：
MK
M
0 K
FH y
FSK FS0K cos FH sin
FNK FS0K sin FH cos
y
4f l2
x(l x)
q=14 kN/m FP=50 kN
C
A
B
10 m
l=12 m
f=4 m
具体见课 本P59.
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§4-2 三铰拱的数值解
例4-2 试求图示三铰拱截面D的内力。 设拱轴线为抛
物线，当坐标原点选在左支座时，它的轴线方程式
为
y
4f l2
x，l 已x知D截面的坐标为: xD=5.25m 。
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§4-2 三铰拱的计算
一、三铰拱的反力和内力计算
1.支座反力计算 （与三铰刚架反 力的求法类似）。
代梁：同跨度、同
F1
A
FAH
l1
FAV
C
F2
f
B FBH
l2
l
FBV
荷载的简支梁,其反力、等代梁
内力记为
A FP1
FA0V、FB0、V M、 0 FS0
FAV0
a1
C
a2 b1
注意：该组公式仅用于两底铰在同一水平线上, 且
承受竖向荷载；在拱的左半跨取正右半跨取负。
拱的弯矩要比同跨度同荷载的简支梁的弯矩小很 多(水平反力产生负弯矩，可以抵消一部分正弯矩)， 当跨度比较大时采用拱比用梁要更为经济合理。
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例4-1 试作图示三铰拱的内力图。拱轴为抛物线，
方程为
由∑MK=0可得
FVA
M K FVA x F1x b1 F2x b2 FH y
与代梁相比较
F1 F2 K
A
MK
M
0 K
FH y
FV0A
a1
C
拱的弯矩等于相应截面代梁的
a2 a3
弯矩再减去推力引起的弯矩。
F3
B
FV0B
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§4-2 三铰拱的数值解
y
F
F
F
C
K f
由 0
A x
FHA
x
B
FHB
l/ 2
l/ 2
FVA F1 F2 cos FH sin FSK 0
与代梁相比较
FVA
F2 MK
F1 K
FNK
ξ
y
FVB
FSK FS0K cos FH sin
FH
F SK
由 0
η FVA
FNK FVA F1 F2 sin FH cos 0 F1 F2