4.静定拱讲解

由∑MC=0，得
FAH FBH FH
1 f
FAV l1 F1 l1 a1
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§4-2 三铰拱的数值解
与代梁相比较有：
FVA
FV0A
FVB
FV0B
y
F
F
C
K
A
x
FHA
x
FH
M
0 C
f
l/ 2
FVFA1 F2
A
FV0A
a1
K C
（此公式只适用于三铰平拱）
2020-08-13
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§4-1 概述
拱式结构的杆特轴点线：为曲线，在竖向荷载作用下会 产生水平反力（称为推力）。
拱式结构又称为推力结构。
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§4-1 概述
拱的分类
三铰拱
两铰拱
（为了消除拱对支座的水平推力，可采用带拉杆的拱）
无铰拱
斜拱
梁式结构在竖向荷载作用下
注意：该组公式仅用于两底铰在同一水平线上, 且
承受竖向荷载；在拱的左半跨取正右半跨取负。
拱的弯矩要比同跨度同荷载的简支梁的弯矩小很 多(水平反力产生负弯矩，可以抵消一部分正弯矩)， 当跨度比较大时采用拱比用梁要更为经济合理。
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例4-1 试作图示三铰拱的内力图。拱轴为抛物线，
方程为
a2 a3
可见：
F
f B
l/ 2 F3
FHB
FVB
B
FV0B
三铰拱的竖向支座反力就等于代梁的反力；
水平推力就等于代梁C 截面的弯矩除以矢高；
拱的矢高对水平推力影响很大（矢高愈小即拱的形状 愈扁平推力愈大）。
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§4-2 三铰拱的数值解
2.内力计算
(1)截面的内力假定： 轴力以压力为正， 剪力以有使截面产生顺时针转动的趋势者为正， 弯矩以拱内侧纤维受拉者为正。
q=20 kN/m
Y F = 100 kN
解:(1) 代入数据后拱
C
轴线方程为：
y 1 x(12 x) 9
FH= 82.5 kN
D y=3.983 m A
X
FVA =105 kN 3m
f=4m B
FH= 82.5 kN F = 115 kN
VB
当x =5.25m 时，y =3.938m
5.25m 12m
第4章 静定拱
❖概述 ❖三铰拱的计算 ❖三铰拱的合理拱轴线
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第4章 静定拱
基本要求
❖理解拱的受力特点及拱结构的优点和缺点。
❖掌握三铰拱的反力计算和内力计算及内力图的形 状特征、内力计算方法。
❖了解三铰拱的受力特征。
❖掌握三铰拱合理拱轴线的概念，及几种常见荷载 下的三铰拱的合理拱轴线。
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§4-1 概述
与简支梁相比，拱的优点是：
☻ 弯矩、剪力较小，轴力较大（压力）； ☻应力沿截面高度分布较均匀； ☻节省材料，减轻自重，能跨越大跨度； ☻宜采用耐压不耐拉的材料 ，如砖石混凝土等； ☻有较大的可利用空间。 其缺点是：
☻拱对基础或下部结构施加水平推力，要求有更坚 固的地基或支撑结构，增加了下部结构的材料用量。 ☻拱具有曲线形状，施工不方便。
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§4-2 三铰拱的计算
一、三铰拱的反力和内力计算
1.支座反力计算 （与三铰刚架反 力的求法类似）。
代梁：同跨度、同
F1
A
FAH
l1
FAV
C
F2
f
B FBH
l2
l
FBV
荷载的简支梁,其反力、等代梁
内力记为
A FP1
FA0V、FB0、V M、 0 FS0
FAV0
a1
C
a2 b1
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§4-2 三铰拱的数值解
(2)内力计算
y
F
F
F
C
K截面形心的坐标为x、 y，截面切线的倾斜角 为 θ 。 且 左 半 拱 的 为 正 FHA 值，右半拱的θ为负值。
考虑截面左侧部份平衡,由 FH
K f
A
x
B
x
l/ 2 FVA F2
F1 K
l/ 2
MK FN K y
F SK
FHB FVB
A x
FHA
x
B
FHB
l/ 2
l/ 2
FVA F1 F2 cos FH sin FSK 0
与代梁相比较
FVA
F2 MK
F1 K
FNK
ξ
y
FVB
FSK FS0K cos FH sin
FH
F SK
由 0
η FVA
FNK FVA F1 F2 sin FH cos 0 F1 F2
B
A
曲梁
B
是不会产生推力的。
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§4-1 概述
三铰拱各部分名称
拱顶
拱轴线
f 矢高
拱趾
拱趾
l 跨度
拱顶：拱的最高点。 拱趾：支座处。 跨度：两支座之间的水平距离， 用l表示。 矢高：拱顶到两拱趾间联线的竖向距离，用f表示。
高跨比f/l是拱的一个重要的几何参数。工程实际中， 高跨比在l~1／10之间，变化的范围很大。
由∑MK=0可得
FVA
M K FVA x F1x b1 F2x b2 FH y
与代梁相比较
F1 F2 K
A
MK
M
0 K
FH y
FV0A
a1
C
拱的弯矩等于相应截面代梁的
a2 a3
弯矩再减去推力引起的弯矩。
F3
B
FV0B
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§4-2 三铰拱的数值解
y
F
F
F
C
K f
由 0
F3
与代梁相比较
A
FV0A
a1
K C
百度文库
B
FV0B
FNK FS0K sin FH cos
a2 a3
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§4-2 三铰拱的数值解
三铰拱任意截面K上的内力MK、FSK和FNK的计算 公式：
MK
M
0 K
FH y
FSK FS0K cos FH sin
FNK FS0K sin FH cos
y tan 2 6 x
9
故 tanD 0.1667 ，因而 sin D 0，.1644
cosD 0.9864
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§4-2 三铰拱的数值解
(2) 求支座反力,结果为： FVA 10,5 kN FVB 115 kN
FP2 B
b2 FBV0
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§4-2 三铰拱的数值解
考虑整体平衡 由∑MA=0
F1
由∑X=0，得
FAH FBH FH
A
FAH
∑MB=0，得：
l1
FAV
FAV
1 l
F1b1 F2b2
C
F2
f
B FBH
l2
l
FBV
FBV
1 l
F1b1 F2b2
考虑C 铰左侧部分平衡
y
4f l2
x(l x)
q=14 kN/m FP=50 kN
C
A
B
10 m
l=12 m
f=4 m
具体见课 本P59.
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§4-2 三铰拱的数值解
例4-2 试求图示三铰拱截面D的内力。 设拱轴线为抛
物线，当坐标原点选在左支座时，它的轴线方程式
为
y
4f l2
x，l 已x知D截面的坐标为: xD=5.25m 。