揭密全等三角形的隐含条件

揭密全等三角形的隐含条件

初学三角形全等，同学们往往找不出证明两个三角形全等的条件，其中一个重要的原因就是忽视了全等三角形中的隐含条件．隐含条件一般可归纳为下列四种类型．

一、利用公共边（或公共角）相等

例1、如图1，AB DC

=，△ABC≌△DCB全等吗？为什么？

=，AC DB

分析：在△ABC与△DCB中，已经给出了两边相等：AB DC

=，=，要证三角形全等还缺少一个条件．已知两边相等，我们通

AC DB

常考虑应用SAS或SSS，找AB与AC的夹角∠A，DC与DB的夹角

∠D是否相等，或第三条边BC与CB是否相等．而由于BC与CB是

公共边，故BC=CB，由SSS问题得证．

证明：在△ABC与△DCB中

因为AB DC

=，AC DB

BC=（公共边）

=，BC

所以DCB

∆（SSS）

≅

ABC∆

二、利用对顶角相等

例2、如图3，已知AC与BD交于点O，∠A=∠C，且AD

＝CB，你能说明BO=DO吗？

分析：要想说明BO=DO，只需说明△AOD与△COB全等，

已知已给出了两个条件：∠A=∠C，AD＝CB．已知一边和一

角对应相等，我们通常考虑应用SAS或ASA或AAS．而根据

图形特征有对顶角COB

=

∠，由AAS问题得证．

AOD∠

证明：在△AOD和△COB中

因为COB

=

∠（对顶角相等）∠A=∠C，AD＝BC，

AOD∠

所以△AOD≌△COB （AAS）

所以BO=DO

三、利用等边（等角）加（或减）等边（等角），其和（或

差）仍相等

例3、如图4，AB=DC，BF=CE，AE=DF，你能找到一对

全等的三角形吗？说明你的理由．

分析：要说明△ABF≌△DCE，已知已给出的条件为AB=DC，BF=CE．这时我们通常考虑应用SAS或SSS．因为AE=DF，所以AE＋EF=DF＋EF，即

AF=DE，由SSS问题得证．

证明：因为AE=DF

所以AE＋EF=DF＋EF，即AF=DE.

在△ABF和△DCE中

因为AB=DC，BF=CE，AF=DE

△ABF≌△DCE （SSS）

四、利用平行线的性质得出同位角、内错角相等

例4、如图6，AB∥CD，∠A＝∠D，BF＝CE，∠AEB

＝110°，求∠DFC的度数．

分析：要求∠DCF的度数，只需求证△ABE≌△DCF，

本题直接给出的直接条件为∠A＝∠D；因为BF＝CE，所以BF－EF＝CE－EF，即BE=CF；另由AB∥CD，可得∠B＝∠C．由AAS问题得解．

证明：因为AB∥CD，所以∠B＝∠C

因为BF＝CE，所以BF－EF＝CE－EF，即BE=CF

在△ABE和△DCF中

因为∠A＝∠D，∠B＝∠C，BE=CF，所以△ABE≌△DCF （AAS）

所以∠AEB＝∠DFC，因为∠AEB＝110°，所以∠DFC＝110°.