专题25 配方法

解题思路：对题设条件实施变形，设法确定 x， y 的值.
(“祖冲之杯”邀请赛试题)
【例 2】 若实数 a ， b ， c 满足 a2 b2 c2 9 ，则代数式 (a b)2 (b c)2 (c a)2
的最大值是 ( )
A、27
B、18
C、15
D、12 (全国初中数学联赛试题)
解题思路：运用乘法公式 ，将原式变形为含常数项及完全平方式的形式.
【例 6】 已知自然数 n 使得 n2 19n 91 为完全平方数，求 n 的值.
(“希望杯”邀请赛试题)
解题思路：原式中 n 的系数为奇数，不能直接配方，可想办法化奇为偶，解决问题.
能力训练
1、计算 10+8 3+2 2 =_________.
(“希望杯”邀请赛试题)
2、已知 a2 b2 c2 2(a b c) 3 0 ，则 a3 b3 c3 3abc _________ .
专题 25 配方法
阅读与思考
把一个式子或一个式子的部分写成完全平方式或者几个完全平方式Leabharlann Baidu和的形式，这种方 法叫配方法，配方法是代数变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧.
配方法的作用在于改变式子的原有结构，是变形求解的一种手段；配方法的实质在于揭 示式子的非负性，是挖掘隐含条件的有力工具.
3、 x ，y 为实数，且 x2 y2 4 xy 2 y ，则 x + y 的值为__________. 2
4、当 x ＞2 时，化简代数式 x 2 x 1 x 2 x 1 ，得___________. 5、已知 m 4x2 12xy 10 y2 4 y 9 ，当 x =________，y=______时， m 的值最小.
x
2z2 1 z
2
111解方程组
y
2x2 1 x2
z
2y2 1 y2
(苏州市竞赛试题)
12、能使 2n 256 是完全平方数的正整数 n 的值为多少？
(全国初中数学联赛试题)
13、已知 a b ，且 (a b) (a ab b) a 243 ， a ， b 为自然数，求 a ， b 的值. b
444 48889 (6666 1)2 ，只需完成从左边到右边的推导过程即可.
n1
n
几个有趣的结论：
(1) 444488889 (6666 1)2
n1
n
n
(2) 111155556 (33 33 1)2
n1
n
n
这表明：只出现 1 个奇数或只出现 1 个偶数的完全平方数分别有无限多个.
【例 5】 一幢 33 层的大楼有一部电梯停在第一层，它一次最多容纳 32 人，而且只能在第 2 层至第 33 层中某一层停一次，对于每个人来说，他往下走一层楼梯感到 1 分不满意，往上 走一层楼梯感到 3 分不满意，现在有 32 个人在第一层，并且他们分别住在第 2 至第 33 层的 每一层，问：电梯停在哪一层时，可以使得这 32 个人不满意的总分达到最小？最小值是多 少？（有些人可以不乘电梯即直接从楼梯上楼）．
配方法的实质在于揭示式子的非负性，而非负数有以下重要性质； (1) 非负数的最小值为零； (2) 有限个非负数的和为零，则每一个非负数都为零.
【例 3】 已知 a b 2 a 1 4 b 2 3 c 3 1 c 5 ， 求 a + b + c 的值. 2
解题思路：题设条件是一个含三个未知量的等式，三个未知量，一个等式，怎样才能确 定未知量的值呢？不妨用配方法试一试.
(2) 从经济效益来看，你认为该宾馆如何制定房间单价，能使其每周的住宿收入最高？每周 最高住宿收入是多少元？
y间
数
（个） 990
540
0
50 100 x
单价（元）
(全国通讯赛试题)
6、若 M 10a2 b2 7a 6, N a2 b2 5a 1 ，则 M－N 的值 ( )
A、负数
B、正数
C、非负数
D、可正可负
7、计算 14 6 5 14 6 5 的值为 ( )
A、1
B、 5
C、 2 5
D、 3 5
(全国初中数学联赛试题)
8、设 a ， b , c 为实数， x a2 2b , y b2 2c , z c2 2a ，则 x，y，z 中
10、已知实数 a ， b ， c 满足 a2 2b 7, b2 2c 1, c2 6a 17 ，则 a + b + c 的值等
于(
)
A、2
B、3
C、4
D、5
(河北省竞赛试题)
解“存在”、“不存在”“至少存在一个”等形式的问题时，常从整体考虑并经常用到一下
重要命题：
设 x1，x2，x3,… xn 为实数.
配方法解题的关键在于“配方”，恰当的“拆”与“添”是配方常用的技巧，常见的等 式有：
1、 a2 2ab b2 (a b)2
2、 a 2 ab b ( a b)2
3、 a2 b2 c2 2ab 2bc 2ca (a b c)2
4、 a2 b2 c2 ab bc ac 1 [(a b)2 (b c)2 (a c)2 ] 2
(1) 若 x1 x2 xn 0 则 x1，x2，x3,… xn 中至少有(或存在)一个为零；
(2) 若 x1 x2 xn 0 ，则 x1，x2，x3，… xn 中至少有(或存在)一个大于零；
(3) 若 x1 x2 xn 0 ，则 x1，x2，x3，… xn 中至少有(或存在)一个小于零.
配方法在代数式的求值，解方程、求最值等方面有较广泛的应用，运用配方解题的关键 在于：
(1) 具有较强的配方意识，即由题设条件的平方特征或隐含的平方关系，如 a ( a )2
能联想起配方法. (2) 具有整体把握题设条件的能力，即善于将某项拆开又重新分配组合，得到完全平方
式.
例题与求解
【例 1】 已知实数 x ， y ， z 满足 x y 5, z2 xy y 9 ，那么 x 2 y 3z _____
3
6
2
至少有一个值 (
)
A、大于零 B、等于零
C、不大于零
D、小于零 (全国初中数学竞赛试题)
9、下列代数式表示的数一定不是某个自然数的平方(其中 n 为自然数)的是(
)
A、 3n2 3n 3
B、 4n2 4n 4
C、 5n2 5n 5
D、 7n2 7n 7
E、11n2 11n 11
复合根式的化简，含多元的根式等式问题，常常用到配方法.
【例 4】 证明数列 49，4489， 444889，44448889，…的每一项都是一个完全平方数.
解 题 思 路 ： 49 72 , 4489 672 , 444889 6672 , 44448889 66672 ， 由 此 可 猜 想
(天津市竞赛试题)
13、设 a 为质数，b 为正整数，且 9(2a b)2 509(4a 511b) ，求 a ， b 的值.
(全国初中数学联赛试题)
14、某宾馆经市场调研发现，每周该宾馆入住的房间数 y 与房间单价 x 之间存在如图所示的 一次函数关系.
(1) 根据图象求 y 与 x 之间的函数关系式(0＜ x ＜160)；
(全国初中数学联赛试题)
解题思路：通过引元，把不满意的总分用相关字母的代数式表示，解题的关键是对这个 代数式进行恰当的配方，进而求出代数式的最小值.
把代数式通过凑配等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质达到 增加问题条件的目的，这种解题方法叫配方法.
配方法的作用在于改变代数式的原有结构，是变形求解的一种手段；配方法的实质在于 揭示式子的非负性，是挖掘隐含条件的有力工具.