鲁棒控制理论第一章
鲁棒控制毕业论文
目前对鲁棒控制的研究多使用状态反馈，但在许多实际问题中，系统的状态往往是不能直接测量的，此时难以应用状态反馈控制律实现系统控制。
有时即使系统的状态可以直接测量，但考虑到实施控制的成本和系统的可靠性等因素，同样需要运用输出反馈来实现系统控制。
因此，研究控制系统的输出反馈镇定及其控制器设计具有重要的理论意义和实际应用价值。
本文基于Lyapunov稳定性理论和线性矩阵不等式（LMI ）方法，对不确定时滞系统研究了输出反馈控制器的设计方法，针对不确定的时滞系统设计了输出反馈控制器，保证闭环系统渐近稳定，运用MATLAB中的LMI工具箱求解控制器参数，并用SIMULINK对实际系统进行了仿真实验，通过仿真实例证明了控制器设计方法能够达到较好的控制效果，而且具有较强的鲁棒性和稳定性，证明了设计方法的有效性。
关键词：鲁棒控制；输出反馈；线性矩阵不等式；不确定性；时滞AbstractAt prese nt,people ofte n use state feedback con trol law to study robust control,but in many practical problems,the system state often cannot be measured directly,it is difficult to use state feedback con trol law to con trol the system.Sometimes,eve n if the state can be measured directly,but,c on sideri ng the cost of impleme nti ng the con trol and reliability of the system and other factors,the state feedback control cannot achieve acceptable effect .If the output feedback law can achieve the performa nee requireme nts of the closed-loop system,then it can be selected withpriority.Therefore,the output feedback stabilization of uncertain systems and controller design has important theoretical and practical value.This paper is based on Lyap unov stability theory and Lin ear MatrixInequality(LMI)methods.For uncertain time-delay systems with norm bounded un certa in parameters,the paper studied the output feedback con troller con troller desig n methods.The controller parameters were worked out by means of LMI toolbox in MATLAB.Simulatio n of the actual system was con ducted on the basis of the SIMULINK toolbox in Matlab,the results of which proved that the new controller desig n method could achieve better con trol effect and was more robust and stable.Key words:Robust con trol;Output feedback;L in esr Matrix In equality(LMI); Un certai nty;Time-delay目录第1章概述 (1)1.1输出反馈概述 (1)1.2鲁棒控制理论概述 (1)第2章基本理论 (4)2.1系统的非结构不确定性 (4)2.2系统的结构不确定性 (5)2.3线性矩阵不等式 (5)2.4 L YAPUNO稳定性理论 (8)第3章输出反馈控制器设计 (13)3.1不确定时滞系统的静态输出反馈控制器设计 (13)3.2具有控制时滞的不确定时滞系统静态输出反馈控制器设计 (16)3.3不确定时滞系统的动态输出反馈控制器设计 (21)结论 (26)参考文献 (27)致谢 (28)第1章概述1.1输出反馈概述在许多实际问题中，系统的状态往往是不能直接测量的，故难以应用状态反馈控制律来对系统进行控制。
鲁棒控制课件
.
• 结构奇异值 实际的被控对象可以看作是对象模型 集合 G 中一个元素。结构不确定性Δ 描 述系统模型与标称模型的偏离程度。为 了评价闭环系统的稳定性和性能，可以 将闭环系统分为两部分：广义标称对象 M ( s )和不确定性Δ ，得到如图 所示的M −Δ 结构。
传递函数矩阵 M ( s )包含对象的标称模型、控制器和不确定性的加 权函数。摄动块Δ 是块 对角矩阵，它包含各种类型的不确定性摄动。Δ 结构是根据实际问 题的不确定性和系统所需要 的性能指标来确定的，它属于矩阵集 Δ ( s)。这个集合包含三部分的 块对角结构： （1）摄动块的个数 （2）每个摄动子块得类型 （3）每个摄动子块的维数 本文考虑两类摄动块：重复标量摄动块和不确定性全块。前者表示 对象参数不确定性，后 者表示对象动态不确定性。 定义块结构 Δ ( s)为 {}
实际应用
非线性系统设计的基本问题是我们仅知道被 控对象的部分动态信息,无法获得被控对象的精 确模型,所建立的模型要反映实际的被控对象,就 必然存在未知项和不确定项；如果在控制器设 计阶段没有恰当地处理这些不确定项,可能会使 得被控系统的性能明显地恱化,甚至造成整个闭 环系统不稳定。控制器必须能够处理这些未知 项戒不确定项,因而估计和鲁棒是设计一个成功 的控制器的关键。自适应控制和鲁棒控制及其 相结合的控制器是能够处理这些未知项戒不确 定项,以获得期望的暂态性能和稳态跟踪精度行 之有效的方法。
研究问题：
• 鲁棒控制器问题是控制系统 设计中鱼待解决的问题之一, 它是在所描述的被控对象不 确定性允许范围内,综合其控 制律,使系统保持稳定和性能 鲁棒. • 鲁棒控制理论包括鲁棒性分 析和鲁棒设计两大类问题. • 由于系统中的不确定性对系 统的性能能否保持有决定性 的影响,且高性能指标的保持 要求高精度的标称模型.
鲁棒控制理论及应用课程吴敏
∂xT
4γ 2 ∂xT
∂x
•
x
=
f
(x) +
1 2γ 2
gg T
∂φ ∂x
(x)
d)在x=0附近,存在光滑正定函数 φ (x)和正常数ε,使哈密顿-
9
雅可比不等式
∂φ ∂xT
f
成立 + 1 ∂φ gg T ∂φ + hTh + ε xT x ≤ 0
4γ 2 ∂xT
∂x
2015年10月25日
鲁棒控制理论及应用课程
•
x=
f
(x) +
1 2γ 2
g1 g1T
∂φ ∂x
−
1 2
g2
g2T
∂ϕ ∂x
+
g1
γ 2
g1T
∂φ ∂x
+
~
z
是渐进稳定的，而且是局部L2稳定的
b)在x=0附近,存在光滑正定函数 φ (x)和正常数ε,使哈密顿-
雅可比不等式 成立,而且 ∂φ ∂xT
f
+
1 4
∂φ ∂xT
⎛ ⎜ ⎝
给定一个常数γ>0,下述条件是等价的。
a)非线性系统Szw是指数稳定的,而且 γ S < zw Lc2 b)近似线性系统 S%zw 是稳定的,而且 S%zw ∞ < γ
c)在x=0附近,存在光滑正定函数 φ (x),使哈密顿－雅可比方程
成立,而且 是指数稳定的 ∂φ f + 1 ∂φ ggT ∂φ + hTh = 0
∂xT
4γ 2 ∂xT
∂x
7
成立，而且
1 gT ∂φ 2
lim 2 ∂x < ∞
现代控制理论鲁棒控制资料课件
鲁棒优化算法的应用
01
02
03
鲁棒优化算法是一种在不确定环 境下优化系统性能的方法。
鲁棒优化算法的主要思想是在不 确定环境下寻找最优解，使得系 统的性能达到最优，同时保证系 统在不确定因素影响下仍能保持 稳定。
鲁棒优化算法的主要应用领域包 括航空航天、机器人、能源系统 、化工过程等。
05
现代控制理论鲁棒控制实 验及案例分析
现代控制理论鲁棒控制的成就与不足
• 广泛应用在工业、航空航天、医疗等领域
现代控制理论鲁棒控制的成就与不足
01
02
不足
控制系统的复杂度较高，难以设 计和优化
对某些不确定性和干扰的鲁棒性 仍需改进
03
实际应用中可能存在实现难度和 成本问题
04
未来研究方向与挑战
研究方向
深化理论研究，提高鲁棒控制器 的设计和优化能力
线性鲁棒控制实验
线性鲁棒控制的基本原理
01
介绍线性鲁棒控制的概念、模型和控制问题。
线性鲁棒控制实验设计
02 说明如何设计线性鲁棒控制实验，包括系统模型的建
立、鲁棒控制器的设计和实验步骤。
线性鲁棒控制实验结果分析
03
对实验结果进行分析，包括稳定性、性能和鲁棒性能
等。
非线性鲁棒控制实验
非线性鲁棒控制的基本原理
03
线性系统的分析与设计：极点配置、最优控制和最优
估计等。
非线性控制系统
1
非线性系统的基本性质：非线性、不稳定性和复 杂性。
2
非线性系统的状态空间表示：非线性状态方程和 输出方程。
3
非线性系统的分析与设计：反馈线性化、滑模控 制和自适应控制等。
离散控制系统
《鲁棒控制》-1-鲁棒控制问题的提出和描述_32201772
线性定常受控对象参数摄动模型的一般形式：
《鲁棒控制》课堂笔记 清华大学自动化系 钟宜生
Gp (s)∈Q
⎧ ⎪ ⎪
bm an
( (
q) q)
sm sn
+ +
bm−1 an−1
(q) sm−1 + (q) sn−1 +
+ b1 (q) s + b0 + a1 (q) s + a0
(q) (q)
⎫ ,⎪ ⎪
其中
a0 = −1.0732, b0 = 1.0732, c0 = 1
Δa ≤ 0.3157 Δb ≤ 0.3157
《鲁棒控制》课堂笔记 清华大学自动化系 钟宜生
门架控制系统
伺服电机模型：
《鲁棒控制》课堂笔记 清华大学自动化系 钟宜生
伺服电机动力学方程：
其中
M
d
2x(t)
dt 2
+
D
dx(t )
线性定常受控对象可能含有参数摄动和模型摄动，即具有混合摄动：
Gp (s) = Go (s) + ΔG (s) Go (s) ∈G or Q ΔG (s) = W1 (s) Δ (s)W2 (s) Δ(s)∈Ω
1.2 时域不确定模型
1.2.1 系数区间摄动
还以 RC 电路为例：
x
(t
)
=
−
1 RC
x
(t
{ } { } A = aij , B = bij { } C = cij
aij ≤ aij ≤ aij , bij ≤ bij ≤ bij , cij ≤ cij ≤ cij 其中区间端点是已知的，即αij ,αij (α = a, b, c)。
鲁棒控制理论基础1-2章
28
Fang Hua-Jing , HUST 2008
29
等价定义
于是，等价的有
Fang Hua-Jing , HUST 2008
30
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31
系统的范数
Fang Hua-Jing , Hing , HUST 2008
鲁棒控制理论基础
方华京
华中科技大学 控制科学与工程系 控制理论研究所
第一章、绪论
设计控制系统的典型基本步骤 １．建立被控系统的模型并进行简化； ２．分析得到的系统模型，确定其性质； ３．根据对系统性能的要求，确定性能指标的形 式和控制器的类型； ４．选用某一控制理论进行控制器设计； ５．在计算机进行数值仿真或在实验模型上进行 物理仿真； ６．仿真结果不满足要求时重复上述步骤； ７．选择硬件和编制软件实现控制器．
13
2.2 系统增益与系统范数
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奇异值分解定理:
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2.3 系统范数的计算
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《鲁棒控制系统》课件
在工业自动化生产线上，各种设备、传感器和执行器需要精 确控制和协调工作。鲁棒控制系统能够有效地处理各种不确 定性，如设备故障、传感器漂移等，保证整个生产过程的稳 定性和效率。
航空航天
总结词
在航空航天领域，鲁棒控制系统用于 确保飞行器的安全和稳定运行。
详细描述
航空航天领域的飞行器面临着复杂的 环境和严苛的飞行条件，鲁棒控制系 统能够有效地处理各种不确定性和干 扰，保证飞行器的安全和稳定运行。
05
鲁棒控制系统的发展趋势 与展望
人工智能与鲁棒控制
人工智能在鲁棒控制中的应用
利用人工智能算法优化控制策略，提高系统的鲁棒性和 自适应性。
深度学习在鲁棒控制中的潜力
通过训练深度神经网络，实现对不确定性和干扰的高效 处理，提升系统的鲁棒性能。
网络化与鲁棒控制
网络控制系统的发展
随着网络技术的进步，网络化控制系统成为研究的热点，对鲁棒控制提出了新的挑战和 机遇。
鲁棒优化控制
总结词
通过优化方法来设计鲁棒控制律，以实现系统在不确定性和干扰下的最优性能 。
详细描述
鲁棒优化控制是一种基于优化方法的控制策略，通过考虑系统的不确定性和干 扰，来设计最优的控制律。这种方法能够保证系统在各种工况下的最优性能， 提高系统的鲁棒性和适应性。
自适应控制
总结词
通过在线调整控制律参数来适应系统参数的 变化和外部干扰。
要点二
详细描述
电力系统的稳定运行对于整个社会的正常运转至关重要。 鲁棒控制系统能够有效地处理电力系统中的各种不确定性 和干扰，保证电力供应的稳定和可靠。
04
鲁棒控制系统的挑战与解 决方案
系统不确定性
系统不确定性描述
01
鲁棒控制
注：定理中的四个多项式通常被称作Kharitonov顶点多 定理中的四个多项式通常被称作 顶点多 项式。 项式。Kharitonov定理的意义在于它将区间多项式中无 定理的意义在于它将区间多项式中无 穷多个多项式的稳定性与四个定点的稳定性等价起来， 穷多个多项式的稳定性与四个定点的稳定性等价起来， 将无穷检验变为有限检验（顶点检验）。 将无穷检验变为有限检验（顶点检验）。
系统的不确定性
参数不确定性，如二阶系统： 参数不确定性，如二阶系统：
可以代表带阻尼的弹簧装置， 电路等。 可以代表带阻尼的弹簧装置，RLC电路等。这种不确 电路等 定性通常不会改变系统的结构和阶次。 定性通常不会改变系统的结构和阶次。
1 G(s) = 2 , a ∈ [a − , a + ] s + as + 1
Robust Control
姓名： 姓名：丁 琳 学号： 学号：20100272 专业： 专业：检测技术与自动化装置
主要内容
一、引 言 二、发展概况 三、鲁棒控制理论 3.1 Kharitonov定理 定理 3.2 H∞控制理论 四、研究热点
一、引
言
我们总是假设已经知道了受控对象的模型， 我们总是假设已经知道了受控对象的模型，但由于实 际中存在种种不确定因素， 际中存在种种不确定因素，如： • • • • • 参数变化； 参数变化； 未建模动态特性； 未建模动态特性； 平衡点的变化； 平衡点的变化； 传感器噪声； 传感器噪声； 不可预测的干扰输入； 不可预测的干扰输入；
Kharitonov定理： (1)中的每一个多项式均稳定当且仅当 定理： 定理 中的每一个多项式均稳定当且仅当 下面的四个多项式稳定
+ − − + + P (s) = a0 + a1+s + a2 s2 + a3 s3 + a4 s4 + a5 s5 +L 1 − + + 2 − 3 − 4 + 5 P (s) = a0 + a1 s + a2 s + a3 s + a4 s + a5 s +L 2 + − − 2 + 3 + 4 − 5 P (s) = a0 + a1 s + a2 s + a3 s + a4 s + a5 s +L 3 − + + − − P (s) = a0 + a1−s + a2 s2 + a3 s3 + a4 s4 + a5 s5 +L 4
鲁棒控制讲义-第1-2章
第一章概述§1.1 不确定系统和鲁棒控制(Uncertain System and Robust Control)1.1.1 名义系统和实际系统（nominal system）控制系统设计过程中，常常要先获得被控制对象的数学模型。
在建立数学模型的过程中，往往要忽略许多因素：比如对同步轨道卫星的姿态进行控制时不考虑轨道运动的影响，对一个振动系统的控制过程中，不考虑高阶模态的影响，等等。
这样处理后得到的数学模型仍嫌太复杂，于是要经过降阶处理，有时还要把非线性环节进行线性化处理，时变参数进行定常化处理，最后得到一个适合控制系统设计使用的数学模型。
经过以上处理后得到的数学模型已经不能完全描述原来的物理系统，而仅仅是原系统的一种近似，因此称这样的数学模型为“名义系统”，而称真实的物理系统为“实际系统”，而名义系统与实际系统的差别称为模型误差。
1.1.2不确定性和摄动（Uncertainty and Perturbation）如立足于名义系统，可认为名义系统经摄动后，变成实际系统，这时模型误差可视为对名义系统的摄动。
如果立足于实际系统，那么可视实际系统由两部分组成：即已知的模型和未知的模型（模型误差），如果模型的未知部分并非完全不知道，而是不确切地知道，比如只知道某种形式的界限（如：范数或模界限等），则称这部分模型为实际模型的不确定部分，也说实际系统中存在着不确定性，称含有不确定部分的系统为不确定系统。
模型不确定性包括：参数、结构及干扰不确定性等。
1.1.3 不确定系统的控制经典的控制系统设计方法要求有一个确定的数学模型（可能是常规的，也可能是统计的）。
以往，由于对一般的控制系统要求不太高，所以系统中普遍存在的不确定性问题往往被忽略。
事实上，对许多要求不高的系统，在名义系统的基础上进行分析与设计已经能够满足工程要求，而对一些精度和可靠性要求较高的系统，也只是在名义系统基础上进行分析和设计，然后考虑模型的误差，用仿真的方法来检验实际系统的性能（如稳定性、暂态性能等）。
鲁棒控制理论基础章
鲁棒控制理论基础章1. 引言鲁棒控制是指当系统受到外界干扰时，仍能保持一定稳定性的控制方法。
鲁棒控制方法的出现，是为了解决传统控制方法在系统故障和外界干扰下容易失效的问题。
鲁棒控制理论也因此应运而生。
本章将介绍鲁棒控制理论的基础知识，包括鲁棒性概念、鲁棒控制设计指标及鲁棒控制设计方法。
2. 鲁棒性概念2.1 鲁棒性定义鲁棒性是指控制系统能够在一定程度上抵抗外界干扰、模型不确定性和参数扰动等不利因素的性能。
在控制系统中，外部干扰是不可避免的，特别是在现代控制领域中，系统模型和控制器参数的不确定性也是普遍存在的。
因此，了解和掌握鲁棒性理论对于控制系统稳定性的提高和鲁棒性能的设计至关重要。
2.2 鲁棒性评价指标鲁棒性评价指标通常采用灵敏度函数和鲁棒稳定裕度等指标来评估系统的鲁棒性能。
其中，灵敏度函数是指系统输出间的变化与系统输入间的变化之间的关系，鲁棒稳定裕度则是指系统在一定范围内满足稳定性要求的能力。
2.3 鲁棒性的分类鲁棒性可分为参数鲁棒性和结构鲁棒性两种。
参数鲁棒性是指系统在参数变化时对系统鲁棒性的影响，即当有一个扰动作用到系统参数上时，系统是否能够维持一定的稳定性。
结构鲁棒性是指系统在模型不精确或者模型存在未知扰动时，仍能够保证鲁棒稳定性。
3. 鲁棒控制设计指标3.1 灵敏度函数在鲁棒控制设计中，灵敏度函数是一个重要的工具，其可以用来评估系统的稳定性。
针对灵敏度函数，可以设计出控制器，通过控制器来提高系统的稳定性。
3.2 鲁棒稳定裕度鲁棒稳定裕度是衡量鲁棒控制系统对于系统变化的一种指标。
通过定义不同的鲁棒稳定裕度，可以使得鲁棒控制系统更加健壮。
3.3 状态观测器状态观测器可以更加准确地预估系统的状态，提供更加精确的控制信号。
在鲁棒控制系统中，设计一个稳健的状态观测器可以提高系统的稳定性。
4. 鲁棒控制设计方法4.1 H∞控制H∞控制是一种经典的鲁棒控制方法，其通过最小化灵敏度函数，使得系统具有一定稳定性。
鲁棒控制理论及应用--
维纳滤波器方法的基本思想
r
e
C
u
d
P
y
d: 可以用某种随机过程来表示的外界扰动
把反馈控制问题变成数学上的某些优化问题 卡尔曼-布西滤波器 (Kalman-Bucy Filter)理论
现代控制理论
LQG控制器
e
C
u
d
P
y
Байду номын сангаас
卡尔曼-布西滤 波器
控制问题的解 (分离原理)： ·设计卡尔曼-布西滤波器，获得x的估计值； ·设计基于x的估计值的状态反馈增益矩阵K。
涉及课程及其参考书
涉及课程： • 线性系统理论（Linear System Theory) • 最优控制（Optimal Control) 参考书： • 吴敏,桂卫华,何勇:《现代鲁棒控制》（第2版） • 中南大学出版社，2006 • Zhou K, Doyle J C and Glover K.Robust and Optimal Control.Prentice Hall,1996
第一讲：
鲁棒控制研究的基本问题
基本的反馈控制系统
d
r
u
控制器 控制对象
y
v
传感器
n
r-目标输入，y-控制对象输出，u-控制输入
v-传感器输出，n-传感器噪声，d-外部扰动
控制系统设计与不确定性
控 制 理 论 模 设计方法 型 实际 控制 对象
扰来 动自 信控 号制 。系 统 本 身 外 部 的
系统不确定性
非结构不确定性 (Unstructured Uncertainty)
P0
P0 P
结构不确定性 (Structured Uncertainty)
鲁棒控制理论.ppt
例如跟踪控制中,若希望跟踪误差e的幅值小于给定
的 ,则性能指标为: S , S为灵敏度函数
定义权函数
W1( j)
1 ,则有
W1S
1
若P取摄动为 (1 W2)P0,那么S的摄动为:
S
1
S0
1 (1 W2 )L0 1 W2T0
显然RP的条件为:
|| W2T || 1 且
W1
1
S0 W2T
下面研究一种特殊的摄动形式——分子分母摄动,它依赖于对象传递函数P的分式 表示 P N ,若P为有理的,则N和D分别
D
为分子,分母多项式。分子-分母摄动模型 将摄动表示为
P N0 P N0 M NW2
D0
D0 M DW1
N0和D0表示标称系统; M DW1和M NW2分别为
分母和分子的不确定性模型; 频率函数MW1和
数 S0 和输入灵敏度函数 U0 满足不等式:
H
2
sup(W1( j)S0 ( j)V ( j) 2 R
W2 ( j)U0 (
j)V ( j) 2 ) 1
令w1 VW1, w2 VW2 / P0,则上式可以表示为:
S0 ( j)w1( j) 2 T0 ( j)w2 ( j) 2 1, R
S sup S( j) R
这一问题的合理性在于:极小化S的峰值相当 于极小化最坏干扰对输出的影响。
假设干扰v具有未知频率成分,但是有有限能
量 v 2 , 我们定义干扰的2范数 2
v v2(t)dt
2
v的能量是它2范数的平方。则下图的系统范
数 S 定义为
z
S sup
2
v v
2
2
z
S
线性系统理论12鲁棒控制
定理12.3.1 非线性摄动系统 为大范围一致渐近稳定的充分条件是： 1.其名义系统 xt At xt 一致渐近稳定。 2.对于满足Lypunov方程
t P t A t AT t P t 2 I P 的一致有界，一致正定的实对称时变矩阵 P (t )有下式成立 f x t , t x t 2
问题12.2.2 [第二类分析问题]
x Ax Bu 已知系统 y Cx 渐近稳定,它所受的
扰动满足 d x , d x x ，其中 已知，试分析系统 x Ax x 是否渐近稳定。
12.2.2鲁棒控制系统设计
，
，
B N B, B , B, B R 则称系统 x Ax Bu 为一区间系统。
n r
A N A, A ,
A, A R
nn
区间系统的同时镇定问题可以描述如下 给定矩阵 A, A R
, B, B R 求取一实矩阵 K Rrn ，使得对于任何
A N A, A , B N B, B
nn
nr
均有 Re i A BK 0 , i 1,2,, n
（2）不确定系统的指标确保控制 定义12.2.2 对于系统
x Aqt , t x Bqt , t u 及其指标 J ，如果存在一个定义在 t 0 , t f 上的控制 u t 和一个实数 J ，使得该 系统在 t 0 , t f 作用下从 t 0 出发以 x 0 为初 值的解满足
J u , q J , qt
则称 J 为一个指标保证值，而 t 称为 u 该系统的一个在点 x 0 , t 0 处的以J 为指
鲁棒控制与鲁棒控制器设计ppt课件.ppt
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对叠加型不确定性 对乘积型的不确定性
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3.2 灵敏度问题的鲁棒控制器设计
一般情况下，受控对象 G 的 D 矩阵为非满秩矩阵时， 不能得出精确的成型控制器，这时回路奇异值的上下限 满足式子
当
时，控制器作用下实际回路奇异值介于
之间。
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【例7】
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【例3】对【例1】中的增广的系统模型，分别 设计
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绘制在控制器作用下系统的开环 Bode 图和 闭环阶跃响应曲线
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【例4】
加权矩阵
并设置 设计最优 控制器，并绘制出该控制器作用下的 阶跃响应曲线和开环系统的奇异值曲线。
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变换出系统矩阵 P
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【例2】用【例1】中的对象模型和加权函数， 得出其系统矩阵模型 P
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2、 鲁棒控制器的 计算机辅助设计
鲁棒控制工具箱的设计方法
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2.1 鲁棒控制工具箱的 设计方法
鲁棒控制器的状态方程表示
其中
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绘制在此控制器下的回路奇异值及闭环 系统的阶跃响应曲线
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3.3 混合灵敏度问题的鲁棒 控制器设计
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【例8】
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假设系统的不确定部分为乘积型的，且已知 ，并已知不确定参数的变化范围为 ,设计固定的 控制器
鲁棒控制理论与方法
鲁棒控制理论与方法鲁棒控制是现代控制理论中的一个重要分支，它致力于设计出对系统参数变化、外部扰动和建模误差具有鲁棒性的控制器，以保证系统在不确定性环境下的稳定性和性能。
本文将介绍鲁棒控制的基本理论和常用方法，以及其在工业控制、机器人控制等领域中的应用。
一、鲁棒控制基础理论鲁棒性是指控制系统对不确定性的一种抵抗能力，它可以通过针对系统模型的不确定性建立数学模型，以保证系统稳定性和性能。
鲁棒控制的基础理论包括：1. H∞ 控制理论：H∞ 控制是一种用于处理线性时不变系统鲁棒控制问题的数学工具。
该方法通过定义一个性能指标，以最小化系统输出的最坏情况下的波动来设计控制器。
2. μ合成控制理论：μ合成是一种基于描述函数的鲁棒控制方法，它将系统不确定性建模为复杂函数，并通过求解非线性最优化问题来设计控制器。
3. 鲁棒控制的小参数理论：该理论主要研究在参数扰动很小时，系统性能的鲁棒稳定性和鲁棒性问题。
二、常用的鲁棒控制方法鲁棒控制方法多种多样，下面列举几种常用的方法：1. H∞ 控制方法：H∞ 控制方法通过在系统输出和控制器输入之间引入鲁棒性加权函数来设计鲁棒控制器。
该方法适用于线性时不变系统和线性时变系统。
2. μ合成控制方法：μ合成控制方法通过优化复杂描述函数来设计鲁棒控制器。
该方法适用于线性和非线性系统，并且具有较强的泛化能力。
3. 自适应控制方法：自适应控制方法将未知参数作为反馈调整的对象，通过在线估计参数的方式设计鲁棒控制器。
该方法适用于需要适应不确定性参数的系统。
4. 鲁棒滑模控制方法：鲁棒滑模控制方法通过引入滑模面的概念，以实现对系统模型误差和扰动的高度鲁棒性。
该方法适用于非线性和时变系统。
三、鲁棒控制在工业与机器人控制中的应用鲁棒控制在工业控制和机器人控制领域具有广泛的应用，以下列举几个实际应用案例：1. 工业过程控制：鲁棒控制可以用于工业过程中对温度、压力、流量等参数的控制。
通过对系统模型的不确定性建模和鲁棒控制器的设计，可以保证工业过程的稳定性和性能。
鲁棒控制理论及应用lesson
鲁棒性设计问题: 必须根据不确定性的结构加以区别。
非结构不确定性: H∞控制；结构不确定性: μ综合
3
2007年10月9日
鲁棒控制理论及应用
中南大学信息科学与工程学院 吴 敏
鲁棒性分析和设计方法一览表
外部输入假设 性能要求
摄动假设
E[w(t)w∗ (t)] E[z(t)z∗ (t)] ≤ 1 = δ (t −τ )
μΔ
[M
(s)]
=
min{σ
max
(Δ)
:
det(I
−
1 M
Δ)
=
0,
Δ是结构性的}
M(s)关于复数结构不确定性Δ的最大结构奇异值
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2007年10月9日
鲁棒控制理论及应用
中南大学信息科学与工程学院 吴 敏
结构奇异值μ的引入(1)
△△
e2
w2
w1
e1
M
问题：多大的Δ(在 Δ 的意义下) ∞ 不致于使反馈系统不稳定
w = U0δ (t)
E (U 0U
∗ 0
)
=
I
E( z 2) ≤1 2
Δ=0
w ≤1 2
z ≤1 2
Δ=0
分析方法
设计方法
M 22
≤1
2
LQG H2
M 22 ∞ ≤ 1 奇异值
w ≤1 2
内部稳定
Δ ≤1 ∞
M11 ∞ ≤ 1
H∞
4
2007年10月9日
鲁棒控制理论及应用
中南大学信息科学与工程学院 吴 敏
, DM 2 D−1
=
⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
1 a
1
d2 d1
鲁棒控制理论第一章
60—70年代，控制理论中关于状态空间的结构性理论得 到了突破性的进展
建立了线性系统的能控、能观性理论
提出了反馈镇定的一整套严密的理论和方法
这些理论和方法却依赖于受控对象的精确的数学模型
由于实际的系统往往都是运行在不断变化的环境中，各种 因素(如温度、原料、负荷、设备等)都是随时间变化的， 一般说来，这种变化是无法精确掌握的。 又由于受理论和方法的限制，在实际系统的建模过程中经 常要做—些简化处理，如降阶、时变参数的定常化处理、 非线性方程的线性化等 使得实际系统和我们赖以做分析和设计的数学模型之间存 在一定的差别。
Doyle等人提出可根据范数界限扰动有效地描述模型不
确定性，由此他发展了判别鲁棒稳定性和鲁棒性能的 强有力工具——结构奇异值。
Vidyasagar等人于1982年提出了同时镇定化问题：给
定 r 个被控对象P1，P2 ，…，Pr ，能否找到一个控制 器，镇定所有被控对象。这里，被控对象由多个模型 描述，主要是由故障或非线性系统在多个工作点线性 化造成的。
鲁棒性定义
从某种抽象的意义上来谈鲁棒性本身，而不局限于控制系 统的鲁棒性。 首先，鲁棒性是一种性质，它应该与某种事物相关联。如 控制系统、矩阵等。因而我们通常所说的控制系统的鲁棒 性即是与控制系统相关的某种意义下的抗扰能力。 其次，鲁棒性所言及的对象并不是事物本身，而是事物的 某种性质，如控制系统的稳定性、矩阵的可逆性或正定性 等等。 因而通常的“控制系统的鲁棒性”这种说法并不确切。是 一种很笼统的说法。如若确切地表述，则需指明“某事物 的某种性质”的鲁棒性，如控制系统的稳定性的鲁棒性， 简称控制系统的稳定鲁棒性；控制系统的某种性能的鲁棒 性，简称控制系统的性能鲁棒性。
鲁棒控制1
12 H 鲁棒控制12．1鲁棒控制的概念20世纪末，现代控制的理论与方法已日趋完善，然而，在工程实际中的应用依然困难.其中一个重要原因是，现代控制理论在很大程度上要依赖于有一个描述被控对象动态特性的精确数学模型、或者要求对象的不确定性和外界干扰满足某种特殊的假定。
而且，利用这种理论设计的系统只对数学模型保证预期的性能指标。
然而，控制系统设计中一个不可避免的问题是系统的数学模型与实际系统总难免会有些不同。
这是由于在控制系统设计时对实际物理系统进行数学模型化时不可避免地会遇到权衡数学模型的简单性和与实际系统吻合程度的真实性的问题。
数学模型与实际系统之间的差异可能通过许多途径产生，例如：线性化、参数估计等等。
而且，在实际物理系统中，某些参数可能并不是确定的，例如：液压系统中的油液粘度将随油温而变化。
为了弥补现代控制理论的这种不足，最有效的手段是在系统的分析和设计时充分考虑被控对象中所存在的各种不确定因素，即基于含不确定因素的非精确模型来分析系统和设计控制器，使所设计的控制系统能在某一类特定的不确定性条件下具有使系统稳定性、渐近调节和动态特性保持不变的特性。
系统的这种承受不确定性影响的能力即系统的鲁棒性。
20世纪80年代以来，关于控制系统的鲁棒性研究得到了很大的发展。
现代鲁棒控制理论继承了以往的鲁棒性研究方法，以基于使用状态空间模型的频率设计方法为主要特征，提出从根本上解决控制对象模型不确定性和外界扰动不确定性问题的有效方法，主要方法有H ∞控制方法，u 解析方法，LQG/LTR 方法等。
其中最为重要的是H ∞控制方法。
12．2 H ∞鲁棒控制问题的基本知识 1．H ∞范数（H ∞ norm ）对于一个连续时间状态变量系统.x （t ）=Ax(t)+Bu(t)y(t)=Cx(t)+Du(t) (12.2-1) 其相应的传递函数矩阵为：G （s ）=C(sI-A)-1B+D (12.2-2) 则G （s ）的H ∞范数为‖G ‖∞=Sup w -σ（G(j ω)） (12.2-3) 这里，)(∙-σ表示最大奇异值。
浙江大学鲁棒控制理论第一章
数学模型的这种不确定性必须在控制系统设计时进行考虑 因此在控制系统设计中的： 稳定鲁棒性 在稳定鲁棒性要求的前提条件下的性能鲁棒性 很值得进行研究的。 系统控制哲学 自适应：控制器可变参数 （以变应变） 鲁棒：固定参数控制器（以不变应万变） 不确定性系统综合问题 给定一个广义对象的集合，给定一个外部输入的集 合，以及一个系统的性能指标，设计一个可实现的控 制器，达到该指标的界。
Lyapunov函数在鲁棒性分析与控制器设计中的应用。 Matlab/MathWorks软件包
模型的不确定性
输出
输入
y = ( P + D) u + n
未知对象的摄动
未知噪声或干扰
标称对象的传递函数
不确定性的来源 参数和结构（阶次）的变化规律未知 高频下的未建模动态， 更严酷的工作条件 控制系统本身造成的不确定性， 广义对象的建模 从广义上来说，系统不确定性按结构可以分为以下两类： 不确定性的结构未知，仅知不确定性变化的界限。 不确定性的结构已知，存在着参数的变化(参数不确定 性)。
设计和最优化方法应运而生。 但是随着其在实际工程中的应用，发现LQ理论设计出 来的控制器对系统不确定性因素反应较为敏感 不能保证闭环系统具有一定的稳定性和性能的鲁棒性 控制器设计过程要求准确知道干扰过程的全部统计特 性 这一要求使该理论的工程应用受到工程实际条件的某 些限制
上世纪60—70年代，控制理论中关于状态空间的 结构性理论得到了突破性的进展
在一个具体的鲁棒控制系统设计问题中，上述几方面因素 都要有具体的内容或含义。 根据这些因素的内容或含义的不同便决定了不同的鲁棒控 制系统设计问题：而且它们所受的扰动也可以具有各种特定形 式，
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模型的不确定性
输出
输入
y = (P + D )u + n
未知对象的摄动
未知噪声或干扰
标称对象的传递函数
不确定性的来源 参数和结构（阶次）的变化规律未知 高频下的未建模动态 更严酷的工作条件 控制系统本身造成的不确定性 广义对象的建模 从广义上来说，系统不确定性按结构可以分为以下两类： 不确定性的结构未知，仅知不确定性变化的界限。 不确定性的结构已知，存在着参数的变化(参数不确定 性)。
再次，既然鲁棒性所表征的是“抗干扰的能力”，则必与 所言事物的某种形式的“扰动”相关联。如
对于控制系统而言，某些参量的变化、外界干扰等都
可视为扰动；
对于矩阵而言，其元素的摄动即是一种扰动。 “扰动”往往都有多种形式，某事物的某性质针对事
物不同形式的扰动决定了该事物、该性质的不同的鲁 棒性。
在一个具体的鲁棒控制系统设计问题中，上述几方面因素 都要有具体的内容或含义。 根据这些因素的内容或含义的不同便决定了不同的鲁棒控 制系统设计问题：
由于我们所研究的系统从性质到描述形式都是多种多
样的，而且它们所受的扰动也可以具有各种特定形式，
人们对于控制系统的性能要求也可能是多方面的， 所以这些因素的不同组合便给出了众多的鲁棒控制系
Lyapunov函数在鲁棒性分析与控制器设计中的应用。 Matlab/MathWorks软件包
三、课程内容
课程性质：
博士生基础课，重点是鲁棒控制理论的基础
讨论对象：单输入单输出，线性，时不变，有限维 前导课程：线性控制系统理论 目的：扎实的基础
课程内容
信号和系统的范数 基本概念 不确定性和鲁棒性 系统镇定 H∞标准控制
鲁棒分析问题
根据鲁棒性定义，我们可以将鲁棒性分析问题归结为两大 类。 第一类鲁棒性分析问题
已知某事物
W 及其性质 P 和该事物的某种形式的扰动 D，但不知道扰动 D 的范围。一般说来，只要扰动D足够小，
事物W受到扰动D后仍能够保持其性质P。但当扰动D的扰动范围 大到一定程度时，事物W受到扰动D后便不再具有性质P。
鲁棒控制理论
第一章 绪论
一、不确定性和鲁棒性
鲁棒控制是70年代兴起的、目前仍然非常活跃的一个研究 领域，具有非常广泛的研究内容。 本世纪初，控制系统设计方法主要是基于Bode曲线和 Nyquist曲线 可以用间接的方法处理系统不确定性问题 发展了在增益和相位存在变化时仍能保证闭环系统稳 定的增益裕度和相位裕度概念 遗憾的是这些处理方法大多数局限于单变量输入单变 量输出系统。
“鲁棒”一词来自英文词“Robust”的音译
Robustness，即鲁棒性
其含义是稳健、强壮，因而也常称之为稳健性或强壮
性
在70年代初期，人们正式地将鲁棒性的概念引入现代控制 理论，然而关于鲁棒性本身却没有给出确切的定义。
目前现代控制理论中所涉及的各种鲁棒性都具有其各自的 含义。 简单地说，鲁棒性是“抗扰动的能力”
参考书目
反馈控制理论，J. C. 多伊尔、B. A. 弗朗西斯、 A. R. 坦嫩 鲍姆 著 鲁棒控制理论及应用，褚健、俞立、苏宏业著，浙江大学 出版社，2000.4 H2和H∞优化控制理论，王德进编著，哈尔滨工业大学出版 社，2001.3
Doyle等人提出可根据范数界限扰动有效地描述模型不
确定性，由此他发展了判别鲁棒稳定性和鲁棒性能的 强有力工具——结构奇异值。
Vidyasagar等人于1982年提出了同时镇定化问题：给
定 r 个被控对象P1，P2 ，…，Pr ，能否找到一个控制 器，镇定所有被控对象。这里，被控对象由多个模型 描述，主要是由故障或非线性系统在多个工作点线性 化造成的。
随着时间的推移，科学技术的发展要求处理大量 的多变量输入多变量输出系统的设计问题
以二次型最优控制(LQ)为代表的一类多变量控制系统
设计和最优化方法应运而生。 但是随着其在实际工程中的应用，发现LQ理论设计出 来的控制器对系统不确定性因素反应较为敏感 不能保证闭环系统具有一定的稳定性和性能的鲁棒性 控制器设计过程要求准确知道干扰过程的全部统计特 性 这一要求使该理论的工程应用受到工程实际条件的某 些限制
区间端点作为系数的多项式的稳定性来判别区间多项 式族的哈氏定理。
Zames于1981年提出控制系统的
H 设计方法。在假 定干扰属于某一已知信号集的情况下，Zames提出用 其相应的灵敏度函数的 H 范数作为指标，设计目标 是在可能发生的最坏干扰下使系统的误差在这种范数 意义下达到极小，从而将抗干扰问题转化求解使闭环 系统稳定，并使相应的 H 范数指标极小化的输出反 馈控制器设计问题。
鲁棒性定义
从某种抽象的意义上来谈鲁棒性本身，而不局限于控制系 统的鲁棒性。 首先，鲁棒性是一种性质，它应该与某种事物相关联。如 控制系统、矩阵等。因而我们通常所说的控制系统的鲁棒 性即是与控制系统相关的某种意义下的抗扰能力。 其次，鲁棒性所言及的对象并不是事物本身，而是事物的 某种性质，如控制系统的稳定性、矩阵的可逆性或正定性 等等。 因而通常的“控制系统的鲁棒性”这种说法并不确切。是 一种很笼统的说法。如若确切地表述，则需指明“某事物 的某种性质”的鲁棒性，如控制系统的稳定性的鲁棒性， 简称控制系统的稳定鲁棒性；控制系统的某种性能的鲁棒 性，简称控制系统的性能鲁棒性。
数学模型的这种不确定性必须在控制系统设计时进行考虑 因此在控制系统设计中的： 稳定鲁棒性 在稳定鲁棒性要求的前提条件下的性能鲁棒性 很值得进行研究的。 系统控制哲学 自适应：控制器可变参数 鲁棒：固定参数控制器（以不变应万变） 不确定性系统综合问题 给定一个广义对象的集合，给定一个外部输入的集合， 以及一个系统的性能指标，设计一个可实现的控制器， 达到该指到了突破性的进展
建立了线性系统的能控、能观性理论
提出了反馈镇定的一整套严密的理论和方法
这些理论和方法却依赖于受控对象的精确的数学模型
由于实际的系统往往都是运行在不断变化的环境中，各种 因素(如温度、原料、负荷、设备等)都是随时间变化的， 一般说来，这种变化是无法精确掌握的。 又由于受理论和方法的限制，在实际系统的建模过程中经 常要做—些简化处理，如降阶、时变参数的定常化处理、 非线性方程的线性化等 使得实际系统和我们赖以做分析和设计的数学模型之间存 在一定的差别。
Davison等人提出的鲁棒调节器设计方法，使得闭环系
统稳定且达到输出渐近调节，而且当对象的参数发生 微小摄动(保证闭环稳定性)时，仍然达到输出渐近调节。
Youla等人于1976年针对一个特定对象给出了所有镇定
补偿器的参数化表示。该参数化方法使得控制器自动 产生一个闭环稳定系统。
Kharitonov于1978年针对区间多项式族，提出由四个
第一类鲁棒性分析所考虑的问题：事物W受到扰动D后
仍保持性质P所允许的扰动 D的“最大”扰动范围是多 大?
上述所说的“允许的最大扰动范围”的描述要因具体 的问题和具体的处理方法来决定，它一般是所论事物 及其扰动量的函数，常称为鲁棒性指标。
第二类鲁棒性分析问题
第一类鲁棒性分析问题是在事物所受扰动的形式已知、
输出反馈控制
根据研究所基于的模型不同，系统鲁棒性研究方法主要有 两类:
研究对象是闭环系统的状态矩阵或特征多项式的，一
般采用代数方法
研究是从系统的传递函数或传递函数矩阵出发的，就
常常采用频率域方法
二、关键性事件
一般认为，多变量系统鲁棒控制的研究始于1976年。其研 究的最重要特点是讨论参数在有界扰动(而不是无穷小扰 动)下系统性能保持的能力。以下几个方面的开创性工作 大大推动了鲁棒控制的发展。
统设计问题。
由此可见，试图给出一个包罗万象的鲁棒控制系统设计问 题是不现实的。
根据用于反馈的信号是采用系统状态还是系统输出，可将 反馈控制分为：状态反馈控制和输出反馈控制
状态反馈控制
显然状态反馈控制实现起来比较容易
但在实际工程应用中，大多数系统的状态很难直接 测量得到以实现反馈控制
尽管可以采用状态观测器等技术来达到系统状态重 构的目的，但是总非尽如人意。 输出反馈控制虽然实现起来相对困难一些 但是大多数系统的输出可以直接测量得到，从而可 以方便地构成反馈控制系统。
上面的“事物”、“事物的某种性质”和“事物的某种形 式的扰动”是言及鲁捧性所必须的三个方面，缺一不可。
给定某种事物 W 及其所受的某种形式的扰动 D，如果事 物 W 的某种性质 P 在事物 W 受到扰动 D 后仍然完全保 持或在一定程度或范围内继续保持的话，则称事物W的性 质 P 对于扰动 D 具鲁棒性。 根据上述定义，我们于数值分析中接触过的许多问题，如 各种算法的数值稳定性分析问题、矩阵的各类扰动分析问 题，都可归结为某种意义下的鲁棒性问题。 从总体上说，鲁棒控制包含两大部分内容：控制系统的鲁 棒性分析和鲁棒控制系统设计。
但扰动范围未知的条件下，分析事物能够维持某种性 质所允许的这种形式的扰动范围的大小。
第二类鲁棒性分析问题，已知事物W及其性质P和事物
W的某种形式的扰动△W及其扰动范围，要给出事物W 受到扰动△W后是否仍具有性质P的确切结论。
鲁棒控制系统设计
鲁棒控制系统设计的任务可以较为笼统地概括为：给定一个受 到某种扰动的系统，求取系统的某种形式的控制律，使得 当扰动不存在时，在该控制律作用下的闭环系统具有某种希 望的性能或要求； 当扰动存在时，在该控制律作用下，闭环系统还仍能完全保 持或在一定程度上继续保持所希望的性能和要求。 在上述提法中，涉及到下述几方面因素： 作为研究对象的受控系统; 系统所受的扰动； 控制律形式； 闭环系统的希望性能或要求； “在一定程度上继续保持”系统性能