多点临界平衡的分析

多点临界平衡问题的分析【摘要】多点临界平衡问题是静摩擦力平衡问题中的难点，介绍分析这类问题的分析方法和解题流程。

【关键字】多点临界平衡 流程近几年的竞赛和名牌大学自主招生考试中涉及了不少静摩擦力的平衡问题，多点临界平衡问题是这类问题的难点。

实际物体间的接触点往往是多点粗糙接触，处于临界的平衡点有很大的不确定性，往往要分多种可能性进行讨论，涉及的力多、分布复杂、过程长、数学要求高、难度大。

这类问题更能考查学生复杂的抽象思维、建模、数学应用等综合能力，在竞赛、名牌大学自主招生试卷中频频出现，近年高考压轴题也常涉猎。

本文笔者试通过几道典型的例题，对这类问题的解法进行总结归类，提供一般的思维方法，以期达到抛砖引玉的效果。

多点临界平衡问题的解题过程分为两个阶段：第一阶段是一般物体的平衡问题，第二阶段是临界问题的分析与讨论。

下面用一个例题示范这一过程的流程。

例1 如图一所示，三个半径和质量均相同的圆柱体按图中的方式堆放在地面上，互相接触，已知圆柱体之间的摩擦系数为μ1，圆往体与地面之间的摩擦系数为μ2．试求使三个圆柱体达到平衡所需之μ1和μ2的下限值． 【解析】如图二所示，上圆柱体受力为：重力mg ，竖直向下；两个下圆柱体的支持力1N 和2N ，由于对称性，两支持力的大小相同，方向垂直切面；两个下圆柱体的摩擦力1f 和2f ，两者大小相同，方向沿切面指向斜上方.如图三所示，右下圆柱体爱力为：重力mg ；上圆柱体的压力1N 和摩擦力1f ；地面的支持力2N 和摩擦力2f ，各力的方向所图所示.平衡条件是上圆柱体与下圆柱体各自受到合力为零以及合力矩为零，再由111N f μ≤和222N f μ≤的要求，即可确定所需1μ和2μ的下限. 由上圆柱体所受合力的竖直分量为零，有0)30cos 30sin (211=-︒+︒mg N f .即mg N f =+113.①下圆柱体所受合务的竖直分量及水平分量均应为零，故有⎩⎨⎧=-︒-︒=-+︒+︒.030cos 30sin ,030sin 30cos 211211f f N N mg f N即 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=---=-+③②.0232,232211211f f N mg N N f下圆柱体所受合力矩为零，故有21f f =.④①、②、③、④四式联立，解出图一图三图二)32(2,23,22121+====mgf f mg N mg N .因222111,N f N f μμ≤≤,故要求.)32(31,321222111+=≥+=≥N f N f μμ 点评：本题解答过程的两个阶段明确，第一阶段在受力分析的基础上建立一般物体的平衡关系，确定弹力和对应静摩擦力的表达式。

求解时： (1)充分考虑题目的对称性等特点减少未知量。

(2)多体问题优选整体法建立等式这样可使等式求解得到简化，甚至直接就可求出结果。

第二阶段临界问题的讨论较简单，直接利用N f μ≤或Nf≥μ对各点临界情况进行求解即可得到1μ、2μ的下界。

但有些问题各临界点的关系比较复杂，讨论出现的各种可能情况较多，多个不等式组的求解要比一次方程组要难得多，往往有很大的困难。

下面就后一阶段的分析讨论介绍几种典型的方法，这也本文的重点。

一、独立分析法所谓独立分析法就是各接触点独立地应用静摩擦力N f μ≤或Nf≥μ的关系分别进行求解，结果取它们交集的解题方法。

例2 质量均匀分布的刚性杆AB 、CD 如图四放置，A 点与水平地面接触，与地面间的静摩擦系数为μA ，B 、D 两点与光滑竖直墙面接触，杆AB 和CD 接触处的静摩擦系数为μC ，两杆的质量均为m ，长度均为l 。

1、已知系统平衡时AB 杆与墙面夹角为θ，求CD 杆与墙面夹角α应该满足的条件（用α及已知量满足的方程式表示）。

2、若μA =1.00，μC =0.866，θ=60.0°。

求系统平衡时α的取值范围（用数值计算求出）。

【解析】1．建立如图五所示坐标系Oxy .两杆的受力情况如图：1f 为地面作用于杆AB 的摩擦力，1N 为地面对杆AB 的支持力， 2f 、2N 为杆AB 作用于杆CD 的摩擦力和支持力，3N 、4N分别为墙对杆AB 和CD 的作用力，mg 为重力. 取杆AB 和CD 构成的系统为研究对象，系统平 衡时, 由平衡条件有4310N N f +-= （1） 120N mg -= （2）对A 点的力矩图四图五()3411sin sin sin cos cos cos 022mgl mg l l N l N l l CF θθαθθα⎛⎫+---+-= ⎪⎝⎭即()3431sin sin cos cos cos 022mgl mgl N l N l l CF θαθθα---+-= （3） 式中CF 待求.F 是过C 的竖直线与过B 的水平线的交点，E 为BF 与CD 的交点．由几何关系有sin cot CF l αθ= （4） 取杆CD 为研究对象，由平衡条件有422cos sin 0N N f θθ+-= （5）22sin cos 0N f mg θθ+-= （6） 以及对C 点的力矩41cos sin 02N l mgl αα-= （7） 解以上各式可得41tan 2N mg α=（8） 331sin 1tan sin tan tan 22cos 2sin N mg αααθαθθ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭ （9）13tan sin 1tan sin 2cos 2sin f mg θαααθθ⎛⎫=-+⎪⎝⎭（10） 12N mg = （11）21sin tan cos 2N mg θαθ⎛⎫=-⎪⎝⎭ （12） 21c o s t a n s i n 2f mg θαθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（13） CD 杆平衡的必要条件为22c f N μ≤ （14）由（12）、（13）、（14）式得()2sin cos tan cos sin C C μθθαμθθ-≤+ （15）AB 杆平衡的必要条件为11A f N μ≤ (16)由（10）、（11）、（16）式得tan sin 2sin 43tan sin cos A αααμθθθ-≤- （17）因此，使系统平衡，α应满足的条件为（15）式和（17）式．2．将题给的数据代入（15）式可得arctan 0.38521.1α︒≤= (18) 将题给的数据代入（17）式，经数值计算可得19.5α≥︒ (19)因此，α的取值范围为19.521.1α≤≤ (20)点评：本题第一阶段用平衡关系建立等式及求解尽管解答过程较长、等式多、数学要求高，但思路明确。

第二阶段独立地对B 、C 两点进行讨论分别得出α的上、下限，最终确定了α的取值范围。

二、图象法有些问题讨论求交集，由于区域分布复杂，难以求解，用图象却能形象地将它们标出来。

借助图象巧妙求解，确定临界值的分析方法就是图象法。

例3 如图六所示，一块长4R 的板沿中线折成直角，放置在水平固定的半径为R 的圆柱上，圆柱体和板之间的静摩擦系数至少需要多大，才能使板不滑离圆柱。

【解析】如图所示为板的受力图（图七），由力平衡及关于折角处力矩平衡有⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=,,,2122112R N R N m gR N F N F m g 可得,21mg F F =+而122F N F μμ=≤,μμμμ-≤+=≤1),(1111mgF mg F N F .在2F 方向所设方向时，1<μ，在12F F -坐标表述上面三个关系如图八所示，同时满足以下关系的为斜线部分所示：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=≤<-≤,,,1211221m g F F F N F m g m g F μμμμ其中12F F μ=斜率最小时即静摩擦因数最小，有.12,21,1)11(2-==----=μμμμμμμμm gm g若2F 方向与所设方向相反时，有图六图七⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-≤-≤≤,,,121121mg F F F F mg F mg μμμ 这时15.0≤<μ. 点评：应用物理图象，确定区间，求临界值，使复杂的不等式关系求交集一目子然，是一种很简便的好方法。

对于复杂的图象可先做一些恒等变换，使图象更加简洁，再求解降低解题的难度。

三、假设法有些问题各接触点的联系紧密，不能独立讨论，需求解不等式组来解决（一般不等式组要比等式组求解难得多），对这类复杂问题可通过分别假设某一点达到临界建立一个N f μ=的等式来降低解题的数学难度。

例4如图九所示，物体A 、B 及滚C 的质量均为m ．滚C 由固定在一起的两个同心圆盘组成径分别为2r 和r ．各接触面处静摩擦因数均为μ，问：维持系统平衡时，μ的最小值为多少？【解析】对轮C 有：.2B B C f mg f T mg N -=-+=对B 物有：.mg f N B +=地对轮C 以O 为轴有：.22r mg r T r f r f C B ⋅=⋅=⋅+⋅即 .2/mg f f C B =+ 即.2/mg f B <故.地N N C >而对整体有C f f =地，这表明B 和地面之间先于轮C 和地面之间达到最大静摩擦力.若B 和地面之间先达到最大静摩擦力、而B 与轮C 之间未达到最大静摩擦力，则.)(C B f mg f N f =+==μμ地地而，2/mg f f C B =+ 故 .123,1221mg f mg f C B ）（）（μμμμ+=+-=对轮C 与物B 接触处，满足,321μμμ-=≥C B B B f f N f 即 .01232≤-+μμ 得 31≥μ图九若B 和地面之间未达到最大静摩擦力，而B 与轮C 之间已达到最大静摩擦力，则)2/(B C B B f mg f N f -===μμμ.得.121,12mg f mg f C B ）（）（μμμ+=+=对物B 与地面之间，满足,321μμ+=+=≥mg f f N f B C 地地 易得31≥μ.两种假设求得的μ值范围相同，所以满足题意时：31≥μ 点评：本题通过计算因为N D ＞N E 可确定E 点在D 点后到达临界，这两点只要讨论E 点行了。

但B 、D 不能确定哪点先到达临界，且独立求解确定区间较复杂。

故分别假设B 或E 先达到临界，建立等式，尽管表达式的个数多了，但数学难度大大地降低了，对解题速度、结果的准确性很有益处。

总之，多点临界平衡问题尽管有时相当复杂，但解题规律和流程是一样，希望通过本文介绍的方法能有助于对这一难点问题的分析，达到解决这类问题有所突破的效果。