D1-5极限运算法则
高等数学1-5极限的运算法则
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求极限举例
例例11 求 lim (2x1) x1
解 lim (2x1) lim 2x lim 12 lim x12111
x1
x1
x1
x1
•讨论
若 P(x) a0xn a1xn1 an1x an
则 lim P(x)? x x0
•提示
lim
x x0
P(x)
P(x0
)
例例22
求 lim
x2
x2
x3 1 5x 3
解
6
lim
x 2
x3 1
lim (x3 1)
x2
x2 5x3 lim (x2 5x3)
23 1 22 103
7 3
x2
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例例33
求 lim
4
根据无穷大与无穷小的关系得
lim
x1
2x3 x2 5x4
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•讨论
有理函数的极限 lim P(x) ? xx0 Q(x)
•提示
当 Q(x0 ) 0 时
lim P(x) P(x0) xx0 Q(x) Q(x0)
当 Q(x0 ) 0 且 P(x0 ) 0 时
lim P(x) xx0 Q(x)
当Q(x0)P(x0)0时 约去分子分母的公因式(xx0)
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高1-5极限运算法则及部分类型题求极限方法
第一章 9
x cos x 例6 求 lim . 4 x → ∞ ( 2 x + 3)
x 解 当x → ∞时 , 为无穷小 , 4 ( 2 x + 3)
t→0
1 = 2 2 1+ t +1
1
第一章
14
3
例9
求 lim
x −3 a x−a
x→a 3
.
0 ( 型) 0
有理化法
( 3 x − 3 a ) 3 ( x − a )2 解 原式 = lim x →a x−a
= lim ( x − a )( x + ax + a 2 ) 3 ( x − a )2
3 3 2 3 3 3 x →a
( x − a )( x + ax + a 2 )
2 3 3 2
3
3
= lim
( x − a)
2 3 2
x→a 3
x + 3 ax + a
第一章
=
0 3 a
3 2
= 0．
15
1、极限的四则运算法则及其推论; 2、极限求法; •多项式与分式函数(分母不为0)代入法;
0 •消去零因子法(因式分解,有理化,变量替换); ( 型 ) 0 ∞ •同除最高次法; ( ∞ 型 )( x → ∞ )
x → x0
令 u = ϕ ( x) a = lim ϕ ( x )
x → x0
D1-5极限运算法则
其中
设
无穷小
有界
由极限与无穷小关系定理 , 得
因此 为无穷小,
定理6 . 若
则有
提示: 因为数列是一种特殊的函数 ,
故此定理 可由
定理3 , 4 ,
例3. 设有分式函数
其中
都是
多项式 ,
试证:
证:
说明: 若
不能直接用商的运算法则 .
则有
证:
当
时, 有
当
时, 有
对上述
取
则当
时
故
①
因此①式成立.
定理7. 设
且 x 满足
时,
又
则有
说明: 若定理中
则类似可得
例7. 求
解: 令
, 仿照例4
∴ 原式 =
( 见P34 例5 )
例4
例8 . 求
解: 方法 1
则
令
∴ 原式
方法 2
内容小结
1. 极限运算法则
(1) 无穷小运算法则
(2) 极限四则运算法则
(3) 复合函数极限运算法则
注意使用条件
2. 求函数极限的方法
(1) 分式函数极限求法
时, 用代入法
( 要求分母不为 0 )
时, 对
型 , 约去公因子
时 , 分子分母同除最高次幂
“ 抓大头”
(2) 复合函数极限求法
设中间变量
Th1
Th2
Th3
Th4
Th5
Th7
思考及练习
1.
例如，
( P57 题 4 (2) )
解答见课件第二节 例5
类似可证: 有限个无穷小之和仍为无穷小 .
定理2 . 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 .
极限的运算法则 ppt课件
又 li(m 4x 1 )30, x 1
limx22x3 0 0. x1 4x1 3
由无穷小与无穷大的关系,得
lx i1m x24x2 x13.
例3 求lx i1m x2x22x13. 解 x1时,分子 ,分母的极限. 都 ( 0 是 型 )零
0
先约去不为因 零x子 的 1后无 再穷 求 .小 极
在某个过程中，若 f (x)有极限，g(x) 无极限，那么f(x)g(x)是否有极限？为
什么？
思考题解答
没有极限．
假设 f(x)g(x)有极限， f(x)有极限，
由极限运算法则可知：
g ( x ) f ( x ) g ( x ) f ( x ) 必有极限，
与已知矛盾，故假设错误．
一、填空题:
x 2
x 2 x 2
2 232530,
lx im 2x2x33x15lilxmi(m2xx233lxxim 215)
23 1 3
7 3
.
x2
小结: 1 . 设 f ( x ) a 0 x n a 1 x n 1 a n , 则有
x l x 0 i f ( x m ) a 0 ( x l x 0 i x ) n m a 1 ( x l x 0 i x ) n m 1 a n a 0 x 0 n a 1 x 0 n 1 a n f(x0).
又 0 ,B 0 ,0, 当 0xx 0 时 ,
B ,
B B B 1 B 1 B
2
22
B(B)1B2, 2
故1 B(B)
B22
,
有界，
(3)成立 .
推论1 如l果 im f(x)存,在 而 c为常 ,则数 lim c(fx [)]clim f(x).
(完整版)极限四则运算.doc
§1.5极限的运算法则极限定义为我们提供了一种求极限的方法 , 但这种方法使用起来很不方便 , 并且在大多数情形下也是不可行的 . 这一节我们将给出极限的若干运算法则 , 应用这些法则将帮助我们比较方便的进行有关极限的证明和计算.一无穷小的运算定理设 , , 是 x x0 时的无穷小，即 lim ( x) 0, lim ( x) 0, lim ( x) 0, 下面x x0 x x0 x x0来叙述有关无穷小的运算定理。
定理 1 1 ）有限个无穷小的和也是无穷小；2）有界函数与无穷小的乘积是无穷小。
推论： 1）常数与无穷小的乘积是无穷小；2）有限个无穷小的乘积也是无穷小。
二极限的四则运算法则利用极限与无穷小的关系及无穷小的运算性质，下面叙述极限的极限的四则运算法则。
定理 2 如果 lim f x A ， lim g x B 则 f ( x) g(x), f ( x) g(x), f ( x)B 0 ，x x0 x x0 g( x) 的极限都存在，且（ 1）lim f x g x lim f x lim g x A B;x x0 x x0 x x0（ 2）lim f x g x lim f x lim g x AB;x x0 x x0 x x0f x lim f xA（ 3）lim x x0 ( B 0).g x lim g x Bx x0x x0证 1 因为 lim f x A， lim g x B ，所以，当 x x0时，0, 1 0 ，x x0 x x0当 0 x x0 1 时，有 f (x) A ，对此， 2 0 ，当0 x x0 2 时，2有 g (x) B2，取min{ 1 , 2 } ，当0 x x0 时，有( f (x) g( x)) ( A B) ( f ( x) A) ( g( x) B) f ( x) A g( x) B2 2所以 lim ( f (x) g( x)) A B 。
1-5极限运算法则
∴ ( 2)成立.
f ( x ) A A + α A Bα − Aβ − = ∵ B α − A β → 0. − = g ( x ) B B + β B B( B + β )
又 ∵ β → 0, B ≠ 0, ∃ δ > 0, 当0 < x − x 0 < δ时,
1 1 B β < , ∴ B+β ≥ B − β > B − B = B 2 2 2
无穷小分出法: 无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分 分母,以分出无穷小 然后再求极限. 子,分母 以分出无穷小 然后再求极限 分母 以分出无穷小,然后再求极限
例5 解
1 2 n 求 lim ( 2 + 2 + ⋯ + 2 ). n→ ∞ n n n
n → ∞时, 是无限多个无穷小之和 ．
先变形再求极限. 先变形再求极限
, , 如果lim f ( x)存在 而n是正整数 则 lim[ f ( x)] = [lim f ( x)] .
n n
二、求极限方法举例
x3 − 1 例1 求 lim 2 . x→2 x − 3 x + 5
= lim x 2 − lim 3 x + lim 5 解 ∵ lim( x − 3 x + 5) x → 2 x→2 x→2
x → x0 u →u 0
ο
则当0 <| x − x0 |< δ时, | g ( x) − u0 |< η及 | g ( x) − u0 |≠ 0同时成立.
例8
x−3 a . 求 lim 3 x→a x−a
3
解
( 3 x − 3 a )3 ( x − a )2 原式 = lim x →a x−a ( x − a )2 = lim 3 2 3 x →a x + ax + 3 a 2
极限的性质与四则运算法则
。
0
2lim( x212x)2 。
x 3x2 1
计
3lim ( x x x x)。
算
x
极 限
4xl im 2(x12x3128)。
5limarctan1 。
x0Biblioteka x思考题若 li(m a xx2x 1 b )0， a 、 求 b。 x
常数因子可以提到极限记号外面.
推论2 如l果 im fi(x)存,而 在 ai为常 (i1 数 ,2,,n)则 ,
lim a1f1 [(x)a2f2(x)anfn(x)] lim a1f1(x)lim a2f2(x)lim anfn(x)
推论3 如果 limfi(x)存在 (i1,2,,n),则 l i mf1[(x)f2(x) fn(x)]
0
lx i m b am nxxm n a bm n 1 1xxn m 11 a b00
a b
n m
nm nm nm
消极大公因子法对分子、分母含指数形式也适用。
例 求 极l限 im (2)n 3n 。计算过程 n(2)n1 3n1
注 求 分 式 极 限 ，楚一是 0定 还看 是 。 清 0
4、有理化法 若分子或分母有根号(特别是有根号相减)时，可将之
有理化。
例 求 极l限 im 5 4x。计算过程 x1 13 x
练习 求 li极 ( x m a ) x ( b ) 限 ( x a ) x ( b ) 。 x
二、四则运算法则 根据极限的定义, 只能验证某个常数 A是否为某个函数
ƒ(x)的极限, 而不能求出函数ƒ(x)的极限. 为了解决极限的计 算问题, 下面介绍极限的运算法则; 并利用这些法则和一些 已知结果来求函数极限。
高等数学1-5极限运算法则(包含几种技巧)
M
从而，当 x x0 时, f ( x ) 为无穷小.
定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.
1 1 2 例如，当 x 0 时，x sin x , x arctan x 都是无穷小.
推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘 积是无穷小. 推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小. 无限个无穷小的乘积？
f (u) A f [ ( x )] A 成立. lim f [ ( x )] A
x x0
例9.
x3 . 求 lim 2 x3 x 9
x3 解: 令 u ( x ) 2 x 9 1 1 lim ( x ) lim x3 x 3 x3 6
无穷小
(2)
f ( x )· ( x ) ( A )·B ) g ( ( AB) ( B A ) 无穷小
(3)
f ( x) A A A g( x) B B B
g( x ) 的保号性
局部有界性， 无穷小
B A B A B( B ) Bg ( x )
无穷小因子分出法 ( 适用于 型 )
分子分母同除以最高次幂，分出无穷小，然后再求 极限。
例8
2x3 3x2 5 求 lim 3 x 7 x 4 x 2 1 3x2 5 求 lim 3 x 7 x 4 x 2 1 2x3 3x2 5 求 lim x 4x2 1
2 . 7
0.
例8*
例8**
.
一般有如下结果：
lim
x
a0 x m n
a0 , b0
( a0 b0 0, m , n 为非负常数 )
1-5极限的运算法则
o
1
x
小结
1.极限的四则运算法则及其推论;
2.求极限的多种方法：
(1) 多项式与分式函数代入法求极 限 ; 消去零因子法求极限; (2) (3) 无穷小因子分出法求极限; (4) 利用无穷小运算性质求极限; (5) 利用左右极限求分段函数极限.
思考题
若 f ( x ) 有极限，g ( x ) 无极限， 在某个过程中，
lim Pn ( x ) Pn ( x ) x x0 lim R( x ) lim x x0 x x0 P ( x ) lim Pm ( x ) m x x0 Pn ( x0 ) R( x0 ). Pm ( x0 ) 若Pm ( x0 ) 0, 则商的法则不能应用.
2 3 n 1 例 求 lim n2 n2 n2 . n n 2
解： 当 n 时, 是无穷多个无穷小之和．
先变形再求极限.
2 n 1 2 n 1 lim 2 2 2 lim 2 n n n n n n 1 n( n 1) 1 1 1 2 lim lim 1 . 2 n n 2 n n 2
0 0
二、求极限方法举例
例
x3 1 求 lim 2 . x2 x 3 x 5
2 x2
2 lim x 3 x lim 5 解: lim( x 3 x 5) x 2 lim x2 x2
(lim x )2 3lim x lim 5
x2 x2 x2
由无穷小与无穷大的关系,得
4x 1 lim 2 . x 1 x 2 x 3
例
x 1 求 lim 2 . x 1 x 2 x 3
D1.5 极限运算法则
例11 求极限 lim n 2 .
n 2n 3 1
解： lim n
n 2 lim 2n 3 1 n
1 2 n
1.
2
3 n
1 n2
2
高等数学
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例12 已知
求 a 的值.
解： 因为
根据已知条件，lim x2 x a 极限存在，所以只能 x2 x 2
§1.5 极限运算法则
一、极限的四则运算法则
第一章
二、复合函数的极限运算法则
山东交通学院高等数学教研室
一、 极限的四则运算法则
定理 1.5.1 若 lim f (x) A, lim g(x) B , 则
若B≠0 , 则
(证明略.)
注: (1)(2)可以推广到有限个函数的情形.
推论 1.5.1 lim[C f (x)] C lim f (x) ( C 为常数 )
推论 1.5.2 lim[ f (x)]n [ lim f (x) ]n ( n 为正整数 )
高等数学
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例1 求 lim axn.
解:
lim
x x0
axxnx0
a
lim
xx0
xn
a
lim
x x0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x
n
a x0n.
有理整函数
∴ 设n次多项式
x bn xn bn1xn1
当
a0
b0
当
当
高等数学
为非负常数 )
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例10
D1_4无穷小无穷大D1_5极限运算法则
高等数学（上）
Pn ( x) a0 x n a1 x n 1 ... an 1 x an是一个无穷大量. 且当 Pn ( x)有意义时， Pn ( x)也是一个无穷大量.
m m
如 : x ,3 x 2 2 x 1是无穷大量. x , 3 x 2 x 1也是无穷大量.
高等数学（上）
22/36
第五节 极限运算法则
一、极限的四则运算法则
二、复合函数的极限运算法则
三、极限的计算方法
高等数学（上）
23/36
定理1 设某一变化过程中,变量u, v分别以A, B为极限, 即lim u A,lim v B, 则在同一变换过程中,有
(1) lim(u v) lim u lim v A B;
高等数学（上）
9/36
4.局部保号性
若 lim f ( x) A, 且A 0(或A 0), 则 0, 使得当
x x0
0 | x x0 | 时, 有f ( x) 0(或f ( x) 0).
推论 若 lim f ( x) A, 且在x0的某空心邻域内f ( x) 0
当
时为无穷小;
时为无穷小.
说明 (1)除0以外任何很小的常数都不是无穷小. (2)变量是否为无穷小与变化过程有关.
高等数学（上）
14/36
x x0
lim f ( x) A f ( x) A ( x), 其中(x)为
定理1 (无穷小与函数极限的关系) (以x x0为例)
x
则称常数
lim f ( x) A
( X 定义)
高等数学（上）
4/36
几何解释
1.5极限运算法则
第五节 极限运算法则本节讨论极限的求法，主要介绍极限的四则运算法则和复合函数极限的运算法则，利用这些法则，可以求某些函数的极限．在下面的讨论中，记号“lim ”表示定理对0x x →及x →∞都是成立的． 定理1 有限个无穷小的和也是无穷小．定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小． 推论1 常数与无穷小的乘积是无穷小． 推论2有限个无穷小的乘积是无穷小．定理3 如果lim (),lim ()f x A g x B ==，那么lim[()()]f x g x ±存在，且lim[()()]lim ()lim ()f x g x f x g x A B ±=±=±． （1－５）证 因lim (),lim ()f x A g x B ==，由1.4定理1 有(),()f x A g x B αβ=+=+，其中,αβ为无穷小．于是()()()()()()f x g x A B A B αβαβ±=+±+=±+±由定理1知αβ±为无穷小，再由定理３知lim[()()]lim ()lim ()f x g x A B f x g x ±=±=±定理７可推广到有限个函数的情形．例如，如果lim (),lim (),lim ()f x g x h x 都存在，则有lim[()()()]lim ()lim ()lim ()f x g x h x f x g x h x +-=+-．如果lim (),lim ()f x A g x B ==，那么lim[()()]f x g x ⋅存在，且lim[()()]lim ()lim ()f x g x f x g x A B ⋅=⋅=⋅．（1－6）推论1 如果lim ()f x 存在，C 为常数，则lim ()lim ()Cf x C f x =． 推论2 如果lim ()f x 存在，n 为正整数，则lim[()][lim ()]n n f x f x =． 定理4 如果lim (),lim ()f x A g x B ==，且0B ≠，则()lim()f xg x 存在，且 ()lim ()lim()lim ()f x f x Ag x g x B==．（1－7） 以上定理和推论对于数列也是成立的．定理5 如果()()x x ϕφ≥，而lim (),lim ()x x ϕφ都存在，那么lim ()lim ()x x ϕφ≥． 例1 求1lim(21)x x →-．解 1111lim(21)lim2lim12lim 12111x x x x x x x →→→→-=-=-=⨯-=．事实上，设多项式101()n n n P x a x a x a -=+++ ，则110100100lim ()lim[]()n n n n n n x x x x P x a x a x a a x a x a P x --→→=+++=+++=例2 求3221lim 53x x x x →--+．解 因222lim(53)210330x x x →-+=-+=-≠所以 33322222lim(1)1217lim 3353lim(53)x x x x x x x x x →→→---===---+-+． 如果()()()P x F x Q x =，其中(),()P x Q x 都是多项式，如果0()0Q x ≠，则 000000lim ()()()lim ()lim ()lim ()()x x x x x x x x P x P x P x F x Q x Q x Q x →→→→===． 但必须注意，如果0()0Q x =，则关于商的运算法则不能应用，需要特别考虑．例3 求2416lim 4x x x →--．解 当4x →时，分子分母的极限都是零，所以不能运尖用商的运算法则．但4x →时，4,40x x ≠-≠，所以24416lim lim(4)84x x x x x →→-=+=-．例4 求2121lim 21x x x x →+-+．解 因为21lim(21)0x x x →-+=，不能商的运算法则．但2121lim021x x x x →-+=+， 故由定理4得2121lim 21x x x x →+=∞-+．例5 求3232342lim 753x x x x x →∞+++-．解 32324233423lim lim5377537x x x x x x x x x x→∞→∞++++==+-+-． 例6 求23321lim 252x x x x x →∞+--+．解 223323321321lim lim 02522x x x x x xx x x x x→∞→∞+-+-==-++-． 例7 求32252lim 321x x x x x →∞-++-．解 因为23321lim 0252x x x x x →∞+-=-+，所以32252lim 321x x x x x →∞-+=∞+-． 更一般地，当000,0a b ≠≠，m 和n 为非负整数时，有101101,,lim 0,,,n n n m m x m a n m b a x a x a n m b x b x b n m--→∞⎧=⎪⎪+++⎪=>⎨+++⎪∞<⎪⎪⎩当当当 例8 求sin limx xx→∞．解 当x →∞时，分子分母的极限都不存在，不能应用商的运算法则．但sin 1sin x x x x =⋅，而1x 是x →∞时的无穷小，sin x 是有界函数，所以根据定理6，有sin lim0x xx →∞=．前面已经看到，对于有理函数()f x （有理整函数或有理分式函数），只要()f x 在点0x 处有定义，那么0x x →时()f x 的极限必定存在且等于()f x 在点0x 的函数值．一般地，如果函数具有上述性质，即00lim ()()x x f x f x →=，就称函数()f x 在点0x 连续．因此有理函数在其定义域内的每一点处都是连续的．我们指出：一切基本初等函数在其定义域内的每一点处都是连续的．因此，如果()f x 为基本初等函数，其定义域为D ，而0x D ∈，则有0lim ()()x x f x f x →=．例如，()f x 是基本初等函数，它在点3x =处有定义，所以x →=．下面介绍一个半球复合函数求极限的定理．定理6 设函数()u g x =当0x x →时的极限存在且等于0u ，即00l i m ()x x gx u →=，而函数()y f u =在点0u u =连续，那么复合函数[()]y f g x =当0x x →时的极限存在．且lim [()]()x x f g x f u A →==．（1－8）证明从略．因为0lim ()x x x a ϕ→=，所以公式（1－8）又可写成0lim [()][lim ()]x x x x f x f x ϕϕ→→=例9 求sin 0lim x x e →．解 0limsin sin 00lim 1x xx x e e e →→===．例10求lim x →+∞．解111lim limlim2x x x →+∞-===． 作业 P45 1、（1）（3）（5）（7）（9）（11）（13），2，3 小结与思考：本节讨论了极限的求法，主要介绍极限的四则运算法则和复合函数极限的运算法则，利用这些法则，可以求某些函数的极限．1. 求sin 0lim x x e →．解 0limsin sin 00lim 1x xx x e e e →→===．2.求lim x →+∞．解111lim limlim2x x x →+∞-===。
D1.5 极限运算法则
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1 分子分母同乘以 2 , 则 x
例8 一般地,
x
由例7
lim
a0 x m a1 x m 1 am
b0 x b1 x
n n 1
bn
为非负整数 )
P32
高等数学
n 1 2 练习 lim 2 2 L 2 n n n n 1 2 L n lim n n2 n( n 1) 1 lim . 2 n 2n 2
( x 3)( x +1 2) lim x3 x 3
lim( x 1 2) 4
x3
(a b)(a b) a 2 b2
练习: P34 1 (11)
高等数学
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0 0
( 3 x 1 x )( 3 x 1 x ) 解: 原式 lim 2 x1 ( x 1) ( 3 x 1 x ) 2(1 x) lim 2 x1 ( x 1)( 3 x 1 x ) 2 lim x1 ( x 1)( 3 x 1 x )
n n n
(2) lim xn yn A B n
xn A (3) 当 yn 0 且 B 0时, lim n y n B
xn , lim yn 都存在 注: 定理成立的条件 : lim n n
定理1.5.2 如果 f ( x) g ( x), 且 lim f ( x) A , lim g ( x) B,
2 2 4 2( 2 2)
高等数学
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例6 求 解：
1-5极限运算法则07903
由定理1可知 也是无穷小,再利用极限与无穷小
的关系定理 , 知定理结论成立 .
2020年1月20日星期一
蚌埠学院 高等数学
5
推论:若 lim f (x) A, lim g(x) B, 且 f (x) g(x), 则 A B . ( P45 定理 5 )
2020年1月20日星期一
蚌埠学院 高等数学
4
二、 极限的四则运算法则
定理 3.若 lim f (x) A, lim g(x) B ,则有
证:因 lim f (x) A, lim g(x) B , 则有
f (x) A , g(x) B (其中 , 为无穷小) 于是 f (x) g(x) (A ) (B )
∴ 原式 lim(u 1) 2
u 1
方法 2
lim (x 1)( x 1) lim( x 1)
x1 x 1
x1
2
2020年1月20日星期一
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19
另例（1） lim x
x x x
lim 6
x
(
x
2
3
x
3
)
(
x
4
2
1)
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2
定理２ 有界函数与无穷小量的积仍是无穷小。
设g(x)在某定义域内有界， lim f ( x)存在，
则lim f ( x)g( x) 0.
证明：g(x)有界，故存在M >０，使 f ( x) M
当
0, lim x x0
0 x x0
f ( x) 0 对于
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例2
求
lim
x1
x
2
4x 1 2x
3
.
解 lim( x 2 2x 3) 0, 商的法则不能用 x1
又lim(4x 1) 3 0, x1
lim x2 2x 3 0 0.
x1 4x 1
3
由无穷小与无穷大的关系,得
4x 1
lim
x1
x2
2x
3
.
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an
f ( x0 ).
2. 设
f (x)
P( Q(
x x
) )
,
且Q(
x0
)
0,
则有
lim P( x)
lim f ( x) x x0
x x0
lim Q( x)
x x0
P(x0 ) Q( x0 )
f ( x0 ).
若Q( x0 ) 0, 则商的法则不能应用.
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极限运算法则
lim( x 2 3x 5)
23 1 3
7. 3
x2
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极限运算法则
小结: 1. 设 f ( x) a0 x n a1 x n1 an ,则有
lim
x x0
f
(
x)
a0
(
lim
x x0
x)n
a1
(
lim
x x0
x)n1
an
a0 x0n
a1
x n1 0
极限运算法则
定理3: 若lim f (x) A, lim g(x) B, 且 f (x) g(x), 则 A B . ( P45 定理 5 )
提示: 令 (x) f (x) g(x)
利用保号性定理证明 .
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极限运算法则
二、求极限方法举例
例1
求
lim
x2
x2
lim ( x)
x x0
a，
但在点
x0
的某去心邻域内 ( x)
a，又
lim
ua
f
(u)
A，
则复合函数 f [ ( x)]当 x x0 时的极限也存在，且
极限运算法则
例3
求
lim
x 1
x2
x2 1母的极限都是零. ( 0 型 ) 0
先约去不为零的无穷小因子x 1后再求极限.
x2 1
( x 1)( x 1)
lim
x1
x2
2x
3
lim
x1
(x
3)( x
1)
lim x 1 1 . x1 x 3 2
(消去零因子法)
证 lim f ( x) A, lim g( x) B. f ( x) A , g( x) B . 其中 0, 0. 由无穷小运算法则,得
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极限运算法则
[ f ( x) g( x)] ( A B) 0. (1)成立.
[ f ( x) g( x)] ( A B) ( A )(B ) AB
x3 1 3x
5
.
解 lim( x 2 3x 5) lim x 2 lim 3x lim 5
x2
x2
x2
x2
(lim x)2 3 lim x lim 5
x2
x2
x2
22 3 2 5 3 0,
lim x2
x3 1 x2 3x 5
lim x 3 lim 1
x2
x2
极限运算法则
例6 求 lim sin x . x x
解 当x 时, 1 为无穷小,
x
而sin x是有界函数.
lim sin x 0. x x
y sin x x
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极限运算法则
定理（复合函数的极限运算法则）设函数u ( x)
当
x
x0
时的极限存在且等于a，即
极限运算法则
第一章
第五节 极限运算法则
一 、无穷小运算法则 二、 极限的四则运算法则 三、 复合函数的极限运算法则
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极限运算法则
一、极限运算法则
定理1. 设 lim f ( x) A, lim g( x) B,则 (1) lim[ f ( x) g( x)] A B; (2) lim[ f ( x) g( x)] A B; (3) lim f ( x) A , 其中B 0. g(x) B
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极限运算法则
例5
求
1
lim(
n
n
2
2 n2
n n2
).
解 n 时,是无限多个无穷小之和．
先变形再求极限.
1
lim(
n
n
2
2 n2
n n2
)
lim 1
n
2
n2
n
1 n(n 1)
lim 2
n
n2
1 lim (1 n 2
1) n
1. 2
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2. 7
(无穷小因子分出法)
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极限运算法则
小结:当a0 0,b0 0, m和n为非负整数时有
lim
x
a0 xm b0 x n
a1 b1
x m1 x n1
am bn
0ab,00当,当n n
m m,
,
,当n m,
无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分 子,分母,以分出无穷小,然后再求极限.
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极限运算法则
定理2
.
若 lim
n
xn
A,
lim
n
yn
B
,
则有
(1)
lim (
n
xn
yn
)
AB
(2)
lim
n
xn
yn
AB
(3)
当yn
0且B
0时,
lim
n
xn yn
A B
提示: 因为数列是一种特殊的函数 , 故此定理 可由
定理3 , 4 , 5 直接得出结论 .
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B(B ) 1 B2 , 故 2
1 B(B
)
2 B2
,
有界，
(3)成立.
推论1 如果lim f ( x)存在,而c为常数,则 lim[cf ( x)] c lim f ( x).
常数因子可以提到极限记号外面.
推论2 如果lim f ( x)存在,而n是正整数,则 lim[ f ( x)]n [lim f ( x)]n .
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极限运算法则
例4
求
lim
x
2x3 7x3
3x2 4x2
5 1
.
解 x 时, 分子,分母的极限都是无穷大.( 型 )
先用x 3去除分子分母 , 分出无穷小, 再求极限.
lim
x
2x3 7x3
3x2 4x2
5 1
lim
x
2 7
3
x 4
x
5 x3 1 x3
( A B) 0.
(2)成立.
f ( x) A A A B A B A 0. g( x) B B B B(B )
又 0, B 0, 0, 当0 x x0 时,
B , B B B 1 B 1 B
2
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极限运算法则