高一数学推理与证明PPT优秀课件
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高中数学第一章推理与证明本章整合课件选修
专题
(zhuān
tí)二
专题
(zhuān
tí)三
专题四
由所给出的两点 P(4,5),Qn(xn,f(xn)),可知直线 PQn 的斜率一定存
在.
故直线 PQn 的方程为 y-5=
令 y=0,可得-5=
4 +3
,
+2
4 +3
xn+1= .
+2
( )-5
(
-4
2 -2 -8
·(x-4),
-4
-5
即
= − 4,
+ 2
所以 x=
故
− 4),
12/9/2021
第十六页，共二十九页。
综合应用
专题
(zhuānt
í)一
专题
(zhuān
tí)二
专题
(zhuān
tí)三
专题四
下面用数学归纳法证明 2≤xn<3.
(1)当 n=1 时,x1=2,满足 2≤x1<3.
(2)假设 n=k(k≥1,k∈N+)时,2≤xk<3 成立,
是等差数列.
(2)Tn =(-12 + 22 )+(- 23 + 24 )+…+(- 22-1 +
(2 +2 )
2
2)=2d(a2 +a4 +…+a2n )=2d· 2
=2d2 n(n+1).
1
1 n
1
1 1
1
1
所以 ∑
1
=1 T k
=
2
∑
2d k=1 (+1)
高中数学 推理与证明课件
面面积，那么你类比得到的
结论是
S12
S
2 2
S
2 3
S
2 4
.
如何证明
变式训练2： 在△ABC中，若∠C=90°，AC=b,BC=a， 则△ABC的外接圆的半径 r a2 b2 ，
2
把上面的结论推广到空间，写出相类似的结论。
变式训练3：
在三角形中有下列性质：
(1) 三角形的两边之和大于第三边；
注：演绎推理中，只要前提和推理形式是正确的，结论 必然是正确的。
例3:有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,
则平行于平面内所有直线；已知直线l∥平面 ，
直线a 平面, 则直线l / /直线a ,的结论显然是错
误的，这是因为
A.大前提错误 √
C.推理形式错误
B.小前提错误 D.非以上错误
变式训练4：
(2) 三角形的中位线等于第三边的一半；
(3) 三角形的面积为S 1 (a b c)r,r为三角形内切圆半径 2
请类比出四面体的有关性质？
在三角形中有下列性质：
(1) 三角形的两边之和大于第三边；
(2) 三角形的中位线等于第三边的一半；
(3) 三角形的面积为
,r为三角形内
切圆半径
请类比出四面体的有关性质？
2 变式训练1： tan 5 • tan10 tan 5 • tan 75 tan10 • tan 75 1
tan10 • tan 20 tan10 • tan 60 tan 20 • tan 60 1
tan15 • tan 35 tan15 • tan 40 tan 35 • tan 40 1 由以上两式可以推出什么结论，并证明
例2. 在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的 一个角，那么截下的一个直角三角形，
人教版高中数学课件-推理与证明
数学 选修2-2
第二章 推理与证明
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
2 ． 在 古 希 臘 ， 畢 達 哥 拉 斯 學 派 把 1,3,6,10,15,21,28,36, 45,55，…這些數叫做三角形數，這是因為這些數目的點可以排 成正三角形(如圖所示)，則三角形數的一般運算式f(n)＝( )
[思路點撥]
数学 选修2-2
第二章 推理与证明
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数学 选修2-2
第二章 推理与证明
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歸納推理的步驟 在數列中，常用歸納推理猜測通項公式或前n項和公式， 歸納推理具有由特殊到一般，由具體到抽象的認知功能，歸納 推理的一般步驟： (1)通過觀察個別情況發現某些相同性質． (2)從已知的相同性質中推出一個明確表達的一般性命題 (猜想)．
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[提示3] 魯班類比草葉的邊緣發明了鋸，平面中的圓與空 間中的球有類似的特徵．
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第二章 推理与证明
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歸納推理
定義
特徵
由某類事物的_部__分__對__象__具有某些特徵， 歸納推理是由
推出該類事物的__全__部__對__象__都具有這些 _部__分__到__整__體___、
[提示2] 是．所有的爬行動物都是用肺呼吸的．
数学 选修2-2
第二章 推理与证明
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[問題3] 觀察下圖由平面內的圓，我們聯想到空間裏的 球，讓它們來類比．你能找到它們有哪些類似的特徵？
高中数学 第一章 推理与证明 1.1.2 类比推理课件
练习1：正三角形(zhènɡ sān jiǎo xínɡ)内任意一点到三 边距离之和是一个定值。
正四面体内任意(rènyì)一点到四个面的距离之和 是一个定值。
第十八页，共二十五页。
类比推理(lèi bǐ tuī lǐ)的特点： 1.由特殊(tèshū)到特殊(tèshū)的推理； 2.以旧的知识(zhī shi)为基础,推测新的结果，
问：这样猜想出的结论是否一定正确？
第九页，共二十五页。
例2：若数列an(n N )是等差数列，则数列
bn
a1
a2
a3 n
an ,(nN)也是等差数列。
类比上述性质，相应的：
若数列an(n N )是等比数列，则数列
bn _n_a_1_a_2_a_3 ___a_n _____,(nN)也是等比数列。
No 等的两截面圆面积相等。例5：类比平面内直角三角形的勾股定理,试给出空间中四面体性质的猜
想．。1.由特殊到特殊的推理(tuīlǐ)。——康德。由特殊到特殊的推理(tuīlǐ)。由部分到整体、特殊到 一般的推理(tuīlǐ)。通俗地说，合情推理(tuīlǐ)是指“合乎情理”的推理(tuīlǐ).。Ａ
以点P(x0,y0,z0)为球心,r为半径(bànjìng)
的球的方程为
(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=r2.
第十三页，共二十五页。
例3.半径为r的圆的面积
，周长
若将r看作
上的变量，则
①，①式
可用语言叙述为：圆的面积函数(hánshù)的导数等于圆的周
长函数(hánshù)。对于半径为R的球，若将R看
第八页，共二十五页。
问题：有学生根据等式的性质(xìngzhì)类比不等式的性质(xìngzhì)。
高中数学第一章推理与证明1.1.1归纳推理课件1北师大版
【想一想，辨一辩】
既然利用归纳推理的结论不一定正确，那我们还有
必要进行归纳推理吗？
【情景2】永动机
历史上，人们曾经有过制造永动机的美好愿望，
希望制造出一种不消耗能量的机器，永无休止地
为人类服务.人们提出过
许多永动机的设计方案.最早
永动机的设计方案是13世纪 的法国人亨内考提出的，后 来人们又提出了各种永动机 的设计方案.
四棱柱
三棱锥
八面体
三棱柱
凸多面体
四棱柱 三棱锥 八面体
面数（F）
6 4 8 5 5
顶点数（V）
8 4 6 6 5
棱数（E）
12 6 12 9 8 16 四棱锥
三棱柱
四棱锥 尖顶塔
9
9
尖顶塔
思考:面数F、顶点数V和棱数E之间的关系.
可以归纳出面数F、顶点数V和棱数E之间的关系 F ＋V －E ＝2 这就是著名的欧拉公式. 以上推理都是归纳推理，虽然归纳推理的结论 不一定正确，但是，在数学，科学，经济和社会的历 史发展中，归纳推理有非常重要的价值，它是科学发
于是，他归纳出一个猜想:
“所有形如 2 1(n 1, 2,3,...) 的数都是素数.” 对于大一点的n,验证这个猜想是很难的事情.直至近百年 后的1732年，瑞士数学家欧拉发现 225 1 641 6700417 不是素数，从而否定了这个猜想.的结论不一定正确。
“是不是所有不小于6的偶数，都可以表示为两个素数的和呢？” 6＝3＋3 8＝3＋5 10＝5＋5 12＝5＋7
14＝7＋7
…… 1 000＝29＋971 1 002＝139＋863 …… 归纳出：偶数（不小于6）＝素数＋素数
17
【情景4】 欧拉公式 探求凸多面体的面数F、顶点数V和棱数E之间的关系.
推理与证明ppt完美课件 人教课标版
已知的数学实例和生活中明确的易于理解的实 例来了解合情推理和演绎推理，重要的是体会 其本质、意义和思维的重要性。 • ②充分利用教材中的例题，不必再补充过难 的问题，避免过于复杂和不必要的扩展加深。 • ③程度较好的学生可以尝试自学再教师归纳。 • ④教材P84例4是较难的问题，如第1课时来 不及可放至下一个课时或在讲证明方法时作为 例题介绍。
• 可先由P87的问题及例5、例6让学生归纳三段论， 体会大前提、小结题、结论，然后举例让学生练习书 写演绎推理的三段论模式。
• 最后要说明演绎推理是一种必然性推理，只要大前 提是正确的，小前提在大前提中，则小前提的结论必 定是正确的。
• 引起错误的主要有二种情况：①是大前提错误可能 导致错误的的结论；②是小前提不在大前提中，可举 二个反例说明。
选修2—2第二章 推理与证明
特级教师 省新课程教学指导组成员 正高级教师 硕士生导师 许钦彪
• 一 教育价值
• “推理与证明”是数学的基本思维过程，也是人们学习
和生活中经常使用的思维方式。 • 有助于学生体会数学与其他学科以及实际生活的联系。 • 有助于学生理解数学的本质，形式对数学较为完整的认
识。 • 有助于学生认识数学的科学价值、应用价值和文化价值。 • 有助于发展学生的数学思维能力，提高学生的数学素养。 • 有助于发展学生的创新意识和创新能力。 • 因而，它是选修1—2与选修2—2中共有的内容。 • 以往的高中数学课程中，忽视了合情推理，新课标中增 加了合情推理，单独提出了“推理与证明”这一章节，应予充
• 2、类比推理：利用教材P80火星和地球、圆和球的 类比性质，介绍类比推理的本质是在两类不同的对象 之间进行对比，找出若干相同点之后，推测在其他方 面也可能存在相同点的一种推理模式。换句话说类比 推理是由特殊到特殊的推理。再用P82例2：实数的加 法和乘法的运算性质；例3：平面三角形和空间四面 体的类比，让学生练习体会类比推理。
• 可先由P87的问题及例5、例6让学生归纳三段论， 体会大前提、小结题、结论，然后举例让学生练习书 写演绎推理的三段论模式。
• 最后要说明演绎推理是一种必然性推理，只要大前 提是正确的，小前提在大前提中，则小前提的结论必 定是正确的。
• 引起错误的主要有二种情况：①是大前提错误可能 导致错误的的结论；②是小前提不在大前提中，可举 二个反例说明。
选修2—2第二章 推理与证明
特级教师 省新课程教学指导组成员 正高级教师 硕士生导师 许钦彪
• 一 教育价值
• “推理与证明”是数学的基本思维过程，也是人们学习
和生活中经常使用的思维方式。 • 有助于学生体会数学与其他学科以及实际生活的联系。 • 有助于学生理解数学的本质，形式对数学较为完整的认
识。 • 有助于学生认识数学的科学价值、应用价值和文化价值。 • 有助于发展学生的数学思维能力，提高学生的数学素养。 • 有助于发展学生的创新意识和创新能力。 • 因而，它是选修1—2与选修2—2中共有的内容。 • 以往的高中数学课程中，忽视了合情推理，新课标中增 加了合情推理，单独提出了“推理与证明”这一章节，应予充
• 2、类比推理：利用教材P80火星和地球、圆和球的 类比性质，介绍类比推理的本质是在两类不同的对象 之间进行对比，找出若干相同点之后，推测在其他方 面也可能存在相同点的一种推理模式。换句话说类比 推理是由特殊到特殊的推理。再用P82例2：实数的加 法和乘法的运算性质；例3：平面三角形和空间四面 体的类比，让学生练习体会类比推理。
高中数学 第一章 推理与证明 1.2.2 分析法课件
第九页，共十二页。
动手做一做
1.已知：
都是正实数，且a bb cca1，
求证：abc 3
2. △ABC 的三个内角 A、B、C 成等差数列，A、B、C 的对
边分别为 a、b、c.求证：a＋1 b＋b＋1 c＝a＋3b＋c.
第十页，共十二页。
小结(xiǎojié)
1、分析法，又叫执果索因法。
果 特点 ： (tèdiǎn)
在证明数学(shùxué)命题的时候，也可以从命题的结论 入手，寻求保证结论成立的条件，直到归结为命题 给定的条件或定义、公理、定理等。
第三页，共十二页。
例题(lìtí)讲解
例1 已知：a , b 是不相等的正数，
求证：a3b3a2ba2b 果
证明：要证 a3b3a2ba2b
只需证 (a b )a ( 2 a b 2 ) a(a b b )
果
只需证 ( 87)2( 51)0 2
只需证 15 256 15 250
因
只需证 56 50
由于 5650显然成立，所以命题成立。
第五页，共十二页。
例3 求证：函数 f(x)2x21x21在6区间
(3,) 上是递增的。
证明：要证 f(x)2x21x216在 (3,) 上递增，果
只需证 对于任意 x1,x2(3, ) 且 x1 x2 时，有
第六页，共十二页。
由条件知，x1 x2 ，且 x13,x23， 则有 x1x2 0，且 x1x2 6 ， 它们保证了 f(x1)f(x2)0
所以(sufǒy(ǐ)x)2x21x216在(3,) 上是递增的。
不难看出，这几例都是从结论出发，寻找其成立 的充分条件(chōnɡ fēn tiáo jiàn)而进行证明的。
动手做一做
1.已知：
都是正实数，且a bb cca1，
求证：abc 3
2. △ABC 的三个内角 A、B、C 成等差数列，A、B、C 的对
边分别为 a、b、c.求证：a＋1 b＋b＋1 c＝a＋3b＋c.
第十页，共十二页。
小结(xiǎojié)
1、分析法，又叫执果索因法。
果 特点 ： (tèdiǎn)
在证明数学(shùxué)命题的时候，也可以从命题的结论 入手，寻求保证结论成立的条件，直到归结为命题 给定的条件或定义、公理、定理等。
第三页，共十二页。
例题(lìtí)讲解
例1 已知：a , b 是不相等的正数，
求证：a3b3a2ba2b 果
证明：要证 a3b3a2ba2b
只需证 (a b )a ( 2 a b 2 ) a(a b b )
果
只需证 ( 87)2( 51)0 2
只需证 15 256 15 250
因
只需证 56 50
由于 5650显然成立，所以命题成立。
第五页，共十二页。
例3 求证：函数 f(x)2x21x21在6区间
(3,) 上是递增的。
证明：要证 f(x)2x21x216在 (3,) 上递增，果
只需证 对于任意 x1,x2(3, ) 且 x1 x2 时，有
第六页，共十二页。
由条件知，x1 x2 ，且 x13,x23， 则有 x1x2 0，且 x1x2 6 ， 它们保证了 f(x1)f(x2)0
所以(sufǒy(ǐ)x)2x21x216在(3,) 上是递增的。
不难看出，这几例都是从结论出发，寻找其成立 的充分条件(chōnɡ fēn tiáo jiàn)而进行证明的。
高中数学 第二章 推理与证明本章整合课件 新人教A版选修1-2
网络构建 专题 一 专题 二
专题归纳
解 :(1)∵f(x)=ax3+bx+c, ∴f'(x)=3ax2+b. 由已知 f(x)在点 x=2 处取得极值 c-16, ������'(2) = 0, 得 ������(2) = ������-16, 12������ + ������ = 0, 即 8������ + 2������ + ������ = ������-16, 12������ + ������ = 0, ������ = 1, 即 解得 4������ + ������ = -8. ������ = -12.
网络构建 专题 一 专题 二
专题归纳
证法一:(分析法)①当 ac+bd ≤0 时 ,显然成立. ②当 ac+bd>0 时,欲证原不等式成立,只需证(ac+bd )2≤(a 2+b2)(c2+d2). 即证 a 2c2+2abcd+b2d2≤a2c2+a 2d2+b2c2+b 2d2. 即证 2abcd≤b2c2+a2d2. 即证 0≤(bc-ad )2. ∵a ,b ,c,d ∈R,∴上式恒成立, 故原不等式成立.综合①②知,命题得证. 证法二:(综合法)∵(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+a 2d2+b2c2+b2d 2 =(a 2c2+2abcd+b2d2)+(b 2c2-2bcad+a 2d2) =(ac+bd )2+(bc-ad )2≥(ac+bd)2, ∴ (������ 2 + ������ 2)(������ 2 + ������ 2)≥|ac+bd|≥ac+bd.
高中数学第一章推理与证明1.1归纳与类比1.1.2类比推理课件北师大版选修2_2
������2+������2+������2
2.
答案:
������2+������2+������2 2
M 目标导航 UBIAODAOHANG
Z 知识梳理 HISHI SHULI
D 典例透析 IANLI TOUXI
S 随堂演练 UITANGYANLIAN
题型一 题型二 题型三
题型三 解析几何中的类比推理
3.了解合情推理与演绎推理的联系与区别.
M 目标导航 UBIAODAOHANG
Z 知识梳理 HISHI SHULI
D 典例透析 IANLI TOUXI
S 随堂演练 UITANGYANLIAN
1.类比推理
(1)由于两类不同对象具有某些类似的特征,在此基础上,根据一
类对象的其他特征,推断另一类对象也具有类似的其他特征,我们
>
0)
上异于直径两端点的任意一点与这条直径的两个端点连线,则两条
连线所在直线的斜率之积为定值 − ������������22.
(2)在双曲线中的推广:过双曲线
������2 ������2
−
������2 ������2
=
1(������
>
0,
������
>
0)
上异于直径两端点的任意一点与这条直径的两个端点连线,则两条
把这种推理过程称为类比推理.
(2)类比推理是两类事物特征之间的推理.
(3)利用类比推理得出的结论不一定是正确的.
【做一做1】 在平面中,若两个正三角形的边长比为1∶2,则它们
的面积比为1∶4;类似地,在空间中,若两个正四面体的棱长比为
1∶2,则它们的体积比为
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• 一、选择题
• 1．应用反证法推出矛盾的推导过程中， 要把下列哪些作为条件使用
()定义等 件
④原命题的条
• A．①④
B．①②③
• C．①③④
D．②③
• [答案] C
• 2．命题“三角形中最多只有一个内角是 直角”的结论的否定是 ()
• [答案] 存在一个三角形，其外角最多有 一个钝角
• [解析] 全称命题的否定形式为特称命题， 而“至少有两个”的否定形式为“至多有 一个”．故该命题的否定为“存在一个三 角形，其外角最多有一个钝角”．
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演讲人: XXX
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，从而证明了
，这
种证明方法叫做反证法．
• 2．反证法常见矛盾类型
• 在反证法中已，知经条件过正确的推数理学后公理“得定出理矛
公盾式”，定所义 得矛已盾被主证明要了是的指结论与
矛盾，
与公认的简单、事实 、 、 或
矛
盾
，
与
矛盾．
[例 2] 设 f(x)＝x2＋bx＋c，x∈[－1,1]，证明：b<－2
• 2．2.2 反证法
• 理解反证法的概念，掌握反证法证题的步 骤．
• 本节重点：反证法概念的理解以及反证法 的证题步骤．
• 本节难点：应用反证法解决问题．
• 1．反证法
• 假设原命题 不成立(即在原命题的条件下，
结论不成立)，经过正确的推理，最后得出
假矛设错误 盾 ， 原因命题成立此 说 明
• C．至少有一个正数
• D．两个都是负数
• [答案] C
• [解析] 假设两个数都是负数，则两个数 之和为负数，与两个数之和为正数矛盾， 所以两个实数至少有一个正数，故应选C.
• 二、填空题
• 4．“任何三角形的外角都至少有两个钝 角”的否定应是 ______________________________．
时，在其定义域范围内至少存在一个 x，使|f(x)|≥12成立．
• [分析] 本题中，含有“至少存在一个” 词，可考虑使用反证法．
假设不成立，因此当 b<－2 时在其定义域范围内至
少存在一个 x，使|f(x)|≥12成立．
• [点评] 1.反证法是利用原命题的否命题 不成立则原命题一定成立来进行证明的， 在使用反证法时，必须在假设中罗列出与 原命题相异的结论，缺少任何一种可能， 反证法都是不完全的．
• [点评] 1.运用反证法证题时，一定要处 理好推出矛盾这一步骤，因为反证法的核 心就是从求证的结论的反面出发，导出矛 盾的结果，因此如何导出矛盾，就成了关 键所在，对于三个步骤，绝不可死记，而 要具有全面、扎实的基础知识，再灵活运 用．
• 2．证明“有且只有一个”的问题，需要 证明两个命题，即存在性和唯一性．当证 明结论以“有且只有”、“只有一个”、 “唯一存在”等形式出现的命题时，由于 反设结论易于导出矛盾，所以用反证法证
• 2．对于否定性命题或结论中出现“至 多”、“至少”、“不可能”等字样时， 常用反证法．
• 3．原常结用的至“少原结论至词多”与至“反少设词至”多归纳 如论下词表：有一个 有一个 有n个 有n个
一个也 反设 没有 至少有 至多有 至少有
词 (不存在 两个 n－1个 n＋1个
)
若 a，b，c 均为实数，且 a＝x2－2y＋2π，b＝y2－2z＋π3， c＝z2－2x＋π6，求证：a，b，c 至少有一个大于 0.
• A．两个内角是直角 • B．有三个内角是直角 • C．至少有两个内角是直角 • D．没有一个内角是直角 • [答案] C • [解析] “最多只有一个”即为“至多一
个”，反设应为“至少有两个”，故应选 C.
• 3．如果两个实数之和为正数，则这两个 数( )
• A．一个是正数，一个是负数
• B．两个都是正数