矩阵秩的不等式 - 360文档中心

矩阵乘积秩的不等式

矩阵乘积秩的不等式矩阵乘积秩的不等式矩阵是现代数学理论中非常重要的一个分支领域。

矩阵运算是实际应用中极其常见的过程。

矩阵乘积秩的不等式是矩阵理论中一个基本的定理，本文将详细讲解这一定理。

一、矩阵的定义矩阵是一个矩形的数表，其中的数被称为矩阵元素。

矩阵可以表示为$m\times n$矩阵形式，其中$m$表示矩阵的行数，$n$表示矩阵的列数。

例如，下面的矩阵是一个$3\times2$矩阵：$$ A = \begin{bmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4\\ 5 & 6 \end{bmatrix} $$二、矩阵的乘积两个矩阵的乘积是指对两个矩阵逐一对应的行和列进行数乘，并将结果求和得到的一个新的矩阵。

如果矩阵$A$是一个$m\times n$矩阵，矩阵$B$是一个$n\times p$矩阵，那么乘积矩阵$C$可以表示为：$$ C_{ij} = \sum_{k=1}^nA_{ik}B_{kj} $$其中，$i\in[1,m]$，$j\in[1,p]$。

例如，若有以下两个矩阵$A$和$B$：$$ A = \begin{bmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4\\ 5 & 6 \end{bmatrix}, B =\begin{bmatrix} 7 & 8\\ 9 & 10 \end{bmatrix} $$那么它们的乘积矩阵$C$可以表示为：$$ C = AB = \begin{bmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4\\ 5 & 6 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 7 & 8\\ 9 & 10 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 25 & 28\\ 57 & 64\\ 89 & 100 \end{bmatrix} $$三、矩阵乘积秩的不等式矩阵乘积秩的不等式是指两个矩阵的乘积的秩不超过这两个矩阵秩的乘积。

分块矩阵初等行变换求秩的不等式

在数学中，分块矩阵初等行变换求秩的不等式是一个重要的概念。

通过对分块矩阵进行初等行变换，我们可以得到一个新的矩阵，并通过对这个新矩阵进行求秩，得到一些重要的不等式关系。

接下来，我将会详细探讨这一主题，并按照从简到繁的方式进行解释。

一、分块矩阵的定义让我们回顾一下分块矩阵的定义。

一个分块矩阵是由若干个子矩阵组成的大矩阵。

通常情况下，这些子矩阵可以是任意大小的矩阵，它们之间通过分块符号进行分割。

一个分块矩阵可以表示为：\[ A = \begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22}\end{bmatrix} \]其中 $A_{11}$、$A_{12}$、$A_{21}$、$A_{22}$ 分别是子矩阵。

这种表示方法在矩阵分析和线性代数中经常被使用，特别是在矩阵的运算和性质分析中。

二、分块矩阵初等行变换接下来，让我们来探讨分块矩阵的初等行变换。

我们知道，在矩阵的运算中，初等行变换是一种通过交换行、数乘行、行加减倍数行来改变矩阵的运算方法。

对于分块矩阵，我们可以运用相似的方法进行初等行变换。

对于一个分块矩阵：\[ A = \begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22}\end{bmatrix} \]我们可以对其中的子矩阵 $A_{11}$、$A_{12}$、$A_{21}$、$A_{22}$ 分别进行初等行变换，如交换行、数乘行、行加减倍数行等操作。

通过这些初等行变换，我们可以得到一个经过变换的新矩阵。

三、求秩的不等式关系有了经过初等行变换的新矩阵，我们可以通过对其进行求秩来得到一些不等式关系。

根据矩阵求秩的性质，我们可以得到如下的不等式关系：\[ rank(A) + rank(B) - n \leq rank \begin{pmatrix} A & B\end{pmatrix} \leq rank(A) + rank(B) \]其中，$rank(A)$ 和 $rank(B)$ 分别表示矩阵 $A$ 和 $B$ 的秩，$n$ 表示矩阵的列数。

关于秩的不等式

关于秩的不等式秩，作为一个数学概念，在代数、几何、图论等领域都有着重要的应用。

在不同的数学领域中，秩都有着不同的定义和性质。

在线性代数中，秩是矩阵的一个重要性质，它可以帮助我们理解矩阵的结构和性质。

在图论中，秩则是用来描述图中顶点之间的关系的一个重要指标。

在不等式中，秩也有着独特的作用。

本文将探讨关于秩的不等式，从不同的角度来解释和讨论。

在线性代数中，矩阵的秩是一个非常重要的概念。

对于一个矩阵而言，它的秩等于它的行秩和列秩中的较小值。

利用矩阵的秩，我们可以解决线性方程组的求解问题，判断矩阵的可逆性以及矩阵的基本性质。

在不等式中，我们也可以利用矩阵的秩来推导一些有趣的不等式。

例如，对于一个n阶方阵A，如果它的秩等于n，则A是可逆的；如果它的秩小于n，则A是奇异矩阵，不可逆。

这样的性质可以帮助我们在不等式中进行推导和求解。

在图论中，秩是描述图中顶点之间关系的一个重要指标。

对于一个图G=(V, E)，如果G中任意两个顶点之间有边相连，则称G是完全图。

完全图中的秩通常比较大，因为任意两个顶点之间都有边相连。

而在一般的图中，秩则描述了图中顶点之间的连接情况。

在不等式中，我们可以利用图的秩来推导一些关于图的性质的不等式。

例如，对于一个图G=(V, E)，如果G是连通图，则它的秩等于它的顶点数减去它的连通分量数加一。

这样的不等式可以帮助我们理解图的结构和性质。

在组合数学中，秩是排列和组合的一个重要概念。

对于一个集合A={a1, a2, ..., an}，它的一个排列是对A中元素的一个重新排列，而一个组合是从A中选择出若干个元素的一个子集。

在不等式中，我们可以利用排列和组合的秩来推导一些关于排列和组合性质的不等式。

例如，对于一个集合A={a1, a2, a3}，它的一个排列是{a1, a2, a3}，而它的一个组合是{a1, a2}，那么排列的秩大于等于组合的秩。

这样的不等式可以帮助我们更好地理解排列和组合的性质。

矩阵的秩的相关不等式的归纳小结

矩阵的秩的相关不等式的归纳小结-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII矩阵的秩的相关不等式的归纳小结林松（莆田学院数学系，福建，莆田）摘要：利用分块矩阵，证明一些矩阵的秩的相关不等式，观察矩阵在运算后秩的变化，归纳出常见的有关矩阵的秩的不等式，由此引出等式成立的条件。

关键词：矩阵的秩，矩阵的初等变换引言：矩阵的秩是指矩阵中行（或列）向量组的秩，与之等价的说法通常是指矩阵中不为零的子式的最高阶数，是矩阵最重要的数字特征之一。

利用分块矩阵，把子式看成元素，可将高阶矩阵的运算化为较低阶矩阵的运算，也为矩阵的秩的一些常见不等式的证明带来了方便。

本文将讨论矩阵的秩的一些常见不等式，并由此引出一些秩的不等式等号成立的等价条件。

一基本的定理1 设A是数域P上n m⨯矩阵，于是⨯矩阵，B是数域上m s秩（AB）≤min [秩（A），秩（B）]，即乘积的秩不超过个因子的秩2设A与B是m n⨯矩阵，秩（A±B）≤秩（A）+秩（B）二常见的秩的不等式1 设A与B为n阶方阵，证明若AB = 0，则 r(A) + r(B) ≤ n证：设r(A) = r,r(B )= s,则由AB = 0，知，B的每一列向量都是以A为系数方阵的齐次线性方程组的解向量。

当r = n时，由于该齐次方程组只要零解，故此时 B = 0，即此时r(A) = n，r(B) = 0,结论成立。

当r〈 n 时，该齐次线性方程组的基础解系中含n-r个向量，从而B 的列向量组的秩≤n-r,即r （B ）≤ n-r 所以 r(A) + r(B) ≤ n2设A 为m n ⨯矩阵，B 为n s ⨯矩阵，证明不等式r(AB)≤r(A)+r(B)-n证：设E 为n 阶单位矩阵， S E 为S 阶单位方阵，则由于000S EB A AB A E E E B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭而 0S EB E ⎛⎫ ⎪-⎝⎭可逆，故r(A)+r(B) ≥ 秩 0A E B ⎛⎫⎪⎝⎭ =秩 0A AB E ⎛⎫ ⎪⎝⎭=秩 00AB E ⎛⎫⎪⎝⎭=r(AB)+r(E) =r(AB)+n 从而r(AB) ≥ r(A) + r(B) - n3设A ，B 都是n 阶方阵，E 是n 阶单位方阵，证明秩（AB-E ）≤秩（A-E ）+秩（B-E ）证：因为0A E B E B E --⎛⎫⎪-⎝⎭00B E ⎛⎫ ⎪⎝⎭00AB E B E -⎛⎫= ⎪-⎝⎭故秩（AB-E ）≤秩00AB E B E -⎛⎫ ⎪-⎝⎭≤秩0A E B E B E --⎛⎫⎪-⎝⎭=秩（A-E ）+秩（B-E ）因此秩（AB-E ）≤秩（A-E ）+秩（B-E ）4 设A ，B ，C 依次为,,m n n s s t ⨯⨯⨯的矩阵，证明r(ABC) ≥ r(AB) + r(BC) - r(B)证：设 ,s t E E 分别为，s,t 阶单位矩阵，则由于0AB ABC B ⎛⎫⎪⎝⎭0st E C E ⎛⎫ ⎪-⎝⎭=0AB B BC ⎛⎫ ⎪⎝⎭且0s t E C E ⎛⎫⎪-⎝⎭是可逆矩阵，故 r(AB) + r(BC)≤秩0AB B BC ⎛⎫ ⎪⎝⎭=秩0ABABC B ⎛⎫⎪⎝⎭=秩00ABC B ⎛⎫⎪⎝⎭= r(ABC) + r(B) 从而r(ABC) ≥r(AB) + r(BC) - r(B)5 设A ，B 都是n 阶矩阵，证明；r( A B + A + B ) ≤ r( A ) + r ( B ) 证明：r( AB + A + B)=r( A (B+E) + B) 利用基本定理二≤r( A (B + E)) + r(B) 利用基本定理一 ≤r( A ) + r( B )6 设A ，C 均为m n ⨯矩阵，B ，D 均为n s ⨯矩阵，证明 r （ A B – C D ）≤ r （ A-C ） + r （ B - D ）证明：根据分块矩阵的乘法可知000mn E C A C E B D -⎛⎫⎛⎫⎪⎪-⎝⎭⎝⎭0n s E B E ⎛⎫ ⎪⎝⎭=0A C AB CD B D --⎛⎫⎪-⎝⎭由此易知r （A-C ）+r （B-D ）=r 0A CAB CD B D --⎛⎫⎪-⎝⎭≥r(AB-CD)从而得r （AB-CD ） ≤ r （A-C ） + r （B-D ）三不等式等号成立的探讨1 设A ，B 分别为m n ⨯和n m ⨯矩阵，则()()()r AB =r A +r B -n 的充分条件为：A 0A 0r =r EB 0B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦证明：由E -A A 0E -B 0-AB E -B 0-AB ==0E E B 0E E B 0E E 0⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦得：A 00-AB r =r E B E0⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ ()()()0-AB A 0r =r AB +n r =r A +r B E 0E B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦又， ∴()()()r AB =r A +r B -n2 设A ，B 分别为m n ⨯和n m ⨯矩阵，则()()()r AB =r A +r B -n 的充分必要条件为存在矩阵X 、Y ，使得nXA +BY =E证明：根据题三 1，只需要证明nXA +BY =E A 0A 0r =r X Y E B 0B ⎡⎤⎡⎤⇔⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦存在、，使得m n n n nm m n E 0A 0E 0E 0A 0=-X E E B -Y E -Y E -AX B A 0E -XA -BY B ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⇐⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤=⎢⎥⎣⎦由当 n XA +BY =E 时，A 0A 0r =r E B 0B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∴()()()r AB =r A +r B -n12200,0000rSEE AQ P BQ ⎛⎫⎛⎫⇒== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1设 P 1122000000P Q A P Q B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭则 11220000P A Q P B Q ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭112200P AQ P BQ ⎛⎫= ⎪⎝⎭000000000000r SE E ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（1）112200000P Q A P Q E B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭11222000P A Q P P B Q ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 1121220P AQ P Q P BQ ⎛⎫=⎪⎝⎭12340000000000r S E C C E C C ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭（2）对式（2）右端的方阵作行初等变换，可消去1C ，2C ，3C ，由于式（1），式（2）右端方阵秩相等，故在消去1C ，2C ，3C 时也消去了4C ，对式（2）右端分块记为120FC F ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 其中1F =00rE C ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 2F =00SE C ⎛⎫ ⎪⎝⎭， C=1234C C C C ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 于是上述消去1C 的行变换相当于 1000C -⎛⎫ ⎪⎝⎭000rE ⎛⎫⎪⎝⎭+1234C C C C ⎛⎫ ⎪⎝⎭=2340C C C ⎛⎫ ⎪⎝⎭消去其余234,,C C C 有类似的结果，这样初等变换就相当于存在矩阵S ，T ，使S 1F =T 2F +C =0，即1122210SP AQ P BQ T P Q ++= 从而有令得 n XA BY E +=3 设 A ，B ，分别为 ,,m n n l l m ⨯⨯⨯矩阵，而B 的一个满秩分解是B=HL ，即H 是列满秩矩阵，L 是行满秩矩阵，则r(ABC)=r(AB)+r(BC)-r(B)的充要条件是存在矩阵X ，Y使得r XAH LCY E +=证明：设r （B ）=r ，因为B=HL 是满秩分解所以有r(AB) = r(AHL) = r(AH) r(BC) = r(HLC) = r(LC) 则r(ABC) = r(AB) + r(BC) - r(B)⇔ r(AHLC) = r(AH) + r(LC) - r 又由上题得r(AHLC) = r(AH) + r(LC) - r⇔矩阵X,Y 使得 r XAH LCY E += 所以 3得证4 设A 为n 阶矩阵，证明如果 2A = E ，那么r （ A + E ） + r （ A – E ）= n证明： ( A + E )( A – E ) =2A + A – A – E = E – E = 0 ∴r （ A + E ）+ r （ A – E ）≤ nr( A + E ) + r( A – E ) ≥ r( A + E + A - E) = r(2A) = r(A)2A = E∴2A = E，即A≠0∴ r（A）= nr( A + E) + r( A - E) ≥n故 r（ A + E ）+ r( A - E) = n5 设A为n阶矩阵，且2A = A，证明 r（A）+ r（A-E）= n证明：由2A = A，可得 A（ A – E ）= 0由题一 1知，r（ A ） + r（ A - E）≤ n又因为 E-A和A-E 有相同的秩n = r( E ) = r( A + E – A ) ≤ r ( A ) + r ( E – A ) 从而 r( A ) + r( A – E ) = n6 设A是阶矩阵，则3A = A的充分必要条件是r（A）= r（A-2A）+ r（A+2A）证明：必要性一方面，由3A = A⇔（E-A）A（E+A）=0 由题二 4知0 ≥ r[（E-A）A] + r[ A (E+A)] - r(A)即r（A）≥ r（A-2A）+r（A+2A）另一方面，由r（A-2A）+r（A+2A）≥r[（A-2A）+（A+2A）] = r（2A）= r（A）所以 r（A）= r（A-2A）+ r（A+2A）充分性若r（A）= r（A-2A）+r（A+2A）设r(A) = r,A的满秩分解是A = HL，则存在 X，Y使（2X ）H =r E ，L （2Y ）= r E 成立则 X （E-A ）H +L （E-A ）Y=（XH + LY ）-（XHLH - LHLY ）=r E -0 = r E由题三3得 r[（E-A ）A(E+A)]=r[(E-A) A] + r[A (E+A)]- r(A) = 0即得（E-A ）A （E+A ）=0 从而得 3A = A参考文献：[1] 张禾瑞 .高等代数（第二版）[M].高等教育出版社 [2] 杨子胥.高等代数习题解[M].山东科技出版社 [3] 李师正.高等代数解题方法与技巧[M].高等教育出版社。

矩阵和的秩不等式等号成立的充要条件

ｃｒｎｕｌｎｏｂｏｋｄａｏａｍａｉ．Ｆｎｌ，ｗｅｇｖｔｐｌａｉｎｒｔｏｍａｒｃｓｉｉｅｒａｇｂａｈｏｏｓｙｉｔｌｃｉｇｎｔｘｌｒｉａｙｌｉｅｉａｐｉｔｓｆｗｔｅｎｌａｌｅｒ．ｓｃｏｏｉｎ
第理工大学学报
ＪＯＵＲＮＡＬＯＦＨＡＲＮＵＮＶＥＲＩＹ０ＣＥＥＢＩＩＳＴＦＳＩＮＣＡＮＤＴＣＥＨＮＯＯＧＹＬ
Ｖｏ．６Ｎ．１１ｏ２Ａｐ．２１ｒ０Ｉ
ＡｂｔａｔＴｅｅａｅｉｅｕｌｉｓａｏｔｒｎｆｔｅｓｍｆｔｏｍａｒｅｎａｖｎｅｇｂａＨｏｖｒｅｓｒｃ：ｈｒｒｎｑａｉｅｂｕａｋｏｈｕｏｗｔｃｓｉｄａｃｄａｅｒ．ｔｉｌｗｅｅ，ｆｗｐｏｌｔｄｈｒｂｅｆｉｅｕｉｂｕａｋｏａｏｏｔｃｓａｄｔｅｃｎｉｏｓｆｒｅｕｌｙｓｎｉｅｐｅｓｕｙｔｅｐｏｌｍｓｏｑａｔａｏｔｎｆｓｍｆｓｍｅｍａｒｅｎｈｏｄｔｎｏｑａｉｉｎｎｌｙｒｉｉｔｇ
２１年４月０１
矩阵和的秩不等式等号成立的充要条件
冯秀红，孙苏亚
（南京信息工程大学数理学院，江苏南京２０４）１０４
摘
要：高等代数中常见两个矩阵之和的秩不等式，但对于若干个矩阵的和之秩的不等式问题

关于矩阵秩_不_等式的分块矩阵构造证明

r( AB C) Ε r( AB ) + r( B C) - r( B)
(1)
证明显然 (1) 等价于 r( B) + r( AB C) Ε r( AB ) + r( B C) ,故令 M = B 0 . 对 M 进行 0 AB C
广义初等变换 :
B 0 →B
0 → B - BC → BC B
0 AB C
i =1
0
At
定理 2 设 A i ∈ Fmi ×ni , i = 1 , 2 , …, t , t Ε 2. 则
A1
3
t
∑r( A i ) Φ r
i =1
A2
ω
t
∑ Φ min r( A i ) + m j i = 1 ,2 , …, t j =1 j ≠i
0
At
证明对 t 用数学归纳法证明左侧不等式.
矩阵的广义初等变换证明矩阵秩的 (不) 等式.
在本文中 ,设 F 为一般的数域 , In 表示 n 阶单位矩阵 , r( M) 表示矩阵 M 的秩. 首先 , 关于分块
矩阵的秩 ,下列结论是基本的.
定理 1 分块矩阵的下列结论成立 :
(1) 设 A i ∈ Fmi ×ni , i = 1 , 2 , …, t. 则
r( B A + C) = n - r( A )
(4)
证明由 A ( BA + C) = 0 及矩阵秩的基本性质得 r( A) + r( BA + C) Φ n. 又由 r( C) = n 及
BA + C 0 → BA + C BA → C BA
0
A
0
A
-A A

高等代数矩阵秩的等式与不等式

. .. . . ..
矩阵秩的等式与不等式
初等变换不改变矩阵的秩，故

( 秩A
) B
=
秩
Er
Es

= r + s = 秩(A) + 秩(B). 0
例
设
()
M= A 0 ,
CB
其中 A, B 都是方阵，那么秩(M)≥秩(A)+秩(B).
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
矩阵秩的等式与不等式
( 证设秩 (A) = r，秩 (B) = s，则 A 的等价标准形为 Er
0 () B 的等价标准形为 Es 0 ，从而
00
) 0， 0
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
0 ( −r−1−+−v−(A−)−r→2 E − A
0
)
(
)
0
−−−−−−−→ EA u(A)(E − A)
E + A + A2 c2+c1u(A) 0 E + A + A2
)
(
)
E
−r−2−−−(E−+−A−+−−A−2)−r→1
0
E
E + A + A2
c1 −c2 (E−A)
A3 − E 0
所以这个矩阵的秩是 n 当且仅当 A3 − E = 0，这就得到了证明.
的秩 ≥ r + s = 秩 (A)+ 秩 (B)，即秩(M)≥秩(A)+秩(B).

数学本科毕业论文《矩阵不等式的证明及其应用》

矩阵不等式的证明及其应用一矩阵的秩在矩阵理论中起着非常重要的作用, 矩阵的秩是矩阵的一个重要不变量, 初等变换不改变矩阵的秩, 矩阵的秩有一定的规律, 我们有下面一些基本的不等式:Frobenius 不等式: R(ABC) ≥R(AB)+R(BC)-R(B) (1) R(A)-R(B) ≤ R(A±B) ≤ R(A)+R(B) (2) Sylvester 不等式:R(A)+R(B) - n≤R(AB)≤min( R(A),R(B) )(3)对于(1) , (2), (3) 三个不等式有不同的证明和理解,在这里我们利用分块矩阵的知识,来论证上面的结论.在论证之前,我们先来探讨分块矩阵秩的一些性质.矩阵的秩满足一定的规律,同样在分块矩阵中,它们的秩也有一定的规律可寻.利用矩阵的一些基本的不等式,我们对分块矩阵的秩进行探讨.(1)我们首先从特殊的分块矩阵分析,形如A OB C⎛⎫⎪⎝⎭或A BC⎛⎫⎪⎝⎭或0AB C⎛⎫⎪⎝⎭定理1 设A是n阶矩阵,B和C分别是m⨯n矩阵和m⨯1矩阵, 则R(A)+R(C) ≤R(AB C⎛⎫⎪⎝⎭) ≤ min{}m+R(A), n+R(C)证明:AB C⎛⎫⎪⎝⎭=mAB I⎛⎫⎪⎝⎭nCI⎛⎫⎪⎝⎭因为RAB C⎛⎫⎪⎝⎭= R(mAB I⎛⎫⎪⎝⎭nCI⎛⎫⎪⎝⎭)≥ R(mAB I⎛⎫⎪⎝⎭) + R(nCI⎛⎫⎪⎝⎭) - (n+m)= R（A）+R（mI）+ R(n I) +R（C）- (n+m)= R(A) + R(C) (1)又由于 R(0A B C ⎛⎫⎪⎝⎭) = R(0m A B I ⎛⎫ ⎪⎝⎭00n C I ⎛⎫⎪⎝⎭) ≤ min{ R(0m AB I ⎛⎫⎪⎝⎭),R(00n C I ⎛⎫ ⎪⎝⎭) }= min {}m+R(A), n+R(C) (2)综合(1) (2)两式, 故 R(A)+R(C) ≤ R(0A B C ⎛⎫⎪⎝⎭) ≤min {}m+R(A), n+R(C)定理2 设A 为n 阶距阵,B 为n ⨯1矩阵,C 为m ⨯1矩阵, 则R(A)+R(C) ≤ R(A B O C ⎛⎫⎪⎝⎭) ≤ min{ n+R(C), 1+R(A) }证明: 0A B C ⎛⎫⎪⎝⎭ = 0n B C I ⎛⎫⎪⎝⎭100A I ⎛⎫⎪⎝⎭ 因为 R(0A B C ⎛⎫⎪⎝⎭) = R(0n B C I ⎛⎫ ⎪⎝⎭100A I ⎛⎫ ⎪⎝⎭≥ R(0n B C I ⎛⎫⎪⎝⎭) + R(100A I ⎛⎫⎪⎝⎭) - (n+1) = R (n I ) + R （C ） + R(A) + R （1I ） - (n+1) = R(C) + R(A) (1)又由于R(0A B C ⎛⎫⎪⎝⎭) = R(0n B C I ⎛⎫⎪⎝⎭100A I ⎛⎫⎪⎝⎭≤ min{ R(0n B C I ⎛⎫⎪⎝⎭),R(100A I ⎛⎫ ⎪⎝⎭} = min{ n+R(C), 1+R(A) } (2)综合(1),(2) 两式,故R(A)+R(C) ≤R(A BO C⎛⎫⎪⎝⎭)≤ min{ n+R(C), 1+R(A) }定理3 设A是n阶矩阵,B和C分别是m⨯1矩阵和m⨯n矩阵,则 R(A) + R(B) ≤ R(0AB C⎛⎫⎪⎝⎭) ≤ min{}m+R(A), n+R(B)证明:0AB C⎛⎫⎪⎝⎭=mAI C⎛⎫⎪⎝⎭nBI⎛⎫⎪⎝⎭因为R(0AB C⎛⎫⎪⎝⎭) = R(mAI C⎛⎫⎪⎝⎭nBI⎛⎫⎪⎝⎭)≥ R(mAI C⎛⎫⎪⎝⎭) + R(nBI⎛⎫⎪⎝⎭) - (n+m)= R（A）+R（mI）+ R(n I)+R（B）- (n+m) = R(A) + R(B) (1)又由于R(0AB C⎛⎫⎪⎝⎭) = R(mAI C⎛⎫⎪⎝⎭nBI⎛⎫⎪⎝⎭)≤ min{ R(mAI C⎛⎫⎪⎝⎭),R(nBI⎛⎫⎪⎝⎭) }= min{}m+R(A), n+R(B)(2)综合(1) (2)两式, 故R(A)+R(B) ≤R(0AB C⎛⎫⎪⎝⎭) ≤ min{}m+R(A), n+R(B)(2) 我们分析了特殊情况后,接着探讨一下一般情形,形如A BC D ⎛⎫ ⎪⎝⎭.定理4 设A为n阶矩阵,其中B是n⨯1矩阵,C是m⨯n矩阵,D是m⨯1矩阵, 则R(A B C D ⎛⎫ ⎪⎝⎭) ≤ min{ m+R(A)+R(B), n+R(D)+R(B) }证明: 因为 A B C D ⎛⎫ ⎪⎝⎭ = 0A C D ⎛⎫ ⎪⎝⎭ + 000B ⎛⎫⎪⎝⎭所以 R(A B C D ⎛⎫ ⎪⎝⎭) = R(0A C D ⎛⎫ ⎪⎝⎭ + 000B ⎛⎫⎪⎝⎭)≤ R(0A C D ⎛⎫ ⎪⎝⎭) + R(000B ⎛⎫⎪⎝⎭)≤ min{ m + R(A), n + R(D)} + R(B)= min { m+R(A)+R(B), n+R(D)+R(B) } 证毕二分块矩阵是讨论矩阵的重要手段,利用分块矩秩的不等式,可以系统地推证关于矩阵秩的一些结论,在这里我们利用上面得出的一些定理来证明矩阵秩的某些性质.在证明性质之前,为了便于证明,首先介绍一个引理:引理1 R(AB) ≤ min{R(A),R(B)}, 特别当A ≠0时, R(AB) = R(B)(1) A, B 都是m ⨯n 矩阵, 则R(A+B) ≤ R(A)+R(B)证明: 由于A + B = (m I m I )00A B ⎛⎫ ⎪⎝⎭nn I I⎛⎫⎪⎝⎭由引理１得: R(A+B) = R ((m I m I )00A B ⎛⎫ ⎪⎝⎭nn I I ⎛⎫⎪⎝⎭) ≤R (00A B ⎛⎫ ⎪⎝⎭nn I I⎛⎫ ⎪⎝⎭) ≤ R (00A B ⎛⎫⎪⎝⎭)= R(A) + R(B)故 R(A+B) ≤ R(A)+R(B)(2) 设A 为m ⨯n 矩阵,B 为n ⨯s 矩阵,且A B=0, 则R(A) + R(B) ≤n证明: n n n n A O AAB A O I B I O I B I B O O ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭由引理1得: R(n A O I B ⎛⎫ ⎪⎝⎭) ≤ R(n A O I O ⎛⎫⎪⎝⎭)由定理1得: R(n A O I B ⎛⎫⎪⎝⎭) ≥ R(A) + R(B)又mn n n I A A O O O O I I O I O -⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭且 0mnI A OI -≠由引理1得: R(n O O I O ⎛⎫ ⎪⎝⎭ = R(n A O I O ⎛⎫⎪⎝⎭) = n由定理1得: R(A)+R(B) ≤ R(n A O I B ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ≤ R(n A O I O ⎛⎫ ⎪⎝⎭) = R(000nI ⎛⎫⎪⎝⎭) = n 从而有 R(A) + R(B) ≤ n(3) 设A 是m ⨯ n 矩阵,B 是n ⨯s 矩阵,则 R(AB) ≥ R(A) +R(B) - n证明: 000sn n n AB I AB O I B I B I ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 且0s nI o BI ≠, 由引理1得:R(AB)+ R(n I ) = R(0n AB B I ⎛⎫⎪⎝⎭)即 R(AB) + n = R(0n AB B I ⎛⎫⎪⎝⎭) (1)又00mn n n IA AB O A I B I B I -⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭且00m nI A I -≠, 由引理1,定理3得:R(0n AB B I ⎛⎫⎪⎝⎭) = R(n O A B I ⎛⎫⎪⎝⎭) ≥R(A)+R(B) (2)由(1), (2) 得: R(AB) ≥ R(A)+R(B) – n(4) 设A,B,C 分别是m ⨯n,n ⨯s,s ⨯t 矩阵,则 R(ABC)≥ R(AB) + R(BC) - R(B)证明: 因为 0000mn I A ABC ABC AB I B B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 且 0;:0m nI A I ≠由引理1得R(ABC) + R(B) = R 0ABCAB B ⎛⎫⎪⎝⎭(1) 又因为 0ABCAB B ⎛⎫⎪⎝⎭000ts I AB CI BC B -⎛⎫⎛⎫=≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭t s - I 0且C I由引理1定理3得: R 0ABCAB B ⎛⎫⎪⎝⎭ = R 0()()AB R AB R BC BC B ⎛⎫≥+ ⎪⎝⎭(2) 由(1) (2)得: R(ABC) ≥ R(AB) + R(BC) - R(B) (5)如果秩(A-I ) = r, 秩( B-I ) = s, 则秩(AB-I ) ≤ r + s .证明: 令X = 00A IB I -⎛⎫⎪-⎝⎭则: 秩X = r + s由00A IB I -⎛⎫ ⎪-⎝⎭0I B I ⎛⎫ ⎪⎝⎭ = 0A I AB B B I --⎛⎫⎪-⎝⎭且 0I B I≠0 , 由引理1得:R (00A IB I -⎛⎫⎪-⎝⎭) = R(0A IAB B B I --⎛⎫⎪-⎝⎭) = r + s (1) 又因为 0I I I ⎛⎫ ⎪⎝⎭0A IAB B B I --⎛⎫⎪-⎝⎭ = 0A IAB I B I --⎛⎫⎪-⎝⎭得 R(0A IAB I B I --⎛⎫⎪-⎝⎭) ≥ R(AB-I ) (2) 且00I II≠ , 由引理1得:R(0A I AB B B I --⎛⎫ ⎪-⎝⎭) = R(0A IAB I B I --⎛⎫⎪-⎝⎭) (3) 综合 (1) (2) (3) 式可: R(AB-I ) ≤ r + s参考文献[1]樊恽主编. 代数学词典. 武汉: 华中师范大学出版社, 1994.[2] 高等数学研究. 2003.01.[3]北京大学数学系编. 高等代数. 高等教育出版社.[4]张禾瑞．郝炳新主编．高等代数．高等教育出版社．[5]华东师范大学学报．2002.04．[6]西北师范大学学报．1989.01．。

浅谈矩阵秩的等式与不等式证明

块矩阵，利用分块矩阵的初等变换及分块矩阵的秩的相关
定理去求解．要善于观察，构造分块矩阵是难点，如结论１Ｏ．
矩阵的分块方法是矩阵论的一种重要方法，选择合适
的分块方法可使一些证明变得简单明了．在学习线性代数
时，许多问题都可尝试用分块方法解决．本文在对部分矩阵秩的等式与不等式证明过程中利用
了矩阵的分块方法．思路６应用方程组解的相关理论求解，如结论１１的
证明．思路７灵活运用常见的秩的等式与不等式进行证明．
在证明矩阵秩的不等关系时，经常用到关于两矩阵和与乘积的秩的关系，如结论５、结论６、结论７、结论１１等．
对于有一些稍难的结论，许多教材并没有给出证明．本文把
分散的知识点及重要的常用结论整合在一起，并归纳整理
出若干常用有效的证明思路，帮助学生掌握这一难点．
二、预备知识及证明思路
定义对于ｍ × 矩阵Ａ，若阶子式不为０，且
数即为矩阵的秩．
思路２初等变换不改变矩阵的秩．利用初等变换将矩
阵化为阶梯形，阶梯形矩阵非零行的行数即为矩阵的秩．矩
阵的初等变换是研究矩阵的秩的重要方法．
思路３证秩相等，可考虑证同解方程组．
构造（Ｉ）ＡＸ＝０，（Ｕ）ＢＸ＝０．（Ａ，Ｂ列数相同）
若（Ｉ）（Ⅱ）同解，则（Ｉ）与（ＩＩ）基础解系等价，从而
●
．

矩阵秩的等式与不等式的证明及应用

矩阵秩的等式与不等式的证明及应用矩阵是高等代数的一个重要概念，也是线性代数中的主要研究对象，同时也是一种应用广泛的数学工具.不管是在数学学习还是实际问题中，我们常常会遇到许多比较复杂的计算问题，而使用矩阵来解决这些难题，往往会使问题简单化.早在古代，我国的《九章算术》就已经对矩阵有了初步的描述.而矩阵的理论起源，可追溯到18世纪.高斯在1801年、艾森斯坦在1844-1852年，先后把一个线性变换的全部系数用一个字母来表示，艾森斯坦还强调乘法次序的重要性.这些工作都孕育了矩阵的思想，但矩阵的正式定义直到1858年才由凯莱给出来.凯莱在《矩阵论的研究报告》中全面阐述了矩阵的一些理念，同时他还在文中给出了许多矩阵的运算法则以及矩阵转置的定义，证明了矩阵加法中的可交换性与可结合性，更为重要的是他还给出了伴随矩阵、矩阵可逆的概念.由于凯莱的奠基性工作，一般认为他是矩阵理论的创始人.而矩阵的秩是矩阵的一个重要特征，是矩阵理论中研究的一个重要内容，它具有许多的重要性质.对于矩阵的秩的等式与不等式，近年来有一些学者对其进行了研究.张英，乔世东利用同解方程组、标准形、线性空间和同态基本定理来证明矩阵秩的一些性质；王廷明利用构造分块矩阵并通过广义初等变换的方法,证明矩阵秩的(不)等式；殷倩把分散的知识点及重要的常用结论整合在一起，归纳整理出若干常用有效的证明方法；徐小萍给出五个矩阵秩的不等式,并利用代数理论对其进行证明,然后用一些典型例题对其应用进行分析.在前人研究的基础上，本文进一步系统的探究了矩阵秩的等式与不等式及其应用.首先介绍矩阵秩的等式与不等式的研究背景和国内外的研究现状，其次介绍矩阵秩的定义与简单性质，然后给出一些矩阵秩的等式与不等式的证明，最后通过例子研究其在多方面的应用。

11 预备知识1.1 矩阵的定义定义1.1 由m n ⨯个数()1,2,,;1,2,,ij a i m j n ==所排列成的m 行n 列的数表111212122212n n m m mna a a a a a a a a称为m 行n 列的矩阵，简称m n ⨯矩阵.记作111212122212,n n m m mn a a a a a a A a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦（1.1）简记为()ij m n A a ⨯=或m n A ⨯，这m n ⨯个数称为A 的元素.当m n =时，矩阵A 称为n 阶方阵.例如，431259370⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦就是一个3阶方阵.1.2 矩阵秩的定义定义1.2 通过在m n ⨯矩阵A 中任取k 行k 列（,k m k n ≤≤）的行列交叉处的2k 个元素，而不改变它们在A 中所处的位置顺序而得到的k 阶行列式，称为矩阵A 的k 阶子式. m n ⨯矩阵A 的k 阶子式共有kkm n C C ⋅个.定义 1.3 如果矩阵A 有一个不为零的r 阶子式D ，且所有1r +阶子式都为零，那么D 称为矩阵A 的最高阶非零子式，这个数r 称为矩阵A 的秩，记作()R A ，并且规定零矩阵的秩等于零.2 矩阵秩的性质在矩阵秩的问题当中，有些问题仅依靠定义来解决比较复杂和困难，而利用性质则会简单些，下面我们总结和归纳出了矩阵秩的一些性质.性质2.1 矩阵的行秩与列秩相等.证明考虑线性方程组0AX =，首先如果未知数的个数超过A 的行秩，则它有非零解.设m n ⨯阶矩阵A 的行秩为r ，考虑方程组0AX =，它由m 个方程n 个未知数组成.从A 的行向量中任意选取r 个线性无关的行向量，重新组合成矩阵B ，所以方程组0AX =和0BX =同解.在这种情况下，如果B 的列数大于行数，那么方程组0BX =必有非零解，因此0AX =也有非零解.接着证明行秩等于列秩.设m n ⨯阶矩阵A 的行秩为r ，列秩为s .考虑A 的任意1r +个列向量组成的矩阵C ，因为C 的行秩小于或等于r （因为C 的行向量是由A 的行向量的一部分分量组成的），所以CX=0存在非零解，这表明这1r +个列向量是线性相关的.所以A 的列秩最大为r ，即s r ≤.同理可证r s ≤，因此s r =.性质2.2 初等行（列）变换不改变矩阵的秩.数域P 上的矩阵的初等行（列）变换是指以下三种变换：（1）用数域P 中的一个非零数k 乘以矩阵的某一行（列）；（2）将矩阵的某一行（列）的c 倍加到另一行（列）；（3）交换矩阵中两行（列）的位置.证明设m n ⨯矩阵A 通过一次初等行变换转变为m n ⨯矩阵B ,且()1R A r =，()2R B r =.1.初等交换变换：i jr rA B ↔→（交换矩阵的第i 行与第j 行）由于矩阵A 中的任意11r +阶子式均全为零，因此矩阵B 的任意11r +阶子式也为零.所以有矩阵B 中任11r +阶子式等于任意非零常数k 与矩阵A 的某个11r +阶子式的乘积.2.初等乘法变换：ikr A B →（将矩阵的第i 行与用非零常数k 相乘）由于矩阵A 中的任意11r +阶子式全为零，因此矩阵B 的任意11r +阶子式也为零.所以有矩阵B 中任何11r +阶子式等于任意非零常数k 与A 的某个11r +阶子式的乘积.3.初等加法变换：i j r krA B +→（将矩阵的第j 行的k 倍加到矩阵的第i 行上）对于矩阵B 的任意11r +阶子式1B .（1）若1B 不包含矩阵B 的第i 行或同时包含第j 行与第i 行，那么由行列式的性质得11+1r B D =这里的1+1r D 为矩阵A 的任意11r +阶子式；（2）若1B 包含第i 行但不包含第j 行，那么由行列式的性质得11111r r B D k C ++=+这里的11r D +，11r C +均为矩阵A 的11r +阶子式。

分块矩阵初等行变换求秩的不等式

【导语】在线性代数中，分块矩阵初等行变换求秩是一个重要的概念。

本文将从简单的定义出发，逐步深入探讨这一概念，并结合示例进行解释和说明。

通过全面的评估和综述，希望能够帮助读者更好地理解分块矩阵初等行变换求秩，并掌握其应用。

【正文】一、分块矩阵初等行变换求秩的定义和基本概念分块矩阵是由若干个矩阵按照一定规则组成的大矩阵。

它可以在某些情况下简化矩阵运算的复杂性，方便题目求解。

而初等行变换是对矩阵的行进行的一种操作，包括三种形式：交换两行、某行乘以一个非零常数和某行乘以一个非零常数加到另一行上。

通过初等行变换，矩阵的秩可以发生改变。

分块矩阵初等行变换求秩的不等式是通过对分块矩阵进行初等行变换，来计算该分块矩阵的秩。

分块矩阵秩的计算可以通过初等行变换将矩阵转化为行阶梯型矩阵或者简化行阶梯型矩阵，从而求得秩的大小。

二、分块矩阵初等行变换求秩的具体步骤1.第一步：根据题目给出的分块矩阵，将其转化为增广矩阵形式。

2.第二步：利用初等行变换的方式，将矩阵转化为行阶梯型矩阵或简化行阶梯型矩阵。

3.第三步：对于行阶梯型矩阵或简化行阶梯型矩阵，统计非零行的个数，即可求得分块矩阵的秩。

三、示例分析为了更好地理解和应用分块矩阵初等行变换求秩的不等式，以下通过示例详细说明。

例1：计算分块矩阵| A B |X = | || C D |的秩。

解：根据定义，我们将该分块矩阵转换为增广矩阵形式：A B 0 0| |C D 0 0通过初等行变换，我们可以将该矩阵转化为行阶梯型矩阵：A B 0 0| |0 D 0 0由于行阶梯型矩阵的秩等于其非零行的个数，所以分块矩阵的秩为2。

四、个人观点和理解分块矩阵初等行变换求秩的不等式是线性代数中一个非常重要的概念。

通过初等行变换，我们可以改变矩阵的形态，从而简化问题的求解。

在实际应用中，我们经常会遇到大规模的矩阵运算问题，而分块矩阵初等行变换求秩的方法能够帮助我们更高效地处理这些问题。

值得注意的是，分块矩阵初等行变换求秩的过程中，我们需要对矩阵的组成部分有一定的了解。

矩阵秩的基本不等式

矩阵秩的基本不等式定理1：设,m n A R ∈，,n s B R ∈，则{}()()()min (),()r A r B n r AB r A r B +-≤≤。

证明：由于0Bx =的解一定是0ABx =的解，因此0Bx =的基础解系为0ABx =的基础解系的一部分。

于是，()()s r B s r AB -≤-，即()()r AB r B ≤。

()()()()()()T T T T r AB r AB r B A r A r A ==≤=。

这样，我们就证明了()()r AB r A ≤，()()r AB r B ≤，故{}()min (),()r AB r A r B ≤。

我们假设1x ，2x ，……，()s r B x -，()1s r B x -+，……，()s r AB x -为0ABx =的基础解系。

其中，0i Bx =，1()i s r B ≤≤-；0j Bx ≠，()1()s r B j s r AB -+≤≤-。

下面，我们来证明向量组{}()()1s r AB j j s r B Bx -=-+是线性无关的。

事实上，假设数j k ， ()1()s r B j s r AB -+≤≤-，使得()()1()s r AB j j j s r B k Bx -=-+∑，于是()()10s r AB j j s r B B x -=-+=∑。

这样，()()10s r AB j j s r B x -=-+=∑为0Bx =的解。

于是，存在数j k ，1()j s r B ≤≤-，使得 ()()()11()s r AB s r B j j j j s r B j x k x --=-+==-∑∑，即()10s r AB j j j k x -==∑。

由于向量组{}()1s r AB j j x -=线性无关，因此，0j k =，()1()s r B j s r AB -+≤≤-。

于是，向量组{}()()1s r AB j j s r B Bx -=-+线性无关。

矩阵秩的基本不等式

矩阵秩的基本不等式第一篇：矩阵秩的基本不等式矩阵秩的基本不等式定理1：设A∈Rm,n，B∈Rn,s，则r(A)+r(B)-n≤r(AB)≤min{r(A),r(B)}。

证明：由于Bx=0的解一定是ABx=0的解，因此Bx=0的基础解系为ABx=0的基础解系的一部分。

于是，s-r(B)≤s-r(AB)，即r(AB)≤r(B)。

r(AB)=r((AB)T)=r(BTAT)≤r(AT)=r(A)。

这样，我们就证明了r(AB)≤r(A)，r(AB)≤r(B)，故r(AB)≤min{r(A),r(B)}。

我们假设x1，x2，……，xs-r(B)，xs-r(B)+1，……，xs-r(AB)为ABx=0的基础解系。

其中，Bxi=0，1≤i≤s-r(B)；Bxj≠0，s-r(B)+1≤j≤s-r(AB)。

下面，我们来证明向量组{Bxj}s-r(AB)j=s-r(B)+1是线性无关的。

事实上，假设数kj，s-r(B)+1≤j≤s-r(AB)，使得s-r(AB)j=s-r(B)+1s-r(AB)∑s-r(AB)kj(Bxj)，于是Bj=s-r(B)+1∑xj=0。

这样，s-r(AB)j=s-r(B)+1j=s-r(B)+1s-r(B)s-r(AB)j=1∑xj=0为Bx=0的解。

于是，存在数kj，1≤j≤s-r(B)，使得∑∑(-kx)，即∑jjj=1kjxj=0。

由于向量组{xj}s-r(AB)j=1线性无关，因此，kj=0，s-r(B)+1≤j≤s-r(AB)。

于是，向量组{Bxj}线性无关。

j=s-r(B)+1s-r(AB)又由于A(Bxj)=ABxj=0，s-r(B)+1≤j≤s-r(AB)，因此{Bxj}为j=s-r(B)+1s-r(AB)Ax=0的基础解系的一部分。

于是，s-r(AB)-[s-r(B)+1]+1=r(B)-r(AB)≤n-r(A)即r(AB)≥r(A)+r(B)-n。

推论1：若A∈Rm,n，B∈Rn,s满足AB=0，则r(A)+r(B)≤n。

秩不等式证明总结

秩不等式证明总结秩不等式证明是初中高中数学中常见的一道题目，对于广大学生而言，掌握它的证明方法可以提高解题的效率，同时也可以深入理解向量和矩阵的重要性质。

以下是一篇关于秩不等式证明的总结。

一、初始条件秩不等式证明的各项变量有$A_{m\times n}$，$B_{n\times p}$和$C_{m\times p}$，且$rank(A_{m\times n})=m$，$rank(B_{n\times p})=n$。

需证明$rank(C_{m\times p})\leqslant n$。

二、辅助条件由于$rank(A_{m\times n})=m$，则$A_{m\times n}$各行向量线性无关。

设$A_{m\times n}$的前$k$列为$A_k$，$k\leqslant n$，则$A_k$的各行向量线性无关。

同理，$rank(B_{n\times p})=n$可得，$B_{n\times p}$的前$l$列为$B_l$，$l\leqslant p$，$B_l$的各列向量线性无关。

三、证明过程1.构造辅助矩阵$D_{k\times l}$，$D_{k\times l}=A_kB_l$，即$D_{k\times l}$的第$i$行第$j$列元素为$A_k$的第$i$行向量与$B_l$的第$j$列向量的内积。

2.对$D_{k\times l}$的各行向量做线性组合，得到：$$(t_1,t_2,\cdots,t_k)D_{1\timesl}+(t_1',t_2',\cdots,t_k')D_{2\timesl}+\cdots+(t_s,t_{s+1},\cdots,t_k)D_{s\times l}=0$$ 其中，$t_1,t_2,\cdots,t_k$不全为零。

3.设$C_{m\times p}$的前$s$列为$C_s$，$s\leqslant p$。

由于$B_l$的各列向量线性无关，因此可知$D_{1\times l},D_{2\times l},\cdots,D_{s\times l}$的各列向量线性无关，即它们的秩为$s$。

线代秩的不等式

线代秩的不等式线性代数中的秩是一个非常重要的概念，它可以用来描述矩阵的性质和解决线性方程组的问题。

在矩阵理论中，秩是一个非常重要的指标，它可以用来描述矩阵的行和列的线性无关性，从而判断矩阵的性质和解决线性方程组的问题。

在本文中，我们将介绍线代秩的不等式，以及它在矩阵理论中的应用。

我们来看一下线代秩的定义。

矩阵的秩是指矩阵中线性无关的行或列的最大个数。

例如，一个3×3的矩阵如果有两行或两列是线性无关的，那么它的秩就是2。

矩阵的秩可以用高斯消元法或矩阵的行列式来求解。

接下来，我们来看一下线代秩的不等式。

对于一个m×n的矩阵A，它的秩r满足以下不等式：r ≤ min(m,n)这个不等式的意义是，矩阵的秩不会超过它的行数和列数中的较小值。

这是因为一个m×n的矩阵最多只能有min(m,n)个线性无关的行或列。

如果矩阵的秩超过了这个值，那么它就不可能存在。

线代秩的不等式在矩阵理论中有着广泛的应用。

例如，在解决线性方程组的问题中，我们可以使用矩阵的秩来判断方程组的解的个数。

如果矩阵的秩等于它的列数，那么方程组有唯一解；如果矩阵的秩小于它的列数，那么方程组有无穷多解；如果矩阵的秩小于它的行数，那么方程组无解。

线代秩的不等式还可以用来判断矩阵的可逆性。

一个n×n的矩阵A 是可逆的，当且仅当它的秩等于n。

如果矩阵的秩小于n，那么它就不可逆。

线代秩的不等式是矩阵理论中一个非常重要的概念，它可以用来描述矩阵的性质和解决线性方程组的问题。

在实际应用中，我们可以根据线代秩的不等式来判断矩阵的性质和解决实际问题。

分块矩阵的秩不等式

分块矩阵的秩不等式
嘿，同学们！今天咱们来聊聊分块矩阵的秩不等式。

这玩意儿啊，简单说就是关于分块矩阵的秩之间存在的一些大小关系。

比如说，对于一个分块矩阵 A，它的不同子块的秩之间会有一些特定的不等式关系。

常见的分块矩阵秩不等式
那常见的都有啥呢？像 Sylvester 不等式，它说的是如果有两个矩阵 M 和 N，那么 r(M) + r(N) n = r(MN) ，这里的 n 是 N 的列数。

还有 Frobenius 不等式，要是一个分块矩阵 A 分成了几块，那它不同子块的秩之间也有特定的大小关系。

分块矩阵秩不等式的应用
这东西有啥用呢？用处可大啦！在解决线性方程组问题的时候，能通过这些不等式来判断方程组有没有解，有多少解。

在矩阵的运算和变换中，也能帮助我们更好地理解和处理矩阵的性质。

而且在一些证明题里，巧妙地运用这些不等式，能让证明过程变得轻松不少呢！怎么样，是不是觉得还挺有趣的？。