分块矩阵在求矩阵秩及其相关不等式证明中的应用
分块矩阵的应用 毕业论文
本科毕业论文题目分块矩阵的应用院别数学与信息科学学院专业数学与应用数学指导教师评阅教师班级姓名学号2011 年 5 月16 日分块矩阵的应用目录摘要 (Ⅰ)Abstract (Ⅰ)1引言 (1)2分块矩阵及其性质 (1)2.1分块矩阵 (1)2.2分块矩阵的性质及其推论 (1)2.3分块矩阵常见的分块方法 (3)3分块矩阵在证明方面的应用 (4)3.1分块矩阵在矩阵的秩的相关证明中的应用 (4)3.2分块矩阵在线性相关性及矩阵的分解中的应用 (5)3.3分块矩阵在相似问题中的应用 (6)4分块矩阵在计算方面的应用 (7)4.1分块矩阵在行列式计算方面的应用 (7)4.2分块矩阵在求逆矩阵方面的应用 (9)4.3分块矩阵在求解矩阵方程方面的应用 (11)4.4分块矩阵在求解非齐次线性方程组中的应用 (12)结束语 (13)参考文献 (14)致谢 (15)内江师范学院本科毕业论文摘要：分块矩阵是线性代数中的一个重要工具，在理论研究和实践计算方面都有广泛的应用．特别是在处理阶数较高的矩阵时，分块之后，可以使矩阵的结构更加清晰明朗，从而使一些矩阵的相关表达和计算简单化，进一步用来解决很多与矩阵相关的问题．在分析和总结分块矩阵的概念和性质的基础上，提出了分块矩阵在计算和证明方面的应用，主要包括矩阵的秩、矩阵的相关性理论、相似问题、以及行列式的计算、逆矩阵的求解、以及矩阵方程等方面．关键词：分块矩阵；矩阵分块；证明；计算Abstract：The partitioned matrix is an important tool of linear algebra, in theoretical study and practical calculation are widely used in processing order number. Especially when high matrix, block after, can make the matrix structure more wide-awake, which makes some matrix expression and calculation related to solve many further simplification, with matrix related problems. In analyzing and summarizing the partitioned matrix of the concepts and properties was put forward on the basis of partitioned matrix in computing and proof applications, including matrix rank, matrix correlation theory, similar problems, and determinants of calculation, inverse matrix of solving, and matrix equation.Keyword：The partitioned matrix; Matrix block, Proof; calculation1 引言在数学名词中，矩阵是用来表示统计数据等方面的各种有关联的数据．矩阵作为数学工具之一有着重要的实用价值，它常见于许多学科中，如线性代数、线性规划、组合数学、统计分析等．在实际生活中，很多问题都是借用矩阵抽象出来进行表述并加以解决的，比如一些电脑的应用如VLSI 芯片设计上都有分块矩阵的思想．矩阵的概念和性质相对矩阵的运算较容易理解和掌握，但对于矩阵的运算和应用，则有很多问题值得我们去研究，尤其是当矩阵的阶数比较大时矩阵的运算和证明将是一个很繁琐的过程，因此这时我们需要一个新的矩阵处理工具，在这种情况下，分块矩阵的思想就产生了．在高等代数中，对高阶矩阵的处理是矩阵相关内容中重要的一部分，分块矩阵揭示了一个复杂或是特殊的矩阵的内部本质结构，本文即是通过查阅相关的文献资料和学习相关的知识后总结并探讨分块矩阵在各方面的应用，通过具体的实例的应用来突出分块矩阵在处理相关问题上的简便性和灵活性．2 分块矩阵及其性质2.1分块矩阵定义[1] 用纵线与横线将矩阵A 划分成若干较小的矩阵：111212122212t t s s st A A A A A A A A A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭， 其中每个小矩阵()1,2,,;1,2,,ij A i s j t ==叫做矩阵A 的一个子矩阵；分成子块的矩阵叫做分块矩阵．运算规则[2]()()()()()()()()()1(1);(2);(3),1,2,;1,2,,.ij ij ij ij stststT Tij ij ststtij ij ij ij ik kj sttpspk A B A B A A A B C C A B i s j p =±=+====,=∑在用规则(1)时，A 与B 的分块方法须完全相同；用规则(3)时A 的列的分法与B 的行的分法须相同．2.2分块矩阵的性质及其推论在行列式的计算中我们经常用到下列三条性质[3]（1）若行列式中某行(列)有公因子，则可提到行列式号外面； （2）把行列式的某两行(列)互换位置，其值变号，（3）把行列式的某行(列)乘上某一个非零数，加到另一行(列)去，其值不变 利用矩阵的分块，我们可以把行列式的三条性质在分块矩阵中进行推广.性质1 设H 是由如下的分块矩阵组成123123123A A A H B B B C CC ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， 其中123123123,,,,,,,,A A A B B B C C C 都是s t ⨯矩阵，又M 是任一s 阶方阵．对于矩阵123123123A A A H MB MB MB C C C ⎛⎫ ⎪'= ⎪ ⎪⎝⎭， 则H M H '=⋅．性质2 设H 和H '写成如下形式123123123123123123,A A A B B B H B B B H A A A C CC C C C ⎛⎫⎛⎫⎪⎪'== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 其中123123123,,,,,,,,A A A B B B C C C 都是s t ⨯矩阵，则,,H s H H s ⎧⎪'=⎨-⎪⎩当为偶数时当为奇数时.性质3 设H 是由如下的分块矩阵组成123123123A A A H B B B C CC ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， 其中123123123,,,,,,,,A A A B B B C C C 都是s t ⨯矩阵，又M 是任一s 阶方阵．对于矩阵123112233123A A A H MC B MC B MC B CC C ⎛⎫⎪'=+++ ⎪ ⎪⎝⎭，则H H '=．推论1 设,A B 都是n 阶方阵，则有A B A B A B BA=+⋅-．证明 根据性质3并应用于列的情况，有A B A B B A BABA++=，根据性质1有A B B A E E A B A B A B BABA++=+⋅=+⋅-，则A B A B A B BA=+⋅-．推论2 设,A B 都是n 阶方阵，则有AB A B =⋅． 证明 作2n 阶行列式0AB AC E=， 由拉普拉斯展开定理得：C AB E AB =⋅=． 又根据性质3并应用于列的情况,有：000AB A AB AB A AA B EEBEB E-===⋅--，则AB A B =⋅．推论3 设,,,A B C D 都是n 阶方阵，其中0A ≠，并且AC CA =，则有A B AD BC C D=-．证明 根据性质3，由A ≠0知1A -存在，并由AC CA =，用()1CA --乘矩阵A B C D ⎛⎫⎪⎝⎭的第一行后加到第二行去得：10A B D CA B -⎛⎫⎪-⎝⎭， 从而1110A B A B A D CA B AD ACA B AD CB CD D CA B ---⎛⎫==⋅-=-=- ⎪-⎝⎭． 2.3分块矩阵常见的分块方法[2]矩阵的分块技巧较强，因此要根据不同的问题进行不同的分块，常见的分块方法有四种：(1)列向量分法 ()12,,,n A ααα=，()1,2,,i i n α=为A 的列向量.(2)行向量分法12n A βββ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,()1,2,,i i n β=为A 的行向量．(3)分成两块()12,A A A =其中12,A A 分别为A 的若干列,或12B A B ⎛⎫= ⎪⎝⎭其中12,B B 分别为A 若干行.(4)分成四块1234C C A C C ⎛⎫= ⎪⎝⎭．对分块矩阵还可以进行广义的初等变换,广义的初等变换分为三种: (1)交换分块矩阵的两行(列)；(2)用一可逆阵乘以分块矩阵的某一行（列）； (3)用某一矩阵乘某一行（列）加到另一行（列）. 根据广义初等变换的类型对应三种广义初等阵[4]：（1）00mn E E ⎛⎫ ⎪⎝⎭； （2）00,,,00A E A B E B ⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭均为可逆矩阵； （3）0,0E E B A E E ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.3分块矩阵在证明方面的应用3.1分块矩阵在矩阵的相关的秩的相关证明中的应用定理1[2] ()(),R A R B 分别为矩阵,A B 的秩，则()()()R A B R A R B +≤+． 例１ 设,A B 分别为,s n n m ⨯⨯阶矩阵，则()()()R A R B R AB n +≤+.证明 构造分块矩阵0nEB A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，对0nE B A⎛⎫⎪⎝⎭进行广义初等变换，则000n n nE B E B E AA AB AB ⎛⎫⎛⎫⎛⎫→→ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 根据矩阵初等变换的性质有()()()000n n n E B E R R R E R AB n R AB AAB ⎛⎫⎛⎫==+-=+ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭， 而()()0nE B R R A R B A⎛⎫≥+ ⎪⎝⎭，所以()()()R A R B R AB n +≤+． 利用分块矩阵证明矩阵秩的问题，一般采用两种方法，一种是利用已知矩阵作为元素来拼成高阶数的矩阵来证明，另一种方法就是将已知矩阵拆成阶数较低的矩阵来证明．这两种方法在证明问题时都是很有效的，很大一部分相关矩阵秩的问题，都可以用分块矩阵来证明[5]．3.2分块矩阵在线性相关性及矩阵的分解中的应用分块矩阵在线性性及矩阵的分解中有着广泛的应用，但要达到运用自如却非易事，其基础知识抽象，解题方法技巧性强，稍有不慎就会陷入困境．作为线性代数的一个重要内容和工具的矩阵，我们往往容易忽略它重要的一点---矩阵分块的作用．下面就通过一些例子介绍一下它在线性相关性及矩阵的分解证明中的应用.定理2[2] 矩阵A 列线性无关的充要重要条件是0AX =只有零解． 推论4 设0st A ≠，则（1）st A 的列线性相关（即()R A t <）的充要条件是存在0ts B ≠使0AB =； （2）st A 的行线性相关（即()R A s <）的充要条件是存在0ts C ≠使0CA =．证明(1)充分性 设A 的列线性相关,由定理2，存在0b ≠使0Ab =，作(),0,,0B b =，则0B ≠，故0AB =．必要性 设有0ts B ≠，()12,,,s B b b b =，i b 为B 的列向量，1,2,,i m =且0i b ≠，使0AB =，即()12,,,0s Ab Ab Ab ≠，因0i b ≠，由定理2可知，A 的列线性无关．类似可证(2)．例2 矩阵A 列线性无关，AB C =，求证：C 列线性无关的充要条件是B 列线性无关．证明 充分性 要使0CX =，即()0A BX =，记BX Y =，则0AY =．因A 列无关，须0Y =，即0BX =，又B 列无关，须0X =，从而C 列无关．必要性 要使0BY =，两边左乘A ，则0ABY =，即0CY =，又C 列无关，即0Y =，则B 列无关．矩阵的列（行）向量相关与无关性的问题很多都会涉及到利用分块矩阵，因为矩阵的行（列）都可以看作是矩阵的子块，在处理矩阵的分解问题时也是一样，在线性代数中还有很多问题也可以分块矩阵来解决．例3 设()mk R A γ=，则（1）()(),,mj jk M N R M R N γ∃==，使得A MN =； （2）()(),,mk kk H S R H R S γ∃==，使得A HS =． 证明 ,,0,0mm kk P Q P Q ≠≠，使000mkI PAQ γ⎛⎫=⎪⎝⎭， 11000mkIA P Q γ--⎛⎫∴= ⎪⎝⎭． (1)将1P -与1Q -作如下的分块：()11,,jk mj N P M L Q G --⎛⎫== ⎪⎝⎭，则()0,00jk nj N IA M L MN G γ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． （2）因000000000mk mk kk I I I γγγ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令1100,0000mk kk mk kkI I H P S Q γγ--⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即得A HS =．3.3分块矩阵在相似问题中的应用众所周知，若,A B 为n 阶矩阵，如果存在一个n 阶非奇异矩阵存在，使得1P AP B -=成立，则称矩阵A 与B 相似．但如果,A B 的阶较高，在证明的过程中找到一个n 阶非奇异矩阵变得非常困难，而分块矩阵通过证明矩阵中小矩阵的相似达到证明大矩阵相似的目的，为相似矩阵的证明提供了一种新的思路[7]．例4 如果方阵~A C ，方阵~B D ，则00~00A C B D ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.证明 因方阵~A C ,方阵~B D ，则11110000000000000000E A X E A XX X Y B E Y B Y E Y ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭11000CX AX D Y BY --⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 而1111111000000000000E E XE X X Y Y E Y E E -------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 00~00A C B D ⎛⎫⎛⎫∴ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭． 4分块矩阵在计算方面的应用4.1分块矩阵在行列式计算方面的应用在线性代数中，分块矩阵是一个重要的概念，它可以使矩阵的表示简单明了，使矩阵的运算得以简化，还可以利用分块矩阵来解决行列式的计算问题．事实上，利用分块矩阵来计算行列式时常会使行列式的计算变得简单，并能收到意想不到的效果．本节将给出利用分块矩阵计算行列式的几种方法．定理3[2] 设矩阵12*s A A H A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭或12*s A A H A ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭其中12,,,s A A A 均为方阵，则12s H A A A =．定理4[2] 设,A B 分别为m 与n 阶方阵．则： (1)当A 可逆时，有1A D A B CA D CB-=⋅-；(2)当B 可逆时，有1A D A DB C B CB-=-⋅．推论5 设,,,A B C D 分别是,,,m n n m m n ⨯⨯矩阵，则 （1）m E D B CD CB=-；（2）nA D A DC C E =-；（3）m m mE D E DC CE =-．证明 只需要在定理4的（1）中令m A E =，即可证得；在(2)令n B E =，即可证得；在(3)中令,m m A E B E ==，即可证得．例5 求2n 阶方阵()0a b a bH a b ab a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=≠⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭的行列式． 解 令,a b A B a b ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪==⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则A B H B A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，又0a ≠则0,A A ≠可逆，由定理4（1）可知1H A A BA B -=-，而12112a a b A BA B a a b ---⎛⎫-⎪-=⎪ ⎪-⎝⎭，由此可得()()()1121222,nnnnA BAB a a bH a a a bab----=-=-=-．例6 计算下列行列式（1）()012111100100,0,1,2,,1i na a a a i n a ≠=；（2）1231231000010000100001n na a a ab b b b c．解 （1）设A D H C B=，其中()0A a =，12n a a B a ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，()1,1,,1TC =，()1,1,,1D =，因为0,1,2,,i a i n ≠=，所以B 是可逆矩阵，则1011ni i A DB C a a -=⎛⎫-=- ⎪⎝⎭∑，从而由定理4中的（2）得112011nn i i A D H A DB C B a a a a CBa -=⎛⎫==-⋅=- ⎪⎝⎭∑． （2）设n E DH C B=，其中()()()1212,,,,,,,,Tn n B c C b b b D a a a ===．由于()()12121,,,,,,nTn n j i i CD b b b a a a a b ===∑，从推论5知1nn j i i E D H B CD c a b CB===-=-∑．行列式的计算是线性代数中的一个重要内容，利用分块矩阵，求解行列式时应具体问题具体对待，从而简化行列式的计算过程，达到快速解决问题的目的． 4.2分块矩阵在求逆矩阵方面的应用求分块矩阵的逆矩阵可以用伴随矩阵或初等变换的方法来解决，而此类方法对阶数较高的矩阵运算量比较大，对某些矩阵可以适当分块后再进行运算，可以起到事半功倍的作用．定理5[8]设A B H C D ⎛⎫= ⎪⎝⎭是一个四分块矩阵，其中B 为r 阶方阵，当B 与()1C DB A --都是可逆矩阵时，则H 是可逆矩阵，且()()()()11111111111111C DB A DB C DB A H B B A C DB A DB B A C DB A --------------⎛⎫--- ⎪= ⎪ ⎪+---⎝⎭，特别地 （1）当0,0A D ==，B 与C 都可逆时，有11100C HB---⎛⎫= ⎪⎝⎭；（2）当0,0A D =≠，B 与C 都可逆时，有111110C DB C HB -----⎛⎫-= ⎪⎝⎭； （3）当0,0A D ≠=，B 与C 都可逆时，有111110C HBB AC -----⎛⎫= ⎪-⎝⎭． 定理6[8] 设A B G CD ⎛⎫= ⎪⎝⎭是一个四分块矩阵，其中A •为r 阶矩阵，D 为k 阶矩阵，当A 与()1D CA B --都是可逆矩阵时，则G 是可逆矩阵，且()()()()11111111111111A AB D CA B CA A B D CA B G D CA B CA D CA B --------------⎛⎫+--- ⎪= ⎪ ⎪---⎝⎭，特别地 （1）当0,0B C ==，A •与D 都是可逆时，有11100A G D ---⎛⎫=⎪⎝⎭； （2）当0,0B C ≠=，A •与D 都是可逆时，有111110A A BD G D -----⎛⎫-= ⎪⎝⎭； （3）当0,0B C =≠，A •与D 都是可逆时，有111110A G D CAD -----⎛⎫= ⎪-⎝⎭． 例7 求矩阵3521214335400000200003400H ⎛⎫⎪⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎝⎭的逆矩阵．解 令4000035212,,020,001433503400A B C D ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则原矩阵A B H C D ⎛⎫= ⎪⎝⎭，由定理5中(3)知111110C HBB AC -----⎛⎫= ⎪-⎝⎭． 先求出矩阵,B C 的逆矩阵，从而得到111004521,0031231084B C --⎛⎫ ⎪⎪-⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭⎪ ⎪- ⎪⎝⎭， 则111111000041000023100084135271435331284C H BB AC -----⎛⎫⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎛⎫ ⎪==- ⎪⎪-⎝⎭ ⎪ ⎪----- ⎪⎪- ⎪⎝⎭．注：在用分块矩阵求逆矩阵时，常常针对几种特殊的情形，对一般矩阵而言，此种方法并没有多大的实用价值！相比较而言，初等变换更具优势．这启示我们要具体问题具体分析，培养求简的数学精神和实事求是的科学态度． 4.3分块矩阵在求解矩阵方程方面的应用设矩阵方程形如AXB C =，其中,A B 分别为,m n 阶可逆矩阵，求X ．我们容易知道解为：11X A CB --=，对此我们需要先求得11,A B --，再求得11A CB --．有时这样计算比较复杂，对此我们需要一个简便的方法[9]．由于AXB C =，同时取行列式可得AXB C =，即0C AXB -=，对此我们可以用分块矩阵的方法构建一个行列式，可得100000CAX BX -=•，其对应的矩阵为10000C A X B X -⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭•，经过广义的初等变换可得 111100000m m n nA CB E X E X X E X E X ----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即11X A CB --= 但此方法仍比较繁琐，对此我们需要对此进行简化，由初等变换我们知道矩阵10000C A X B X -⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭中的第二行和第二列以及1X -都对初等变换没有作用，可以说是多余的，去掉第二行和第二列，1X -的位置用0代替，这样我们得到了一个新的矩阵0CA B ⎛⎫⎪⎝⎭，在经过一系列初等变换得到110m nA CB E E --⎛⎫⎪⎝⎭，即：0m nX E E ⎛⎫⎪⎝⎭．由此我们就可以通过构造分块矩阵然后通过初等变换求得X ．例8 求解满足条件的X ．1112315110141432115X --⎛⎫⎛⎫-⎛⎫ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭．解 构造分块矩阵得：2311114110153211500014000--⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭620100516010********00014000-⎛⎫⎪- ⎪⎪−−−−−→-⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭一系列初等变换−−−−−→一系列初等变换410100490103120011000001000--⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，故41049312X --⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭． 4.4分块矩阵在求解非齐次线性方程组中的应用定理7 [10] 如果A 是一个n 阶非奇异矩阵()(),,1,2,,ij A a i j n ==，将A 进行分块，11122122AA A A A ⎛⎫= ⎪⎝⎭其中11122122,,,A A A A 分别是,,,k k k m m k m m ⨯⨯⨯⨯矩阵，若22A 是非奇异方阵，那么一定存在一个上三角分块矩阵112220km I A A M I -⎛⎫-=⎪⎝⎭，使得21220C MA A A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中111122221C A A A A -=-，且C 是非奇异阵． 对于该结论用来解决n 个方程的非齐次线性议程组是比较方便的．设非齐次线性方程组为11112211211222221122+++n n n n n n nn n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b ++=⎧⎪++=⎪⎨⎪⎪++=⎩，该方程组可写成矩阵方程AX B =．其中A 为系数矩阵，11,n n x b X B x b ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若0A ≠，则该方程组有唯一定解．现将矩阵A 分块，11122122AA A A A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，并注意使220A ≠，同时将X 及B 进行分块，令1122,X B X B X B ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1B 行数等于1112,A A 行数，2B 行数等于2122,A A 行数，则矩阵的方程可改成111211212222A A X B A A X B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，两边同时左乘上三角分块矩11222km I A A M I -⎛⎫-= ⎪⎝⎭，有11112222122220C X B A A A A X B -⎛⎫-⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，其中111122221C A A A A -=-，且C 是非奇异阵．从而得到矩阵方程组11112222112222CX B A A A X A X B -⎧=-⎨+=⎩，解方程组可知12X X X ⎛⎫= ⎪⎝⎭．例9 求解方程组1234512345123451234512345224123428323434222233x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +-+-=-⎧⎪-+-+=⎪⎪+-+-=⎨⎪+++-=-⎪⎪--+-=-⎩．解 将方程写成矩阵方程并进行分块，从而得到：111211212222AA XB A A X B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，这里，1112,21A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭ 12241342A --⎛⎫= ⎪-⎝⎭2131,4311A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭22121,422123A --⎛⎫⎪= ⎪⎪--⎝⎭． 首先求出22A 的逆矩阵12211325101112101011022A -⎛⎫- ⎪ ⎪⎪=- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭，则11222510225132510A A -⎛⎫- ⎪-= ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭，在方程AX B =两端同时乘以112220km IA A M I -⎛⎫-= ⎪⎝⎭，从而得到12345610001042684000555311213434222111233x x x x x ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪-- ⎪⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭----⎝⎭⎝⎭，解矩阵方程可得12414x x ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，3454713x x x -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 则所求方程组的解为123454144713x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．结束语本文主要是对分块矩阵在计算和证明中的应用，通过概念的介绍以及实例的说明，让人对分块矩阵这一工具的实用价值有所认识和了解，它既是一种解题的方法又是一种技巧．但它的应用并不仅仅是所举的几个方面，它还有更宽广的应用还有待于我们去深入的研究与探索．参考文献[1]张禾瑞,郝炳新.高等代数(第四版)[M].北京:人民教育出版社,1995:199-208.[2]北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数[M].北京:人民教育出版社,1978:91-99,177-181.[3]林谨瑜.分块矩阵的若干性质及其应用[J].广东广播电视大学学报,2006,(02):109-112.[4]王秀芳.分块矩阵的应用讨论[J].连云港师范高等专科学校学报,2008,(09):97-99.[5]杨子胥.用分块矩阵证明秩的一些性质[J].数学通报,1985,(03):74-76.[6]张锦来.分块矩阵及其应用[J].湖州师范学院学报,2008,(02):116-118.[7]祁秋菊.分块矩阵的相关应用[J].高校理科研究,2008,(03):26-27.[8]徐天保.分块矩阵的应用[J].安庆师范学院学报,2010,(05):106-109.[9]刘红超.分块矩阵在两类矩阵问题中的应用[J].株洲师范高等专科学校学报,2005,(10):37-41.[10]胡景明.分块矩阵在求高阶行列式中的应用[J].河北工程技术高等专科学校学报,2004,(04):50-53.。
分块矩阵初等行变换求秩的不等式
在数学中，分块矩阵初等行变换求秩的不等式是一个重要的概念。
通过对分块矩阵进行初等行变换，我们可以得到一个新的矩阵，并通过对这个新矩阵进行求秩，得到一些重要的不等式关系。
接下来，我将会详细探讨这一主题，并按照从简到繁的方式进行解释。
一、分块矩阵的定义让我们回顾一下分块矩阵的定义。
一个分块矩阵是由若干个子矩阵组成的大矩阵。
通常情况下，这些子矩阵可以是任意大小的矩阵，它们之间通过分块符号进行分割。
一个分块矩阵可以表示为：\[ A = \begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22}\end{bmatrix} \]其中 \(A_{11}\)、\(A_{12}\)、\(A_{21}\)、\(A_{22}\) 分别是子矩阵。
这种表示方法在矩阵分析和线性代数中经常被使用，特别是在矩阵的运算和性质分析中。
二、分块矩阵初等行变换接下来，让我们来探讨分块矩阵的初等行变换。
我们知道，在矩阵的运算中，初等行变换是一种通过交换行、数乘行、行加减倍数行来改变矩阵的运算方法。
对于分块矩阵，我们可以运用相似的方法进行初等行变换。
对于一个分块矩阵：\[ A = \begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22}\end{bmatrix} \]我们可以对其中的子矩阵 \(A_{11}\)、\(A_{12}\)、\(A_{21}\)、\(A_{22}\) 分别进行初等行变换，如交换行、数乘行、行加减倍数行等操作。
通过这些初等行变换，我们可以得到一个经过变换的新矩阵。
三、求秩的不等式关系有了经过初等行变换的新矩阵，我们可以通过对其进行求秩来得到一些不等式关系。
根据矩阵求秩的性质，我们可以得到如下的不等式关系：\[ rank(A) + rank(B) - n \leq rank \begin{pmatrix} A & B\end{pmatrix} \leq rank(A) + rank(B) \]其中，\(rank(A)\) 和 \(rank(B)\) 分别表示矩阵 \(A\) 和 \(B\) 的秩，\(n\) 表示矩阵的列数。
分块矩阵的若干应用
分块矩阵的若干应用摘要：本文归纳了分块矩阵的一些应用,这些应用主要涉及到用分块矩阵计算行列式,求解逆矩阵,解线性方程组以及证明矩阵秩的不等式.关键词：分块矩阵，行列式，可逆矩阵，线性方程组，秩Abstract: This article summarizes the number of block matrix applications mainly related to the use of block matrix determinant calculation, solving the inverse matrix, solution of linear equations, as well as proof of the inequality rank matrix.Key words: block matrix,determinant,invertible matrix,linear equations,rank目录1 引言 (4)2 分块矩阵的应用 (4)2.1 利用分块矩阵求n阶行列式 (4)2.2 利用分块矩阵求矩阵的逆 (6)2.3 利用分块矩阵解非齐次线性方程组 (10)2.4 利用分块矩阵证明矩阵的秩的性质 (11)结论 (13)参考文献 (14)致谢 (15)1 引言矩阵的分块是处理级数较高的矩阵时常用的方法.有时候,我们把一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成的,就如矩阵是由数组成的一样.特别是在运算中,把这些小矩阵当作数一样来处理,这就是所谓矩阵的分块[]1.分块矩阵是矩阵论中重要内容之一.在线性代数中,分块矩阵也是一个十分重要的概念,它可以使矩阵的表示简单明了,使矩阵的运算得以简化,而且还可以利用分块矩阵解决某些行列式的计算问题.事实上,利用分块矩阵方法计算行列式,时常会使行列式的计算变得简单,并能收到意想不到的效果.矩阵是一种新的运算对象,我们应该充分注意矩阵运算的一些特殊规律.为了研究问题的需要,适当对矩阵进行分块,把一个大矩阵看成是由一些小矩阵为元素组成的,这样可使矩阵的结构看的更清楚.运用矩阵分块的思想,可使解题更简洁,思路更开阔,在教学中有着非常广泛的应用,一些复杂的问题,经分块矩阵处理就显得非常简单.而在高等代数和线性代数教材中,这部分内容比较少,本文归纳并讨论了分块矩阵在行列式,矩阵的逆及解非齐次线性方程组等方面的一些应用.2 分块矩阵的应用行列式的计算是一个重要的问题,也是一个很麻烦的问题.n 级行列式一共有!n 项,计算它就需要做()!1n n -个乘法.当n 较大时,!n 是一个相当大的数字,直接从定义来计算行列式几乎是不可能的事,因此我们有必要进一步讨论解行列式的方法.利用分块矩阵的方法]2[求行列式的值是行列式求值常用的方法.但通常教材中介绍的方法,多数为计算特殊形式的行列式,本文将在教材的基础上给出另外一些行列式的分块矩阵的解法.2.1 利用分块矩阵求n 阶行列式各高等代数教材主要介绍了用定义,性质,展开定理计算n 阶行列式.常用的技巧有递推法,加边法等.但有些行列式计算起来仍很麻烦,下面给出运用分块矩阵计算n 级行列式的一种方法,该方法使n 阶行列式的求值更加简便易行.本文我们主要以⨯22分块矩阵为例. 命题1 设n 阶行列式W 分块为A B W C D ⎛⎫=⎪⎝⎭,则 （1） 当A 为r 阶可逆矩阵时, 1A B W A D C A BCD-==-;（2） 当D 为n r -阶可逆矩阵时,1A B W D A BD CCD-==-.证明（1）由1100rrn r n r E A B E A B C AE CD E ----⎛⎫-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭=10A D C A B -⎛⎫⎪-⎝⎭, 得1A B W A D C A BCD-==-.（2）由1100rrn r n rE A B EB D D CE CD E ----⎛⎫-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭=100A B D C D -⎛⎫- ⎪⎝⎭, 得1A B W D A BD C CD-==-.推论1 设,,A B C 都是n 阶方阵,且可逆,则A B A DD=,()210nA B B CC=-.推论2 设,A B 都是n 阶方阵,则有A B A B A BB A=+-.证明A B A B B BAB AA-=-0A B B A B A BA B-==+-+.推论3 设,,,A B C D 都是n 阶方阵,则当AC CA =时,有AB ADC BCD=-,当D B B D =时,有A B D A BC CD =-.例1 计算行列式na ca ca cb b b a P0000321=,其中n i a i ,,3,2,0 =≠.解 设()1a A =,()b b b =B ,()'c c cC=,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n a a a D0000032 .则032≠=n a a a D ,故D 为可逆矩阵,且⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=----11312100000n a a a D, 得A B P CD=1D A B D C -=-()()[]11312132---+++-=n n a a a bc a a a a .注 这里并不需要10a ≠的条件.在使用定理来计算阶行列式时,关键是对矩阵进行分块,构造出可逆矩阵A 或D .例2求矩阵1111111111111111A ⎛⎫ ⎪-- ⎪= ⎪-- ⎪--⎝⎭的行列式. 解 设1111B ⎛⎫=⎪-⎝⎭,则BB A B B ⎛⎫= ⎪-⎝⎭,且20B =-≠,故B 可逆.得 B BA BB=-02B B B=-()22B B =-=16.当我们看到这道题时,首先想到的是消去法,用这种方法解级数较高的矩阵计算量很大.但当我们观察到矩阵是有若干相同的矩阵构成时,用分块矩阵的方法是很简单的.例3 计算行列式00000000a b a b D b a ba=.解 设00a A a ⎛⎫=⎪⎝⎭,00b B b ⎛⎫= ⎪⎝⎭. 得A B D BA=A B A B =+-()()2222b a b a b ab aab ab-==---()222b a=-.这道题看似简单,但是如果方法选择不当,做起来并不简单.这里对矩阵进行分块,大大降低了计算量.在利用分块矩阵计算阶行列式时,需要根据具体情况把原行列式的元素组成的矩阵分成若干项,它需要学生具有较强的观察能力,这种方法特别能锻炼学生的思维,提高学生分析问题和解决问题的能力,增强其探究意识.2.2 利用分块矩阵求矩阵的逆n 阶可逆矩阵的逆矩阵求解普遍采取初等变换的方法.除此之外,用分块矩阵来求逆矩阵也是很简单的方法.命题1]3[ 00A B ⎛⎫⎪⎝⎭是一个分块矩阵,其中,A B 分别是n 阶可逆矩阵,则00A B ⎛⎫⎪⎝⎭的逆矩阵为1100B A--⎛⎫ ⎪⎝⎭.证明由11000000000000n n nn nnA E BE E BBE AE E A--⎛⎫⎛⎫⎛⎫→→ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭得100A B-⎛⎫ ⎪⎝⎭=1100B A--⎛⎫ ⎪⎝⎭.推论 1 00C D ⎛⎫⎪⎝⎭是一个分块矩阵,其中,C D 分别是n 阶可逆矩阵,则100C D -⎛⎫ ⎪⎝⎭=1100C D --⎛⎫⎪⎝⎭. 命题 2 0A B D ⎛⎫⎪⎝⎭是一个分块矩阵, 其中D B A ,,分别是n 阶可逆矩阵,则1A B D -⎛⎫ ⎪⎝⎭=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----11110D BDA A . 证明由111110000n n nn nnA B E AE B D E AA B DDE DE E B-----⎛⎫⎛⎫--⎛⎫→→ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,得1A B D -⎛⎫ ⎪⎝⎭=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----11110DBDA A . 推论 2 0AB TC ⎛⎫=⎪⎝⎭是一个分块矩阵,其中C B A ,,分别是n 阶可逆矩阵,则111110CTBB AC -----⎛⎫= ⎪-⎝⎭. 推论 30A T C D ⎛⎫=⎪⎝⎭是一个分块矩阵,其中D C A ,,分别是n 阶可逆矩阵,则⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-----111110D CA D A T.推论 4 0B T C D ⎛⎫=⎪⎝⎭是一个分块矩阵,其中D C B ,,分别是n 阶可逆矩阵,则111110C D B CTB -----⎛⎫-= ⎪⎝⎭. 例4已知⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-00000011nn a a a T ,求1T -. 解令⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-12100000n a a a D,则00nD T a ⎛⎫= ⎪⎝⎭,得 11100n a T D---⎛⎫=⎪⎝⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=----00000011111n n a a a. 例5已知201302240010001A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭,求1A -．解设2002B ⎛⎫=⎪⎝⎭,1324C ⎛⎫= ⎪⎝⎭,1001D -⎛⎫= ⎪-⎝⎭, 则0BC AD ⎛⎫=⎪⎝⎭,且1102102B -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,11001D --⎛⎫= ⎪-⎝⎭, 11132212B C D --⎛⎫ ⎪-= ⎪⎝⎭, 所以111111130222101220001001B B C D AD -----⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫-⎪== ⎪ ⎪⎝⎭⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭． 求矩阵的逆可以用伴随矩阵,初等变换等方法来解决,而这些方法对级数较高的矩阵运算量较大,对某此矩阵进行适当的分块再进行运算,可起到事半功倍的作用.定理3 2n阶方阵A BTC D⎛⎫= ⎪⎝⎭,其中,,,A B C D分别是n n⨯阶矩阵,则有（1）当A可逆时,则11111111 111111()()()()A AB DC A B C A A BD C A BTD C A B C A D C A B--------------⎛⎫+---= ⎪---⎝⎭;（2）当B可逆时,则1111 111111111()()()()C D B A D B C D B ATB B ACD B A D B B A C D B A-------------⎛⎫---= ⎪+---⎝⎭;（3）当C可逆时,则11111111 111111()()()()C D B A C D C C D B A C D A CTB ACD B A C D A C--------------⎛⎫--+-= ⎪---⎝⎭;（4）当D可逆时,则11111 111111111()()()()A B D C A B D C B DTD C A B D C D D C A B D C B D--------------⎛⎫---= ⎪--+-⎝⎭.证明（1）由题意可知分块矩阵A BTC D⎛⎫= ⎪⎝⎭可逆,且方阵A可逆.因为11nnA B AE A BC D C D C A BE--⎛⎫-⎛⎫⎛⎫=⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭,且上式的右端仍可逆,故11()D C A B---存在.由定理2的推论2知11111111 00()()A AC D C A B D C A B C A D C A B--------⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭,所以有11A BTC D--⎛⎫= ⎪⎝⎭1110nnAE A BE C D C A B---⎛⎫⎛⎫-= ⎪⎪⎪-⎝⎭⎝⎭11111110()()nnE A B AE D C A B C A D C A D-------⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭111111111111()()()()A AB DC A B C A A BD C A BD C A B C A D C A B-------------⎛⎫+---= ⎪---⎝⎭.例6 求矩阵a b a bc d c dTa b a bc d c d⎛⎫⎪--⎪=⎪--⎪--⎝⎭的逆矩阵,其中0ad bc+≠.解设a bHc d⎛⎫= ⎪-⎝⎭,则H HTH H⎛⎫= ⎪-⎝⎭.又有001102022HH E H H E HH E HHE HEE HE E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪→→→ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭1102211022H E E HEE ⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭11111102211022E H HEHH ----⎛⎫⎪⎪ ⎪- ⎪⎝⎭,故1111112HHT HH -----⎛⎫= ⎪-⎝⎭. 由11d b H ca ad bc ---⎛⎫=⎪---⎝⎭,得112()d b d b c a c a T db d b ad bc ca ca -----⎛⎫ ⎪-- ⎪=⎪---+ ⎪--⎝⎭.有些矩阵阶数较高,而且形如:100A TB ⎛⎫=⎪⎝⎭,200C T D⎛⎫= ⎪⎝⎭,11121220A M A A ⎛⎫=⎪⎝⎭,11122220A A MA ⎛⎫= ⎪⎝⎭,11123210A A M A ⎛⎫= ⎪⎝⎭,12421220A M A A ⎛⎫= ⎪⎝⎭的分块矩阵,用分块矩阵来求逆较方便,可简化计算.2.3 利用分块矩阵解非齐次线性方程组设非齐次线性方程组为11112211211222221122,,,n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩（1）,将（1）式写成矩阵方程[4]为A X B=,其中A 为系数矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nn n n n n a a a a a a a a a212222111211,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nx x X1,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nb b B1.若A 是非奇异阵,即0A ≠,则方程组有唯一确定的解.将矩阵A 分块,得11122122A A A A A ⎛⎫=⎪⎝⎭,且22A 是非奇异矩阵.同时将X及B 进行相应的分块,令12X X X ⎛⎫= ⎪⎝⎭,12B B B ⎛⎫= ⎪⎝⎭,11,X B 的行数等于11A 的行数,22,X B 的行数等于21A 的行数.则（1）可写成111211212222A A X B A A X B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）,将（2）式两端分别左乘上三角分块矩阵11222kmE A A M E -⎛⎫-=⎪⎝⎭,其中,K M 分别为112,A A的行数,则得()111112222111122222112222,.A A A A XB A A B A X A X B --⎧-=-⎪⎨+=⎪⎩由于()111122221AAA A --的逆矩阵存在,故()()111111122221112222X A A A A BA AB ---=--.再将1X 代入21122A X A X B+=,得()12222211X A B A X -=-,由此得12X X X ⎛⎫= ⎪⎝⎭.例7 求解方程组123451234512345123452241,23428,323,434222,23 3.x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +-+-=-⎧⎪-+-+=⎪⎪+-+-=⎨⎪+++-=-⎪⎪--+-=-⎩ 解 将方程写成矩阵方程的形式,并进行分块.令11122213311A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭, 12414221A -⎛⎫⎪=- ⎪⎪-⎝⎭, 21434111A ⎛⎫= ⎪--⎝⎭, 222223A -⎛⎫= ⎪-⎝⎭, 1183B -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 223B -⎛⎫=⎪-⎝⎭, 得111211212222A A X B A A X B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 且易得11112055111710210111222A -⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭,12221111237625A A A A --⎛⎫⎪-= ⎪- ⎪⎝⎭,()112221111233526525152652A A A A --⎛⎫- ⎪-= ⎪ ⎪-⎪⎝⎭,()()111222211112221111X A A A A BA AB ---=--13⎛⎫= ⎪⎝⎭,()11111122220X A B A X -⎛⎫⎪=-=- ⎪ ⎪⎝⎭,即得原方程组有唯一解123452,2,01,3x x x x x ==-===.我们看到,采用分块矩阵解法后,非齐次线性方程组的解向量的求得、基础解系的构成以及通解的表示都显得更加直观,解题步骤更加简练,从而有利于学生从更高起点去理解线性方程组的结构及存在性,也有利于加深对矩阵理论及其应用的认识.2.4 利用分块矩阵证明矩阵的秩的性质关于矩阵的秩的一些性质的证明,一般有联系到齐次线性方程组的基础解系来证明的,有用矩阵的初等变换或高阶矩阵来证明.下面我们将充分利用分块矩阵来证明这些性质.这种方法带有一定的技能性,但并不难掌握.特别的是这种证法与其他方法比较,不仅证明本身显得非常简洁,而且也很统一,具有较大的优越性.定理1 设,,A B C 是n 阶矩阵,则()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛≤+B CAB A 0秩秩秩. 证明[5] 设秩()r A =,秩()s B =,则⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛−−−−−→−⎪⎪⎭⎫⎝⎛00000000000000000000000000000432143214321C C C E C E C C E C C E C C E C C E B CA s rs r s r 经过若干初等变换 所以()()B A s r B C A 秩秩秩+=+≤⎪⎪⎭⎫⎝⎛0. 易见,当0=C 时,等号成立,即()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+B AB A 00秩秩秩. 定理2 设A 是m n ⨯矩阵, B 是n p ⨯矩阵.若0=AB ,则有()()n B A ≤+秩秩. 证明()()n E B E B E AB B E AB AB A n n n n =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+00000000秩秩秩秩秩秩秩.定理3 设B A ,分别是s n ⨯,n m ⨯阶矩阵,则()()()AB n B A 秩秩秩+≤+.证明 对矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛0AB E n 进行广义初等变换, ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎭⎫⎝⎛AB E AB BE A B E nnn 0000 则()()()AB n AB E AB BE A B E n nn 秩秩秩秩秩+=-+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛00. 而()()B A AB E n 秩秩秩+≥⎪⎪⎭⎫⎝⎛0,所以()()()AB n B A 秩秩秩+≤+. 综上可知,利用分块矩阵来证明矩阵秩的不等式,思路清晰流畅,充分展示了分块矩阵的优越性,因此是一种值得重视的好方法.结论矩阵是高等代数中的一个重要内容,也是高等数学的很多分支研究问题的工具.有时,为了研究问题的需要,适当地对矩阵进行分块,把一个大矩阵看成是由一些小矩阵块为元素组成的,这样可以使矩阵的结构看的更清楚,使大量的高等代数的习题变得容易.分块矩阵是矩阵的一种推广,一般矩阵的元素是数量,而分块矩阵的元素可以是数量,也可以是矩阵.分块矩阵的引进使得矩阵这一工具的使用更加便利,解决问题的作用更强有力,其应用也就更广泛.本文主要研究分块矩阵在计算行列式、求矩阵的秩、求可逆矩阵的逆矩阵、证明矩阵的秩的一些性质等方面的应用.本文是对分块矩阵几个应用方面的说明及例子,可以让人对分块矩阵这一工具的实用价值的有所认识和了解,它既是一种解题的方法又是一种解题技巧,但它的应用并不仅仅是所列举的几个方面,它还有更宽更广的应用还有待于我们去深入的探索与深究.参考文献[1] 王萼芳,石生明.高等代数[M].北京:高等教育出版社,2003:46-47.[2] 廖军.分块矩阵求n阶行列式的值[J].文山师范高等专科学校学报,2004,17(2):164-168.[3] 王丽霞.逆矩阵的几种求法[J].雁北师范学报,2007,23(2):82-84.[4] 刘红旭.利用分块矩阵解非齐次线性方程组[J].辽宁师专学报,2003,5(2):9-10.[5] 常训.用分块矩阵证明矩阵秩的不等式[J].菏泽师专学报,1995,2(2):7-11.致谢本学位论文是在我的指导老师何梅老师的亲切关怀和悉心指导下完成的,在这里请接受我诚挚的谢意！。
(完整版)分块矩阵及其应用汇总,推荐文档
分块矩阵及其应用徐健,数学计算机科学学院摘要：在高等代数中，分块矩阵是矩阵内容的推广. 一般矩阵元素是数量，而分块矩阵则是将大矩阵分割成小矩形矩阵，它的元素是每个矩阵块.分块矩阵的引进使得矩阵工具的利用更加便利，解决相关问题更加强有力，所以其应用也更广泛. 本文主要研究分块矩阵及其应用，主要应用于计算行列式、解决线性方程组、求矩阵的逆、证明与矩阵秩有关的定理.关键词：分块矩阵；行列式；方程组；矩阵的秩On Block Matrixes and its ApplicationsXu Jian, School of Mathematics and Computer ScienceAbstract In the higher algebra, block matrix is a generalization of matrix content.In general, matrix elements are numbers. However, the block matrix is a large matrix which is divided into some small rectangular matricies, whose elements are matrix blocks. The introduction of the block matrix makes it more convenient to use matrix, and more powerful to solve relevant problems. So the application of the block matrix is much wider. This paper mainly studies the block matrix and its application in the calculation of determinant, such as solving linear equations, calculating inverse matrix, proving theorem related to the rank of matrix , etc.Keywords Block matrix; Determinant; System of equations; Rank of a matrix11 ⎪1 引 言我们在高等代数中接触到矩阵后，学习了矩阵的相关性质，但是对于一些复杂高阶矩阵，我们希望能将问题简化. 考虑将矩阵分割为若干块，并将矩阵的部分性质平移至分块矩阵中，这样的处理往往会使问题简化.定义 1.1 [1] 分块矩阵是把一个大矩阵分割成若干“矩阵的矩阵”，如把 m ⨯ n 矩阵分割为如下形式的矩阵：⎛A 11A ⎫ 1n ⎪A m ⨯n = ⎪A m 1 A m n特别地，对于单位矩阵分块：⎝ ⎭ ⎛E 0 0 ⎫ ⎪ E n ⨯n = 0 0 0 ⎪ 0 E ⎝n n ⎭ 显然，这里我们认识的矩阵元素不再局限于数字，而是一个整体，这里的A 所代表的是大矩阵囊括的小矩阵，而小矩阵一般是我们熟知的常见矩阵.ij依照以上设想，有关矩阵性质的一些问题,我们可以考虑用分块矩阵的思路来解决.2.1 矩阵的相关概念2 分块矩阵在矩阵的学习中，我们学过一些最基本的概念，比如矩阵的行列式、矩阵 的秩、矩阵的逆、初等变换、初等矩阵等等.事实上，我们发现：分块后的矩阵同样用到这些概念.a 11 定义 2.1.1[2]n 级行列式a 21a 12 a 22 a 1n a 2n等于所有取自不同行不同列的a n 1 a n 2a nn 个元素的乘积a 1j a 2ja n j的代数和，这一定义又可写成:12na 11 a 21 a 12a 22a 1na 2n =(-1) (j 1j 2 j n )a aa .a n 1 a n 2a n∑j 1j 2 j n1j 1 2j 2n j n[2]定义 2.1.2向量组的极大无关组所含向量的个数称为这个向量组的的秩.所O I ⎪ ⎪ ⎪1谓矩阵的行秩就是指矩阵的行向量组的秩；矩阵的列秩就是矩阵列向量组的秩. 定义 2.1.3 [2] n 级方阵称为可逆的，如果有n 级方阵 B ，使得A B = A -1 .BA = E （这里 E 是n 级单位矩阵），那么B 就称为 A 的逆矩阵，记为定义 2.1.4 [3] 对分块矩阵施行下列三种初等变换： (1) 互换分块矩阵的某两行(列)；(2) 用一个非奇异阵左（右）乘分块矩阵的某一行(列)；(3) 用一个非零阵左(右)乘分块矩阵的某一行(列)加至另一行(列)上， 分别称上述三种初等行(列)变换为分块矩阵的初等行(列)变换. 定义 2.1.5 [3] m + n 2 ⨯ 2 ⎛I m O ⎫对 阶单位矩阵作 分块，即I m +n = O I ⎪ ，然后⎝ n ⎭对其作相应的初等变换所得到的矩阵称为分块初等矩阵. 分块矩阵具有以下形式：(1) 分块初等对换阵⎛I n O ；⎫ ⎝ m ⎭⎛P O ⎫ ⎛I m O ⎫(2) 分块初等倍乘阵 0 I ⎪ ， ⎪ ；⎝ n ⎭ (3) 分块初等倍加阵⎛I m R 1 ⎫ O I ⎝ 0 Q ⎭ ，⎛I m O ⎫ ； S I ⎝ n ⎭ ⎝ n ⎭其中 P , Q 分别是m 阶和n 阶可逆方阵，且R ∈ R m ⨯n ，S ∈ R n ⨯m为非零阵.2.2 矩阵的运算性质矩阵的运算包括加法、乘法、数乘，这里主要讨论矩阵的运算性质： 定义 2.2.1 [4] 矩阵加法：设A = (a ) ， B = (b ) 是两个同型矩阵，ij snij sn则矩阵C = (c i j )= (a i j+ b i j )称为 A 和 B 的和，记为C = A + B .元素全为零的矩阵称为零矩阵，记为O s n ，可简单记为O,对于矩阵 A 、 B ，有:(1) A + O = A(2) A + ( -A ) = 0(3) A - B = A + ( -B )(4) ( A + B ) + C = A + ( B + C )snsnn11 (5)A + B = 定义 2.2.2 [4] B + A矩阵乘法：设A = (a ) ，B = (b ) 是两个不同型矩阵，i k s nk j n m那么矩阵C = A B =(c i j )，称为矩阵 A 与 B 的乘积，其中：smc i j = a i 1b 1j + a i 2b 2j+ a i n b n j= ∑a i k b k jk =1在乘积的定义中，我们要求第二个矩阵行数和第一个矩阵列数相等.特别地，矩阵的乘法和加法满足以下性质：(1) A ( B + C ) = A B + A C(2) ( B + C )A = B A + C A(3) (A B )D =A (B D )⎛k a 11 k a 1k a 1 ⎫定义 2.2.3 [4] 矩阵数乘： k a 21k ak a 2n ⎪ ⎪A = (a ) 与 数 22 ⎪称为矩阵 ⎪⎪ ij sn k a k a k a ⎝ s 1 s 2 s n ⎭k 的数量乘积，记为kA ，有以下性质：(1) 1 * A = A ；(2) k(l A ) = (k l )A ;(3) k ( A + B )= kA + kB ;(4) (k + l )A = kA +lA ; (5) k (A + B ) = kA +kB .2.3 分块矩阵的初等变换性质我们对于分块矩阵，也有其运算性质：设 A 、 B 是m ⨯ n 矩阵，若对它们有相同的划分，也就有：⎛A 11 + B A 1t + B 1t ⎫ ⎪ 加法：A + B = ⎪ . ⎪ A + B A + B ⎪ ⎝ s 1 s 1 st st ⎭乘法：C = A B , 其中：∑ ⎪ 1 C i j = A i 1B 1j + A i 2B 2j+ + A i n B n j⎛k A 11k A 1 ⎫⎪ n= A i k B k j .k =1数乘：k A =⎪ .⎪ k Ak A⎝s 1 s t ⎭总结了矩阵的运算性质，我们主要看看分块矩阵初等变换性质：定义 2.3.1 [2] 由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵. 初等矩阵都是方阵，包括以下三种变换：(1) 互换矩阵 E 的i 行与 j 行的位置; (2) 用数域 P 中的非零数c 乘 E 的i 行; (3) 把矩阵 E 的 j 行的k 倍加到i 行.定义 2.3.2 [5] 将单位矩阵分块，并施行如下三种变换中的一种变换而得到的方阵称为分块初等矩阵:(1) 对调两块同阶的块所在的行或列; (2) 某一块乘以同阶的满秩方阵;(3) 某一块乘以一个矩阵后加到另一行上(假定这种运算可以进行).如：我们对分块矩阵⎛ A B ⎫进行相应变换，只要应用矩阵的计算性质，左乘对⎝C D ⎭ 应分块矩阵： ⎛ O E m ⎫ ⎛ A B ⎫ ⎪⎪⎛C D ⎫ ⎪ ⎝E n O ⎭ ⎝C D ⎭⎝ A B ⎭ ⎛P O ⎫ ⎛ A B ⎫ ⎛P A = P B ⎫ O E ⎪C D ⎪ ⎪⎝ n ⎭ ⎝⎭ ⎝ C D ⎭ ⎛E m O ⎫ ⎛ A B ⎫ ⎛ = A B⎫P E ⎪C D ⎪ ⎪C + P AD + P B⎝ n ⎭ ⎝⎭ ⎝ ⎭2.4 矩阵的分块技巧对矩阵的分块不是唯一的，我们往往根据问题的不同进行不同的分块，分块的合适与否，都对问题的解决至关重要，最常见的有四种分块方法[6] ：(1) 列向量分法，即A =(1,⎛ ⎫ ⎪, n )，其中j 为 A 的列向量.(2) 行向量分法，即A = ⎪ ，其中j 为 A 的行向量.⎪ ⎝ m ⎭=1⎪ (3)分两块，即A = (A 1, A 2 ),其中A 1 ,A 2 分别为A 的各若干列作成.或 A = ⎛B ⎫ ，其中B ，B 分别为 A 的若干行作成. B ⎪1 2 ⎝ 2 ⎭⎛C 1 C 2 ⎫(4) 分四块，即A =C C ⎪ .⎝ 3 4 ⎭我们在进行分块时，希望分割的矩阵块尽可能是我们所熟悉的简单矩阵，于是，我们有必要熟悉一些常见的矩阵.2.5 常见的矩阵块我们把高等代数中学习过的一些常见矩阵总结如下： （1） 单位矩阵：对角线元素都为1，其余元素为0 的n 阶方阵. （2） 对角矩阵：对角线之外的元素都为0 的n 阶方阵. （3） 三角矩阵：对角线以上（或以下）元素全为0 的n 阶方阵. （4） 对称矩阵：满足矩阵 A 的转置和 A 相等. （5） 若尔丹（Jordan ）块：形如⎛ 0 1 0 0 ⎫ 0 ⎪J ( ,t ) ⎪= ⎪0 0 ⎪ 0 0 0 1 ⎝ ⎭（6） 若尔丹形矩阵：由若干个若尔丹块组成的准对角矩阵, 其一般形状形如：⎛A 1 ⎫⎪ A 2⎪ ⎪ ⎪A ⎪ ⎝n ⎭在复杂矩阵中，找到这些矩阵块，会使计算简化.3.1 行列式计算的应用3 分块矩阵及其应用定理 3.1.1 [2] 拉普拉斯（Laplace ）定理:设在行列式 D 中任意取定了k 个 行.由这k 行元素所组成的一切k 级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式 D .事实上，行列式计算中的拉普拉斯定理就包括了矩阵分块的思想，它通过取k 级子式的方法，提取出矩阵内的矩阵块. 然而，在行列式计算中，行列式a ⎪ a 按行或列的展开更为常用. 这里，我们最常用到的是取列向量分块和行向量分块.例 3.1.1 [7] ：（爪形行列式）计算行列式：a 01 1 1 1 a 10 0 1 0 a 2 0 ,其中a i ≠ 0(i = 1, 2, , n ) .1 0 0 a n解:设Q =A D ,其中A = (a )C B a 1 B =，C = ( 1, 1, , 1)T ，D = ( 1, 1, , 1) .a n因为a i ≠ 0(i = 1, 2, , n ) ，所以 B 是可逆矩阵.-1⎛n 1 ⎫又易知: A - D B C = a 0 - ∑ ⎪ . ⎝ i =1 i ⎭根据分块矩阵乘法： ⎛ E0 ⎫ ⎛ A D ⎫ --1 ⎪ ⎪= ⎛A D ⎫-1 ⎝ C A E ⎭ ⎝C B ⎭ ⎝ 0 B - C A D ⎭A D -1 -1 ⎛ n 1 ⎫则：= AB - C A D =B A - D BC = a a a a-∑ a ⎪C B⎛n 1 ⎫ 12n 0⎝i =1 i ⎭故：原行列式=a 1a 2 a n a 0 - ∑ ⎪ . ⎝ i =1 i ⎭例 3.1.2 [7] ：(对角行列式)计算行列式：adH 2n= a d.c bcb解：令⎪ a x A =⎛a ⎫⎪ ，B = ⎛b ⎫⎪ ，C = ⎛ c ⎫ ⎛ ，D = d ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ a ⎪ b ⎪ c ⎪ d ⎪ ⎝ ⎭ 为n 阶方阵. 由于a ≠ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ 0,故 A 为可逆方阵.⎛ b - c a -1d⎫⎪ 又易知：B - C A -1D =⎝ b - c a -1d ⎪ b - -1 ⎪ ca d ⎭故 H 2n= A D = C BAB - C A -1D = a n (b - c a -1d )n= (a b - c d )n .例 3.1.3 [8] ：设 A 、 B 、C 、 D 都是n 阶矩阵，证明当 AC = CA 时， A 可逆时，有A D= A B - C DC B⎛ A D ⎫ ⎛E -A 1D-⎛ A 0 ⎪ ⎫,证明：若 A 可逆，⎪ ⎪ =-1 ⎝C B ⎭ ⎝OE ⎭ ⎝C B - C A D ⎭A D故：=C BAB - C A -1D = A B - A C A-1D = A B - C D .注意到，这里计算分块矩阵行列式和计算一般数字矩阵行列式有所区别，不是简单的a d c b= a b - c d ，其矩阵块限制条件有所加强. 所以本例告诉我们，在矩阵分块以后，并非所有一般矩阵性质都可以应用到分块矩阵中.3.2 线性方程组的应用对于线性方程组，我们有以下四种表述： （1） 标准型：⎧a 11x 1 + a 12x 2+ + ax = b ⎪ 1nn 1⎨ax + ax + + a x = b ; ⎪a 21 x 1+ 22 2 + + 2n n a x = b ⎩ m1 1 m2 2 m n n m （2） 矩阵型：令A = ⎣a i j ⎦m ⨯n，x = (x 1, x 2, , x n )' ，B = (b 1, b 2, b m )' 方程组可以表述为： Ax = B ;（3） 列向量型：令2⎢a ⎥ ⎝O O⎪ ⎪ ⎪ ⎡a 11 ⎤ ⎢21 ⎥⎡a 12 ⎤⎥ 22 ⎡a 1n ⎤ ⎢ ⎥ = ， 1 ⎢ ⎥ 2 = ， ， ⎢ ⎥= ⎢a 2n ⎥ n ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣a m 1 ⎦ ⎢ ⎥ ⎣a m 2 ⎦ ⎢ ⎥ ⎣a m n ⎦则方程组又可以表述为：x 11 + x22+ + x nn = B ;（4）行向量型： x ' + x ' + + x' = B ' .1 12 2n n可见，矩阵分块为我们解方程组提供了新的思路.事实上，在求齐次线性方程组系数矩阵的秩时，在判断非齐次线性方程组是否有解时，行列向量组的合理应用，使得问题解决更加便捷、明了.例 3.2.1：（齐次线性方程组）求解方程组：⎧ x 1 + 2x 2 2x ⎪ + x + 2x 3 - 2x + x 4 = 0 - 2x = 0 ⎨ 1 x -2x - 4x 3 - 3x 4=0 ⎩ 1 2 3 4 解：对系数矩阵施行行变换,并将结果用分块矩阵表示：⎛1 0 -25 ⎫ - 3⎪ ⎛ 1 2 2 1 ⎪⎫ ⎛ 1 2 2 1 ⎪⎫4 ⎪ ⎛E C ⎫ A = 2 1 -2 -2 0 -3 -6 -4 0 1 2 ⎪ = 2 ⎪ ⎪1 -1 -4 -3⎪ 0 -3 -6 -4⎪ 3 ⎪ 12 ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ 0 0 0 0 ⎪⎪ ⎝ ⎭R ( A ) = 2，基础解系含4 - 2 = 2 个.而方程又满足：相应的可以取：⎛E 2 C ⎫ ⎛1 ⎫ = ⎛ 0⎫⎪ ,⎝O 1 O 2 ⎭ ⎝2 ⎭⎝ 0⎭⎛ 5 ⎫ 2 3 ⎪ ⎛ -C ⎫⎪⎝ E 2 ⎭⎪ = -2 4 ⎪3 ⎪1 0 ⎪ ⎝ 0 1 ⎭-⎪ 0 3 ⎪⎭⎛ 2 ⎫ ⎛ 5 ⎫3 ⎪有通解： = k + k，其中= -2⎪1， =- ⎪ 4 ⎪ . 1 12 21 ⎪2 ⎪ ⎪ ⎝ 0 ⎭⎪ 1 ⎪ ⎝ ⎭例 3.2.2 [9] ：（非齐次线性方程组）求解方程组：⎧⎪ x 1 + 2x 2- 3x 4 + 2x 5 = 1 x - x - 3x + x - 3x = 2 ⎪ ⎨ 1 2 3 4 52x - 3x + 4x - 5x + 2x = 7 ⎪ 9x ⎩ 1= 25 解：我们分别对于方程组的系数矩阵和增广矩阵求秩：r ( A ) = 3，而r ( A ) = 4 , 故r ( A ) ≠ r ( A) . 从而方程组无解. ⎛ Λ45 -b ⎫事实上，我们可以利用分块矩阵叙述：经对分块矩阵 ⎝ E变换，都不能把最后一列变成0 ,所以该方程组无解.例 3.2.3：证明： n 阶方阵 A 的秩为n- 1，则r a n k ( A* )=1首先证明此例需要利用的一个引理： 4进行行列0 引理：A = (a i j )n ⨯n ，B = (b i j )n ⨯n ，r( A ) = r ，A B =0 ，则r ( B ) ≤ n - r证明：对矩阵 B 进行列向量的分块，B = (B 1, B 2, B n ) ,A B = 0 则有：A B i= 0 ，B i 是AX = 0 的解. 而A X =0 基础解系有n - r 个解.故：r ( B ) ≤ n - r 再证明本例： 因为r ( A )= n - 1，则 A = 0 ，A 至少有一个n -1级子式不为零,r a n k ( A* ) ≥ 1.而：A * =AE = 0 .利用引理得：r a n k ( A * ) ≤ 1，故r a n k ( A )=*.51 - 9 x +2 6x - 163 x4 + 2x 52 3 4 5⎝⎪ 1 2= ⎪ ⎪ 得证.3.3 求矩阵逆的应用我们在求矩阵逆的时候包括很多方法：利用定义求逆、利用伴随矩阵求逆、 利用初等变换求逆、混合采用初等行列变换求逆等等.这里我们统一用矩阵分块的思路来求矩阵的逆.例 3.3.1 [6] ：设 A 、 B 是n 阶方阵，若 A + B 与 A - B 可逆，试证明： ⎛ A B ⎫可逆，并求其逆矩阵. B A ⎭ ⎪ 解：令D = ⎛ A B ⎫，由假设知 A + B ≠ 0 , A - B ≠ 0B A ⎪ .那么：D =A B⎝ ⎭A +B B =A + BB= A + B A - B ≠ 0 .B AB + A AA - B即 D 可逆. 再令D -1 ⎛D 1= D 2⎫ , 由D -1 = E ，即：可得：D D ⎝ 3 4 ⎭⎛ A B ⎫ ⎛D D ⎫ ⎛E 0 ⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎝B A ⎭ ⎝D 3D 4 ⎭ ⎝ 0E ⎭⎪⎧A D 1 + B D 3 = E B D + A D = 0⎪12⎨A D +B D = 0 B D 2 + A D 4 = E ⎩ 2 4将第一行和第二行相加、相减，得：⎪D + D = ( A + B )-1 ⎨1 3⎩D 1 - D 3= ( A - B )-1 解之得：D = 1 ⎡( A + B )-1 + ( A - B )-1 ,D = 1⎡( A + B )-1 - ( A - B )-11 2 ⎣⎦ 2 2 ⎣⎦类似地：D 2所以： = D 3 ,D 4= D 1 .⎛ A B ⎫-11 ⎛( A + B )-1 + ( A - B )-1 ( A + B )-1 - ( A - B )-1 ⎫⎪ = 2 -1 -1 -1-1 ⎪ . ⎝B A ⎭ ⎝( A + B ) - ( A - B )( A + B ) + ( A - B ) ⎭ =⎝⎭ ⎝ - ⎪⎪ ⎪0 例 3.3.2 [6] ：已知分块形矩阵M = ⎛ A B ⎫可逆，其中 B 为p ⨯ p 块， C 为C 0 ⎪ ⎝ ⎭q ⨯ q 块，求证： B 与C 都可逆，并求M-1 . 解：由0 ≠M = (-1)p qBC ，则： B ≠0 , C ≠ 0 ,即证 B 、C 都可逆.这里用分块矩阵的广义初等变换来求逆： ⎛ A B E p0 ⎫ → ⎛ A B E 0 ⎫ → ⎛ 0B E -AC -1 ⎫⎪ ⎪ -1 ⎪ -1⎝C 0 0 Eq ⎭ ⎝E 0 0 C ⎭ ⎝E 0 0 E ⎭→ ⎛ 0 E B -1-B -1A C -1 ⎫ → ⎛E 0 0 C-1 ⎫E 0 0 C-1⎪ 0 E B -1-B -1A C -1 ⎪ ⎭-1⎛C -1 ⎫故 ：M = B -1-B -1A C-1 ⎪ . ⎝⎭备注：本例和上例属于同一个类型的问题，但我们利用分块矩阵，可以有两种不同的方法来解决，待定系数法和广义初等变换都是求逆的有效方法.值得注意的是，在题目没有直接给出分块矩阵的情况时，我们要学会自己构造:⎛ 1 0 1 ⎫ 例 3.3.3 [10] ：求矩阵A = 2 1 0 ⎪的逆矩阵.⎝ ⎭ 解：构造矩阵：⎛ 10 1 1 00⎫⎪⎛ 1 0 1 1 0 0⎫⎪2 0 0 1 -2 -2 1 0 D = ⎛ A E ⎫= -3 1 0 0 1 2 -5 0 0 1⎪ → 0 2 -2 3 0 1⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎝E O ⎭6⨯6 1 0 0 0 00 1 0 0 0 0⎪ 1 0 0 0 0 0⎪ 0⎪ 0 1 0 0 0 0⎪0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 ⎝ ⎭ ⎝ ⎭⎛ 1 0⎫⎪ 00 1⎪ →1 0⎪ ⎛ 1 0 1 1 0 0⎫ 0 1 -2 -2 1 0 0 1⎪ → 1 0⎪⎪ ⎪ 0 0⎪ 0 0⎪ 00⎪ 0 0⎪ ⎝⎭ ⎝ ⎭ 0 1 1 0 1 -2 -2 1 0 2 7 -2 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 00 2 7 -2 0 -1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0- - ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭1 ⎛ 1 0 0 1 0 0⎫⎪0 1 0 2 1 0 ⎛ 10 0 1 0 0⎪⎫ 0 1 0 2 1 0 0 0 17 -2 1⎪0 0 2 7 -2 1⎪1 ⎪→ ⎪ → 10 - 0 0 0⎪ .1 0 -1 0 0 0⎪2⎪ 0 1 2 0 0 0⎪ 00 10 01 0 0 0⎪0 0 1 0 0 0⎪⎝所以;⎭⎪⎝2⎭⎛1 0 1 ⎫ ⎛ 5 1 ⎫- 2 ⎪⎛ 1 0 0⎫ - 2 -1 - 2 ⎪ A -1 = 0 1 1 ⎪ -2 1 0⎪ = 5 -1 1 ⎪ . ⎪ ⎪ ⎪ 1 ⎪ 7 -2 17 1 ⎪ 0 0 2 ⎪ ⎝ ⎭ 2 -1 2 ⎪ 此方法在计算上并不简单，但是它把平常的单纯的一种变换变成了两种变换同时应用，把已知的可逆矩阵置于含单位矩阵的分块矩阵中，以此求逆矩阵， 有时比较简单.3.4 矩阵秩基本不等式矩阵理论中， 矩阵的秩是一个重要的概念，而矩阵经过运算后所得新矩阵 的秩往往与原矩阵的秩有一定关系. 现把高等代数书中有关矩阵秩最基本的不等式总结如下：（1）矩阵和的秩不超过两矩阵秩的和.即：设 A 、 B 均为m ⨯ n 矩阵，则：r ( A + B ) ≤ r(A ) + r ( B ) .（2）矩阵乘积的秩不超过各因子的秩.即：设 A 是m ⨯ n 矩阵 , B 是n ⨯ s 矩（3）r ⎛A B ⎫阵，则：r ( A B ) ≤≥ r ( A ) + r ( B ) . m i n {r ( A ) , r ( B )}.（4）r ⎝ 0 C ⎭ ⎪ ⎛A ⎫ ⎪⎪ ≥ A i j .A ⎪ ⎝ m ⎭再来介绍由分块矩阵证明导出的两个基本不等式例 3.4.1[11] ：（薛尔弗斯特不等式）设A = (a ) ，B = (b ) ，证明：ij s ⨯nij n ⨯mr a n k ( A B ) ≥ r a n k ( A ) + r a n k ( B ) - n⎪ 证明：由分块矩阵的乘积⎛ E n 0⎪ ⎫ ⎛E B ⎫ ⎪⎛E n -B ⎫⎛E n 0 ⎫ -A E A n0 0 E ⎪ = ⎪0 - ⎝ s ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ 知：m ⎭⎝ A B ⎭ r a n k⎛E n B⎫ = r a n k (E ) + r a n k ( -A B ) = n + r a n k ( A B )A 0 ⎪n.⎝ ⎭但,r a n k⎛E nB ⎫ A 0⎪= r a n k⎛B E n ⎫ ≥ r a n k ( A ) + r a n k ( B ) ⎪故：得证.⎝⎭ ⎝ 0 A ⎭.n + r a n k ( A B )≥ r a n k ( A ) + r a n k ( B )备注：在矩阵秩不等式的证明过程中，我们往往会构造如下的分块矩阵： (1) 矩阵不等式中含两个不同矩阵：构造 ⎛A 0 ⎫⎪;⎝ 0 B ⎭(2) 矩阵不等式中含有两个不同矩阵及阶数：构造⎛ A E ⎫ ⎪ 或者 ⎛ A 0 ⎫ ⎪.⎝ 0 B ⎭ ⎝E B ⎭具体分块矩阵的元素则要看题目所给的条件.例 3.4.2 [6] ：（Frobenius 不等式）设 A 、 B 、C 是任意3 个矩阵，乘积ABC 有意义，证明：r ( A B C ) ≥ r ( A B ) + r ( B C ) - r ( B )证明：设 B 是n ⨯ m 矩阵，r ( B ) = r那么存在n 阶可逆阵 P ， m 阶可逆阵Q ，使B = ⎛Er0⎫ P ⎪ Q .⎝ 0 0⎭把 P 、Q 适当分块：P = (M , S ),Q =⎛N ⎫, 由上式有： T ⎝ ⎭故：r ( A B C )= r ( A M N C ) B = (M , S )⎛E r0⎫ ⎛N ⎫ = M N .⎪ ⎪ ⎝ 0 0⎭ ⎝T ⎭≥ r ( A M ) + r ( N C ) - r0 ≥ r ( A M N ) + r ( M N C ) - r ( B )得证.= r ( A B ) + r ( B C ) - r ( B ) .3.5 矩阵秩不等式证明的应用矩阵基本不等式的证明思路，在一般不等式中也常常用到， 以下例题是对矩阵秩不等式的推广及其应用：例 3.5.1[11] ：设 A 为m ⨯ k 矩阵， B 为k ⨯ n 矩阵，则证明：r a n k ( A )+r ank( B ) - k≤ r ank( AB) ≤ m i n {r a n k ( A ) , r a n k ( B )}证明：先证明右边的不等式，由：(A 0)(E k0 B ) = ( A A B ) ;E n可得：⎛E k A E 0⎪ ⎫ ⎛B ⎪⎫ = ⎛ B A B ⎫⎪ ,⎝m ⎭ ⎝ ⎭⎝ ⎭r a n k ( A ) =r ank( A 0) = r a n k ( A A B ) ≥ r a n k ( A B ) ;r a n k ( B ) = r a n k ⎛ B ⎫ = r a n k ⎛ B ⎫≥ r a n k ( A B ) .⎪ ⎪⎝ 0 ⎭ ⎝AB ⎭ 再证左边的不等式.注意到下列事实：⎛E m -A ⎫ ⎛ A 0 ⎫ ⎛E ⎪k -B ⎫ = ⎛ 0 -A B ⎫⎪ 0 E ⎪E B 0E⎪ E 0 ⎝k ⎭ ⎝ k 则：⎭ ⎝ n ⎭⎝ k ⎭0 ⎫⎛ 0r a n k ⎛ A ⎪ = r a n k-A B ⎫ ⎪于是：⎝E kB ⎭ ⎝E k0 ⎭⎛ A 0 ⎫r a n k ( A ) + r ank ( B ) ≤r ank ⎪ = r a n k ( -A B ) + r a n k (E k )= r a n k ( A B ) + k⎝E kB ⎭ 从而: r a n k ( A ) + r a n k ( B ) - k ≤ r a n k ( A B ) .这里也是用到构造矩阵的方法.例 3.5.2 [6] ：设n 阶矩阵 A 、 B 可交换，证明：r a n k ( A + B ) ≤ r a n k ( A ) + r a n k ( B ) - r a n k ( A B )→ → , ⎝ ⎭ 解：利用分块初等变换，有：⎛A O ⎫ ⎛A B ⎫ ⎛A + B B ⎫⎪ ⎪⎪ ⎝O B ⎭ ⎝O B ⎭ ⎝ B B ⎭ 因为 AB = BA ，所以：⎛ E O ⎫ ⎛A + B B ⎫ = ⎛A + B B ⎫ .B -A - ⎪ B ⎪ O- ⎪B B A B ⎝ 于是，有：⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭r a n k ( A ) + r a n k ( B )= r a n k⎛A + B B ⎫≥ r a n k ⎛A + B B ⎫B ⎪⎝ B ⎭ ⎝ ⎪O-A B ⎭即：r a n k ( A + B )得证.≥ r a n k ( A + B ) + r a n k ( A B ) .≤ r a n k ( A ) + r a n k ( B ) - r a n k ( A B ) .例 3.5.3：设 A 是n 阶方阵，且r ( A ) = r ( A 2 ,证明：对任意自然数k ,有r ( A k ) = r ( A )⎛A 2O ⎫证：构造分块矩阵 O A 2 ⎪，由 Frobenius 不等式： 2 2 2 ⎛A O ⎫ ⎛A 2 -A 3 ⎫ ⎛O -A 3 ⎫ 3 r ( A )+r( A ) ≤ r ⎪ = r A A 2 A O ⎪ = r A O ⎪ = r ( A ) + r ( A ) . 由：r ( A ) = r ( A 2 ) ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭所以，r ( A3 ) = r ( A 2 * A )≤ r ( A2 ) .故： r(A 2 ) = r ( A 3 .由此可推得：r ( A3) = r ( A 4) , r ( A4) = r ( A5 ) , .故：对任意自然数k , 有：r ( A k ) = r ( A ) .3.6 综合应用在掌握了分块矩阵的技巧之后，可以由其导出的一个重要的定理：特征多项式的降阶定理，以下主要讨论该定理及其结论的应用.例 3.6.1 [6] ：（特征多项式的降阶定理）设 A 是m ⨯n 矩阵， B 是n ⨯ m 矩阵. 证明: AB 的特征多项式f A B ( ) 与 BA 的特征多项式f B A( ) 有如下的关系：nm1 2 s证：先要把上式改写为：n f () =m f () .A BB AnE -m A B =mEE 1 Bn - B A .用构造法，设 ≠ 0 ，令： H =n.A E m⎛1 ⎫ ⎛E 1 B ⎫对 ⎛E n 0⎪ ⎫ E n B ⎪= n ⎪ ⎝ -A E⎪⎪ 1 ⎪ 两边取行列式得： n ⎭ A E⎝ m ⎭ 0 E - ⎝A B ⎪⎭ H = E -1 A B = 1 m E - A B .⎛E 1 B ⎫ ⎛E nm 0 ⎫⎛ 1( ) m1 B ⎫ 再对 n ⎪ -A E ⎪ E - B A ⎪ 两边取行列式得： ⎪ ⎪ = n⎪⎝ A E m ⎭⎝ n ⎭ ⎝ H = E -0 1B A = E m ⎭ 1 n E - B A .故： 1nE n- B A =1Em mn- A B() nmE n - B A = nE m - A B .上述等式是假设了 ≠ 0 ，但是两边均为的n + m 次多项式，有无穷多个值使它们成立（0）≠ ，从而一定是恒等式，即证.这个等式也称为薛尔弗斯特（Sylvester ）公式. 以下例题是定理的应用. 例 3.6.2 [6] ：设 A 为m ⨯ n 矩阵， B 为n ⨯ m 矩阵，证明： AB 与 BA 有相同的非零特征值.证：由定理：m E - B A = n E - A B .设 E m- A B = m -s (- ) ( - ) ( - ) ,其中12 m ≠么有：0 ，即 AB 有s 个非零特征值：1, 2, , s , 由上面两式,那nE - B A = ( - 1) ( - ) 2 (- )n- s s即证 BA 也只有s 个非零特征值：1, 2, , s .m∑ 例 3.6.3 [6] ：设 A 、 B 分别是m ⨯n 和n ⨯ m 矩阵，证明：t r A B = t r B A .解：由上例知，若E - A B = m -s ( - a ) ( - a )m1s其中a 1a 2 a s ≠ 0. 则 AB 的全部特征值为1 = a 1, , s= a s , s +1= = m = 0 ,且：E - B A = n -s ( - a ) ( - a ) .n1s即 BA 的全部特征值为:1 = a 1,2 = a2, ,s +1= = n = 0 .从而 t r A B =sa ii=1=t r B A .可见，在一些问题中，直接利用特征多项式的降阶定理会更加方便处理，这里则要求我们对分块矩阵的了解更加深刻.结论本文主要通过“分块矩阵、分块矩阵及其应用”两个部分，分别简单介绍了分块矩阵的性质概念、导出的定理结论和相关应用.主要是将分块矩阵的技巧和推广做了一个内容的总结.本文简单的将矩阵工具应用于计算行列式、解决线性方程组、求矩阵的逆、证明矩阵秩的相关定理等，对应不同问题也举了几个重要的应用以及它们的综合应用.将以前出现的矩阵思想整体化，并对相关知识也做了一个系统的复习.最后，本文还有一些不足之处，有待于进一步的改善和提高.参考文献[1] 上海交通大学线性代数编写组. 线性代数[M]. 高等教育出版社, 1982. [2] 北京大学. 高等代数{M}. 高等教育出版社, 1998.[3] 高百俊. 分块矩阵的初等变换及其应用[J]. 伊犁师范学院学报, 2007(4):14-18.[4]张红玉, 魏慧敏. 矩阵的研究[M]. ft 西人民出版社, 2010.[5]雷英果. 分块初等方阵及其应用[J].工科数学, 1998, 14(4):150-154. [6]钱吉林. 高等代数题解精粹(第二版)[M]. 中央民族大学出版社, 2010.[7] 王莲花, 李念伟, 梁志新. 分块矩阵在行列式计算中的应用[J]. 河南教育学院学报(自然科学版), 2005, 14(3):12-15.[8] 张贤科, 许甫华. 高等代数学[M]. 清华大学出版社, 1998:91-96.[9]杨子胥. 高等代数习题集[M]. ft东科学技术出版社, 1981.[10]鲁翠仙. 分块矩阵在求矩阵逆的应用[D]. 云南:云南大学数学系数学研究所,2009：14-15.[11]刘丁酉. 高等代数习题精解[M].中国科学技术大学出版社, 1999.“”“”At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of continuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!。
关于矩阵秩_不_等式的分块矩阵构造证明
r( AB C) Ε r( AB ) + r( B C) - r( B)
(1)
证明 显然 (1) 等价于 r( B) + r( AB C) Ε r( AB ) + r( B C) ,故令 M = B 0 . 对 M 进行 0 AB C
广义初等变换 :
B 0 →B
0 → B - BC → BC B
0 AB C
i =1
0
At
定理 2 设 A i ∈ Fmi ×ni , i = 1 , 2 , …, t , t Ε 2. 则
A1
3
t
∑r( A i ) Φ r
i =1
A2
ω
t
∑ Φ min r( A i ) + m j i = 1 ,2 , …, t j =1 j ≠i
0
At
证明 对 t 用数学归纳法证明左侧不等式.
矩阵的广义初等变换证明矩阵秩的 (不) 等式.
在本文中 ,设 F 为一般的数域 , In 表示 n 阶单位矩阵 , r( M) 表示矩阵 M 的秩. 首先 , 关于分块
矩阵的秩 ,下列结论是基本的.
定理 1 分块矩阵的下列结论成立 :
(1) 设 A i ∈ Fmi ×ni , i = 1 , 2 , …, t. 则
r( B A + C) = n - r( A )
(4)
证明 由 A ( BA + C) = 0 及矩阵秩的基本性质得 r( A) + r( BA + C) Φ n. 又由 r( C) = n 及
BA + C 0 → BA + C BA → C BA
0
A
0
A
-A A
矩阵的分块及应用
武夷学院毕业设计(论文) 矩阵的分块及应用院系：数学与计算机系专业（班级）：计算机科学与技术姓名：陈航学号: 20073011014指导教师：魏耀华职称：教授完成日期：年月日武夷学院教务处制摘要矩阵分块，就是把一个大矩阵按照一定规则分成小矩阵，它是矩阵运算的一种常用技巧与方法。
分块矩阵的理论不但在工程技术和实际生产中有着广泛的应用，而且在线性代数中求矩阵乘积、行列式的值、逆矩阵、矩阵的秩和矩阵的特征根的过程中也起到重要作用。
分块矩阵的初等变换则是处理分块矩阵有关问题的重要工具，它在线性代数中有非常广泛的应用。
本文讨论了分块矩阵的概念、分块矩阵的运算、分块矩阵的性质以及分块矩阵的广义初等矩阵，归纳并提出了分块矩阵的一些应用，这些应用主要涉及到矩阵的秩，逆矩阵，行列式以及矩阵正定和半正定等方面。
通过引用了大量的实例说明了对矩阵进行适当分块可以使高等代数中的许多计算与证明问题迎刃而解。
关键词: 分块矩阵；初等变换；计算；逆矩阵；证明。
AbstractPartitioned matrices mean dividing a big matrix into the small matrices according to the certain rule. It is a common technique and method in matrix operation. The theories of partitioned matrices have not only a wide range of applications in engineering and production, but also play an important role to the process for seeking matrix product and the value of determinant and inverse matrix and rank of matrix and the characteristic in linear algebra. Elementary transformation of partitioned matrices is an important tool to deal with the partition matrix. Also, it is very important for linear algebra. The paper discussed the concept of the partition matrix and the operation of the partition matrix and the property of the partition matrix and the block-elementary matrix. Then it summarized some applications of the partition matrix. Those applications were relative to the rank of matrix and inverse matrix and determinant and positive definite matrix and positive semi-definite matrix etc. By quoting a number of examples we could get that its convenientto solve many problems about calculation and provement by using block matrices.Key words: partitioned matrices; elementary transformation; caculate; inverse matrix; prove。
浅析分块矩阵的性质和应用[1]讲解
![浅析分块矩阵的性质和应用[1]讲解](https://img.taocdn.com/s3/m/7d1e919b7f1922791688e84d.png)
浅析分块矩阵的性质和应用作者姓名：周甜河南理工大学数学与信息科学学院数学与应用数学专业2007级2班性质1：分块矩阵都是可逆的，且逆矩阵为分块初等矩阵。
性质2：分块单位矩阵经过一次分块矩阵的初等变换后所得到的矩阵仍为分块初等矩阵。
摘要：分块矩阵在高等代数中有着广泛的应用，矩阵的分块运算是矩阵运算的一种重要方法。
本文主要讨论了分块矩阵的运算性质，初等变换，并举例说明和分析了分块矩阵在解决矩阵特征值计算和有关矩阵证明等问题中的应用。
利用分块矩阵可以使阶数比较高，比较复杂的矩阵和抽象矩阵的特征值问题的解决变得简明而清晰。
关键词：分块矩阵行列式特征值初等变换矩阵的逆Tentative Analysis of Properties and Applications of BlockMatricesAuthor Name：Zhou TianClass 2 Grade 2007 of Mathematics and Applied Mathematics of College Mathematics and Information Scienceof Henan Polytechnic University SchoolSummary：Block matrices has a wide use in Advanced Algebra. Operations of block matrices play an important role in the operation of matrices. This paper mainly illustrates the operation properties and the elementary transformations of block matrices. Several examples are given in the paper to show the applications of block matrices in calculating the eigenvalues of a matrix and proving a subject in connection with matrices. It is convenient to apply block matrices to deal with questions containing matrices with high order and complex appearances and calculating the eigenvalues of abstract matrices.Keywords: block matrices determinant eigenvalues elementary transformation the inverse of a matrix§1引言在高等代数中，矩阵是一项非常重要的内容，也是高等数学的很多分支研究问题的工具。
利用分块矩阵证明有关矩阵的秩
第五章 利用分块矩阵证明有关矩阵的秩定理1：设A 是数域P 上的n ×m 矩阵，B 是数域P 上的m ×s 矩阵，求证秩（AB ）≤min ｛秩A ，秩B ｝。
证明：令B 1，B 2，…，B m 为B 的行向量，则有由上可知，AB 的行向量是B 的行向量的线性组合，因此秩AB ≤秩B ； 同理，令A 1，A 2，…，A m 为A 的列向量，同样可得AB 的列向量是A 的列向量的线性组合，因此秩AB ≤秩A 。
综上所述，秩（AB ）≤min ｛秩A ，秩B ｝。
命题1：证明秩（A+B ）≤秩（A ）+秩（B ）。
证明：令A 1，A 2，…，A n 为A 的列向量，令B 1，B 2，…，B n 为B 的列向量，从而A+B=（A 1+B 1，A 2+B 2，…，A n +B n ），即其每个列向量均可由｛A 1，A 2，…，A n ，B 1，B 2，…，B n ｝线性表出，不妨设｛A 1，A 2，…，A ｒ｝｛B 1，B 2，…B ｔ｝分别为｛A 1，A 2，…，A n ｝｛B 1，B 2，…，B n ｝的极大线性无关组。
则A+B 的列向量均可由向量组｛A 1，A 2，…，A ｒ，B 1，B 2，…B ｔ｝线性表出。
因此秩（A ＋B ）＝秩｛A 1+B 1，A 2+B 2，…，A n +B n ｝≤秩｛A 1，A 2，…，A ｒ，B 1，B 2，…B ｔ｝≤r+t ，即秩（A+B ）≤秩（A ）+秩（B ）。
命题2：设A 为数域P 上的n 阶方阵，若A 2=E ，证明秩（A+E ）+秩（A －E ）＝n 。
证明：矩阵进行初等变换后秩不变，最后的矩阵秩为n 。
由此可得 秩（A+E ）+秩（A －E ）＝n 。
11111221m m 22112222m m m n11n22nm m B a B a B a B B a B a B a B B AB B a B a B a B +++⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪+++ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭L L M M L ，21A+E A E 2A E0A E A E A E 2E 0A E 0A E 0A E 0-2E 02E 10A E (A E)(A E)A E 2=++-+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫→→⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫-⎛⎫ ⎪−−−−−−→−−−→ ⎪ ⎪-+--⎝⎭⎝⎭将二列的（）倍加到一列。
分块矩阵初等行变换求秩的不等式
【导语】在线性代数中，分块矩阵初等行变换求秩是一个重要的概念。
本文将从简单的定义出发，逐步深入探讨这一概念，并结合示例进行解释和说明。
通过全面的评估和综述，希望能够帮助读者更好地理解分块矩阵初等行变换求秩，并掌握其应用。
【正文】一、分块矩阵初等行变换求秩的定义和基本概念分块矩阵是由若干个矩阵按照一定规则组成的大矩阵。
它可以在某些情况下简化矩阵运算的复杂性，方便题目求解。
而初等行变换是对矩阵的行进行的一种操作，包括三种形式：交换两行、某行乘以一个非零常数和某行乘以一个非零常数加到另一行上。
通过初等行变换，矩阵的秩可以发生改变。
分块矩阵初等行变换求秩的不等式是通过对分块矩阵进行初等行变换，来计算该分块矩阵的秩。
分块矩阵秩的计算可以通过初等行变换将矩阵转化为行阶梯型矩阵或者简化行阶梯型矩阵，从而求得秩的大小。
二、分块矩阵初等行变换求秩的具体步骤1.第一步：根据题目给出的分块矩阵，将其转化为增广矩阵形式。
2.第二步：利用初等行变换的方式，将矩阵转化为行阶梯型矩阵或简化行阶梯型矩阵。
3.第三步：对于行阶梯型矩阵或简化行阶梯型矩阵，统计非零行的个数，即可求得分块矩阵的秩。
三、示例分析为了更好地理解和应用分块矩阵初等行变换求秩的不等式，以下通过示例详细说明。
例1：计算分块矩阵| A B |X = | || C D |的秩。
解：根据定义，我们将该分块矩阵转换为增广矩阵形式：A B 0 0| |C D 0 0通过初等行变换，我们可以将该矩阵转化为行阶梯型矩阵：A B 0 0| |0 D 0 0由于行阶梯型矩阵的秩等于其非零行的个数，所以分块矩阵的秩为2。
四、个人观点和理解分块矩阵初等行变换求秩的不等式是线性代数中一个非常重要的概念。
通过初等行变换，我们可以改变矩阵的形态，从而简化问题的求解。
在实际应用中，我们经常会遇到大规模的矩阵运算问题，而分块矩阵初等行变换求秩的方法能够帮助我们更高效地处理这些问题。
值得注意的是，分块矩阵初等行变换求秩的过程中，我们需要对矩阵的组成部分有一定的了解。
矩阵分块方法的应用
＼ ｏ
所 以 ｒ（Ａ ＋ Ｂ）≤ ｒ（Ａ）＋ ｒ（Ｂ）．
命题 ４ 设 Ａ 为 Ｓ× ｍ 阵 ，Ｂ 为 ｍ × ｎ 阵 ， 且 Ｅ— Ｅ ，则
收 稿 日期 ：２００８— ０２— ２８ 基 金项 目：苏 州 科 技 大 学 重点 学 科基 金 资 助 ．
ｒ（ＡＢ ）＋ ｒ（ＢＣ）≤ ｒ（Ｂ）＋ ｒ（ ＢＣ）．
证（ 明 Ａ三【ｃ ） ｃ） Ａ×（１）＋（２）
命题 １０ 设
Ｔ 一（ 三）， 一（ 三），
Ａ，Ｂ，Ｄ 可逆 ，则
一 Ｉ—Ｄ一 ｃＡ一，Ｄ一 Ｊ，
一
一
１＿
，Ｂ — ＢＣ 、
ｔ Ａ — Ｅ Ｉ ＼ Ａ
— Ａ ２
（Ｅ — Ａ ）× （２）＋ （１）
Ａ。＝ Ｅ ∞ ｒ（Ａ ＋ Ｅ）＋ ｒ（Ａ — Ｅ）一 ，ｚ．
其 中 Ｅ 为 阶单 位矩 阵 ．
（Ａ Ａ。 ）．
证明 （Ａ言Ｅ Ａ Ｅ） Ｅ × （２）＋ （１）
ｆ Ａ ＋ Ｅ Ａ — Ｅ 、 一 Ｅ × （１）＋ （２）
命题 ８ 设 Ａ、Ｂ为 阶方 阵 ，则 ＡＢ 与 ＢＡ 有相
另外 ，
ｒ（三－ＥＡ）≤ｒ（ ） Ｄ
同的特 征 多项式 ，即
Ｉ Ｅ—ＡＢ Ｉ— Ｉ膳 一ＢＡ １．
所 以 ｒ（Ｃ）≤ ｒ（Ｅ）十 ｍｉｎ｛ｒ（Ａ），ｒ（Ｂ）｝，
因 此 ， ｒ（ＡＢ）≤ ｍｉｎ｛ｒ（Ａ），ｒ（Ｂ））．
而
ｒ（Ｃ）≥ ｒ（Ａ）＋ ｒ（Ｂ），
命题 ９ 设 Ａ是 秩 为 ｒ的 ｘ 矩 阵 ，则存 在秩 为 ｒ的 × ｒ矩 阵 Ｂ 和秩 为 ｒ的 ｒ ｘ 矩阵 Ｃ，使
分块矩阵的几个重要应用
分块矩阵的几个重要应用数学学院数学与应用数学（师范）专业2008级鄢光兵指导教师摘要：矩阵是高等代数中的一个重要概念，也是高等数学很多分支研究问题的工具。
而把一个比较大的矩阵分成若干子块，构成分块矩阵是处理矩阵问题的重要技巧。
分块矩阵思想来源于对矩阵运算复杂度及存储空间的考虑。
特别当矩阵太大不适合存储在计算机内存中的时候，通过分块矩阵允许计算机每次只处理存储在内存中几个子矩阵，支持向量传输结构的向量计算机能够更加高效地运行支持分块矩阵的矩阵算法。
分块矩阵可以降低矩阵的阶数，使矩阵更加条理清晰，使得矩阵的相关运算简单化，并使矩阵证明方面的相关问题得以便捷的解决。
本文重点就分块矩阵的定义、分块方法、基本运算，行列式和求逆矩阵的计算，以及关于矩阵的秩的方面的证明问题进行了分析。
使用了大量的例题说明了分块矩阵的技巧可以使高等代数中的很多计算与证明问题简单化。
所以了解分析并掌握分块矩阵的性质与应用及相关的技巧是非常必要的。
关键词：矩阵；分块矩阵；子矩阵；Abstract:Matrix is an important concept in high algebra, but also an instrument for research of many filiation in high algebra. And the means of dividing a large-scale matrix up into some small one is a main skill to resolve the question of matrix. The idea of partitioned matrix comes of the advisement to the complexity of matrix's calculate and the unit of space.Especially,when the matrix is too large to save in the EMS memory, the computer which support the network management vector transport can take order with the partitioned matrix algorithm in high efficiency, with the partitioned matrix permit the computer only deal with the submatrix that store in the EMS memory every time.Theory about block matrix could be used to decline high order matrix and make it clearer and easier to calculate and prove some problems about matrix. This paper focuses on the problems of the concept of block matrix, and the numeration of square matrixand the proof of matrix. It shows the convenience of the block matrix in the problems of matrix and high algebra by making use of a number of examples. It is necessary that we must learn and analyse and grasp the skill of block matrix which is an important concept in high algebra.Keywords：matrix；block matrix ；submatrix;1 引言高等代数是数学类专业的一门重要的基础课，其主要任务是使学生获得数学的基本思想方法和多项式理论、行列式、线性方程组、矩阵论、二次型、线性空间、线性变换、欧氏空间等方面的系统知识。
分块矩阵的初等变换及其在行列式、逆和秩中的应用
ｆ ？
１
ｆ ００ ／＼ １ ＼ ２
单 位 矩 阵Ｉ 过 一 次 初 等 变换 得 到 的矩 阵 叫 初 等矩 阵． 经 初 等矩 阵有 以下 三 种 ： （ ） Ｉ 以第 １ 初 等 变 换 得 到 １对 施 种
则＝ ？ Ｍ １
如 能 捕 捉 生活 点 滴 ， 生 写 作 素 材 是 丰 富 的 ， 作 文 时 学 生 就 学 写 会 少 些 无 奈 。 学 中 要努 力培 养 学 生 广 泛 的 阅 读 兴趣 ， 导 学 教 引 生 积 累 丰 富 的 写作 素材 ， 展 各 种 有 趣 的活 动 ， 发 学 生 写 作 开 激 的欲 望 ． 学 生 感 受 写 作 文 如 同说 话 一 般 ， 吐 不 快 。在 习作 使 不 指 导 的过 程 中 ， 师 的 职 责 不 是 传 授 技 法 和 知 识 ， 是 激 励 、 教 而 唤 醒 、 舞 ， 学 生 学 会 生活 、 会 积 累 、 会 运 用 。每 一 天 都 鼓 让 学 学 带 着 健康 的情 感 生 活 ， 着 友 爱 的 情 态 关 注 身 边 的人 和事 ， 带 每 次 都 带 着 积 极 的 情 绪 动 笔 ，就 一 定 能 写 出富 有 个 性 和 真情
摘 要 ： 文 把 矩 阵 的 初 等 变 换 推 广 到 分 块 矩 阵 ． 用 本 并 分 块 矩 阵 的初 等 变换 解 决 了许 多有 关 分块 矩 阵的 问题． 关 键 词 ： 等 变换 分 块矩 阵 分 块 初 等 矩 阵 初
一
定 理 １ 设 Ａ ＝ ａ） （ …
，
一
的文 章
４ ４
初 等矩 阵记 为 ＩｉＫ） ； （（ ）
（ ） 矩 阵Ｋ 乘 Ｉ ３用 左 的第ｊ 加 到第 ｉ 所 得 到 的 分 块 初 等 矩 行 行 阵 记 为Ｉｊｋ ， ， 时 表 示 用 矩 阵 Ｋ 乘 Ｉ 第 ｉ 加 到第ｊ 所 （（ ）ｉ 同 ） 右 的 列 列 得 到 的分 块 初 等 矩 阵 ． 与定 理 １ 类似 ， 们 有 ： 我 定 理 ２ 对 分 块 矩 阵Ｍ做 一 次 分 块 初 等 行 （ ） 换 相 当 列 变 于 在Ｍ的左 边 （ ） 乘 以 一个 相 应 的分 块 初 等 矩 阵 ． 右 边
矩阵分块在证明中的应用讲解
2预备知识
为了深入探讨矩阵分块的性质及其应用，我们有必要回顾一下矩阵分块的相关知识。
2.1定义
用纵线与横线将矩阵 划分成若干较小的矩阵：
其中每个小矩阵 叫做 的一个子块；分成子块的矩阵叫做分块矩阵。这种献...16
致谢...17
1引言
在数学名词中，矩阵（英文名Matrix）是用来表示统计数据等方面的各种有关联的数据。这个定义很好的解释了Matrix代码是制造世界的数学逻辑基础。数学上，矩阵就是方程组的系数及常数所构成的方阵。把它用在解线性方程组上既方便，又直观。例如对于方程组
我们可以构成一个矩阵
【Key Words】block matrixlinear algebrarank of matrixelementary matrix
1引言...1
2预备知识...1
2.1定义...1
2.2矩阵分块的法则...3
2.3矩阵分块的性质及推论...5
3矩阵分块在证明中的应用...9
3.1矩阵分块在秩的证明中的应用...9
为了说明这个方法，下面看一个例子，在矩阵
中， 表示2级单位矩阵，而
， .
在矩阵
中，
在计算 时，把 都看成是由这些小矩阵组成的，即按2级矩阵来运算，于是
,
其中
，
.
因之,
.
不难验证,直接按4级矩阵乘积的定义来计算,结果是一样的。
以下会看到，矩阵分块有很多方便之处，常常在分块之后，矩阵间相互的关系看得更清楚。用
至于左矩阵行的分法与右矩阵列的分法没有任何要求。本文讨论把矩阵按行向量或列向量分块,在满足上述分块法则条件下,指出它在某些命题中的应用。为此,设
分块矩阵的应用
本科生毕业论文（设计）册学院数学与信息科学学院专业数学与应用数学班级 07级C班学生常会敏指导教师刘稳河北师范大学本科毕业论文（设计）任务书论文（设计）题目：分块矩阵的应用学院：数学与信息科学学院专业：数学与应用数学学班级： 07级C班学生姓名：常会敏学号： 2007010656 指导教师：刘稳职称：1、论文（设计）研究目标及主要任务分块矩阵在高等代数中具有很重要的应用，本文旨在总结分块矩阵在代数学中的几个重要的应用，体会分块矩阵的应用技巧，恰当利用分块矩阵可使问题变得简单而明了。
本文的主要任务是通过大量理论和具体的例子总结出分块矩阵在证明有关矩阵的秩、求解矩阵方程以及求矩阵的最小多项式,判断矩阵是否相似三方面发挥出的巨大作用。
2、论文（设计）的主要内容①分块矩阵证明有关矩阵的秩②求解矩阵方程③求矩阵的最小多项式,判断矩阵是否相似3、论文（设计）的基础条件及研究路线在复数域上，关于分块矩阵及其初等变换的研究已经有深刻的结果，关于分块矩阵的应用也有不少的文章提及，可见分块矩阵的应用之广泛，因此要想将其应用全部总结出来是不可能的。
正式基于这样一种情况，本文分别就分块矩阵在证明有关矩阵的秩、求解矩阵方程以及求矩阵的最小多项式,判断矩阵是否相似三方面做一详细总结，展示分块矩阵的应用技巧，从而开拓思维，培养创新能力。
4、主要参考文献[1]王萼芳，石生明.高等代数(第三版)[M].北京：高等教育出版社，2003：181～320.[2]丘维声.高等教育学习指导用书[M].北京:清华大学出版社，2005：213～238.[3]陈公宁.矩阵理论与应用[M].北京:北京科学出版社，2007：1～25.[4]张焕玲，刘爱奎.利用分块矩阵法求解矩阵方程的一种简单方法[J].山东工业大学学报，2000，Vol.30(3):268～273.[5]钱吉林.高等代数题解精粹（修订版）[M].北京：中央民族大学出版社，2002：189.[6]徐天保.分块矩阵的应用[J].安庆师范学院学报（自然科学版），2010，Vol.16(2):105～108.[7]王卿文，杨家骐.用矩阵的初等行变换解矩阵方程A X=B[J].数学通报，1993：m n ns m s16～25.[8]A.J.M.SPENCER & R.S.RIVELIN .Further Results in the Theory of Matrix Polynomials [J].Brown University Providence ,1959:214 ～230.5、计划进度指导教师：刘稳 2010 年 11 月日教研室主任： 2010 年 11 月日河北师范大学本科生毕业论文（设计）开题报告书数学与信息科学学院学院数学与应用数学专业 2011 届河北师范大学本科生毕业论文（设计）文献综述河北师范大学本科生毕业论文（设计）翻译文章本科生毕业论文设计题目分块矩阵的应用作者姓名常会敏指导教师刘稳所在学院数学与信息科学学院专业（系）数学与应用数学班级（届） 2011届完成日期 2011 年 5 月日目录中文摘要、关键词 (1)1、分块矩阵的定义及运算法则 (1)1.1定义矩阵的分块 (1)1.2分块矩阵的运算法则 (1)2、利用分块矩阵证明有关矩阵的秩 (4)2.1证明关于矩阵乘积的秩的定理 (4)2.2证明有关矩阵秩的等式 (5)2.3证明Sylvester不等式 (6)2.4证明Sylvester公式 (7)3、利用分块矩阵求解矩阵方程 (8)3.1解矩阵方程A X=B的原理 (8)m n ns m s3.2求解矩阵方程 (9)4、分块矩阵在其它方面的应用 (10)4.1求矩阵的最小多项式 (10)4.2判断两矩阵是否相似 (12)5、总结 (13)参考文献 (13)英文摘要、关键词 (14)分块矩阵的应用数学与信息科学学院 数学与应用数学专业指导教师 刘稳 作者 常会敏中文摘要：矩阵是代数特别是线性代数中一个极其重要的应用广泛的概念，而矩阵的分块则是在处理级数较高的矩阵时常用的方法。
利用分块矩阵证明矩阵秩的某些性质
所以至少有一个代数余子式 A ij ≠ 0 故 A 3 ≠0 即秩 ( A 3 ) ≥1 于是有可逆矩阵 P 、 Q使 En - 1 0 PAQ = 0 0 En - 1 0 -1 ∴ PA = Q 0 0 (1) 两边右乘 A 3 ,又由 | A | = 0 知 A A 3 = | A | En = 0 即 PA A 3 =
En - 1 0
= 秩
0 AB
E 0
(Ⅰ )
= 秩 (AB) + 秩 ( E) = 秩 (AB) + n 从而有秩 (AB) ≥ 秩 (A) + 秩 (B) - n 定理 4 A是 s× n 矩阵 ,则 : ) =n- s 秩 ( En - A′ A ) - 秩 ( Es - AA′
0 0
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许凤霞 李 关 浅谈如何降低产品生产成本 学术研究 成本 ,制造费用也是产品成本的重要组成部分 ,是企 业在成本管理方面不容忽视的问题 , 降低上述两项 成本一般有以下几条途径 : (一) 企业要对生产单位合理配备人员 、 定岗 、 定 编、 定员 ,将组成精干的管理人员的工资总额控制在 计划目标内 。 ( 二) 提高劳动生产率 。在未实行计件工资的情 况下 ,企业的直接人工成本与制造费用都是固定费 用 ,其总额不受产量的影响 , 所以劳动生产率高 , 产 品产量增加 ,单位产品应负担的直接人工费与制造 费就会相应降低 , 反之就会升高 , 因此 , 提高劳动生 产率可以作为降低直接人工成本和制造费用的主要
浅谈分块矩阵的性质及应用
浅谈分块矩阵的性质及应用摘要：本文主要谈及分快矩阵的思想在线性代数的证明。
解线性方程组，矩阵得知逆及矩阵的逆，和初等变换中的应用。
关键词：分块矩阵；线性方程组；矩阵的秩及矩阵的逆；初等变换On the nature of block matrix and its applicationAbstract: this thesis uses the blocking matrix method into proving and applying the linear algebra, tries to solve the linear equations, and the proof of other relative matrix rank and elementary matrix.Key word s: Block matrix; Linear algebra; rank of matrix; elementary matrix.前言：矩阵得分快是处理问题的一重要方法，把一个告诫矩阵分成若干个地界矩阵，在运算中把低阶矩阵当作数一样处理，这样高阶矩阵就化作低阶矩阵，长能使我们迅速接近问题的本质，从而达到解决问题的目的，使解题更简洁，思路更开阔，因此本文主要谈及分块矩阵再求行列式的值，解线性方程组，求矩阵的秩及逆等方面的应用。
1.预备知识：1.1分块矩阵的定义：将分块矩阵A用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为A的子块，一子块为元素的形式上的矩阵成为分块矩阵。
1.2分块矩阵的运算：1.2.1分块矩阵的加法：设分块矩阵 A 与 B 的行数相同，列数相同，采用相同的得分块法，有A=1111n m mn A A A A ⎛⎫ ⎪⎪⎪⎝⎭，1111n m mn B B B B B ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭其中ij A 与ij B 的行数相同，列数相同，那么A+B=111111111n n m m n mn A B A B A BA B ++⎛⎫⎪⎪ ⎪++⎝⎭1.2.2分块矩阵与数的乘法：A=1111n m mn A A A A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎝⎭,1111n m mn A A A A A λλλλλ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭1.2.3设A 为m l ⨯矩阵，B 为l n ⨯矩阵，分块成11111111t r s st t tr A A B B A B A A B B ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪==⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭其中1i A ，2i A ……，it A 的列数分别等于1j B ，2j B ……，tj B 的行数，那么1111r s sr C C AB C C ⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭，其中1tij ik ik k C A B ==∑(i=1……s ；j=1，……，r)1.2.4设1111t s st A A A A A ⎛⎫⎪=⎪⎪⎝⎭，则1111T T t TT T s st A A A A A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭2. 分块矩阵的性质及应用：2.1 分块矩阵的性质：设A 为n 阶矩阵，若A 的分块矩阵只有在对角线上有非零子块，其余子块都为零矩阵，且在对角线上的子块都是方阵，即A=100n A A ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭，其中i A （i=1，2……，s ）都是方阵，那么称A 为分块对角矩阵，分块矩阵的行列式一般据有下列性质12s A A A A =，由此性质可知，若i A ≠0(1,2i s =)则A 0≠，并有11110s A A A ---⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭例：设A=500031021⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ 求1A -解：500031021A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭=1100A A ⎛⎫⎪⎝⎭，其中()11115,5A A -⎛⎫== ⎪⎝⎭，23121A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，121123A --⎛⎫= ⎪-⎝⎭，所以11005011023A -⎛⎫⎪ ⎪=- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭ 2.2 将分块矩阵与初等变换结合在矩阵运算及球逆矩阵中具有重要作用：现将某个单位矩阵如下进行分块：00mn EE ⎛⎫⎪⎝⎭对其进行行（列）对换等作用，可得到如下类型一些矩阵：0000,,,,0000n m mmm n n n E P E P E E E E E P E P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭用这些矩阵左乘或右乘任一个分块矩阵A B C D ⎛⎫⎪⎝⎭，只要分块乘法能够进行，其结果就是对它进行相应的变换，如0mn EA B A B PE C D C PA D PB ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，适当选择P 可使C PA +=0，例如A 可逆时，选1P CA -=-则0C PA +=，于是上式的右端可成为10A B D CA B -⎛⎫⎪-⎝⎭，其在求逆矩阵方面是非常有用的，例1：0A T C D ⎛⎫=⎪⎝⎭，A D 可逆，求1T -解：由10000mn E A A CA E C D D -⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭及1110000A A D D ---⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭易知11100A TD ---⎛⎫= ⎪⎝⎭10m n E CA E -⎛⎫ ⎪-⎝⎭=11110A D CA D ----⎛⎫⎪-⎝⎭例2：1A B T C D ⎛⎫= ⎪⎝⎭，设T 可逆，D 可逆，试证11()A BD C ---存在，并求11T -解：由10mn A B E BD C D E -⎛⎫-⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭10A BD CCD -⎛⎫-= ⎪⎝⎭，而又端仍可逆故11()A BD C ---存在再由上题例1可知11111111()0()A BD C T D C A BD C D -------⎛⎫-= ⎪--⎝⎭10m n E BD E -⎛⎫- ⎪⎝⎭=111111111111()()()()m m A BD C E A BD C BD D C A BD C E D C A BD C BD D ------------⎛⎫---= ⎪---+⎝⎭2．3分块矩阵在证明关于矩阵乘积的秩的定理中的作用：例：设A 是数域P 上n m ⨯矩阵，B 是数域P m s ⨯上矩阵，于是秩（ＡＢ）min ≤秩（Ａ），秩（Ｂ），即乘积的秩不超过各因子的秩证明：只需证明秩()AB ≤秩()B ，同时秩()AB ≤秩()A ，分别证明这两个不等式设1112121222123m m n n n a a a a a a A a a a ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭，111212122212s s m m ms b b b b b b B b b b ⎛⎫⎪ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭令12,,,m B B B 表示Ｂ的行向量（即对Ｂ进行分块）12,,,n C C C 表示AB 的行向量，由计算可知，i C 的第j 个分量和1122i i im m a B a B a B +++的第j 的分量都等于1mik kj k a b =∑，因而()11221,2,,i i i im m C a B a B a B i n =+++=即矩阵AB 的行向量组12,,,n C C C 可经由B 的行向量组线性表示出所以AB 的秩不能超过B 的秩，即秩()AB ≤秩()B同样，令12,,,m A A A 表示A 的列向量，12,,,s D D D 表示AB 的列向量，由计算可知，()11221,2,,i i i mi m D b A b A b A i s =+++=这个式子表明，矩阵AB 的列向量组可由矩阵A 的列向量组线性表示出，因而前者的秩不仅＼可能超过后者的秩，这就是说秩()AB ≤秩()A（注：在此证明中用分块矩阵的方法，即12m B B B B ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭这就是B 的一种分块，按分块相乘就有111122121122221122m m m m n n nm m a B a B a B a B a B a B AB a B a B a B +++⎛⎫⎪+++ ⎪= ⎪⎪+++⎝⎭很容易看出AB 的行向量是B 的行向量的线性组合） ２.４ 分块矩阵在线性方程组方面的应用对于线性方程组11112211211222221112n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ 记()ij A a =，12n x x X x ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，12m b b b b ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭，11121112n m m mnm a a a b B a a a b ⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭，A 为系数矩阵，X 为未知向量，b 为常数项向量，B 为增广矩阵按分块矩阵记法可记为()B A b =或(),B A b =此方程也可记为AX b =，把系数矩阵A 按行分成m 块，则AX b =可记做12m A A A ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭X ＝12m b b b ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭把系数矩阵A 按列分成n 块，则与相乘的X 对应按行分成n 块，记作()12,,,n ααα 12n x x x ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭b =，即1122n n x x x b ααα+++=，其都为线性方程组的各种变形形式，在求解过程中变形以更方便快捷例：利用分块矩阵证明克拉默法则：对于n 个变量n 个方程线性方程组11112211211222221112n n n n n n nn n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩如果他的系数行列式0D ≠，则它有唯一解，即()()1122111,2,,j j j j n nj x D b A b A b A j n D D==+++=证明把方程组改写成矩阵方程AX b =，这里()ijn nA a ⨯=为n 阶矩阵，因0A D =≠，故1A -存在，令1X A b -=，有1AX AA b -=表明1X A b -=是方程组的解向量，由Ax b = ，有11A AX A b --= ，即1X A b -=，根据逆矩阵的唯一性，知1X A b -=是方程的唯一解向量，由逆矩阵公式11A A A-*=，有11x A b A b D-*==即111211111122112122222112222212112211n n n n n n n n nnn n n n n nn x A A A b b A b A b A x A A A b b A b A b A D D x A A A b b A b A b A +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪⎪+++ ⎪ ⎪⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭即()()1122111,2,,j j j n nj j x b A b A b A D j n D D=+++==结束语：矩阵得分快不算是一个抽象的概念，我们能够清楚的了解知道并掌握它的概念及性质，进而能够灵活的运用，这样对我们今后的学习与研究都会有很大的帮助。
分块矩阵在矩阵证明题中的应用
分块矩阵在矩阵证明题中的应用作者：赵中华来源：《中国教育技术装备》2010年第09期摘要结合矩阵中的一些结论,讨论分块矩阵在矩阵证明题中的应用。
例题说明分块的方法是矩阵证明题中较简捷、有效的方法。
关键词分块矩阵;秩;初等变换中图分类号:O241.6 文献标识码:B 文章编号:1671-489X(2010)09-0052-03Application of Block Matrix in Proof of Matrix//Zhao ZhonghuaAbstract The paper discusses the application of block matrix in the proof of matrix, combined with the conclusions of matrix. Examples show that the way of block is more effective and succinct in the proof of matrix.Key words block matrix; rank; primary transformationAuthor’s address Institute of Applied Maths, Nanjing Univ. of Finance & Economics, Nanjing, China 210046在高等代数中,矩阵分块的方法对矩阵证明题来说是一种很好的方法。
本文结合矩阵的初等变换、矩阵秩的有关性质,对相关矩阵进行分块或构造相关的分块矩阵,讨论分块矩阵在证明题型中的应用。
先以常用的2×2的分块矩阵为例,给出几个与分块矩阵相关的定义与性质。
定义1:对m+n阶单位矩阵作2×2分块,即,然后对其作相应的初等变换所得到的矩阵称为分块初等矩阵。
由定义1可得,分块初等矩阵具有以下形式:在高等代数中,利用分块的方法证明矩阵问题的题目还有很多,这里只是列举了其中的一些加以讨论。
分块矩阵与矩阵秩数
分块矩阵与矩阵秩数
刘彦华
【期刊名称】《中国科教创新导刊》
【年(卷),期】2011(000)007
【摘要】本文应用分块矩阵方法证明了一系列矩阵秩数定理.
【总页数】1页(P94-94)
【作者】刘彦华
【作者单位】吉林广播电视大学松原分校教学处,吉林松原,131200
【正文语种】中文
【中图分类】G728
【相关文献】
1.分块矩阵初等变换在矩阵秩中的应用 [J], 成立花;张娟娟
2.关于矩阵秩(不)等式的分块矩阵构造证明 [J], 王廷明
3.分块矩阵在证明矩阵秩的性质上的应用 [J], 刘力
4.元素为两个幂等矩阵的线性组合的分块矩阵的秩 [J], 左可正;余红宴
5.分块矩阵在求矩阵秩及其相关不等式证明中的应用 [J], 黄志君
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分块矩阵的几种用法
Ａ１ 1 4 2 Ａ２ 5 （１） 2 ＝ 5 0 2 5 Ａｓ 6 3 （２） Ｏ Ａ Ｏ ＝ ( Ａ Ｏ* ( Ａ
－１ １ ２ １ －１
－１
－１ 1 4 Ａ１ 2 －１ 5 2 Ａ２ 5 0 2 5 2 － １5 Ａ 3 ｓ 6
Ａ２
－１
Ｒ （ ＢＣ） － Ｒ（ Ｂ） 。
由此可以看出 ， 解决此类问题应先将不等式中的“ 变为 －” ， 由不等式大的一边向另一边证明。 “ ＋” ２． 解决与行列式有关的问题 在解决此类与行列式有关的问题时 ， 这里我们是先通过 一系列的矩阵的初等变换 ， 把原来的矩阵化为三角矩阵或对 角矩阵 ， 这样我们所求矩阵的行列式就是对角线上各分块的 矩阵行列式的积。 例１ 设 Ａ， Ｂ∈Ｍｎ（Ｆ）， 且 Ａ＋Ｂ， Ａ－ Ｂ可逆。证明 ： Ｐ＝
－１
－１
－１
定 理２
若对矩阵
, , , Ａｍｎ Ｉｍ Ｉｎ Ｏ Ｂｍｎ Ｐｍ Ｑｎ Ｉｎ Ｏ Ａｍｎ － Ｂｍ Ｑｎ
经过前 ｍ行的初等行变换 ， 前 ｎ 列 ， 则有 ＰｍＡｍｎＱｎ＝Ｂｍｎ 。 作 如 下 变 换 ： 前ｎ列 作 初 等
列变换后再进行 （ ｉ） 列 × ａｉ＋（ｎ＋１）列 （ ｉ＝１ ， ２ ， … ， ｎ ） 的 列 变 换 得 到
此类问题就是利用初等变换把分块矩阵化为题目要求的 形式。 ３． 解决求逆矩阵的问题 在求一个矩阵的逆矩阵时 ， 一般地我们可以通过求其伴 随矩阵和矩阵的行列式来求 ， 但对一些矩阵 ， 对其进行适当的 分块 ， 并利用一定的结论可以使问题更加轻松地得到解决。 下 面给出两个常用的结论 ： 设 Ａｉ（ｉ＝１ ， ２ ， … ， ｓ）都是可逆矩阵 ， 则有
# ａ２１ｘ１＋ａ２２ｘ２＋… ＋ａ２ｎｘｎ＝ｂ２ 设非齐次线性方程组为 （ Ｉ） " ， + # ａｎ１ｘ１＋ａｎ２ｘ２＋… ＋ａｎｎｘｎ＝ｂｎ $ ｘ１ ( % ｂ１ ( % & & ) ｘ２ ｂ２ ) 将 （ Ｉ） 写为矩阵方程为 ＡＸ＝Ｂ， 其中 Ｘ＝ & ， Ｂ＝ & ) 。 ) +) & +) & ｘｎ * ’ ｂｎ * ’
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—— 科协论坛 ・ 2011 年第 10 期 （下） ——
m - s + t - n， 即秩 B≥秩 A - m + s - t +n 命题 6： 已知秩(AB)=秩(B),试证对任意可右乘矩阵 C， 有 秩(ABC)=秩(BC)
引理 3： 引理 4：
证明： 由引理 1 得， (ABC)≤秩(BC)， 秩 因为 于是由引理 1-4 得：
引理 5： 命题 2： m×n 矩阵。 证明： 因为 ， 于是由引理 1 得 从而有秩 （ABC） （AB） 秩 ≥秩 + （BC）- 秩 (B)， 又已知秩 （AB） =秩（B） 代入上式得秩（ABC） , ≥秩（BC） ，所以，秩 （ABC） （BC） =秩 推论 1 ： A 为 n 阶矩阵， 设 证明 An = 秩 An+1 = 秩 An+2=… 又因为 ， 综上即得 证明： 因为 n = 秩 E = 秩 A0≥秩 A≥秩 A1≥秩 A2…≥秩 An≥0 于是必有正整 k(0≤k≤n)， 使秩 Ak≥秩 A k+1， 由命题 6 得 秩 An = 秩 An+1 = 秩 An+2 = … 命题 3： A 为 s×n 矩阵， 设 则有， 秩(E-ATA) - 秩(ES-ATA) = n - s。 证明： 因为 1-5 得 又因为 ， 同理可得 ， 于是由引理 3 结语 本文从利用分块矩阵求矩阵的秩和证明矩阵秩的不等式 两方面讨论了分块矩阵的应用， 通过以上实例我们可以看出, 分块矩阵的在解决有关矩阵秩的一些问题时具有简洁、 快速、 易于操作等特点, 可以让人对分块矩阵这一工具的实用价值 有所认识和了解， 它既是一种解题方法又是一种解题技巧。 但 它的应用并不止这些，它还有更宽更广的应用还有待于我们 去深入的探索和研究。 所以有： (E-AAT) - 秩(ES-AAT) = n - s。 秩 命题 4： 设为 m×n 矩阵， s 是从 A 中取 s 行得到的矩阵， A 则秩 As≥秩 A+s-m 证明： 不妨设 As 是 A 的前 s 行， 而后 m-s 行构成的矩阵为 B， 则 ， 其中 A, B 均为
矩阵 (b22B4-B3B2) 的元素又可通过矩阵 B 的元素很有规则 地用 2 阶行列式表示成一个 (m-2)× (n-2) 矩阵， 如此继续下去，
—— 科协论坛 ・ 2011 年第 10 期 （下） ——
93理 5 得 ， 由命题 4 知 又因为 所以 A≤秩 B +
经过 m-2 次计算矩阵的秩， 最后剩下一个 2× (n+2-m)矩阵而求 其秩就是很显然的了， 这样矩阵 A 的秩通过有规则的计算， 可 以很迅速的求出。 2 利用分块矩阵证明矩阵秩的不等式 引理 1： 矩阵乘积的秩不大于每一个因子的秩， 两个因子 中有一个是可逆的， 他们乘积的秩等于另一个因子的秩。 引理 2：
参考文献： [1] 张贤科,许甫华.高等代数学[M].北京:清华大学出版社,2004. [2] 胡景明.分块矩阵在求高阶行列式中的应用[J].河北工程技 术高等专科学校学报,2004(4):50-53. [3] 杨子胥. 用分块矩阵证明矩阵秩的一些性质 [J]. 数学通报, 1985(3):40-45. [4] 刘力.分块矩阵在证明矩阵秩的性质上的应用[J].沧州师范
， 其中 A1 = (a11)， 2 = A
。 由分块矩阵
分别是 m 阶, n 阶可逆矩阵，
把求 m×n 矩阵 A 的秩数的问题转化为求(m-1)× (n-1)矩阵 (a11A4-A3A2)的秩数问题， 而后面这个矩阵(a11A4-A3A2)的元素可 通过 A 的元素很有规则地用 2 阶行列式表示， 即
在高等代数的证明和计算中你是否遇到过很多困惑，有 时推来推去又回到了起点； 有时就好像走到了绝路， 前面无路 可走； 有时甚至找到的是一条繁琐的路， 让人头昏眼花……这 些都说明你的思路和方法出现问题， 需要改变前进的方向。 很 多时候如果尝试对矩阵进行分块，再用矩阵的一些定理来进 行分析， 就会经常能看到胜利的曙光。 矩阵是一种新的运算对象，我们应该充分注意矩阵运算 的一些特殊规律。为了研究问题的需要，适当地对矩阵进行 分块， 把一个大矩阵看成是由一些小矩阵块为元素组成的， 这 样可使矩阵的结构看的更清楚。矩阵的分块是处理阶数较高 的矩阵时常用的方法,用一些贯穿于矩阵的纵线和横线将矩阵 分成若干子块, 使阶数较高的矩阵化为阶数较低的分块矩阵, 在运算中, 我们有时把这些子块当作数一样来处理, 从而简化 了表示,便于计算。分块矩阵有相应的加法、 乘法、 数乘、 转置 等运算的定义。分块矩阵在高等代数中是一个非常重要的工 具， 它有很重要的理论意义， 在数学计算的很多方面都有比较 好的应用， 它使的计算变得更简单， 使我们更容易理解并掌握。 因此, 如何直接运用分块矩阵显得非常重要， 利用分块矩阵不 仅能使矩阵的一些证明和计算变得非常简洁和快速，易于学 生理解和掌握, 而且能开拓学生思维， 提高学生灵活应用知识 解决问题的能力。 1 用分块矩阵求矩阵的秩 命题 1： 设 是一个 m×n 矩阵， 1 = (a11)≠0， 2 A A 其中 (i = 2,3,…,m ) 所以 而 即 乘法有： (a12,a13,…,a1n) ，
于是由引理 5 得 命题 5： A 为 m×n 矩阵， 是 A 的一个 s×t 矩阵， 设 B 则秩 B≥秩 A + s +t - m- n 证明 ： 不妨设 B 位于 A 的左上角， 且设
专科学校学报,2006,4(22):39-41. [5] 张禾瑞,郝炳新.高等代数 (第 4 版)[M].北京:人民教育出版 社,1995.
科研探索
与 知识创新
分块矩阵在求矩阵秩及其相关不等式证明中的应用
□ 蒋滟君
江苏・沭阳 223600）
（宿迁经贸高等职业技术学校 摘
要： 分块矩阵是矩阵论中的重要内容之一， 在很多方面都有很好的应用。 运用矩阵分块的思想， 可使解题更
简洁， 思路更开阔。从利用分块矩阵求矩阵的秩和证明矩阵秩的不等式两方面讨论了分块矩阵的应用。 关键词： 分块矩阵 中图分类号： O177 矩阵的秩 矩阵秩的不等式 文献标识码： A 文章编号： 1007-3973 2011） （ 010-093-02
= (a12,a13,…,a1n)
如果 b22 ≠ 0， 则矩阵 B 的秩为 r(B)= 1+r(b22B4-B3B2)， 其中 B1 = (b22),B2 = (b23…b2n), 。
分别为 1×1， (n-1),(m-1)×1,(m-1)(n-1)矩阵,则 r (A)= 1+r 1× (a11A4-A3A2)。 证明： 因为