第六章-5-相角裕度和幅值裕度以及闭环频率特性指标
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5.5闭环频域指标
估算时域指标方法：
（1）从开环对数频率特性曲线确定相角裕度 （2）根据 查对应的
（3）由 查图3-13得 % ；由 n t s 3.5 / 求 n t s
nts ts n
(1)典型二阶系统频域指标与时域指标的关系
闭环频域指标：
Mr
1 2 1
自然振荡频率不变，阻尼比越小，带宽越大 带宽与系统响应速度成正比！
频率尺度与时间尺度的反比性质
二 、系统带宽的选择 带宽频率是一项重要指标。 选择要求 既能以所需精度跟踪输入信号，又能拟制噪声扰动 信号。在控制系统实际运行中，输入信号一般是低频信 号，而噪声信号是高频信号。
带宽指标取决于下列因素：
由此可看出，谐振峰值Mr仅与阻尼比ζ有关，超调量 也仅取决于阻尼比 ζ
ζ越小，Mr增加的越快，这时超调量 p 也很大， 超过40%，一般这样的系统不符和瞬态响应指标的 要求 当0.4< ζ <0.707时，Mr与 p 的变化趋势基本一 致，此时谐振峰值Mr=1.2 ~ 1.5，超调量 p =20% ~30%，系统响应结果较满意 当 ζ >0.707时，无谐振峰值，Mr与 p 的对应关 系不再存在，通常设计时， ζ取在0.4至0.7之间
闭环阶跃响应时域指标：
% e
/ 1 2
100 %
t p / wd /(wn 1 2 ) t r ( ) / wd ( ) /(wn 1 2 ) 3 .5 ts wn ( 0.05, 0 0.9)
闭环截止频率ωb
由ωb的定义知
M(ω )
Mr M(0)
0.707 1
L(b ) L(0) 3 3 1 20 LgM (b ) 20 Lg 3 1 T 2b 2 1 M (b ) 0.707 1 T 2b 2
5-5闭环系统的频域性能指标
10
典型二阶系统估算时域指标方法： 典型二阶系统估算时域指标方法： （1）确定相角裕度 γ ） （2）根据 γ 查P22,图5-42对应的 ） 图 对应的 （3）由 ）
ζ
t ζ 计算得到 σ % ，s
12:54
11
ϕ (ω ) = −1800 + γ (ω )
0
开环频率特性表示为： 开环频率特性表示为： G ( jω ) = A(ω )e j[ −180 +γ (ω )] = A(ω )[− cos γ (ω ) − j sin γ (ω )] 闭环幅频特性： 闭环幅频特性：
M (ω ) = G ( jω ) = 1 + G ( jω ) A(ω ) [1 + A (ω ) − 2 A(ω ) cos γ (ω )]
ωc
= arctan[2ζ ( 4ζ 4 + 1 − 2ζ 2 ) ]
−
1 2
高阶系统： 高阶系统： 开环频域指标与时域指标不存在解析关系，常用 软件计算。 开环频域指标与时域指标不存在解析关系，常用MATLAB软件计算。 软件计算 或用以下近似估算： 或用以下近似估算：
σ = 0.16 + 0.4(
5-5 闭环系统的频域性能指标 闭环系统的频域性能指标
闭环频率特性性能指标常用的有下列两项： 闭环频率特性性能指标常用的有下列两项： 常用的有下列两项 1.谐振峰值 M r：系统闭环频率特性幅值的最大值。 谐振峰值 系统闭环频率特性幅值的最大值。 闭环频率特性幅值的最大值 2.系统带宽和带宽频率ω b 。 系统带宽和带宽频率
2 1 2
= [
1 1 － cos γ (ω )]2＋sin 2 γ (ω ) A(ω )
M (ω )
自动控制理论-频率特性性能指标
力越强，鲁棒性越好。
改善动态性能ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ法
增加开环增益
提高系统对误差的敏感性，加 快响应速度，但可能导致系统
不稳定。
增加相位补偿环节
改善系统相位特性，提高稳定 性和阻尼比，但可能降低响应 速度。
采用串联校正网络
在系统中串联校正网络以改善 频率特性，提高动态性能指标 。
采用并联校正网络
在系统中并联校正网络以改善 幅相特性，提高抗干扰能力和
鲁棒稳定性分析
通过分析系统在不同频率 下的稳定性裕度，评估控 制系统的鲁棒稳定性。
鲁棒性能设计
根据系统性能指标和不确 定性范围，设计鲁棒控制 器以提高系统鲁棒性能。
灵敏度分析
通过灵敏度函数分析系统 对不同频率扰动的敏感程 度，指导鲁棒控制器的设 计。
PART 06
实验与案例分析
实验目的和原理介绍
调节时间
系统响应从初始状态 到达并保持在设定值 附近所需时间。
频率特性对动态性能影响
截止频率
01
影响系统响应速度和带宽，截止频率越高，系统响应速度越快，
带宽越宽。
相位裕度
02
影响系统稳定性和阻尼比，相位裕度越大，系统越稳定，阻尼
比越小。
幅值裕度
03
影响系统抗干扰能力和鲁棒性，幅值裕度越大，系统抗干扰能
不稳定系统频率特性分析
幅频特性
不稳定系统的幅频特性曲线可能在某些频率范围内出现峰值，表明系统对某些频率的信号具有放大作用。这可能 导致系统产生振荡或不稳定行为。
相频特性
不稳定系统的相频特性曲线可能出现较大的相位滞后，使得系统在特定频率下的输出与输入之间存在较大的相位 差。这可能导致系统无法及时响应输入信号的变化，从而影响系统的稳定性。
相角裕度幅值裕度知识讲解
(x ) 9 0 a 0r x a cr 0 t . 1 a x c 1 0 n t 8x a 0 3 . 1 n rs
h2l0g
20
2l0g 20
x 1x2 10.0•1x2
x 0x2
2l0g3.212 066.0d2B
P198
5-13
已知系统的开环传递函数 G(s 试计算K=4、10的稳定裕度。
A (c)G (jc)H (jc)1
n2
1
c c2 2n2
10 8 G 0 jc H jc
1800 900 arctan c 2n
＝arctan2n c
cn 14422
arctan 2 144 22
P200 例5-14（图解法、近似计算法、精确计算法）
已知系统的开环传递函数，试计算 G(s)
为了使最小相位系统稳定，相角裕度必须为正。 在对数坐标图上的临界稳定点为0dB和－1800
幅值裕度又称增益裕度(Gain Margin)
相角为-180°点所对应的频率为穿越频率
(x ) G jx H jx 10 80
定义幅值裕度为
h
1
GjxHjx
幅值裕度h的物理意义：
对于闭环稳定系统，如果系统开环幅频特性再增大h
4
h 1 2l0 g G (j x) 2l0 g 3 6 (d)B (31 )2
G (j)j K 1 3(2 K 1 )2 3ex j( 3 p t g 1 )
K=10时：
10
( c21)2 3 1,
c1
1
03011.9
1
2 1 0 8 c 0 1 0 3 8 t 1 1 g . 9 0 7 1 0
=0+
G(j)j(jT 1K 1)(jT 21)
h2l0g
20
2l0g 20
x 1x2 10.0•1x2
x 0x2
2l0g3.212 066.0d2B
P198
5-13
已知系统的开环传递函数 G(s 试计算K=4、10的稳定裕度。
A (c)G (jc)H (jc)1
n2
1
c c2 2n2
10 8 G 0 jc H jc
1800 900 arctan c 2n
＝arctan2n c
cn 14422
arctan 2 144 22
P200 例5-14（图解法、近似计算法、精确计算法）
已知系统的开环传递函数，试计算 G(s)
为了使最小相位系统稳定，相角裕度必须为正。 在对数坐标图上的临界稳定点为0dB和－1800
幅值裕度又称增益裕度(Gain Margin)
相角为-180°点所对应的频率为穿越频率
(x ) G jx H jx 10 80
定义幅值裕度为
h
1
GjxHjx
幅值裕度h的物理意义：
对于闭环稳定系统，如果系统开环幅频特性再增大h
4
h 1 2l0 g G (j x) 2l0 g 3 6 (d)B (31 )2
G (j)j K 1 3(2 K 1 )2 3ex j( 3 p t g 1 )
K=10时：
10
( c21)2 3 1,
c1
1
03011.9
1
2 1 0 8 c 0 1 0 3 8 t 1 1 g . 9 0 7 1 0
=0+
G(j)j(jT 1K 1)(jT 21)
《自动控制原理》第6章_自动控制系统的校正
频率法校正的基本原理： 利用校正网络的特性来增大系统的相位裕度，
改善系统瞬态响应。
校正装置分类
校正装置按 控制规律分
超前校正（PD） 滞后校正（PI）
滞后超前校正（PID)
校正装置按 实现方式分
有源校正装置（网络） 无源校正装置（网络）
有源超前校正装置
R2
u r (t)
i 2 (t)
R1
i1(t)
(aTa s
1)(Tb a
s
1)
滞后--超前网络
L'()
20db / dec
20 lg K c
1 1/ T1 2 1/ T2
设相角为零时的角频率
1
()
a)
20db / dec
5
1 T1T2
90
5 校正网络具有相
5
位滞后特性。
90
b)
5 校正网络具有相位
超前特性。
G( j)
Kc
( jT1
G1 (s)
N (s) C(s)
G2 (s)
性能指标
时域：
超调量 σ%
调节时间 ts
上升时间 tr 稳态误差 ess
开环增益 K
常用频域指标:
开环频域 指标
截止频率: 相角裕度:
c
幅值裕度:
h
闭环频域 指标
峰值 : M p
峰值频率: r
带宽: B
复数域指标 是以系统的闭环极点在复平面
上的分布区域来定义的。
解：由稳态速度误差系数 k v 1应00 有
G( j)
100
j( j0.1 1)( j0.01 1)
100 A()
1 0.012 1 0.00012
改善系统瞬态响应。
校正装置分类
校正装置按 控制规律分
超前校正（PD） 滞后校正（PI）
滞后超前校正（PID)
校正装置按 实现方式分
有源校正装置（网络） 无源校正装置（网络）
有源超前校正装置
R2
u r (t)
i 2 (t)
R1
i1(t)
(aTa s
1)(Tb a
s
1)
滞后--超前网络
L'()
20db / dec
20 lg K c
1 1/ T1 2 1/ T2
设相角为零时的角频率
1
()
a)
20db / dec
5
1 T1T2
90
5 校正网络具有相
5
位滞后特性。
90
b)
5 校正网络具有相位
超前特性。
G( j)
Kc
( jT1
G1 (s)
N (s) C(s)
G2 (s)
性能指标
时域：
超调量 σ%
调节时间 ts
上升时间 tr 稳态误差 ess
开环增益 K
常用频域指标:
开环频域 指标
截止频率: 相角裕度:
c
幅值裕度:
h
闭环频域 指标
峰值 : M p
峰值频率: r
带宽: B
复数域指标 是以系统的闭环极点在复平面
上的分布区域来定义的。
解：由稳态速度误差系数 k v 1应00 有
G( j)
100
j( j0.1 1)( j0.01 1)
100 A()
1 0.012 1 0.00012
第六章-5-相角裕度和幅值裕度以及闭环频率特性指标
Phase Margin and Gain Margin
自动控制理论
第六章
频域分析方法
周立芳
浙江大学控制科学与工程学系
浙江大学控制科学与工程学系
Phase Margin and Gain Margin
Nyquist稳定判据回顾
由Nyquist稳定判据可知：若已知系统的开环函数G(s)H(s), 即可 知开环的不稳定极点数（位于S的右半平面）PR，在画出该开环传 递函数的极坐标图（Nyquist图）之后，闭环系统的稳定性则由 N Nyquist i t图包围点（-1, 1 j0）的圈数N决定。闭环系统稳定的充要条 决定 闭环系统稳定的充要条 件是：位于S右半平面的极点数ZR为0： ZR＝ PR－N。 许多情况下，开环传递函数的某些系数发生变化时， 许多情况下 开环传递函数的某些系数发生变化时 Nyquist图 也随之发生改变，闭环稳定性也会发生变化。 当Nyquist图穿过（－1，j0）点时，闭环系统临界稳定。 稳定性研究中，将（－1，j0）点称为临界点。 Nyquist图相对于 该点的位置即偏离临界点的程度，反映了系统的相对稳定性。 如果稳定性不够？？－－校正。
1 h 1.25 0.8
1
1 h
Im j
GH
1 Re
x
0
A
j
0
例6-20 的极坐标图
浙江大学控制科学与工程学系
15
Phase Margin and Gain Margin
相角裕度和幅值裕度的求解方法——Bode图法 Bode图法
（三）Bode图法 画出系统的Bode图，由开环对数幅频特性与零分贝线（即 轴）的交 点频率 ，求出对应的相频特性与－ 求出对应的相频特性与 1800线的相移量，即为相角裕度 线的相移量 为相角裕度
自动控制理论
第六章
频域分析方法
周立芳
浙江大学控制科学与工程学系
浙江大学控制科学与工程学系
Phase Margin and Gain Margin
Nyquist稳定判据回顾
由Nyquist稳定判据可知：若已知系统的开环函数G(s)H(s), 即可 知开环的不稳定极点数（位于S的右半平面）PR，在画出该开环传 递函数的极坐标图（Nyquist图）之后，闭环系统的稳定性则由 N Nyquist i t图包围点（-1, 1 j0）的圈数N决定。闭环系统稳定的充要条 决定 闭环系统稳定的充要条 件是：位于S右半平面的极点数ZR为0： ZR＝ PR－N。 许多情况下，开环传递函数的某些系数发生变化时， 许多情况下 开环传递函数的某些系数发生变化时 Nyquist图 也随之发生改变，闭环稳定性也会发生变化。 当Nyquist图穿过（－1，j0）点时，闭环系统临界稳定。 稳定性研究中，将（－1，j0）点称为临界点。 Nyquist图相对于 该点的位置即偏离临界点的程度，反映了系统的相对稳定性。 如果稳定性不够？？－－校正。
1 h 1.25 0.8
1
1 h
Im j
GH
1 Re
x
0
A
j
0
例6-20 的极坐标图
浙江大学控制科学与工程学系
15
Phase Margin and Gain Margin
相角裕度和幅值裕度的求解方法——Bode图法 Bode图法
（三）Bode图法 画出系统的Bode图，由开环对数幅频特性与零分贝线（即 轴）的交 点频率 ，求出对应的相频特性与－ 求出对应的相频特性与 1800线的相移量，即为相角裕度 线的相移量 为相角裕度
一、幅值裕度
为了获得满意的过渡过程，通常要求系统有 45°－70°的相角裕度。这可以通 过减小开环增益K的办法来达到。
但是，减小K一般会使斜坡输入时稳态误差变大。因此有必要应用校正技术，使 系统兼顾稳态误差和过渡过程的要求。
L 对数幅值稳定裕度或对数增益稳定裕度。 g
二、相角裕度
定义 : 在幅相曲线上，相角180 加开环幅相曲线幅值等于1时的
相角, 称为控制系统的相角裕度。
即
＝1 8 0 ＋ (c）
式中c－截止频率或剪切频率。在c处，A(c）＝1。
物理意义 : 如果系统在频率c处的相角迟后再增大度，则系统
将处于临界稳定状态。
求ωc 和相角裕度γ的另一种方法
由已知的开环传递函数得
A()
K
1 2 1 ( )2
5
按定义由 A (ω)＝1就可以求出ωc来，但系统阶数高时，由A (ω)＝1求 ωc是很麻烦的。可以采用近似处理的办法求ωc 。
由图可知因1＜ωc＜5，故可取1 2 ，(认为 2 1)
c
c
c
1
( )2 1 [认为( )2。则 1]
§5-5 控制系统的相对稳定性
一、幅值裕度
定义 : 在幅相曲线上，相角等于－180 时对应幅值的倒数, 称为
控制系统的幅值裕度。
1
即
h
A( g )
式中 g－相角交接频率。在 g 处， ( g）
180。
物理意义 : 稳定系统在相角交界频率 g 处, 若幅值增大h倍，系统
将处于临界稳定状态。
令
L g 20 log h(dB)
由曲线2和3可知，K ＝2时，相角裕度和幅值裕度分别是
24 , L 20 log h 10(dB)
稳定裕度
j 1
m
(1 ij )
j
(1 T j )
闭环传递函数和频率特性可表示为：
GK ( s ) ( s) 1 GK ( s ) K (1 i s ) s
m i 1 j
(1 T s) K (1 s)
j 1 i 1 i m
n
|M(j|下降到
[0, b ]称为系统带宽。
2 M 0 时，对应的频率 b 称为带宽频率。频率范围 2
5.8 闭环系统性能分析
16
一、稳态性能指标分析：
如果通过频率特性曲线能确定系统的无差度阶数 v（即积分环节的个数） 和开环放大系数 K 的话，则可求得系统的稳态误差。（见3.6 稳态误差分析） 在波德图上，低频渐近线的斜率 和 的关系如下： 由 20 (dB / Dec),可求得 值； 也可由
|M(j|下降到
② 对典型欠阻尼二阶系统而言，性能指标与系统的特征参数有关。欠 阻尼二阶系统的特征参数是阻尼系数z 和无阻尼震荡频率。
tp 2 d n 1z
d%e
z
1z 2
100%
4 z ，当Δ 2时 n ts 3 ，当Δ 5时 z n
③ 对临界阻尼和过阻尼二阶系统而言，性能指标只有ts 。
60 40 20 0 -20 -40 -60 -80 -100 -120 -90 -120 -150 -180 -210 -240
10
K=30 K=3 K=0.3
－20dB/dec
当K=3，c=1.583， 23.3° 当K=30， －40dB/dec c=5.12， 16° －60dB/dec
20 0 -20 -40 -60 -80 -100 -120 -140 -90 -120 -150 -180 -210 -240 -270 0.01 0.1 1 10 100 1000
m
(1 ij )
j
(1 T j )
闭环传递函数和频率特性可表示为：
GK ( s ) ( s) 1 GK ( s ) K (1 i s ) s
m i 1 j
(1 T s) K (1 s)
j 1 i 1 i m
n
|M(j|下降到
[0, b ]称为系统带宽。
2 M 0 时，对应的频率 b 称为带宽频率。频率范围 2
5.8 闭环系统性能分析
16
一、稳态性能指标分析：
如果通过频率特性曲线能确定系统的无差度阶数 v（即积分环节的个数） 和开环放大系数 K 的话，则可求得系统的稳态误差。（见3.6 稳态误差分析） 在波德图上，低频渐近线的斜率 和 的关系如下： 由 20 (dB / Dec),可求得 值； 也可由
|M(j|下降到
② 对典型欠阻尼二阶系统而言，性能指标与系统的特征参数有关。欠 阻尼二阶系统的特征参数是阻尼系数z 和无阻尼震荡频率。
tp 2 d n 1z
d%e
z
1z 2
100%
4 z ，当Δ 2时 n ts 3 ，当Δ 5时 z n
③ 对临界阻尼和过阻尼二阶系统而言，性能指标只有ts 。
60 40 20 0 -20 -40 -60 -80 -100 -120 -90 -120 -150 -180 -210 -240
10
K=30 K=3 K=0.3
－20dB/dec
当K=3，c=1.583， 23.3° 当K=30， －40dB/dec c=5.12， 16° －60dB/dec
20 0 -20 -40 -60 -80 -100 -120 -140 -90 -120 -150 -180 -210 -240 -270 0.01 0.1 1 10 100 1000
自动控制原理第六章
G(s)
K0 K p (Ti s 1) Ti s2 (Ts 1)
表明：PI控制器提高系统的型号，可消除控制系统对斜 坡输入信号的稳态误差，改善准确性。
校正前系统闭环特征方程：Ts2+s+K0=0 系统总是稳定的
校正后系统闭环特征方程：TiTs3 Ti s2 K p K0Ti s K p K0 0
调节时间 谐振峰值
ts
3.5
n
Mr
2
1 ,
1 2
0.707
谐振频率 r n 1 2 2 , 0.707
带宽频率 b n 1 2 2 2 4 2 4 4 截止频率 c n 1 4 4 2 2
相角裕度
arctan
低频段：
开环增益充分大， 满足闭环系统的 稳态性能的要求。
中频段：
中频段幅频特性斜 率为 -20dB/dec， 而且有足够的频带 宽度，保证适当的 相角裕度。
高频段：
高频段增益尽 快减小，尽可 能地削弱噪声 的影响。
常用的校正装置设计方法 -均仅适用最小相位系统
1.分析法(试探法)
特点：直观，物理上易于实 现，但要求设计者有一定的 设计经验，设计过程带有试 探性，目前工程上多采用的 方法。
列劳思表：
s3 TiT
K p K0Ti
s2 Ti
K pK0
s1 K p K0 (Ti T )
s0 K p K0
若想使系统稳定，需要Ti>T。如果 Ti 太小，可能造成系 统的不稳定。
5.比例-积分-微分(PID)控制规律
R( s )
E(s)
C(s)
K
p (1
第六章线性系统的校正方法
第六章线性系统的校正方法第六章线性系统的校正方法一、教学目的与要求：通过对本章内容的讲述，要让学生懂得校正的目的，校正的基本方式。
掌握控制系统的基本控制规律，常用校正装置的特点与功能，串联超前、滞后、滞后- 超前校正的设计步骤。
关键是通过这些知识的学习，将前面几章的内容综合起来加以运用，本章知识是在实际应用中的指导思想。
二、授课主要内容：1．系统的设计与校正问题1）性能指标2）校正方式3）基本控制规律2．常用校正装置及其特性1）无源校正装置2）有源校正装置3．串联校正1）串联超前校正2）串联滞后校正3）串联滞后—超前校正（详细内容见讲稿）三、重点、难点及对学生的要求（掌握、熟悉、了解、自学）（1）重点掌握的内容1）掌握用解析法设计一阶、二阶串联校正装置的方法。
2）掌握本书介绍的两大类利用Bode 图设计串级校正装置的频率域方法。
3）掌握本书中介绍的前馈校正装置（包括前置滤波器）的设计方法。
（2）一般掌握的内容1）掌握用解析法设计串联PID 控制器的方法。
2）掌握用解析法设计并联校正装置的方法。
（3）一般了解的内容1）了解校正的四大方式及其作用。
2）了解校正装置的RC 网络实现的物理构成。
3）了解解析法设计一般二次校正装置的思想。
4）了解频率域与时域指标间的互换公式。
四、主要外语词汇性能指标performance specification 校正方式compensation mode 基本控制规律basic control rule 串联校正series compensation 反馈校正feedbackcompensation 超前校正lead compensation 滞后校正lag compensation 超前-滞后校正lag-lead compensation 复合校正complex compensation五、辅助教学情况（见课件）六、复习思考题1. 什么是控制系统的校正？什么是串联校正方式？校正装置的选取原则是什么？2. 简述串联校正方式中调节器的设计方法并说明各设计方法的特点？3. 比例微分控制规律对改变系统的性能有什么作用？4. 比例积分控制规律对改变系统的性能有什么作用？5. Kc、Ti 及Td 改变后对系统控制质量的影响如何?6. 分析积分作用的强弱，对系统有何影响？7. 将PID 环节中的微分部分改为不完全微分形式，曲线形状如何？七、参考教材（资料）1．《自动控制理论与设计》曹柱中徐薇莉编上海交通大学出版社2．《自动控制原理》翁思义杨平编著中国电力出版社参考两书第六章有关内容。
幅值裕度和相角裕度
幅值裕度和相角裕度
幅值裕度和相角裕度是控制系统设计中非常重要的两个指标。
幅值裕度是指系统增益的变动范围，即输入信号变化时系统输出信号的最大变化范围与输入信号幅值的比值。
相角裕度是指系统相位的变动范围，即输入信号变化时系统输出信号相位的最大变化范围与输入信号相位的比值。
幅值裕度和相角裕度的大小直接影响系统的稳定性和性能。
幅值裕度越大，系统对于幅度变化的容忍度也就越大，系统的稳定性越好；相角裕度越大，系统对于相位变化的容忍度也就越大，系统的稳定性也越好。
因此，在系统设计中，需要根据具体的要求和控制目标，合理地选择幅值裕度和相角裕度的大小，以确保系统的稳定性和性能。
在实际的控制系统中，一般采用控制理论中的方法来计算幅值裕度和相角裕度，并根据计算结果进行系统设计和调节。
同时，也需要进行系统的实验和测试，以验证系统的稳定性和性能是否符合设计要求。
- 1 -。
自动控制原理53稳定裕度
（1）幅值裕度h ：令相角为180时对应的频率为g （相角穿越频率），频率为g 时对应的幅值A(g)的倒数， 定义为幅值裕度h ，即 1 h A( g ) 或 20lgh = 20lg A(g)
（2）相角裕度 ：令幅频特性过零分贝时的频率为c （幅值穿越频率），则定义相角裕度 为
K (T1 s 1) G( s ) 2 s (T2 s 1)
= 180 + arctancT1 180 arctancT2
(3) 1、2保持不变， h =2/1 中频段宽度
h
与中频段的斜率有关，而且还与中频段宽度有关： 中频段宽度
10
() Mr 70 p% 8 60 100 7 50 80 6 40 60 5 30 40 4 p 20 20 3 Mr 10 0 2 0 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
24
② Mr 、 b 与ts 的关系
M ( b )
2 n
( ) 4(n b )
2 n 2 2 b
2
0.707
b n 1 2 2 2 4 2 4 4
ts 3
n
b t s
3
1 2 2 2 4 2 4 4
25
2. 高阶系统
M p 0.16 0.4( M r 1)
ts k1
c
k1 2 1.5( M r 1) 2.5( M r 1)
C(s)
由A(c) =1，计算开环截止频率c有 2 n 1 c n 1 4 4 2 2 c c2 ( 2n )2
14
则相角裕度 为
() p%
100 80 60 40 20 0
（2）相角裕度 ：令幅频特性过零分贝时的频率为c （幅值穿越频率），则定义相角裕度 为
K (T1 s 1) G( s ) 2 s (T2 s 1)
= 180 + arctancT1 180 arctancT2
(3) 1、2保持不变， h =2/1 中频段宽度
h
与中频段的斜率有关，而且还与中频段宽度有关： 中频段宽度
10
() Mr 70 p% 8 60 100 7 50 80 6 40 60 5 30 40 4 p 20 20 3 Mr 10 0 2 0 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
24
② Mr 、 b 与ts 的关系
M ( b )
2 n
( ) 4(n b )
2 n 2 2 b
2
0.707
b n 1 2 2 2 4 2 4 4
ts 3
n
b t s
3
1 2 2 2 4 2 4 4
25
2. 高阶系统
M p 0.16 0.4( M r 1)
ts k1
c
k1 2 1.5( M r 1) 2.5( M r 1)
C(s)
由A(c) =1，计算开环截止频率c有 2 n 1 c n 1 4 4 2 2 c c2 ( 2n )2
14
则相角裕度 为
() p%
100 80 60 40 20 0
自动控制原理第六章线性系统的校正方法
5 • 20 •c • 6 •c 1 c •1• • 200 •cc
c 3rad s
230
验算指标(相角裕度) c 2.1rad s
(20j 1)(6j 1) • 5
1
(200j 1)(0.3j 1)j(j 1)(0.25j 1)
180 0＋(c)
（2）画出未校正系统的伯德图，计算未校正系统的
相角裕度和截止频率。
（3）根据设计要求，确定期望相角裕度和截止频率。
Mr
1
sin
,
350 900
超调量 0.16 0.4(Mr 1), 1 Mr 1.8
调节时间
ts
K c
K 2 1.5(M r 1) 2.5(M r 1)2
超调量 0.3 0.16 0.4( 1 1) , 1 1.35 460
装置：
(1)
Kv
70
1 s
(2)
ts 0.1S
(3) % 30%
解(1) 根据I型系统和速度误差系统要求取:K=70
G( j)
70
j(0.12 j 1)(0.02 j 1)
70
exp j 90 tg-10.12 tg-10.02
(0.12)2 1 (0.02)2 1
(2)绘制未校正系统的伯德图，如图红线所示。由图可知
1
2
1 10
1.35 1.35
＝ 1
1 2.6
，
2＝2
rad s
1 1 1.35 ＝ 1 ,
3 10 1.35 1 17.4
3
20
ra
d s
L( )dB
60
40 20 0 0.1 -20
-20
LLc () -40
第五章5 5 相角裕度和幅值裕度以及闭环频率特性自动控制原理 浙江大学考研资料
-90° -135° -180°
-225° -270°
ωΦ ωc
ω→
Phase margin angle, γ(–)
G(jω)的对数幅频曲线和10相频曲线
Phase Margin and Gain Margin
相角裕度和幅值裕度的求解方法——解析法
通常有三种求解系统相角裕度和幅值裕度的方法，即解析法、极坐标 图法和伯德图法。下面通过实例进行说明。
则系统将处于临界稳定状态。可以用频率点ωx处的传递函数来表示，
即 G( jx ) h 1
在G(jω)极坐标图上，频率点 ωx对应的幅值
G(
jx )
1 h
在对数幅频曲线上, Lmh Lm G( jx )
8
Phase Margin and Gain Margin
相角裕度和幅值裕度以及与稳定性的关系
如果稳定性不够？？－－校正。
2
主要内容
Phase Margin and Gain Margin
简介 Bode 图 (对数坐标图) 极坐标图 Nyquist稳定判据- 1 Nyquist稳定判据- 2 相角裕度和幅值裕度以及与稳定性的关系 闭环频率特性 补偿 ………
LmG(jω)
ωΦ
-1 γ(–) Φ
G(jω) ω G(jω)的极坐标图
-90°
-135° -180° -225° -270°
ωΦ
ω→ Phase margin
angle, γ(–)
G(jω)的对数幅频曲线6 和相频曲线
Phase Margin and Gain Margin
相角裕度和幅值裕度以及与稳定性的关系
（一） 解析法 根据系统的开环频率特性，由 G( j )H ( j ) 1 (0 )
自控原理课件第6章-自动控制系统的性能分析
54
55
56
小 结 自动控制系统性能的分析主要包括稳态性能 分析和动态性能分析。系统的稳态无误差 ess标 志着系统最终可能达到的控制精度，它包括跟 随稳态误差essr和扰动稳态误差essd。跟随误差与 系统的前向通路的积分环节个数 v 、开环增益 K 有关。 v 愈多； K 愈大，则系统的稳态精度愈高 。扰动稳态误差与扰动量作用点前的前向道路 的积分环节个数vl和增益Kl有关，vl 愈多，Kl愈 大，则系统的稳态精度愈高。对于随动控制系 统，主要考虑跟随稳态误差；而对于恒值控制 系统，主要考虑扰动稳态误差。
31
此时，系统的稳定性和快速性都比较好。在工程上常 称取ξ=0.707的系统为“二阶最佳系统”。 以上的分析虽然是对二阶系统的，但对高阶系统，如 果能以系统的主导极点 ( 共扼极点 ) 来估算系统的性能，即 只要能将它近似成一个二阶系统，就可以用二阶系统的分 析方法和有关结论对三阶及三阶以上的高阶系统进行性能 分析。
20
21
22
23
24
25
调整时间是从给定量作用于系统开始，到输 出量进入并保持在允许的误差带 ( 误差带是指离稳 态值c(∞)偏离 δ c (∞) 的区域)内所经历的时间。 δ 通常分为5％(要求较低)和2％ (要求较高)两种。 由于输出量c(t)通常为阻尼振荡曲线，c(t)进入 误差带的情况比较复杂，所以通常以输 出量的包络线b(t) 进入误差带来近似求取调整时间 ts。
17
6.1.4 系统稳态性能综述 (1) 系统的稳态误差由跟随稳态误差和扰动稳态 误差两部分组成，它们不仅和系统的结 构、参数 有关，而且还和作用量(输入量和扰动量)的大小、 变化规律和作用点有关。 跟随稳态误差essr：系统开环传递函数中所含积 分环节个数(v)愈多，开环增益K愈大， 则系统的稳态性能愈好。 扰动稳态误差 essd ：扰动作用点前，前向通路所 含的积分环节个数 vl 愈多，作用点前的增益 Kl 愈 大．则系统抗扰稳态性能愈好。 (2) 作用量随时间变化得愈快，作用量产生的误 差也愈大。
55
56
小 结 自动控制系统性能的分析主要包括稳态性能 分析和动态性能分析。系统的稳态无误差 ess标 志着系统最终可能达到的控制精度，它包括跟 随稳态误差essr和扰动稳态误差essd。跟随误差与 系统的前向通路的积分环节个数 v 、开环增益 K 有关。 v 愈多； K 愈大，则系统的稳态精度愈高 。扰动稳态误差与扰动量作用点前的前向道路 的积分环节个数vl和增益Kl有关，vl 愈多，Kl愈 大，则系统的稳态精度愈高。对于随动控制系 统，主要考虑跟随稳态误差；而对于恒值控制 系统，主要考虑扰动稳态误差。
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此时，系统的稳定性和快速性都比较好。在工程上常 称取ξ=0.707的系统为“二阶最佳系统”。 以上的分析虽然是对二阶系统的，但对高阶系统，如 果能以系统的主导极点 ( 共扼极点 ) 来估算系统的性能，即 只要能将它近似成一个二阶系统，就可以用二阶系统的分 析方法和有关结论对三阶及三阶以上的高阶系统进行性能 分析。
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调整时间是从给定量作用于系统开始，到输 出量进入并保持在允许的误差带 ( 误差带是指离稳 态值c(∞)偏离 δ c (∞) 的区域)内所经历的时间。 δ 通常分为5％(要求较低)和2％ (要求较高)两种。 由于输出量c(t)通常为阻尼振荡曲线，c(t)进入 误差带的情况比较复杂，所以通常以输 出量的包络线b(t) 进入误差带来近似求取调整时间 ts。
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6.1.4 系统稳态性能综述 (1) 系统的稳态误差由跟随稳态误差和扰动稳态 误差两部分组成，它们不仅和系统的结 构、参数 有关，而且还和作用量(输入量和扰动量)的大小、 变化规律和作用点有关。 跟随稳态误差essr：系统开环传递函数中所含积 分环节个数(v)愈多，开环增益K愈大， 则系统的稳态性能愈好。 扰动稳态误差 essd ：扰动作用点前，前向通路所 含的积分环节个数 vl 愈多，作用点前的增益 Kl 愈 大．则系统抗扰稳态性能愈好。 (2) 作用量随时间变化得愈快，作用量产生的误 差也愈大。
《自动控制原理》 胡寿松 第05#6章 频域稳定裕度.ppt
?
0.69
?b
上升时间：
tr
?
2 .202 T
?
2.202
?b
调节时间：
ts
?
3T
?
3
?b
说明 ? b和延迟
时间、上升时间、 调节时间也成反比。
（2）二阶系统带宽 ? b
设二阶系统的闭环传递函数为
? (s) ?
s2
?
?
2 n
2??
n
s
?
?
2 n
故有 | ? ( j0) |? 1。
系统的幅频特性： |? ( j? ) |?
贝时，对应的频率 ? b称为带宽频率， 即带宽频率 ? b为 满足下列方程的解：
20 lg ? ( j? b ) ? 20 lg ? ( j0) ? 3
对于Ⅰ型和Ⅰ型以上系统，由于 ? ( j0) ? 1 故有：
20 lg ? ( j? b ) ? ? 3(dB )
显然，当 ? >? b时，有 20 lg ? ( j? ) ? 20 lg ? ( j0) ? 3
③物理意义： 稳定系统在 截止频率 ωc处若相角再迟 后一个γ角度，则系统处于 临界状态 ；若相角迟后 大于γ ，系统将变成不稳定。
j
-1 ωx
1
γ ωc
0
∠G(jω c)Ｈ(jω c) G(jω)Ｈ(jωc)
上述两图中， γ均为正值
（2）幅值裕度
①在开环幅相频率特性曲线中定义
幅值裕度 是指在(-1,j0)点处的幅值1与开环幅相
d? (1? 2? 2 )2 ? 1
即A与ζ成反比关系，根据假设，又 A与? b成正比 关系，故可得， ? b与阻尼比 ζ成反比关系 。
相角裕度幅值裕度PPT课件
55191截止频率的斜率为20dbdec系统是稳定的并近似认为整个开环特性为20dbdec则开环传递函数近似为gsks相位裕度约为90幅值裕度为无穷大超调量为零调节时间55202截止频率处的斜率为40dbdec并近似认为整个开环特性为40dbdec则开环传递函数为gsks相位裕度为0系统处于临界稳定状态
(a)稳定系统
90
180 270
x －
负相角裕度
（b）不稳定系统
相角裕度和幅值裕度小结：
相角裕度和幅值裕度是系统的极坐标图对(-1,j0)点 靠近程度的度量。这两个裕度可以作为设计准则。
只用相角裕度或幅值裕度，都不能说明系统的相对 稳定性。系统的相对稳定性必须同时给出这两个量。
最小相位系统的相位裕度和增益裕度都是正值时， 系统才是稳定的。负的裕度表示系统不稳定。
以高频区段的幅值越低，抗干扰的能力越强。
-
22
2 开环频域指标与闭环时域指标的关系P199 例5-13
(1) 典型二阶系统如下图所示，试确定系统的
R(s)
-
n2
C(s)
S(S 2n )
G(j)
2 n
j(j2 n)
A( )
( )
n2 2 4
90 tg-1
2
2 n
2 n
设 c 为截止频率
＝arctan2n c
cn 14422
arctan 2 144 22
P200 例5-14（图解法、近似计算法、精确计算法）
已知系统的开环传递函数，试计算 G(s)
K
s(s1)(0.11s)
试分别计算K=5、20的相角裕度和幅值裕度。
解：G (j )
K
e j 90 0 a rc a ta r0 c n .1ta
(a)稳定系统
90
180 270
x －
负相角裕度
（b）不稳定系统
相角裕度和幅值裕度小结：
相角裕度和幅值裕度是系统的极坐标图对(-1,j0)点 靠近程度的度量。这两个裕度可以作为设计准则。
只用相角裕度或幅值裕度，都不能说明系统的相对 稳定性。系统的相对稳定性必须同时给出这两个量。
最小相位系统的相位裕度和增益裕度都是正值时， 系统才是稳定的。负的裕度表示系统不稳定。
以高频区段的幅值越低，抗干扰的能力越强。
-
22
2 开环频域指标与闭环时域指标的关系P199 例5-13
(1) 典型二阶系统如下图所示，试确定系统的
R(s)
-
n2
C(s)
S(S 2n )
G(j)
2 n
j(j2 n)
A( )
( )
n2 2 4
90 tg-1
2
2 n
2 n
设 c 为截止频率
＝arctan2n c
cn 14422
arctan 2 144 22
P200 例5-14（图解法、近似计算法、精确计算法）
已知系统的开环传递函数，试计算 G(s)
K
s(s1)(0.11s)
试分别计算K=5、20的相角裕度和幅值裕度。
解：G (j )
K
e j 90 0 a rc a ta r0 c n .1ta
闭环频率特性
2 4 2 4 4
又因为wr wn 1 2 2 ，所以有
ts
4
wr
1 2 2
由可知图，tswb 随Mr 的增加而单调增加。当 Mr 固定不变， 则调整时间ts 与带宽频率 wb 成反比。
2、高阶系统
对于高阶系统，难以找出闭环频域指标和时间指标之间 的确切关系。但如果高阶系统存在一对共轭复数闭环主导极 点，可针对二阶系统建立的关系近似采用。
典型二阶系统的闭环传递函数为
(s)
wn2
பைடு நூலகம்s2 2wns wn2
其相应的闭环频率特性为
( jw)
( jw)2
wn2 2wn ( jw) wn2
(wn2
wn2 w2)
j2wnw
（1）M 与 %的关系。
典型二阶系统的闭环幅频特性为
M (w)
wn2
(wn2 w2 )2 (2wnw)2
令
（6）开环对数频率特性曲线（Bode图）是控制工程设计的重 要工具。开环对数幅频特性 L(w)低频段的斜率表征了系统的型 别，其高度则表征了系统开环放大倍数的大小；L(w)中频段的
斜率、宽度以及截止频率 wc 则表征着系统的动态性能；而高频
段表征了系统的抗高频干扰能力。利用三频段概念可以分析系 统时域响应的动态和稳态性能，并可分析系统参数对系统性能 的影响。
（2）频率特性是传递函数的一种特殊形式。将系统传递函数
中的复数 s换成纯虚数 jw ，即可得出系统的频率特性。
（3）频率特性法是一种图解分析法，用频率法研究和分析控 制系统时，可免去许多复杂而困难的数学运算。对于难以用解 析方法求得频率特性的曲线的系统，可以改用试验方法测得其 频率特性，这是频率法的突出优点之一。
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对于稳定系统
1/h < 1,
h>1
LmG(jω) ωΦ 幅值裕度, Lm (+) ) h(
Lmh Lm G ( j x ) 0
1/h -1 ωx
-90°
Φ γ(+) ω ωΦ G(jω)
-135 135° -180° -225 225° -270°
ωx 相位裕度, γ(+)
ω→
G(jω)的极坐标图 G(jω)的对数幅频曲线和相频曲线 9
1 h 1.25 0.8
1
1 h
Im j
GH
1 Re
x
0
A
j
0
例6-20 的极坐标图
浙江大学控制科学与工程学系
15
Phase Margin and Gain Margin
相角裕度和幅值裕度的求解方法——Bode图法 Bode图法
（三）Bode图法 画出系统的Bode图，由开环对数幅频特性与零分贝线（即 轴）的交 点频率 ，求出对应的相频特性与－ 求出对应的相频特性与 1800线的相移量，即为相角裕度 线的相移量 为相角裕度
G(jω)
ω
-225° -270°
G(jω)的极坐标图
G(jω)的对数幅频曲线和相频曲线 6 浙江大学控制科学与工程学系
Phase Margin and Gain Margin
相角裕度和幅值裕度以及与稳定性的关系
对于闭环稳定系统，如果系统的开环相频特性再滞后 相角裕度γ 度，则系统将处于临界稳定状态. 滞后该角度将使得极坐标图穿越–1 1点 对于最小相位系统来说，相角裕度为正，系统稳定，负的相角裕 度表示系统是不稳定的. 相角裕度与系统阻尼比 有关，一般来讲，相角裕度在 有关 一般来讲 相角裕度在45°到 到 60°之间的系统响应是能令人满意的。
0 度γ。当 对应的相频特性位于 –1800 线上方时， 0 ；反之，当
0 对应的相频特性位于–1800 线下方时， 0 。 然后，由相频率特性
与-1800线的交点频率 x ,求出对应幅频特性与零分贝线的差值，即为 幅值裕度 h 的分贝数。当 x 对应的幅频特性位于零分贝线下方时，
求出幅值裕度
浙江大学控制科学与工程学系
Phase Margin and Gain Margin
相角裕度和幅值裕度的求解方法——解析法 解析法
例6-20 已知最小相位系统的开环传递函数为 G ( s ) H ( s ) 试求出该系统的幅值裕度和相角裕度。 解 系统的开环频率特性为 解：系统的开环频率特性为
浙江大学控制科学与工程学系
Phase Margin and Gain Margin
相角裕度和幅值裕度以及与稳定性的关系
对于不稳定系统
1/h ωΦ 1/h >1,
h<1
幅值裕度Lm (–) ) h(
Lmh Lm G ( jc ) 0 LmG(jω)
ωx
( ) -1 γ(–) Φ
-90° -135° -180° -225°
dB
Lm( )
20dB / dec
2
x
5
1 / h (dB )
80 0
度
60dB / dec
h 2dB
（ ）
900
180
0
2700
例6-20 Bode图
浙江大学控制科学与工程学系
17
Phase Margin and Gain Margin
相角裕度和幅值裕度的求解方法
G ( j ) H ( j ) 40 j (25 2 j 2 )
40 s ( s 2 2 s 25)
其幅频特性和相频特性分别是
G ( j ) H ( j ) 1 40 ( 25 2 ) 2 4 2
2 0 90 arctg 25 2 G ( j x ) H ( j x ) 2 1800 arctg 2 25
浙江大学控制科学与工程学系
13
Phase Margin and Gain Margin
相角裕度和幅值裕度的求解方法——极坐标图法 极坐标图法
（二）极坐标图法 在GH平面上作出系统的开环频率特 性的极坐标图 并作 单位圆 由 性的极坐标图，并作一单位圆，由 单位圆与开环频率特性的交点A与 坐标原点的连线与负实轴的夹角求 出相角裕度γ ；由开环频率特性与 负轴交点处的幅值 G ( j x ) H ( j x ) 的倒数得到幅值裕度h。
G ( j x ) h 1
1 ( ) G j x 在G(j jω)极坐标图上，频率点 ωx对应的幅值 h
在对数幅频曲线上,
Lmh Lm G ( j x )
8
浙江大学控制科学与工程学系
Phase Margin and Gain Margin
相角裕度和幅值裕度以及与稳定性的关系
0 0 和 ( ) (180 ) ( ) 180 求出相角裕度。
由
G ( j x ) H ( j x ) 180 0
h 1 G ( j x ) H ( j x )
(0 x )
或
20 lg h 20 lg G ( j x ) H ( j x )
h 0dB 。反之，当 反之 当 x 对应的幅频特性位于零分贝线上方 对应的幅频特性位于零分贝线上方，h 0dB 。
浙江大学控制科学与工程学系
16
Phase Margin and Gain Margin
相角裕度和幅值裕度的求解方法——Bode图法 Bode图法
例6-20的Bode图如右图所示。 从图中，可直接得到 幅值穿越频率 2 相角穿越频率 x 5 相角裕度 相角裕度： 幅值裕度：
1
1 h
Im j
GH
1 Re
x
0
A
j
0
例6-20 的极坐标图 浙江大学控制科学与工程学系
14
Phase Margin and Gain Margin
相角裕度和幅值裕度的求解方法——极坐标图法 极坐标图法
在例6-20中 中，先作出系统的开环 先作出系统的开环 频率特性曲线如图所示，作单位圆交 开环频率特性曲线于A点，连接 OA， 射线OA与负实轴的夹角即为系统的相 角裕度 80 0 。开环频率特性曲线 与负实轴的交点坐标为 (0.8，j 0) 由此得到系统的幅值裕度：
比较上述三种解法不难发现： 解析法 比较精确，但计算步骤复杂，而且对于三阶以上的高阶系统，
用解析法相当困难 用解析法相当困难。 图解法 以极坐标图和Bode图为基础的图解法，避免了繁锁的计算，
具有简便 直观的优点 对于高阶系统尤为方便 不过图解法是一种 具有简便、直观的优点，对于高阶系统尤为方便。不过图解法是一种 近似方法，所得结果有一定误差，误差的大小视作图的准确性而定。 Bode图法和极坐标法虽然都是图解法，但前者不仅可直接从Bode图上 获得相角裕度
和幅值裕度 h，而且还可直接得到相应的幅值穿越频
率 和相位穿频率 x 。同时Bode图较极坐标图方便，因此在工程 实践中得到更为广泛的应用。
浙江大学控制科学与工程学系
4
Phase Margin and Gain Margin
相角裕度和幅值裕度以及与稳定性的关系
对于稳定系统γ=180°+Φ>0
L G(jω) LmG(j
0dB
ωΦ
-1
-90°
Φ γ(+) ω
ωΦ
-135° -180° -225° -270°
ω→ ω 相角裕度, γ(+)
G(jω)
Phase Margin and Gain Margin
自动控制理论
第六章
频域分析方法
周立芳
浙江大学控制科学与工程学系
浙江大学控制科学与工程学系
Phase Margin and Gain Margin
Nyquist稳定判据回顾
由Nyquist稳定判据可知：若已知系统的开环函数G(s)H(s), 即可 知开环的不稳定极点数（位于S的右半平面）PR，在画出该开环传 递函数的极坐标图（Nyquist图）之后，闭环系统的稳定性则由 N Nyquist i t图包围点（-1, 1 j0）的圈数N决定。闭环系统稳定的充要条 决定 闭环系统稳定的充要条 件是：位于S右半平面的极点数ZR为0： ZR＝ PR－N。 许多情况下，开环传递函数的某些系数发生变化时， 许多情况下 开环传递函数的某些系数发生变化时 Nyquist图 也随之发生改变，闭环稳定性也会发生变化。 当Nyquist图穿过（－1，j0）点时，闭环系统临界稳定。 稳定性研究中，将（－1，j0）点称为临界点。 Nyquist图相对于 该点的位置即偏离临界点的程度，反映了系统的相对稳定性。 如果稳定性不够？？－－校正。
2 1.82 80.5 2 25 1.82
令 G ( j ) H ( j ) 180 0 ，得
x 5
h
或
1 1.25 G ( j x ) H ( j x )
h(dB ) 20 lg 1.25 1.94(dB )
即：该系统具有1.94分贝的幅值裕度，80.5度的相位裕度。
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Maple
3
Phase Margin and Gain Margin
相角裕度和幅值裕度以及与稳定性的关系
稳定性和近似稳定度可以通过对数幅频曲线和相频曲线来确定。稳定 性可以用以下指标进行度量. Gain crossover（幅值穿越频率 （幅值穿越频率－－增益临界点） 增益临界点） G(jω)幅相曲线在该点处的幅值为1 [LmG(jω)=0dB]. 该点处的频率被 称为相角裕度频率ωΦ，或 或(截止频率ωC) Phase margin angle（相角裕度） 相 角 裕 度 等 于 180° 加 上 截 止 频 率 处 的 负 相 角 ， 用 γ 来 表 示 , γ=180°+Φ, 其中 ∠G(j (jωΦ) )=Φ 是负值.
1/h < 1,
h>1
LmG(jω) ωΦ 幅值裕度, Lm (+) ) h(
Lmh Lm G ( j x ) 0
1/h -1 ωx
-90°
Φ γ(+) ω ωΦ G(jω)
-135 135° -180° -225 225° -270°
ωx 相位裕度, γ(+)
ω→
G(jω)的极坐标图 G(jω)的对数幅频曲线和相频曲线 9
1 h 1.25 0.8
1
1 h
Im j
GH
1 Re
x
0
A
j
0
例6-20 的极坐标图
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Phase Margin and Gain Margin
相角裕度和幅值裕度的求解方法——Bode图法 Bode图法
（三）Bode图法 画出系统的Bode图，由开环对数幅频特性与零分贝线（即 轴）的交 点频率 ，求出对应的相频特性与－ 求出对应的相频特性与 1800线的相移量，即为相角裕度 线的相移量 为相角裕度
G(jω)
ω
-225° -270°
G(jω)的极坐标图
G(jω)的对数幅频曲线和相频曲线 6 浙江大学控制科学与工程学系
Phase Margin and Gain Margin
相角裕度和幅值裕度以及与稳定性的关系
对于闭环稳定系统，如果系统的开环相频特性再滞后 相角裕度γ 度，则系统将处于临界稳定状态. 滞后该角度将使得极坐标图穿越–1 1点 对于最小相位系统来说，相角裕度为正，系统稳定，负的相角裕 度表示系统是不稳定的. 相角裕度与系统阻尼比 有关，一般来讲，相角裕度在 有关 一般来讲 相角裕度在45°到 到 60°之间的系统响应是能令人满意的。
0 度γ。当 对应的相频特性位于 –1800 线上方时， 0 ；反之，当
0 对应的相频特性位于–1800 线下方时， 0 。 然后，由相频率特性
与-1800线的交点频率 x ,求出对应幅频特性与零分贝线的差值，即为 幅值裕度 h 的分贝数。当 x 对应的幅频特性位于零分贝线下方时，
求出幅值裕度
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相角裕度和幅值裕度的求解方法——解析法 解析法
例6-20 已知最小相位系统的开环传递函数为 G ( s ) H ( s ) 试求出该系统的幅值裕度和相角裕度。 解 系统的开环频率特性为 解：系统的开环频率特性为
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相角裕度和幅值裕度以及与稳定性的关系
对于不稳定系统
1/h ωΦ 1/h >1,
h<1
幅值裕度Lm (–) ) h(
Lmh Lm G ( jc ) 0 LmG(jω)
ωx
( ) -1 γ(–) Φ
-90° -135° -180° -225°
dB
Lm( )
20dB / dec
2
x
5
1 / h (dB )
80 0
度
60dB / dec
h 2dB
（ ）
900
180
0
2700
例6-20 Bode图
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相角裕度和幅值裕度的求解方法
G ( j ) H ( j ) 40 j (25 2 j 2 )
40 s ( s 2 2 s 25)
其幅频特性和相频特性分别是
G ( j ) H ( j ) 1 40 ( 25 2 ) 2 4 2
2 0 90 arctg 25 2 G ( j x ) H ( j x ) 2 1800 arctg 2 25
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相角裕度和幅值裕度的求解方法——极坐标图法 极坐标图法
（二）极坐标图法 在GH平面上作出系统的开环频率特 性的极坐标图 并作 单位圆 由 性的极坐标图，并作一单位圆，由 单位圆与开环频率特性的交点A与 坐标原点的连线与负实轴的夹角求 出相角裕度γ ；由开环频率特性与 负轴交点处的幅值 G ( j x ) H ( j x ) 的倒数得到幅值裕度h。
G ( j x ) h 1
1 ( ) G j x 在G(j jω)极坐标图上，频率点 ωx对应的幅值 h
在对数幅频曲线上,
Lmh Lm G ( j x )
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相角裕度和幅值裕度以及与稳定性的关系
0 0 和 ( ) (180 ) ( ) 180 求出相角裕度。
由
G ( j x ) H ( j x ) 180 0
h 1 G ( j x ) H ( j x )
(0 x )
或
20 lg h 20 lg G ( j x ) H ( j x )
h 0dB 。反之，当 反之 当 x 对应的幅频特性位于零分贝线上方 对应的幅频特性位于零分贝线上方，h 0dB 。
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相角裕度和幅值裕度的求解方法——Bode图法 Bode图法
例6-20的Bode图如右图所示。 从图中，可直接得到 幅值穿越频率 2 相角穿越频率 x 5 相角裕度 相角裕度： 幅值裕度：
1
1 h
Im j
GH
1 Re
x
0
A
j
0
例6-20 的极坐标图 浙江大学控制科学与工程学系
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相角裕度和幅值裕度的求解方法——极坐标图法 极坐标图法
在例6-20中 中，先作出系统的开环 先作出系统的开环 频率特性曲线如图所示，作单位圆交 开环频率特性曲线于A点，连接 OA， 射线OA与负实轴的夹角即为系统的相 角裕度 80 0 。开环频率特性曲线 与负实轴的交点坐标为 (0.8，j 0) 由此得到系统的幅值裕度：
比较上述三种解法不难发现： 解析法 比较精确，但计算步骤复杂，而且对于三阶以上的高阶系统，
用解析法相当困难 用解析法相当困难。 图解法 以极坐标图和Bode图为基础的图解法，避免了繁锁的计算，
具有简便 直观的优点 对于高阶系统尤为方便 不过图解法是一种 具有简便、直观的优点，对于高阶系统尤为方便。不过图解法是一种 近似方法，所得结果有一定误差，误差的大小视作图的准确性而定。 Bode图法和极坐标法虽然都是图解法，但前者不仅可直接从Bode图上 获得相角裕度
和幅值裕度 h，而且还可直接得到相应的幅值穿越频
率 和相位穿频率 x 。同时Bode图较极坐标图方便，因此在工程 实践中得到更为广泛的应用。
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相角裕度和幅值裕度以及与稳定性的关系
对于稳定系统γ=180°+Φ>0
L G(jω) LmG(j
0dB
ωΦ
-1
-90°
Φ γ(+) ω
ωΦ
-135° -180° -225° -270°
ω→ ω 相角裕度, γ(+)
G(jω)
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自动控制理论
第六章
频域分析方法
周立芳
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Nyquist稳定判据回顾
由Nyquist稳定判据可知：若已知系统的开环函数G(s)H(s), 即可 知开环的不稳定极点数（位于S的右半平面）PR，在画出该开环传 递函数的极坐标图（Nyquist图）之后，闭环系统的稳定性则由 N Nyquist i t图包围点（-1, 1 j0）的圈数N决定。闭环系统稳定的充要条 决定 闭环系统稳定的充要条 件是：位于S右半平面的极点数ZR为0： ZR＝ PR－N。 许多情况下，开环传递函数的某些系数发生变化时， 许多情况下 开环传递函数的某些系数发生变化时 Nyquist图 也随之发生改变，闭环稳定性也会发生变化。 当Nyquist图穿过（－1，j0）点时，闭环系统临界稳定。 稳定性研究中，将（－1，j0）点称为临界点。 Nyquist图相对于 该点的位置即偏离临界点的程度，反映了系统的相对稳定性。 如果稳定性不够？？－－校正。
2 1.82 80.5 2 25 1.82
令 G ( j ) H ( j ) 180 0 ，得
x 5
h
或
1 1.25 G ( j x ) H ( j x )
h(dB ) 20 lg 1.25 1.94(dB )
即：该系统具有1.94分贝的幅值裕度，80.5度的相位裕度。
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Maple
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Phase Margin and Gain Margin
相角裕度和幅值裕度以及与稳定性的关系
稳定性和近似稳定度可以通过对数幅频曲线和相频曲线来确定。稳定 性可以用以下指标进行度量. Gain crossover（幅值穿越频率 （幅值穿越频率－－增益临界点） 增益临界点） G(jω)幅相曲线在该点处的幅值为1 [LmG(jω)=0dB]. 该点处的频率被 称为相角裕度频率ωΦ，或 或(截止频率ωC) Phase margin angle（相角裕度） 相 角 裕 度 等 于 180° 加 上 截 止 频 率 处 的 负 相 角 ， 用 γ 来 表 示 , γ=180°+Φ, 其中 ∠G(j (jωΦ) )=Φ 是负值.