大学物理8-4稳恒磁场的高斯定理与安培环路定理
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L
B
0 I
2 πr
(r R)
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（2）圆柱内的磁场：
B d l B 2 π r I 0
L
I r 2 0 2 πr 0 2 I πR R
2
0rI B 2 2 R
(r R)
思考：若电流I 沿圆柱的表 面流动，圆柱内外的磁场 分布又如何？
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恒定磁场的高斯定理
静电场的高斯定理
B dS 0
S
S
E dS
q
0
i
B 线：无头无尾 闭合线
线：出自正电荷， E 收于负电荷
静电场是有源场
恒定磁场是无源场 原因：自然界无磁单极？
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二、安培环路定理
B 的环流：
L a b c d
选择闭合回路 L (abcda )
0 abnI c a B dl B dl 0
b d
Bcd 0
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Bab l 0l nI
B 0nI
0 NI
l
长直螺线管内为匀强磁场，方向平行于轴线，且与 电流绕向构成右手螺旋关系。
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5. 同一电流与闭合回路N次链套时：
B dl 0 NI
L
I i I1 2I 2
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三、安培环路定理的应用
应用安培环路定理的解题步骤： (1)分析磁场的对称性；
(2)过场点选择适当的路径，使得 B 沿此环路的积 分易于计算： B 的量值恒定，B与dl 的夹角处处相
安培环路定理： 在真空中的恒定磁场内，磁感应 强度B矢量沿任何闭合曲线L的环流等于穿过闭合曲 线回路所有传导电流的代数和的0倍。
B dl 0 Ii
L i
讨论
1. 静电场的环路定理说明静电场是无旋场；恒定磁 场的环路定理反映恒定磁场是有旋场。
2. 式中的电流是指闭合曲线所包围并穿过的电流，不 包括闭合曲线以外的电流，且电流必须是闭合载流导 线的电流。
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3. 载流螺绕环内的磁场
B //d l B d l B d l
L L
设环上线圈的总匝数为N，电流为I。
r2
r1
B 2πr
0 NI
0 NI r2 r1 r B
2 πr
环外： B=0
B 0 nI
方向
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如果沿同一路径但改变绕行方向积分：
B dl B cos( π ) d l
L L
B cos dl
L
2π
0 I
2π
0
d
0 I
表明：磁感应强度矢量的环流与闭合曲线的形状 无关，它只和闭合曲线内所包围的电流有关。
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环路不包围电流
B dl B1 B2 Bn dl
L L
I2
I1
In
L
L
B1 dl B2 dl Bn dl
L L
0 I1 0 I 2 0 I n 0 Ii
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3. 式中的磁感应强度B是闭合曲线内外所有电流产 生的磁感应强度。 4. 电流的符号规定： 当电流方向与积分路径的绕 行方向构成右手螺旋关系时 电流为正,反之为负。
I4
I3
I1
I2
L
如右图所示： B dl 0 I i 0 ( I 2 I1 I 3 )
选择进入下一节 §8-0 教学基本要求 §8-1 恒定电流 §8-2 磁感应强度 §8-3 毕奥-萨伐尔定律 §8-4 稳恒磁场的高斯定理与安培环路定理 §8-5 带电粒子在电场和磁场中的运动 §8-6 磁场对载流导线的作用 §8-7 磁场中的磁介质 §8-8 有磁介质时的安培环路定理 磁场强度 *§8-9 铁磁质
L2
Q
I
O
L1
P
B dl B d l B d l
L
结果为零！
L2 2 π L1 表明：闭合曲线不包围电流时，磁感应强度矢 量的环流为零。
0 I
L1
L2
( d d ) 0
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3. 多根载流导线穿过环路
B B1 B2 Bn
§8-4 稳恒磁场的高斯定理与安培环路定理
一、稳恒磁场的高斯定理
由磁感应线的闭合性可知，对任意闭合曲面， 穿入的磁感应线条数与穿出的磁感应线条数相同， 因此，通过任何闭合曲面的磁通量为零。
B dS 0
S
高斯定理的积 分形式
表明穿过任意闭合曲面 S 的总磁通必然为零， 。 说明磁场是无源场。
L
L内
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激发静电场的场源（电荷）是电场线的源头或 尾闾，所以静电场是属于发散式的场，可称作有源 场；而磁场的磁感线无头无尾，恒是闭合的，所以 磁场可称作无源场。 在静电场中，由于自然界有单独存在的正、负 电荷，因此通过一闭合曲面的电通量可以不为零， 这反映了静电场是有源场。而在磁场中，磁力线的 连续性表明，像正、负电荷那样的磁单极是不存在 的，磁场是无源场。 1913年英国物理学家狄拉克曾从理论上预言磁 单极子的存在，但至今未被观察到。
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2. 长直螺线管内的磁感应强度( I、n ) 分析：由电流分布的对称性，管内磁场平行于轴线方 向，且管内外与轴等距离处B相等；螺线管密绕，管 外磁场近似为零。
c d a b B dl B dl B dl B dl B dl
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1. 电流穿过环路
B dl
L
特例：无限长直载流导线的磁场 在垂直于导线的平面内任作一环路：
dl cos rd B 2 πr B dl B cos dl
L L
Байду номын сангаас
0 I
0 I 0 I 2 π LB dl L 2πr rd 2π 0 d 0 I 上页 下页 返回 退出
如果环路不在垂直于导线的平面内：
B dl B (d l d l// )
L L
B cos90 dl B cos dl//
L L
0 Br d
L
I
2π
0
0 I r d 2π r
dr
L
dr dr//
0 I
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等；
(3)求出环路积分； (4)用右手螺旋定则确定所选定的回路包围电流的 正负，最后由磁场的安培环路定理求出磁感应强
度 B 的大小。
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1. 无限长载流圆柱形导体的磁场分布
分析：电流呈轴对称分布，磁场 对圆柱形轴线具有对称性。 （1）圆柱外的磁场：
B dl B 2π r 0 I
B
0 I
2 πr
(r R)
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（2）圆柱内的磁场：
B d l B 2 π r I 0
L
I r 2 0 2 πr 0 2 I πR R
2
0rI B 2 2 R
(r R)
思考：若电流I 沿圆柱的表 面流动，圆柱内外的磁场 分布又如何？
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恒定磁场的高斯定理
静电场的高斯定理
B dS 0
S
S
E dS
q
0
i
B 线：无头无尾 闭合线
线：出自正电荷， E 收于负电荷
静电场是有源场
恒定磁场是无源场 原因：自然界无磁单极？
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二、安培环路定理
B 的环流：
L a b c d
选择闭合回路 L (abcda )
0 abnI c a B dl B dl 0
b d
Bcd 0
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Bab l 0l nI
B 0nI
0 NI
l
长直螺线管内为匀强磁场，方向平行于轴线，且与 电流绕向构成右手螺旋关系。
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5. 同一电流与闭合回路N次链套时：
B dl 0 NI
L
I i I1 2I 2
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三、安培环路定理的应用
应用安培环路定理的解题步骤： (1)分析磁场的对称性；
(2)过场点选择适当的路径，使得 B 沿此环路的积 分易于计算： B 的量值恒定，B与dl 的夹角处处相
安培环路定理： 在真空中的恒定磁场内，磁感应 强度B矢量沿任何闭合曲线L的环流等于穿过闭合曲 线回路所有传导电流的代数和的0倍。
B dl 0 Ii
L i
讨论
1. 静电场的环路定理说明静电场是无旋场；恒定磁 场的环路定理反映恒定磁场是有旋场。
2. 式中的电流是指闭合曲线所包围并穿过的电流，不 包括闭合曲线以外的电流，且电流必须是闭合载流导 线的电流。
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3. 载流螺绕环内的磁场
B //d l B d l B d l
L L
设环上线圈的总匝数为N，电流为I。
r2
r1
B 2πr
0 NI
0 NI r2 r1 r B
2 πr
环外： B=0
B 0 nI
方向
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如果沿同一路径但改变绕行方向积分：
B dl B cos( π ) d l
L L
B cos dl
L
2π
0 I
2π
0
d
0 I
表明：磁感应强度矢量的环流与闭合曲线的形状 无关，它只和闭合曲线内所包围的电流有关。
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环路不包围电流
B dl B1 B2 Bn dl
L L
I2
I1
In
L
L
B1 dl B2 dl Bn dl
L L
0 I1 0 I 2 0 I n 0 Ii
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3. 式中的磁感应强度B是闭合曲线内外所有电流产 生的磁感应强度。 4. 电流的符号规定： 当电流方向与积分路径的绕 行方向构成右手螺旋关系时 电流为正,反之为负。
I4
I3
I1
I2
L
如右图所示： B dl 0 I i 0 ( I 2 I1 I 3 )
选择进入下一节 §8-0 教学基本要求 §8-1 恒定电流 §8-2 磁感应强度 §8-3 毕奥-萨伐尔定律 §8-4 稳恒磁场的高斯定理与安培环路定理 §8-5 带电粒子在电场和磁场中的运动 §8-6 磁场对载流导线的作用 §8-7 磁场中的磁介质 §8-8 有磁介质时的安培环路定理 磁场强度 *§8-9 铁磁质
L2
Q
I
O
L1
P
B dl B d l B d l
L
结果为零！
L2 2 π L1 表明：闭合曲线不包围电流时，磁感应强度矢 量的环流为零。
0 I
L1
L2
( d d ) 0
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3. 多根载流导线穿过环路
B B1 B2 Bn
§8-4 稳恒磁场的高斯定理与安培环路定理
一、稳恒磁场的高斯定理
由磁感应线的闭合性可知，对任意闭合曲面， 穿入的磁感应线条数与穿出的磁感应线条数相同， 因此，通过任何闭合曲面的磁通量为零。
B dS 0
S
高斯定理的积 分形式
表明穿过任意闭合曲面 S 的总磁通必然为零， 。 说明磁场是无源场。
L
L内
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激发静电场的场源（电荷）是电场线的源头或 尾闾，所以静电场是属于发散式的场，可称作有源 场；而磁场的磁感线无头无尾，恒是闭合的，所以 磁场可称作无源场。 在静电场中，由于自然界有单独存在的正、负 电荷，因此通过一闭合曲面的电通量可以不为零， 这反映了静电场是有源场。而在磁场中，磁力线的 连续性表明，像正、负电荷那样的磁单极是不存在 的，磁场是无源场。 1913年英国物理学家狄拉克曾从理论上预言磁 单极子的存在，但至今未被观察到。
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2. 长直螺线管内的磁感应强度( I、n ) 分析：由电流分布的对称性，管内磁场平行于轴线方 向，且管内外与轴等距离处B相等；螺线管密绕，管 外磁场近似为零。
c d a b B dl B dl B dl B dl B dl
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1. 电流穿过环路
B dl
L
特例：无限长直载流导线的磁场 在垂直于导线的平面内任作一环路：
dl cos rd B 2 πr B dl B cos dl
L L
Байду номын сангаас
0 I
0 I 0 I 2 π LB dl L 2πr rd 2π 0 d 0 I 上页 下页 返回 退出
如果环路不在垂直于导线的平面内：
B dl B (d l d l// )
L L
B cos90 dl B cos dl//
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2π
0
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等；
(3)求出环路积分； (4)用右手螺旋定则确定所选定的回路包围电流的 正负，最后由磁场的安培环路定理求出磁感应强
度 B 的大小。
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1. 无限长载流圆柱形导体的磁场分布
分析：电流呈轴对称分布，磁场 对圆柱形轴线具有对称性。 （1）圆柱外的磁场：
B dl B 2π r 0 I