立体几何中的有关证明与综合问题

立体几何中的有关证明与综合问题

例1． 已知斜三棱柱ABC-A ’B ’C ’的底面

是直角三角形，∠C=90°，侧棱与底面所成的

角为α（0°<α<90°），B ’在底面上的射影D

落在BC 上。

（1）求证：AC ⊥面BB ’C ’C 。

（2）当α为何值时，AB ’⊥BC ’，且使得D 恰为BC 的中点。

讲解：（1）∵ B ’D ⊥面ABC ，AC ⊂面

ABC ，

∴ B ’D ⊥AC ，

又AC ⊥BC ，BC ∩B ’D=D ， ∴ AC ⊥面BB ’C ’C 。 （2）由三垂线定理知道：要使AB ’⊥BC ’，需且只需AB ’在面BB ’C ’C 内的射影B ’C ⊥BC ’。即四边形BB ’C ’C 为菱形。此时，BC=BB ’。 因为B ’D ⊥面ABC ，所以，BD B '∠就是侧棱B ’B 与底面ABC 所成的角。 由D 恰好落在BC 上，且为BC 的中点，所以，此时BD B '∠=︒60。 即当α=︒60时，AB ’⊥BC ’，且使得D 恰为BC 的中点。 例2． 如图：已知四棱锥ABCD P -中，底面四边形为正方形，侧面PDC 为正三角形，且平面PDC ⊥底面ABCD ，E 为PC 中点。 （1）求证：平面EDB ⊥平面PBC ； （2）求二面角C DE B --的平面角的正切值。

讲解：（1）要证两个平面互相垂直，

常规的想法是：证明其中一个平面过另一个平面的一条垂线。

首先观察图中已有的直线，不难发现，由于侧面PDC 为正三角形，所以，

PC DE ⊥，那么我们自然想到：是否有PBC DE 面⊥？这样的想法一经产生，证明它并不是一件困难的事情。 ∵ 面PDC ⊥底面ABCD ，交线为DC ，

∴ DE 在平面ABCD 内的射影就是DC 。 在正方形ABCD 中，DC ⊥CB ， ∴ DE ⊥CB 。

又C BC PC =⋂，PBC BC PC 面⊂,，

A

C

C'

∴ DE ⊥PBC 面。 又⊂DE 面EDB ，

∴ 平面EDB ⊥平面PBC 。

（2）由（1）的证明可知：DE ⊥PBC 面。所以，BEC ∠就是二面角C

DE B --的平面角。 ∵ 面PDC ⊥底面ABCD ，交线为DC ，

又平面ABCD 内的直线CB ⊥ DC 。 ∴ CB ⊥面PDC 。 又⊂PC 面PDC ， ∴ CB ⊥PC 。

在Rt ECB ∆中，2tan ==∠CE

BC

BEC 。

点评：求二面角的平面角，实际上是找到棱的一个垂面，事实上，这个垂面同时垂直于二面角的两个半平面。

例3．如图：在四棱锥ABCD S -中，SA ⊥平面ABCD ，∠2

π

=

∠=ADC BAD ，

a AD AB 2==，a CD =，E 为SB 的中点。

（1）求证：//CE 平面SAD ； （2）当点E 到平面SCD 的距离为多少时，平面SBC 与平面SAD 所成的二面角为︒45？

讲解：题目中涉及到平面SBC 与平面SAD 所成的二面角，所以，应作出这两个平面的交线（即二面角的棱）。另一方面，要证//CE 平

面SAD ，应该设法证明CE 平行于面SAD 内的

一条直线，充分利用中点（中位线）的性质，不难发现，刚刚做出的二面角的棱正好符合要求。 （1）延长BC 、AD 交于点F 。 在FAB ∆中，∠2

π

=

∠=ADC BAD ，

所以，AB 、CD 都与AF 垂直，所以，CD//AB ，所以，CDF ∆∽BAF ∆。又a AB 2=，a CD =，所以，点D 、C 分别为线段AF 、BF 的中点。 又因为E 为SB 的中点，所以，EC 为SBC ∆的中位线，所以，EC//SF 。

又SAD EC 面⊄，SAD SF 面⊂，所

以，//CE 平面SAD 。 （2）因为：SA ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，所以，AB ⊥SA 。又AB ⊥AF ，A SA AF =⋂，所以，AB ⊥面SAF 。 过A 作AH ⊥SF 于H ，连BH ，则BH ⊥SF ，所以，BHA ∠就是平面SBC 与平面SAD 所成的二面角的平面角。 在Rt BHA ∆中，要使BHA ∠=︒45，需且只需AH=AB=a 2。 此时，在∆SAF 中，()a

a a SA AF

AH

SF SA 4242

2⋅+=

⋅=，所以，a SA 33

4=。

在三棱锥S-ACD 中，设点A 到面SCD 的距离为h ，则

h=a AD

SA SA AD SD SA AD CD SD SA

DC

AD S SA S SCD ACD 4142

222=+⋅=⋅=⋅⋅⋅=⋅∆∆

因为AB//DC ，所以，AB//面SCD 。所以，点A 、B 到面SCD 的距离相等。又因为E 为SB 中点，所以，点E 到平面SCD 的距离就等于点B 到面SCD 距离的一半，即

8

142=h 。

点评：探索性的问题，有些采用先猜后证的方法，有些则是将问题进行等价转化，在转化的过程中不断探求结论。

例4．如图，已知⊥PA 面ABC ，BC

AD ⊥于D ，1===AD CD BC 。

（1）令x PD =，θ=∠BPC ，试把θtan 表示为x 的函数，并求其最大值；

（2）在直线PA 上是否存在一点Q ，使得BAC BQC ∠>∠？

讲解 （1）为寻求θtan 与x 的关系，首先可以将θ转化为PBD PCD ∠-∠。 ∵ ⊥PA 面ABC ，BC AD ⊥于D ， ∴ BD PD ⊥。

∴ 2

tan ,tan x

BD PD PBD x DC PD PCD ==∠==∠。 ∴ θtan ()22

12tan 2+=⋅

+-

=

∠-∠=x x x x x x PBD PCD 。