正定二次型

例3
判别二次型
f 5 x 6 y 4 z 2 4 xy 4 xz
2
2
的正定性. 解
2 5 2 f的矩阵为 A 2 6 0 , 2 0 4
a11 5 0,
a11 a12 5 2 26 0, 2 6 a 21 a 22
故 f x k i y i2 0.
i 1
n
必要性 假设有 ks 0,则当y es (单位坐标向量 ) 时,
f Ces k s 0. 显然 Ces 0, 这与 f 为正定相矛盾 .
故
ki 0i 1,, n.
推论 对称矩阵A为正定的充分必要条件是：A的特征值全为正．
2. 若A, B均为n阶正定矩阵 , 则A B也是正定矩阵 .
2 2 2 例1 二次型 f x1 , x2 , x3 5 x1 x2 5 x3 4 x1 x2 8 x1 x3 4 x2 x3
判定该二次型是否正定. 解
2 4 5 f x1 , x2 , x3 的矩阵为 2 1 2 , 4 2 5
5 0,
它的顺序主子式
5 2 1 0, 2 1
5
2
4
2 1 2 1 0, 4 2 5
故上述二次型是正定的.
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例2 判别二次型 是否正定. 解
2 2 2 f x1 , x2 , x3 2 x1 4 x2 5 x3 4 x1 x3
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第五章 第二讲
正定二次型
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一 惯性定理
一个实二次型，既可以通过正交变换化为标准形，也可以 通过拉格朗日配方法化为标准形，显然，其标准形一般来说是 不唯一的，但标准形中所含有的项数是确定的，项数等于二次 型的秩． 下面我们限定所用的变换为实变换，来研究二次型的标 准形所具有的性质． 定理1 （惯性定理） T 设有实二次型 f x Ax , 它 的 秩 为 r, 有 两 个 实 的 可 逆 变 换
x
T
Ax为 正 定 的 充 分 必 要 条 是 件:
n
它的标准形的 n个 系 数 全 为 正 .
证明
充分性 设 k i 0 i 1,, n . 任给 x 0,
则 y C x 0,
-1
2 f x f Cy k y 设可逆变换x Cy使 i i. i 1
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二
正(负)定二次型的概念
如果对任何 x 0, 都 有f x 0显 然 f 0 0 , 则 称f为 正 定 二 次 型 ,并称对称矩阵 A是 正 定 的 ; 如果对任何 x 0都 有f ( x ) 0, 则 称 f为 负 定 二 次 型 ,并称对称矩阵 A是 负 定 的 .
定 义1 设 有 实 二 次 型 f ( x ) x T Ax ,
例如
f x 2 4 y 2 16z 2 为正定二次型
2 2 f x1 3 x2
为负定二次型
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三
正(负)定二次型的判别
定 理2 实 二 次 型 f
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定理3 对称矩阵A为正定的充分必要条件是：A的各阶顺序主 子式为正，即
a11 a12 a11 0, 0, a21 a22
,
a11 a1n 0; an1 ann
对称矩阵A为负定的充分必要条件是：奇数阶顺序主子式为负， 而偶数阶顺序主子式为正，即
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定义1 在二次型 f 的标准型中，正系数的个数 p 称为 f 的正 惯性指数；负系数的个数 q 称为 f 的负惯性指数。 设二次型 f 的标准型为 2 2 2 2 f d1 y1 d2 y2 d p y 2 d y d y p p1 p1 p q p q ,
1r
a11 a1r 0, arr
r 1,2,, n.
ar 1
这个定理称为霍尔维茨定理．
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正定矩阵具有以下一些简单性质
1. 设A为正定实对称阵 , 则AT , A1 , A均为正定矩阵 ;
用特征值判别法.
二次型的矩阵为
2 0 2 A 0 4 0 , 2 0 5
令 E A 0 1 1, 2 4, 3 6.
即知 A 是正定矩阵， 故此二次型为正定二次型.
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3知f为负定 . A 80 0, 根据定理
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小
结
（1）. 正定二次型的概念，正定二次型与正定 矩阵的区别与联系． （2）. 正定二次型（正定矩阵）的判别方法： (a)定义法； (b)顺次主子式判别法； (c)特征值判别法. (3). 根据正定二次型的判别方法，可以得到 负定二次型（负定矩阵）相应的判别方法，请大 家自己推导．
x Cy 及 x Pz 使 及
2 2 f k1 y1 k 2 y2 k r y r2 2 2 f 1 z1 2 z2 r z r2
k i 0, i 0,
则 k1 , , k r 中 正 数 的 个 数 与 1 , , r中 正 数 的 个 数 相 等 .
1 y z1 , 1 d1 1 y z2 , 2 d2 1 z p q , y p q d p q y p q 1 z p q 1 , ynzn .
再作可逆线性变换
2 2 2 2 2 则得二次型 f 的规范型为 f z1 z2 z p z p1 z pq ,