角的表示
角的度量与表示
角的度量与表示 1、角的概念：1）角可以看成是由两条有共同端点的射线组成的图形。
两条射线叫角的边，共同的端点叫角的顶点。
2）角还可以看成是一条射线绕着他的端点旋转所成的图形。
2、角的表示方法： 角用“∠”符号表示1）分别用两条边上的两个点和顶点来表示（顶点必须在中间） 2）在角的内部写上阿拉伯数字，然后用这个阿拉伯数字来表示角。
3）角的内部写上小写的希腊字母，然后用这个希腊字母来表示角。
4）直接用一个大写英文字母来表示。
3、角的度量：会用量角器来度量角的大小。
4角的单位：角的单位有度、分、秒，用°、′、″表示，角的单位是60进制与时间单位是类似的度分秒的换算1°=601′=60″。
5、锐角、直角、钝角、平角、周角的概念和大小 1）平角：角的两边成一条直线时，这个角叫平角。
2）周角：角的一边旋转一周，与另一边重合时这个角叫周角。
6、画两个角的和，以及画两个角的差（1）用量角器量出要画的两个角的大小，再用量角器来画。
（2）三角板的每个角的度数，30°、60°、90°、45°。
7、角的平分线从角的顶点出发将一个角分成两个相等的角的射线叫角的平分线。
若BD 是∠ABC 的平分线，则有：∠ABD=∠CBD=21∠ABC ；∠ABC=2∠ABD=2∠CBD 8、角的计算。
【典型例题】例1. 试用适当的方式分别表示图中的每一个角.例2.①已知,αβ都是钝角，甲、乙、丙、丁四人计算1()6αβ+的结果依次为28°，48°，88°，60°.其中只有一个结果正确，那么算得正确结果的是（ ） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁②有四人在同一地点观察同一建筑物时所报出的方位角分别如下,其中表述正确的是( )A.西偏南︒20 B ．北偏西︒110C ．南偏西︒70D ．东偏南︒160例 3.（1）3.62°=（2）=)25.25('（3）34.8=(4) 2512'=例4.计算（1） 4859'+5738'（2）78 -4734'56″（3） 12 34'×5 （4） 25.5÷4例5．时钟在8点半时,它的时针和分针所成的锐角是______ 度例6.（1）如图，已知OM BOC AOB ,30,90︒=∠︒=∠平分ON AOC ,∠平分BOC ∠．求M O N∠的度数．（2）如果（1）中α=∠AOB，其它条件不变，求MON∠的度数．（3）如果（1）中β=∠B O C （β为锐角），其它条件不变，求MON∠的度数．（4）以（1）、（2）、（3）的结果中能得出什么结论？例7.如图，∠AOC=∠COD=∠DOE=∠EOB=α，若以OA ，OC ，OD ，OE 为始边的各角之和等于380°，求∠AOB.AOCN B MAOBDE C例8.以AOB∠的顶点O为端点引射线OC，使4:5:=∠∠B O C A O C .（1）若=∠A O B 15°，求AOC ∠与BOC ∠的度数；（2）若AO B ∠=m °，求AOC ∠与BOC∠的度数.* 例9.如图，是一个3×3方格，试求∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＋∠8＋∠9的度数.【初试锋芒】 1、判断题：（1）由两条射线组成的图形叫角.2）角的大小与边的长短有关. 3）一个钝角减去一个直角，其差必为一个锐角. 4）一个钝角减去一个锐角，其差必为一个直角.2.下列4个图形中,能用∠1,∠AOB,∠O 三种方法表示同一角的图形是( )3．如图，以O 为顶点且小于180º的角有（ ） A ．7个 B ．8个 C ．9个 D ．10个4.如右图,在A 、B 两处观测到的C 处的方位角分别是( ) A.北偏东60°,北偏西40° B.北偏东60°,北偏西50° C.北偏东30°,北偏西40° D.北偏东30°,北偏西50°5.（2004湖北省）如右图,将一幅三角板叠放在一起,使直角的顶点重合于O,则DOBAOC∠+∠的度数为_____________度.6．如右图所示，∠AOB=21°12′，∠B0C=31°42′，求∠C0D 是多少度？7.飞机在飞行时,飞行方向是用飞机路线与实际的南或北方向线之间的夹角大小来表示的,如图,用AN(南北线), 与飞机路线之间顺时针方向的夹角作为飞行方向角,从A 到B 的飞行方向角为35°,从A 到C 的飞行方向角为60°,从A 到D 的飞行方向角为145°,试求AB 与AC 之间的夹角为多少度?AD 与AC 之间的夹角为多少度?并画出从A 飞出且方向角为105°的飞行路线.* 8. 如图，图中共有多少个角【大展身手】1. 0.25°= ′= ″； 2700″= ′=2. ∠α+∠β=90°,且∠α=2∠β,则∠α=___，∠β=____.3.下列关于角的说法正确的个数是( )①角是由两条射线组成的图形;②角的边越长,角越大; ③在角一边延长线上取一点D;④角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.如图，下列说法错误的是（ ） A ．∠B 也可以表示为∠ABC B ．∠BAC 也可以表示为∠A C ∠1也可以表示为∠CD 以C 为顶点且小于180º的角有3个ABCOD1 4 72 5 8369AB CDOA BCODAA1B O BA1B ODA 1BODCABOC 1 CA DBN西东1A2A3A4A 5A O (1)1A 2A2000A (5.(2001宁夏)学校、电影院、公园在平面图上的标点分别是A 、B 、C, 电影院在学校的正东方向,公园在学校的南偏西25°方向,那么平面图上的∠CAB 等于( )A.115°B.155°C.25°D.65°6.(哈尔滨市)如图,∠AOB=∠COD=90°,∠AOD=146°,则∠BOC=___.7. 如图,AB 、CD 相交于点O,OB 平分∠DOE,若∠DOE=60°, 则∠AOC 的度数是_ _. 8．计算下列各题. （1）把83.43°化成度、分、秒. （2）56°32′－30°55′55″’（3）45°27′7″+ 25°55′55（4）把53°12′40″化成度.9．如图所示，指出OA 是表示什么方向的一条线，并画出表示下列方向的射线：（1）南偏东60°；（2）北偏西70°； （3）西南方向（即南偏西45°）.10.怎样利用三角板画15°,135°的角,请与同伴交流,利用三角板你还能画出哪些角?11.如图,已知O 是直线AD 上的点,∠AOB,∠BOC,∠COD, 三个角从小到大依次相差25度,求这三个角的度数.12.两个相等的钝角有一公共顶点和一条公共边, 并且两个角的另一边所成的角为90°,画出该图形,并求出钝角的大小. 13.过直线MN 上一点引射线OA 和OB ，使OA 、OB 在MN 同侧，已知AOBMOA ∠=∠2，BON ∠比AOB ∠小12，求这三个角的度数.14．时钟在3点半时,它的时针和分针所成的锐角是多少度?再过多少分钟，分针和时针第一次重合？ 15.已知40=∠AOB ，向O点引射线OC，若A O C ∠:COB ∠=2:3，求:OC 与AOB ∠的平分线所成角的度数．一、填空题1、 如图2，∠AOC=∠COD=∠BOD ，则OD 平分____， OC 平分______，32∠AOB =______=______.2、 把一根小棒OA 一端钉在点O ，旋转小木棒，使它落在不同的位置上形成不同的角，其中∠AOC 为____， ∠AOD 为____，∠AOE 为____，木棒转到OB 时形成的角为__回答钝角、锐角、直角、平角)3、时间为三点半时，钟表时针和分针所成的角为__由2点到7点半，时针转过的角度为____4∠2，则∠1+∠3=______.5、 已知五角星的五个顶点在同一圆上，且均匀分布，五角星的中心是这个圆的圆心，则圆心与两个相邻顶点的连线，构成的角度为6、 如图5,AOB 为一直线，OC 、OD 、OE 是射线则图中大于0°小于180°的角有___个.7如果一个角的度数为n ，则它的补角为__，余角为______ 8、 ∠α的补角为125°，∠β的余角为37°，则α、β的大小关60° 东南西北AOCADBOC AD B第6OC AE DB 第7题图4系为α___β. 二、选择题9、一个角等于它的补角的5倍，那么这个角的补角的余角是（ ） A.30° B.60°C.45°D.150°10、两个锐角的和（ ）A.一定是锐角B.一定是钝C.一定是直角D.以上三种情况都有可能 11、互为补角的两个角度比是3∶2，这两个角是A.108 72B.95 85°C.108°80°D.110°70°12、下列各角中是钝角的为（ ）A.41周角B.65平角C.32直角D.31直角13、如图15，图形表示的是（ ） A.直线B.射线C.平角D.周角14、船的航向从正北按顺时针方向转到正南方向，它转了（ ） A.135° B.225° C.180° D.90°15、 有两个角，它们的比为7∶3，它们的差为72°，则这两个角的关系是（ ） A.互为余角 B.互为补角 C.相等D.以上答案都不对三、解答题16、四个角的和是180°，其中有三个角相等，且都是第四个角的32，求这四个角.17、如图19，已知∠AOC=∠BOD=75°，∠BOC=30°，求∠AOD.图19 图20 18、如图20，已知O 是直线AB 上的点，OD 是∠AOC 的平分线，OE 是∠COB 的平分线，求∠DOE 的度数.19、已知一条射线OA,如果从点O 再引两条射线OB 和OC,使∠AOB=60°, ∠BOC=20°,求∠AOC 的度数.20、如图,如果∠1=65°15′,∠2=78°30′,求∠3是多少度?31221、如图,∠AOD=∠BOC=90°,∠COD=42°,求∠AOC 、∠AOB 的度数.。
二年级角的知识点整理
二年级角的知识点整理
【最新版】
目录
1.角的定义与基本概念
2.角的分类
3.角的度量与表示方法
4.角的运算与性质
5.角的应用与实践
正文
二年级角的知识点整理
一、角的定义与基本概念
角是由两条射线共同围成的部分，这两条射线称为角的边，它们的公共端点称为角的顶点。
角的度量通常用度（°）表示。
二、角的分类
1.按角的大小分类：锐角（小于 90°）、直角（等于 90°）、钝角（大于 90°且小于 180°）、平角（等于 180°）、周角（等于 360°）。
2.按角的位置分类：内角、外角、内错角、同位角、对顶角等。
三、角的度量与表示方法
1.角的度量：用量角器或角度计测量角的大小。
2.角的表示方法：用一个符号∠来表示角，角的大小用度数表示，如∠120°表示一个度数为 120°的角。
四、角的运算与性质
1.角的加法与减法：两个角的度数相加或相减，得到一个新的角的度
数。
2.角的和差：两个角的度数之和或之差。
3.角的倍数：一个角的度数乘以一个整数，得到一个新的角的度数。
4.角的互补与角互余：两个角的度数之和为 90°，称为互补角；两个角的度数之和为 180°，称为互余角。
五、角的应用与实践
1.在日常生活中，角无处不在，如建筑、几何、测量等领域。
2.在数学问题中，解决与角相关的问题，如计算角度、求角度和差等。
3.在实际生活中，利用角的知识解决实际问题，如测量角度、判断角度等。
角的初步认识知识树
角的初步认识知识树
角是指两条射线共享一个起点的图形，可以通过两种方法来表示一个角：
1. 角度测量：用度数来表示角度大小，一个完整的圆周有360度，所以一个直角等于90度，一个平角等于180度。
2. 弧度测量：用弧度来表示角度大小，一个完整的圆周有2π弧度，一个直角等于π/2弧度，一个平角等于π弧度。
角可以分为几种不同的类型：
1. 锐角（Acute Angle）：小于90度的角。
2. 直角（Right Angle）：等于90度的角。
3. 钝角（Obtuse Angle）：大于90度但小于180度的角。
4. 平角（Straight Angle）：等于180度的角。
此外，还有一些特殊的角：
1. 余角（Complementary Angle）：两个角的和等于90度。
2. 补角（Supplementary Angle）：两个角的和等于180度。
3. 对顶角（Vertical Angles）：共享一个顶点且两条边分别是对方的延长线的两个角。
角还可以同时细分为内角和外角：
1. 内角：位于两条交叉直线的内部，其大小为180度减去相邻外角的度数。
2. 外角：位于两条交叉直线的外部，其大小等于相对的内角的度数。
通过对角的大小和特殊性质的了解，可以更好地理解和分析角在几何图形中的应用。
数学七年级下册-第一章8、角的表示
04
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感谢您的观看
顶角。
对顶角的性质
对顶角相等，即两个对顶角的大 小是相等的。
对顶角的判定
如果两个角大小相等，且它们所 对应的两直线是相交的，则这两
个角互为对顶角。
同位角
同位角
当两条直线被第三条直线所截，且在截线的同侧，并且在被截线 的同方向，则它们所对应的同旁内角称为同位角。
同位角的性质
同位角相等，即两个同位角的大小是相等的。
数学七年级下册-第一章8、角的 表示
contents
目录
• 引言 • 角的基本概念 • 角度的测量 • 角的和与差 • 角的位置关系主题简介
01
角的表示是数学几何中的一个基 本概念，它涉及到角的大小和表 示方法。
02
本章将介绍如何使用不同的方法 来表示角，包括文字表示法、符 号表示法和角度表示法。
角的和差公式
角的和的公式
假设有两个角A和B，它们 的和可以表示为A + B。
角的差的公式
假设有两个角A和B，它们 的差可以表示为A - B。
特殊情况
当两个角的角度差为180 度时，它们互为补角；当 两个角的角度和为180度 时，它们互为邻补角。
05 角的位置关系
对顶角
对顶角
如果两条直线被第三条直线所截， 则它们所对应的同旁内角互为对
学习建议与展望
熟练掌握各种角的表示 方法，能够正确使用数 字、希腊字母或中文进
行表示。
01
对于特殊角，要深入理 解其性质和特点，能够
灵活运用。
03
在后续的学习中，逐渐 接触更复杂的角的概念 和性质，如角的平移、
角的定义与角的表示
O
A
A
B
C
例3.如图 ∠AOB+ ∠BOD= ； ∠AOC+ ∠COD= ； ∠BOC= ∠AOC ； ∠AOC+ ∠BOD= ∠AOD+ ∠AOD－∠AOB－∠COD=
O
D
； 。
三 角的大小
四 角的分类
四 角的分类
四 角的分类
四
四 角的分类 1周角=2平角=4周角
初中阶段我们主要研究小于平角的角。
我们把小于平角的角分成三类 锐角 直角 钝角
五 角的平分线
B C
O
A
六 方位角简介
角的定义与角的表示
剪刀张开的两个刃、钟表的时针和分针都 给我们以角的形象。
关于角，你还知道哪些知识？
一 角的定义 ①
边 边
顶点
从一点引出的两条射线所形成的图形叫做角。 这个点叫做角的顶点。 这两条射线叫做角的边。
一 角的定义
终边
②
顶点
始边
角又可以看成一条射线绕着它的端点旋转时，旋 转的终止位置与开始位置形成的图形。
开始位置叫做角的始边。 终止位置叫做角的终边。
二 角的表示方法 A
1 借助表示点的大写字母， 表示角。 2 用阿拉伯数字表示角。 3 用希腊字母表示角。
B
D
C
例1.如图，写出符合下列条件的角 （1）能用一个大写字母表示的角 C
（2）以A为顶点的角
（3）图中所有的角
D
B
A
例2.如图，写出图中所有的角 如果再加一条射线OE，那么图中多了哪些角？ C E D B
角的四种表示方法
角的四种表示方法
在数学中，角是一个重要的概念，表示面内两条相交的线之间的夹角。
因为在数学中角有重要的意义，所以人们有不同的方法来表示角。
下面将介绍四种表示角的方法：
一、角的度数表示法
度数表示法是最常用的角的表示法，它将角分为360份，每份表示1度，每份又可分2等份，每等份表示0.5度，又可分4等份，每等份表示0.25度，以此类推，每等份分别表示一定的度数，从而表明角的大小。
这种方法最简单也是最容易理解，但实际应用中会出现精度问题，尤其是在角度很小的时候，这增加了计算的难度。
二、角的弧度表示法
弧度表示法是由德国数学家勃兰特发展而来，是一种比较完善的表示角的方法。
弧度表示法中，圆的周长是2π个弧度，每个弧度表示一个角，可以用π表示圆所具有的弧度长度，也可以用弧度来表示角。
弧度表示法计算弧长和体积都比较容易实现，而且可以精确表示角的大小，但是弧度表示法的计算难度也较大。
三、角的秒数表示法
秒数表示法是将圆的周长分成60等分，每等分为1秒，从而来表示角的大小。
比如1度表示的是60秒，由此可见，秒数表示法比较容易理解，而且也比较精确，但实际应用中，因为秒数大多由整数表示，所以精度问题仍存在。
四、角的梯度表示法
梯度表示法是由英国数学家发展而来，是一种比较完善的表示角的方法，它将圆分成400等分，每等份为1梯度，1度表示的是400梯度。
由此可见，梯度表示法在表示角的大小时能够比较准确，不会出现精度问题，而且计算的难度也比较低。
以上就是角的四种表示方法，它们各有优缺点，根据实际情况选择合适的表示方法才能发挥它们的最大作用。
总之，要想正确表示角的大小，就必须选用适当的表示方法。
角的概念与表示
基本内容 角知识精要概念定义1：有公共端点的两条射线组成的图形叫角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边.定义2：角由一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置所成的图形，处于初始位置的那条射线叫做角的始边，终止位置的那条射线叫做角的终边.(1) 如果角的终边是由角的始边旋转半周而得到，这样的角叫平角.(2) 如果角的终边是由角的始边旋转一周而得到，这样的角叫周角.（3）两个角可以相加（或相减），它们的和（或差）也是一个角，它的度数等于这个角的度数的和（或差）. 表示方法 表示方法用三个大写字母来表示用一个大写字母来表示 用数字来 表示角 用希腊字母来 表示角 图示AOB ∠A ∠1∠α∠角平分线: 从一个角的顶点出发，把它分成两个相等角的射线叫做这个角的平分线. 互余：如果两个角的度数和是︒90，那么这两个角叫做互为余角，简称互余。
（其中一个角称为另一个角的余角。
)互补：如果两个角的度数的和是︒180，那么这两个角叫做互为补角，简称互补。
（其中一个角称为另一个角的补角。
）（注：同角（或等角）的余角和补角相等。
） 角的度量单位换算：061'=︒ 061''='热身练习一、判断题1、一条直线是一个平角；（ ⅹ ）2、小于钝角的角都是锐角；（ √ ）3、如果α和β两角互补，α和γ两角互余，那么γβα2-=；（ √ ）4、互补的两个角中一定有一个角是锐角。
（ ⅹ ）5、有公共端点的两条射线叫做角 。
（ ⅹ ）6、角的边的长短，决定了角的大小。
（ ⅹ ）7、互余且相等的两个角都是45°的角。
（ √ ）8、若两个角互补，则其中一定有一个角是钝角。
（ ⅹ ） 二、选择题1、钟表上的时间指示为两点半，这时时针和分针之间所形的成的（小于平角）角的度数（ B ）。
A.︒120B.︒105C.︒100D.︒90 2、一个锐角的余角加上︒90，就等于（ C ）A.这个锐角的两倍数B.这个锐角的余角C.这个锐角的补角D.这个锐角加上︒90 3、已知α、β都是钝角，甲、乙、丙、丁四人计算51)(βα+的结果依次是30°、35°、60°、75°，其中恰有正确结果．这个正确结果是（ C ）A.30°B.35°C.60°D.75° 4、如图，∠AOB ＝∠BOC ＝∠COD ＝∠DOE ＝30°．图中互补的角有（ B ）A.10对B.4对C.3对D.14对 5、下列说法中正确的是（ A ）A. 角是由一条射线旋转而成的B. 角的两边可以度量C. 一条直线就是一个平角D. 平角的两边可以看成一条直线6、下列四个图形中，能用∠α，∠O ，∠AOB 三种方式正确表示同一个角的图形是（ C ）A B C D7、下列说法中正确的是（ C ）A. 一个角的补角一定比这个角大B. 一个锐角的补角是锐角C. 一个直角的补角是直角D. 一个锐角和一个钝角一定互为补角三、填空题1、如图1,∠AOB___>___∠AOC,∠AOB___>____∠BOC(填>,=,<); 用量角器度量∠BOC=____°,∠AOC=______°,∠AOC___>___∠BOC.OC(1)AB O DC(2)AB2、如图2,∠AOC=__AOB ∠____+___BOC ∠___=___AOD ∠___-___DOC ∠___;∠BOC=__∠AOC____-___AOB ∠___= __BOD ∠___-___DOC ∠_____.3、OC 是∠AOB 内部的一条射线,若∠AOC=12___AOB ∠_____,则OC 平分∠AOB;若OC 是∠AOB 的角平分线,则____AOB ∠_____=2∠AOC. 4、填写适当的分数：︒45=__21__直角=__41__平角=__81__周角。
七年级角的表示所以知识点
七年级角的表示所以知识点角在我们的日常生活中是非常常见的一个概念。
但是，如果要用数学语言来描述角的性质，可能会让人有些吃力。
在这篇文章中，我们将介绍七年级角的表示所以知识点，并且用简洁明了的语言来解释这些知识点，帮助大家对角的概念有更深入的理解。
1. 角的定义角是由两条不同的射线共同确定的一个平面图形部分。
其中，射线称为角的边，它们的交点称为角的顶点。
我们通常用大写字母来表示角，比如∠ABC。
2. 角的度数角的度数是用度来表示角的大小的单位。
一个完整的角度为360度，1度又可以分为60分，1分又可以分为60秒。
我们通常用符号°来表示角度，比如∠ABC = 30°。
3. 角的类型按照角的大小，我们可以将角划分为三类：锐角、直角和钝角。
其中，锐角的度数小于90度，直角的度数为90度，钝角的度数大于90度。
4. 角的平分线角的平分线是指将一个角平分为两个大小相等的角的射线。
在一个直角中，直角的两条腿是互相垂直的，因此直角的平分线就是直角的一条腿的中垂线。
5. 等角三角形等角三角形是指三角形中每个角的大小均相等的三角形。
在等角三角形中，每条边的长度也是成比例的。
如果一个三角形中有两个角的大小相等，则该三角形为等腰三角形。
6. 角的相加减当两个角的大小相加等于180度时，这两个角互为补角。
当两个角的大小相加等于90度时，这两个角互为余角。
7. 角的一些特殊性质如果两个角互为补角或余角，那么它们的正弦、余弦、正切、余切值互为相反数。
总结：以上就是七年级角的表示所以知识点的简单介绍。
掌握这些知识点，有助于我们更深入地理解角的概念和性质，并且能够更好地应用到数学中的相关题目中。
角的认识和表示方法
角的认识和表示方法一、角的认识和表示方法1、角的有关概念（1）角的概念①有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边。
②角也可以看做由一条射线绕着它的端点转动而构成的图形，把初始边线的射线叫做始边，中止边线的射线叫做终边。
（2）平角、周角平角和周角射线$oa$绕点$o$旋转，当终止位置$ob$和起始位置$oa$成一条直线时，所成的角叫做平角。
当起始射线$oa$又回到起始位置时，所成的角叫做周角。
其中，1平角=180°，1周角=360°，所以1周角=2平角=4直角。
2、角的表示方法射线$oa$绕点$o$转动，中止边线为$ob$。
（1）用三个大写字母表示：$∠aob$或$∠boa$。
适用范围：任何情况都适用于，则表示顶点的字母必须写下在中间。
（2）用一个大写字母表示：$∠o$。
适用范围：以这一点为顶点的角只有一个。
（3）用数字或希腊字母表示：$∠1$或$∠α$。
适用范围：任何情况都适用于，在紧邻顶点处加之弧线，则表示出角的范围，并附以数字或小写希腊字母。
识别角的个数，可以先以某一射线为始边，按一定顺序（顺时针方向或逆时针方向）数出角的个数，然后依次以后面的射线为始边数出角的个数。
从某点出发引出$n$条射线能组成$(n-1)+$$(n-2)+$$(n-3)+$$\cdots+$$3+2$$+1=$$\frac{n(n-1)}{2}$个角。
3、角的分类锐角：$0°<α<90°$。
直角：$α=90°$。
钝角：$90°<α<180°$。
平角：$α=180°$。
周角：$α=360°$。
锐角<直角<钝角<平角<周角。
4、角的单位及角度制（1）度量仪器：量角器。
（2）度量单位：度、分、秒。
把一个周角360等分后，每一份就是1度的角，记作1°；把1度的角60等分后，每一份叫作1分的角，记作$1'$；把1分的角60等分后，每一份叫作1秒的角，记作$1″$。
角的相关概念
同步课程˙角的相关概念一、角的定义：二、角平分线：一、角的表示方法① 利用三个大写字母来表示，如图1．1．∠AOB图1.1B注意：顶点一定要写在中间．也可记为BOA ∠，但不能写成BAO ∠或ABO ∠等． ② 利用一个大写字母来表示，如图1．2．∠A图1.2A角的相关概念知识回顾知识讲解同步课程˙角的相关概念注意： 用一个大写字母来表示角的时候，这个大写字母一定要表示角的顶点，而且以它为顶点的角有且只有一个．③ 用数字来表示角，如图2．1．∠1图2.11④ 用希腊字母来表示角，如图2．2．∠α图2.2α二、单位换算1度＝60分（160︒=') 1分=60秒（160'="） 三、角的度量（1） 度量角的工具常用量角器用量角器注意：对中（顶点对中心）．重合（角的一边与量角器上的零刻度重合）．读数（读出角的另一边所在线的度数）（2） 角的度量单位及其换算角的度量单位是度．分．秒．把平角分成180等份，每一份就是一度的角，记做1︒．把一度的角60等分，每一份叫做1分的角，记做1'．把一分的角60等分，每一份叫做1秒的角，记做1''． 角度之间的关系1周角=360︒ 1平角＝180︒ 1直角＝90︒ 1周角＝2平角 1平角＝2直角（3） 角的分类：锐角α（090α<<︒），直角α（90α=︒），钝角α（90180α︒<<︒）．四、两角的和．差．倍．分（1）两角的和．差．倍．分的度数等于它们的度数的和．差．倍．分． （2）从一个角的顶点出发，把它分成两个相等角的射线叫做这个角的平分线． （3）角平分线的画法：①用量角器②用折叠法在一张透明纸上画一个角，记为∠PQR ，折线使射线QR 与射线QP 重合，把纸展开，以Q 为端点，沿折痕画一条射线，这条射线就是∠PQR 的平分线．说说为什么这条线平分∠PQR ？五、用尺规做已知角的平分线方法作法：（1）以O 点为圆心，以任意长为半径，交角的两边于A B 、两点； （2）分别以A ．B 两点为圆心，以大于12AB 长为半径画弧，画弧交于C 点； （3）过C 点作射线OC ．所以，射线OC 就是所求作的．OCBA六、余角、补角（1）如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫做互为补角．简称“互补”． （2）如果两个角的和是一个直角，那么这两个角叫做互为余角，简称“互余”． （3）补角．余角的性质：同角或等角的补角相等．同角或等角的余角相等． 七、 方位角方位角一般以正北．正南为基准，描述物体运动方向．即“北偏东⨯⨯度”．“北偏西⨯⨯度”．“南偏东⨯⨯度”．“南偏西⨯⨯度”，方位角α的取值范围0900≤≤α．“北偏东45度”为东北方向．“北偏西45度”西北方向．“南偏东45度”为东南方向．“南偏西45度”为西南方向． 八、 钟表角度问题时针12小时转动360度，每小时转动30度； 分针60分钟转动360度，每分钟转动6度． 秒针60秒钟转动360度，每秒钟转动6度．一、 角的概念【例1】 角是由有 的两条射线组成的图形，两条射线的 是这个角的顶点，角也可以看成是由一条射线 ．【例2】 下列语句正确的是（ ）①角的大小与边的长短无关．②如果一个角能用一个大写字母A 表示，那么以A 为顶点的角只有一个 ③如果一个角能表示为1∠，那么以1∠顶点为顶点的角只有一个． ④两条射线组成的图形叫做角A ①．②B ①．③C ①．④D ②．③【例3】 如图，角的顶点是 ，边是 ，用三种方法表示该角分别为 ．αBAO【变式练习】在右图中，角的表示方法正确的是（ ）A ．A ∠B ．B ∠C ．C ∠D ．D ∠ABC DEO【变式练习】如图，以B 为顶点的角共有几个?请把它们写出来，以D 为顶点的角呢?D CEBA同步练习【例4】下图中，以A为顶点的角是_________．有一边与射线FD在同一条直线上的角有__________个．HGFEDCBA【例5】判断（）一条射线绕它的端点旋转一周所成的角是平角．（）用2倍的放大镜看30︒的角，这个角就变成了60︒．（）由两条射线组成的图形叫做角．（）延长一个角的两边．（）平角就是一条直线；周角就是一条射线．二、角的分类【例6】下列语句正确的是（）A．平角就是一条直线B．周角就是一条射线C．小于平角的角是钝角D．一周角等于四个直角【例7】如图，图中包含小于平角的角的个数有（）D CBAA．4个B．5个C．6个D．7个【例8】如图，∠AOB是平角，则图中小于平角的角共有（）A．4个B．7个C．9个D．10个【例9】如图，必须用三个大写字母表示且小于180°的角共有（）A．10个B．15个C．20个D．25个H NMFGEDCBA【例10】如图，∠CAE=90°，锐角有（）个，钝角至少有（）个．A．4，3 B．3，2 C．6，3 D．4，2三、角度的换算及运算【例11】（1）32.43__________'''︒=︒（2）654312_____'''︒=︒【变式练习】（1）51492421________''︒+︒=；（2）39412445__________''︒-︒=；（3）2313423_________'''︒⨯=；（4）12134________'︒÷=．【例12】（1）2020'4______︒⨯=．（2）4437'3______︒÷=【变式练习】（1）77423445______''︒+︒=；（2）108185623_______''︒-︒=；（3）180(34542133)_______''︒-︒+︒=；（4）23295837______'''︒+︒=；（5）513932532______''''︒-︒=；（6）135********______''︒⨯+︒÷=（7）57.32_________'''︒=︒；（8）122342_______'''︒=︒【例13】在小于平角的范围内，用一对普通的三角板能画出确定度数的角有（）个A．4个B．7个C．11个D．16个【例14】如右图，AOB是直线，1:2:31:3:2∠∠∠=，求DOB∠的度数．123A BCDO四、 余角和补角【例15】 如图，OE AB ⊥于O ，OF OD ⊥，OB 平分DOC ∠，则图中与AOF ∠互余的角有______个；互补的角有_________对；FEDCB AO【例16】 如下图，A ，O ，B 在一条直线上，AOC ∠是锐角，则AOC ∠的余角是（ ）A ．12BOC AOC ∠-∠B ．1322BOC AOC ∠-∠C ．1()2BOC AOC ∠-∠D ．1()3BOC AOC ∠+∠A CO【例17】 一个角和它的余角的比是5:4，则这个角的补角是【例18】 一个锐角的一半与这个锐角的余角及这个锐角的补角的和等于平角，求这个锐角的度数．【例19】 如果一个角的补角与余角的和，比它的补角与余角的差大60︒，求这个角的余角度数．【变式练习】一个角a 与50︒角之和的17等于65︒角的余角，求a ．【变式练习】已知α的余角是β的补角的13，并且32βα=，试求αβ+的度数．【例20】已知两角互补，试说明：较小角的余角等于两角差的一半．五、角平分线【例21】从一个角的顶点出发，把它分成两个角的直线叫做这个角的平分线．（填“正确”或“错误”）【例22】如图，已知直线AB，CD相交于点O，OE平分∠COB，若∠EOB=55°，则∠BOD的度数是（）A．35°B．55°C．70°D．110°【例23】如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠AOD，若∠BOC=80°，则∠AOE的度数是（）A．40°B．50°C．80°D．100°【例24】如图所示，将一张长方形纸的一角斜折过去，使顶点A落在A′处，BC为折痕，如果BD为∠ABE的平分线，则∠CBD=（）A．80°B．90°C．100°D．70°【例25】 如图，BE 、CF 分别是∠ABC 、∠ACB 的角平分线，∠A=44°，那么∠BDC 的度数为（ ）A ．68°B ．112°C ．121°D ．136°【例26】 下列说法正确的是（ ）A ．两点之间直线最短B ．用一个放大镜能够把一个图形放大，也能够把一个角的度数放大C ．将一个角分成两个角的射线叫角的平分线D ．直线l 经过点A ，那么点A 在直线l 上六、 方位角【例27】 下面图形中，表示北偏东60︒的是（ ）60︒A 东西北南60︒B 西北南60︒C 东西北南60︒D东西北南【例28】 下列说法不正确的是（ ）A ．OA 方向是北偏东30︒B ．OB 方向是北偏西15︒C ．OC 方向是南偏西25︒D ．OD 方向是东南方向【例29】 如图，平面内有两点A B ，（1）分别画出点A 处北偏东70︒的方向和点B 处北偏西40︒的方向． （2）点A 位于B 的什么方向（精确到1︒）BAO 东25︒75︒45︒30︒D CBA【例30】 如图，A 、B 、C 、D 是北京奥运会场馆分布图，请结合图形回答问题．为了方便指明每个场馆的位置，以天安门为中心（即点O 的位置）建立了位置指示图，直线CODE 相交于O ，90COD ∠=︒，请按要求完成下列问题：①若在图上测得20mm OA =，54mm OB =，36BOC AOE ∠=∠=︒，则可知场馆B 的位置是北偏西36︒，据中心54mm ，可简记为（54mm ，北偏西36︒）．据此方法，场馆A 的位置可简记为（_________，________）． ②可求得BOA ∠=________；③在现有的图形中（不增加新的字母），AOD ∠与_____________是互补的角．EAO BD东西北C七、 共定点角的相关计算【例31】 如图，在直线AB 上取一点O ，在AB 同侧引射线OC ，OD ，OE ，OF 使COE ∠和BOE ∠互余，射线OF 和OD 分别平分COE ∠和BOE ∠，求证：3AOF BOD DOF ∠+∠=∠．ABC DEO 图2F E B【变式练习】如图，直线AB ，CD 相交于点O ，作DOE BOD ∠=∠，OF 平分AOE ∠，若28AOC ∠=︒，求EOF ∠．A BCDE FO同步课程˙角的相关概念【例32】 如图所示，80AOB ∠=︒，OC 是AOB ∠内部的任意一条射线，若OD 平分BOC ∠，OE 平分AOC ∠，试求DOE ∠的度数．EDC BAO【例33】 如图，ACB ∠是一个平角DCE ACD ∠-∠ECF DCE =∠-∠FCG ECF =∠-∠GCB FCG =∠-∠10=︒，求GCB ∠的度数．GABC D E 图2F【例34】 已知：如图，OC 是AOB ∠外的一条射线，OE 平分AOC ∠．OF 平分BOC ∠．①若100AOC ∠=︒，40BOC ∠=︒， 问：?EOF ∠=②若AOB n ∠=︒，求EOF ∠的度数并说明理由．OC FE BA同步课程˙角的相关概念【例35】BOC ∠为AOC ∠外的一个锐角，射线OM ．ON 分别平分AOC ∠．BOC ∠． （1）90AOB ∠=°，30BOC ∠=°，求MON ∠的度数；（2）AOB α∠=，30BOC ∠=°，求MON ∠的度数；（3）90AOB ∠=°，BOC β∠=，还能否求出MON ∠的度数吗？若能，求出其值，若不能，说明理由．（4）从前三问的结果你发现了什么规律？C NB MAO【例36】 已知：OA ．OB ．OC 是从点O 引出的三条射线85AOB ∠=︒，4136'BOC ∠=︒，求AOC ∠．【例37】 已知一条射线OA ，若从点O 再引两条射线OB 与OC ，使60AOB ∠=︒，20BOC ∠=︒，求AOC∠的度数．【例38】 已知,αβ都是钝角，计算()1+6αβ，正确的结果只可能是（ ） A ．26︒ B ．40︒ C ．72︒ D ．90︒【变式练习】α．β．γ中有两个锐角和一个钝角，其数值已经给出，在计算1()15αβγ++的值时，有三位同学分别算出了23︒．24︒．25︒这三个不同的结果．其中确有一个是正确的答案，求αβγ++的值．【例39】 在同一平面内有射线OA OB OC OD ，，，平分BOC ∠，AOC ∠的3倍比AOB ∠的2倍多5︒，10AOD ∠=︒，求AOC ∠的度数．【例40】 以AOB ∠的顶点O 为端点引射线OC ，使得:5:4AOC BOC ∠∠=，且AOC ∠，BOC ∠均小于180︒，若30AOB ∠=︒，求AOC ∠的度数．八、 钟表角度问题【例41】 从3时到6时，钟表的时针旋转角的度数是（ ）A ．30B ．60°C ．90°D ．120°【例42】 下午2点30分时（如图），时钟的分针与时针所成角的度数为（ ）A ．90°B ．105°C ．120°D ．135°【例43】 由2点15分到2点30分，时钟的分针转过的角度是（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°【例44】 钟面上从2点到4点有几次时针与分针夹成60︒的角？分别是几点几分？【例45】 钟表在12点钟时三针重合，经过x 分钟后，秒针第一次将分针和时针所夹的锐角平分，则x 的值是多少?【习题1】一个角的补角和它的余角的3倍的和等于周角的1112，求这个角．【习题2】下列图形中，表示南偏西60︒的是（ ）60︒A 东西北南60︒B 东西北南60︒C东西北南60︒D东西北南【习题3】下列说法中，正确的是（ ）A ．一条射线把一个角分成两个角，这条射线叫做这个角的平分线B ．两个锐角的和为钝角C ．相等的角互为余角D ．钝角的补角一定是锐角【习题4】一个角的余角的2倍和它的补角的12互为补角，求这个角的度数．【习题5】已知一个角的补角等于这个角余角的6倍，那么这个角等于多少？【习题6】如图，OM 平分AOB ∠，ON 平分COD ∠，若50MON ∠=︒，10BOC ∠=︒，求AOD ∠的小．NMAB C DOAC D E图2图1F课后练习。
角定义四种表示方法
角定义四种表示方法
1、方法一：用三个大写英文字母表示，例：∠AOC（顶点写在中间，表示该角是射线OA和线段OC的夹角）
2、方法二：用一个大写英文字母表示，例：∠O（表示该角的顶点是点O）。
3、方法三：用数字表示，例：∠1、∠2、∠3（常见于数学题中，用于在图形上标注简称）。
4、角的大小与边的长短没有关系；角的大小决定于角的两条边张开的程度，张开的越大，角就越大，相反，张开的越小，角则越小。
角可以分为锐角、直角、钝角、平角、周角、负角、正角、优角、劣角、0角这10种。
（1）锐角：大于0°，小于90°的角叫做锐角。
（2）直角：等于90°的角叫做直角。
（3）钝角：大于90°而小于180°的角叫做钝角。
（4）平角：等于180°的角叫做平角。
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七年级数学角及其表示
2 C
1
E
归纳小结
1.角的组成及角的表示方法 2.用量角器度量一个角 3.度、分、秒单位间的换算
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王请放心,俺们绝不会背叛鞠言混元.”大殿中众人,纷纷开口.有の人,甚至拍着胸口保证自身不会背叛鞠言混元.“嗯,俺当然信任诸位.”鞠言点头,面容肃穆凝声道.心中信不信是一回事,但嘴上还是得说信任.“不过在诸位进入混元通道之前,俺还是想对诸位说几句.”鞠言转而道.第三 一陆陆章斗胆一问大殿内の善王们,都静静等着鞠言大王继续说下去.“不管是从枯殇の实历看,还是从俺对其他混元有限の了解看,一个完整の混元空间,都会给予俺们修行者在道途上更大の机会.诸位打算前往一个完整の混元空间,确实可能在修行上取得更大の进步.”鞠言先是如是说 道.“然后,机遇同样伴随着危险.诸位前往其他混元空间,那是一个全部陌生の环境.俺们都不知道,那样の混元空间有着多少比俺们实历更为强大の存在.所以,在那样陌生の环境里,初期定然是非常危险の.”“俺不会阻止你们通过混元通道,前往其他混元空间寻找机会.但俺还是要说,请 你们要慎叠の考虑清楚.”鞠言连续说了几句话.善王们,大多都凝眉沉思.在呐群善王之中,确实有部分人,之前忽略了危险可能比自身所想の还要大.枯殇成功了,但并不是说他们也能同样成功.“俺再给你们半个事辰事间考虑.”“半个事辰后,再告诉俺,你们最终の决定.”鞠言道.“多谢 鞠言大王.”善王们都向鞠言道谢.善王们,聚集在一起,低声开始议论关于是否要前往其他混元空间.现在改变主意还不晚,但等到进入混元通道,可就没有后悔の机会了.半个事辰后.“好了诸位,告诉俺,你们の最终决定.”鞠言望着三拾余名混元无上级善王和准混元无上级善王.“鞠言大 王,俺还是决定去往其他混元.”“俺也决定进入混元通道.”“俺の决定没有改变.”“算了,俺呐次就不去了,有一些后辈俺实在是放心不下.下次有机会,再说吧.”“……”绝大多数善王,都没有改变主意.最终决定不进入混元通道の,只有四个人,一个混元无上,另外三个是准混元无 上.“好！”鞠言点头,随即看向那拾名天庭大王道：“天庭大王中,是否有想前往其他混元空间の?”之前从苍耳大王口中,鞠言得知,有大王也想前往其他混元空间.“鞠言大王,俺想去往其他混元空间.”伏束大王出列对鞠言道.伏束大王の话,倒是让鞠言有些意外.“伏束兄,你要去其他 混元空间?”鞠言看着伏束大王.“嗯,俺已经考虑了半个月,呐是俺の决定.”伏束大王叠叠点头.他是在告诉鞠言,去往其他混元,并不是临事起意,而是经过琛思熟虑作出の决定.“既然如此,那俺也不劝你了.到了其他混元,一定要小心.最先要做の,就是了解环境,确定自身の实历,在那个 混元是哪个样の层次.当然,隐藏身份来历肯定是必须の,俺不说你也懂.”鞠言说道.“明白.”伏束大王点头.除了鞠言外の拾名天庭大王之中,只有伏束大王决定前往其他混元空间.“好了,你们跟俺来吧！”鞠言站起身,率先走动起来.三拾多名善王和伏束大王,跟在鞠言身后,进入内殿, 也就是混元通道所在の地方.由于万道成空盒子被打开の缘故,所以混元通道已是占了半个内殿の空间.整个内殿,大量の道则之历均匀の律动.呐些道则,有黑色道则,也有白色の道则.“那就是混元通道.”“进入后,便可抵达其他混元空间.”“好了,决定前往其他混元空间の人,依次进入 吧.”鞠言挥了挥手.“鞠言大王,希望俺还能活着回来.”伏束大王先有动作,他对鞠言拱了拱手,开口说道.“保叠.”鞠言拍了拍伏束大王の肩膀.而后,伏束大王转身,大踏步の向混元通道节点走了过去.两个呼吸事间过后,伏束大王の身影,消失在了混元通道内.有了伏束大王带头,其他の 善王,情绪上也都轻松了许多.“第二个进入混元通道の,由俺来！”一名混元无上级善王高声道：“鞠言大王,再见！”呐名混元无上级善王转身后,还向着身后挥了挥手臂,他の身影,也消失在混元通道之内.随后便是第三个、第四个……没过多久,三拾多个善王,便都进入了混元通道.而 混元通道节点,却仿佛没有发生任何の变化,仍然保持着方才の模样.呐个事候,苍耳大王等九名天庭大王从外面走了进来.“鞠言大王,他们都离开了?”苍耳大王看着内殿中,只剩下鞠言一个人.“是啊！都去其他混元了.”鞠言道.“也不知道,他们有多少人,能活着回来.”苍耳大王 道.“希望他们都能活着回来吧！”鞠言也知道,呐恐怕并不现实.“好了,现在俺们用万道成空盒子,叠新封禁混元通道.”鞠言又说道.除苍耳外の大王,也都知道鞠言の决定.“封禁了吧！”“开始！”几名大王释放申历道则,借助阵法历量,合历封闭万道成空盒子.不久之后,万道成空盒 子关闭,那混元通道の节点,被压缩到只剩下盒子那么大.而道则律动,却是丝毫都无法感知到了.鞠言看到众大王脸色都不太好看,便笑着说道：“你们也不用觉得可惜.随着混元通道开启,确实有另一种道则律动出现,但数量仍是太少了.你们想通过呐样の机会,对另一种道则掌握到善王级, 那是不可能实现の,除非混元通道能持续开启亿万年.”“再者说,等俺们の混元空间,两面化而为一.那俺们の混元空间也是完整の,到事候你们能够随事随地修行到另外一种道则.”鞠言继续说道.听到鞠言の话,诸大王表情不一.“鞠言大王,俺斗胆问一句,你是否已经在另外一种道则上达 到了善王级?”浦桑大王突然开口,看着鞠言问出了呐么一个问题.而呐个问题の答案,显然是所有大王都想知道の.记住收寄版网址：m,第三一陆陆章斗胆一问(第一/一页)『加入书签,方便阅读』第三一陆七章释疑第三一陆七章释疑(第一/一页)苍耳大王等人,全都看向鞠言大王.鞠言大王 の实历,为何会那么强?连那从完整混元空间回来の枯殇,都被鞠言大王击杀,鞠言大王为哪个能做到?只是虽然众人都困惑,都想知道答案,但向鞠言大王要答案,呐可就得慎叠了.而浦桑大王,却是终于没忍住,问了出来.鞠言看到众人の表情,心中了然.他笑了笑说道：“完整の混元空间,是 有黑色与白色两种道则.俺们目前所处の空间,只有黑色道则.至于浦桑大王の问题……俺确实在两种道则上,都达到善王境界.”众人都望着鞠言,表情剧烈变化.鞠言大王,果然是掌握了另外一种道则.问题是,鞠言大王是如何掌握の?他们呐些天庭大王,大多数都是在混元初开の事候就存在 の,可他们也都只掌握黑色道则,根本就没机会去参悟白色道则.虽说混元通道开启の事候,能有短暂の机会参悟,但正如先前鞠言大王说の,那事间太短,很难有哪个进步.“俺知道,你们现在,都在想俺是怎么有机会参悟白色道则の.”“今天,俺就将俺の来历告诉你们吧！也省得,你们背地 里再去瞎猜.”“其实,俺和永恒先生,都来自于混元の另一面,也就是那个只有白色道则の混元空间.”鞠言直接说了出来,没有再隐瞒自身の来历.而实际上,鞠言确实也没必要隐瞒自身の来历了.他の实历,在呐个混元空间内最强,并且无人有能历挑战自身.“诸位.为了更好の区分混元两 面,俺称呐一面混元为暗混元,另一面为明混元.”“俺在明混元事,道法上就达到善王境界了.”鞠言缓缓说道.“永恒先生,也是来自于明混元?难怪……当初永恒先生就好像认识鞠言大王.”苍耳大王说道.“是の！俺来到暗混元事,永恒先生当事就察觉到了.”鞠言点头.“俺为何从明混 元来到暗混元呢?其实俺刚刚抵达暗混元の事候,道则无法使用,在道则上,俺差不多只能算是一个普通人.不过,俺同事还是炼体善王.即便不用道法,俺の实历依然不算弱小,所以俺抵达暗混元,也能快速の熟悉呐个世界.”“说到为哪个要来暗混元,确实是有原因の.明混元,即将毁灭.明混 元中,也有一条永恒之河,但却不像暗混元永恒之河那么稳定.明混元の永恒之河,其中黑白两种本源道则,正在逐渐失去平衡.一旦平衡全部被打破,就是明混元被毁灭之事.俺来暗混元,就是寻找办
数学 2角的表示-课件
B
C
O
B
A C
D 1A
O B
D
2、请将图中的角用不同方
法表示出来，并填写下表：
∠ABE ∠C或∠ACD
∠B
∠1
∠BED
∠2
∠A或∠BAC
∠3
作业
课本P.6 练习2 习题8.1 第2题
数阅
学读
使使
人人
精充
细实
；；
博会
物谈
使使
人人
深敏
沉捷
；；
伦写
理作
使与
人笔
庄记
重使
；人
逻精
You made my day!
图8-6
解:(1)以点C为顶点的角是∠ACB,∠ACD,∠BCD; (2)可以只用一个字母表示的角有∠A,∠B; (3)图中共有7个角：∠A,∠B,∠ACB,∠ACD, ∠BCD,∠ADC,∠BDC.
⒈角是由两条具有公共端点 的射线组成的图形，角的要 素为顶点和边，角的大小不 随边的长短而变化，即与边 无关。
O
这个公共端点叫做角的顶点
点Ｏ是角的顶点
这两条射线叫做角的边
射线ＯＡ与ＯＢ是角的边
A B
角的符号：∠
角有四种表示方法：
（1）用___三_个__大_写__英_文__字_母___表示角； （2）用___一_个__大_写__英_文__字_母___表示角； （3）用__一__个_阿__拉_伯__数_字_____表示角； （4）用__一__个_希__腊_字__母______表示角.
8.1 角的表示
学习目标：
1、通过实例，进一步理解角的两种定义表 示及顶点、边、始边、终边等有关概念；
2、掌作：阅读课本第4页“交流与合作” 探索1： 角的定义(一)
角的知识点
角的知识点一、角的定义1. 静态定义- 有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边。
2. 动态定义- 一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫做角。
所旋转射线的端点叫做角的顶点，开始位置的射线叫做角的始边，终止位置的射线叫做角的终边。
二、角的表示方法1. 用三个大写字母表示，如∠AOB，其中O是角的顶点，A、B分别是角的两条边上的点，顶点字母必须写在中间。
2. 用一个大写字母表示，当以某一点为顶点的角只有一个时，可以用这个顶点的大写字母来表示这个角，如∠O。
3. 用数字表示，如∠1、∠2等。
4. 用小写希腊字母表示，如∠α、∠β等。
三、角的度量1. 度量单位- 角的度量单位是度、分、秒。
把一个周角360等分，每一份就是1度的角，记作1°；把1度的角60等分，每一份叫做1分的角，记作1′；把1分的角60等分，每一份叫做1秒的角，记作1″。
- 1° = 60′，1′=60″。
2. 角的度量工具- 量角器。
使用量角器量角时，量角器的中心与角的顶点重合，0°刻度线与角的一边重合，角的另一边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数。
四、角的分类1. 锐角- 大于0°而小于90°的角叫做锐角。
2. 直角- 等于90°的角叫做直角。
3. 钝角- 大于90°而小于180°的角叫做钝角。
4. 平角- 等于180°的角叫做平角，平角的两条边成一条直线。
5. 周角- 等于360°的角叫做周角，周角的两条边重合。
五、角的比较与运算1. 角的比较- 度量法：用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小。
- 叠合法：把两个角叠合在一起比较大小，使它们的顶点和一条边重合，另一条边在重合边的同侧，通过观察另一条边的位置来比较角的大小。
2. 角的和差- ∠AOC = ∠AOB+∠BOC（∠AOB与∠BOC有公共顶点O和一条公共边OB）。
任意角的表示方法
任意角的表示方法任意角指的是角的度数可以是任意实数，不限于常见的整数度、分数度等形式。
在数学中，任意角的表示方法有多种，下面将介绍其中的几种常见方法。
1. 度数表示法：度数表示法是最常见的角度表示方法。
它使用度（°）作为单位来度量角的大小。
在度数表示法中，一个完整的圆周角为360°，一个直角为90°，一个钝角大于90°，一个锐角小于90°。
例如，如果一个角的度数为45°，则表示这个角是一个锐角，它的大小为45度。
2. 弧度表示法：弧度是另一种常见的角度表示方法。
它使用弧度（rad）作为单位来度量角的大小。
弧度表示法是一种更为精确的表示方法，它与圆的半径有关。
一个完整的圆周角等于2π弧度，一个直角等于π/2弧度。
例如，如果一个角的弧度为π/4，表示这个角是一个锐角，它的大小为45°。
3. 分数度表示法：分数度表示法是一种将角度表示为分数的方法。
它使用度（°）作为单位，但允许角度的度数是分数。
例如，一个角的度数可以表示为45/2°，这意味着这个角的大小是45度的一半。
4. 弧长比表示法：弧长比表示法是一种将角度表示为弧长比的方法。
它使用弧度作为单位，但将角度的大小表示为弧长与半径的比值。
在这种表示方法中，一个完整的圆周角的弧长比为2π，一个直角的弧长比为π/2。
例如，一个角的弧长比为π/4，表示这个角的弧长是半径的四分之一。
5. 四象限坐标表示法：四象限坐标表示法是一种将角度表示为坐标点的方法。
它使用直角坐标系，将角度的大小表示为与x轴正向的夹角。
在这种表示方法中，角度的大小可以是正数、负数或零。
例如，一个角的大小为45°，表示这个角与x轴正向的夹角为45度。
总结起来，任意角的表示方法有度数表示法、弧度表示法、分数度表示法、弧长比表示法和四象限坐标表示法等多种。
不同的表示方法适用于不同的问题和场景，选择合适的表示方法可以更好地描述和计算角的性质和关系。
数学角的认识
数学角的认识
数学中的角是指由两条射线或线段所夹成的部分。
角可以用度数、弧度或梯度来度量。
度数是最常用的角度单位，以符号°表示。
一个完整的圆周有360°，每个角度可以用一个数字来表示，如30°、90°等。
除了度数，角还可以用弧度来度量。
弧度是指半径长度相等的圆弧所对应的角。
一个完整的圆周的弧度为2π。
数学中，弧度常用符号rad 表示。
弧度与度数之间的转换公式是：弧度= (度数* π) / 180。
弧度的优势是可以更方便地进行三角函数的运算。
另外，还有一种角度单位是梯度。
梯度是以直角为基准的角度单位，一个直角为100梯度。
一个完整的圆周的梯度为400。
梯度通常用符号grad表示。
角还可以分为几个不同的类型。
锐角是小于90°的角，直角是等于90°的角，钝角是大于90°但小于180°的角，而平角是等于180°的角。
此外，两个角的和等于一个直角被称为互补角，两个角的和等于一个平角被称为补角。
角在数学和几何中扮演着重要的角色。
它们被广泛应用于三角函数、
三角比例、图形的测量和建模等领域。
了解和理解角度的概念对于解决各种数学问题和实际应用是至关重要的。
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课题：角的表示备课时间：2014-2-14 审核：上课时间：2014-2- 备课人：学生姓名：
教学目标：1、通过丰富的实例，进一步理解角的有关概念，认识角的表示。
2．通过在图片、实例中找角，培养学生的观察力，能把实际问题转化为数学问题。
教学过程：1．角的定义
(1)静态定义：由两条具有公共端点的射线组成的几何图形
叫做角．如图甲．
(2)动态定义：角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋
转所形成的几何图形．如图乙．
谈重点角的理解
(1)角有两个特征：①角是由两条射线组成的；②这两条射线有公共的端点．
(2)角的大小与角的两边的长短无关：由于角的两边是射线，而射线是向一方无限延伸的，所以角的大小与角的两边的长短无关，只与两条射线张开的程度有关．
【例1】下列说法错误的有( )．
①有公共点的两条射线形成的图形是角②从一点引出的两条射线形成的图形是角
③角的大小与两边所画的长度有关④线段绕着一个端点旋转也可以形成角
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．角的表示方法及画法
角的表示方法有四种．
(1)三个大写英文字母表示法：用角的两边上的两个大写字母和顶点的字母表示角，如图(1)中的角，可记为∠AOB，注意顶点的字母写在中间，每条边上的一点A，B写在两旁．
(2)顶点字母表示法：当角的顶点处只有一个角时，也可以只用顶点的字母表示角，如图(1)中的∠AOB 也可记为∠O.
(3)阿拉伯数字表示法：在角的顶点处加上弧线标上数字，就可以用
这个数字来表示角，如图(2)中的∠AOB可记为∠1.
(4)希腊字母表示法：在角的顶点处加上弧线标上小写希腊字母(α，
β，γ等)，就可以用这个小写希腊字母来表示角，如图(2)中的∠BOC可
记为∠α.这种方法与数字表示法实际上是一样的．
释疑点表示角时的注意事项
①以上四种表示方法的前面必须加上角的符号“∠”．
②表示角所用的符号“∠”，不能写成小于号“<”．
③当一个顶点处有两个以上的角时，不能用顶点字母表示法来表示角，如图(2)中以O为顶点的角有∠1，∠α，∠AOC，就不能用∠O来表示了．否则，就会产生混乱．
3．平角、周角
(1)平角：一条射线绕它的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，
所成的角叫做平角，平角是180°，如图1.
(2)周角：如图2，一条射线绕它的端点旋转一周，当终边与始边重合时，所成的角叫做周角．周角等于360°.
(3)平角与周角的关系：一周角等于两平角．
平角的两边成一条直线，周角的两边重合后成一条射线，但不能认为一条直线就是平角或认为一条射线就是周角．角必须有顶点和两边．
【例3】下列说法是否正确，为什么？
①平角是一条直线；
②钟表上的分针经过1小时形成一个周角．
当堂检测：
321
E
C
F
A
D B 1.如图,写出: (1)能用一个字母表示的角. (2)以B 为顶点的角. (3)图中共有几个小于平角的角?
2.如图,写出: (1)能用一个字母表示的角. (2)以A 为顶点的角. (3)以C 为顶点的角.
(4)图中共有几个小于平角的角?
3.一副三角板由一个等腰三角形和一个含30°角的直角三角形组成,求图中标注角的度数.
4.一块正方形木板有4个角,每次锯掉一个角,锯一次后还有几个角?锯两次后还有几个角?
E
C
A
B
课题：角的表示
备课时间：2014-2-14
审核：
上课时间：2014-2-
备课人：周猛
学生姓名：
【明确目标】 角的度量单位与角的换算．
【前置自学】．度、分、秒的换算 (1)角的单位及意义 角的单位是度、分、秒．
意义：①把一个平角180等分，每一份就是一度的角，记作1°；②把一度的角60等分，每一份就是一分的角，记作1′；③把一分的角60等分，每一份就是一秒的角，记作1″.
(2)度、分、秒的进率及换算方法 度、分、秒的进率是60.即1°＝60′，1′＝60″，1°＝60′＝3 600″.
度6060⨯÷ 分60
60
⨯÷ 秒 (3)度、分、秒有关的计算
度、分、秒的进率是六十进制，不同于十进制．在运算中满60才向高位进1，而借1则表示低位的60.
在进行度、分、秒的加减法或乘除法的运算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减、不够除的要借位．从高位借的，单位要化为低位的单位后才能进行运算．
在相乘或相加时，当低位大于或等于60时，要向高位进位． 【例1－1】 (1)用度、分、秒表示48.13°为__________； (2)用度表示23°9′36″为__________． 解析：(1)先把0.13°化成分：60′×0.13＝7.8′，再把0.8′化成秒：60″×0.8＝48″，所以48.13°＝48°7′48″；
(2)先把36″化成分：⎝⎛⎭⎫160′×36＝0.6′，再把9.6′化成度：⎝⎛⎭⎫160°×9.6＝0.16°
，所以23°9′36″＝23.16°.
【同类测试】
1.时间换算方式：1时 = 分 1分 = 秒 1分 = 时 1秒= 分
2.类比时间的换算,度、分、秒是角的基本度量单位，它们的换算关系如下： 1°= ′ 1′= ° 1′= ″ 1″= ′
3. 1周角=_____°，1平角=_____°
思考：类比时间，思考角度的是如何进位的？
【合作探究】
探究一：1.把下面角度化成度、分、秒的形式
34.5°= ； 112.27°= 2．把下面度、分的形式化成度
72°36′ = °. 37°14′24″
= ； 3.基本计算：
12°36′56″+ 45°24′35″ 79°45′ － 61°48′49″
21°31′27″×3 63°21′39″÷3
思考：计算过程中有哪些地方易出错，你是怎样防止这种错误的发生?
探究二：
1.如下图，分别确定四个城市相应钟表上时针与分针所成角的度数．
【达标拓展】
1.下列说法正确的是（）
(A)两条射线就是一个周角 (B)一条射线就是一个周角
(C) 角的两边越长，角就越大。
(D)一条射线绕着端点从起始位置旋转到终止位置所形成的图形叫做角
2. 38°15′与38.15°相等吗？如不相等，哪一个大？
3、在钟表上，1点30分时，时针与分针所成的角是（）．
A．150° B．165° C．135° D．120°
4、（1
8
）°=_____′=_____″；6000″=______′=_______°．
【例4－2】计算：
(1)13°29′＋78°37″；(2)61°39′－22°5′32″；
(3)23°53′×3；(4)106°45′÷5.
分析：先将相同单位相加减，注意进位和借位；乘法要先乘低位，再乘高位；除法是先除高位，高位
余数换算成低位数后，再除低位．
5.角的计数方法
数角的个数与数线段的条数的方法基本上相同，都要按一定的方法去数．常用的有两种方法：
①始边计数法：先以某条边为始边(固定一边)，按顺时针方向或逆时针方向找到与之构成的所有的角，然后再以另一条射线为边，重复上面的过程，最后把所有的角的个数加起来，就是构成角的总个数．
②分类计数法：先数清基本的角，再数由两个基本角组成的角，由三个基本角组成的角……
【例5】如图，图中共有多少个角？用字母分别表示出来．
分析：要确定有多少个角，需要先确定始边与终边的条数．可以用始边计数法数角的个数．即先以OA为始边，则能与它组成角的边有3条，就有3个角；再以OB为始边，按逆时针数出角的个数，依次类推．。