误差平差：协方差传播定律及权共86页
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第三章 协方差传播率及权
xy E( x y )
• 式中 x E( X ) X 和 真误差。
y E(Y ) Y
分别是 X和Y的
• 协方差则是这两种真误差所有可能取值的乘积的理 论平均值，即 lim [ x y ] lim 1 ( xy x n n
n n
ˆ xy [ x y ] n
12 0 2 0 2 Dxx 0 0 0 0 2 n
4.互协方差阵
设有观测值向量 Y。 为 和 r ,1
X n ,1
X
n ,1
和
Y
r ,1
，它们的数学期望分别
D XY DYY
令：
X Z Y
在测量工作中，直接观测得到的高差、距离、角 度、方向和三角高程测量求得的高差等，都认为 是独立观测值。 一般来说，独立观测值的各个函数之间是不独立 的，或者说是相关的，因而它们是相关观测值。 例如，当一个测站上的水平方向观测值是独立观 测值时，由这些方向值所算得的相邻角度就是相 关观测值；又如，三角网或导线网中根据观测角 度和边长求得的各点的坐标也是相关观测值。
2 r
D XY
X 1Y1 X Y 21 X nY1
XY X Y
1 2
2 2
X Y
n 2
X 1Yr X 2Yr X nYr
T DYX DXY
若有 X 的
t 个线性函数：
Z 1 k11 X 1 k12 X 2 k1n X n k10 Z 2 k 21 X 1 k 22 X 2 k 2 n X n k 20 Z t k t1 X 1 k t 2 X 2 k tn X n k t 0
测量平差 第三章
可得：
DYY F DXX F
2 Y rr rn nn
T
nr
Y关于Z的互协方差阵：
DYZ E Y EY Z EZ F DXX K
T rt rn nn
T
nt
例3：在一个三角形中，同精度独立观测得到三个内 角L1、L2、L3，其中误差为，将闭合差平均分配后 各角的协方差阵。
2 2 h S km
h S km
其估值公式为
ˆ ˆ ˆ2 ˆ2 h S km h S km
例题
水准测量中若要求每公里观测高差中误差不超过 10mm，水准路线全长高差中误差不超过60mm, 则该 水准路线长度不应超过多少公里？ 解：由公式
2 2 h S km
差的关系。
一、观测值线性函数的方差
设有n维观测向量X，其数学期望μ和协方差阵分别为：
设有n维观测向量X的函数Z为：Z=KX+K0,求DZZ＝？ 式中K为系数阵，K0为常数。 根据方差的定义得：
2 DZZ Z E Z EZ Z EZ
T
2 DZZ Z KDXX K T
应用协方差传播公式得
2 L
2
n L n
例题
已知某台经纬仪一测回的测角中误差为±6'',如 果要使各测回的平均值的中误差不超过±2'',则至少 应测多少测回？ 解：由公式
2 x
2
N
可得
2 62 N 2 2 9 x 2
答：至少应测9测回
三、若干独立误差的联合影响
B
mp
mu ms
A
s
DYY F DXX F
2 Y rr rn nn
T
nr
Y关于Z的互协方差阵：
DYZ E Y EY Z EZ F DXX K
T rt rn nn
T
nt
例3：在一个三角形中，同精度独立观测得到三个内 角L1、L2、L3，其中误差为，将闭合差平均分配后 各角的协方差阵。
2 2 h S km
h S km
其估值公式为
ˆ ˆ ˆ2 ˆ2 h S km h S km
例题
水准测量中若要求每公里观测高差中误差不超过 10mm，水准路线全长高差中误差不超过60mm, 则该 水准路线长度不应超过多少公里？ 解：由公式
2 2 h S km
差的关系。
一、观测值线性函数的方差
设有n维观测向量X，其数学期望μ和协方差阵分别为：
设有n维观测向量X的函数Z为：Z=KX+K0,求DZZ＝？ 式中K为系数阵，K0为常数。 根据方差的定义得：
2 DZZ Z E Z EZ Z EZ
T
2 DZZ Z KDXX K T
应用协方差传播公式得
2 L
2
n L n
例题
已知某台经纬仪一测回的测角中误差为±6'',如 果要使各测回的平均值的中误差不超过±2'',则至少 应测多少测回？ 解：由公式
2 x
2
N
可得
2 62 N 2 2 9 x 2
答：至少应测9测回
三、若干独立误差的联合影响
B
mp
mu ms
A
s
《误差理论与测量平差》第二章 误差与协方差传播
方差
4. 水准测量的精度分析
. 支导线点位的精度
6. 水平角观测精度分析
§2-3 协方差传播律的应用
1. 独立观测值的线性函数的方差
现有独立观测向量
L
L1 L 2
n1
T
Ln
1
2
2
，其方差阵
2
D LL
nn
n
设X为的一个线性函数 X
k 1 L1
L2
k2
k
1
由协方差传播律可得：
kn
2
k
K DLL K T
DXX
1n
11
nn
k1
n1
k
2
L
2
2
n
2
k1
1
k2
2
2
kn
T
Ln
n
k2
kn
2
1
K L
0
系数平方与观测
值方差乘积和。
kn
2
k
k12
k0
k
1
k2
k
n
1
2
L2
1
k0
1n n1
1
2
X
k n L n
k2
2
+ k 22
2
2
2
n
2
+k
n
k i2
n
i
1
2
i
2. 独立同精度观测值的平均值的方差
现有独立同精度观测向量
2
2
评论：平均值的
方差为观测值方
差1/n，精度明
显高于观测值。
3. 独立同精度分段量距的累计距离的方差
1 d 2
4. 水准测量的精度分析
. 支导线点位的精度
6. 水平角观测精度分析
§2-3 协方差传播律的应用
1. 独立观测值的线性函数的方差
现有独立观测向量
L
L1 L 2
n1
T
Ln
1
2
2
，其方差阵
2
D LL
nn
n
设X为的一个线性函数 X
k 1 L1
L2
k2
k
1
由协方差传播律可得：
kn
2
k
K DLL K T
DXX
1n
11
nn
k1
n1
k
2
L
2
2
n
2
k1
1
k2
2
2
kn
T
Ln
n
k2
kn
2
1
K L
0
系数平方与观测
值方差乘积和。
kn
2
k
k12
k0
k
1
k2
k
n
1
2
L2
1
k0
1n n1
1
2
X
k n L n
k2
2
+ k 22
2
2
2
n
2
+k
n
k i2
n
i
1
2
i
2. 独立同精度观测值的平均值的方差
现有独立同精度观测向量
2
2
评论：平均值的
方差为观测值方
差1/n，精度明
显高于观测值。
3. 独立同精度分段量距的累计距离的方差
1 d 2
测量平差测量误差及其传播定律课件
测量数据处理
数据预处理
数据清洗 数据转换 数据集成
数据处理方法
统计分析 数据挖掘 预测分析
数据后处理
结果验证
1பைடு நூலகம்
报告生成
2
数据存储
3
CHAPTER
测量误差实例分析
实例一：水准测量误差分析
总结词
详细描述
仪器误差包括望远镜调焦误差、十字 丝分划板误差等；人为误差包括读数 误差和仪器对中误差；外界环境因素 包括大气折射和地球曲率的影响。
测量平差测量误差及 其传播定律课件
• 测量误差概述 • 平差测量原理 • 误差传播定律 • 测量数据处理 • 测量误差实例分析
CHAPTER
测量误差概述
测量误差的定义
测量误差
不可避免性
测量结果与被测量真值之间的差异。
由于受到多种因素的影响，测量误差 不可避免。
产生原因
测量设备、环境、操作方法、人员等 因素的影响。
实例二：角度测量误差分析
总结词
角度测量误差主要来源于仪器误差、人为误差和目标偏心。
详细描述
仪器误差包括照准误差、度盘刻划误差等；人为误差包括瞄准误差和读数误差； 目标偏心则是指目标偏离了理想位置，导致观测值失真。
实例三：距离测量误差分析
总结词
详细描述
WATCHING
测量误差的来源
01
测量设备误差
02
环境误差
03
操作误差
04
观测误差
测量误差的分类
系统误差
随机误差 过失误差
CHAPTER
平差测量原理
平差测量基本概念
01
02
平差测量
测量误差
03 误差传播定律
数据预处理
数据清洗 数据转换 数据集成
数据处理方法
统计分析 数据挖掘 预测分析
数据后处理
结果验证
1பைடு நூலகம்
报告生成
2
数据存储
3
CHAPTER
测量误差实例分析
实例一：水准测量误差分析
总结词
详细描述
仪器误差包括望远镜调焦误差、十字 丝分划板误差等；人为误差包括读数 误差和仪器对中误差；外界环境因素 包括大气折射和地球曲率的影响。
测量平差测量误差及 其传播定律课件
• 测量误差概述 • 平差测量原理 • 误差传播定律 • 测量数据处理 • 测量误差实例分析
CHAPTER
测量误差概述
测量误差的定义
测量误差
不可避免性
测量结果与被测量真值之间的差异。
由于受到多种因素的影响，测量误差 不可避免。
产生原因
测量设备、环境、操作方法、人员等 因素的影响。
实例二：角度测量误差分析
总结词
角度测量误差主要来源于仪器误差、人为误差和目标偏心。
详细描述
仪器误差包括照准误差、度盘刻划误差等；人为误差包括瞄准误差和读数误差； 目标偏心则是指目标偏离了理想位置，导致观测值失真。
实例三：距离测量误差分析
总结词
详细描述
WATCHING
测量误差的来源
01
测量设备误差
02
环境误差
03
操作误差
04
观测误差
测量误差的分类
系统误差
随机误差 过失误差
CHAPTER
平差测量原理
平差测量基本概念
01
02
平差测量
测量误差
03 误差传播定律
误差理论与测量平差基础第三章 协方差传播律及权
12
2 2
2n
DXTX
1n 2n
2 n
观测向量线性函数为
Z KX k0
式中： K k1 k2 kn , k 0 为常数。
第三章 协方差传播率及权
Z的期望为 Z的方差为
E(Z ) E(KX k0 ) KE( X ) k0
DZZ E[(Z E(Z ))(Z E(Z ))T ] E[(KX k0 KE( X ) k0 )(KX k0 KE( X ) k0 )T ] KE[(X E( X ))(X E(EX ))T ]K T
第三章 协方差传播率及权
在近似值
X
0 1
,
X
0 2
,
,
X
0 n
处展开
Z
f
X
0 1
,
X
0 2
,
,
X
0 n
f X
1
0
X1
X
0 1
f X
2
0
X2
X
0 2
f X
n
0
X
n
X
0 n
二次以上项
当X与X0非常接近时，可以略去二次以上小项（影响非常小） 微分以后的系数均为具体数值，将常数提取出来，即得：
X、Y相互独立时：
E(X ,Y ) E(X )E(Y )
第三章 协方差传播率及权
3、观测向量线性函数的方差
设观测向量X及其期望和方差为：
X ( X1 X 2 X n )T , E( X ) ( E( X1 ) E( X 2 ) E( X n ))T
2 1
12
1n
DXX E (X E(X ))(X E(X ))T
误差理论与平差基础-第3章 协方差传播率及权
2 0 0 2 DLL 0 0 2 0 0
2 0 0 2 / 3 1 / 3 1 / 3 2 / 3 1 / 3 1 / 3 1 / 3 2 / 3 1 / 3 0 2 0 1 / 3 2 / 3 1 / 3 DL ˆL ˆ 2 1 / 3 1 / 3 2 / 3 0 0 1 / 3 1 / 3 2 / 3
106.1 7.8 121 2.6 6.8 244.3
二、协方差传播律
2、线性函数的方差——协方差
[例7] 求等精度观测的三角形三个内角按照闭合差分配后角 度的协方差阵。 三角形闭合差: w 180 L1 L2 L3
1 2 1 1 ˆ L1 L1 W L1 L2 L3 60 3 3 3 3 1 1 2 1 ˆ L2 L2 W L1 L2 L3 60 3 3 3 3 ˆ L 1 W 1 L 1 L 2 L 60 L 3 3 1 2 3 3 3 3 3
a1( X A X s ) b1 (YA YS ) c1 ( Z A Z S ) a3 ( X A X S ) b3 (YA YS ) c3 ( Z A Z S )
a 2 ( X A X s ) b2 (YA YS ) c2 ( Z A Z S ) a3 ( X A X S ) b3 (YA YS ) c3 ( Z A Z S )
XY
XY XY
表示X、Y 间互不相关，对于 正态分布而言，相互独立。
YX XY 0
YX XY 0
表示X、Y 间相关。
二、协方差传播律
第三章协方差传播律及权
= E K ( X − µ X )( X − µ X ) T K T
[
[
]
= KE ( X − µ X )( X − µ X ) T K T
[
]
]
]
协方差传播律
DZZ = σ = KDXX K
2 Z
T
DZZ
的纯量形式：
+ L + 2k1 k nσ 1n + L + 2k n −1 k nσ n −1, n
s = ab
先取对数然后再全微分能简化计算。 先取对数然后再全微分能简化计算。 对函数式取自然对数： 对函数式取自然对数：
σ S = 500σ d = 500 × (±0.2) = ±100mm = ±0.1m
最后写成: 最后写成
S = 11.7 ± 0.1 m
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二、多个观测值线性函数的协方差阵 推导过程： 推导过程：Z = K X + K 函数：
t ,1 t , n n ,1 0 t ,1
E ( Z ) = E ( KX + K 0 ) = Kµ x + K 0
X 0 = X 10
n ,1
[
0 X2
L
X
0 T n
]
0 0 Z = f ( X 10 , X 2 , L , X n ) + (
∂f 0 +( )0 ( X 2 − X 2 ) + L ∂X 2 ∂f 0 +( ) 0 ( X n − X n ) + (二次以上项） ∂X n
∂f ) 0 ( X 1 − X 10 ) dX = ( dX 1 dX 2 L dX n ) T ∂X 1 0 0 dZ = Z − Z 0 = Z − f (X 10 , X 2 , L , X n )
[
[
]
= KE ( X − µ X )( X − µ X ) T K T
[
]
]
]
协方差传播律
DZZ = σ = KDXX K
2 Z
T
DZZ
的纯量形式：
+ L + 2k1 k nσ 1n + L + 2k n −1 k nσ n −1, n
s = ab
先取对数然后再全微分能简化计算。 先取对数然后再全微分能简化计算。 对函数式取自然对数： 对函数式取自然对数：
σ S = 500σ d = 500 × (±0.2) = ±100mm = ±0.1m
最后写成: 最后写成
S = 11.7 ± 0.1 m
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二、多个观测值线性函数的协方差阵 推导过程： 推导过程：Z = K X + K 函数：
t ,1 t , n n ,1 0 t ,1
E ( Z ) = E ( KX + K 0 ) = Kµ x + K 0
X 0 = X 10
n ,1
[
0 X2
L
X
0 T n
]
0 0 Z = f ( X 10 , X 2 , L , X n ) + (
∂f 0 +( )0 ( X 2 − X 2 ) + L ∂X 2 ∂f 0 +( ) 0 ( X n − X n ) + (二次以上项） ∂X n
∂f ) 0 ( X 1 − X 10 ) dX = ( dX 1 dX 2 L dX n ) T ∂X 1 0 0 dZ = Z − Z 0 = Z − f (X 10 , X 2 , L , X n )
误差理论与测量平差基础1
第一讲 协方差传播律及权
侧方交会中，A、B两点的坐标以及两点之间的距离已知， 坐标 方位角为 0 ，由交会的观测角 L , L ，求交会点的坐标。
1 2
S AC S 0
S in L1 S in L 2
0
A C 0 (1 8 0 L1 L 2 )
x C x A S A C c o s A C y C y A S A C sin A C
由协方差传播律可知：
F D F F (3, 0, 2 ) D L L (3, 0, 2 )
2 T
3 22, 0, 10 0 2
86
side4
在测站A上， BAC 例2：
的中误差 的中误差。 解：
1
2
1 . 4
t ,1 t ,n n ,1 t ,r r ,1
DYY
DXY
求 DZZ
DZX
DZY
X F2 ) Y X O) Y
解：
Z ( F1
X (E
例5：已知函数， L, DLL , X AL, Y BX
求 DXX
DYY
DXY DXL DYL
side8
3、非线性函数的情况 设有观测值X的非线性函数：
则 p1 2, p2 1, p3
side21
说明：
1)权的大小随 0 而变化，但权比不会发生变化。
2
2)
选定了 0 ，即对应一组权。
2
3）权是衡量精度的相对指标，为了使权起到比较精 度的作用，一个问题只选一个0。 4）只要事先给定一定的条件，就可以定权。 5）权可能有量纲，也可能无量纲，视0和ｉ的单位而定。
侧方交会中，A、B两点的坐标以及两点之间的距离已知， 坐标 方位角为 0 ，由交会的观测角 L , L ，求交会点的坐标。
1 2
S AC S 0
S in L1 S in L 2
0
A C 0 (1 8 0 L1 L 2 )
x C x A S A C c o s A C y C y A S A C sin A C
由协方差传播律可知：
F D F F (3, 0, 2 ) D L L (3, 0, 2 )
2 T
3 22, 0, 10 0 2
86
side4
在测站A上， BAC 例2：
的中误差 的中误差。 解：
1
2
1 . 4
t ,1 t ,n n ,1 t ,r r ,1
DYY
DXY
求 DZZ
DZX
DZY
X F2 ) Y X O) Y
解：
Z ( F1
X (E
例5：已知函数， L, DLL , X AL, Y BX
求 DXX
DYY
DXY DXL DYL
side8
3、非线性函数的情况 设有观测值X的非线性函数：
则 p1 2, p2 1, p3
side21
说明：
1)权的大小随 0 而变化，但权比不会发生变化。
2
2)
选定了 0 ，即对应一组权。
2
3）权是衡量精度的相对指标，为了使权起到比较精 度的作用，一个问题只选一个0。 4）只要事先给定一定的条件，就可以定权。 5）权可能有量纲，也可能无量纲，视0和ｉ的单位而定。
3-协方差传播律及权
Xn
§3-2 协方差传播律
1. 误差的传递
（2）非线性函数误差的传递
%
f ( x1 , x2 ,L
, xn
)
f x1
x1
f x2
x2
L
f xn
xn
令
f X i
ki ,
i 1,2,L n
则非线性函数误差的传递公式为：
Y
注意：求偏 导后，代入观 测值xi
Y k1 X1 k2 X 2 ... kn Xn
f1
Z1
Z
2
M
Z
t
X 1 f2 X 1 L
ft
X1
f1 X 2 f2 X 2 L
ft X 2
L
L O L
f1
X
n
f2 X n
L
ft
X1
X
2
M
X
n
X n
Z Z X
t1
X n1
tn
Z
Z
t1
X
tn
X n1
例题：测定待定点G，需测量水平角β和边长s
1. 误差的传递
（3）函数向量误差的传递 若有t 个线性函数
Z1 k11 X1 k12 X 2 ... k1n X n k10
Z2
k21 X1
k22 X 2
...
k2n Xn
k20
... ... ... ...
Zt kt1 X1 kt 2 X 2 ... ktn X n kt0
db1
S3 a2
da2
S3 b2
db2
S3 a3
da3
S3 b3
db3
S3 cot a1da1 cot b1db1 cot a2da2 cot b2db2 cot a3da3 cot b3db3
测量平差 第三章 误差传播律与权
1 2 n
1
σX X 2 σX
1 2
2
σX X ⎤ ⎥ σX X ⎥
1 n 2 n
1
σX
nX2
2 σX
n
⎥ ⎥ ⎥ ⎦
⎡ μY1 ⎤ ⎡ E (Y1 ) ⎤ ⎡Y1 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢Y ⎥ ⎢ μY2 ⎥ = ⎢ E (Y2 )⎥ Y = ⎢ 2 ⎥ μY = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ μYr ⎥ ⎣ E (Yr ) ⎦ ⎣ ⎦ ⎣Yr ⎦
误差理论与测量平差基础
北京建筑工程学院 测绘工程系
把观测值函数表示为矩阵形式
⎡L ⎤ 1 2 1 1⎤ ⎢ ⎥ ˆ ⎡ L = ⎢ − − ⎥ ⎢L2 ⎥ +60 1 ⎣3 3 3⎦ ⎢L3 ⎥ ⎣ ⎦
⎡2 ˆ ⎡L ⎤ ⎢ 3 1 ⎢ ⎥ ⎢ 1 ˆ ˆ L = ⎢L2 ⎥ = ⎢− ⎢ˆ ⎥ ⎢ 3 ⎢L3 ⎥ ⎢ 1 ⎣ ⎦ ⎢ − ⎢ 3 ⎣
β ，其中误差 β 2
B
A
β1 β2 x
α
C
误差理论与测量平差基础
北京建筑工程学院 测绘工程系
1. 把已知条件写成矩阵、向量形式
⎡ β1 ⎤ β =⎢ ⎥ ⎣ β2 ⎦
⎡ σ 12 σ 12 ⎤ ⎡1.96 −1 ⎤ =⎢ = 2⎥ σ 21 σ 2 ⎦ ⎢ −1 1.96 ⎥ ⎣ ⎦ ⎣
观测量
方差
DXX
⎡1 = σ = KDLL K = ⎢ ⎣7
2 X T
2 7
σ X = 0.84 = 0.9mm
误差理论与测量平差基础
北京建筑工程学院 测绘工程系
协方差计算步骤：
D X X
希望同学们把它记下来
1
σX X 2 σX
1 2
2
σX X ⎤ ⎥ σX X ⎥
1 n 2 n
1
σX
nX2
2 σX
n
⎥ ⎥ ⎥ ⎦
⎡ μY1 ⎤ ⎡ E (Y1 ) ⎤ ⎡Y1 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢Y ⎥ ⎢ μY2 ⎥ = ⎢ E (Y2 )⎥ Y = ⎢ 2 ⎥ μY = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ μYr ⎥ ⎣ E (Yr ) ⎦ ⎣ ⎦ ⎣Yr ⎦
误差理论与测量平差基础
北京建筑工程学院 测绘工程系
把观测值函数表示为矩阵形式
⎡L ⎤ 1 2 1 1⎤ ⎢ ⎥ ˆ ⎡ L = ⎢ − − ⎥ ⎢L2 ⎥ +60 1 ⎣3 3 3⎦ ⎢L3 ⎥ ⎣ ⎦
⎡2 ˆ ⎡L ⎤ ⎢ 3 1 ⎢ ⎥ ⎢ 1 ˆ ˆ L = ⎢L2 ⎥ = ⎢− ⎢ˆ ⎥ ⎢ 3 ⎢L3 ⎥ ⎢ 1 ⎣ ⎦ ⎢ − ⎢ 3 ⎣
β ，其中误差 β 2
B
A
β1 β2 x
α
C
误差理论与测量平差基础
北京建筑工程学院 测绘工程系
1. 把已知条件写成矩阵、向量形式
⎡ β1 ⎤ β =⎢ ⎥ ⎣ β2 ⎦
⎡ σ 12 σ 12 ⎤ ⎡1.96 −1 ⎤ =⎢ = 2⎥ σ 21 σ 2 ⎦ ⎢ −1 1.96 ⎥ ⎣ ⎦ ⎣
观测量
方差
DXX
⎡1 = σ = KDLL K = ⎢ ⎣7
2 X T
2 7
σ X = 0.84 = 0.9mm
误差理论与测量平差基础
北京建筑工程学院 测绘工程系
协方差计算步骤：
D X X
希望同学们把它记下来
第三章_协方差传播律及权
(3-2-6)
通常将（ ）、（3-2-5）和（3-2-6）诸式称为协方差传播律。 协方差传播律。 通常将（3-2-4）、（ ）、（ ） ）诸式称为协方差传播律 其中（ 其中（3-2-6）式是（3-2-5）式的特例。 ）式是（ ）式的特例。
的地图上， 【例题1】在1:500的地图上，量得某两点间的距离是d = 23.4 mm，d的量距 例题 】 的地图上 的量距 求两点间的实地距离S和其精度 和其精度σ 误差是 σ d = ±0.2 mm 。求两点间的实地距离 和其精度 S。 解：
第三章
协方差传播律及权
本章学习要点： 本章学习要点： 1、数学期望的传播 、 2、协方差传播定律 、 3、协因数和协因数传播律 、 4、由真误差计算中误差的方法 、 5、系统误差的传播 、
在实际测量工作中，往往有些未知量不是直接测定， 在实际测量工作中，往往有些未知量不是直接测定，而是由观测值 按一定函数关系计算出来的，即某些未知量是直接观测值的函数。 按一定函数关系计算出来的，即某些未知量是直接观测值的函数。
1.96 − 1 − 1 = 1.92( ′′)2 σ = KDββ K = (− 1 − 1) − 1 1.96 − 1
2 x T
σ x = ±1.4 ′′
图3-2
二、多个观测值线性函数的协方差阵 1、 设有观测值 X，它的数学期望 µX与协方差阵DXX ， n1
D XX
σ 12 σ 12 2 σ 21 σ 2 = L L σ n1 σ n 2
L σ 1n L σ 2n L L 2 L σn
(3-2-7)
L k1n k10 L k2n k , K0 = 20 , L L t 1 M L ktn kt 0
测量平差基础课件——误差传播定律
§1-4精度和衡量精度的指标
二、衡量精度的指标
2. 平均误差
在一定的观测条件下，一组独立偶然误差绝对值的数学期望称为平均误差。
以 表示 。
E( ) f ()d Fra biblioteklim n n
ˆ n
平均误差与中误差的关系：
1.253 5
2
4
2 0.7979 4
5
所以 也可以作为衡量精度的指标。 2020/6/11 19
E() E(内E。(L) L)
E(L) E(L) 0
12
§1-3偶然误差的规律性
二、偶然误差的表示方法
1.表格法：见上页 2.直方图：以横坐标表示误差的大小，纵坐标代表各区间内误差出现的频率除以 区间的间隔值，每一误差区间上的长方条面积就代表误差出现在该区间内的频率。 3.误差分布曲线：在n无限大时，如果把误差区间间隔无限缩小，左图中各长方 条顶边所形成的折线将变成右图所示的光滑曲线。这种曲线也就是误差的概率分 布曲线，或称为误差分布曲线。
0.495
1.在一定的观测备条注 件下， 误vi差/ n 的绝对值有一定的 限d值 ，或者说，超出一
定 的00..概限05率67值45为的零误d。=差0，.0其2″出现
20..绝46对0值较小的误差比
绝 的 3差0000.....概 出对绝2210率 现9287值对5500大 的较值。概大相率等间值的等相误的于左的同差正。出负区端误现误 40.偶.0然30误差的差数学算期望入为 零0，.0即00： 该 区 间
N
表
例[1-1] 观测了两段距离，分别为1000m±2cm和500m±2cm。问：这两段距离的 真误差是否相等？中误差是否相等？它们的相对精度是否相同？
《误差理论与测量平差基础》第三章
1n 2n 2 n
§3.1 协方差传播律
设有t个 X 的线性函数： n ,1 Z1 k11 X 1 k12 X 2 k1n X n k10 Z 2 k 21 X 1 k 22 X 2 k 2 n X n k 20 Z t k t1 X 1 k t 2 X 2 k tn X n k t 0
E ( Z ) E ( KX k0 ) KE( X ) k0 K X k0
Z的方差为： DZZ E Z E ( Z )Z E ( Z )
E ( KX k 0 K X k 0 )( KX k 0 K X k 0 )
E K ( X X )( X X )T K T
Z K X K0
t ,1 t , n n ,1 t ,1
E ( Z ) E ( KX K 0 ) K x K 0
D ZZ E[( Z E ( Z ))( Z E ( Z )) T ]
t ,t
E[( KX K x )( KX K x ) T ]
KE[( X x )( X x ) T ]K T
T
§3.1 协方差传播律
例3-4 在一个三角形中，同精度独立观测得到
三个内角L1、L2、L3，其中误差均为，将
闭合差平均分配后各角的协方差阵。 例3-5 设有函数： 已知:
Z F1 X F1 Y
t ,1 t , n n ,1
t , r r ,1
DXX、DYY 和DXY DZZ、DZX 和DZY
DYZ E[(Y E (Y ))( Z E (Z )) ]
T r ,t
第3章 协方差传播律及权
协方差传播律及权
误差理论与测量平差
1 2 3 4 5 6 7 8 9
10
介绍协方差传播律公式及 其应用，权的定义，定权的常用 方法 ，协因数(阵)、权阵的计算 ，协因数传播律公式的应用 ， 利用真误差计算中误差的方法， 需重点掌握。
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协方差传播律及权
误差理论与测量平差
本章主要内容
1 2 3 4 5 6 7 8 9
2) X、Y表达为同一向量的函数
1 2 3 4 5 6 7 8 9
10
X IX 0Y I
Y 0 X IY 0
X 0 Y
X I Y
由协方差传播律得：
DZX A1 DZY A1 DX A2 DYX DX A2 DYX D XY I A1 D X A2 DYX DY 0 D XY 0 A1 D XY A2 DY DY I
10
解: 1) 将函数式改写为:
Z A 1X A 2Y A 0 A 1 X A2 A0 KU A0 Y
式中
K A 1
X A2 , U Y
由方差阵的定义，即可写出U的方差阵为: 由协方差传播律得：
DX DU DYX DXY DY
10
例 1 设有函数Y=4x1-3x2-60, 已知X(= x1 的方差阵为： 7 2 2
x2
T
)
D
X
2 3
cm
试求Y的方差 。
2 Y
解: 将函数写成矩阵形式，即
Y 4x1 3x2 60 4 3x1 x2 60
T
误差理论与测量平差
1 2 3 4 5 6 7 8 9
10
介绍协方差传播律公式及 其应用，权的定义，定权的常用 方法 ，协因数(阵)、权阵的计算 ，协因数传播律公式的应用 ， 利用真误差计算中误差的方法， 需重点掌握。
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协方差传播律及权
误差理论与测量平差
本章主要内容
1 2 3 4 5 6 7 8 9
2) X、Y表达为同一向量的函数
1 2 3 4 5 6 7 8 9
10
X IX 0Y I
Y 0 X IY 0
X 0 Y
X I Y
由协方差传播律得：
DZX A1 DZY A1 DX A2 DYX DX A2 DYX D XY I A1 D X A2 DYX DY 0 D XY 0 A1 D XY A2 DY DY I
10
解: 1) 将函数式改写为:
Z A 1X A 2Y A 0 A 1 X A2 A0 KU A0 Y
式中
K A 1
X A2 , U Y
由方差阵的定义，即可写出U的方差阵为: 由协方差传播律得：
DX DU DYX DXY DY
10
例 1 设有函数Y=4x1-3x2-60, 已知X(= x1 的方差阵为： 7 2 2
x2
T
)
D
X
2 3
cm
试求Y的方差 。
2 Y
解: 将函数写成矩阵形式，即
Y 4x1 3x2 60 4 3x1 x2 60
T
误差理论与测量平差基础第三章协方差传播律及权
参数估计
参数估计可采用最小二乘法或加权最小二乘法。在选择方 法时，需根据实际问题的特点和需求进行权衡。
算法性能评估指标选取
精度指标
精度指标是衡量算法性能的重要指标之一。常用的精度指标包括均方误差、均方根误差、 中误差等，可用于评估算法的估计精度和稳定性。
可靠性指标
可靠性指标用于评估算法在复杂环境和噪声干扰下的性能表现。常用的可靠性指标包括失 败率、误警率、漏警率等。
误差传递规律探讨
误差传递概念
在测量过程中，由于各种因素的影响，观测值会存在一定 的误差。这些误差在传播过程中会遵循一定的规律，即误 差传递规律。
线性函数误差传递
对于线性函数Z=aX+bY（其中a、b为常数），其误差传 递公式为D(Z)=a^2D(X)+b^2D(Y)+2abcov(X,Y)。可以 看出，误差传递与观测值的方差和协方差有关。
的线性相关程度。
对称性
Cov(X,Y) = Cov(Y,X)
加法性
Cov(aX+b, cY+d) = acCov(X,Y)
独立性
若X与Y独立，则Cov(X,Y) = 0
传播律意义与作用
传播律意义
协方差传播律描述了随机变量经过线 性变换后，其协方差矩阵如何变化。 这对于理解和分析复杂系统的误差传 递机制具有重要意义。
权重因子的选择应根据实际情况和测量任务的要求进行，要综合考虑观测值的 精度、稳定性、可靠性等因素。
使用方法
在平差计算中，应根据所选权重因子对观测值进行加权处理，以充分利用观测 值的信息并提高平差结果的精度和可靠性。同时，要注意避免过度加权或欠加 权的情况，以免对结果产生不良影响。
04
基于协方差传播律和权的平差算法设
参数估计可采用最小二乘法或加权最小二乘法。在选择方 法时，需根据实际问题的特点和需求进行权衡。
算法性能评估指标选取
精度指标
精度指标是衡量算法性能的重要指标之一。常用的精度指标包括均方误差、均方根误差、 中误差等，可用于评估算法的估计精度和稳定性。
可靠性指标
可靠性指标用于评估算法在复杂环境和噪声干扰下的性能表现。常用的可靠性指标包括失 败率、误警率、漏警率等。
误差传递规律探讨
误差传递概念
在测量过程中，由于各种因素的影响，观测值会存在一定 的误差。这些误差在传播过程中会遵循一定的规律，即误 差传递规律。
线性函数误差传递
对于线性函数Z=aX+bY（其中a、b为常数），其误差传 递公式为D(Z)=a^2D(X)+b^2D(Y)+2abcov(X,Y)。可以 看出，误差传递与观测值的方差和协方差有关。
的线性相关程度。
对称性
Cov(X,Y) = Cov(Y,X)
加法性
Cov(aX+b, cY+d) = acCov(X,Y)
独立性
若X与Y独立，则Cov(X,Y) = 0
传播律意义与作用
传播律意义
协方差传播律描述了随机变量经过线 性变换后，其协方差矩阵如何变化。 这对于理解和分析复杂系统的误差传 递机制具有重要意义。
权重因子的选择应根据实际情况和测量任务的要求进行，要综合考虑观测值的 精度、稳定性、可靠性等因素。
使用方法
在平差计算中，应根据所选权重因子对观测值进行加权处理，以充分利用观测 值的信息并提高平差结果的精度和可靠性。同时，要注意避免过度加权或欠加 权的情况，以免对结果产生不良影响。
04
基于协方差传播律和权的平差算法设
误差平差：协方差传播定律及权
非线性函数的线性化
如果函数 f ( x) 在 x 0的某一邻域内具有直到n+1阶的导数，则 在该邻域内 f ( x) 的泰勒公式为
f ′′(x0 ) f (x) = f (x0 ) + f ′(x0 )(x − x0 ) + (x − x0 )2 +L 2! f (n) (x0 ) + (x − x0 )n +L +L n!
故：
D = [ F 0] DXX [ 0 K] YZ = FD KT 12
T
协方差传播律小节 求函数（也可是向量）的方差（方差阵）； 求函数（也可是向量）的方差（方差阵）； 适用于各观测为相关观测情况； 适用于各观测为相关观测情况； 定律的通式为： 定律的通式为：
若 则
F = KX + K 0 DFF = KDXX K
L
1
ˆ
L2
ˆ
L3
1 8 00 3（ L1 + L2 + L3 − = L− ） 1 1 8 00 3 ） = L2 − （ L1 + L2 + L3 − 1 1 8 00 3 − （ L + L2 + L3 − 1 3 = L ）
1
试求各函数的方差
ˆ σ L，σ Lˆ ，σ
1 2
ˆ
L 3
DLˆ Lˆ
误差理论与测量平差基础
—协方差传播定律及权
第三章 协方差传播律及权
本章内容包括： 本章内容包括：
§3-1 §3-2 §3-3 §3-4 §3-5 §3-6 数学期望的传播 协方差传播律 协方差传播律的应用 权与定权的常用方法 协因数和协因数传播律 由真误差计算中误差及其实际应用
误差理论与平差基础-第3章-协方差传播率及权PPT课件
各观测量互不相关时，为对角矩阵。当对角元素相等 时，为等精度观测。
.
9
二、协方差传播律
2、观测值线性函数的方差——协方差
观测值 X ( X1 X 2 X n )T,数学期望 E( X ) (E( X1) E( X 2 ) E( X n ))T
2 1
12
1n
方差阵
DXX
12
2 2
244.3
.
18
二、协方差传播律
2、线性函数的方差——协方差
[例7] 求等精度观测的三角形三个内角按照闭合差分配后角 度的协方差阵。
三角形闭合差: w 180 L1 L2 L3
Lˆ1
L1
1W 3
2 3
L1
1 3
L2
1 3
L3
60
Lˆ2
L2
1W 3
1 3
L1
2 3
L2
1 3
L3
60
Lˆ3
L3
DZY [F1
F2 ]DDYXXX
DXY 0
DYY
I
.
30
二、协方差传播律
矩阵形式的协方差传播
设随机向量 X n1
Y ，其自协方差阵分别是
m1
DXX
DYY ，互协方差阵
是 ， ，求 DXY
Z
t1
F1
tn
X
n1
F2
tm
Y
m1
DZZ DZX
DZY
DZZ [F1
F2
]
DXX DYX
DXY DYY
（3）对有些函数可先取对数在微分
（4）数值带入计算应注意量纲的统一
.
27
二、协方差传播律
空间误差分析第三章协方差传播率及权
A
HE x1 1cm, CE x2 3cm
Y ( y1, y2 )T ,
DYY
2 1
1 2
(mm
2
)
F
X
(x1, x2 )T ,
DXX
2 1
1 2
(mm
2
)
DXY 0
试计算矩形ABFG的面积Z及其方差。
B
C
D
E
GH
§3-2 协方差传播率
例7.设在ΔABC中，观测三个内角L1 , L2 , L3，将闭合差 平均分配后得到的各角之值为
例1：在1：500的地图上，量得某两点间的距离
d=23.4mm，d的量测中误差σd=0.2mm。求实地距 离S及其中误差σS。 例2：设X为独立观测值L1,L2,L3的函数
12 4 X 7 L1 7 L2 7 L3
已知L1、L2、L3的中误差为σ1=3mm，σ2=2mm， σ3=1mm，求函数的中误差σX
t,n
X
n,1
K0
t ,1
求：Z 的协方差阵 DZZ
tt
DZZ
t ,t
K
t,n
DXX
n,n
KT
n,t
§3-2 协方差传播率
DZZ
1,1
K
1,n
DXX
n,n
KT
n ,1
DZZ
t ,t
K
t ,n
DXX
n,n
KT n,t
§3-2 协方差传播率
问题2：设另有X的r个线性函数
Y1 f11X1 f12 X 2 f1r X r f10 Y2 f21X1f22 X2 f2r Xr f20 Yr fr1X1 fr2 X 2 frn X n fr0