抛物线几何图形综合
数学初三抛物线知识点总结
数学初三抛物线知识点总结一、抛物线的定义和基本概念1. 抛物线的定义抛物线是平面上到定点的距离等于到定直线的距离的点的轨迹。
2. 抛物线的几何图形抛物线是一种特殊的曲线，在平面直角坐标系中具有特定的几何形状。
其一般方程为：y = ax^2 + bx + c，其中 a、b、c 为实数，且a ≠ 0。
抛物线的开口方向由 a 的正负确定，当a > 0 时，抛物线开口向上；当 a < 0 时，抛物线开口向下。
3. 抛物线顶点抛物线的顶点是最高点或最低点，其坐标可以通过求导或通过抛物线标准式的形式来求解。
4. 抛物线的对称轴抛物线的对称轴是垂直于开口方向，通过顶点的直线，为抛物线的对称轴。
5. 抛物线的焦点抛物线的焦点是到定点和定直线距离相等的点，其在平面直角坐标系中的坐标可以通过一定的方法求解。
二、抛物线的性质1. 抛物线的焦点性质对于平面直角坐标系中的抛物线 y = ax^2 + bx + c，其焦点的坐标为（-b/2a，c-b^2/4a）。
2. 抛物线的顶点性质抛物线的顶点坐标为（-b/2a，c-b^2/4a），即为二次函数的极值点。
3. 抛物线的对称性抛物线相对于其对称轴具有对称性，即对称轴的两侧的点关于对称轴呈镜像对称。
4. 抛物线的焦距性质抛物线的焦距等于定点到定直线的距离，即 |4a|。
5. 抛物线的方程抛物线的一般方程为 y = ax^2 + bx + c，通过这一方程可以求解抛物线的各个性质和参数。
三、抛物线的应用1. 抛物线的应用一：抛物线运动抛物线运动是物理学中常见的一种运动形式，比如抛物线运动的轨迹、抛物线运动的速度、抛物线运动的加速度等，都涉及到抛物线的相关知识。
2. 抛物线的应用二：抛物线方程的图象通过解析几何的方法，可以将抛物线方程转换为几何图形，从而进行相关推导与计算。
3. 抛物线的应用三：抛物线的优化问题在数学建模中，抛物线经常被用于优化问题，比如抛物线的最大值、最小值等问题。
抛物线几何性质(抛物线几何性质总结)
思考: “一条直线和抛物线 y2 2 px( p 0) 相交, 两个交点的纵坐标为 y1 、y2 ,且 y1 y2 p2 .则 这条直线过焦点.”成立吗?
例2. 求证: 以抛物线的焦点弦为直径的圆与
抛物线的准线相切.
证明：取AB的中点M, 过A、B、C点作准线的
垂线, 垂足为A1、B1、M1, 则
x＋5＝0的距离小1,求点M的轨迹方程．
分析：如图可知原条件等价于M点到F(4, 0)和到
x＝－4距离相等，由抛物线的定义，
点M的轨迹是以F(4, 0)为焦点,x＝－4为准
线的抛物线．
y
因为p/2=4, 所以p=8,
M(x , y)
所求方程是 y2＝16x．
-5 -4
F(4,0) x
例2. M是抛物线y2 = 2px (p＞0)上一点, 若点M的
2
∴直线 AB 的方程为 x
y cot
p
由
x
y cot
p 2
消去
x
并整理
2
y2 2 px
得 y2 2 py cot p2 0
∴ y1 y2 2 p cot , y1 y2 p2
( x1 , y1 )
( x2 , y2 )
与直线 的倾斜角 无关!
AB ( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 = (1 cot2 )( y1 y2很)2奇怪!
三角形，那么∠CFD的大小如何？
yA C
90°
OF
x
D
B
形成结论
过抛物线y2=2px的焦点F作直线交抛物线于A、 B两点，焦点弦AB具有如下性质.
1
AB
x1
x2
p
2p
高考数学一轮总复习教学课件第八章 平面解析几何第7节 抛物线
|AM|+|MF|-1-2≥|AF|-1-2= ( + ) + -1-2=2.
当且仅当N,M为线段AF分别与圆A、抛物线C的交点时,两个等号成立,
因此,|MN|+d的最小值为2.故选D.
(1)两个距离的转化:“到焦点的距离”和“到准线的距离”可以
互相转化,解题时要做到“看到准线想到焦点,看到焦点想到准线”.
当x≥0时,因为动点M到y轴的距离比它到定点(2,0)的距离小2,所
以动点M到定点(2,0)的距离与它到定直线x=-2的距离相等,所以动
点M的轨迹是以(2,0)为焦点,x=-2为准线的抛物线,且p=4,所以抛
物线的方程为y2=8x.
综上,得动点M的轨迹方程为y=0(x<0)或y2=8x(x≥0).
求抛物线的标准方程的方法
根据抛物线的定义可知,所求轨迹是一条抛物线.故选A.
2=-20y或
x
(2)焦点在直线x+3y+15=0上的抛物线的标准方程为
y2=-60x
.
解析:(2)令x=0得y=-5;令y=0得x=-15,
所以抛物线的焦点为(0,-5)或(-15,0),
所以所求抛物线的标准方程为x2=-20y或y2=-60x.
考点二
抛物线的标准方程
[例2] (1)如图,过抛物线y 2=2px(p>0)的焦点F的直线依次交抛物
线及准线于点A,B,C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则抛物线的方程为
(
)
2
A.y =x
B.y2=9x
2
C.y =x
√
D.y2=3x
解析:(1)如图,设准线与x轴的交点为G,分别过点A,B作准线的垂线,
高二数学选修2-1 抛物线的简单几何性质
高二数学选修2-1抛物线的简单几何性质【基础知识精讲】抛物线的几何性质、图形、标准方程列表如下： 图形标准 方程 y 2=2px(p ＞0)y 2=-2px(p ＞0)x 2=2py(p ＞0)x 2=-2py(p ＞0)焦点 坐标 (2p,0) (-2p,0) (0,2p ) (0，-2p ) 准线 方程 x=-2px=2p y=-2py=2p X 围x ≥0x ≤0 y ≥0 y ≤0 对称轴 x 轴 x 轴 y 轴 y 轴 顶点(0，0)(0，0) (0，0) (0，0) 离心率 e=1 e=1e=1e=1焦半径 ｜PF ｜=x 0+2p ｜PF ｜=2p -x 0 ｜PF ｜=2p +y 0 ｜PF ｜=2p -y 0 参数p 的几何 意义参数p 表示焦点到准线的距离，p 越大，开口越阔.本节学习要求：1.抛物线方程的确定，先由几何性质确定抛物线的标准方程，再用待定系数法求其方程.2.解决有抛物线的弦中点问题及弦长问题与椭圆、双曲线一样，利用弦长公式、韦达定理、中点坐标公式及判别式解决.3.抛物线中有关轨迹与证明问题也与前面内容一样.常用方法有轨迹法、代入法、定义法.参数法等.证明的方法是解析法.通过学习本节内容，更进一步培养我们学习数学的兴趣，培养良好的思维品质.运用数形结合的思想方法解决问题，提高分析问题和解决的能力.【重点难点解析】1.抛物线的几何性质和椭圆、双曲线比较起来，差别较大，它的离心率等于1；它只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴、一条准线；它没有中心.通常称抛物线为无心圆锥曲线，而称椭圆和双曲线为有心圆锥曲线.应熟练掌握抛物线的四种标准方程.本节重点是抛物线的简单几何性质，难点是几何性质的灵活应用.例1 已知抛物线顶点在原点，对称轴为x 轴，抛物线上的点(x 0，-8)到焦点的距离等于17，求抛物线方程.分析 设方程为y 2=2px(p ＞0)或y 2=-2px(p ＞0)则 x 0+2p =17或2p-x 0=17 即 x 0=17-2p 或x 0=2p-17将(17-2p ，-8)代入y 2=2px解得 p=2或p=32 将(2p -17，-8)代入y 2=-2px 解得 p=2或p=32∴所求抛物线方程为y 2=±4x 或y 2=±64x.例2 求抛物线y 2=4x 中斜率为2的平行弦中点的轨迹方程.分析 本例可设平行弦的纵截距为参数、运用判别式及韦达定理、中点坐标公式来求，也可设点参数运用点差法求解.设AB 是抛物线中斜率为2的平行弦中任一条弦，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)AB 中点M(x,y)由⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=--=+=+==2224421212121222121x x y y yy y x x x x y xy 得：y=1 代入y 2=4x 得x=41 ∴轨迹方程为y=1(x ＞41)例3 设点A 和B 为抛物线y 2=4px(p ＞0)上原点以外的两个动点.已知OA ⊥OB ，OM ⊥AB 于M ，求点M 的轨迹方程，并说明表示什么曲线.分析 设A(4pt 21,4pt 1)，B(4pt 22,4pt 2)，OA 、OB 的斜率分别为k OA 、k OB 则 k OA =11t ,k OB =21t由OA ⊥OB ，得 k OA ·k OB =211t t =-1⇒t 1t 2=-1① ∵点A 在AB 上，得直线AB 的方程为 y-4pt 1=211t t + (x-4pt 21)② 由OM ⊥AB ，得直线OM 方程为 y=-(t 1+t 2)x ③设点M(x,y),则x,y 满足②③两式 将②化为：y(t 1+t 2)=x+4pt 1t 2=x-4p ④ 由③×④得：x 2+y 2-4px=0 ∵A 、B 是原点以外的两点 ∴x ≠0∴点M 的轨迹是以(2p,0)为圆心，以2p 为半径的圆(去掉原点).【难题巧解点拨】例1 已知抛物线y 2=2px 上两点A 、B ，BC ⊥x 轴交抛物线于C ，AC 交x 轴于E ，BA 延长交x 轴于D ，求证：O 为DE 中点.分析 只需证出D 、E 两点的横坐标互为相反数即可，设A(2pt 21,2pt 1)，B(2pt 22,2pt 2)则 C(2pt 22,-2pt 2) AC ：y-2pt 1=211t t -(x-2pt 21) 令y=0,得x D =2pt 1t 2 BA ：y-2pt 1=211t t + (x-2pt 21) 令y=0,得x E =-2pt 1t 2 ∴x D +x E =0即O 为DE 中点.例2 设抛物线过定点A(0，2)且以x 轴为准线. (Ⅰ)试求抛物线顶点M 的轨迹C 的方程；(Ⅱ)如果点P(a,1)不在线段y=1(-2≤x ≤2)上，那么当a 取何值时，过P 点存在一对互相垂直的直线同时与曲线C 各有两个交点?分析 (Ⅰ)设抛物线顶点M(x,y)，y ＞0，则其焦点为F(x,2y). 据抛物线定义有22)22(-+y x =2即 42x +(y-1)2=1(y ≠0)∴抛物线顶点M 的轨迹C 的方程是42x +(y-1)2=1(y ≠0) (Ⅱ)过P 点的直线可设为l :y-1=k(x-a).由已知P(a,1)不在曲线C 上，则⎩⎨⎧=-++-=4)1(41)(22y x a x k y 消去y ，得x 2+4k 2(x-a)2=4 即(1+4k 2)x 2-8k 2ax+4(k 2a 2-1)=0 ∴△=16［k 2(4-a 2)+1］过点P 存在一对互相垂直的直线同时与曲线C 各有两个不同的交点的充要条件是关于斜率k 的不等式组⎪⎩⎪⎨⎧>+->+-01)4(101)4(2222a ka k 有解 ∵点P 不在直线y=1(-2≤x ≤2)上，∴｜a ｜＞2，4-a 2＜0.∴上不等式组可化为⎪⎩⎪⎨⎧->-<4,412222a k a k∴a 2-4<412-a 解a 2＜5又｜a ｜＞2,∴2＜｜a ｜＜5 即a ∈(-5,-2)∪(2,5)【命题趋势分析】本节与椭圆、双曲线的相同内容相似，都是高考的重要内容.圆锥曲线的基础知识；直线与圆锥曲线的位置关系、弦长、中点弦及弦的中点的轨迹问题；圆锥曲线中的有关最值问题等等.本章内容为高考压轴题的高频题.【典型热点考题】例1 抛物线y=x 2的弦AB 保持与圆x 2+y 2=1相切移动，求过A 、B 的抛物线的切线交点的轨迹方程.分析一 如图，设抛物线弦AB 与圆x 2+y 2=1相切于P(x 0,y 0),则过P 点的圆的切线方程为x 0x+y 0y=1.由⎩⎨⎧==+2001xy y y x x 得y 0x 2+x 0x-1=0设A 的坐标为(x 1,x 21),B(x 2,x 22)，由韦达定理，得 x 1+x 2=-00y x ,x 1·x 2=-01y又过A 、B 两点的抛物线的切线方程分别为 y+x 12=2x 1x,y+x 22=2x 2x ， 则两切线交点Q(x,y)是方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+xx x y x x x y 22212122②①①-②得x 21-x 22=2(x 1-x 2)x. ∴ 2x=x 1+x 2=-y x ③①×x 2-②×x 1得(x 2-x 1)y+x 1x 2(x 1-x 2)=0 ∴y=x 1x 2=-1y ④ 由③、④得x 0=y x 2,y 0=-y1∵P(x 0,y 0)在圆x 2+y 2=1上， ∴(y x 2)2+(-y1)2=1 即 y 2-4x 2=1,这是双曲线.由条件知，所求轨迹是焦点在y 轴上，a=1、b=21的双曲线的下支的一部分. 分析二设抛物线的弦AB 与圆切于点P(x 0,y 0)，则过P 点的圆的切线AB 的方程为 x 0x+y 0y=1①设过A 、B 两点的抛物线切线交点为Q(α，β)则AB 为抛物线的切点弦，其方程为 y+β=2αx ② 由①、②表示同一直线，于是有α20x =10-y =β1 ∴x 0=βα2 y 0=-β1 ∵P(x 0,y 0)在圆x 2+y 2=1上，∴(βα2)2+(-β1)2=1, 即β2-4α2=1,故 y 2-4x 2=1(x ∈R,y ＜0)例2 某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从2月1日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用如图甲所示的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用如图乙所示的抛物线段表示.(1)写出如图甲所示市场售价与时间的函数关系式P ＝f(t)；写出如图乙所示种植成本与时间的函数关系式Q ＝g(t).(2)认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大? (注：市场售价和种植成本的单位：元/102kg ，时间单位：天)解：(1)f(t)＝⎩⎨⎧≤<-≤≤-.300200,3002,2000,300t t t tg(t)＝2001 (t-150)2+100,0≤t ≤300. (2)设t 时刻的纯收益为h(t)，则由题意得h(t)＝f(t)-g(t),即h(t)＝⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-+-≤≤++-.300200,21025272001,2000,2175********t t t t t t当0≤t ≤200时，配方整理得 h(t)＝-2001(t-50)2+100, 所以，当t ＝50时，h(t)取得区间［0，200］上的最大值100； 当200<t ≤300时，配方整理得 h(t)＝-2001(t-350)2+100 所以，当t ＝300时，h(t)取得区间(200，300］上的最大值87.5.综上，由100>87.5可知，h(t)在区间［0，300］上可以取得最大值100，此时t ＝50，即从2月1日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大.【同步达纲练习】A 级一、选择题1.若A 是定直线l 外的一定点，则过A 且与l 相切圆的圆心轨迹是( ) A.圆 B.椭圆 C.双曲线一支 D.抛物线2.抛物线y 2=10x 的焦点到准线的距离是( ) B.5D.103.已知原点为顶点，x 轴为对称轴的抛物线的焦点在直线2x-4y+11=0上，则此抛物线的方程是( )A.y 2=11xB.y 2=-11xC.y 2=22xD.y 2=-22x4.过抛物线y 2=2px(p ＞0)的焦点且垂直于x 轴的弦AB ，O 为抛物线顶点，则∠AOB( ) A.小于90°B.等于90° C.大于90°D.不能确定5.以抛物线y 2=2px(p ＞0)的焦半径｜PF ｜为直径的圆与y 轴位置关系为( ) A.相交B.相离C.相切D.不确定 二、填空题6.圆心在抛物线y 2=2x 上，且与x 轴和该抛物线的准线都相切的圆的方程是.7.若以曲线252x +162y =1的中心为顶点，左准线为准线的抛物线与已知曲线右准线交于A 、B 两点，则｜AB ｜=.8.若顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线截直线y=2x+1所得的弦长为15，则此抛物线的方程是.三、解答题9.抛物线x 2=4y 的焦点为F ，过点(0，-1)作直线l 交抛物线A 、B 两点，再以AF 、BF 为邻边作平行四边形FABR ，试求动点R 的轨迹方程.10.是否存在正方形ABCD ，它的对角线AC 在直线x+y-2=0上，顶点B 、D 在抛物线y 2=4x 上?若存在，试求出正方形的边长；若不存在，试说明理由.AA 级一、选择题1.经过抛物线y 2=2px(p ＞0)的所有焦点弦中，弦长的最小值为( ) A.p B.2pC.4pD.不确定2.直线y=kx-2交抛物线y 2=8x 于A 、B 两点，若AB 的中点横坐标为2，则｜AB ｜为( ) A.15B.415C.215D.423.曲线2x 2-5xy+2y 2=1( ) A.关于x 轴对称B.关于y 轴对称C.关于原点对称，但不关于y=x 对称D.关于直线y=x 对称也关于直线y=-x 对称4.若抛物线y 2=2px(p ＞0)的弦PQ 的中点为(x 0,y 0)(y ≠0)，则弦PQ 的斜率为( ) A.-0x p B.0y p C.px -D.-px 0 5.已知抛物线y 2=2px(p ＞0)的焦点弦AB 的两端点坐标分别为A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则2121x x y y 的值一定等于( )A.4B.-4C.p 2D.-p 2二、填空题6.抛物线y 2=4x 的弦AB 垂直于x 轴，若AB 的长为43，则焦点到AB 的距离为.7.以椭圆52x +y 2=1的右焦点F 为焦点，以原点为顶点作抛物线，抛物线与椭圆的一个公共点是A ，则｜AF ｜=.8.若△OAB 为正三角形，O 为坐标原点，A 、B 两点在抛物线y 2=2px 上，则△OAB 的周长为. 三、解答题9.抛物线y=-22x 与过点M(0，-1)的直线l 相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，若直线OA和OB 斜率之和为1，求直线l 的方程.10.已知半圆的直径为2r ，AB 为直径，半圆外的直线l 与BA 的延长线垂直，垂足为T ，且｜TA ｜=2a(2a ＜2r),半圆上有M 、N 两点，它们与直线l 的距离｜MP ｜、｜NQ ｜满足条件｜MP ｜=｜AM ｜,｜NQ ｜=｜AN ｜，求证：｜AM ｜+｜AN ｜=｜AB ｜.【素质优化训练】 一、选择题1.过点A(0，1)且与抛物线y 2=4x 有唯一公共点的直线的条数为( ) A.1 B.2 C.3 D.42.设抛物线y=ax 2(a ＞0)与直线y=kx+b 相交于两点，它们的横坐标为x 1,x 2,而x 3是直线与x 轴交点的横坐标，那么x 1、x 2、x 3的关系是( )A.x 3=x 1+x 2B.x 3=11x +21x C.x 1x 2=x 2x 3+x 3x 1D.x 1x 3=x 2x 3+x 1x 2 3.当0＜k ＜31时，关于x 的方程x 2=kx 的实根的个数是( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个4.已知点A(1，2)，过点(5，-2)的直线与抛物线y 2=4x 交于另外两点B 、C ，则△ABC 是( ) A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.不确定5.将直线x-2y+b=0左移1个单位，再下移2个单位后，它与抛物线y 2=4x 仅有一个公共点，则实数b 的值等于( )A.-1B.1C.7D.9 二、填空题6.抛物线y 2=-8x 被点P(-1，1)所平分的弦所在直线方程为.7.已知抛物线y 2=2x 的弦过定点(-2，0)，则弦AB 中点的轨迹方程是. 8.已知过抛物线y 2=2px 的焦点F 的弦AB 被F 分成长度为m 、n 的两部分，则m 1+n1=. 三、解答题9.已知圆C 过定点A(0，p)(p ＞0)，圆心C 在抛物线x 2=2py 上运动，若MN 为圆C 在x 轴上截得的弦，设｜AM ｜=m,｜AN ｜=n ，∠MAN=θ.(1)当点C 运动时，｜MN ｜是否变化?写出并证明你的结论?(2)求m n +nm的最大值，并求取得最大值时θ的值和此时圆C 的方程.10.已知抛物线y 2=4ax(0＜a ＜1)的焦点为F ，以A(a+4,0)为圆心，｜AF ｜为半径在x 轴上方作半圆交抛物线于不同的两点M 和N ，设P 为线段MN 的中点，(Ⅰ)求｜MF ｜+｜NF ｜的值；(Ⅱ)是否存在这样的a 值，使｜MF ｜、｜PF ｜、｜NF ｜成等差数列?如存在，求出a 的值，若不存在，说明理由.【生活实际运用】1.已知点P(x 0,y 0)在抛物线含焦点的区域内，求证以点P 为中点的抛物线y 2=2px(p ＞0)的中点弦方程为yy 0-p(x+x 0)=y 20-2px 0注：运用求中点弦的方法不难求出结论，这一结论和过抛物线y 2=2px 上点的切线方程有什么联系?若P(x 0,y 0)为非对称中心，将抛物线y 2=2px 换成椭圆22a x +22b y =1或双曲线22a x -22by =1，它们的中点弦存在的话，中点弦方程又将如何?证明你的结论.中点弦方程在高考中多以选择题、填空题的形式出现.2.公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个柱子OA ，O 恰在圆形水面中心，OA=1.25米.安置在柱子顶端A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路经落下，且在过OA 的任一平面上抛物线路径如图所示，为使水流形状较为漂亮，设计成水流在到OA 距离1米处达到距水面最大高度2.25米.如果不计其它因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不致落到池外?分析 根据图形的对称性，设出并求出一边的抛物线的方程，便可求出水池的半径. 以OA 所在直线为y 轴，过O 点作oy 轴的垂直线ox 轴，建立直角坐标系如图依题意A(0，1.25)，设右侧抛物线顶点为则B(1，2.25)，抛物线与x 轴正向交点为C ，OC 即圆型水池的半径.设抛物线ABC 的方程为 (x-1)2=-2p(y-2.25) 将A(0，1.25)代入求得p=21 ∴抛物线方程为(x-1)2=-(y-2.25) 令y=0，(x-1)2=1.52,x=2.5(米)即水池的半径至少要2.5米，才能使喷出的水流不致落到池外.【知识验证实验】1.求函数y=136324+--x x x -124+-x x 的最大值.解：将函数变形为y=222)2()3(---x x -222)1(-+x x ，由几何意义知，y 可以看成在抛物线f(x)=x 2上的点P(x,x 2)到两定点A(3，2)和B(0，1)的距离之差，∵｜PA ｜-｜PB ｜≤｜AB ｜，∴当P 、A 、B 三点共线，且P 在B 的左方时取等号，此时P 点为AB 与抛物线的交点，即P 为(6371-，183719-)时，y max =｜AB ｜=10. 2.参与设计小花园的喷水池活动. 要求水流形状美观，水流不落池外.【知识探究学习】1.如图，设F 是抛物线的焦点，M 是抛物线上任意一点，MT 是抛物线在M 的切线，MN 是法线，ME 是平行于抛物线的轴的直线.求证：法线MN 必平分∠FME ，即φ1=φ2.解：取坐标系如图，这时抛物线方程为y 2=2px.(p ＞0)，因为ME 平行x 轴(抛物线的轴)，∴φ1=φ2,只要证明φ1=φ3，也就是△FMN 的两边FM 和FN 相等.设点M 的坐标为(x 0,y 0)，则法线MN 的方程是y-y 0=-py 0(x-x 0),令y=0，便得到法线与x 轴的交点N 的坐标(x 0+p,0)，所以｜FN ｜=｜x 0+p-2p ｜=x 0+2p ,又由抛物线的定义可知，｜MF ｜=x 0+2p,∴｜FN ｜=｜FM ｜,由此得到φ1=φ2=φ3，若M 与顶点O 重合，则法线为x 轴，结论仍然成立.2.课本第124页阅读材料： 圆锥曲线的光学性质及其应用参考答案: 【同步达纲练习】A 级1.D2.B3.D4.C5.C6.(x-21)2+(y ±1)2=17.3100 8.y 2=12x 或y 2=-4x 9.解：设R(x,y),∵F(0,1),∴平行四边形FARB 的中心为C(2x ,21+y ),l :y=kx-1,代入抛物线方程，得x 2-4kx+4=0,设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 1+x 2=4k,x 1x 2=4，且△=16k 2-16＞0，即|k|＞1 ①，∴y 1+y 2=42221x x +=42)(21221x x x x -+=4k 2-2,∵C为AB 的中点.∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=+=+=1222122222121k y y y k x x x ⇒⎩⎨⎧-==3442k y k x 消去k 得x 2=4(y+3),由①得，｜x ｜＞4，故动点R 的轨迹方程为x 2=4(y+3)(｜x ｜＞4).10.解：设存在满足题意的正方形.则BD ：y=x+b,代入抛物线方程得x 2+(2b-4)x+b 2=0,∴△=(2b-4)2-4b 2=16-16b ＞0,∴b ＜1, ①，设B(x 1,y 1),D(x 2,y 2),BD 中点M(x 0,y 0),则x 1+x 2=4-2b,∴x 0=2-b,y 0=x 0+b=2,∵M 在AC 直线上，∴(2-b)+2-2=0，∴b=2与①相矛盾，故不存在满足要求的正方形.AA 级1.B2.C3.D4.B5.B6.27.95-188.123p9.解：设l :y=kx-1,代入y=-22x ,得x 2+2kx-2=0，设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，则x 1+x 2=-2k,x 1x 2=-2,又11x y +22x y =111x kx -+221x kx -=2k-2121x x x x +=2k-22--k =k=1，∴直线l 的方程为y=x-1. 10.证明：由｜MP ｜=｜AM ｜,｜NQ ｜=｜AN ｜知M 、N 在以l 准，A 为焦点的抛物线上，建立直角坐标系，设抛物线方程为y 2=2px ，又｜TA ｜=2a=p,∴抛物线方程为y 2=4ax ，又圆的方程为(x-a-r)2+y 2=r 2，将两方程相减可得：x 2+2(a-r)x+a 2+2ar=0，设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2)，则x 1+x 2=2r-2a,∴｜AM ｜+｜AN ｜=｜PM ｜+｜QN ｜=x 1+x 2+2a=2r,即｜AM ｜+｜AN ｜=｜AB ｜【素质优化训练】1.C2.C3.D4.C5.C6.4x+y+3=07.y 2=x+2(在已知抛物线内部的部分) 8.2p9.解：(1)设圆心C(x 0,y 0),则x 20=2py 0，圆C 的半径｜CA ｜=2020)(p y x -+，其方程为(x-x 0)2+(y-y 0)2=x 20+(y 0-p)2,令y=0，并将x 20=2py 0，代入，得x 2-2x 0x+x 20-p 2=0，解得x m =x 0-p,x N =x 0+p,∴｜MN ｜=｜x N -x M ｜=2p(定值)(2)∵m=｜AM ｜=220)(p p x +-,n=｜AN ｜=220)(p p x ++,∴m 2+n 2=4p 2+2x 20,m ·n=4044x p +，∴m n +n m =mn n m 22+=40422424x p x p ++=20202)(4y p p y p p ++=220)(2y p y p ++=222021y p py ++≤22，当且仅当y 0=p 时等号成立，x 0=±2p ，此时△M 为等腰直角三角形，且∠M=90°，∴∠MAN=21∠M=45°，故当θ=45°时，圆的方程为(x-2 p)2+(y-p)2=2p 2或(x+2p)2+(y-p)2=2p 210.解：(1)由已知得F(a,0),半圆为［x-(a+4)］2+y 2=16(y ≥0)，设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2)，则｜MF ｜+｜NF ｜=x 1+x 2+2a=2(4-a)+2a=8(2)若｜MF ｜、｜PF ｜、｜NF ｜成等成数列，则有2｜PF ｜=｜MF ｜+｜NF ｜,另一方面，设M 、P 、N 在抛物线的准线上的射影为M ′、P ′、N ′，则在直角梯形M ′MNN ′中，P ′P 是中位线，又有2｜P ′P ｜=｜M ′M ｜+｜N ′N ｜=｜MF ｜+｜FN ｜,因而｜PF ｜=｜P ′P ｜,∴P 点应在抛物线上，但P点是线段MN的中点，即P并不在抛物线上，故不存在使｜MF｜、｜PF｜、｜NF｜成等差数列的a值.。
3.3.2抛物线简单几何性质 课件(共21张PPT)
2
y2
2
2
3 ，∴ 2 0 y 0 3 ∴y =2
1
2
的距离 d=1-（-
或 y =-6（舍去）
，∴x=
2
3
1
=
.
）
2
2
∵点 M 到抛物线焦点的距离等于点 M 到抛物线 y2=2x 的准线的距离，
3
∴点 M 到该抛物线焦点的距离为 2 .
y2
2
=1
7.设 P 是抛物线 y 2 4 x 上的一个动点，F 为抛物线的焦点.
(x2, y2)
即时巩固
过点M(2,0)作斜率为1的直线l，交抛物线y2=4x于两点A、B，求焦点，求|AB|．
解：设A(1 ,1 ), B(2 ,2 ),
直线l为 = − 2，代入抛物线方程，得x2-8x+4=0，
∴ 1 +2 =8, 1 2 =4
∴ =
1 + 2 ∙
线准线的距离等于（
A.2
B.1
C ）
C.4
D.8
3.已知抛物线 y 2 2 px( p 0) 的准线与圆 ( x 3) 2 y 2 16 相切，则 p 的值为（ C ）
A.
1
2
B.1
C.2
D.4
4.抛物线 x 2 8 y 焦点为 F，准线为 l，P 为抛物线上一点， PA l ，A 为垂足，如果直线 AF 的倾
第一章
3.3
抛物线
3.3.2 抛物线的简单几何性质
学习目标
1.了解抛物线的简单几何性质.
2.能运用抛物线的几何性Байду номын сангаас解决相关问题.
抛物线知识点归纳总结
抛物线知识点归纳总结一、抛物线的定义抛物线是平面上的一个几何图形，它的形状像一个弯曲的弧线，其数学定义为：所有到定点的距离等于到直线的距离的点构成的集合。
这个定点称为焦点，直线称为准线，通常用符号来表示抛物线，可以用二次方程来表示：y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为实数，a≠0。
二、抛物线的性质1. 焦点和准线：抛物线的焦点位于开口向上或者向下的一端，准线则位于抛物线的中轴线上。
焦点和准线的位置可以通过二次方程的系数a、b、c来确定。
2. 对称性：抛物线具有轴对称性，即抛物线的焦点和准线关于中轴线对称。
3. 焦点的坐标：抛物线的焦点的坐标可以通过二次方程的系数a、b、c来计算得出。
4. 定点的坐标：抛物线上最低点或者最高点称为定点，定点的坐标可以通过二次方程的顶点公式来计算得出。
5. 法线和切线：抛物线的切线是与抛物线相切的直线，而法线是与切线垂直的直线，它们具有一些特殊的性质和公式。
6. 焦距和焦半径：焦距是焦点到准线的距离，焦半径是焦点到抛物线顶点的距离，它们与抛物线的方程之间存在一些重要的关系。
7. 焦直和准直：焦直是焦点在准线上的投影轴，准直是准线在焦点上的投影轴，它们的位置和形状也与抛物线的方程有关。
8. 定义域和值域：抛物线的定义域和值域是指抛物线上的点的集合，它们与抛物线的方程形式、系数和图像的形态有关。
9. 开口方向：抛物线的开口方向是指向上或者向下，它与抛物线的二次方程的系数a的正负有关。
10. 直线与抛物线的位置关系：抛物线与直线的位置关系有相交、切线和相离三种情况，这与抛物线的方程和直线的方程有关。
三、抛物线的应用抛物线在日常生活和工程技术中有着广泛的应用，如抛物面反射天线、汽车大灯光束设计等。
同时，它也在物理学、天文学、工程学等领域有着重要的作用。
1. 抛物线的运动学应用：抛物线是物体在一个力场中运动的轨迹，它在各种自然和人造的运动中都有着广泛的应用，如抛物线轨道的运动、人造卫星的轨迹等。
高中数学抛物线的几何性质总结课件
抛物线在几何作图中的应用
绘制图形
在几何作图中，抛物线被用来绘制各种曲线和图形，如椭圆 和双曲线。
设计艺术
艺术家和设计师利用抛物线的形状和性质来创造各种艺术作 品和设计。
抛物线在其他领域的应用
经济预测
在经济学中，抛物线可以用来拟合数 据并预测未来的趋势，例如通过建立 抛物线模型来预测股票价格或销售量。
信号处理
在信号处理中，抛物线被用来进行滤 波和降噪处理，以提取信号中的有用 信息。
THANKS
线的交点。
抛物线的焦距等于顶点到焦点 的距离。
抛物线上的任意一点到焦点的 距离等于该点到准线的距离。
02 抛物线的焦点与准线
抛物线的焦点
01
抛物线的焦点是固定的 点，位于抛物线的对称 轴上。
02
对于开口向右或向左的 抛物线，焦点位于其对 称轴上，距离顶点一定 距离的位置。
03
对于开口向上的抛物线， 焦点位于其顶点的上方。
04 抛物线的对称性
抛物线的对称轴
抛物线关于其对称轴对称，对称轴是 一条垂直于x轴的直线。
对称轴是抛物线几何性质的一个重要 特征，它决定了抛物线的形状和位置。
对于标准形式的抛物线 y=ax^2+bx+c，其对称轴的方程是 x=-b/2a。
抛物线的对称中心
抛物线的对称中心是其顶点的位 置，顶点坐标可以通过二次函数 的顶点式y=a(x-h)^2+k得到。
抛物线的标准方程
开口向右的抛物线方程为 $y^2 = 2px$，其中 $p$ 是焦 距。
开口向左的抛物线方程为 $y^2 = -2px$，其中 $p$ 是 焦距。
抛物线的标准方程可以根据焦 点和准线的位置进行变换。
课件5:2.3.2 抛物线的简单几何性质
规律方法：求抛物线的标准方程的一般步骤：①根据条件确定抛 物线的焦点在哪条坐标轴上及开口方向；②根据焦点位置和开口方向 设出标准方程；③根据条件列出关于 p 的方程；④解方程，将所求得 的 p 值代入所设方程，即可得抛物线方程．
►变式训练
1．(1)顶点在原点，对称轴是y轴，并且顶点与焦点的距离 等于3的抛物线的标准方程是( )
规律方法：解决过焦点的直线与抛物线相交的有关问题时，一是 注意将直线方程和抛物线方程联立得方程组，再结合根与系数的关系 解题；二是注意焦点弦长、焦半径公式的应用．解题时注意整体代入 思想的运用，简化运算．
►变式训练 2．若直线 l 过抛物线 y2＝4x 的焦点，与抛物线交于 A，B 两点， 且线段 AB 中点的横坐标为 2，求线段 AB 的长． 解析：∵抛物线方程为 y2＝4x， ∴抛物线的焦点为 F(1，0)，准线为 l：x＝－1， 设线段 AB 的中点为 M(2，y0)， 则 M 到准线的距离为：|MN|＝2－(－1)＝3，过 A、B 分别作 AC、 BD 与 l 垂直，垂足分别为 C、D.根据梯形中位线定理，可得|AC|＋|BD| ＝2|MN|＝6.再由抛物线的定义知：|AF|＝|AC|，|BF|＝|BD|. ∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝|AC|＋|BD|＝6. 即线段 AB 的长为 6.
解析：椭圆的方程可化为x42＋y92＝1，其短轴在 x 轴上， ∴抛物线的对称轴为 x 轴， ∴设抛物线的方程为 y2＝2px 或 y2＝－2px(p>0)． ∵抛物线的焦点到顶点的距离为 3，即p2＝3， ∴p＝6. ∴抛物线的标准方程为 y2＝12x 或 y2＝－12x， 其准线方程分别为 x＝－3 和 x＝3.
规律方法：利用抛物线的性质可以解决的问题：(1)对称性：解 决抛物线的内接三角形问题；(2)焦点、准线：解决与抛物线的定义 有关的问题；(3)范围：解决与抛物线有关的最值问题；(4)焦点：解 决焦点弦问题．
抛物线与几何图形的综合
抛物线与几何图形的综合◆类型一二次函数与三角形的综合一、全等三角形的存在性问题1．如图，抛物线y＝x2＋bx＋c经过点(1，－4)和(－2，5)，请解答下列问题：(1)求抛物线的解析式；(2)若抛物线与x轴的两个交点为A，B，与y轴交于点C.在该抛物线上是否存在点D，使得△ABC与△ABD全等？若存在，求出D点的坐标；若不存在，请说明理由．二、线段(或周长)的最值问题及等腰三角形的存在性问题2．如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过A(－1，0)，B(3，0)，C(0，－3)三点，直线l是抛物线的对称轴．(1)求抛物线的函数关系式；(2)设点P是直线l上的一个动点，当点P到点A、点B的距离之和最短时，求点P的坐标；(3)点M也是直线l上的动点，且△MAC为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点M的坐标．◆类型二二次函数与平行四边形的综合3．如图，抛物线y＝ax2＋2ax＋c(a＞0)与y轴交于点C，与x轴交于A，B 两点，A点在B点左侧．若点E在x轴上，点P在抛物线上，且以A，C，E，P为顶点的四边形是平行四边形，则符合条件的点P有（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．如图，抛物线y＝12x2＋x－32与x轴相交于A，B两点，顶点为P.(1)求点A，B的坐标；(2)在抛物线上是否存在点E，使△ABP的面积等于△ABE的面积？若存在，求出符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由；(3)坐标平面内是否存在点F，使得以A，B，P，F为顶点的四边形为平行四边形？直接写出所有符合条件的点F的坐标．◆类型三二次函数与矩形、菱形、正方形的综合5．如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y＝x2－2x＋2上运动．过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连接BD，则对角线BD的最小值为________.第5题图第6题图6．如图，抛物线y ＝ax 2－x －32与x 轴正半轴交于点A(3，0)．以OA 为边在x 轴上方作正方形OABC ，延长CB 交抛物线于点D ，再以BD 为边向上作正方形BDEF.则a ＝，点E 的坐标是_________________．7.如图，对称轴为直线x ＝72的抛物线经过点A(6，0)和B(0，－4)．(1)求抛物线的解析式及顶点坐标；(2)设点E(x ，y)是抛物线上一动点，且位于第一象限，四边形OEAF 是以OA 为对角线的平行四边形，求平行四边形OEAF 的面积S 与x 之间的函数关系式；(3)当(2)中的平行四边形OEAF 的面积为24时，请判断平行四边形OEAF 是否为菱形．8．正方形OABC 的边长为4，对角线相交于点P ，抛物线l 经过O ，P ，A 三点，点E 是正方形内的抛物线l 上的动点．(1)建立适当的平面直角坐标系，①直接写出O ，P ，A 三点的坐标；②求抛物线l 的解析式；(2)求△OAE 与△OCE 面积之和的最大值．答案：。
第八章 平面解析几何-8.7 抛物线
( ×)
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2.（2022年全国乙卷）设为抛物线: 2 = 4的焦点，点在上，点 3,0 ，若
= ，则 =(
A.2
B.2
√
)
2
C.3
D.3 2
解：由题意，得 1,0 ，则 = = 2，即点A到准线 = −1的距离为2，所以
点A的横坐标为−1 + 2 = 1.不妨设点A在轴上方，将 = 1代入 2 = 4中，得 1,2 ，
C.双曲线
D.抛物线
√
解：设动圆的圆心为点C，半径为,则 = + 1.又点C到直线 = 1的距离等于，
2
1
2
= 2 × 4，解得 = .所以抛物线的方程为 2 = .若抛物线的焦
点在轴上，设抛物线的方程为 2 = −2 > 0 .因为抛物线经过点 4, −2 ，所以
42 = −2 × −2 ，解得 = 4.所以抛物线的方程为 2 = −8.故选AC.
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（2）已知抛物线 2 = 上的点 1, 到其焦点的距离为2，则该抛物线的标准方程
故填3.
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考点一 抛物线的定义及标准方程
例1（1） 【多选题】经过点 4, −2 的抛物线的标准方程为(
A. 2 =
√
B. 2 = 8
C. 2 = −8
√
)
D. 2 = −8
解：若抛物线的焦点在轴上，设抛物线的方程为 2 = 2 > 0 .因为抛物线经过点
4, −2 ，所以 −2
顶点
轴
_____
原点
0,0
≥ 0,
∈
≤ 0,
______
∈
抛物线几何性质(抛物线几何性质总结)
顶点：原点；
离心率：e＝1；
焦半径：| MF
|=
x0
+
p.
2
问题提出
过抛物线的焦点F作直线交抛 物线于A、B两点，线段AB叫做抛物 线的焦点弦，请你探究焦点弦具有 哪些性质. y A
O
F
x
B
探求新知
设AB为焦点弦.点A(x1，y1)，B(x2，
y12、) 焦点弦AB的长如何计算？
yA
|AB|＝x1＋x2＋p
则 AB 的中点到直线 x+1=0 的距离为( D )
(A) 5
(B)2
(C)3
(D) 11
2
4
d
3 4
2
11 4
y
l
C
-1
3 4
24
· K
1 4
O
F
x
抛物线的应用
P74 8. 抛物线形拱桥,当水面在l 时,拱顶离水面2 米, 水面宽4米,水下降1米后, 水面宽多少？
y
O
23
x
B(2, -2)
方程
图 形
范围
y2 = 2px y2 = -2px x2 = 2py x2 = -2py
（p＞0） （p＞0） （p＞0） （p＞0）
y
l
yl
y
F
y
l
OF x F O x
O
x
O F
x
l
x≥0 y∈R x≤0 y∈R x∈R y≥0 x∈R y≤0
对称轴
x轴
y轴
顶点
焦半径
焦点弦 的长度
p 2
x0
p x1 x2
课件6：2.3.2抛物线的几何性质
(3)顶点． 抛物线和_____坐__标_____的交点叫做抛物线的顶点，这 条抛物线的顶点为___原__点___．
(4)离心率．
抛物线上的点到__焦__点____与___准__线___的距离的比，叫 做抛物线的离心率，用e表示，由抛物线的定义知e＝ ____1__ 的坐标为(x，y)，则由已知得 A 点坐标为 (4，y)，所以O→A＝(4，y)，O→P＝(x，y). 因为O→A⊥O→P，所以O→A·O→P＝0，
因此4x＋y2＝0，即P的轨迹方程为4x＋y2＝0. 轨迹的形状为抛物线.
跟踪练习
1.分别求适合下列条件的抛物线方程． (1)顶点在原点，以坐标轴为对称轴，且过点A(2,3)； (2)顶点在原点，以坐标轴为对称轴，焦点到准线的 距离为.
D．x2＝28y
【答案】 B
【解析】∵p2＝7，∴p＝14，∵焦点在 x 轴上， ∴方程为 y2＝28x.
2．抛物线 y＝－x2 的焦点坐标为( )
A．(0，14)
B．(0，－14)
C．(41，0)
D．(－14，0)
【答案】 B 【解析】y＝－x2 化为标准方程为 x2＝－y，∴p＝12. ∴焦点坐标为 F(0，－41)．故选 B.
2.3.2 抛物线的几何性质
情景导入
如果让抛物线绕其对称轴旋转，就得到一个旋转形的 抛物面曲面，旋转抛物面的轴上，有一个焦点，任何 一条平行于抛物面轴的光(射)线由抛物面上反射出来 之后，其反射光(射)线都通过该点，应用抛物面的这 个几何性质，人们设计了很多非常有用的东西，如太 阳灶、卫星电视天线、雷达等．当然这条性质本身也 是抛物线的一条性质，今天我们就来具体研究一下构 成抛物面的线——抛物线的几何性质.
【答案】y2＝6x (32，0) x＝－32
抛物线的几何性质课件-2022届高三数学一轮复习
当 90 时，| AB | 2 p 也成立 sin 2
抛物线y2=2px ( p> 0 ) 的焦点弦的性质
如图所示：已知线段AB是抛物线y2=2px 弦，设A(x1, y1), B(x2, y2)
(
p>y0
l
)
的焦A点
3、当直线AB的倾斜角为θ时，
2p
| AB | sin2
2P
当直线AB⊥x轴时，即θ=900时，
y y0
与 y2 2 px联立,可得B点的纵坐标为 y p2 .
x p 2
y02 p 2p 2
.
BB1 / / x轴.
y0
典例9.
y2 3x
y l
A
o
F
x
DB
方法二：对f(θ)求导，研究单调性更简单
抛物线y2=2px ( p> 0 ) 的焦点弦的性质
如图所示：已知线段AB是抛物线y2=2px
x0= x1 2 x2
点P到准线的距离d=
x1
x2
p
x1
x2
p
OF B
x
点P到准线的距离d
2AB
2 r
2
2
抛物线y2=2px ( p> 0 ) 的焦点弦的性质
如弦图，所过示A,B：两已点知分线别段作A准B是线抛的物垂线线y，2A=21pxl y( p> 0 ) 的焦点
垂足分别为A1,B1,准线l与对称轴相
y
A
x2 y2
如图所示：在椭圆 a2 b2 1 和
x2
双曲线 a2
y2 b2
1 中，我们把过一
个焦点且垂直于对称轴的弦叫作
OF
x
通径
抛物线的几何性质优质ppt课件
在抛物线上，且坐标分别为A(x1,y1)、
B(x2,y2),则
又|OA|=|OB|，所以x 2+y 2=x 2+y 2 1122
o
即 x 2-x 2+2px -2px =0, (X 2-x 2)+2p(x -x )=0,
12
1
2
12
12
(x1-x2)(x1+x2+2p)=0. X1>0，X2>0，2p>0,
二、探索新知
如何研究抛物线y2 =2px（p>0）的几何性质?
1、 范围
由抛物线y2 =2px（p>0）
有
所以抛物线的范围为
2、 对称性
关于x轴 对称
若点(x,y)在抛物线上, 即满足y2 = 2px， 则 (-y)2 = 2px
即点(x,-y) 也在抛物线上,
故 抛物线y2 = 2px(p>0)关于x轴对称.
焦半径公式：|PF|=x0+p/2
下面请大家推导出其余三种标准方程 抛物线的焦半径公式。
补、焦点弦：
通过焦点的直线，与抛物
y
A
线相交于两点，连接这两点的
F
线段叫做抛物线的焦点弦。
O
B
x
焦点弦公式：
下面请大家推导出其余三种标准方程 抛物线的焦点弦公式。
方程 图
形 范围
y2 = 2px
（p＞0） y
所以： 因此所求抛物线标准方程为：
探照灯、汽车前灯的反光曲面，手电筒的反光镜面、 太阳灶的镜面都是抛物镜面。 抛物镜面：抛物线绕其对称轴旋转而成的曲面。 灯泡放在抛物线的焦点位置上，通过镜面反射就变 成了平行光束，这就是探照灯、汽车前灯、手电筒的 设计原理。
二次函数与几何综合(有答案)中考数学压轴题必做
二次函数与几何综合07年课改后，最后一题普遍为抛物线和几何结合（主要是与三角形结合）的代数几何综合题，计算量较大。
几何题可能想很久都不能动笔，而代数题则可以想到哪里写到哪里，这就让很多考生能够拿到一些步骤分。
因此，课改之后，武汉市数学中考最后一题相对来说要比以前简单不少，而这也符合教育部要求给学生减轻负担的主旨，因此也会继续下去。
要做好这最后一题，主要是要在有限的时间里面找到的简便的计算方法。
要做到这一点，一是要加强本身的观察力，二是需要在平时要多积累一些好的算法，并能够熟练运用，最后就是培养计算的耐心，做到计算又快又准。
题目分析及对考生要求（1）第一问通常为求点坐标、解析式：本小问要求学生能够熟练地掌握待定系数法求函数解析式，属于送分题。
（2）第二问为代数几何综合题，题型不固定。
解题偏代数，要求学生能够熟练掌握函数的平移，左加右减，上加下减。
要求学生有较好的计算能力，能够把题目中所给的几何信息进行转化，得到相应的点坐标，再进行相应的代数计算。
（3）第三问为几何代数综合，题型不固定。
解题偏几何，要求学生能够对题目所给条件进行转化，合理设参数，将点坐标转化为相应的线段长，再根据题目条件合理构造相似、全等，或者利用锐角三角函数，将这些线段与题目构建起联系，再进行相应计算求解，此处要求学生能够熟练运用韦达定理，本小问综合性较强。
在我们解题时，往往有一些几何条件，我们直接在坐标系中话不是很好用，这时我们需要对它进行相应的条件转化，变成方便我们使用的条件，以下为两种常见的条件转化思想。
1、遇到面积条件：a.不规则图形先进行分割，变成规则的图形面积；b.在第一步变化后仍不是很好使用时，根据同底等高，或者等底同高的三角形面积相等这一性质，将面积进行转化；c.当面积转化为一边与坐标轴平行时，以这条边为底，根据面积公式转化为线段条件。
2、遇到角度条件：找到所有与这些角相等的角，以这些角为基础构造相似、全等或者利用锐角三角函数，转化为线段条件。
初一抛物线的知识点归纳总结
初一抛物线的知识点归纳总结抛物线是初中数学中一种基础的几何图形，对于初一学生来说，了解和掌握抛物线的性质和相关概念非常重要。
在本文中，我们将对初一抛物线的知识点进行归纳总结，并介绍其相关定义和性质。
一、抛物线的定义抛物线是平面解析几何中的一类曲线，其定义可以通过平面解析几何的方法给出。
具体定义如下：给定平面直角坐标系，设直线L：y=kx（k≠0）和点F (0,p)为抛物线的焦点，对于平面上任意一点P(x,y)，它到直线L的距离等于它到焦点F的距离。
则曲线P的轨迹就是一条抛物线。
二、抛物线的性质1. 对称性：抛物线是关于y轴对称的，即对于抛物线上的任意一点P(x,y)，点P'(-x,y)也在抛物线上。
2. 切线性：抛物线上的任意一点P(x,y)处的切线斜率等于焦点F到点P的斜率。
3. 焦点和准线：焦点F是抛物线上的一个特殊点，准线L是抛物线上和直线 y=0 垂直的一条直线。
4. 对称轴：对称轴是垂直于准线的直线，过抛物线的焦点和准线的中点。
5. 顶点：抛物线的顶点是抛物线上离对称轴最近的点，即曲线的最高点或最低点。
三、抛物线的方程及表示初一阶段主要学习二次函数方程的基本形式 y=ax^2+bx+c，其中a≠0。
四、抛物线的图像和特点1. 当 a>0 时，抛物线开口向上，顶点为最低点；当 a<0 时，抛物线开口向下，顶点为最高点。
2. 抛物线关于对称轴对称，焦点位于对称轴上方或下方。
3. a的绝对值越小，抛物线越窄；a的绝对值越大，抛物线越宽。
4. 抛物线与x轴的交点称为零点，抛物线与y轴的交点称为截距。
五、抛物线的应用举例1. 炮弹抛物线问题：炮弹在发射后受到重力的影响，其运动轨迹可以用抛物线来描述。
2. 反射面问题：光线从抛物线上一点入射，经过反射后，可以确定抛物线上相应的反射点。
3. 天桥设计：为使人行天桥结构稳定且美观，可以采用抛物线设计。
六、总结初一的抛物线知识点主要包括抛物线的定义、性质、方程、图像及特点等。
(完整版)抛物线的几何性质
抛 物 线一、抛物线22(0)y px p =>的简单几何性质1、范围：因为0p >，由方程22y px =可知，这条抛物线上任意一点M 的坐标(),x y 满足不等式0x ≥，所以这条抛物线在y 轴的右侧；当x 的值增大时，y 也增大，这说明抛物线向上方和右下方无限延伸，它的开口向右.2、对称性：以y -代y ，方程22(0)y px p =>不变，因此这条抛物线是以x 轴为对称轴的轴对称图形.抛物线的对称轴叫作抛物线的轴3、顶点：抛物线和它的轴的焦点叫作抛物线的顶点.在方程22(0)y px p =>中，当0y =时，0x =，因此这条抛物线的顶点就是坐标原点.4、离心率：抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的比，叫作抛物线的离心率，用e 表示.按照抛物线的定义，1e =知识剖析：抛物线的通径：过焦点且与焦点所在的轴垂直的直线与抛物线交于点12,M M ，线段12M M 叫作抛物线的通径，将02px =代入22y px =得y p =±，故抛物线22y px =的通径长为2p例1、已知点(),M x y 在抛物线28y x =上，则()22,129f x y x y x =-++的取值范围？ 分析：本题的实质是将(),f x y 转化为关于x 的二次函数，求二次函数在区间[)0,+∞上的最值. ()()22,812925f x y x x x x =-++=++，又[)0,x ∈+∞，所以当0x =时，(),f x y 取得最小值9，当[)0,x ∈+∞时，()()2,25f x y x =++，无最大值.故()22,129f x y x y x =-++的取值范围为[)9,+∞答案：[)9,+∞二、抛物线的四种标准方程相应的几何性质：知识剖析：（1）通过上表可知，四种形式的抛物线的顶点相同，均为()0,0O ，离心率均为1，它们都是轴对称图形，但是对称轴不同.（2）抛物线和椭圆、双曲线的几何性质的差异：①它们都是轴对称图形，但椭圆和双曲线又是中心对称图形，抛物线不是中心对称图形； ②顶点个数不同：椭圆有4个顶点、双曲线有2个顶点、抛物线只有1个顶点； ③焦点个数不同：椭圆和双曲线各有2个焦点，抛物线只有1个焦点；④离心率的取值范围不同：椭圆的离心率的取值范围是01e <<，双曲线离心率的取值范围是1e >，抛物线的离心率是1e =；⑤椭圆和双曲线都有两条准线，而抛物线只有一条准线；⑥椭圆是封闭式曲线，双曲线和抛物线都是非封闭式曲线，由于抛物线没有渐近线，因此在画抛物线时切忌将其画成双曲线例2、某抛物线的顶点是椭圆22169144x y +=的中心，而焦点为椭圆的左顶点，求此抛物线的标准方程.分析：因为该椭圆的中心在坐标原点，左顶点为()3,0-，所以可直接设抛物线的标准方程，求得p 后可得方程.答案：解：由22169144x y +=得：221169y x +=，所以椭圆的左顶点为()3,0-.由题意设所求抛物线的标准方程为()220y px p =->，由32p=，得6p =，故所求抛物线的标准方程为212y x =-.三、焦点弦问题及其应用 1、焦点弦如图，AB 是抛物线()220y px p =>过焦点F 的一条弦.设点()()1122,,,A x y B x y ，线段AB 的中点为()00,M x y ，过,,A B M 分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为111,,A B M ，则根据抛物线的定义有11AF BF AA BB +=+.又1MM 是梯形11AA B B 的中位线，1112AB AA BB MM ∴=+=.综上可得以下结论： ①121212,,2222p p p p AF x BF x AB x x x x p ⎛⎫⎛⎫=+=+∴=+++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其常被称作抛物线的焦点弦长公式.②022p AB x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（焦点弦长与中点的关系）③若直线AB 的倾斜角为α，则22sin pAB α= 推导：12AB AF BF x x p =+=++由④的推导知，当AB 不垂直于x 轴时，()1220py y k k+=≠1212122222y y y y p p p x x p p k k k k+∴+=+++=+=+ 222212212tan sin p p AB p p k αα⎛⎫∴=+=+= ⎪⎝⎭当k 不存在时，即90α=时，22sin pAB α=亦成立 ④A B 、两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即2124p x x =，212y y p =-分析：利用点斜式写出直线AB 的方程，与抛物线方程联立后进行证明.要注意直线斜率不存在的情况. 推导：焦点F 的坐标为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，当AB 不垂直于x 轴时，可设直线AB 的方程为：()02p y k x k ⎛⎫=-≠ ⎪⎝⎭，由222p y k x y px⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩，得：2220ky py kp --= ()2224212212121222,22444y y y y p p y y p x x p p p p ∴=-==== 当AB 垂直于x 轴时，直线AB 的方程为：2px =则222212121212,,224y y p y p y p y y p x x p p ==-⇒=-==⑤11AF BF +为定值2p推导：由焦半径公式知，12,22p pAF x BF x =+=+ ()12212121211112224x x p p pp p AF BF x x x x x x ++∴+=+=+++++又21212,4p x x x x AB p =+=-，代入上式得：()22112424AB p p p AF BF p AB p +==+-+为常数 故11AF BF +为定值2p.2、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质（1）抛物线以过焦点的弦为直径的圆和准线相切（2）抛物线()220y px p =>中，设AB 为焦点弦，M 为准线与x 轴的交点，则AMF BMF ∠=∠ （3）设AB 为抛物线的焦点弦.① 点A B 、在准线上的射影分别为点11A B 、，若P 为11A B 的中点，则PA PB ⊥；②O 为抛物线的顶点，若AO 的延长线交准线于点C ，连接BC ，则BC 平行于x 轴，反之，若过点B 作平行于x 轴的直线交准线于点C ，则,,A O C 三点共线. （4）通径是所有焦点弦（过焦点的弦）中最短的弦.例3、已知抛物线的顶点在原点，x 轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为4π的直线，被抛物线所截得的弦长为6，求抛物线方程.解：当抛物线的焦点在x 轴正半轴上时，可设抛物线的标准方程为()220y px p =>，则焦点F的坐标为,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，直线l 的方程为2p y x =-.设直线l 与抛物线的交点为()()1122,,,A x y B x y ，过点,A B 分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为点11A B 、，则有：111212+=622p p AB AF BF AA BB x x x x p ⎛⎫⎛⎫=+=+++=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由222p y x y px⎧=-⎪⎨⎪=⎩，消去y ，得222p x px ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即22304p x px -+= 123x x p ∴+=，代入①式得：336,2p p p +=∴= ∴所求抛物线的标准方程为23y x =当抛物线的焦点在x 轴负半轴上时，用同样的方法可求出抛物线的标准方程是：23y x =-例4、已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，点()()()111222333,,,P x y P x y P x y 、、在抛物线上，且2132x x x =+，则有（ ）123.A FP FP FP += 222123.B FP FP FP += 213.2C FP FP FP =+ 2213.D FPFP FP =解析：123P P P 、、在抛物线上，且2132x x x =+，两边同时加上p ，得2132()222p p p x x x +=+++ 即2132FP FP FP =+ 答案：C例5、过抛物线24y x =的焦点作直线交抛物线于()()1122,,,A x y B x y 两点，如果126x x +=，那么AB =?解析：由抛物线定义，得12628AB AF BF x x p =+=++=+=。
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小结：线段长度的最大值
例：如图，对称轴为直线x=-1的抛物线 y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A、B两点， 其中点A的坐标为（-3，0）． （3）在抛物线上是否存在一点M，使得 △ACM的面积最大？若存在，请求出点M 的坐标，若不存在，请说明理由。
小结：三角形面积的最大值
例：如图，对称轴为直线x=-1的抛物线 y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A、B两点， 其中点A的坐标为（-3，0）． （4）在抛物线对称轴上是否 存在点N，使得△BNC的周长 最小？若有，请求出点N的 坐标及周长最小值。 若没有，请说明理由。 小结：三角形周长最小值或线段长度 和最小值
例：如图，对称轴为直线x=-1的抛物线 y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A、B两点， 其中点A的坐标为（-3，0）． （5）在抛物线对称轴上是否存在一点E， 使得△BCE为等腰三角形？ 若存在，请求出点E的坐标，若不存在，请 说明理由。
小结：等腰三角形存在性问题
例：如图，对称轴为直线x=-1的抛物线）与x轴相交于A、B两点， 其中点A的坐标为（-3，0）． （6）若抛物线的顶点为G， 连接AG和CG，试说明 △ACG是直角三角形。
例：如图，对称轴为直线x=-1的抛物线 y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A、B 其中点 A的坐标为（-3，0）． （1）求点B的坐标； （2）已知a=1，C为抛物线与 y轴的交点． ①若点P在抛物线上， 且S△POC=4S△BOC．求点P的坐标；
例：如图，对称轴为直线x=-1的抛物线 y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A、B两点， 其中点A的坐标为（-3，0）． ②设点Q是线段AC上的动点， 作QD⊥x轴交抛物线于点D， 求线段QD的最大值．
小结：直角三角形问题
例：如图，对称轴为直线x=-1的抛物线 y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A、B两点， 其中点A的坐标为（-3，0）． （7）是否存在以B、C、A、F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在， 请求出点F的坐标，若不存在， 请说明理由。
小结：平行四边形存在性问题
例：如图，对称轴为直线x=-1的抛物线 y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A、B两点， 其中点A的坐标为（-3，0）． （8）若点H在抛物线的对称轴上， 抛物线上是否存在点K，使得 以A、B、H、K为顶点的四边形 是平行四边形？若存在，请 求出所有满足条件的点K的坐标， 若不存在，请说明理由。