江苏高考应用题专题附详细答案
苏教版数学高考试题与参考答案(2024年)
2024年苏教版数学高考复习试题(答案在后面)一、单选题（本大题有8小题，每小题5分，共40分）1、设函数(f(x)=x3−3x2+2)，则该函数的极值点是：A.(x=0)B.(x=1)C.(x=2)D.(x=3)2、下列四个选项中，(a2−b2)的因式分解结果为：A.((a+b)(a−b))B.((a+b)2)C.((a−b)2)D.(a2+b2)3、在等差数列{an}中，若首项a1=3，公差d=-2，那么数列{an}的第10项an=（）A. -13B. -15C. -17D. -194、已知函数(f(x)=x2−4x+3)，若(f(x))的图像关于直线(x=a)对称，则(a)的值为：A. 2C. 3D. 05、在下列各数中，哪个数的平方根是整数？A、(√49)B、(√81)C、(√100)D、(√121)6、在等差数列{an}中，首项a1=3，公差d=2，前n项和Sn=24n-9n²，则数列的项数n是：A. 1B. 3C. 4D. 57、已知函数(f(x)=√2x+1−√x−1)的定义域为([1,+∞))，则函数的值域为：A.([0,+∞))B.([−1,+∞))C.([0,2))D.([0,1])8、在函数y=√4x2+4中，若自变量x的取值范围为[−2,2]，则函数的值域为（）A.[4,8]B.[2,4]D.[0,2]二、多选题（本大题有3小题，每小题6分，共18分）1、以下函数中，哪些函数的图像是奇函数？A、f(x) = x^3B、f(x) = x^2C、f(x) = |x|D、f(x) = x + 12、在下列各题中，正确表示集合M中元素的有：A. M = {x | x^2 - 4x + 4 = 0}B. M = {x | x ∈ N，x > 3}C. M = {x | x ∈ Q，x^2 < 2}D. M = {x | x ∈ R，x^2 + 1 = 0}3、下列各数中，属于有理数的是（）A、根号2（√2）B、πC、0.1010010001…D、1/3E、-0.5三、填空题（本大题有3小题，每小题5分，共15分）1、在等差数列{an}中，若a1=3，d=2，那么第10项an的值是______ 。
江苏数学高考真题(含答案)
绝密★启用前2021年普通高等学校招生全国统一考试〔江苏卷〕数学I考前须知考生在答题前请认真阅读本考前须知及各题答题要求1. 本试卷共4页，包含非选择题〔第1题 ~ 第20题，共20题〕.本卷总分值为160分，考试时间为120分钟。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
2. 答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。
3.请认真核对监考员在答题上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。
4.作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。
5.如需改动，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡相应位置上1.集合{}=1,2A ，{}=+2,3B a a ，假设A B ={1}那么实数a 的值为________2.复数z=〔1+i 〕〔1+2i 〕,其中i 是虚数单位，那么z 的模是__________3.某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，那么应从丙种型号的产品中抽取 件.4.右图是一个算法流程图，假设输入x 的值为116，那么输出的y 的值是 .5.假设tan 1-=46πα⎛⎫ ⎪⎝⎭,那么tan α= .6.如图，在圆柱O 1 O 2 内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切。
记圆柱O 1 O 2 的体积为V 1 ,球O 的体积为V 2 ，那么12V V 的值是7.记函数2()6f x x x =+-的定义域为D.在区间[-4,5]上随机取一个数x ，那么x ∈ D 的概率是8.在平面直角坐标系xoy 中 ,双曲线2213x y -= 的右准线与它的两条渐近线分别交于点P,Q ，其焦点是F 1 , F 2 ,那么四边形F 1 P F 2 Q 的面积是9.等比数列{}n a 的各项均为实数，其前n 项的和为S n ，36763，44S S ==， 那么8a =10.某公司一年购置某种货物600吨，每次购置x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费之和最小，那么x 的值是11.函数()3xx12x+e -e-f x =x ，其中e 是自然数对数的底数，假设()()2a-1+2a ≤f f 0，那么实数a 的取值范围是 。
江苏省高考数学填空解答题专项拔高训练 实际应用问题 答案
专题14 实际应用问题考情分析年份2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019题号18 18 17 17 18 17 18真题再现1.（2019·江苏卷）如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥是圆O的直径规划在公路l上选两个点P、Q，并修建两段直线型道路PB、QA，规划要求：线段PB、QA 上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径已知点A、B到直线l的距离分别为AC和、D为垂足，测得单位：百米．若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；在规划要求下，若道路PB和QA的长度均为单位：百米，求当d最小时，P、Q两点间的距离．【答案】解：设BD与圆O交于M，连接AM，AB为圆O的直径，可得，即有，以C为坐标原点，l为x轴，建立直角坐标系，则设点，则，即，解得，所以；当时，QA上的所有点到原点O的距离不小于圆的半径，设此时，则，即，解得，由，在此范围内，不能满足PB，QA上所有点到O的距离不小于圆的半径，所以P，Q中不能有点选在D点；设，则，，则，当d最小时，．2.（2018·江苏卷）某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧为此圆弧的中点和线段MN构成已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为，要求A，B均在线段MN上，C，D均在圆弧上设OC与MN所成的角为．用分别表示矩形ABCD和的面积，并确定的取值范围；若大棚I内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4：求当为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．【答案】解：，，当B、N重合时，最小，此时；当C、P重合时，最大，此时，的取值范围是；设年总产值为y，甲种蔬菜单位面积年产值为4t，乙种蔬菜单位面积年产值为3t，则，其中；设，则；令，解得，此时；当时，单调递增；当时，单调递减；时，取得最大值，即总产值y最大．答：，，；时总产值y最大．3.（2017·江苏卷）如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm，容器Ⅰ的底面对角线AC的长为，容器Ⅱ的两底面对角线EG，的长分别为14cm和分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为现有一根玻璃棒l，其长度为容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计将l放在容器Ⅰ中，l的一端置于点A处，另一端置于侧棱上，求l没入水中部分的长度；将l放在容器Ⅱ中，l的一端置于点E处，另一端置于侧棱上，求l没入水中部分的长度．【答案】解：设玻璃棒在上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N，在平面ACM中，过N作，交AC于点P，为正四棱柱，平面ABCD，又平面ABCD，，，且，解得，∽，，得．玻璃棒l没入水中部分的长度为16cm．设玻璃棒在上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N，在平面中，过点N作，交EG于点P，过点E作，交于点Q，为正四棱台，，，为等腰梯形，画出平面的平面图，，，由勾股定理得：，，根据正弦定理得：，，．玻璃棒l没入水中部分的长度为20cm．核心要点解决应用题的首要环节是将实际问题转化为数学问题，然后解决数学问题，最终来解决实际问题。
2022年江苏省高考数学真题及参考答案
2022年江苏省高考数学真题及参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合{}4＜x x M =，{}13N ≥=x x ，则N M ⋂=（）A.{}20＜x x ≤ B.⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤231＜x xC.{}163＜x x ≤ D.⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤1631＜x x2.已知()11=-z i ，则=+z z（）A.2- B.1- C.1 D.23.在ABC ∆中，点D 在边AB 上，DA BD 2=.记m A C=，n D C=，则=B C（）A.nm23- B.nm32+- C.nm23+ D.nm32+4.南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔148.5m 时，相应水面的面积为140.0km ²；水位为海拔157.5m 时，相应水面的面积为180.0km ².将该水库在这两个水位间的形状看做一个棱台，则该水库水位从海拔148.5m 上升到157.5m 时，增加的水量约为()65.27≈（）A.39100.1m⨯ B.39102.1m⨯ C.39104.1m⨯ D.39106.1m⨯5.从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（）A.61 B.31 C.21 D.326.记函数()()04sin ＞ωπωb x x f +⎪⎭⎫ ⎝⎛+=的最小正周期为T .若ππ223＜＜T ，且()x f y =的图象关于点⎪⎭⎫ ⎝⎛223，π中心对称，则=⎪⎭⎫ ⎝⎛2πf （）A.1B.23 C.25 D.37.设1.01.0ea =，91=b ，9.0ln -=c ，则（）A.c b a ＜＜ B.a b c ＜＜ C.b a c ＜＜ D.bc a ＜＜8.已知正四棱锥的侧棱长为l ，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为π36，且333≤≤l ，则该正四棱锥体积的取值范围是（）A.⎥⎦⎤⎢⎣⎡48118， B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡481427， C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡364427， D.[]27,18二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学答案解析(正式版)(解析版)
一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.1.已知集合{}3,2,1=A ，{}5,4,2=B ，则集合B A Y 中元素的个数为_______. 【答案】5 【解析】试题分析：{123}{245}{12345}5A B ==U U ，，，，，，，，，个元素 考点：集合运算2.已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为________. 【答案】6考点：平均数3.设复数z 满足234z i =+（i 是虚数单位），则z 的模为_______. 5 【解析】试题分析：22|||34|5||5||5zi z z =+=⇒=⇒= 考点：复数的模4.根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为________.【答案】7 【解析】试题分析：第一次循环：3,4S I ==;第二次循环：5,7S I ==;第三次循环：7,10S I ==;结束循环，输出7.S =考点：循环结构流程图5.袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________.【答案】5.6考点：古典概型概率6.已知向量a =)1,2(，b=)2,1(-,若m a +n b =)8,9(-(R n m ∈,),n m -的值为______. 【答案】3- 【解析】试题分析：由题意得：29,282,5, 3.m n m n m n m n +=-=-⇒==-=- 考点：向量相等 7.不等式224x x-<的解集为________.S ←1 I ←1While I <10 S ←S ＋2 I ←I ＋3 End While Print S（第4题图）【答案】(1,2).- 【解析】试题分析：由题意得：2212x x x -<⇒-<<，解集为(1,2).- 考点：解指数不等式与一元二次不等式 8.已知tan 2α=-，()1tan 7αβ+=，则tan β的值为_______. 【答案】3 【解析】试题分析：12tan()tan 7tan tan() 3.21tan()tan 17αβαβαβααβα++-=+-===++- 考点：两角差正切公式9.现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个。
江苏省新高考语文试卷答案(含答案)
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江苏数学高考试卷真题答案
江苏数学高考试卷真题答案一、选择题（每题5分，共40分）1. 已知函数\( f(x) = 2x^2 - 3x + 1 \)，求\( f(-1) \)的值。
A. 6B. 4C. 2D. 02. 若\( \sin \alpha = \frac{3}{5} \)，且\( \alpha \)为锐角，求\( \cos \alpha \)的值。
A. \( \frac{4}{5} \)B. \( \frac{3}{4} \)C.\( \frac{1}{2} \) D. \( \frac{2}{3} \)3. 已知等差数列\( \{a_n\} \)的首项为1，公差为2，求第10项的值。
A. 19B. 21C. 23D. 254. 已知\( \triangle ABC \)的三边长分别为3, 4, 5，求\( \cos A \)的值。
A. \( \frac{3}{5} \)B. \( \frac{4}{5} \)C.\( \frac{1}{2} \) D. \( \frac{3}{4} \)5. 已知圆的方程为\( (x-2)^2 + (y-3)^2 = 9 \)，求圆心到直线\( x + y - 5 = 0 \)的距离。
A. 1B. 2C. 3D. 46. 已知函数\( g(x) = \ln(x) \)，求\( g(1) \)的值。
A. 0B. 1C. 2D. 37. 若\( \log_{10}100 = 2 \)，求\( \log_{10}1000 \)的值。
A. 3B. 4C. 5D. 68. 已知\( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 5 \)，且\( xy = 6 \)，求\( x + y \)的值。
A. 3B. 4C. 5D. 6二、填空题（每题4分，共24分）9. 已知\( a^2 + b^2 = 13 \)，\( a + b = 5 \)，求\( ab \)的值。
10. 若函数\( h(x) = x^3 - 3x^2 + 2 \)，求\( h(2) \)的值。
2022年江苏省高考数学试卷(新高考I)(含答案)
2022年江苏省高考数学试卷(新高考I)(含答案)一、选择题1. 若函数f(x) = 2x^3 3x^2 + x + 1，则f'(1)的值为多少？A. 6B. 7C. 8D. 9答案：B解析：我们需要求出函数f(x)的导数f'(x)。
根据导数的定义，f'(x) = 6x^2 6x + 1。
将x = 1代入f'(x)中，得到f'(1) = 61^2 6 1 + 1 = 1。
因此，f'(1)的值为1，选项B正确。
2. 若直线y = kx + b与圆(x 2)^2 + (y 3)^2 = 25相切，则k的值是多少？A. 1/2B. 1C. 2D. 3答案：A解析：由于直线与圆相切，它们在切点处具有相同的斜率。
直线的斜率为k，圆的斜率可以通过求导得到。
对圆的方程求导，得到2(x 2) + 2(y 3)y' = 0。
在切点处，x和y的值满足圆的方程，因此可以解出y' = 1/2。
由于直线和圆在切点处斜率相同，所以k = 1/2。
因此，选项A正确。
3. 若等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1 = 2，d = 3，则S10的值为多少？A. 155B. 165C. 175D. 185答案：C解析：等差数列的前n项和公式为Sn = n/2 (a1 + an)。
由于an = a1 + (n 1)d，代入a1 = 2和d = 3，得到an = 2 + 3(n 1)= 3n 1。
将an代入Sn的公式中，得到Sn = n/2 (2 + 3n 1) =n/2 (3n + 1)。
将n = 10代入，得到S10 = 10/2 (3 10 + 1) = 175。
因此，选项C正确。
4. 若函数f(x) = log2(x) + log2(x + 1)，则f(1)的值为多少？A. 1B. 2C. 3D. 4答案：C解析：将x = 1代入函数f(x)中，得到f(1) = log2(1) +log2(1 + 1) = log2(1) + log2(2) = 0 + 1 = 1。
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第t 天 4 10 16 22 Q （万股） 36 30 24 18 考点一：函数、导数、不等式模型例1、（江苏金湖第二中学2009届）（本小题满分16分）某上市股票在30天内每股的交易价格P （元）与时间t （天）组成有序数对（t ，P ），点（t ，P ）落在下图中的两条线段上，该股票在30天内（包括30天）的日交易量Q （万股）与时间t （天）的部分数据如下表所示．（1）根据提供的图象，写出该种股票每股交易价格P （元）与 时间t （天）所满足的函数关系式；（2）根据表中数据确定日交易量Q （万股）与时间t （天）的 一次函数关系式；（3）在（2）的结论下，用y （万元）表示该股票日交易额，写出y 关于t 的函数关系式，并求出这30天中第几日交易额最大，最大值为多少？解：（1）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈≤<+-∈≤<+=.,3020,8101.,200,251**N N t t t t t t P…………4分（2）设)30,10()36,4(),,(与将为常数b a b at Q +=的坐标代入，得.40,1.3010,364=-=⎩⎨⎧=+=+b a b a b a 解得日交易量Q （万股）与时间t （天）的一次函数关系式为.,300,40*N ∈≤<-=t t t Q …………9分（3）由（1）（2）可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-⨯+-≤<-⨯+=.3020),40()8101(.200),40()251(t t t t t t y即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈≤<+-∈≤<++-=.,3020,32012101.,200,80651*2*2N N t t t t t t t t y当125,15,200max ==≤<y t t 时当时；当(]30,2032012101,30202在时+-=≤<t t y t 上是减函数，.125)15()20(=<<y y y 所以，第15日交易额最大，最大值为125万元． …………15分 例2、（江苏省2012年高考考前数学试卷）（本小题满分14分）在某次水下考古活动中,需要潜水员潜入水深为30米的水底进行作业.其用氧量包含3个方面:①下潜时,平均速度为v (米/单位时间),单位时间内用氧量为2cv (c 为正常数);②在水底作业需5个单位时间,每个单位时间用氧量为0.4;③返回水面时,平均速度为2v(米/单位时间), 单位时间用氧量为0.2.记该潜水员在此次考古活动中,总用氧量为y . (1)将y 表示为v 的函数;(2)设0<v≤5,试确定下潜速度v,使总的用氧量最少.例3、(本小题满分13分)某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元～1000万元的投资收益.现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y（单位：万元）随投资收益x（单位：万元）的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过投资收益的20%.（Ⅰ）若建立函数模型制定奖励方案，试用数学语言表述公司对奖励函数模型的基本要求；（Ⅱ）现有两个奖励函数模型：(1)y＝；(2)y＝4lg x－3.试分析这两个函数模型是否符合公司要求？解析:（Ⅰ）设奖励函数模型为y＝f(x)，则公司对函数模型的基本要求是：当x∈[10，1000]时，①f(x)是增函数；②f(x)≤9恒成立；③恒成立. （3分）（Ⅱ）（1）对于函数模型：当x∈[10，1000]时，f(x)是增函数，则.所以f(x)≤9恒成立.因为函数在[10，1000]上是减函数，所以. 从而，即不恒成立.故该函数模型不符合公司要求.（2）对于函数模型f(x)＝4lg x－3：当x∈[10，1000]时，f(x)是增函数，则. 所以f(x)≤9恒成立.设g(x)＝4lg x－3－，则.当x≥10时，，所以g(x)在[10，1000]上是减函数，从而g(x)≤g(10)＝－1＜0.所以4lg x－3－＜0，即4lg x－3＜，所以恒成立.故该函数模型符合公司要求. （13分）例4、因发生意外交通事故，一辆货车上的某种液体泄露到一鱼塘中。
为治理污染，根据环保部门的建议，现决定在鱼塘中投放一种可与污染液体发生化学反应的药剂。
已知每投放个单位的药剂，它在水中释放的浓度y（克/升）随着时间（天）变化的函数关系式近似为，其中。
若多次投放，则某一时刻水中的药剂浓度为每次投放的药剂在相应时刻所释放的浓度之和。
根据经验，当水中药剂的浓度不低于4（克/升）时，它才能起到有效的治污的作用。
（Ⅰ）若一次投放4个单位的药剂，则有效治污的时间可达几天？（Ⅱ）若因材料紧张，第一次只能投放2个单位的药剂，6天后再投放个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效治污，试求的最小值（精确到0．1，参考数据：取1．4）。
解：1）因为，所以，①当时，由，解得，所以此时。
②当时，由，解得，所以此时。
综合得，，即，若一次投放4个单位的制剂，则有效治污时间可达8天。
（2）当时，，由题意知，对于恒成立。
因为，而，所以，故当且仅当时，有最小值为，令，解得，所以的最小值为。
又，所以的最小值约为1．6。
例5、（连云港市2011届高三一轮复习模拟考试数学试题）（本小题15分）某市环保研究所对市中心每天环境污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合污染指数()f x 与时间x(小时)的关系为()[]212,0,2413x f x a a x x =+-+∈+，其中a 与气象有关的参数，且30,4a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，若用每天()f x 的最大值为当天的综合污染指数，并记作()M a . (1)令[]2,0,241xt x x =∈+，求t 的取值范围； （2）求函数()M a ；（3）市政府规定，每天的综合污染指数不得超过2，试问目前市中心的综合污染指数是多少？是否超标？ 解: （1）∵[]2,0,241xt x x =∈+,0x =时，0t =. 024x <≤时，1,21x t x xx x=+≥+，∴102t <≤.∴10,2t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦。
……………………4分 （2）令()112,0,32g x t a a t ⎡⎤=+-+∈⎢⎥⎣⎦.当1134a -<，即7012a ≤<时，()max1552266g x g a a a ⎛⎫==-+=+⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭； 当1134a -≥，即73124a ≤<时，()()max 1102333g x g a a a ==-+=-⎡⎤⎣⎦ 。
所以()57,0,6121733,.3124a a M a a a ⎧+≤<⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩……………………10分 （3）当70,12a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()M a 是增函数，()7721212M a M ⎛⎫<=< ⎪⎝⎭；当73,124a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()M a 是增函数，()3232412M a M ⎛⎫≤=< ⎪⎝⎭.ABCo45θ图5综上所述，市中心污染指数是2312，没有超标. ……………………15分 例6、（本小题满分14分）一条小船在如图所示的Y 型河流中行驶，从A 逆流行驶到B ，再从B 顺流行驶到C ，AB 间航程和BC 间航程相等，水流的速度为3km/h ，已知该船每小时的耗油量与船在静水中的速度（单位：km/h ）的平方成正比.（1）当船在AB 段、BC 段静水中的速度分别是多少时，整个航行的总耗油量最小？（2）如果在整个航行过程中，船在静水中的速度保持不变，当船在静水中的速度是多少时，整个航行的总耗油量最小？考点二：三角函数模型例1、如图5，一架飞机原计划从空中A 处直飞相距km 680的空中B 处，为避开直飞途中的雷雨云层，飞机在A 处沿与原飞行方向成θ角的方向飞行，在中途C 处转向与原方向线成o45角的方向直飞到达B 处．已知135sin =θ．⑴在飞行路径ABC ∆中，求C tan ； ⑵求新的飞行路程比原路程多多少km ．（参考数据：414.12=，732.13=）· CA·B ·例解析：解：（1）由条件得。
∴曲线段FBC 的解析式为当x=0时，CD ∥EF ，。
………………………………………6分（2）由（1）可知。
，“矩形草坪”的面积为。
………12分例3、（江苏省扬州市2010-2011学年度第一学期期末调研测试）（本小题满分15分）某广场一雕塑造型结构如图所示，最上层是一呈水平状态的圆环，其半径为m 2，通过金属杆321,,,CA CA CA BC 支撑在地面B 处（BC 垂直于水平面），321,,A A A 是圆环上的三等分点，圆环所在的水平面距地面m 10，设金属杆321,,CA CA CA 所在直线与圆环所在水平面所成的角都为θ。
（圆环及金属杆均不计粗细）（1）当θ的正弦值为多少时，金属杆321,,,CA CA CA BC 的总长最短？（2）为美观与安全，在圆环上设置()4,,,21≥n A A A n 个等分点，并仍按上面方法连接，若还要求金属杆n CA CA CA BC ,,,,21 的总长最短，对比（1）中C 点位置，此时C 点将会上移还是下移，请说明理由。
解：（Ⅰ）设O 为圆环的圆心，依题意，∠CA 1O=∠CA 2O=∠CA 3O=θ，CA 1=CA 2=CA 3=2cos θ，CO=2tan θ，设金属杆总长为ym ，则6102tan cos y θθ=+-=2(3sin )10cos θθ-+，（02πθ<<） 22(3sin 1)'cos y θθ-=，当1sin 3θ<时，'0y <；当1sin 3θ>时，'0y >，∴当1sin 3θ=时，函数有极小值，也是最小值。
……………………………………7分（Ⅱ）依题意，2102tan cos n y θθ=+-=2(sin )10cos n θθ-+，22(sin 1)'cos n y θθ-=， 当1sin n θ<时，'0y <；当1sin n θ>时，'0y >，∴当1sin n θ=时，函数有极小值，也是最小值。
…………………………………………13分当n ≥4时，113n <，所以C 点应上移。
…………………………………………15分考点三：数列模型例1、祖国大陆开放台湾农民到大陆创业以来，在11个省区设立了海峡两岸农业合作试验区和台湾农民创业园，台湾农民在那里申办个体工商户可以享受“绿色通道”的申请、受理、审批一站式服务。
某台商到大陆一创业园投资72万美元建起一座蔬菜加工厂，第一年各种经费12万美元，以后每年增加4万美元，每年销售蔬菜收入50万美元．设表示前n 年的纯收入（=前n 年的总收入－前n 前的总2A BC3A 1A支出－投资额）（I）从第几年开始获取纯利润？（II）若干年后，该台商为开发新项目，有两种处理方案：①年平均利润最大时以48万元美元出售该厂；②纯利润总和最大时，以16万美元出售该厂，问哪种方案最合算？解：由题意知，每年的经费是以12为首项，4为公差的等差数列，设纯利润与年数的关系为……… 3分（I）纯利润就是要求解得知从第三年开始获利。