线性代数习题1.6克拉默法则
克拉默法则的公式
克拉默法则的公式“嘿，同学们，今天咱们来讲讲克拉默法则的公式。
”克拉默法则是用来解线性方程组的一种方法。
对于一个线性方程组，如果它有 n 个未知数，n 个方程，且系数行列式不等于零，那么这个方程组有唯一解。
具体来说，假设线性方程组为：a11x1 + a12x2 +... + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 +... + a2nxn = b2...an1x1 + an2x2 +... + annxn = bn那么未知数 xi 的解可以通过下面的公式来计算：xi = Di / D其中，D 是方程组的系数行列式，Di 是将 D 中的第 i 列换成方程组等号右边的常数项 b1, b2,..., bn 后得到的行列式。
举个例子吧，假设有这样一个线性方程组：2x1 + 3x2 = 84x1 + 5x2 = 14先计算系数行列式 D = |2 3| = 2*5 - 3*4 = -2。
然后计算 D1，把 D 中的第一列换成常数项 8 和 14，得到 D1 = |8 3| = 8*5 - 3*14 = -2。
计算 D2，把 D 中的第二列换成常数项 8 和 14，得到 D2 = |2 8| = 2*14 - 8*4 = 12。
那么 x1 = D1 / D = -2 / -2 = 1，x2 = D2 / D = 12 / -2 = -6。
所以方程组的解就是 x1 = 1，x2 = -6。
克拉默法则在很多领域都有应用。
比如在工程学中，当需要确定一些变量的值以满足特定的条件时，就可以用克拉默法则来求解线性方程组。
再比如在经济学中，分析一些经济模型时，常常会遇到线性方程组，克拉默法则就能派上用场。
同学们要记住，克拉默法则虽然好用，但它有个前提条件，就是系数行列式不能为零。
如果遇到行列式为零的情况，就得考虑其他方法来解方程组了。
总之，克拉默法则是线性代数中一个非常重要的工具，掌握好它对大家学习和解决问题都有很大的帮助。
克拉默法则典型例题
克拉默法则典型例题行列式与它的转置行列式相等。
交换行列式的两行，行列式取相反数。
行列式的某一行的所有元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式。
行列式如果有两行元素成比例，则此行列式等于零。
1、三角形行列式的值，等于对角线元素的乘积。
计算时，一般需要多次运算来把行列式转换为上三角型或下三角型。
2、互换行列式中的两行（列于），行列式变号。
3、行列式中某行（列）的公因子，可以提出放到行列式之外。
4、行列式的某行除以a，提至另外一行，行列式维持不变，常用于解出某些元素。
5、若行列式中，两行（列）完全一样，则行列式为0；可以推论，如果两行（列）成比例，行列式为0。
6、行列式进行：行列式的值，等同于其中某一行（列于）的每个元素与其代数余子式乘积的和；但若就是另一行（列于）的元素与本行（列于）的代数余子式乘积议和，则其和为0。
7、在求解代数余子式相关问题时，可以对行列式进行值替代。
8、克拉默法则：利用线性方程组的系数行列式解方程。
9、齐次线性方程组：在线性方程组等式右侧的常数项全部为0时，该方程组称为齐次线性方程组，否则为非齐次线性方程组。
齐次线性方程组一定有零解，但不一定有非零解。
当d=0时，有非零解；当d!=0时，方程组无非零解。
①行列式a中某行(或列于)用同一数k乘,其结果等同于ka。
②行列式a等于其转置行列式at(at的`第i行为a的第i列)。
③若n阶行列式|αij|中某行(或列于);行列式则|αij|就是两个行列式的和，这两个行列式的第i行(或列于),一个就是b1,b2,…,bn；另一个就是с1，с2,…,сn；其余各行（或列于）上的元与|αij|的全然一样。
④行列式a中两行（或列）互换,其结果等于-a。
⑤把行列式a的某行（或列于）中各元同乘一数后加进另一行（或列于）中各对应元上，结果仍然就是a。
《线性代数》克拉默法则
2 7 27,
1 13
0 0 7 37
0 0 1 13
0 0 3 12
0 0 0 27
故方程组有唯一解.
进一步计算(计算过程，略)，有
8 1 5 1
9 3 0 6
D1 5
2
1
81 , 2
0 4 7 6
2 8 5 1
1 9 0 6
D2 0 5 1
108 , 2
1 0 7 6
21 8 1
1 3 9 6
an1x1+an2x2+…+annxn = bn
当D 0时有唯一解:
xi
=
Di D
(i = 1, …, n),
a11 a12 … a1n
b1 a12 … a1n
其中D =
a21 …
a22 …
… …
a2n …
, D1 =
b2 a22 … a2n …………
,
an1 an2 … ann
bn an2 … ann
当D 0时有唯一解:
xi
=
Di D
(i = 1, …, n),
a11 a12 … a1n
a11 … a1,n1 b1
其中D =
a21 …
a22 …
… …
a2n …
, … Dn =
a21 … a2,n1 b2 …………
.
an1 an2 … ann
an1 … an,n1 bn
例1. 解线性方程组
2x1 x2 5x3 x4 8
x1 3x2 6x4 9 2x2 x3 2x4 5
.
x1 4x2 7x3 6x4 0
解: 方程组的系数行列式
Chapter 1-6 克拉默法则
y = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 通过四点 (1, 3) , (2, 4) , (3, 3) , (4, -3)，求系数 a0 , a1 , a2 , a3 .
通过上述例子, 我们看到用克拉默法则求解
线性方程组时,要计算 n+1 个 n 阶行列式,这个
计算量是相当大的, 所以, 在具体求解线性方程 组时, 很少用克拉默法则. 另外, 当方程组中方 程的个数与未知量的个数不等时, 就不能用克拉
列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的
n 阶行列式,即
a11 a1,j 1 b1 a1,j 1 a1n Dj . an1 an,j 1 bn an,j 1 ann
例 1 解线性方程组
2 x1 x2 5 x3 x4 8, x 3x 6 x4 9, 1 2 2 x2 x3 2 x4 5, x1 4 x2 7 x3 6 x4 0.
有非零解？
性方程组 (2) 有以下定理.
做齐次线性方程组(2)的非零解. 齐次线性方程
定理 2 如果齐次线性方程组(2)的系数行
列式 D 0 ,则齐次线性方程组(2)没有非零解. 即只有零解
定理 2′如果齐次线性方程组(2)有非零
解,则它的系数行列式必为零.
例 3 问 取何值时, 齐次线性方程组
(5 ) x 2 y 2 z 0, 2 x (6 ) y 0, 2 x (4 ) z 0
的系数行列式不等于零,即
(1)
a11 D a21 an1
a12 a22 an 2
a1n a2 n ann 0,
线性代数(克拉默法则线性方程组例题
线性代数（五）克拉默法则1.法则：的系数行列式不等于零，即，那么该方程组有唯一解。
是用非齐次项代替中第列元素后所得的行列式。
注意克拉默法则只适用于方程个数与未知量个数相等的情形。
定理4 如果线性方程组的系数行列式，则它一定有解，且解是唯一的。
逆否定理如果线性方程组无解或有多个不同的解，则它的系数行列式必为零。
（三）线性方程组—线性方程组的解如果有解，则称其为相容的，否则称为不相容的。
定理2 元齐次线性方程组（1）有唯一解，零解；（2）有非零解。
定理3（1）无解的充分必要条件是；（2）有唯一解的充分必要条件是；（3）有无穷多解的充分必要条件是基础解系齐次线性方程组为任意常数)，称通解式构成该齐次线性方程组的基础解系。
线性方程组的解法齐次线性方程组：将系数矩阵化成行阶梯形矩阵，判断是否有非零解.。
若有非零解，化成行最简形矩阵，写出其解；齐次线性方程组的基础解系含有的向量个数为，齐次线性方程组的通解可以表示成基础解系的“线性组合”。
非齐次线性方程组：将增广矩阵化成行阶梯形矩阵，判断其是否有解。
若有解，化成行最简形矩阵，写出其解；在求解过程中，一般取行最简形矩阵中非零行的第一个非零元对应的未知量为非自由基。
(为任意常数)，不带参数部分是非齐次方程组的一个解；带参数部分的两个向量构成对应齐次方程的基础解系。
（三）线性方程组解的结构1. 解齐次线性方程组：{x 1+2x 2+x 3−x 4＝03x 1+6x 2−x 3−3x 4＝05x 1+10x 2+x 3−5x 4＝01.解：A=(12136−15101 −1−3−5)r 2+(−3)r 1；r 3+(−5)r 1→ (12100−400−4 −100)r 3+(−1)r 2；r 2÷(−4)→ (121001000 −100)r 1+(−1)r 2→ (120001000 −100) R(A)=2，基础解系中含有4-2=2个解向量，同解方程组为{x 1=−2x 2+x 4x 3=0令x 2=1，x 4=0，则x 1=−2所以ξ1=(−2100)，令x 2=0，x 4=1，则x 1=1所以ξ2=(1001)，所以方程的基础解系：(x 1x 2x 3x 4)=c 1(−2100)+c 2(1001)2. 解非齐次线性方程组：{x 1+x 2−3x 3−x 4＝13x 1−x 2−3x 3+4x 4＝4x 1+5x 2−9x 3−8x 4＝02.解：对增广矩阵B 进行初等变换B=(11−33−1−315−9 −1144−80)r 2+(−3)r 1；r 3+(−1)r 1→ (11−30−4604−6 −1171−7−1)r 3+(−1)r 2；r 2÷(−4)→(11−301−32000 −11−74−1400)r 1+(−1)r 2→ (10−3201−32000 3454−74−1400) R(A)=R(A, b)=2，方程组有解，同解方程组为 {x 1=32x 3−34x 4+54x 2=32x 3+74x 4−14x 3=x 3x 4=x 4它的一个特解为η∗=( 54−1400)，（解释一下基础解系如何求解？求基础解系只需把原本的非齐次线性方程组看成齐次线性方程组，即{x 1+x 2−3x 3−x 4＝03x 1−x 2−3x 3+4x 4=0x 1+5x 2−9x 3−8x 4＝0）{x 1=32x 3−34x 4x 2=32x 3+74x 4x 3=x 3x 4=x 4基础解系为ξ1=( 323210) ，ξ2=( −347401)所以通解：(x 1x 2x 3x 4)=c 1( 323210) +c 2( −347401) +( 54−1400)。
线性代数课件1-7克拉默法则
克拉默法则也可以用来判断线性方程 组的解的情况，通过计算系数行列式 和常数项的乘积，可以判断方程组是 否有唯一解、无解或无穷多解。
VS
如果系数行列式不为零，则方程组有 唯一解；如果系数行列式为零但常数 项的乘积不为零，则方程组无解；如 果系数行列式为零且常数项的乘积为 零，则方程组有无穷多解。
解决实际问题的应用
克拉默法则可以用来解线性方程组，通过将方程组转化为行列式形式，然后利用行列式的性质进行求 解。
具体步骤包括将方程组整理成标准形式，计算系数行列式和常数项的乘积，然后求解每个未知数的值。
需要注意的是，克拉默法则只适用于线性方程组有唯一解的情况，对于无解或无穷多解的情况不适用。
判断线性方程组的解的情况
克拉默法则可以作为迭代解法的一种基础算法， 用于计算迭代过程中的系数矩阵和常数矩阵。
3
求解步骤
在迭代解法中，需要设定合适的迭代初值，然后 通过迭代公式不断逼近方程的解，直到达到预设 的精度要求。
05
克拉默法则的注意事项与 限制
系数矩阵的行列式必须不为零
克拉默法则要求系数矩阵的行列式不为零，否则该法则无法应用。这是因为行列式为零意味着矩阵是奇异的，此时线性方程 组可能无解或有无穷多解，克拉默法则不再适用。
线性代数课件1-7克 拉默法则
目录
• 克拉默法则概述 • 克拉默法则的推导过程 • 克拉默法则的应用实例 • 克拉默法则的扩展与推广 • 克拉默法则的注意事项与限制
01
克拉默法则概述
克拉默法则的定义
克拉默法则定义
克拉默法则是指对于线性方程组，如果系数行列式不为0，则方 程组有唯一解，且其解可以通过系数行列式与常数列的转置矩 阵的行列式之商来求解。
克拉默法则给出了线性方程组解的表达式，该表达式基于 系数矩阵的行列式值和代数余子式。通过计算这些值，可 以得到线性方程组的解。
克拉默法则求解方程组例题
克拉默法则求解方程组例题克拉默法则是一种用于求解线性方程组的方法。
对于一个含有n 个未知数和n个线性方程的方程组，可以使用克拉默法则来求解每个未知数的值。
假设方程组为：ax + by + cz + ... = dax + by + cz + ... = dax + by + cz + ... = d...an + bny + cnz + ... = dn首先，我们计算方程组的系数矩阵A的行列式值，记作D。
然后，对于每个未知数的系数矩阵A中的每一列，将该未知数的系数用方程组的常数列替换，得到新的矩阵。
再计算新矩阵的行列式值，记作D、D、D...。
最后，每个未知数的解就等于对应的D、D、D...值除以D 的值。
例如，考虑以下方程组：2x + 3y = 54x - 2y = 10首先，计算系数矩阵A的行列式值D：D = |2 3||4 -2|= (2 * -2) - (3 * 4) = -16然后，对于未知数x的系数矩阵A，将其用方程组的常数列替换：A = |5 3||10 -2|计算新矩阵A的行列式值D：D = (5 * -2) - (3 * 10) = -20未知数x的解为D除以D的值：x = D / D = -20 / -16 = 5 / 4 = 1.25同样地，对于未知数y的系数矩阵A，将其用方程组的常数列替换：A = |2 5||4 10|计算新矩阵A的行列式值D：D = (2 * 10) - (5 * 4) = 20 - 20 = 0未知数y的解为D除以D的值：y = D / D = 0 / -16 = 0因此，方程组的解为x = 1.25，y = 0。
克拉默法则的优点是可以直接得到每个未知数的解，但当方程组比较大时，计算行列式的值可能会变得很复杂，效率较低。
因此，对于大规模的线性方程组，其他求解方法可能更加实用。
线性代数1.6行列式按行(列)展开
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某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零。即
$D = a_{i1}A_{ j1} + a_{i2}A_{ j2} + ldots + a_{in}A_{ jn} = 0$，其中 $i neq j$。
行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和。即
$D = a_{i1}A_{i1} + a_{i2}A_{i2} + ldots + a_{in}A_{in}$ 或 $D = a_{1j}A_{1j} + a_{2j}A_{2j} + ldots + a_{nj}A_{nj}$。
行列式按行(列)展开的性质二
行列式中某一行（列）的所有元素都 乘以同一数 $k$，等于用数 $k$ 乘此 行列式。即：$D_1 = kD$。
行列式中如果有两行（列）元素成比 例，则此行列式等于零。
行列式按行(列)展开的性质三
若行列式中某一行（列）的所有元素 都是两数之和，则这个行列式可以拆 分为两个行列式的和，这两个行列式 分别由这两组数构成。
01
02
行列式是一个数值，由方阵中所 有元素的代数和计算得出。
03
行列式具有交换性质，即交换行 列式中两行（列）的位置，行列 式的值变号。
04
行列式按行(列)展开的意义
行列式按行（列）展开是计算行列式的 一种重要方法，特别是当行列式的阶数 较高时，直接计算往往比较困难，而按 行（列）展开可以简化计算过程。
行列式按行展开的步骤
01
1. 选择要展开的行（或列）。
02 2. 划去该元素所在的行和列，得到余子式。
03
《线性代数》克拉默法则
《线性代数》克拉默法则克拉默法则是线性代数中的一种重要方法，它可以用于解决线性方程组的问题。
克拉默法则基于行列式的概念，通过计算各个未知数对应的行列式值来求解方程组。
本文将详细介绍克拉默法则的概念、原理和应用，以及该方法的优缺点。
克拉默法则是由法国数学家克拉默于18世纪创立的，它通过计算系数矩阵的各个子行列式对应的行列式值来求解线性方程组。
设线性方程组为：a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2......an1x1 + an2x2 + ... + annxn = bn其中a11, a12, ..., ann为系数矩阵，b1, b2, ..., bn为常数向量，x1, x2, ..., xn为未知数向量。
则克拉默法则的求解步骤如下：1.计算系数矩阵的行列式值D：D=，a11a12 (1)a21a22...a2........an1 an2 ... an2.计算常数向量和第i列系数矩阵替换的行列式值Di：将第i列系数替换为常数向量，得到新的矩阵Ai，然后计算行列式值Di=，a'11a'12...a'1na'21a'22...a'2........a'n1 a'n2 ... a'n3. 计算未知数xi的值：未知数xi的值等于Di除以D的商，即xi= Di / D。
4.重复步骤2和步骤3，求解所有的未知数。
克拉默法则的优点是简单易懂，可以直接通过计算行列式的值来求解未知数的值，不需要进行矩阵的运算。
同时，克拉默法则适用于各种大小的方程组，不论是2x2的方程组还是nxn的方程组都可以使用该方法求解。
此外，克拉默法则也可以用于求解非线性方程组，只需要将非线性方程线性化后，再使用克拉默法则求解即可。
然而，克拉默法则也存在一些缺点。
首先，克拉默法则在实际应用中计算量较大，特别是当方程组的规模较大时，求解时间会显著增加。
线性代数-克拉默法则
3 1
4 11 6
4 1
=
67 2
,
0 D4 = 1
3 1
0 4 = 67, 1 11 6
1 −1 5 6 2
1 −1 −3 5 6
67
∴ x1 =
D1 = D
3= 67
1, 3
67
= x3
D=3 D
= 2 67
1, 2
x2
=
D2 D
=
0 67
=
0,
x4
=
D4 D
=
67 67
=
1.
例3 问 λ 取何值时，齐次方程组
定理 如果齐次线性方程组 (2) 有非零解,则它
的系数行列式必为零.
系数行列式 D = 0
a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn = 0
a21 x1 + a22 x2 + + a2n xn = 0
an1 x1 + an2 x2 + + ann xn = 0
有非零解.
例1 用克拉默法则解方程组
= (1 − λ )3 + 2(1 − λ )2 + λ − 3
齐次方程组有非零解，则 D = 0
所以 λ = 0,λ = 2 或 λ = 3时齐次方程组有非零解.
三、小结
1. 用克拉默法则解方程组的两个条件 (1)方程个数等于未知量个数; (2)系数行列式不等于零.
2. 克拉默法则建立了线性方程组的解和已知的系 数与常数项之间的关系.它主要适用于理论推导.
(1)
an1 x1 + an2 x2 + + ann xn = bn
线性代数(第五版)—克拉默法则
7 5 13 2 1 2 c1 2c2
7 7 12 c3 2c2
3 5 3 0 1 0 27 0
7 7 2
8 1 5 1 9 3 0 6 D1 5 2 1 2 0 4 7 6 81
2 8 5 1 1 9 0 6 D2 0 5 1 2 1 0 7 6 = 108
21 8 1 1 3 9 6 D3 0 2 5 2 14 0 6 27
a1n a2n 0
an1 an2
ann
那么线性方程组(1)有解并且解是唯一的，解可以表示成
x1
D1 D
,
x2
D2 D
,
x3
D2 D
,
, xn
Dn D
.
(2)
其中D是j 把系数行列式 中D第 列j的元素用方程组右端的常数
项代替后所得到的 阶n行列式，即
a11
a1, j1 b1 a1, j1
a1n
Dj
思考题
当线性方程组的系数行列式为零时，能否用克拉默法则 解方程组？为什么？此时方程组的解为何？
答：当线性方程组的系数行列式为零时，不能用克拉默法 则解方程组，因为此时方程组的解为无解或有无穷多解.
三、小结
1. 用克拉默法则解线性方程组的两个条件 (1)方程个数等于未知量个数； (2)系数行列式不等于零. 2. 克拉默法则的意义主要在于建立了线性方程组的解 和已知的系数以及常数项之间的关系．它主要适用于 理论推导．
定理5 如果齐次线性方程组的系数行列式 D，则0 齐次
线性方程组只有零解，没有非零解.
定理5′ 如果齐次线性方程组有非零解,则它的系数行列式必为 零.
备注 1. 这两个结论说明系数行列式等于零是齐次线性方程组有非
线性代数练习册第四章习题及答案（本）
线性代数练习册第四章习题及答案（本）第四章线性方程组§4-1 克拉默法则一、选择题1．下列说法正确的是（ C ）A.n 元齐次线性方程组必有n 组解；B.n 元齐次线性方程组必有1n -组解；C.n 元齐次线性方程组至少有一组解，即零解；D.n 元齐次线性方程组除了零解外，再也没有其他解. 2．下列说法错误的是（ B ）A.当0D ≠时，非齐次线性方程组只有唯一解；B.当0D ≠时，非齐次线性方程组有无穷多解；C.若非齐次线性方程组至少有两个不同的解，则0D =；D.若非齐次线性方程组有无解，则0D =. 二、填空题1．已知齐次线性方程组1231231230020x x x x x x x x x λμμ++=??++=??++=?有非零解，则λ= 1 ，μ= 0 .2．由克拉默法则可知，如果非齐次线性方程组的系数行列式0D ≠, 则方程组有唯一解i x =i D D.三、用克拉默法则求解下列方程组1．832623x y x y +=??+=?解：832062D ==-≠123532D ==-，2821263D ==-所以，125,62D D x y D D ====-2．123123123231x x x x x x ?+-=??-+-=?解：2131121121221303550111010r r D r r ---=--=-≠+--- 1122210511321135011011D r r ---=-+-=---，212121505213221310101101D r r --=-+-=-----，31212250021122115110110D r r --=+=---所以， 3121231,2,1D D D x x x DDD======3．21241832x z x y z x y z -=??+-=??-++=?解：132010012412041200183583D c c --=-+-=≠-13110110014114020283285D c c -=-+=，2322112102112100123125D c c -=-+=--，31320101241204120182582D c c =-=--所以， 3121,0,1D D D x y z DDD======4．1234123412341234242235232110x x x x x x x x x x x x ?+-+=-??---=-??+++=?解：21314121311111111112140123223150537331211 2181231235537013814222180514r r D r r r r r r r r ---=------------+=----=-+---321421232511151110222142251823152352811012110105110010525182733214210252823522c c D c c c c c c --------=----------+=-----=----21231411323151115111214072322215012373302111518723230132123733031284315181518r r D r r r r r r r r -----= --------------=----=------12342213111512151031224522182325111132283101101002510200251521852974265211228115127c c D c c c c c c -------=---------+=-----=----12432322111152115312125252223121135231201021521555250271425115264c c D c c r r r r --------=----------+=----=---所以， 312412341,2,3,1D D D D x x x x DDDD========-§4-2 齐次线性方程组一、选择题1．已知m n ?矩阵A 的秩为1n -，12,αα是齐次线性方程组0AX = 的两个不同的解，k 为任意常数，则方程组0AX =的通解为（ D ）.A.1k α；B.2k α；C.12()k αα+；D.12()k αα-.解：因为m n ?矩阵A 的秩为1n -，所以方程组0AX =的基础解系含1个向量。
线性代数 克拉默法则 专题
5 2 2 D 2 6 0 (5)(6)(4)4(4)4(6)
2 0 4
(5)(2)(8) 由D0 得2、5或8.
当2、5或8时 齐次线性方程组有非零解.
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铃
❖定理5 如果齐次线性方程组(＊＊)的系数行列式D0 则齐次线
性方程组(＊＊)没有非零解. ❖定理5
如果齐次线性方程组(＊＊)有非零解 则它的系数行列式 必为零.
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铃
例3 问取何值时 齐次线性方程组
有非零解?
(52)xx
2y
(6 ) y
2z 0 0
2x
(4)z 0
解 若所给齐次线性方程组有非零解 则其系数行列式 D0. 而
8 27
18
1 3 16 64
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例2 设曲线ya0a1xa2x2a3x3通过四点(1 3)、(2 4)、 (3 3)、(4 3) 求系数a0 a1 a2 a3 .
解 把四个点的坐标代入曲线方程 得线性方程组
因为
a0 a1 a2 a3 3
aaa000
2a1 3a1 4a1
4a2 9a2 16a2
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克拉默法则 如果线性方程组的系数行列式D不等于零 则方 程组有唯一解xjDj/D(j1 2 n).
2x1 x2 5x3 x4 8
例1
解线性方程组
x1 x1
3x2 x2
4x2
x3 7x3
6x4 2x4 6x4
9 5
.
0
克拉默法则及习题课
例２解
解 设 D5中第1,2,3,4,5行的元素分别为a1 p1 , a2 p2 , a3 p3 , a4 p4 , a5 p5 , 那么，由D5中第1,2,3,4,5行可能 的非零元素分别得到
p1 2,3;
p 1,2,3,4,5; 2
p3 1,2,3,4,5;
典型例题
典型例题
一、计算排列的逆序数 二、计算（证明）行列式 三、克拉默法则
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一、计算排列的逆序数 （例１）
一、计算排列的逆序数
例１ 求排列 2k12k 122k 232k 3
k 1k 的逆序数,并讨论奇偶性.
解 2k排在首位,故逆序数为0; 1的前面比1大的数有一个(2k ), 故逆序数为1; (2k 1)的前面比(2k 1)大的数有一个(2k),故
§7 克拉默（克莱姆）法则
一、克拉默法则
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1
若线性方程组
a21 x1 a22 x2 a2n xn b2
(8)
an1 x1 an2 x2 ann xn bn
的系数行列式不等于零，即
a11 a12 a1n
D
a21
a22
cd bd ad
把上面右端行列式第2行加到第1行，再从第1行
中提取公因子a b c d，得
D４ (a b c d )(a b c d ) 110
• dc ac bc, cd bd ad
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再将第2列减去第1列，得 D4 (a b c d )(a b c d )
5 2 2 D 2 6 0
2 0 4
5 6 4 44 46
新版线性代数1-2章练习和参考答案
；
10.设 A = ( a ij ) 3×3 ， | A |= 2, Aij 表示 | A | 中元素 a ij 的代数余子式 (i, j = 1,2,3) ，则
( a11 A21 + a12 A22 + a13 A23 ) 2 + (a 21 A21 + a 22 A22 + a 23 A23 ) 2 + ( a 31 A21 + a 32 A22 + a 33 A23 ) 2 =
R ( A) _____ R ( B) ；
3.设一个 m × n 齐次线性方程组的系数矩阵为 A ，那么该方程组有无穷多个解的充分 必要条件是_______________；仅有零解的充分必要条件是 ；
x1 + 2 x 2 + x3 = 1 ⎧ ⎪ 4.已知方程 ⎨2 x1 + 3 x 2 + ( a + 2) x3 = 3 无解，则 a = ⎪ x + ax − 2 x = 4 1 2 3 ⎩
；
1 0 2 4 −1 x 3.行列式 2 2 −1 1 5 −2
；
4.设有行列式 D =
a1 − b1 a 2 − b1 # a n − b1
a1 − b2 " a1 − bn a 2 − b2 " a 2 − bn ，当 n = 1 时， D = # % # a n − b2 " a n − bn
⎧ λx1 + x 2 + x3 = 1 ⎪ 三、 λ 取何值时，非齐次线性方程组 ⎨ x1 + λx 2 + x3 = λ ⎪ x + x + λx = λ2 2 3 ⎩ 1
1.有唯一解；2.无解；3.有无穷多个解.
线性代数-克拉默法则
克拉默法则先复习在前面得出以下结论：{a11x1+a12x2=b1a21x1+a22x2=b2当系数行列式D=|a11a12a21a22|≠0方程组有解：x1=|b1a12b2a22||a11a12a21a22|=D1Dx2=|a11b1a21b2||a11a12a21a22|=D2D那么：{a11x1+a12x2+a13x3=b1a21x1+a22x2+a23x3=b2 a31x1+a32x2+a33x3=b3当系数行列式D=|a11a12a13a21a22a23a31a32a33|≠0，方程组有解：x1=|b1a12a13b2a22a23b3a32a33||a11a12a13a21a22a23a31a32a33|x2=|a11b1a13a21b2a23a31b3a33||a11a12a13a21a22a23a31a32a33|x3=|a11a12b1a21a22b2a31a32b3||a11a12a13a21a22a23a31a32a33|本节要将以上结论推广到含有n个未知数的线性方程组。
设有n个未知数工x1，x2，⋯x n，的n个线性方程的方程组：{a11x1+a12x2+⋯+a1n x n=b1a21x1+a22x2+⋯+a2n x n=b2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯a n1x1+a n2x2+⋯+a nn x n=b n可表示为：Ax=b其中系数为A，未知数为x，常量为b。
克拉默法则（Cramer’s Rule）如果线性方程组Ax=b的系数行列式不等于零：{a11x1+a12x2+⋯+a1n x n=b1a21x1+a22x2+⋯+a2n x n=b2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯a n1x1+a n2x2+⋯+a nn x n=b n，|A|=|a11a12a21a22⋯a1n⋯a2n⋯⋯a n1a n2⋯⋯⋯a nn|≠0则线性方程组Ax=b有唯一解：x1=|A1||A|，x2=|A2||A|，⋯，x n=|A n||A|其中A j是把A中的第j列的元素用方程组右端的常数项代替后得到的矩阵：|A j|=|a11⋯a1，j−1b1a21⋯a n1⋯⋯⋯a2，j−1⋯a2，j+1b2⋯b na1，j+1⋯a1na2，j+1⋯an，j+1⋯⋯⋯a2n⋯a nn|(j=1，2，⋯，n)注意：|A j |=|a 11⋯a 1j−1b 1a21⋯a n1⋯⋯⋯a 2j−1⋯a 2j+1b 2⋯b na 1j+1⋯a 1n a 2j+1⋯a nj+1⋯⋯⋯a 2n ⋯a nn| |A |=|a 11a 12a21a 22⋯a 1n ⋯a 2n⋯⋯a n1a n2⋯⋯⋯a nn|按第j 列展开 =b 1A j +b 2A 2j +⋯+b n A nj其中A ij 是|A |的第j 列元素的代数余子式。
线性代数克拉默法则
线性代数克拉默法则线性代数是数学中的一个重要分支，它研究了向量空间和线性映射的性质。
克拉默法则是线性代数中的一个重要定理，它可以用来求解线性方程组的解。
本文将介绍克拉默法则的基本概念，以及如何应用克拉默法则来求解线性方程组。
首先，让我们来回顾一下线性方程组的基本概念。
一个线性方程组可以写成如下形式：a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1。
a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2。
...am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = bm。
其中，aij和bi（i=1,2,...,m；j=1,2,...,n）是已知的常数，x1,x2,...,xn是未知数。
线性方程组的解就是一组满足所有方程的未知数的取值。
现在，让我们来介绍克拉默法则。
假设有一个n元线性方程组，它的系数矩阵为A，常数矩阵为B。
如果系数矩阵A的行列式不为0，那么这个线性方程组有唯一解，可以用克拉默法则来求解。
克拉默法则的表达式如下：xi = det(Ai) / det(A)。
其中，xi是线性方程组的解中第i个未知数的值，det(Ai)是将系数矩阵A的第i列替换为常数矩阵B后的矩阵A的行列式，det(A)是系数矩阵A的行列式。
接下来，让我们通过一个例子来说明如何应用克拉默法则来求解线性方程组。
考虑如下的线性方程组：2x + y = 5。
x 3y = -2。
首先，我们可以写出系数矩阵A和常数矩阵B：A = | 2 1 |。
| 1 -3 |。
B = | 5 |。
| -2|。
然后，我们计算系数矩阵A的行列式det(A)：det(A) = 2(-3) 11 = -6 1 = -7。
接下来，我们分别计算将系数矩阵A的第一列和第二列替换为常数矩阵B后的行列式det(A1)和det(A2)：det(A1) = | 5 1 | = 5(-3) 1(-2) = -15 + 2 = -13。
| -2 -3 |。
克拉默练习题
克拉默练习题克拉默法则是一种用于求解线性方程组的数学方法，由名为格布尔·克拉默的数学家提出。
该方法适用于方程组的系数矩阵满足一定条件的情况。
在本篇文章中，我将介绍克拉默法则的基本原理，并通过练习题来帮助读者理解和应用该方法。
1. 克拉默法则的基本原理克拉默法则是一种基于行列式的求解线性方程组的方法。
对于一个包含n个未知数和n个方程的线性方程组，可以用矩阵形式表示为AX = B，其中A是系数矩阵，X是未知数向量，B是常数向量。
如果A的行列式不等于零，即|A| ≠ 0，则方程组存在唯一解，且可以通过克拉默法则求解。
2. 克拉默法则的步骤（1）计算系数矩阵A的行列式|A|。
（2）计算替换系数矩阵A的第i列为常数向量B后得到的矩阵Ai 的行列式|Ai|，其中i为未知数的索引值（1 ≤ i ≤ n）。
（3）未知数Xi的值等于|Ai|除以|A|，即Xi = |Ai|/|A|。
3. 练习题为了更好地理解和应用克拉默法则，我们来解决以下练习题：已知线性方程组：2x + 3y = 84x - 5y = 3（1）计算系数矩阵A的行列式|A|：A = |2, 3||4, -5||A| = (2 × -5) - (3 × 4) = -10 - 12 = -22（2）计算替换系数矩阵A的第1列为常数向量B后得到的矩阵A1的行列式|A1|：A1 = |8, 3||3, -5||A1| = (8 × -5) - (3 × 3) = -40 - 9 = -49（3）计算替换系数矩阵A的第2列为常数向量B后得到的矩阵A2的行列式|A2|：A2 = |2, 8||4, 3||A2| = (2 × 3) - (8 × 4) = 6 - 32 = -26根据克拉默法则，未知数x和y的值分别为：x = |A1|/|A| = -49/-22 ≈ 2.227y = |A2|/|A| = -26/-22 ≈ 1.182因此，原线性方程组的解为x ≈ 2.227，y ≈ 1.182。
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b1 a1, j1 a1n bn an, j1 ann
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§1.6 克拉默法则
x1 x2 x3 1
例1.
求解
x1 2 x2 x3 x4 8 2 x1 x2 3x4 3
3x1 3x2 5x3 6 x4 5
ex
:
k为
何
值,
kx1
x2
4 x3
0
, 有非零解.
4 x1 x2 x3 0
2k 3 解 : D k 1 4 0
4 1 1
k 2, k 11
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§1.6 克拉默法则
内容小结
1.用克拉默法则解方程组的两个条件 (1)方程个数等于未知量个数; (2)系数行列式不等于零.
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(1)
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§1.6 克拉默法则
则方程组有唯一解,其解为:
x1
D1 , D
x2
D2 , D
x3
D2 D
,
, xn
Dn D
.
其中Dj 是把系数行列式 D 中第 j 列的元素用方程 组右端的常数项代替后所得到的 n阶行列式，即
a11 a1, j1 Dj
1.若常数项b1,b2 , ,bm不全为零,
则称此方程组为非齐次线性方程组;
2.若常数项b1, b2, ,bm 全为零,
此时称方程组为齐次线性方程组.
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§1.6 克拉默法则
二、克拉默法则
定理1（克拉默法则） 如果线性方程组
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1
a21
x1
a22 x2
a2n xn b2
an1x1 an2 x2 ann xn bn
的系数行列式不等于零，即
a11 a12 a1n D a21 a22 a2n 0
an1 an2 ann
第一章 行列式
§1.6 克拉默法则
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§1.6 克拉默法则
一、线性方程组的基本概念
a11x1 a12 x2 a1n xn b1
设线性方程组
a21x1
a22 x2
a2n xn
b2
am1x1 am2 x2 amnxn bm
a21x1
a22 x2
a2n xn
0
(2)
an1x1 an2 x2 ann xn 0
x1 = x2 = … = xn = 0 一定是它的解，这个解叫做
齐次线性方程组的零解.
如果一组不全为零的数是 (2) 的解，则它叫做 齐次线性方程组的非零解. 注：齐次线性方程组一定有零解，但不一定有非零解.
111 0 10 0 0
解：D
1 2
2 1
1 0
1 3
1 2
10 3 2
1 3
3 3 5 6 3 0 2 6
1 3
0
0 2 2
1 1 3 3 6 0
0 2 2
0 6 6
2 2
6 24 0 6
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§1.6 克拉默法则
则齐次线性方程组(2)没有非零解.
定理4 如果齐次线性方程组(2)有非零解,则它的系数 行列式必为零.
定理3的逆否定理
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§1.6 克拉默法则
例2.a为何值, axx1 1axx22
x3 x3
0 0,
仅有零解.
x1 x2 ax3 0
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§1.6 克拉默法则
x1 2 x2 22 x3 1 ex : 求解x1 3x2 32 x3 1
x1
4 x2
42
x3
1
1 2 22 1 1 1
解： D 1 3 32 2 3 4
1 4 42 22 32 42
3 24 24 3 2 0
D1 2
D2 D3 0
x1 1 x2 0 x3 0线性代数首页源自上一页 下一页返回
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§1.6 克拉默法则
定理2 如果线性方程组(1)无解或有两个不同的 解，则它的系数行列式必为零.
定理1的逆否定理
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§1.6 克拉默法则
a11 x1 a12 x2 a1n xn 0
11 1 0
8 2 1 1 D1 3 1 0 3 24
5 3 5 6
11 1 0
D2
1 2
8 3
1 0
1 3 120
D3 120 D4 48
3 5 5 6
x1
D1 D
81 27
1
x3
D3 D
5
x2
D2 D
5
x4
D4 D
2
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a11
111
解 : D 1 a 1 (2 a)1 a 1
11a
11a
11
1
(2 a) 0 a 1 0 (2 a)(a 1)2
0 0 a1
D 0 即a 2 且 a 1
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§1.6 克拉默法则
2 x1 kx2 3x3 0
2.克拉默法则建立了线性方程组的解和已知的系 数与常数项之间的关系.它主要适用于理论推导.
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作业
习题一（P25）：
8(1); 10
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§1.6 克拉默法则
a11 x1 a12 x2 a1n xn 0
a21 x1
a22 x2
a2n xn
0
(2)
an1x1 an2 x2 ann xn 0
定理3 如果齐次线性方程组(2)的系数行列式D 0