角平分线的性质及判定 角平分线的应用
角平分线的性质与判定的应用
证明 （1）∵ 点E在∠BOA的平分线上， EC⊥AO，ED⊥OB ， ∴ ED =EC. ∴ △EDC 是个等腰三角形. ∴ ∠ECD=∠EDC. （2）在Rt△OED和Rt△OEC中， ∵ OE= OE， ED = EC， ∴ Rt△OED≌Rt△OEC(HL). ∴ OD=OC.
2. 如图，在△ABC 中，AD⊥DE，BE⊥DE，AC， BC 分别平分∠BAD，∠ABE，点C在线段DE上. 求证：AB=AD+BE. 证明 作CM⊥AB于点M. ∵ AC，BC 分别平分∠BAD，∠ABE， M ∴ CD = CM，CE = CM.
本课内容 本节内容 1.4
角平分线的性质
动脑筋
如图1-29， 已知EF⊥CD，EF⊥AB，MN⊥AC，M 是EF 的中点. 需添加一个什么条件， 就可使CM，AM 分别为∠ACD和∠CAB的平分线呢？
图1-29
可以添加条件MN =ME （或MN =MF）. ∵ ME⊥CD， MN⊥CA， ∴ M在∠ACD的平分线上，即CM是∠ACD的平分线. 同理可得AM是∠CAB的平分线.
角平分线
角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上
1. “斜边、直角边定理” 是判定两个直角三角形全等所 独有的，在运用该判定定理时，要注意全等的前提条 件是两个直角三角形. 2. 要注意本章中的互逆命题，如直角三角形的性质和判 定定理，勾股定理及其逆定理，角平分线的性质定理 及其逆定理等，它们都是互为逆命题.
3. 勾股定理及其逆定理都体现了数形结合的思想. 勾股定 理体现了由形到数，而勾股定理的逆定理是用代数方 法来研究几何问题，体现了由数到形.
结
束
图1-29
例2 如图1-30，在△ABC 的外角∠DAC 的平分线上任取 一点P，作PE⊥DB， PF⊥AC， 垂足分别为点E，F. 试探索BE + PF与PB的大小关系.
初一数学：角平分线(含解析)
5角平分线知识互联网板块一角平分线的性质与判定知识导航角平分线的性质与判定：⑴定义：把一个角分成两个相等的角的射线叫做角的平分线．⑵角平分线的性质定理：如果一条射线是一个角的平分线，那么它把这个角分成两个相等的角．在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等．⑶角平分线的判定定理12如果一条射线的端点与角的顶点重合，且把一个角分成两个等角，那么这条射线是这个角的平分线；在角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上．夯实基础【例1】⑴证明：三角形三个角的角平分线交于一点．⑵已知：如图，ABC △的两条外角平分线交于点P ．求证：PB 平分ABC ∠．BAP【解析】⑴如图，在ABC △中，设BAC ABC ∠∠、的平分线的交点为I ，过I 点作ID AB ⊥于D ，IE AC ⊥于E ，IF BC ⊥于F ，连接IC ．∵AI BI 、都是角平分线，∴ID IE =，ID IF =，∴IE IF =，∴IC 是ACB ∠的平分线，∴三角形三个角的平分线交于一点．这一点称之为三角形的内心，常用大写字母I 来表示，三角形的内心到三角形三条边的距离相等，它是三角形内切圆的圆心．⑵如图，过P 作PM BA ⊥于M ，PN AC ⊥于N ，PQ BC⊥于Q ．由角平分线的性质定理，易证PM PN =，PN PQ =，故PM PQ =，因此根据角平分线的判定定理，PB 平分ABC ∠，得证．这一点称之为三角形的旁心，三角形的旁心到三角形三条边的距离相等，它是三角形旁切圆的圆心．旁心有3个．【例2】如图，点C 为线段AB 上一点，ACM △、CBN △是等边三角形．请你证明：CF 平分AFB ∠．M D NEC BFAGM H D NEC BF AI FE DCB ANMC B AQ P3【解析】过点C 作CG AN ⊥于G ，CH BM ⊥于H ，由ACN MCB △≌△，利用AAS 进而再证BCH NCG △≌△，可得AFC BFC ∠=∠，故CF 平分AFB ∠．【点评】此图在前面的学习中做过介绍，老师可以先带着学生简单复习一下相关结论。
第3节 角平分线的性质及应用
第三节角平分线的性质及应用一、课标导航二、核心纲要1．角平分线的性质定理角的平分线上的点到角的两边的距离相等．如下左图所示：∵OC平分∠AOB，CD⊥OA，CE⊥OB，∴CD=CE．注：考查点到线的距离相等时，可以考虑角平分线的性质．2．角平分线的判定定理到角的两边距离相等的点在角的平分线上．如下中图所示：∵CD⊥OA，CE⊥OB，CD=CE,∴OC平分∠AO B．注：用来证明一条线是一个角的平分线．3．角平分线的画法如下右图所示，已知：∠AO B．作法；（1）以O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于点M，交OB于点N．（2）分别以M、N为圆心，大于12MN的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部交于点C．（3）作射线O C．∴射线OC即为所求．4.三角形的角平分线三角形的三个内角的角平分线交于一点，且到三边的距离相等．5.与角平分线有关的辅助线模型（1）在角的平分线上取一点向角的两边作垂线．（点垂线，垂两边，线等全等都出现）如下左图所示，过点C作CD⊥OA，CE⊥OB，则CD=CE，△OCD≌△OCE．（2）在角两边截取相等的线段，构造全等三角形．（角分线，分两边，对称全等要记全）如下图所示:在OA、OB上分别截取OD=OE，连接CD、CE，则△OCD≌△OCE．（3）角平分线+垂线，全等必出现．如下右图所示：延长DC交OB于点E，则△OCD≌△OCE．本节重点讲解：两个定理，两个作法（角平分线的作法和与角平分线有关的辅助线）．三、全能突破基础演练1．如图12-3-1所示，OA是∠BAC的平分线，OM⊥AC于点M，ON⊥AB于点N，若ON=8cm，则OM长为（）．A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm2．如图12-3-2所示，OP平分∠AOB，P A⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A、B．下列结论中不一定成立的是（）A．P A=PB B．PO平分∠APB C．OA=OB D．AB垂直平分OP 3．如图12-3-3所示，AD是△ABC的角平分线，且AB：AC=3：2，则△ABD与△ACD的面积之比为（）．A．3:2 B．9：4 C．2：3 D．4：94．如图12-3-4所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是∠ABC的平分线，交AC于点D，若CD=n，AB=m，则△ABD的面积是．5．如图12-3-5所示，BD是∠ABC的平分线，AB=CB，点P在BD的延长线上，PM⊥AD，PN ⊥CD，垂足分别是点M、N，求证：PM=PN．6．如图12-3-6所示，在四边形ABCD中，BC＞AB，AD=DC，DF⊥BC，BD平分∠AB C．（1）求证：∠BAD+∠BCD=180°．（2）若DF=3，BF=6，求四边形ABCD的面积．7．如图12-3-7所示，D、E、F分别是△ABC的三边上的点，CE=BF，△DCE和△DBF的面积相等，求证：AD平分∠BA C．能力提升8．如图12-3-8所示，∠AOB和一条定长线段a，在∠AOB内找一点P，使点P到OA、OB的距离都等于a，作法如下：（1）作OB的垂线NH，使NH=a，点H为垂足；（2）过点N作NM∥OB；（3）作∠AOB的平分线OP，与NM交于点P；（4）点P即为所求．其中（3）的依据是（）．A．平行线之间的距离处处相等B．到角的两边距离相等的点在角的平分线上C．角的平分线上的点到角的两边的距离相等D．到线段的两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上9．如图12-3-9所示，在△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是R、S．若AQ=PQ，PR=PS，QD⊥AP，下列结论：①AS=AR；②AP平分∠BAC；③△BRP≌△CSP；④PQ∥AR．其中正确的是（）．A．①③B．②③C．①②④D．①②③④10．如图12-3-10所示，直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（）处．A．1 B．2 C．3D．411．如图12-3-11所示，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，BE⊥AD交AC 的延长线于F，E为垂足．则结论：①AD=BF；②CF=CD；③AC+CD=AB；④BE=CF；⑤BF=2BE，其中正确结论的个数是（）．A．1 B．2 C．3 D．412．如图12-3-12所示，已知AB平行CD，∠CAB，∠ACD的平分线交于点O，OE⊥AC，且OE=2，则两平行线AB、CD之间的距离等于．13．（1）如图12-3-13所示，△ABC的三边AB、BC、CA长分别是20、30、40，三条角平分线将△ABC分成三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于．（2）如图12-3-14所示，已知△ABC的周长是18cm，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD ⊥BC于点D，若△ABC的面积为54cm2，则OD= ．14．如图12-3-15所示，∠B=∠C=90°，M是BC中点，AM平分∠DAB，求证：DM平分∠AD C．15．如图12-3-16所示，在河中有座水文观测台O，它到河岸以及河上大桥AB的距离相等，一水文数据记录员站在台上，发现桥上有辆漂亮的彩车，从桥头A走到桥头B，问记录员的视线转过多大角度？16．如图12-3-17所示，在△ABC中，PB、PC分别是△ABC的外角的平分线，求证：∠1=∠2．17．已知，如图12-3-18所示，在△ABC和△DCE中，BC=AC，DC=EC，∠ACB=∠DCE，B、C、E三点在一条直线上，A、B、C、D、E、F、G、O为“公交停靠点”，甲公共汽车从A站出发，按照A、F、G、E、C、F的顺序达到F站，乙公共汽车从B哦出发，按照BOFDGDF的顺序达到F站，（1）如果甲乙两公共汽车分别从AB站出发，在各站耽误的时间相同，两车的速度也相同，试问哪一辆公共汽车先达到指定站点？为什么？（2）求证：①∠AFB=∠CDE；②CF平分∠BFE．18．如图12-3-19所示，在△ABC中，BD是∠ABC的平分线，AD⊥BD，垂足为点D，（1）求证：∠2=∠1+∠C；（2）若ED∥BC，∠ABD=28°，求∠ADE的度数．19．如图12-3-20所示，在△ABC中，AB＞AC，∠1=∠2，P为AD上任意一点．求证：AB－AC＞PB-P C．20．如图12-3-21所示，在△ABC中，AD是∠BAC的外角平分线，P是AD上异于点A的任意一点，试比较PB+PC与AB+AC的大小，并说明理由．中考链接21．（2011·浙江衢州）如图12-3-22所示，OP平分∠MON，P A⊥ON于点A，点Q是射线OM 上的一个动点，若P A=2，则PQ的最小值为（）．A．1 B．2 C．3 D．422．(2010·青海西宁)八（1）班同学上数学活动课，利用角尺平分一个角（如图12-3-23所示）设计了如下方案：（I）∠AOB是一个任意角，将角尺的直角顶点P介于射线OA、OB之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与M、N重合，即PM=PN，过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线．（II）∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM=ON，将角尺的直角顶点P介于射线OA、OB之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与M、N重合，即PM=PN，过角尺顶点P 的射线OP就是∠AOB的平分线．（1）方案（I）、方案（II）是否可行？若可行，请证明；若不可行，请说明理由．（2）在方案（I）PM=PN的情况下，继续移动角尺，同时使PM⊥OA，PN⊥O B．此方案是否可行？请说明理由．巅峰突破23．如图12-3-24所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=60°，∠ACB的平分线与∠ABC 的外角平分线交于点E，则∠AEB=（）．A．50° B．45° C．40°D．35°24．如图12-3-25所示，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D是AC上一点，且AE垂直BD的延长线于E，AE=12BD，求证：BD是∠ABC的平分线．。
[数学]-必考点05 角平分线的性质与判定-【题型·技巧培优系列】2022-2023学年八年级数学上
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11．（2021秋•朝阳期中）在△ABC中，D是BC边上的点（不与点B、C重合），连接AD．
（1）如图1，当点D是BC边上的中点时，S△ABD：S△ACD＝；
（2）如图2，当AD是∠BAC的平分线时，若AB＝m，AC＝n，求S△ABD：S△ACD的值（用含m，n的代数式表示）；
③∠BAC＝2∠BPC；④S△PAC＝S△MAP+S△NCP．其中正确结论序号是．
7．（2021秋•松桃县期末）如图：已知BD＝CD，BF⊥AC，CE⊥AB，求证：点D在∠BAC的平分线上．
◆◆题型三角的平分线的性质与判定的综合应用
8．（2021秋•鹿邑县月考）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与△ABC的外角∠ACE的平分线交于点P，PD⊥AC于点D，PH⊥BA，交BA的延长线于点H．
（3）如图3，AD平分∠BAC，延长AD到E，使得AD＝DE，连接BE，如果AC＝2，AB＝4，S△BDE＝6，那么S△ABC＝．
1．（2022春•六盘水期末）如图，BD为∠ABC的角平分线，DE⊥BC于点E，AB＝5，DE＝2，则△ABD的面积是（ ）
A．5B．7C．7.5D．10
2．（2022•雁塔区模拟）如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠BCD，AD过点P且与AB垂直．若AD＝8，BC＝10，则△BCP的面积为（ ）
A．△ABC三条高线的交点处
B．△ABC三条中线的交点处
C．△ABC三条角平分线的交点处
D．△ABC三边垂直平分线的交点处
【例题20】（2022春•兰州期末）某镇要在三条公路围成的一块三角形平地内修建一个砂石场，如图，要使这个砂石场到三条公路的距离相等，则可供选择的地址（ ）
A．仅有一处B．有四处C．有七处D．有无数处
三角形的角平分线性质
三角形的角平分线性质三角形是几何学中重要的图形之一，它由三条边和三个内角组成。
其中，角平分线是指从一个角的顶点出发，将该角分成两个相等的角的线段。
角平分线在三角形中具有一些特殊的性质和应用。
本文将探讨三角形的角平分线性质，帮助读者更好地理解和运用。
1. 角平分线的定义角平分线是源于一个角的顶点，将该角分成两个相等的角的线段。
在三角形中，每个内角都有一条平分线，且这些平分线相互交于一个点，称为三角形的内心。
三角形的内心是角平分线的交点，它与三角形的三个顶点的连线相交于三条边的中点。
2. 角平分线的性质（1）内角的平分线相互垂直。
对于任意一个三角形，任意一个内角的平分线与另外两个内角的外角的平分线相互垂直。
（2）角平分线分割对边成比例。
对于任意一个三角形，角平分线将对边分割成两个部分，它们的比例等于另外两个边的比例。
（3）角平分线长度关系。
对于任意一个三角形，角平分线的长度与与之对应的边的长度的比例相等。
即如果一个角的两个平分线分别与该角两边相交于点L和M，那么AL/BL=AM/BM。
（4）角平分线的外角等于直角。
对于任意一个三角形，角平分线的外角等于直角，也就是说，角平分线和对边构成的外角为90度。
3. 角平分线的应用（1）三角形的内心是角平分线的交点，它是三角形内接圆的圆心。
内接圆是与三角形的三条边都相切的圆。
（2）角平分线的性质可以用于解决一些与三角形相关的问题，例如角平分线定理、角平分线长度的计算以及面积的求解等。
（3）角平分线的长度关系可以应用于相似三角形的求解中，求解未知边长或角度大小等。
总结：三角形的角平分线是将一个角分成两个相等的角的线段。
角平分线具有垂直关系、对边成比例、长度关系等性质。
角平分线的应用包括解决与三角形相关的问题、内接圆的构造以及相似三角形的求解等。
通过深入研究和理解角平分线的性质，我们能够更好地应用它们解决实际问题，在几何学中发挥重要作用。
图形的角平分线
图形的角平分线角平分线是一条从角的顶点出发的线段，将角等分为两个相等的部分。
它在数学和几何中有着重要的应用和性质。
本文将详细介绍图形的角平分线及其相关性质。
一、角平分线的定义及性质角平分线是指从一个角的顶点出发，将这个角等分成两个相等的角的线段。
角平分线具有以下性质：1. 角平分线与角的边相交，将角分成两个相等的角。
2. 角平分线与角的对边垂直相交。
3. 当一个角的两条边上的点到另一边的距离相等时，这个点就是角的平分线上的点。
二、三角形的角平分线在三角形中，角平分线具有一些特殊性质，如下所示：1. 内角平分线：从一个内角的顶点出发，将这个内角等分成两个相等的角的线段。
三角形的三个内角的角平分线会相交于一个点，被称为内心，内心到三角形的各个顶点的距离相等。
2. 外角平分线：从一个外角的顶点出发，将这个外角等分成两个相等的角的线段。
三角形的三个外角的角平分线被称为三角形的外心，外心到三角形的顶点的距离相等。
3. 中心角平分线：从一个中心角的顶点出发，将这个中心角等分成两个相等的角的线段。
三角形的三个中心角的角平分线相交于一个点，被称为三角形的外接圆心，外接圆心到三角形的各个顶点的距离相等。
三、四边形的角平分线除了三角形，四边形的角平分线也具有一些特殊性质，如下所示：1. 对角线的角平分线：四边形的对角线的交点到四边形的各个顶点的距离相等。
2. 长方形的角平分线：长方形的角平分线是垂直平分线，将角等分为两个相等的直角。
3. 正方形的角平分线：正方形的角平分线具有特殊性质，将角等分为两个相等的直角。
四、其他除了三角形和四边形之外，其他一些图形也存在角平分线，如下所示：1. 平行四边形的角平分线：平行四边形的对角线交点到相对顶点的距离相等。
2. 五边形的角平分线：五边形的每个内角都可以有一个角平分线。
3. 圆的角平分线：圆的半径可以被视为角平分线，将圆内的角等分为两个相等的角。
五、应用领域角平分线在实际生活和学科中有广泛应用，如下所示：1. 建筑设计：在建筑设计中，角平分线可以帮助确定房间的布局和摆放家具的位置。
角平分线的定义及性质应用
角平分线的定义及性质应用角平分线是指从一个角的顶点到其两边上任意一点的线段，将这个角分成两个大小相等的角。
角平分线具有一些重要的性质和应用。
首先，角平分线的定义是从一个角的顶点出发，将这个角分成两个相等的角。
这意味着角平分线与角的两边所夹的角度大小是相等的。
这是角平分线最基本的性质之一。
其次，角平分线具有对称性。
如果一个角的平分线通过其顶点并交于角的另一边上的一个点，那么这个交点将把角分成两个大小相等的角。
同样地，这个交点也可以看作是这个角的另一个平分线通过其顶点并交于另一边上的一个点。
这个交点将角分成两部分，而这两部分的大小是相等的。
此外，角平分线还具有一些其他的重要性质和应用。
以下是其中的一些：1. 角平分线相交于角的内部：角平分线必定在角的内部相交。
这是因为在平面几何中，两点之间的直线是最短的路径，所以角平分线将角分成两部分时必须通过角的内部。
2. 角平分线垂直于角的边：如果一个角的平分线与角的一条边相交，那么它与这条边所夹的角是垂直的。
也就是说，平分线和边的交点处的两个相邻角度是垂直的。
这是一个很有用的性质，可以用来构造垂直角、垂直平分线和垂直双准线等几何图形。
3. 角平分线的长度相等：如果一个角的两条平分线相交，那么它们的长度是相等的。
换句话说，一个角的两条平分线与该角两条边的交点之间的距离是相等的。
这可以通过解析几何或使用三角函数来证明。
4. 角平分线被分成一定比例的线段：如果两个角的平分线相交于一个点，并且它们分别与这两个角的另外一条边相交于不同的点，那么这个交点将把角平分线分成一定比例的线段。
这个性质可以用于求解角平分线上的长度比例，从而解决几何问题。
5. 角平分线和三角形内心：在一个三角形中，三条角的平分线交于一点，这个点称为三角形的内心。
内心是三角形内接圆的圆心，角平分线与三角形内接圆的切点均相交于角的顶点。
内心的存在和性质可以用角平分线来证明。
综上所述，角平分线具有分割角度、对称性、相交于角的内部、垂直于角的边、长度相等、被分成一定比例的线段等性质。
角平分线的性质与应用
角平分线的性质与应用角平分线是指将一个角平分成两个相等的角的线段。
在几何学中，研究角平分线的性质与应用有助于解决各种角相关的问题。
本文将探讨角平分线的性质以及它们在几何学中的应用。
一、角平分线的性质1. 定理1：角平分线将角分成两个相等的角。
证明：设角AOB为已知角，AC是角AOB的平分线。
假设角CAC'和角C'AB是不等的，即角CAC'≠角C'AB。
因为角CAC'和角C'AB之和等于角AOB，即角CAC'+角C'AB=角AOB。
又因为角CAC'和角C'AB是不等的，所以它们的和必然小于角AOB，产生矛盾。
因此，角CAC'和角C'AB必然相等。
2. 定理2：如果一个角的两条平分线相交于一个点，则该点在角的内部，并且到角的各边距离相等。
证明：设角AOB为已知角，AC和BD是角AOB的两条平分线，交于点E。
我们分别证明点E在角AOB的内部以及到角的各边距离相等：a) 点E在角AOB的内部的证明：假设点E在角AOB的外部，我们取点F在射线EB上，使得EF = EC。
在△AFC中，角AFC =角AFC’ +角C’FA =角 ABD +角 BDA =90°。
另一方面，在△BFD中，角BFD=角BFD’+角DFB=角ABD’+角DBA=90°。
因此，角AFC和角BFD之和等于180°，即角AFCB为一直线，这与假设矛盾。
因此，点E在角AOB的内部。
b) 到角的各边距离相等的证明：由定理1可知，∠ACB =∠DCB。
又因为∠AEC和∠BEC分别是角ACB的两个相等的角，所以∠AEC=∠BEC。
由于∠AEB是锐角，所以点E到射线AB上的点的距离相等。
二、角平分线的应用角平分线在几何学中有广泛的应用，下面介绍几种常见的应用情况：1. 求角平分线的长度：已知一个角的两条边长以及夹角的大小，可以利用三角函数求出角平分线的长度。
角平分线的性质定理及应用
角平分线的性质定理及应用角平分线的性质定理可以分为下面几个方面进行详细阐述：1. 定理一：角平分线的定义及性质角平分线是指将一个角分成两个相等的部分的直线。
具体来说，设角AOB的内部有一条直线OC（O是角AOB的顶点），且∠AOC=∠COB，则称OC为角AOB 的角平分线。
特性：角平分线的两个性质如下：（1）OC是角AOB内角的平分线，即∠AOC=∠COB；（2）OC上的点到角AOB的两边的距离相等，即OD=OE。
2. 定理二：角平分线存在唯一性角平分线存在唯一性是指在一个角中，只存在一条角平分线。
证明如下：假设在角AOB中有两条角平分线OC1 与OC2。
不妨设OC1 与AB交于E1，OC2与AB交于E2。
由于OC1 是角AOB的角平分线，所以∠AOC1=∠C1OB。
同理，由于OC2 是角AOB的角平分线，所以∠AOC2=∠C2OB。
因为OC1 与OC2 都在角AOB内部，所以C1、C2两个点是可以重合的。
不管C1与C2 是重合还是不重合，都有∠C1OC2=0。
又因为OC1 与OC2 是交于同一条直线上的两个点，所以也有∠C1OE2+∠E2OC2+∠C2OE1+∠E1OC1=360。
将∠C1OE2、∠E2OC2、∠C2OE1、∠E1OC1在图上绘出，我们可以发现角AOB的度数，使用的角平分线有两种情况：（1）∠C1OE2和∠E2OC2同时等于180，此时C1 与C2 必须是同一个点，所以OC1和OC2 是同一条线。
（2）∠C1OE2=∠C2OE1，∠E2OC2=∠E1OC1=0 ，此时C1 与C2 可以是同一个点，也可以是两个不同的点。
但无论如何选择，∠C1OE2+∠E2OC2+∠C2OE1+∠E1OC1=0+0+0+0=0，不满足∠C1OE2+∠E2OC2+∠C2OE1+∠E1OC1=360。
综上所述，角平分线存在唯一性。
3. 定理三：角平分线与等分点的关系设在角AOB的内部有一点M，并且OM是角AOB的角平分线。
角平分线的性质及应用
利用角平分线定理求角度
总结词
通过利用角平分线定理，我们可以求解一些与角度相关的几何问题。
详细描述
在几何问题中，有时候我们需要求解某个角度的大小。利用角平分线定理，我们可以将问题转化为求 解两个相等的线段之间的夹角。例如，如果一个角的平分线将相对边分为两段相等的线段，那么这个 角被平分线分为两个相等的部分，因此可以利用这个性质来求解角度。
总结词
角平分线定理是几何学中的重要定理之一，它可以用于证明 各种几何命题，如三角形中的角平分线性质、平行线性质等 。
详细描述
角平分线定理指出，角平分线将相对边分为两段相等的线段 。利用这个定理，我们可以证明一些与角平分线相关的几何 命题。例如，如果一个角的平分线与另一个角的两边相交， 那么这两个交点到角平分线的距离相等。
利用角平分线定理证明三角恒等式
总结词
通过构造角平分线，可以将复杂的三角恒等式证明问题转化为简单的几何问题，从而证 明三角恒等式。
详细描述
在证明三角恒等式时，我们可以根据题目的特点，构造角平分线，将问题转化为几何问 题。然后利用角平分线定理和三角形的性质，推导出恒等式。这种方法可以简化证明过
程，使证明更加直观和简单。
利用角平分线定理求距离
总结词
通过利用角平分线定理，我们可以求解 一些与距离相关的几何问题。
VS
详细描述
在几何问题中，有时候我们需要求解两个 点之间的距离。利用角平分线定理，我们 可以将问题转化为求解两个相等的线段之 间的距离。例如，如果一个角的平分线将 相对边分为两段相等的线段，那么这两个 相等的线段之间的距离就是所求的距离。 因此，可以利用这个性质来求解距离。
详细描述
这是角平分线的一个非常重要的性质。在几何学中，我们可以通过这个性质来证明一些与角平分线相关的命题。 例如，如果我们从一个固定点向一个角的两边画线，那么这些线中最短的一条必定是角的平分线。这个性质在解 决几何问题时非常有用，因为它可以帮助我们找到最短的路径或线段。
第2课时 角平分线的性质与判定的综合应用
求证：BD=2CD。
A
B 证明：
D
C
∵∠C=90°，∠B=30° ∴Rt△ABC中，AB=2BC，∠BAC=60° ∵AD是△ABC的角平分线 ∴∠BAD=∠DAC=30°，AD=BD ∴Rt△ACD中，AD=2CD ∴BD=2CD
3.已知：如图，△ABC的外角∠CBD和∠BCE的角平分线相
交于点F。
E
C
H
（三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等）
这又是一个证明三条直线交于一点的根据之一，这个交点叫做三 角形的内心。
比较三角形三边的垂直平分线和三条角平分线的性质定 理
三边角三角形
交点性质
交于三角形内一点 交于三角形外一点 交于斜边的中点
第二课时
角平分线
1.角平分线的性质定理 定理：角平分线上的点到这个角的两边距离相等。
A D
如图，
O1 2
P C
∵OC是∠AOB的平分线，P是OC上任意一点， PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E（已知
E B
）
∴PD=PE（角平分线上的点到这个角的两边距
离这相个等结）论是经常用来证明两条线段相等的根据之一。
A
求证：点F在∠DAE的平分线上。
B
C
证明：
∵BF是∠CBD的角平分线 D ∴F到BC，AD的距离相等
F
E
∵BF是∠CBD的角平分线
∴F到BC，AE的距离相等
∴F到AD，AE的距离相等
从而点F在∠DAE的平分线上
4.已知：如图，P是∠AOB平分线上的一个点，并且
PC⊥OA，
PD⊥OB，垂足分别是C，D。 C A 求证：（1）OC=OD;
角平分线的性质用途
角平分线的性质用途角平分线是指将一个角平分为两个等角的直线。
角平分线的性质：1. 角平分线将原角分为两个等角，因此从几何的角度来看，角平分线具有等分角的性质。
这个性质在解决各类几何问题时非常有用，例如确定两条线段之间的夹角、构造正多边形等。
2. 角平分线与角的两边相交于角的顶点，这意味着角平分线与角的两边相对称。
这个性质可以用来证明一些关于角的性质，例如垂直角的对角也是垂直的。
3. 在平面几何中，如果两条角平分线相交于角的顶点，那么这个点就是角的内心。
角的内心是一个非常重要的点，它有许多独特的性质。
例如，角的内心到角的三边距离相等，角的内心到角平分线的距离最小等等。
这些性质在解决几何问题时非常有用。
4. 角平分线还可以用来证明两条直线平行的性质。
如果一条直线与两条平行直线相交，且被这两条平行直线所平分的角相等，那么这条直线与平行直线平行。
5. 角平分线还可以用来判断一个点是否在一个角的内部。
如果一个点在角的内部，那么从这个点到角的两边的距离不相等，但到角的平分线的距离相等。
角平分线的应用：1. 在解决几何问题时，角平分线是非常常用的工具。
利用角平分线的等分角的性质，我们可以构造出一些特殊图形，例如正三角形、正五边形等。
2. 角平分线的对称性质可以用于证明一些几何性质。
例如，通过证明角的平分线与角的两边相对称，可以证明垂直角的对角也是垂直的。
3. 角平分线的内心性质可以帮助我们计算出角的内接圆的半径和圆心坐标。
这在解决关于角的圆的问题时非常有用。
4. 角平分线还可以用于证明两条直线平行的性质。
通过证明一条直线与两条平行直线所平分的角相等，可以得出这条直线与平行直线平行的结论。
综上所述，角平分线具有等分角、对称性、内心性等性质。
在解决几何问题时，角平分线可以帮助我们构造特殊图形、证明几何性质、计算圆的相关参数等。
因此，角平分线是几何学中一种非常有用的工具。
初中角平分线知识点总结与巧用
初中角平分线知识点总结与巧用角平分线是指将一个角分为两个相等的角的线段，也可以说是从角的顶点出发，将角内部一分为二的线段。
角平分线的性质和应用是初中数学中重要的内容之一，下面我们来总结一下初中角平分线的知识点以及一些巧妙的应用。
一、角平分线的定义及性质1.角平分线的定义：角平分线是从一个角的顶点出发，将角内部一分为二的线段。
2.角平分线的性质：（1）角平分线被分成的两个小角相等；（2）在平面内，从一个角的顶点出发，将这个角平分为两个相等的角的直线只有一条。
二、角平分线的判定定理1.角平分线判定定理：一个线段能够作为一个角的平分线，当且仅当它等于这个角的对边的一半。
2.角平分线的作法：（1）将这个线段的两个端点与角的两条边的一个顶点连接；（2）若两个连线相等，则这个线段是角的平分线；（3）若两个连线不相等，则这个线段不是角的平分线。
三、角平分线的应用1.直角三分线：在直角三角形中，角平分线特殊的性质是直角三角形的其中一个角的三分线。
（1）设直角三角形ABC中∠B=90°，AB=BC，AD是∠A的平分线；则∠DAB=∠DAC=∠BAC=45°。
（2）在一个直角三角形中，利用角平分线可以将角平分为两个相等的角，从而简化问题的求解过程。
2.角平分线的应用于构造等腰三角形：（1）在已知等腰三角形的等边或等角的情况下，可以通过作角平分线来构造等腰三角形。
（2）构造等腰三角形的步骤：a.画出底边；b.在底边的两端点上作两个相等的角；c.两个角的平分线交于一点，连接该点与底边的另一端点，得到等腰三角形。
3.相关定理及定律的证明：（1）锐角与锐角平分线的相关定理：在锐角ABC中，AD是∠BAC的平分线，那么∠BAD=∠CAD；（2）对称性：如果角平分线上的一部分角等于角的一半，那么角平分线的整体也是角的平分线。
四、优化问题中的角平分线的应用1.角平分线和最大值最小值问题：通过构造合适的角平分线，可以将一个问题化简为一个或多个已知的最值问题，从而求解出最优解。
角平分线的三个定理公式
角平分线的三个定理公式第一定理：角平分线的定义和性质角平分线是指从一个角的顶点出发，将角分成两个相等的角的线段。
角平分线有以下性质：1. 角平分线上的任意一点到角的两边的距离相等。
2. 角平分线将角分成两个相等的角。
第二定理：角平分线的垂直性质定理表述：在一个三角形中，如果一条边的角平分线与另外两条边相交，那么交点所在的线段垂直于边。
证明过程：假设在△ABC中，AD是角BAC的角平分线，且与BC相交于点D。
我们需要证明AD⊥BC。
根据角平分线的定义和性质，我们知道∠BAD=∠DAC，且AD与BC相交于点D。
假设AD不垂直于BC，即AD∥BC。
由于∠BAD=∠DAC，AD∥BC，根据平行线性质，我们可以得到∠ACD=∠CAB。
然而，根据角平分线的定义，∠ACD应该等于∠CAD，与∠ACD=∠CAB矛盾。
因此，假设AD不成立，即AD⊥BC。
第三定理：角平分线的比例性质定理表述：在一个三角形中，如果一条边的角平分线与另外两条边相交，那么该边与另外两边的比等于与它们对应的角的正弦比。
证明过程：假设在△ABC中，AD是角BAC的角平分线，且与BC相交于点D。
我们需要证明AB/BD=AC/CD。
根据角平分线的定义和性质，我们知道∠BAD=∠DAC，且AD与BC相交于点D。
根据正弦定理，我们可以得到：AB/BD = sin∠BAD/sin∠ABD，AC/CD = sin∠CAD/sin∠ACD。
由于∠BAD=∠DAC，∠ABD=∠ACD，我们可以将上述两个等式合并为：AB/BD = AC/CD。
因此，我们证明了定理的成立。
通过以上三个定理，我们可以更好地理解和应用角平分线的性质。
在几何问题中，角平分线的定理经常被用来求解角度的大小、证明几何关系等。
同时，掌握角平分线的性质还可以帮助我们更好地理解三角形的结构和性质。
总结起来，角平分线的三个定理为：1. 角平分线的定义和性质；2. 角平分线的垂直性质；3. 角平分线的比例性质。
初中数学知识归纳角平分线和垂直平分线的性质和应用
初中数学知识归纳角平分线和垂直平分线的性质和应用初中数学知识归纳：角平分线和垂直平分线的性质和应用角平分线和垂直平分线是初中数学中两个重要的概念。
它们具有各自独特的性质和应用。
本文将对这两个概念进行归纳总结，并分析它们在数学问题中的实际应用。
一、角平分线的性质和应用角平分线是指把一个角平分成两个相等的角的线段。
下面我们来归纳角平分线的性质和应用。
1. 性质：（1）角平分线把一个角分成两个相等的角。
（2）角平分线上的点到角的两边距离相等。
（3）角平分线是角的内切线。
2. 应用：（1）角平分线的性质可以用于解决角度相等或相似的证明问题，例如证明两条线段的夹角相等，证明两个三角形相似等。
（2）利用角平分线的性质，可以快速求解角平分线在三角形中的位置，从而解决与三角形相关的计算问题。
以上是角平分线的性质和应用的简要介绍。
二、垂直平分线的性质和应用垂直平分线是指垂直于线段并将其平分的线段。
下面我们来归纳垂直平分线的性质和应用。
1. 性质：（1）垂直平分线将线段分成两个相等的部分。
（2）垂直平分线与线段的两个端点和中点连线垂直。
（3）垂直平分线是线段的中垂线。
2. 应用：（1）垂直平分线的性质可用于证明线段的平分线与垂直平分线相交于线段的中点。
（2）利用垂直平分线的性质，我们可以求解线段的中点坐标，从而解决与平面几何相关的计算问题。
以上是垂直平分线的性质和应用的简要介绍。
三、角平分线和垂直平分线的实际应用举例角平分线和垂直平分线不仅在数学问题中有重要的应用，也在实际生活中有着广泛的应用。
以下是两个实际问题的举例：1. 实际问题1：假设我们要设计一个广告牌，使其以某个角度正好对准太阳光的照射方向。
根据角平分线的性质，我们可以确定广告牌的角度，并根据此角度来安装广告牌，以获取最佳的阳光照射效果。
2. 实际问题2：在制作家具的过程中，如果要确保家具的一条边是水平的，可以利用垂直平分线的性质，通过测量线段两个端点到垂直平分线的距离来调整线段的位置，以保证家具制作的精准度。
角平分线的性质kejia
02
多边形一条边的两个端点与不相邻的顶点的连线，将多边形划分为n-2个三角形， 每个三角形的内角和为180°。
03
多边形一条边的两个端点与不相邻的两个顶点的连线，是多边形的两条角平分线， 它们将多边形划分为n-1个三角形，每个三角形的内角和为180°。因此，多边形的 内角和也可以表示为（n-1）×180°-2×角平分线的夹角。
在平行四边形中，相邻两角的角 平分线互相垂直。
角平分线所在的直线是平行四边 形的对称轴。
梯形中角平分线特点
梯形中的角平分线将梯形的一个角平分为两个相等的小角。 梯形两腰的角平分线长度相等。
梯形中一组对角的角平分线互相平行。
多边形内角和与角平分线关系
01
多边形的内角和等于（n-2）×180°，其中n为多边形的边数。
证明垂直或平行问题
1 2
利用角平分线与垂线的性质
角平分线与垂线重合时，可证明两条直线垂直。
构造平行四边形
通过角平分线构造平行四边形，利用平行四边形 的性质证明直线平行。
3
应用同位角、内错角等性质
结合同位角、内错角等相关性质，可证明直线平 行或垂直。
05
角平分线在实际问题中应 用举例
测量问题中角平分线应用
之间的角度关系。
如机械臂的运动轨迹规划、机器人的路
径规划等。
06
总结回顾与拓展延伸
关键知识点总结回顾
角平分线的定义：角平分线是从一个角 的顶点出发，将该角平分为两个相等的 小角的射线。
角平分线的构造：通过角的顶点，使用 圆规和直尺可以构造出角的平分线。
角平分线将相对边分为两段，这两段与 角的两边所构成的三角形面积相等。
在测量角度时，如果无法直接测量或者测量难度较大，可以 利用角平分线的性质，将原角平分，然后分别测量两个较小 的角，再通过计算得到原角的度数。
角平分线的性质与判定
利用相似三角形的性质和角平分线的 性质进行证明。
角平分线在三角形中的性质
性质
在三角形中，角平分线与对边相交形成的线段之比等于相邻 两边之比。
应用
利用角平分线的性质定理和三角形中的其他性质，可以证明 三角形中的一些重要结论，如“直角三角形中，斜边上的中 线等于斜边的一半”。
02
CATALOGUE
判定方法
角平分线的判定方法一
利用角平分线的定义。在角的内部作一条射线，使得角的两边长度相等，则这 条射线是角的平分线。
角平分线的判定方法二
利用等腰三角形的性质。在角的内部作一条射线，使得与角的两边分别相交并 形成两个等腰三角形，则这条射线是角的平分线。
判定在三角形中的运用
在三角形中，角平分线将三角形分为两个面积相等的部分。这是因为角平分线将 三角形划分为两个等腰三角形，而等腰三角形的面积等于底乘高的一半，由于两 个等腰三角形的底相等且高相等，所以它们的面积相等。
04
CATALOGUE
角平分线的作法
作法步骤Biblioteka 010203第一步
在角的顶点上，以角的两 边为邻边，作一个等腰三 角形。
第二步
从等腰三角形的顶点向底 边作垂线，将底边分为两 等份。
第三步
连接角的顶点和垂足，这 条连线就是角平分线。
作法在三角形中的运用
在三角形中，可以利用角平分线作法 来找到角的平分线，从而进一步研究 三角形的性质和判定。
THANKS
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角平分线的判定
判定定理
角平分线的判定定理
从角的顶点出发，将角平分线引到角的两边，使得角的两边长度相等，则这条射 线就是角的平分线。
证明角平分线判定定理
在角的内部作一条射线，并使角的两边长度相等。然后，通过角的顶点和射线的 端点作一条直线，这条直线将与角的两边相交于两点。由于角的两边长度相等， 所以这两点与射线端点的距离相等，从而证明了射线是角的平分线。
第四讲--角平分线四大模型
第四讲角平分线性质定理判定定理及四大模型一、性质定理、判定定理1．角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等．如图，∵OP平分∠AOB，PE⊥OA，PF⊥OB，∴PE=PF．2．角平分线的判定：角内部到角两边的距离相等的点在角的平分线上．如图，∵PE⊥OA，PF⊥OB，PE=PF，∴OP平分∠AOB．二、角分线四大模型1.角分线+平行线，等腰三角形必呈现；基本图形：已知，OP平分∠AOB，若过点P作PE//OB交OA于点E，如上图，可以得到等腰三角形EOP，其中EP=EO. 例1：如图，在△ABC中，BD、CD分别平分∠ABC和∠ACB，DE//AB，FD//AC，BC=6，求△DEF的周长.练1：如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的角平分线相交于点F，过点F作DF//BC，交AB于点D，交AC于点E，若BD+CE=9，则线段DE的长为.练2：（1）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分外角∠ACG，DE//BC交AB于点E，交AC于点F，线段EF、BE、CF有什么关系？请说明理由.（2）如图，BD、CD分别为∠ABC、∠ACB外角的角平分线，DE//BC交AB的延长线于点E，交AC的延长线于点F，直接写出线段EF、BE、CF的数量关系.2.点垂线，垂两边，线等全等都出现；基本图形：已知，OP 平分∠AOB ，若PE ⊥OA ，则过点P 作PF ⊥OB ，则PE=PF ，OE=OF ，△EOP ≌△FOP .例1：如图，在△ABC 中，∠C =90°，AD 平分∠CAB ，BC =6，BD =4，则点D 到直线AB 的距离是 .例2：如图，∠1=∠2，∠3=∠4，求证AP 平分∠BAC .练1：如图，四边形ABCD 中，∠B+∠D =180°，BC=CD ，求证AC 平分∠BAD .练2：如图，在RT △ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，AF 平分∠CAB ，交CD 于点E ，交CB 于点F ，（1）求证：CE=CF .（2）将图中的△ADE 沿AB 向右平移到三角形A’D’E’的位置，使点E’落在BC 边上，其它条件不变，试猜想BE’于CF 有怎样的数量关系？请证明你的结论.3.角分线+垂线，中点全等必可见；基本图形：已知，OP 平分∠AOB ，E 为OA 上一点，EP ⊥OP ，延长EP 交OB 于点F ，则EP=FP ，△EOP ≌△FOP .ED F CB A E'D'A'A BCFDE例1：已知等腰直角△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD平分∠ABC，CE⊥BD，垂足为点E，求证：BD=2CE.练1：如图，在△ABC中，∠ABC＝3∠C，AD是∠BAC的平分线，BE⊥AD于点E，求证：BE＝12（AC－AB）．4.角分线，分两边，对称全等要记全.基本图形：已知，OP平分∠AOB，E为OA上一点，可在OB上取一点F，使得OF=OE，则有△EOP≌△FOP.例1：如图，已知△ABC中，AB=AC，∠A=108°，BD平分∠ABC，求证：BC=AB+CD.例2：（1）在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE 相交于点F，请判断FE与FD之间的数量关系；（2）在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而（1）中其它条件不变，那么（1）中结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.练1：如图，四边形ABCD中，AD>AB，AC平分∠BAD.，BC=CD，求证∠B+∠D=180°三、课后练习1. 如图，在△ABC 中，∠A ＝60°，∠AB C ．∠ACB 的角平分线B D ．CE 交于点O ． 求证：（1）BC ＝BE ＋CD ；（2）OE ＝O D ．2. 如图，点C 是∠MAN 的平分线上一点，AD ≠AB ，∠DAB ＋∠DCB ＝180°．求证：CD ＝C B3. 如图，等腰Rt △ABC 中，∠C ＝90°，CA ＝CB ，BD 平分∠ABC ，AE ⊥BD ，垂足为E ．（1）求证：BD ＝2AE ；（2）连EC ，求∠CEB 的度数．4. 如图，已知，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，AC ＝16，AB ＝10，BD ＝7．求线段CD 的长．5. （1）如图1，在△ABC 中，∠C ≠90°，AD 平分∠CAB ，AC ＝6，BC ＝9，AB ＝10，求C D ．（2）如图2，在△ABC 中，∠ACB ≠90°，AD 平分∠CAB 的外角交BC 延长线于点D ，AC ＝6，BC ＝9，AB ＝10，求CD ．图1 图26. 如图，在△ABC 中，∠CAB ＝120°，∠C ＝40°，BE 是△ABC 的内角平分线，点D 在BC 上，且∠CAD＝60°，求∠ADE 的度数．O EDCB AP N MD CB AE D CAD CB AD B C A D BC AOE D C B A7. 如图，△ABC 的外角∠ACD 的平分线CP 与内角∠ABC 的平分线BP 交于点P ．若∠BPC ＝40°，求∠CAP .8. 如图，△AOB 为等腰直角三角形，点P 为动点，P A ⊥PB ．（1）如图，P 点为在第一象限时，求∠OP A ；（2）如图，P 点为在第四象限时，求∠OP A ．9. 如图所示，点A 为∠MON 的角平分线上一点，过A 任作一直线分别与∠MON 的两边交于B ．C ．P 为BC 的中点，过P 作BC 的垂线交OA 于点D.（1）若∠MON ＝ 90°，如图1，则∠BDC ＝；（2）若∠MON ＝ 60°，如图2，则∠BDC ＝；（3）若∠MON ＝ ，如图3，∠BDC ＝，请给予证明．PD C B AN C D P A O B M M B O A P D C N P D C ABN MO。
角平分线的原理及应用
角平分线的原理及应用角平分线的原理及应用1. 介绍角平分线的概念和定义角平分线是指将一个角分成两个相等的角的直线。
具体来说，对于一个角ABC，如果有一条线段AD，且AD等于BD，那么AD就是角ABC的平分线。
角平分线可以通过作图和计算来确定，它从角的顶点向角的两边延伸。
2. 角平分线的原理与性质角平分线有一些重要的原理和性质，下面将逐一介绍。
2.1 角平分线将角分成相等的两个角根据角平分线的定义，角平分线将一个角分成两个相等的角。
这是角平分线的基本性质之一。
2.2 角平分线与角的两边相交于角的顶点角平分线与角的两边相交于角的顶点。
这是角平分线的另一个重要性质。
具体来说，如果一条线段与角的两边相交于角的顶点，并且将这个角分成两个相等的角，那么这条线段就是角的平分线。
2.3 角平分线对称地分割角的两边角平分线将角的两边对称地分割成相等的线段。
也就是说，将角的两边上的点与角的顶点连线后，由角平分线分割的两个线段的长度相等。
3. 角平分线的一些常见应用3.1 三角形内部角平分线定理在一个三角形中，如果一条线段从一个角的顶点出发，并且平分了这个角，那么这条线段分割了相对应的边，并且这些分割线段的比值等于相邻两边的比值。
这个定理可以用于解决一些与三角形有关的问题。
3.2 角平分线判定角的大小关系通过角平分线可以判断两个角的大小关系。
如果两个角的平分线相交且交点在角的内部，那么这两个角的大小关系可以根据平分线分割角的两边的长度来确定，长度较长的一边对应的角较大。
3.3 三角形外角平分线定理在一个三角形中，如果从三角形的一个外角作出一条平分线，那么这条平分线将另外两个内角分割成相等的角。
这个定理可以应用于解决一些与三角形外角有关的问题。
总结回顾：角平分线是将一个角分成相等的两个角的直线。
它具有多个重要性质，如：将角分成相等的两个角、与角的两边相交于角的顶点等。
角平分线可以运用于三角形内部角平分线定理、判定角的大小关系以及三角形外角平分线定理等问题的求解。
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12.3角平分线的性质及判定
第3课时角平分线的应用
一、教学目标
知识与技能：理解和掌握角平分线性质定理和它的逆定理．能应用这两个性质解决一些简单的实际问题
过程与方法：经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力．
情感态度与价值观：学生通过观察，亲自动手实验获得数学的猜想，体验数学活动充满着探索性和创作性，培养学生克服困难的意志，激发学生的学习兴趣
二、教学准备
多媒体课件，教学三角板
三、重点难点
重点：角平分线的性质
难点：角平分线的应用
四、教学方法
讲练结合
五、教学过程
（一）、复习旧知
1、角平分线的定义：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线。
2、角平分线的性质定理：在角平分线上的点到这个角的两条边的距离相等。
3、判定定理：在角的内部到这个角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。
（二）、情境导入
在S区有一个集贸市场P，它建在公路与铁路所成角的平分线上，要从P点建两条路，一条到公路，一条到铁路．
问题1：怎样修建道路最短？
问题2：往哪条路走更近呢？
（三）探究新知
关于三角形三条角平分线的交点问题
如图，如果AP、BQ、CR分别是△ABC的内角∠BAC、∠ABC、∠ACB 的平分线，那么：
①AP、BQ、CR相交于一点吗？
②若ID、IE、IF分别垂直于BC、CA、AB于点D、E、F，DI、EI、FI 有什么关系？
结论：三角形三个内角角平分线的交点一定在三角形的内部. 三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等. （四）例题精析
例1三角形内（外）角平分线夹角结论
（1）如图①PB、PC分别平分∠ABC和∠ACB
（2）如图②PB、PC分别平分∠ABC和∠ACB的外角
（3）如图③PB平分∠ABC、PC平分∠ACB的外角
结论：（1）∠P=90°+
2
1∠A
（2）∠P=90°-
2
1∠A
（3）∠P=
2
1∠A
应用：
如图在△ABC中，PB平分∠ABC，PC平分∠ACB的外角，若∠BPC=30°，
则∠BAC= °
例2、在△ABC中，O是角平分线BE和CD的交点，∠A=60°，求证：
OD=OE
例3、在△ABC中，AD是角平分线，2∠C=∠B， AC-AB=BD
D
E
O
B
A
D
A
课堂练习
在正方形ABCD中，∠1=∠2 AE=BE+DF
（六）、课堂小结
本节课我们学习了什么内容？首先复习了角平分线的定义，性质定理和逆定理。
然后展开了应用。
经过了操作、猜想和论证的探究过程。
在学习数学的过程中，严密的逻辑认证固然重要，但学习时的直觉与灵感也常常给我们带来启发。
（七）板书设计
15.4 角平分线的性质及判定
第3课时角平分线的应用
1、角平分线的定义例1
2、角平分线的性质定理例2
3、逆定理例3
（八）教学反思
角平分线是初中数学中重要的概念，它有着十分重要的性质和应用，通过本节的学习，可以丰富和加深学生对已学图形的认识，同时为学习其他图形知识打好基础．教学时用数学语言叙述角平分线的性质定理和判定定理，让学生熟悉这两个定理的条件和结论后，再出一些具体的题目让学生在情境当中运用这两个定理．在应用时注重分析思路，学生学会思考问题，注重书写格式，让学生学会清楚的表达思考的过程．在证明的选题上，注意减缓难度，循序渐进．。