Planck和Rayleigh-Jeans黑体辐射公式的推导

Planck 和Rayleigh-Jeans 黑体辐射公式的推导

Made by 0310340 陶波

0310351 郑启飞 0310337 盛海翔

黑体是指在任何温度下,对于各种波长的电磁辐射的吸收系数恒等于1的物体

黑体辐射的能量是由电磁场的本征振动引起的，为简化推导过程，在此将黑体简化为边长为L 的正方形谐振腔。如图示

:

则腔内的电磁场满足亥姆霍兹方程：

2222u+k u 0 (k )ωμε∇== （1）

用分离变量法，令u(x,y,z)X(x)Y(y)Z(z)= 则（1）式可分解为三个方程： 22

2

22

222200

0x y z d X k X dx d Y k Y dy

d Z

k Z dz

⎧+=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩ 其中 2222x y z

k k k ωμε++= 得（1）式的驻波解为：

112233(,,)(cos sin )(cos sin )(cos sin )

x x y y z z u x y z c k x d k x c k y d k y c k z d k z =++⋅+由在x=0,x=L,y=0,y=L,z=0,z=L 上的边界条件0n

E n

∂=∂及0D E ⋅=可得：

123cos sin sin sin cos sin sin sin cos x x y z y x y z z x y z E A k x k y k z E A k x k y k z

E A k x k y k z

⎧=⎪

=⎨⎪

=⎩ x x k n L π

=

，

y y k n L

π

=，

z z k n L

π

= ,,0,1,2,x y z n n n =

（其中1A ,2A ,3A 满足关系1230x y z k A k A k A ++=）

则j k

（j 表示第j 个本征态）的绝对值为：

22222

22()()()j x y z j k n n n n L L

ππ=++=

换成第j 个本征态的频率得：222

()2j

j c n L

ν=

当j L λ>>时，j λ和j ν可视为连续变化，不必取分立值，即有：

2

22

()2c n L

ν= （2）

（2）式表明在整数n 空间一组整数,,x y z n n n 即对应一个本征模的频率。因此，频率区间ν 内的本征模数，在数值上等于整数n 空间内数值半径由n n n →+ 范围内球壳体积的

八分之一，即：

2322314()44()L dN n n

V B c c

π

νππνννν=⋅==⋅⋅ （V 为腔的体积）

又因为每一个频率为ν的单色平面波还存在着两个独立的相互垂直的偏振态，则频率间隔ν 内的本征模数为：

2

38()V dN d c

πννν=

设(,)T εν表示温度为T ，频率为

ν的本征振动的平均能

量，(,)T ρν为相应的能量密度，则振动频率在ν到d νν

+之间的能量为：

2

38(,)(,)()(,)V V T d T dN T d c

πρννενννενν==

2

38(,)(,)T d T d c

πρνννενν= （3）

本征振动是简谐振动，由三维谐振子的能量本征值：

3

()2

n E n h ν=+ （n=0，1，2…）

系统处于热平衡状态时，处于各本征能量的谐振子分布遵从麦克斯韦-波尔兹曼分布律： 即：exp()n

n

E E N kT

∝-

所以：exp()(,)exp()n

n n

n n

E E kT T E kT εν-=

-∑∑ （4） 若令1

kT β=，

exp()n

n

Z E β=-∑

则（4）式可改写为：1(,)dZ

T Z d ενβ=-

由

3

exp()exp[()]

23

exp()exp()

23exp()

21exp()

n n n

n

Z E n h h n h h h ββννβννβν=-=-+=---=

--∑∑∑

所以：1(,)exp()1dZ h T h Z d kT

ν

εννβ=-=-

代入（3）式得：

3

23388(,)(,)exp()1h T d T d d c c kT

ππνρνννεννν

ν==-

此即为Planck 黑体辐射公式。

若按经典理论，由热力学与统计物理的能量均分定理可知平

均能量为：

(,)

T kT εν=

则:

22

33

88

(,)(,)

T d T d kT d

c c

ππ

ρνννενννν

==

此即为Rayleigh-Jeans黑体辐射公式。

两公式的曲线与实验曲线的符合情况如图

: