初二几何证明经典难题.

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初二几何证明经典难题

1、已知:如图, P 是正方形 ABCD 内点,∠ PAD =∠ PDA =150.

求证:△ PBC 是正三角形.

如下图做△ DGC 使与△ ADP 全等,可得△ PDG 为等边△,从而可得△ DGC ≌△ APD ≌△ CGP, 得出 PC=AD=DC,和∠ DCG=∠ PCG =150 所以∠ DCP=300 ,从而得出△ PBC 是正三角形

2、已知:如图,在四边形 ABCD 中, AD =BC , M 、 N 分别是 AB 、 CD 的中点, AD 、 BC

的延长线交 MN 于 E 、 F .

求证:∠ DEN =∠ F .

如下图连接 AC 并取其中点 Q , 连接 QN 和 QM , 所以可得∠ QMF=∠ F , ∠QNM=∠ DEN 和∠ QMN=∠ QNM ,从而得出∠ DEN =∠ F 。

A C

D

B

B

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F

3

、如图,分别以△ ABC 的 AC 和 BC 为一边,在△ ABC 的外侧作正方形 ACDE 和正方形 CBFG ,点 P 是 EF 的中点.

求证:点 P 到边 AB 的距离等于 AB 的一半.

3. 过 E,C,F 点分别作 AB 所在直线的高 EG , CI , FH 。可得 PQ=

2

EG FH

+。由△ EGA ≌△ AIC ,可得 EG=AI,由△ BFH ≌△ CBI

,可得 FH=BI。从而可得 PQ=

2

AI BI += 2AB

,从而得证。

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、如图,四边形 ABCD 为正方形, DE ∥ AC , AE =AC , AE 与 CD 相交于 F . 求证:CE =CF .

顺时针旋转△ ADE ,到△ ABG ,连接 CG . 由于∠ ABG=∠

ADE=900+450=1350

从而可得 B , G , D 在一条直线上,可得△ AGB ≌△ CGB 。推出

AE=AG=AC=GC,可得△ AGC 为等边三角形。∠ AGB=300,既得∠ EAC=300,从而可得∠ A EC=750。又∠ EFC=∠ DFA=450+300=750. 可证:CE=CF。

5、如图,四边形 ABCD 为正方形, DE ∥ AC ,且 CE =CA ,直线 EC 交 DA 延长线于 F .

求证:AE =AF .

连接 BD 作 CH ⊥ DE

由 AC=CE=2GC=2CH,

可得∠ CEH=300,所以∠ CAE=∠ CEA=∠ AED=150, 又∠ FAE=900+450+150=1500,

E

从而可知道∠ F=150,从而得出 AE=AF。

6、设 P 是正方形 ABCD 一边 BC 上的任一点, PF ⊥ AP , CF 平分∠ DCE . 求证:PA =PF .

作 FG ⊥ CD , FE ⊥ BE ,可以得出 GFEC 为正方形。

令 AB=Y , BP=X ,CE=Z ,可得 PC=Y-X 。

tan ∠ BAP=tan∠ EPF= X

Y

=

Z

Y X Z

-+

,可得 YZ=XY-X2+XZ,

即 Z(Y-X=X(Y-X ,既得 X=Z ,得出△ ABP ≌△ PEF , 得到 PA =PF ,得证。

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