北师大高中数学选修44精讲精练课时作业8 圆锥曲线统一的极坐标方程 含解析

课时作业(八)

1．极坐标方程ρsin 2θ

2＝3表示的曲线是( )

A ．圆

B ．椭圆

C ．双曲线

D ．抛物线

答案 D

解析 原方程可化为ρ(1－cos θ)＝6，所以ρ＝

6

1－cos θ

，所以e ＝1，表示抛物线．故选D.

2．如果椭圆的极坐标方程为ρ＝5

3－2cos θ，那么它的短轴长是( )

A.103

B. 5 C ．2 5 D ．2 3

答案 C

解析 原方程可化为ρ＝531－23cos θ，e ＝23，ep ＝53，p ＝52，即c a ＝23，a 2c －c ＝5

2，解得c ＝2，a

＝3， b ＝

a 2－c 2＝5，短轴长2

b ＝2 5.故选C.

3．双曲线ρ＝8

1－3cos θ的焦距是( )

A ．6

B ．8

C ．2

D ．3

答案 A

解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧e ＝3，ep ＝8，所以p ＝8

3，所以⎩⎨⎧c

a

＝3，b 2c

＝83

，

得c ＝3，所以焦距为6.故选A.

4．曲线的极坐标方程是ρ＝7

2－cos θ

，其焦点到相应准线的距离是( )

A ．2

B ．1

C ．7

D ．3

答案 C

解析方程可给为ρ＝7 2

1－

1

2cosθ

，则e＝1

2

，ep＝7

2

，所以p＝7，故选C.

5．记抛物线y2＝8x的焦点为F，过点F作倾斜角为

π

4的直线，交抛物线于A、B两点，则线段AB的长为()

A．16 B．14

C．8 D．10

答案 A

解析以焦点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，如图所示．

因为抛物线的焦点到准线的距离为4，则抛物线的极坐标方程为ρ＝4

1－cosθ

，

设A(ρ1，

π

4)，B(ρ2，

5π

4)，代入极坐标方程得

ρ1＝4

1－cos

π

4

＝4

1－

2

2

＝8＋42，

ρ2＝4

1－cos

5π

4

＝4

1＋

2

2

＝8－42，

所以|AB|＝ρ1＋ρ2＝(8＋42)＋(8－42)＝16.

6．如果圆锥曲线的极坐标方程为ρ＝

6

1－2cosθ

，那么它的两个焦点的极坐标为________．答案(8，π)，(0，0)

解析由题意得

⎩⎪

⎨

⎪⎧e＝2，

ep＝6，

所以

⎩

⎨

⎧c a＝2，

b2

a

＝6，

又因为a2＋b2＝c2，解得

⎩⎪

⎨

⎪⎧a＝2，

b＝23，

c＝4，

所以两个焦点的极坐标为(8，π)，(0，0)．

7．在极坐标系中，椭圆的两焦点分别为极点和点(2，0)，离心率为1

2，求它的极坐标方程．

解析 由题可知，椭圆的焦距为2，所以c ＝1，又e ＝c a ＝1a ＝1

2，所以a ＝2，所以b 2＝a 2－

c 2

＝3，所以p ＝b 2c ＝3，所以椭圆的极坐标方程为ρ＝12×31－12cos θ

＝32－cos θ.