一个可以从旋转角度(构造等边三角形)理解的好题及其解法(13)

题目 在凸四边形ABCD 中，60ABC ∠=︒，AB BC =，30ADC ∠=︒。

证明：222AD CD BD +=。

分析：待证结论让我们联想到勾股定理，需要通过添加辅助线将AD 、CD （作
为直角边）和BD （作为斜边）集中到一个直角三角形里。

图1
图2
证明1：如图1，过D 作DE DA ⊥，且使得ED CD =，连接AE 、CE 、AC
903060CDE ADE ADC ∠=∠-∠=︒-︒=︒ ∴CDE ∆是等边三角形 ∴CE CD =，60DCE ∠=︒ 60ABC ∠=︒，AB BC = ∴ABC ∆是等边三角形 ∴AC BC =，60BCA ∠=︒
∴ACE ACD DCE ACD BCA BCD ∠=∠+∠=∠+∠=∠ ∴ACE ∆≌BCD ∆（SAS ） ∴AE BD =
在Rt ADE ∆中，222AD ED AE +=
∴222AD CD BD +=
评注：意外的是，添加辅助线后原图回到了一个经典（老）问题的图上—两个有公共顶点的等边三角形（不看AD ，试试？）！另外，也可以按如下方式作辅助线：如图2，过D 作DE DC ⊥，且使得ED AD =，连接CE 、AE 、AC （过程基本同证明1，不赘述）。

D
B
B
D B
D
图3
图4
证明2：如图3，过C 作CE CD ⊥，且使得CE AD =，连接DE 、BE
360360BCE ECD BCD ABC ADC BCD BAD ∠=︒-∠-∠=︒-∠-∠-∠=∠ BC BA =
∴BCE ∆≌BAD ∆（SAS ） ∴BE BD =，CBE ABD ∠=∠ ∴60DBE ABC ∠=∠=︒ ∴DBE ∆是等边三角形 ∴ED BD =
在Rt DCE ∆中，222CE CD ED +=
∴222AD CD BD +=
评注：明白作辅助线的初衷和目的后，问题解决将得心应手，也可以按如下方式作辅助线：如图4，过A 作AE AD ⊥，且使得AE CD =，连接DE 、BE （过程基本同证明2，不赘述）。

后记：1、证明1的图可以看成以CD 为边作等边三角形CDE ，证明2的图可以看成以BD 为边作等边三角形BDE ，你能理解为什么作等边三角形吗？
2、图1可以看成是将BCD ∆绕点C 沿顺时针方向旋转60︒到ACE ∆，图3可以看成是将ABD ∆绕点B 沿顺时针方向旋转60︒到CBE ∆，你能理解为什么旋转60︒吗？其实，从旋转的视角来看待本题，过程将十分简洁：如图3，将ABD ∆绕点B 沿顺时针方向旋转60︒到CBE ∆，连接DE ，易知DBE ∆是等边三角形，故ED BD =，
由于D C E D B E C E B
C D B A B C A D B C ∠=∠+∠+∠=∠+∠+∠603090=︒+︒=︒（凹四边形），所以2
2
2
CE CD ED +=，从而2
2
2
AD CD BD +=。

相关题目如图，在ABC ∆中，90ABC ∠=︒，AB CB =，45DBE ∠=︒D 、E 是AC 上两点。

试证明：222
AD CE DE +=。

请务必督促孩子今晚进行独立思考，下午辅导课时在黑板上已抄过B B。