图论 第3章 连通度、匹配

顶点连通度和边连通度

第三章连通度、匹配

门格尔定理匹配、霍尔定理本章的特点：

（1）理论深；

（2）本科基本用不上（计算机体系结构上用到一点），只有研究生才能用上；

（3）只介绍这个领域最基本的概念和一些有用的结果。

一个图是否是连通的，这是图的一个重要性质。

内容：

本章首先引入图的顶点连通度和边连通度，由此可以比较两个图中哪个“更加连通”；

接着讨论了它们的一些简单性质；

然后讨论偶图的匹配问题。

动机和目的（G)、边连通度（G)

顶点连通度

第一节顶点连通度和边连通度（G)、（G)、（G)关系

n-顶点连通、n-边连通

1.1动机和目的

一个图是否是连通的，是图的一个重要性质。于是，我们就想来刻画两个图“连通程度”的大小，但是刻画两个图“连通程度”的大小方法很多，我们只介绍两个常用的方法：

顶点连通度和边连通度

例：

树的每个度大于1的顶点都是割点。一个具有割点的连通图，当去掉这个割点时，就产生了一个不连通图。对于一个没有割点的连通图，必须去掉多于一个顶点才有可能得到一个不连通图。于是，具有割点的连通图较之没有割点的连通图的“连通程度”要低。

类似地，树的每条边的都是桥。有桥的连通图，当去掉桥时，就产生了一个不连通图。

对于无桥的连通图，要想去掉一些边得到不连通图，至少要去掉两条才有可能得到不连通图。

从去掉边来获得不连通图的角度看，有桥的连通图较之无桥的连通图的“连通程度”要低。

特别是，一个非平凡树是一个有最少边连通图。

图的顶点和边，在不同应用中有不同意义。在通讯网络中，通讯站是顶点，通讯线路是边。它们的失灵势必危机系统的通讯。所以，网络图的“连通程度”越高，通讯网络越可靠。

这种直观的想法，启发我们建立以下的严格概念：

1.2顶点连通度（连通度）

定义1设G=(V，E)是一个无向图，要想从G中得到一个不连通图或平凡图所需要从G中去掉的最少顶点数称为G的顶点连通度，简称连通度。记为

(G)。

说明：

（1）对这个定义我们需要说明的是，希望每个图都有顶点连通度。但对完全图Kp，不论去掉哪些顶点，都不会得到不连通图，当去掉p-1个顶点时得到K

1-平凡图。为了使这样的连通图也有顶点连通度，所以在定义中加入了“为得到平凡图所需要去掉的顶点的最少数”这一条件。

（2）对于特殊的图顶点连通度是知道的。

K1-平凡图(K

1)0；有割点的图(G)1；

不连通的图(G)0；完全图K

p(p2)(K

p)p1。

推论1：若G连通，则(G)1；若(G)1，则G连通或是非平凡图。

定义2设G=(V，E)是一个无向图，要想从G中得到一个不连通图或平凡图所需要从G中去掉的最少边数称为G的边连通度，简称连通度。记为

(G)。

对于特殊的图边连通度是知道的。

(K

1)0；当p≥1时，(K

p)p1；

非平凡树T(T)1；有桥的图(T)1。

说明：

（1）对于连通图来说，边连通度就是割集中最小的那个。

（2）对于一个图来说，割集--可以有多个，但边连通度--却只有一个。

（3）对于非平凡图来说，割集--永远也不能为零（空集），但边连通度--在图不连通时却是零。

（4）连通度与割集的联系和区别？---自己综合。

1.3顶点连通度(G)、边连通度(G)、最小度(G)之间有以下的关系：

定理1对任一图G，有

(G)(G)(G)

证先证λ(G)≤δ(G)，若δ(G)=0，则G不连通，从而λ(G)=0。所以，这时

λ(G)≤δ(G)；若δ(G)>0，不妨设degu =δ(G)，从G中去掉与v关联的δ(G)条边后，得到的图中v是弧立顶点。所以，这时λ(G)≤δ(G)。因此，对任何图G有λ(G)≤δ(G)。

其次，证明对任何图G有χ(G)≤λ(G)。若G是不连通的或平凡图，则显然有χ(G)≤λ(G)=0；

今设G是连通的且非平凡的。若G有桥x，则去掉x的某个端点就得到一个不连通图或平凡图，从而χ(G)=1=λ(G)。所以，这时有χ(G)≤λ(G)；若G没有桥，则λ(G)≥2。于是，从G中去掉某些λ(G)边得到一个不连通图。这时从G中去掉这λ(G)条边的每一条的某个端点后，至少去掉了这λ(G)条边。于是，产生了一个不连通图或平凡图，从而χ(G)≤λ(G)。

因此，对任何G，χ(G)≤λ(G)。

定理2对任何整数a，b，c，0≤a≤b≤c，存在一个图G使得

(G)a,(G)b,(G)c。

证若a=b=c，则图G=K

a+1就是所要求的图。

若a=b

Kc+1K

c+1

a条边

(a)Kc+1K

c+1

a-1条边

(b)

图1

若a

b-a+1+K

a就是所要求的图。其中G的图解是这样画出的：

把完全图K

b-a+1的图解在平面上画两次，再画出K

a图解，然后在K

a的每个顶点与K

b-a+1的每个顶点间联一条边而得到的图。

若a

λ(G)=a，λ(G)=b，δ(G)=c。

说明：

定理2的结果表明，不对图G加任何限制，定理1的结论不能再改进了。但当对图G再加上某些限制，例如，当δ(G)充分大时，我们能证明λ(G)=δ(G)。为此，先证明下面的引理：

引理1设G=(V，E)是一个图且λ(G)>0，则存在V的真子集A，使得G中联结A中的一个顶点与V\A中一个顶点的边的总数恰为λ(G).