概率论与数理统计 --- 第四章{随机变量的数字特征} 第四节：矩协方差矩阵
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概率论与数理统计第四章
上述定理还可以推广到两个或两个以上随 机变量的函数的情况。
02
该公式的重要性在于: 当我们求E[g(X)]时, 不必知道g(X)的分布，而只需知道X的分布就可以了. 这给求随机变量函数的期望带来很大方便.
01
例6
例 7
解：
设(X,Y)在区域A上服从均匀分布，其中A为x轴，y轴和直线x+y+1=0所围成的区域。 求EX，E(-3X+2Y)，EXY。
例5
若将这两个电子装置串联连接组成整机,求整机
寿命(以小时计) N 的数学期望.
的分布函数为
三、随机变量函数的数学期望
1. 问题的提出：
设已知随机变量X的分布，我们需要计算的不是X的期望，而是X的某个函数的期望，比如说g(X)的期望. 那么应该如何计算呢？
一种方法是，因为g(X)也是随机变量，故应有概率分布，它的分布可以由已知的X的分布求出来. 一旦我们知道了g(X)的分布，就可以按照期望的定义把E[g(X)]计算出来.
若设
i=1,2，…，n
则 是n次试验中“成功” 的次数
解
X~B(n,p),
“成功” 次数 .
则X表示n重努里试验中的
于是
i=1,2，…，n
由于X1,X2,…, Xn 相互独立
= np(1- p)
E(Xi)= p,
D(Xi)=
p(1- p) ,
例7
解
1
展开
2
证：D(X)=E[X-E(X)]2
3
=E{X2-2XE(X)+[E(X)]2}
4
=E(X2)-2[E(X)]2+[E(X)]2
5
=E(X2)-[E(X)]2
《概率论》第4章矩、协方差矩阵
为 k l 阶混合中心矩
E假(定X )其中各数学1 阶期原望点都矩存在
D“矩(X”) 是来自于2物阶理中学心中矩力矩的概念
Cov(X y,Y )
2 阶混合中心矩
y f (x)
O
x d第x 四章 随机x变量的数字特征
§4 矩、协方差矩阵
2/8
对于二维r.v ( X1,，X记2 )
c11 E[( X1 E( X1))2 ] D( X1) c12 E[(X1 E(X1))(X2 E(X2 ))] Cov(X1, X 2 )
7/8
(X1, X2 ,L , Xn ) ~ N(,C) X1, X2,, Xn 的任一线性
组合 l1X1 l2 X2 ln Xn 服从一维正态分布 正态r.v的线性变换不变性：设
(X1, X2 ,, Xn ) ~ N(,C) 令
Y1 a11 X1 a12 X2 a1n Xn
Y2
§4 矩、协方差矩阵
1/8
对于 r.v X ,Y , 称
E( X k ) ( k 1, 2,)
为 k阶原点矩，简称 k阶矩 .称
E[( X E( X ))k ] ( k 2,3,)
为 k阶中心矩 .称
E( X kY l ) (k,l 1, 2,)
为 k l 阶混合矩 .称
E[( X E(X ))k (Y E(Y ))l ] (k,l 1, 2,)
)e2 xp2{
12(x(X1)1( y)2TC21)(X
(y
)}2
2 2
)2
]}
与一维记再正记C态Xr.vcc12密11xyf度c(c,1x222)函数比11211较2, e2则xp{122(x2
)
2
}
第四节矩与协方差矩阵
概率统计
例
相互独立, 设随机变量 X 和 Y 相互独立,且 X ~ N ( 1, 2 ), Y ~ N (0, 1 ).
试求: 试求:Z = 2X – Y + 3 的概率密度 解: 因为:X ~ N ( 1, 2 ), Y ~ N ( 0, 1 ),且 X 与 Y 独立 因为: , 的联合分布为正态分布, 故: X 和 Y 的联合分布为正态分布,X 和 Y 的任 意线性组合是正态分布. 意线性组合是正态分布 即: Z ~ N ( E(Z),D(Z) ) , 而: E( Z ) = 2E( X ) - E( Y ) + 3 = 2 + 3 = 5 D( Z ) = 4D( X ) + D( Y ) = 8 + 1 = 9
概率统计
所以: 所以: Z ~ N ( 5, 32 ) 的概率密度为: 故: Z 的概率密度为:
fZ (z) =
1 3 2π
e
( z5)2 18
∞< z < ∞
概率统计
�
2
c22 = E{[ X2 E( X2 )] }
2
c11 c12 将它们排成矩阵的形式: 将它们排成矩阵的形式 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ c21 c22
称此矩阵为( 协方差矩阵. 称此矩阵为(X1, X2)的协方差矩阵
概率统计
这是 一个 对称 矩阵
▲ 类似可 注: 类似可定义 n 维随机变量 X1, X2, …, Xn ) 的 维随机变量( 协方差矩阵. 协方差矩阵 若 ci j = Cov( Xi , X j ) i, j = 1, 2,…, n 都存在, 都存在,则称矩阵 : c11 c12 L c21 c22 L C= M M L cn1 cn2 L
例
相互独立, 设随机变量 X 和 Y 相互独立,且 X ~ N ( 1, 2 ), Y ~ N (0, 1 ).
试求: 试求:Z = 2X – Y + 3 的概率密度 解: 因为:X ~ N ( 1, 2 ), Y ~ N ( 0, 1 ),且 X 与 Y 独立 因为: , 的联合分布为正态分布, 故: X 和 Y 的联合分布为正态分布,X 和 Y 的任 意线性组合是正态分布. 意线性组合是正态分布 即: Z ~ N ( E(Z),D(Z) ) , 而: E( Z ) = 2E( X ) - E( Y ) + 3 = 2 + 3 = 5 D( Z ) = 4D( X ) + D( Y ) = 8 + 1 = 9
概率统计
所以: 所以: Z ~ N ( 5, 32 ) 的概率密度为: 故: Z 的概率密度为:
fZ (z) =
1 3 2π
e
( z5)2 18
∞< z < ∞
概率统计
�
2
c22 = E{[ X2 E( X2 )] }
2
c11 c12 将它们排成矩阵的形式: 将它们排成矩阵的形式 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ c21 c22
称此矩阵为( 协方差矩阵. 称此矩阵为(X1, X2)的协方差矩阵
概率统计
这是 一个 对称 矩阵
▲ 类似可 注: 类似可定义 n 维随机变量 X1, X2, …, Xn ) 的 维随机变量( 协方差矩阵. 协方差矩阵 若 ci j = Cov( Xi , X j ) i, j = 1, 2,…, n 都存在, 都存在,则称矩阵 : c11 c12 L c21 c22 L C= M M L cn1 cn2 L
大学《概率论与数理统计》课件-第四章随机变量的数字特征
几何分布： ~ () ，() =
.
7
一、随机变量的数学期望——连续型
设连续型随机变量X的概率密度为()，则X的数
学期望(均值)E(X)为
=
+∞
−∞
.
注意：
+∞
要求积分−∞ ||
+∞
若−∞ ||
收敛.
不收敛，则称随机变量X的数学期望不存在.
21
数学期望公式
离散型
连续型
∞
() =
=
+∞
() = න
−∞
∞
() =
+∞
() = න
−∞
=
∞ ∞
(, ) = , (, ) = න
= =
∞ ∞
=
其他.
=
+∞
=න
−∞
= න ∙ = .
13
三、二维随机变量(X, Y)的函数Z=g(X, Y)的
数学期望
设(, ) 是二维随机变量， = , .
(1) 当(, )为离散型时，其联合分布律为
= , = = , , = , , ⋯，
= (, ) =
+∞ +∞
−∞ −∞
, , .
14
二维随机变量(X, Y)的边缘分布的数学期望
设(, ) 是二维随机变量.
(1) 当(, )为离散型时，其联合分布律为
.
7
一、随机变量的数学期望——连续型
设连续型随机变量X的概率密度为()，则X的数
学期望(均值)E(X)为
=
+∞
−∞
.
注意：
+∞
要求积分−∞ ||
+∞
若−∞ ||
收敛.
不收敛，则称随机变量X的数学期望不存在.
21
数学期望公式
离散型
连续型
∞
() =
=
+∞
() = න
−∞
∞
() =
+∞
() = න
−∞
=
∞ ∞
(, ) = , (, ) = න
= =
∞ ∞
=
其他.
=
+∞
=න
−∞
= න ∙ = .
13
三、二维随机变量(X, Y)的函数Z=g(X, Y)的
数学期望
设(, ) 是二维随机变量， = , .
(1) 当(, )为离散型时，其联合分布律为
= , = = , , = , , ⋯，
= (, ) =
+∞ +∞
−∞ −∞
, , .
14
二维随机变量(X, Y)的边缘分布的数学期望
设(, ) 是二维随机变量.
(1) 当(, )为离散型时，其联合分布律为
概率论与数理统计第四章
)
(
)
(
)
,
(
Y
D
X
Dபைடு நூலகம்
Y
X
Cov
xy
=
r
=4[E(WV)]2-4E(W2)×E(V2)≤0
01
得到[E(WV)]2≤E(W2)×E(V2). →(8)式得到证明.
02
设W=X-E(X),V=Y-E(Y),那么
03
其判别式
由(9)式知, |ρ xy|=1 等价于 [E(WV)]2=E(W2)E(V2). 即 g(t)= E[tW-V)2] =t2E(W2)-2tE(WV)+E(V2) =0 (10) 由于 E[X-E(X)]=E(x)-E(X) =0, E[Y-E(Y)]=E(Y)-E(Y) =0.故 E(tW-V)=tE(W)-E(V)=tE[X-E(X)]-E[Y-E(Y)]=0 所以 D(tW-V)=E{[tW-V-E(tW-V)]2}=E[(tW-V)2]=0 (11) 由于数学期望为0,方差也为0,即(11)式成立的充分必要条件是 P{tW-V=0}=1
随机变量X的数学期望是随机变量的平均数.它是将随机变量 x及它所取的数和相应频率的乘积和.
=
(1)
)
2
3
(
)
(
-
=
ò
µ
µ
-
dx
x
x
E
j
x
可见均匀分布的数学期望为区间的中值.
例2 计算在区间[a,b]上服从均匀分布的随机变量 的数学期望
泊松分布的数学期望和方差都等于参数λ.
其他
02
f(x)=
01
（4-6）
03
（4）指数分布
《概率论》第4章_矩、协方差矩阵
∆1 = c11 = D( X1) ≥ 0 ∆2 = | C | = c11c22 − c21c12 一阶顺序 二阶顺序 = D( X1)D( X2 ) −[Cov( X1, X2 )]2 主子式 2 主子式 = D( X1)D( X2 )( − ρX X ) ≥ 0 1
c11 = E[( X1 − E( X1 ))2 ] = D( X1) c12 = E[( X1 − E( X1))( X2 − E( X2 ))] = Cov( X1, X2 ) c21 = E[( X2 − E( X2 ))( X1 − E( X1))] = Cov( X2 , X1) c22 = E[( X2 − E( X2 ))2 ] = D( X2 )
第四章 随机变量的数字特征
§4 矩、协方差矩阵
6/8
设 ( X1, X2 ,⋅⋅⋅, Xn ) ~ N(µ, C), 则 µ1 E( X1) µ = µ2 = E( X2 ) ,称为 ( X1, X2 ,⋅⋅⋅, Xn )的均值向量 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ E( X ) µn n
第四章 随机变量的数字特征
§4 矩、协方差矩阵
7/8
( X1, X2 ,⋯, Xn ) ~ N(µ, C) X1, X2 ,⋅⋅⋅, Xn 的任一线性 组合 l1X1 + l2 X2 +⋅⋅⋅+ln Xn 服从一维正态分布
正态r.v的线性变换不变性： 正态r.v的线性变换不变性：设 r.v的线性变换不变性 ( X1, X2 ,⋅⋅⋅, Xn ) ~ N(µ, C) 令
§4 矩、协方差矩阵 对于 r.v X ,Y, 称
E( X k ) ( k = 1 ⋅⋅⋅) ,2,
1/8
为 k阶原点矩，简称 k阶矩 .称 为 k阶中心矩 .称
c11 = E[( X1 − E( X1 ))2 ] = D( X1) c12 = E[( X1 − E( X1))( X2 − E( X2 ))] = Cov( X1, X2 ) c21 = E[( X2 − E( X2 ))( X1 − E( X1))] = Cov( X2 , X1) c22 = E[( X2 − E( X2 ))2 ] = D( X2 )
第四章 随机变量的数字特征
§4 矩、协方差矩阵
6/8
设 ( X1, X2 ,⋅⋅⋅, Xn ) ~ N(µ, C), 则 µ1 E( X1) µ = µ2 = E( X2 ) ,称为 ( X1, X2 ,⋅⋅⋅, Xn )的均值向量 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ E( X ) µn n
第四章 随机变量的数字特征
§4 矩、协方差矩阵
7/8
( X1, X2 ,⋯, Xn ) ~ N(µ, C) X1, X2 ,⋅⋅⋅, Xn 的任一线性 组合 l1X1 + l2 X2 +⋅⋅⋅+ln Xn 服从一维正态分布
正态r.v的线性变换不变性： 正态r.v的线性变换不变性：设 r.v的线性变换不变性 ( X1, X2 ,⋅⋅⋅, Xn ) ~ N(µ, C) 令
§4 矩、协方差矩阵 对于 r.v X ,Y, 称
E( X k ) ( k = 1 ⋅⋅⋅) ,2,
1/8
为 k阶原点矩，简称 k阶矩 .称 为 k阶中心矩 .称
概率论与数理统计教案 第4章 随机变量的数字特征
第4章 随机变量的数字特征教学要求1．理解随机变量的数字特征（数学期望、方差、标准差、协方差、相关系数）的概念，掌握用数字特征的定义、常用计算公式及基本性质计算具体分布的数字特征.2．掌握利用随机变量X 的概率分布求其函数)(X g 的数字期望[])(X g E ，掌握利用随机变量X 和Y 的联合分布求其函数),(Y X g 的数学期望[]),(Y X g E .3．理解X 与Y 不相关的概念，掌握X 与Y 独立和不相关的关系与判定方法.4．掌握六个常用分布的数学期望和方差，理解二维正态分布中5个参数的意义.5．了解原点矩、中心矩、协方差矩阵的概念.6．了解n 维正态随机变量的四个性质.教学重点数学期望、方差的概念与性质及其应用，用数字特征（数学期望、方差、标准差、协方差、相关系数）的定义、常用计算公式及性质计算具体分布的数字特征.教学难点协方差、相关系数概念的理解.课时安排本章安排6课时.教学内容和要点一、 数学期望1.离散型随机变量数学期望2.连续型随机变量数学期望3.随机变量的函数数学期望4.常用分布的数学期望5.数学期望的性质二、 方差1.方差的概念2.方差的计算3.常用分布的方差4.方差的性质5.随机变量的标准化三、协方差和相关系数1.协方差的定义与性质2.相关系数的定义与性质四、矩与协方差矩阵1.矩与协方差矩阵的概念2. n 维正态分布主要概念1.数学期望（离散型随机变量的数学期望、连续型随机变量的数学期望、随机变量函数的数学期望）2.方差 、标准差3.标准化随机变量4.协方差5.相关系数X Y不相关6.,7.矩8.协方差矩阵。
第44节 矩与协方差矩阵——概率论与数理统计(李长青版)
b11
b1n
B
bn1
bnn
为随机向量（X1, X 2
X
）的协方差矩阵.
n
注：协方差矩阵是对称的且是半正定的.
例1 设随机变量X的分布律为 X 1 2 45 pk 1/3 1/6 1/6 1/3
求 2 , m3 .
解 由定义可得
1
EX
1 1 2 1 36
4 1 6
5 1 3
3.
2
EX 2
12
1 22 3
1 6
42
1 6
52
1 3
12.
m3 E(X EX )3 E(X 3)3.
2 )2
2 2
则(X1, X2)联合概率密度函数为
f
(x1,
x2 )
2
1 B
1 2
exp
1 2
(X
)T
B1( X
)
若（X1, X 2
X
）n
n
维随机向量，
记
bi, j cov( X i , X j )
称矩阵
E[( Xi EXi )( X j EX j )],i, j 1, 2, n.
b21 cov( X 2 , X1) E[( X 2 EX 2 )( X1 EX1)]
b22 cov( X 2 , X 2 ) DX 2
B=
b11 b21
b12 b22
称为随机变量(X1,
X2)的协方差矩阵.
若 (X1, X2) 服从二维正态分布
概率论与数理统计 第4章
dx 令t
t2 2
x
，得
E( X )
1 2
( t )e
dt
1-91
31
1 E( X ) x e 2
( x )2 2 2
dx 令t
t2 2
x
，得
E( X )
1 2
( t )e
t2 2
得
从而
的概率密度为:
1-91
21
故所求数学期望分别为
1-91
22
三.数学期望的性质
性质1: 设 C 为常数，则 性质2: 设 C 为常数，X 为随机变量， 则有 性质3: 设 X , Y 为任意两个随机变量, 则有 为 n 个随机变量，
推论1 设
为常数，则
1-91
23
性质4 设X 和Y 是相互独立的随机变量，则有
证: 因为 X 和 Y 相互独立，所以 于是
推广:
1-91 24
例7. 将 n只球随机放入M 只盒子中去，设每只球 落入各个盒子是等可能的，求有球的盒子数 X 的 均值 解 引入随机变量
显然有
1-91
25
例7. 将 n只球随机放入M 只盒子中去，设每只球 落入各个盒子是等可能的，求有球的盒子数 X 的 均值
1-91
18
例5. 设某公共汽车站于每小时的10分, 50分发车, 乘客在每小时内任一时刻到达车站是随机的。求 乘客到达车站等车时间的数学期望。
解: 设T 为乘客到达车站的时刻， 则
其概率密度为
设Y 为乘客等车时间，则
1-91
19
已知
1-91
概率论与数理统计(经管类)复习要点 第4章 随机变量的数字特征
第四章 随机变量的数字特征1. 把刻画随机变量某些方面特征的数值称为随机变量的数字特征，如期望、方差、协方差、相关系数等。
2. 随机变量的期望反映了随机变量取值的集中位置。
离散型随机变量的期望设离散型随机变量X 的分布律为P ｛X =x k ｝=p k ，k=1，2，…若级数∑ix i p i 绝对收敛（即级数∑i丨x i 丨p i 收敛），则定义X 的数学期望（简称均值或期望）为E （X ）=∑ix i p i注：当X 的可能取值为有限多个x 1，x 2，…，x n 时，E （X ）=∑=ni 1x i p i 当X 的可能取值为可列多个x 1，x 2，…，x n ，…时，E （X ）=∑∞=1i x i p i三种重要离散型随机变量的数学期望：3. 离散型随机变量函数的数学期望 设离散型随机变量X 的分布律为P ｛X =x k ｝=p k ，k=1，2，…令Y =g （X ），若级数∑∞=1k g （x k ）p k 绝对收敛，则随机变量Y 的数学期望为E （Y ）= E[g （X ）] =∑∞=1k g （x k ）p k4. 连续型随机变量的期望三种重要连续型随机变量的数学期望：5. 连续型随机变量函数的数学期望2017.4单解：6. 二维随机变量的期望二维随机变量函数的期望7. 期望的性质（1）常数的期望等于这个常数，即E （C ）=C ，其中C 为常数证明 常数C 作为随机变量，它只可能取一个值C ，即P ｛X =C ｝=1，所以E （C ）=C ⋅1=C（2）常数与随机变量X 乘积的期望等于该常数与随机变量X 的期望的乘积，即E （C X ）=C ⋅E （X ） （3）随机变量和的期望等于随机变量期望之和，即E （X +Y ）= E （X ）+ E （Y ） 推广：E （C 1X +C 2Y ）= C 1E （X ）+ C 2E （Y ），其中C 1，C 2为常数 一般地，设X 1，X 2，…，X n ，为n 个随机变量，则有E （∑=ni iX 1）=∑=ni iX E 1)(E （∑=ni ii X C 1）=∑=ni iiX E C 1)( 其中C i（i=1，2，…）为常数（4）两个相互独立的随机变量乘积的期望等于期望的乘积，即若X ，Y 是相互独立的随机变量，则E （XY ）= E （X ）E （Y ）由数学归纳法可证得：当X1，X2，…，X n相互独立时有E（X1，X2，…，X n）= E（X1）E（X2）…E（X n）2018.4单解：指数分布的期望值为 1，故E（X）= E（Y）=21，所以E（X Y）= E（X）E（Y）=412018.4计解：（1）平均收益率E（X）=1%×0.1+2%×0.2+3%×0.1+4%×0.3+5%×0.2+6%×0.1=3.6%（2）预期利润10×3.6%=0.36万元2017.10单解：E（-3X +2）=-3 E（X）+2=-3×51+2=572017.4填解：E（X+Y）= E（X）+ E（Y）=20×0.1+2=48. 方差反映了随机变量偏离中心——期望的平均偏离程度。
概率论第四章随机变量的数字特征第4节矩和协方差矩阵
特别，若 X ~ N 0， 1 , 则
E X n
n 1!!
0
n为偶数 n为奇数 ,
n 4时， EX 4 3.
返回主目8 录
练习一下
• 已知随机变量的X和Y的联合分布为
Y X
-2
0
1
-1
0.30
0.12
0.18
1
0.10
0.18
0.12
求X和Y的协差矩阵.
0.96 0.24
0.24 1 .65
DX
所以，
E X n nE Y n
n yn fY
y dy
n
y
n
e
y2 2
dy
2
⑴．当 n为奇数时，由于被积函 数是奇函数，所以
E X n 0 ．
返回主目5 录
第四章 随机变量的数字特征
(2)．当n为偶数时，由于被积函 数是偶函数，所以
EX n
2 n
y
n
e
y2 2
E X n
n
22
n
n
1
n
1
n
22
n
n
1
n
3
n
3
2 2 2 2 2
n
22
n
n
1
n
3
1
1
22
2 2
n
22
n
n 1!!
n
22
n n 1!!
返回主目7 录
第四章 随机变量的数字特征
因而，
§5 矩
E X n
n n 1!!
0
n为偶数 n为奇数
其中，
135 n n为奇数 n!! 2 4 6 n n为偶数
(完整word版)概率论与数理统计教案第四章(word文档良心出品)
作业布置
课后习题微积分标准化作业
大纲要求
理解随机变量方差的定义及方差的概率含义
熟悉方差的性质
掌握随机变量的方差计算公式
熟练常用随机变量的方差
教 学 基 本 内 容
一、基本概念:
1.方差和标准差的定义
设是一个随机变量,如果存在,则称
为随机变量 的方差。称方差 的算术平方根
为随机变量 的标准差。
二、方差的性质
授课序号02
教 学 基 本 指 标
教学课题
第四章第二节方差和标准差
课的类型
新知识课
教学方法
讲授、课堂提问、讨论、启发、自学
教学手段
黑板多媒体结合
教学重点
方差的定义及求解,方差的性质
教学难点
方差的性质及其与期望性质的比较
参考教材
高教版、浙大版《概率论与梳理统计》武汉大学同济大学 《微积分学习指导》
安玉伟等《高等数学定理 方法 问题》
2.变异系数
随机变量的数学期望, 方差存在, 那么称
为随机变量 的变异系数。
3. 连续型随机变量的分位数和中位数
设连续型随机变量的分布函数为, 密度函数为,, 则称为的分布的分位数。特别地, 当时, 称为中位数。
4、众数
当为离散型随机变量时, 假定的分布律为。如果存在实数, 使得。那么, 称为（或所服从的分布）的众数。
90
100
乙班分数
40
60
70
80
90
100
人数
2
9
18
9
2
人数
3
1
8
13
8
7
频率
频率
甲、乙两班概率统计的平均成绩是一样的,现选出一个班级参加比赛,应选哪个班级？
课后习题微积分标准化作业
大纲要求
理解随机变量方差的定义及方差的概率含义
熟悉方差的性质
掌握随机变量的方差计算公式
熟练常用随机变量的方差
教 学 基 本 内 容
一、基本概念:
1.方差和标准差的定义
设是一个随机变量,如果存在,则称
为随机变量 的方差。称方差 的算术平方根
为随机变量 的标准差。
二、方差的性质
授课序号02
教 学 基 本 指 标
教学课题
第四章第二节方差和标准差
课的类型
新知识课
教学方法
讲授、课堂提问、讨论、启发、自学
教学手段
黑板多媒体结合
教学重点
方差的定义及求解,方差的性质
教学难点
方差的性质及其与期望性质的比较
参考教材
高教版、浙大版《概率论与梳理统计》武汉大学同济大学 《微积分学习指导》
安玉伟等《高等数学定理 方法 问题》
2.变异系数
随机变量的数学期望, 方差存在, 那么称
为随机变量 的变异系数。
3. 连续型随机变量的分位数和中位数
设连续型随机变量的分布函数为, 密度函数为,, 则称为的分布的分位数。特别地, 当时, 称为中位数。
4、众数
当为离散型随机变量时, 假定的分布律为。如果存在实数, 使得。那么, 称为（或所服从的分布）的众数。
90
100
乙班分数
40
60
70
80
90
100
人数
2
9
18
9
2
人数
3
1
8
13
8
7
频率
频率
甲、乙两班概率统计的平均成绩是一样的,现选出一个班级参加比赛,应选哪个班级？
[考研数学]概率论和数理统计第四章 随机变量的数字特征课件全面版
![[考研数学]概率论和数理统计第四章 随机变量的数字特征课件全面版](https://img.taocdn.com/s3/m/60b65256fd0a79563d1e7266.png)
为随机变量X的数学期望，简称期望，记为E(X)，即
E(X) xk pk
k1
设 连 续 型 随 X具机 有变 概量 率 f(x)， 密 度
若xf(x)d绝 x 对 收 ,则敛 称 积 x分 f(x)d为 xX的
数
学
期
望E(， X)， 记即 E为 (X)
xf(x)dx
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E(X)是一个实数，形式上是X的可能值的加权 平均数，实质上它体现了X取值的真正平均。又称 E(X)为X的平均值，简称均值。它完全由X的分布 所决定，又称为分布的均值.
上一页 下一页 返回
例1: 某种产品即将投放市场，根据市场调查估计每件 产品有60%的把握按定价售出，20%的把握打折售出 及20%的可能性低价甩出。上述三种情况下每件产品 的利润分别为5元，2元和-4元。问厂家对每件产品可 期望获利多少？
解: 设X表示一件产品的利润(单位：元),X的分布
率为
X 5 2 -4
E (X ) k e ee 2 -4
k ! (k 1 )! 随机变量函数的数学期k 望 ：0
k 1
k 0
设n维随机变量(X1,X2,···Xn) 的1+1阶混合中心矩
6第元四，E 章还(是随X 有机利变2可量)图的的 数。字E 特征[X(X1)X]E[X(X1)]E(X)
例7： 设圆的直径X～U(a,b)，求圆的面积的期望。
P X k 2 -4
第四节 矩、协方差矩阵 随机变量数学期望的性质：
k !
k0 ,1 ,2 , ,0
若(X,Y)为二维离散型随机变量，其联合分布律为
设n维随机变量(X1,X2,·· ·Xn) 的1+1阶k 混合 中心矩
概率论第四章矩、协方差矩阵
1 f X ( x) f Y ( y ) e 2
x2 2
e
y2 2
1 e 2
x2 y2 2
,
f ( x, y ) f X ( x) f Y ( y ). 所以 X 与 Y 不独立.
第四章
小
结
1 阐述了数学期望、方差的概念及背景，要掌握 它们的性质与计算，会求随机变量函数的数学 期望和方差. 2 要熟记（0-1）分布、二项分布、泊松分布、几何 分布、均匀分布、指数分布和正态分布的数学期望 与方差. 3 引进了协方差、相关系数的概念，要掌握它们的 性质与计算. 4 要掌握二维正态随机变量的不相关与独立的等价 性. 5 介绍了矩与协方差矩阵的概念.
例2 设二维随机变量( X , Y )的密度函数为 1 f ( x, y ) [1 ( x, y ) 2 ( x, y )], 2 其中1 ( x, y )和 2 ( x, y )都是二维正态密度函数 ，且它们对应
(1) 求随机变量 X 和 Y 的密度函数 f X ( x) 和 f Y ( y)， 及 X 和 Y 的相关系数
2) 若 ( X1,, X n ) 服从 n 维正态分布， Y1 ,, Yk 是 X j ( j 1,, n) 的线性函数，则 (Y1,, Yk ) 也服从 k 维正态分布.
3) 若 ( X1,, X n ) 服从 n 维正态分布， 则 X1,, X n 相互独立 X1,, X n 两两不相关.
§4矩、协方差矩阵源自 xyf ( x, y)dxdy
1 xy1 ( x, y )dxdy xy 2 ( x, y )dxdy 2
1 1 1 0. 2 3 3
概率论与数理统计自学课件 第四章
0 0
1 E ( X ) E (Y ) 3
三、数学期望的性质 1. 设C 是常数，则E(C )=C ; 2. 若C 是常数，则E(CX ) = CE(X ); 3. E ( X Y ) E ( X ) E (Y ) 证明: 设 X .Y ~ f x, y
例6. 设某公共汽车站于每小时的10分, 50分发车, 乘客在每小时内任一时刻到达车站是随机的。求 乘客到达车站等车时间的数学期望。 则 T ~ U [0 , 60] 解: 设T 为乘客到达车站的时刻(分)，
1 , 0 t 60, 其概率密度为 f t 60 其它. 0,
4. 设X、Y 独立，则 E(XY )=E(X )E(Y ); 证明: 设 X .Y ~ f x, y 注：该性质不是充要条件
2
115 100 ) P{Y 5000} P{T 115} 1 ( 5 1 3 0.0013
P{Y 1000} P{100 T 115} 0.4987
已求出:
P{Y 5000} 0.0013 P{Y 1000} 0.4987 P{Y 10000} P{0 T 100} (0) (20) 0.5 0 0.5
第四章 随机变量的数字特征
一、数学期望 二、方差 三、协方差和相关系数 四、矩和协方差矩阵
第一节 数学期望
一 、数学期望的概念 二、随机变量函数的数学期望 三、数学期望的性质 四、几种离散型分布的期望 五、几种连续型分布的期望
第四章
一、数学期望的概念
引例：某人参加一个掷骰子游戏，规则如下： 掷得点数 获得(元) 1点 1 2,3点 2 4,5,6点 4
求：一次游戏平均得多少钱？
1 E ( X ) E (Y ) 3
三、数学期望的性质 1. 设C 是常数，则E(C )=C ; 2. 若C 是常数，则E(CX ) = CE(X ); 3. E ( X Y ) E ( X ) E (Y ) 证明: 设 X .Y ~ f x, y
例6. 设某公共汽车站于每小时的10分, 50分发车, 乘客在每小时内任一时刻到达车站是随机的。求 乘客到达车站等车时间的数学期望。 则 T ~ U [0 , 60] 解: 设T 为乘客到达车站的时刻(分)，
1 , 0 t 60, 其概率密度为 f t 60 其它. 0,
4. 设X、Y 独立，则 E(XY )=E(X )E(Y ); 证明: 设 X .Y ~ f x, y 注：该性质不是充要条件
2
115 100 ) P{Y 5000} P{T 115} 1 ( 5 1 3 0.0013
P{Y 1000} P{100 T 115} 0.4987
已求出:
P{Y 5000} 0.0013 P{Y 1000} 0.4987 P{Y 10000} P{0 T 100} (0) (20) 0.5 0 0.5
第四章 随机变量的数字特征
一、数学期望 二、方差 三、协方差和相关系数 四、矩和协方差矩阵
第一节 数学期望
一 、数学期望的概念 二、随机变量函数的数学期望 三、数学期望的性质 四、几种离散型分布的期望 五、几种连续型分布的期望
第四章
一、数学期望的概念
引例：某人参加一个掷骰子游戏，规则如下： 掷得点数 获得(元) 1点 1 2,3点 2 4,5,6点 4
求：一次游戏平均得多少钱？
概率论第四章4-4
i , j 1,2 , , n 都存在 , 则称矩阵
c 11 c 21 C c n1 c 12 c 22 cn2
.
j
c1n c2n c nn
为 n 维随机变量的
协方差矩阵
例如
二维随机变量
( X 1 , X 2 ) 的协方差矩阵为
.若 ( X 1 , X 2 , , X n ) 服从 n 维正态分布 3 Y k 是 X j ( j 1 , 2 , , n ) 的线性函数 也服从多维正态分布 .
, 设 Y 1 , ,
, 则 (Y 1 , Y 2 , , Y k )
线性变换不变性
, 则“ X 1 ,
n
4 .设 ( X 1 , , X n ) 服从 n 维正态分布 X 2 , , X
n
相互独立” 与“ X 1 , X 2 , , X
两两
不相关” 是等价的 .
三、小结
1 . 矩是随机 变量的数字特征 .
随机变量
X 的
数学期望 E ( X ) 是 X 的一阶原点矩 ; 方差 D ( X ) 是 X 的二阶中心矩 ; 协方差 Cov( X , Y ) 是 X 与 Y 的二阶混合中心矩
c 22 E {[ X 2 E ( X 2 )] }.
2
由于 c ij c ji ( i , j 1 , 2 , , n ) , 所以协方差矩 阵为对称的非负定矩阵 .
协方差矩阵的应用
协方差矩阵可用来表示多维随 机变量的概率密度，从而可通 过协方差矩阵达到对多维随机 变量的研究
以二维随机变量
( X 1 , X 2 ) 为例 .
由于
c 11 c 21 C c n1 c 12 c 22 cn2
.
j
c1n c2n c nn
为 n 维随机变量的
协方差矩阵
例如
二维随机变量
( X 1 , X 2 ) 的协方差矩阵为
.若 ( X 1 , X 2 , , X n ) 服从 n 维正态分布 3 Y k 是 X j ( j 1 , 2 , , n ) 的线性函数 也服从多维正态分布 .
, 设 Y 1 , ,
, 则 (Y 1 , Y 2 , , Y k )
线性变换不变性
, 则“ X 1 ,
n
4 .设 ( X 1 , , X n ) 服从 n 维正态分布 X 2 , , X
n
相互独立” 与“ X 1 , X 2 , , X
两两
不相关” 是等价的 .
三、小结
1 . 矩是随机 变量的数字特征 .
随机变量
X 的
数学期望 E ( X ) 是 X 的一阶原点矩 ; 方差 D ( X ) 是 X 的二阶中心矩 ; 协方差 Cov( X , Y ) 是 X 与 Y 的二阶混合中心矩
c 22 E {[ X 2 E ( X 2 )] }.
2
由于 c ij c ji ( i , j 1 , 2 , , n ) , 所以协方差矩 阵为对称的非负定矩阵 .
协方差矩阵的应用
协方差矩阵可用来表示多维随 机变量的概率密度，从而可通 过协方差矩阵达到对多维随机 变量的研究
以二维随机变量
( X 1 , X 2 ) 为例 .
由于
《概率论与数理统计》六
E( X ) xk pk . k 1
例1 设甲、乙两射手在同样条件下进行射击，其命中环数是一
随机变量，分别记为X、Y，并具有如下分布律
X 10 9 8 7
Y 10 9 8 7
Pk 0.6 0.1 0.2 0.1
Pk 0.4 0.3 0.1 0.2
试问甲、乙两射手的射击水平哪个较高？
解 100.6 90.180.2 70.1 100.4 90.3 80.1 70.2
i1 j1
2
E(Y )
yf ( x, y)dxdy dx
ydy
0
0
3
1
2(1 x )
1
E(XY )
xyf ( x, y)dxdy dx
xydy
0
0
6
三、数学期望的性质
假设以下随机变量的数学期望均存在． 1. E(C)=C, （C是常数） 2. E(CX)=CE(X), （C是常数） 3. E(X+Y)=E(X)+E(Y), 4. 设X与Y相互独立, 则 E(XY)=E(X)E(Y)
1
e
x
,
0,
x0 x0
( 0)
求将这5个元件串联组成的系统的平均寿命．
解
Xk的分布函数为
F
(
x)
1
e
x
,
0,
x0 x0
串联时系统寿命 N min( X1 , X2 , , X5 ) ，
其分布函数为 Fmin ( x) 1
[1
F(
x)]5
1
e
5x
,
0,
x 0, x 0.
fmin
2 X 3, 一台付款 2500 元; X 3, 一台付款3000元.
矩、协方差矩阵【概率论与数理统计+浙江大学】
E(Z)=2E(X)-E(Y)&#(Y)=8+1=9
Z~N(5, 32)
故 Z 的概率密度是
fZ (z)
3
1
2
( z5)2
e 18 ,
z
例 设随机变量X,Y独立,均服从正态分布 N (, 2)
令U=aX+bY, V=aX-bY,问常数a,b满足什么条件时 随机变量U,V相互独立？
若它的概率密度为
f
(x1,x2,
…,xn)
(2
1 )n 2
|
C
|1
2
exp{
1 2
(X
)C 1( X
)}
则称 X 服从 n 元正态分布.
其中C是(X1,X2, …,Xn) 的协方差矩阵.
|C|是它的行列式，C 1表示C的逆矩阵，
X 和 是 n 维列向量，X 表示X 的转置.
概率论与数理统计
第四节 矩、协方差矩阵
原点矩 中心矩 协方差矩阵 n 元正态分布的概率密度
一、 原点矩 中心矩
定义 设X和Y是随机变量，若 E( X k ), k 1,2,
存在，称它为X的k阶原点矩，简称 k阶矩. 若 E{[ X E( X )]k}, k 2,3,
存在，称它为X的k阶中心矩.
2. 正态变量的线性变换不变性.
若 X=(X1, X2 , … , Xn) 服从 n 元正态分布， Y1,Y2, …，Yk是Xj（j=1,2,…,n）的线性函数， 则 (Y1,Y2, …，Yk) 也服从多元正态分布.
3. 设(X1,X2, …,Xn)服从n元正态分布，则 “X1,X2, …,Xn相互独立”
可见，均值 E(X)是X一阶原点矩，方差D(X)
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若E [X E( X )]k[Y E(Y )]l k,l 1,2, 存在
称它为 X 和 Y 的 k+l 阶混合中心矩.
((k+l)-th mixed central moment) 可见, 协方差 cov(X, Y)是 X 和 Y 的二阶混合中心矩.
概率论
二、协方差矩阵
概率论
将二维随机变量 (X1, X2) 的四个二阶中心矩:
这是一个对称矩阵
称此矩阵为 (X1, X2) 的协方差矩阵(covariance matrix).
类似定义 n维随机变量 (X1, X2, …, Xn) 的协方差矩阵.
若 ci j cov( Xi , X j ) E{[ Xi E( Xi )][ X j E( X j )]}
( i, j=1,2,…,n ) 都存在, 称矩阵:
c11 c12 c1n
C
c21
c22
c2n
cn1 cn2 cnn
为 (X1, X2, …, Xn) 的协方差矩阵.
概率论
概率论
作业
习题4-4 1
c11 E{[ X1 E( X1)]2}
c12 E{[ X1 E( X1)][ X2 E( X2)]}
c21 E{[ X2 E( X2)][ X1 E( X1)]} c22 E{[ X2 E( X2 )]2}
排成矩阵的形式:
c11 c21
c12 c22
称它为 X的 k阶中心矩. (k-th central moment)
可见, 二阶中心矩。
概率论
2. 定义: 设 X 和 Y 是随机变量,
若E X kY l k,l 1,2, 存在
称它为 X 和 Y 的 k+l 阶混合(原点)矩. ((k+l)-th mixed raw moment)
概率论
第四节 矩 协方差矩阵
原点矩 中心矩 协方差矩阵
一、原点矩 中心矩
1. 定义: 设 X和 Y是随机变量,
若 E X k ,k 1,2, 存在，
称它为 X的 k阶原点矩，简称 k阶矩; (k-th raw moment)
若 E [X E( X )]k ,k 2,3, 存在,
称它为 X 和 Y 的 k+l 阶混合中心矩.
((k+l)-th mixed central moment) 可见, 协方差 cov(X, Y)是 X 和 Y 的二阶混合中心矩.
概率论
二、协方差矩阵
概率论
将二维随机变量 (X1, X2) 的四个二阶中心矩:
这是一个对称矩阵
称此矩阵为 (X1, X2) 的协方差矩阵(covariance matrix).
类似定义 n维随机变量 (X1, X2, …, Xn) 的协方差矩阵.
若 ci j cov( Xi , X j ) E{[ Xi E( Xi )][ X j E( X j )]}
( i, j=1,2,…,n ) 都存在, 称矩阵:
c11 c12 c1n
C
c21
c22
c2n
cn1 cn2 cnn
为 (X1, X2, …, Xn) 的协方差矩阵.
概率论
概率论
作业
习题4-4 1
c11 E{[ X1 E( X1)]2}
c12 E{[ X1 E( X1)][ X2 E( X2)]}
c21 E{[ X2 E( X2)][ X1 E( X1)]} c22 E{[ X2 E( X2 )]2}
排成矩阵的形式:
c11 c21
c12 c22
称它为 X的 k阶中心矩. (k-th central moment)
可见, 二阶中心矩。
概率论
2. 定义: 设 X 和 Y 是随机变量,
若E X kY l k,l 1,2, 存在
称它为 X 和 Y 的 k+l 阶混合(原点)矩. ((k+l)-th mixed raw moment)
概率论
第四节 矩 协方差矩阵
原点矩 中心矩 协方差矩阵
一、原点矩 中心矩
1. 定义: 设 X和 Y是随机变量,
若 E X k ,k 1,2, 存在，
称它为 X的 k阶原点矩，简称 k阶矩; (k-th raw moment)
若 E [X E( X )]k ,k 2,3, 存在,