概率论与数理统计 --- 第四章{随机变量的数字特征} 第四节：矩协方差矩阵

概率论
第四节 矩 协方差矩阵
原点矩 中心矩 协方差矩阵
一、原点矩 中心矩
1. 定义: 设 X和 Y是随机变量,
若 E X k ,k 1,2, 存在，
称它为 X的 k阶原点矩，简称 k阶矩; (k-th raw moment)
若 E [X E( X )]k ,k 2,3, 存在,

这是一个对称矩阵
称此矩阵为 (X1, X2) 的协方差矩阵(covariance matrix).
类似定义 n维随机变量 (X1, X2, …, Xn) 的协方差矩阵.
若 ci j cov( Xi , X j ) E{[ Xi E( Xi )][ X j E( X j )]}
c11 E{[ X1 E( X1)]2}
c12 E{[ X1 E( X1)][ X2 E( X2)]}
c21 E{[ X2 E( X2)][ X1 E( X1)]} c22 E{[ X2 E( X2 )]2}
排成矩阵的形式:

c11 c21
c12 c22
称它为 X的 k阶中心矩. (k-th central moment)
可见, 均值 E(X)是 X 的一阶原点矩, 方差 D(X)是 X的二阶中心矩。
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2. 定义: 设 X 和 Y 是随机变量,
若E X kY l k,l 1,2, 存在
称它为 X 和 Y 的 k+l 阶混合(原点)矩. ((k+l)-th mixed raw moment)
若E [X E( X )]k[Y E(Y )]l k,l 1,2, 存在
称它为 X 和 Y 的 k+l 阶混合中心矩.
((k+l)-th mixed central moment) 可见, 协方差 cov(X, Y)是 X 和 Y 的二阶混合中心矩.
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二、协方差矩阵
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将二维随机变量 (X1, X2) 的四个二阶中心矩:
( i, j=1,2,…,n ) 都存在, 称矩阵:
c11 c12 c1n
ห้องสมุดไป่ตู้
C

c21
c22

c2n
cn1 cn2 cnn
为 (X1, X2, …, Xn) 的协方差矩阵.
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作业
习题4-4 1