第四章 数字特征

第四章 随机变量的数字特征

㈠ 考试内容 随机变量的数学期望（均值）、方差、标准差及其性质 随机变量简单函数的数学期望 矩、协方差、相关系数及其性质

㈡ 考试要求

1、理解随机变量的数字特征（数学期望、方差，标准差、矩、协方差、相关系数）的概念，会运用数字特征的基本性质；掌握常用分布（二项分布、超几何分布、泊松分布、一维和二维均匀分布、指数分布、一维和二维正态分布）的数字特征（解题时可以直接利用这些数字特征）．

2、会求随机变量简单函数的数学期望． 一维随机变量的数字随特征

一、随机变量的数学期望

例1 某商店向工厂进货，该货物有四个等级：一、二、三和等外，产品属于这些等级的概率依次是：0.50、0.30、0.15、0.05. 若商店每销出一件一等品获利10.50元，销出一件二、三等品分别获利8元和3元，而销出一件等外品则亏损6元，问平均销出一件产品获利多少元？

解：假设该商店进货量N 极大，则平均说来其中有一等品N 50.0件，二等品和三等品和等外品数分别为N 30.0件、N 15.0件、N 05.0件. 这N 件产品总的销售获利为

)6(05.0315.0830.05.1050.0-⨯+⨯+⨯+⨯N N N N （元）

故平均获利为

元）

(8.7)6(05.0315.0830.05.1050.0)]6(05.0315.0830.05.1050.0[1

=-⨯+⨯+⨯+⨯=-⨯+⨯+⨯+⨯N N N N N

（一）离散型随机变量的数学期望

定义： 设随机变量X 的分布列为)21(}{ ，，===i p x X p i

i ，

若级数∑∞=1

i i i p x 绝对收敛，则称∑∞

=1

i i i p x 为随机变量X 的数学期望，记作EX ，即

∑∞

==1i i i p x EX

如果级数∑∞

=1

i i i p x 发散，则称X 的数学期望不存在.

（二）连续型随机变量的数学期望

定义：设连续型随机变量X 的概率密度为)(x f ，若积分⎰∞

+∞

-dx x f x )(绝对收敛，则称积分⎰∞

+∞

-dx x f x )(为X

的数学期望，记为EX ，即⎰∞+∞

-=dx x f x EX )(；若积分⎰

∞+∞

-dx x f x )(发散，则称X 的数学期望不存在.

（三） 随机变量函数的数学期望

定理：设X 是一个随机变量，)(x g 为连续实函数.

（1）若X 是离散型随机变量，其概率分布为 ，，

，21}{===i p x X p i i ，若级 数∑∞

=1

)(i i i p x g 绝对收敛，则)(X Eg 存在，且

∑∞

===1

)()(i i i p x g X Eg EY

（2）若X 是连续型随机变量，其密度函数为)(x f X ，若积分⎰∞

+∞

-dx x f x g X )()(绝对收敛，则)(X Eg 存在，

⎰∞

+∞

-==dx

x f x g X Eg EY X )()()(

例2

解：甲、乙射手命中环数)

(1.94.0103.093.08)

(4.95.0104.091.08环环乙甲=⨯+⨯+⨯==⨯+⨯+⨯=EX EX

二、 方差和标准差 表征随机变量取值分散或集中程度的数字特征．

在上一节例2

那么甲、乙射手命中环数X )(0.91.0108.091.08环甲=⨯+⨯+⨯=EX

)(0.92.0106.092.08环乙=⨯+⨯+⨯=EX

甲：2)(EX X E -=2.01.0)910(8.0)99(1.0)98(222=⋅-+⋅-+⋅- 乙：2)(EX X E -=4.02.0)910(6.0)99(2.0)98(222=⋅-+⋅-+⋅-

定义：设X 是一个随机变量，如果2)( EX X E -存在，则称2)( EX X E -为X 的方差，记作DX ，即2)(EX X E DX -=，称DX 为标准差或均方差. 常用下面的公式：

22)( EX EX DX -=

例3 在有N 个人的团体中普查某种疾病患病情况需逐个验血，若血样呈阴性则无此疾病，呈阳性则患有该疾病. 为了能减少逐个检验的工作量，统计学家想出一种方法：把k 个人)2≥k （的血样混合后再检验，若呈阴性，则k 个人都没有此疾病，这时k 个人只需作一次检验；若呈阳性，则需要对这k 个人逐一再进行检验，这时k 个人共需要检验1+k 次. 若该团体中患该疾病的概率为p ，且每个人是否患该疾病是相互独立的. 问这种验血方法能否减少验血次数，若能减少，可以减少多少工作量？

解：设X 为以k 人一组检验时，该团体中每个人需要验血的次数. 按题意，X 是只可能取两个值的随机变量，其分布为

则每人平均的验血次数为 []

k p p k p k EX k k k 1)1(1)1(111)1(1+--=--⋅⎪⎭

⎫

⎝⎛++-⋅=

)1.0(=p 时k ＝4EX =0.5939

例5 设X 的概率分布如下表所示，求2)(EX X E -

解：先求EX

2.110

3

210611010=⨯+⨯+⨯=EX

则 36

.010

3

)2.12(106)2.11(101)2.10()(2222=⨯-+⨯-+⨯-=-EX X E