正定二次型的应用
正定二次型及其在最优化中的应用
正定二次型及其在最优化中的应用作者：杨付贵
来源：《科学导报·学术》2020年第19期
摘 ;要：正定二次型在实二次型中占有十分重要的地位，在理论研究和实际应用中，有着非常重要的实用价值。
为使读者能够较正确深入，清晰的理解和掌握正定二次型的理论及其应用，本文主要是探讨正定二次型在最优化中的应用。
如有不妥之处，请读者给予批评指正。
关键词：正定二次型;正定矩阵;最优化
一、二次型与实对称矩阵
二次型理论在最优化方法中的应用十分广泛.运用矩阵的乘法运算，可将二次型与实对称矩阵紧密地联系在了一起，从而将二次型的基本问题转化成实对称矩阵问题.
在无约束最优化中，如果目标函数在上具有连续的二阶偏导数，其海色矩阵正定，并且可以表達成为显式（今后为了简便起见，记，那么可以使用上述的牛顿法.这种方法一旦好用，收敛速度是很快的.它是一维搜索牛顿切线法的推广.
参考文献
[1] ;杨付贵.二次型及其在实际中的应用[J].科教导刊
[2] ;杨付贵.正定二次型及其性质的探讨[J].科教导刊
[3] ;北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2003.
[4] ;张禾瑞.郝鈵新.高等代数（第三版）[M].北京：高等教育出版社，1984.
[5] ;陈宝林.最优化理论与算法[M].北京：清华大学出版社，2005.
[6] ;王燕军.最优化理论与方法[M].上海：复旦大学出版社，2005.
作者简介：杨付贵，1957年5月出生，男，天津人，副教授。
从事最优化方法研究。
二次型的正定性及其应用
毕业论文题目：二次型的正定性及其应用学生姓名：孙云云学生学号：0805010236系别：数学与计算科学系专业：数学与应用数学届别：2012 届指导教师：李远华目录摘要 (1)前言 (2)1 二次型的概念 (2)1.1 二次型的矩阵形式 (3)1.2 正定二次型与正定矩阵的概念 (3)2 二次型的正定性一些判别方法及其性质 (4)3 二次型的应用 (9)3.1 多元函数极值 (9)3.2 线性最小二乘法 (13)3.3 证明不等式 (15)3.4 二次曲线 (18)结论 (18)致谢 (19)参考文献 (19)二次型的正定性及其应用学生：孙云云指导老师：李远华淮南师范学院数学与计算科学系摘要：二次型与其矩阵具有一一对应关系，本文主要通过研究矩阵的正定性来研究二次型的正定性及其应用。
通过研究二次型的性质并利用正（负）定矩阵判断多元函数的极值、证明不等式，由矩阵的特征值求多元函数的最值，再借助于非退化线性替换判断二次曲线的形状。
关键词：二次型；矩阵；正定性；应用The second type of positive definite matrixand its applicationsStudent: Sun YunYunInstructor: Li YuanHuaDepartment of mathematics and Computational Science, HuainanNormal UniversityAbstract: Quadratic and its matrix is exactly corresponding relation, this paper mainly through the study of the matrix is qualitative to study the second type is qualitative and its application. Through the study of the nature of the second type and use the positive (negative) set judgment matrix function of many extreme value, to testify inequality, the characteristic value of the matrix for the most value of a function of many, then the degradation by linear replace judgment of the shape of the quadratic curves.Key words: Quadratic; Quadratic matrix; Qualitative; Application前言二次型常常出现在许多实际应用和理论研究中，有很大的实际使用价值。
二次型的正定性
05
二次型的正定性的扩展
向量空间中的二次型
01
二次型是向量空间中一种重要的数学工具，它通过二次方程式来定义和描述空 间中的形状和结构。
02
向量空间中的二次型可以用来描述和度量向量的长度、夹角和距离等几何属性 ，以及表达和计算向量的数量积、向量积和混合积等重要概念。
03
二次型的正定性是向量空间中二次型的一个重要属性，它与矩阵的正定性密切 相关。
02
二次型的正定性的判定
判定方法一：顺序主子式
总结词
顺序主子式是判断二次型是否为正定的一个重要方法，当二次型的顺序主子式均 为正时，二次型为正定。
详细描述
对于给定的二次型，可以通过将矩阵进行初等行变换和列变换，将其化为上三角 矩阵，然后查看其主子式是否均为正，若均为正，则该二次型为正定。
判定方法二：特征值法
应用三：二次型的数值稳定性分析
总结词
通过二次型的正定性可以分析数值稳定性。
详细描述
在数值分析中，数值稳定性是一个重要的问题。当进行 数值计算时，如果计算过程中产生的误差会随着计算的 进行而逐渐放大，那么就说这个计算过程是不稳定的。 通过分析二次型的正定性，可以判断数值计算过程是否 稳定。具体来说，如果二次型是正定的，那么该数值计 算过程就是稳定的；如果二次型是非正定的，那么该数 值计算过程就可能是不稳定的。
正定二次型是一种特殊的二次型，其对应的矩阵具有正定的特征值。这意味 着所有的特征值都是大于零的，因此正定二次型的特征值一定大于零。
性质三
总结词
对于任何一个正定二次型，其行列式值与矩阵范数之间存在一定的关系。
详细描述
矩阵的范数是一个衡量矩阵大小的量度，它与矩阵的行列式值之间存在一定的关系。对于正定二次型而言，其 行列式值与矩阵范数之间存在一种特定的关系，这种关系可以通过数学公式进行描述。
如何判断正定二次型及例题
如何判断正定二次型及例题正定二次型是一个非常重要的概念，它在数学、物理、工程等领域都有广泛应用。
本文将介绍如何判断正定二次型，并提供一些实例加深理解。
一、定义设 $A$ 是一个 $n$ 阶实对称矩阵，$x$ 是 $n$ 维实向量。
则$f(x)=x^T A x$ 称为二次型。
若对于任意非零向量 $x$，都有$f(x)>0$，则称该二次型为正定二次型；若对于任意非零向量 $x$，都有 $f(x)<0$，则称该二次型为负定二次型；若存在某些非零向量$x$，使得 $f(x)>0$，同时存在某些非零向量 $y$，使得 $f(y)<0$，则称该二次型为不定二次型。
二、判断方法1. 特征值法正定二次型的判断方法之一是使用特征值法。
设 $A$ 的特征值为 $lambda_i$，对应的特征向量为 $x_i$。
则二次型 $f(x)=x^T A x$ 可以表示为：$$f(x)=sum_{i=1}^n lambda_i x_i^2 $$因此，若 $lambda_i>0$，则 $f(x)$ 为正定二次型；若$lambda_i<0$，则 $f(x)$ 为负定二次型；若存在特征值$lambda_i$ 为 $0$，则不能判断二次型的类型。
2. 奇异值法奇异值法也是判断正定二次型的一种方法。
设 $A$ 的奇异值为$sigma_i$，对应的奇异向量为 $v_i$。
则二次型 $f(x)=x^T A x$ 可以表示为：$$f(x)=sum_{i=1}^n sigma_i^2 (x^T v_i)^2 $$因此，若 $sigma_i>0$，则 $f(x)$ 为正定二次型；若$sigma_i<0$，则 $f(x)$ 为负定二次型；若存在奇异值$sigma_i$ 为 $0$，则不能判断二次型的类型。
3. 行列式法设 $A$ 的顺序主子式为 $D_i$，则有以下判断规律：1) $D_i>0$（$i=1,2,cdots,n$），则 $f(x)$ 为正定二次型。
二次型的正定性
二次型的正定性是什么
二次型的正定性
对于一个给定的对称矩阵A，如果对于所有的非零向量x，都有`x^T*A*x>0`，则称A为正定矩阵；如果对于所 有的非零向量x，都有`x^T*A*x>=0`，则称A为半正定矩阵。
正定矩阵的性质
正定矩阵的行列式大于零；正定矩阵的特征值都是正数；正定矩阵的逆矩阵也是正定矩阵。
在弹性力学中，应力-应变关系可以表示为一个二次型。这个二次型的正定性 可以用来判断材料的弹性和稳定性。
05
二次型的正定性的扩展
高阶二次型
01
高阶张量
高阶张量是多个矩阵的张量积，可以 视为高阶矩阵。
02
高阶二次型的定义
高阶二次型是由高阶张量计算得到的 ，可以视为多个矩阵的张量积和。
03
高阶二次型的性质
高阶二次型具有与二阶二次型类似的 性质，包括正定性、负定性和不定性 等。
复二次型
复数矩阵
复数矩阵是矩阵的一种形式，每个元 素都可以表示为实部和虚部的形式。
复二次型的定义
复二次型是由复数矩阵计算得到的， 可以视为多个复数矩阵的乘积。
复二次型的性质
复二次型具有与二阶二次型类似的性 质，包括正定性、负定性和不定性等 。
二次型正定性的应用
在数学中，二次型的正定性主要用于 判定一些数学问题的有解性和解的唯 一性，如线性方程组求解、矩阵的特 征值计算等问题。
在物理学中，二次型的正定性主要用 于描述一些物理量的性质，如动能、 势能、转动惯量等。
在经济学中，二次型的正定性用于描 述一些经济变量的关系，如成本函数 、收益函数等。
用特征向量证明二次型的正定性
总结词
矩阵的特征向量是矩阵固有的性质，反映了矩阵对基础 向量的作用效果。
正定二次型
正定二次型一、定义正定二次型是线性代数中一个重要的概念。
在矩阵理论中，正定二次型是正定矩阵基于向量内积的一种自然推广。
正定二次型在数学分析、优化问题以及统计学中有着广泛的应用。
设A是一个n阶方阵，A是一个n维列向量，则称二次型A(A)=AAAA为矩阵A的对应二次型。
如果对于任意的非零向量A，都有A(A)>0，则称二次型A(A)为正定二次型。
二、性质正定二次型具有以下性质：1. 正定二次型的矩阵A一定是对称矩阵。
这是因为对称矩阵的转置等于自身，所以对任意的A，都有AAAA=AA(AAA)=AAAA。
2. 正定二次型的特征值全为正数。
设A是正定二次型的矩阵，对于A 的任意一个特征向量A，我们有AA=AA。
由于正定二次型对于任意非零向量A的取值都大于零，所以对于特征向量A，有AAAA>0，这等价于AA(AA)>0，即A>0。
因此，正定二次型的特征值全为正数。
3. 正定二次型的标准型为A₁²+A₂²+⋯+AA²。
正定二次型可以通过配方法化简为标准型。
化简的过程就是通过正交变换将原二次型变为标准型。
正交变换保持向量的长度不变，所以正定二次型的标准型为A₁²+A₂²+⋯+AA²。
4. 正定二次型的零空间只包含零向量。
设二次型A(A)=AAAA是正定二次型，如果A(A)=0，那么由于A≠0，所以AAAA=0，根据正定二次型的定义，A=0。
三、应用正定二次型在数学的许多领域有着广泛的应用。
1. 凸优化凸优化是数学中的一个重要分支，而正定二次型在凸优化问题中扮演着重要的角色。
对于一个凸优化问题，如果目标函数是一个正定二次型，那么这个优化问题就是一个凸优化问题。
通过对正定二次型进行分析，我们可以得到其极小点，并进一步解决凸优化问题。
2. 统计学在统计学中，正定二次型常常出现在协方差矩阵、精确度矩阵等概念中。
协方差矩阵描述了多个变量之间的关系，而正定二次型可以通过协方差矩阵定义一个正态分布的概率密度函数。
02-正(负)定二次型的判别法应用举例
§7 正定二次型四、正（负）定二次型的判别法应用举例四、正（负）定二次型的判别法应用举例定理3 对称矩阵A为正定的充分必要条件是：A的各阶主子式为正；对称矩阵A为负定的充分必要条件是：A的奇数阶主子式为负，而偶数阶主子式为正.例1 判别二次型()32312123222132148455,,x x x x x x x x x x x x f --+++=是否正定.解()的矩阵为,,321x x x f ,⎪⎪⎫ ⎛---212425⎪⎭ ⎝-524它的顺序主子式故上述二次型是正定的.,011225>=01524212425>=---- ,05>例2 判别二次型xzxy z y x f 44465222++---=的正定性.⎪⎫ ⎛--=225A 解,⎪⎪⎭ ⎝-402062f 的矩阵为,-05<它的各阶主子式,6-2 2 5-026>=080<-=A 所以根据赫而维茨定理知该二次型为负定.例3 判别二次型()312322213214542,,x x x x x x x x f -++=是否正定.解二次型的矩阵为,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=502040202A 特征值判别法.0=-E A λ.,,641321===⇒λλλ即知A 是正定矩阵，故此二次型为正定二次型.小结1.正定二次型的概念，正定二次型与正定矩阵的区别与联系．2.正定二次型（正定矩阵）的判别方法：定义法、主子式法和特征值法.3.根据正定二次型的判别方法，可以得到负定二次型（负定矩阵）相应的判别方法．课后作业课本：P.141, 32，33，34.。
正定二次型的矩阵
正定二次型的矩阵
正定二次型是指当输入向量不为零时，二次型的值始终大于零。
这意味着它所对应的矩阵的特征值都是正的。
在线性代数中，正定二次型矩阵具有重要的应用，例如用于等式约束和规划问题的求解。
以下是关于正定二次型矩阵的一些基本性质和应用：
性质：
1.正定二次型矩阵的秩等于其阶数。
2.正定二次型矩阵的行列式始终大于零。
3.正定二次型矩阵可以被用于求解优化问题，例如可以用于最小化某个目标函数的约束问题。
4.正定二次型矩阵可以通过进行主元素的分解来求出其特征值和特征向量。
应用：
1.正定二次型矩阵在机器学习领域中被广泛应用，例如用于支持向量机算法的求解。
2.正定二次型矩阵也可以被用于求解一些非线性规划问题，例如广义最小二乘问题和拟牛顿法。
3.正定二次型矩阵也可以被用于计算图像处理和数字信号处理中的优化算法。
总之，正定二次型矩阵是线性代数中非常重要的概念。
它与许多优化算法和规划问题有着密切的关系。
通过深入研究正定二次型矩阵，我们可以更好地理解这些领域中的问题，并提出更有效的算法和解决方案。
正定二次型在空间上的解释 知乎
正定二次型在空间上的解释一、引言正定二次型在数学领域中扮演着重要的角色，它不仅在线性代数、微分方程、优化理论等学科中有着广泛应用，而且在实际问题的建模中也有着重要作用。
在本篇文章中，我们将围绕正定二次型在空间上的解释展开讨论，以期能够更加深入地理解这一概念。
二、什么是正定二次型在开始探讨正定二次型在空间上的解释之前，我们首先需要了解什么是正定二次型。
正定二次型是指对于任意非零向量x，都有x^TAx >0成立的二次型，其中A是一个n阶实对称矩阵，x^T代表x的转置。
这一概念在数学和应用中都有着广泛的用途，因此我们有必要深入探讨其在空间上的解释。
三、正定二次型在空间中的几何解释在空间中，正定二次型可以被解释为一个椭球面。
设A是一个对称矩阵，x为一个n维向量，则正定二次型f(x)=x^TAx可以定义一个椭球面。
具体来说，对于f(x)>0成立的x，其构成的空间区域将形成一个椭球。
这一几何解释有助于我们更好地理解正定二次型的性质和应用。
四、正定二次型在优化问题中的应用正定二次型在优化问题中有着重要的应用。
在实际问题中，我们经常会遇到最小化一个关于变量x的二次型函数的问题。
正定二次型的性质使得我们能够更加高效地解决这类优化问题。
通过对其在空间中的解释，我们可以更加直观地理解在优化问题中正定二次型的作用和意义。
五、正定二次型与特征分解在线性代数中，我们学习了对称矩阵的特征分解问题。
正定二次型与特征分解有着密切的联系。
通过对对称矩阵A进行特征分解，我们可以得到A的特征值和特征向量，进而可以对正定二次型进行简化和分析。
这一步骤在空间中的解释下，能够帮助我们更好地理解正定二次型在线性代数中的重要性。
六、总结与展望通过以上的讨论，我们对正定二次型在空间上的解释有了更加深入的理解。
正定二次型不仅在数学理论中有着重要的地位，而且在实际应用中也有着广泛的应用。
通过在空间中进行解释，我们能够更加直观地理解其性质和意义。
二次型的基本概念及其在代数中的应用
二次型的基本概念及其在代数中的应用二次型是代数中的重要概念之一。
其定义为一个关于一组变量的二次多项式，这个多项式的系数称为二次型的系数。
在这篇文章中，我们将深入探讨二次型的基本概念以及它在代数中的应用。
一、二次型的基本概念二次型的定义我们已经了解了，接下来我们来看一些二次型的基本概念。
1. 正定、负定、不定如果一个二次型在它的所有自变量非零的取值下都大于0，那么这个二次型就是正定的；如果在所有自变量非零的取值下都小于0，那么这个二次型就是负定的；如果既有正的取值，又有负的取值，则这个二次型就是不定的。
2. 极化恒等式极化恒等式是二次型理论中的一个重要结论。
它表示任何一个二次型都可以由一个对称矩阵表示，并且对称矩阵的元素可以由二次型的系数计算得出。
同时，任何对称矩阵所表示的二次型都可以通过极化恒等式得到。
3. 规范形采用正交变换可以将任何二次型转化为一个规范形的二次型，使得这个二次型只包含主对角线上的非零项。
这个规范形可以通过矩阵的相似变换得到。
二、二次型在代数中的应用二次型作为一种数学结构，在代数中有着广泛的应用。
下面我们来分别介绍它在线性代数、微积分、数学物理中的应用。
1. 线性代数在线性代数中，二次型可以用来描述向量空间的内积关系。
比如，我们可以通过矩阵对称性证明对称矩阵所表示的二次型是正定、负定或不定的。
此外，我们还可以使用矩阵的特征值和特征向量来判断二次型的正定性。
2. 微积分在微积分中，二次型可以用来描述二元函数的曲面。
具体而言，我们可以通过二次型的规范形（主轴坐标系）来得到曲面的方程。
这个方程可以展示曲面的主要特征，比如正定二次型的曲面是一个椭球面。
3. 数学物理在数学物理学中，二次型可以用来描述物理系统的能量关系。
比如，我们可以将一个物理系统的能量构成一个二次型，然后通过对称矩阵和规范形来判断系统的状态。
此外，通过变换和对称性，我们还可以得出系统的简化模型和本征频率。
三、总结综上所述，二次型是代数中的重要概念之一。
正定二次型的性质与应用论文
河北师范大学本科生毕业论文（设计）文献综述河北师范大学本科生毕业论文（设计）翻译文章本科生毕业论文设计正定二次型的性质与应用作者姓名：指导教师：所在学院：数学与信息科学学院专业（系）：数学与应用数学班级（届）：2013届数学B班二〇一三年四月二十八日目录中文摘要、关键字 (2)1 正定二次型与正定矩阵的概念 (3)1.1 二次型的概念 (3)1.2 二次型的矩阵形式 (3)1.3 正定二次型与正定矩阵的概念 (3)2 实正定矩阵的判定方法及证明 (4)2.1 利用定义判定 (4)2.2 利用标准型判定 (4)2.3 利用主子式判定 (8)2.4 其他常用判定 (11)3 实正定矩阵的应用 (15)3.1 用正定矩阵的定义来证明一些结论 (15)3.2 正定矩阵在数学分析上的应用 (17)3.2.1 多元函数的极值问题 (17)3.2.2 正定矩阵在积分中的应用 (19)3.3 正定矩阵在运筹中的应用 (19)3.3.1 具有约束方程的最优化问题 (19)3.4 用正定矩阵来证明不等式 (20)3.5 正定矩阵在几何中的应用 (21)3.5.1二次曲面的标准型 (21)参考文献 (23)英文摘要、关键字 (24)正定二次型的性质及应用数学与信息科学学院数学与应用数学专业指导教师高锁刚作者王敬摘要：本文以矩阵和向量为工具,研究了一种特殊的函数,即二次型。
然而在它的实际应用中许多二次型都是实二次型,其中最重要的一类是正定二次型。
本文主要阐述的是实矩阵的正定性以及应用,文中给出了实对称正定矩阵的多个判定定理和重要结论,从而使人们能够更好地使用正定矩阵这个工具。
全文共分三章,第一章主要叙述二次型及正定二次型、正定矩阵的定义；第二章主要列举说明正定性矩阵的几个判别方法；第三章简单地罗列一些实例来阐述实矩阵正定性的应用。
关键字：正定矩阵正定二次型特征值实对称矩阵1 正定二次型与正定矩阵的概念1.1[1] 二次型的概念设P 是一个数域,ij a ∈P, n 个文字1x ,2x ,…,n x 的二次齐次多项式()n n n x x a x x a x x a x a x x x f 11311321122111212...22,...,,++++=n n x x a x x a x a 22322322222...2++++......+2n nn x a +=∑∑==n i nj jiij xx a 11()n j i a a ji ij ,...2,1,,==称为数域P 上的一个n 元二次型,简称二次型.当ij a 为实数时, f 称为实二次型.当ij a 为复数时,称f 为复二次型.如果二次型中只含有文字的平方项,即),,,(21n x x x f =2221112...n n d x d x d x +++则称f 为标准型. 1.2 二次型的矩阵形式二次型),,,(21n x x x f 可唯一表示成),,,(21n x x x f =T x Ax ,其中12(,,...,)T n x x x x =,()ij n n A a ⨯=为对称矩阵,称上式为二次型的矩阵形式,称A 为二次型的矩阵（A 必是对称矩阵）,称A 的秩为二次型f 的秩.1.3 正定二次型与正定矩阵的概念设),,,(21n x x x f =Tx Ax 是n 元实二次型（A 为实对称矩阵）,如果对任意不全为零的实数12,,...,n c c c 都有12(,,...)0n f c c c >,则称f 为正定二次型,称A 为正定矩阵；如果12(,,...)0n f c c c ≥,则称f 为半正定二次型,称A 为半正定矩阵；如果12(,,...)0n f c c c <,则称f 为负定二次型,称A 为负定矩阵；如果0),,,(21≤n c c c f ,称f 为半负定二次型,称A 为半负定矩阵；既不是正定又不是负定的实二次型称为不定的二次型,称A 为不定矩阵.2 实正定矩阵的判定方法及证明2.1 利用定义判定定理1 实对称矩阵A ∈n n R ⨯是正定矩阵的充分而且必要条件是对于任意的n 维非零列向量x , 即n R x ∈≠0,使0>Ax x T .定理2[2] 实对称矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡n d d 1是正定矩阵的充分而且必要条件是0>i d , n i ,2,1=.证明：实对称矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡n d d 1是正定的充要条件是对任意的n 维非零列向量x , 即n R x ∈≠0,有T x ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡n d d 10>x , 令T x )0,,0,1( =,则得01>d ,同理,分别令x 为所有的单位列向量,则可得0>i d ,n i ,,2,1 =,所以定理可证.定理3 实对称矩阵n n R A ⨯∈是正定矩阵的充分而且必要条件是对任意的n R x ∈≠0,使二次型Ax x T 的秩和符号差均等于n .证明：因为实对称矩阵A 是正定矩阵,所以存在二次型Ax x T 为正定二次型,其规范形为22221n y y y +++ ,所以正惯性指数为n ,即得二次型Ax x T 的秩和符号差均等于n .所以A 是正定矩阵.2.2 利用标准型判定定理 4 [2] 实对称矩阵n n R A ⨯∈是正定矩阵的充分而且必要条件是A 与单位矩阵E合同，即存在实非奇异矩阵C ，使E AC C T =.证明：必要性,因为实对称矩阵A 是正定矩阵,所以矩阵A 对应的二次型Ax x T为正定二次型,可经过一适当的非退化线性替换TY X =化为规范形22221ny y y +++ ,对应的矩阵为单位矩阵E . 即()()TY A TY T EY Y T =,所以()EY Y Y AT T Y T T T =,故可证得A 合同于单位矩阵E . 充分性, 若A 合同于矩阵E ,则存在可逆矩阵B ,使得A =T B EB .任意取X≠0, BX Y ==()12,,T n y y y ,则有Y ≠0.于是有Y Y EBX B X AX X T T T T ===22212n y y y ++ >0,定理可以得证.定理5 实对称矩阵n n R A ⨯∈是正定矩阵的充分而且必要条件是A 的所有特征根都大于零.证明：必要性, A 为正定矩阵,若A 的全部特征值n λλλ,,,21 不全大于0,不妨设01≤λ. 则存在正交矩阵P 使得有⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n TAP P λλλ21成立. 令(),,,,21n P ααα = 则有i i i A αλα=()n i ,,2,1 =,即i α为A 的属于特征值i λ的特征向量.特别的,取单位特征向量01≠β,即111βλβ=A .于是11111βλβββT T A =01≤=λ,而这与A 为正定矩阵相矛盾,所以A 的全部特征值n λλλ,,,21 都大于0.充分性,A 的特征值为n λλλ,,,21 ,则存在正交矩阵T ,使得⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡==-n T AT T AT T λλλ 211则有121-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=T T A n λλλ. 任意取0≠X ,则有Y Y X T TX AX X n T T n T T ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=λλλλλλ2121, 其中T X Y T T =()0,,,21≠=n y y y ,于是得AX X T 02222211>+++=n n y y y λλλ ,即有A 为正定矩.定理6[3] 实对称矩阵n n R A ⨯∈为正定矩阵的充要条件是A 是半正定矩阵且0≠A . 证明：必要性, 因为A 是正定矩阵,则A 一定是半正定矩阵,且0≠A .充分性, 设A 的特征值为n λλλ,,,21 ，由于A 是半正定矩阵可知，i λ()n i ,,2,10 =≥，又021≠⋅⋅⋅=n A λλλ ,故()n i i ,,2,10 =>λ，所以A 是正定矩阵.定理7 实对称矩阵n n R A ⨯∈ 是正定矩阵的充分而且必要条件是存在实可逆矩阵C ,使得C C A T=.证明：必要性,若A 是实对称正定矩阵,则存在实可逆矩阵C 使得EC C A T =C C T =,其中E 为n 阶单位矩阵.充分性,因为存在实可逆矩阵C ,使得C C A T =,并且有C C A T =EC C T=,其中E 为n 阶单位矩阵.即实对称矩阵A 合同于E ,所以可得A 为正定矩阵.定理8 实对称矩阵n n R A ⨯∈为正定矩阵的充分而且必要条件是存在实列满秩矩阵n m P ⨯, 使P P A T =.证明：必要性, 因为A 为正定矩阵, 则存在n 阶实可逆矩阵C , 使得C C A T =()()n m n TnnC -⨯⨯=0()⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯-⨯n n m n n C 0. 令 =P ()⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯-⨯n n m n n C 0,则 P P A T =, 其中P 为n m ⨯列满秩矩阵. 充分性,n m P ⨯为实列满秩矩阵,则P P T 为n 阶可逆矩阵, 故对任意的n R X ∈,0≠X , 则由秩m C =, 知,0≠CX 并且有0)(>==PX PX PX P X AX X T T T T ，即A 为正定矩阵.定理9[4] 对称矩阵A 是正定矩阵的充分而且必要条件是对任意的实n 阶可逆方阵C ,使得AC C T 都是正定的.证明：必要性,首先()TT AC C AC C T =,对任意n R X ∈,0≠X ,由秩n C =,知,0≠CX 由于A为正定矩阵,故()()(),0>=CX A CX X AC C X TT T即AC C T 为正定矩阵.充分性,AC C T 正定,则对任意的n R X ∈,0≠X ,由秩C n =,知,0≠TX 并且()()CX A CX T =()0>X AC C X T T ,即可得A 为正定矩阵.定理10 实对称矩阵A 是正定矩阵的充分而且必要条件是存在实可逆上三角矩阵R ,使R R A T =.证明：必要性,由于A 是实对称正定矩阵,所以存在实可逆矩阵P ,使得P P A T =.且存在矩阵Q 和R 使得QR P =,其中Q 为n 阶正交矩阵，R 为n 阶主对角元素都大于零的上三角矩阵，从而有P P A T =QR Q R T T =R R T =.充分性,因为存在n 阶主对角元素都大于零的上三角矩阵R ,使得R R A T =. 则显然矩阵R 可逆, 即可证得A 是正定矩阵.定理11 实对称矩阵n n R A ⨯∈为正定矩阵的充分而且必要条件是存在n 阶主对角元素都大于零的下三角矩阵U ,使得U U A T =.（证明同上）2.3 利用主子式判定定理12 实对称矩阵nn R A ⨯∈ 是正定矩阵的充分而且必要条件是A 的各阶顺序主子式都大于零.证明：必要性, 因为A 是实对称正定矩阵,所以存在二次型()n x x x f ,,,21 ∑∑===ni nj j i ij x x a 11是正定的.且对于每个k ,n k ≤≤1令()k k x x f ,,1 ∑∑===ki kj j i ij x x a 11.对于任意一组不全为零的实数k b b ,,1 ,有()k k b b f ,,1 ∑∑===k i kj j i ij b b a 11=()0,,0,,,1 k b b f .0>所以()k k x x f ,,1 是正定的. 由正定矩阵的行列式大于零可知,k f 的行列式,01111>kkk k a a a a n k ,,1 =. 所以可证得矩阵A 的一切顺序主子式都大于0.充分性, 对n 作数学归纳法.当1=n 时, ().21111x a x f =由条件中011>a ,显然可得()1x f 是正定的. 假设对于1-n 元二次型成立,现在来证明n 元二次型的情形.令 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=----1,11,11,1111n n n n a a a a A ,=β⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-n n n a a ,11 , 于是矩阵A 可以分块写成A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=nn Ta A ββ1. 由于A 的顺序主子式全大于零,所以1A 的顺序主子式也全大于零. 由归纳法假设可以知道,1A 是正定矩阵,即存在可逆的1-n 阶矩阵P 使得11-=n T E P A P ,此处1-n E 可代表1-n 阶单位矩阵.令⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1001P C , 则有⎥⎦⎤⎢⎣⎡100T P ⎥⎦⎤⎢⎣⎡nn T a A αα1⎥⎦⎤⎢⎣⎡100P ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-nn TT n a P P E αα1. 再令⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-1012αT n P E C , 则有2112C AC C C T T ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-101P E T n α⎥⎦⎤⎢⎣⎡-nn T T n a P P E αα1⎥⎦⎤⎢⎣⎡--101αT n P E ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-ααT T nn n PP a E 001.最后再令21C C C =, ,ααT T nn PP a a -=则有⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=a AC C T 11 . 两边同时取行列式,可有a A C =2.因为0>A ,所以0>a . 于是可得⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡a 11 =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡a 11 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡111 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡a 11 . 所以矩阵A 可与单位矩阵E 合同,并且可以证得矩阵A 是正定矩阵.定理13 实对称矩阵A 是正定矩阵的充分而且必要条件是A 的一切主子式均大于零.证明：必要性, (利用反证法)设A =()ij n n a ⨯是正定矩阵,假如可存在k 阶主子矩阵111212122212,0k k k k k k k ki i i i i i i i i i i i i i i i i i i i a a a a a a A A a a a =<则可根据k i A 是k 阶实对称矩阵,并由引理知可存在k 阶正交矩阵P ,使得P P A k T i k ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=βββ21 此处k βββ,,,21 为k i A 的特征值.由于k i A <0,且k i A =k βββ 21可知k i A 的特征值k βββ,,,21 中至少有一个小于0.推至一般性,设1β<0,令T Y =()1,0,,0 ,则可有Y ≠0并且k T i Y A Y =1u <0,再令T X =12(,,,)n x x x ,则有当{}12,,,k i i i i ∈ 时,可得i i x y =；当i 为其他时,得0i x =.则有X ≠0,且T X AX =k T i Y A Y =1u <0,而这与A 为正定矩阵的假设相矛盾.充分性, 假设k i A 是A 的一个k 阶主子矩阵, 则由于k i A 任意的一个顺序主子式均是A 的一个主子式,所以可知它们都大于0.所以可得k i A 为正定矩阵.定理可以得证.定理14[5] 实对称矩阵n n R A ⨯∈为正定矩阵的充分而且必要条件是A 的一切主子矩阵均为正定矩阵.证明：必要性,A 正定, 令⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n a a a a A 1111,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=k k k k i i i i i i i i k a a a a A 1111, 其中 k A 为A 的主子矩阵, n i i k ≤<<≤ 11()n k ,,2,1 =.显然 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=k k k k i i i i i i i i k a a a a A 1111()n k ,,2,1 =也是实对称矩阵.由于⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=k k k k i i i i i i i i k a a a a A 1111的k 个顺序主子式均为A 的k 个主子式,所以k 个主子式都大于零, 从而有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=k k k k i i i i i i i i k a a a a A 1111()n k ,,2,1 =为正定矩阵.充分性,若实对称矩阵A 的一切主子矩阵均是正定矩阵,则矩阵A 的一切主子式全都大于零,即可证得A 是正定矩阵.2.4 其他常用判定定理15 若A 是实对称正定矩阵，则1-A 也是实对称正定矩阵. 证明：由于A 是实对称正定矩阵,则0>A ,所以A 可逆.又因()(),111---==A A A T T所以可得1-A 也是实对称矩阵.设A 的特征值为n λλλ,,,21 ，由A 正定有()n i i ,,2,10 =>λ，1-A 的全部特征值为01>iλ()n i ,,2,1 =，即可得1-A 为正定矩阵.定理16 若A 是实对称正定矩阵，则对于任意的整数m ，m A 都是正定矩阵. 证明：I 当0=m 时，显然是正定矩阵.II 当0<m 时，由于m m -=，则有()mm A A 1-=，且1-A 也是正定矩阵，故只需假定m 为正整数即可.（i ）当m 为偶数时，由于A A T =，并且⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=22m Tm m A A A ，所以可得m A 是正定的； （ii ）当m 为奇数时，由于A 是正定矩阵，所以存在实可逆矩阵C ，使得C C A T=; 由此可得：2121212122----==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=m m m m CA C A AA A A A A A Tm m Tm m ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--2121m m CA CA T从而m A 是正定矩阵.定理17 若A 是n 阶实对称正定矩阵，则有*A 也是正定矩阵（其中*A 表示A 的伴随矩阵）.证明：已知*A =,1n n R A A ⨯-∈且()(),***==A A A T T又由于A 是正定矩阵，所以0>A .设A 的特征值为n λλλ,,,21 ，则由A 是正定矩阵有()n i i ,,2,10 =>λ,于是有*A 的n 个特征值11211,,,---n A A A λλλ 也都大于零，即可证得*A 也是正定矩阵.定理18 实对称正定矩阵的合同矩阵一定是正定矩阵. 证明：设实对称矩阵A 是正定矩阵，矩阵B 与矩阵A 合同，即存在可逆矩阵P ，使有AP P B T =成立，由于A 是正定矩阵，可知对于任意的n 维非零列向量X , 即nR X ∈≠0,有0>AX X T ,所以令PX Y =，则有0≠PX ，有0)()(>=CX A CX BY Y T T ，所以矩阵B 是正定矩阵，所以定理可得证.定理19 任意两个同阶实对称正定矩阵的和还是正定矩阵,更一般地,正定矩阵的正线性组合也是正定矩阵.证明：设A 、B n n R ⨯∈ 都是正定矩阵,同时又可设0,>b a , 因而对于任意的n R x ∈≠0, 可有0)(>+=+Bx bx Ax ax x bB aA x T T T .所以对于任意的两个同阶的正定矩阵的和仍是正定矩阵.而多于两个矩阵时，可以按照相同的方式进行处理, 并且可以利用数学归纳法给出具体的证明：（1）当2=n 时，由上可知命题结论成立；（2）假设当1+<k n 时有命题结论成立,以下可以证明1+=k n 时命题结论仍成立. 设121,,,+k k A A A A 是同阶的正定矩阵,并且有0,,,,121>+k k b b b b .下证1111+++++k k k k A b A b A b 也为正定矩阵.因而可得对于任意的n R x ∈≠0 有0)(11111111>+++=+++++++x A x b x A x b x A x b x A b A b A b x k T k k T k T k k k k T ,此式中的每一项均为正.所以可以得到当1+=k n 时, 结论成立.综合以上的（1）、（2）可知,对于一切的自然数n ,正定矩阵的正线性组合也仍为正定矩阵.定理20 对于任何的实对称矩阵A ,必存在实数0,0>>βα,使得A E α+与A E +β都是正定矩阵.证明：实对称矩阵A 的所有的特征根都是实数,所以不妨记其中一个绝对值最大的特征根为ολ,只要取οβλ>,则可有A E +β是正定矩阵.假设Q 是正交矩阵,使得⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n TAQ Q λλ 1则AQ Q EQ Q Q A E Q T T T +=+ββ)(=ββ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ +1n λλ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭=1n βλβλ+⎛⎫⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭由于0i βλ+>()1,2,,i n = ,可得A E +β也是正定矩阵.而当取1αβ=时,则有0α>,()1E A E A αββ+=+也是正定矩阵,于是定理可以得证.定理21 若A 、B 都是实对称矩阵,并且BA AB =,则AB 也必为正定矩阵. 证明：易知AB 的特征根均大于零,且有当AB BA =时,可有AB BA A B AB T T T ===)(,所以AB 又是对称矩阵,从而可得AB 是正定的.定理22 实对称矩阵=A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡3221A A A A T为正定矩阵的充分而且必要条件是1A 和21123A A A A T --都是正定矩阵.证明：当1A 可逆时,有⎥⎦⎤⎢⎣⎡--E A A ET 1120⎥⎦⎤⎢⎣⎡3221A A A A T ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--E A A E 0211⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-21123100A A A A A T 必要性, 若A 正定,那么1A 也正定,11-A 存在. 令⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-E A A E P 0211, 则P 可逆,所以AP P T 也正定.从而⎥⎦⎤⎢⎣⎡--21123100A A A A A T 为正定矩阵,因此它的主子矩阵1A 和21123A A A A T--都为正定矩阵.充分性,由于1A 和21123A A A A T --都是正定矩阵,且两个正定矩阵的和也是正定矩阵，可知 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--211231A A A A A T 为正定矩阵. 又可得⎥⎦⎤⎢⎣⎡=3221A A A A A T=()TP 1-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--2112300A A A A A T 1-P ,即可证得A 为正定矩阵.定理23 实对称矩阵n n R A ⨯∈为正定矩阵的充分而且必要条件是存在正交的向量组n ααα,,,21 使得.2211Tn n T T A αααααα+++=证明：必要性,因为A 是正定矩阵,所以存在正交矩阵Q ,使得Q Q A n T ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=λλλ 21,T n Q ),,(21βββ =, 令 i i i βλα=()n i ,,2,1 =为正交向量组, 则可得.2211Tn n T T A αααααα+++=充分性,Tn n T T A αααααα+++= 2211= )(21T n TT ααα ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n ααα 21 T T T = （T 为正交矩阵）, 显然可证得A 是正定矩阵.3 正定矩阵的应用3.1 用正定矩阵的定义来证明一些结论例 3.1 设A ,B 是n n ⨯实对称矩阵,A 是正定阵,证明：存在实可逆阵T ,使T B A T )(+'为对角阵.证 由于A 是正定阵,从而合同于单位阵E ,即可知存在实可逆阵Q ,使E AQ Q ='. 而BQ Q '仍是实对称矩阵,从而存在正交阵P ,使⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=''n P BQ Q P λλ 1)(,其中n λλ,,1 是BQ Q '的特征值,若令QP T =,则可有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++=+'n T B A T λλ11)(1 . 例 3.2 设B 为n 阶实对称矩阵,且正定. A 为m n ⨯实矩阵, T A 为A 的转置矩阵.试证：BA A T 为正定矩阵的充分而且必要条件是秩m A =)(.证 充分性 因为BA A BA A T T T =)(.0,1≠∈∀⨯x R x n ,由秩m A =,知()n j i a a ji ij ,...2,1,,==,而A 为正定阵,故0)()()(>=Ax B Ax x BA A x T T T ,此即BA A T 为正定阵.必要性 利用反证法.若秩m A <,则有0=Ax 有非零实数解0x 存在,即00=Ax ,但00≠x ,并且由BA A T 为正定矩阵,可知)()()(00000Ax B Ax x BA A x T T T=< ①另一方面,因为00=Ax ,所以m A =.0)()(00=Ax B Ax T ②由于①、②矛盾,故秩m A =)(.例 3.3 设A 是n 阶正定矩阵,B 是n 阶半正定矩阵,求证: A B A B +≥+,当且仅当0B =或n 1=时等号成立.证 由A 0>可知,存在n 阶的可逆矩阵P ,使得T P BP n E =成立,所以有()T T n P A B P E P BP +=+,且T T n P A B P E P BP +=+又因为T P BP 是半正定矩阵,设T P BP C ==()ij C ,则可有Tn E P BP +=11121212221211nnn n nnc c c c c c c c c ++=12121111n n n n n c c c c ---+++++其中i c 是C 的所有i 阶主子式之和,1,2,,i n = .而又因为0T C P BP =≥,并且它的所有主子式都是非负的,因此可得T n E P BP +≥1n +n c =n E +T P BP =T P AP +T P BP所以T P A B P +≥()TP A B P +由此可得A B A B +≥+当0B =或1n =时，显然有A B A B +≥+成立；当0B ≠且1n >时，易知T P BP C =0n n ⨯≠,于是可得至少有一个ij c ≠0,此时C 的一阶主子式ii c ,jj c 均不能为零,否则00ijijc c =2ij c -0<,这与C 是半正定矩阵矛盾.于是1c 0>,进一步可有T n E P BP +1>n c +,从而得A B A B +≥+成立.3．2 正定矩阵在数学分析上的应用3.2.1 多元函数的极值问题例3.4 求函数321232221321212),,(x x x x x x x x x f ++++=的极值.解 因为2211123x x x f +=∂∂，212212x x x f +=∂∂，2233+=∂∂x x f，令01=∂∂x f ，02=∂∂x f，03=∂∂x f ，得驻点T x )1,0,0(0-=，T x )1,144,24(1--=.又)(x f 的各二阶偏导数为12126x xf =∂∂，12212=∂∂∂x x f ，2312=∂∂∂x x f ，2222=∂∂xf ，0322=∂∂∂x x f ，2232=∂∂xf ，得（黑塞）矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=20202122126)(1x x H .在点0x 处，有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=20202122120)(0x H ，而)(0x H 的顺序主子式：0det 1=H ,0144212120det 2<-==H ,0296)(det det 03<-==x H H ,因此)(0x H 不定，0x 不是极值点.在点1x 处，有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=2020212212144)(1x H ，而)(1x H 的顺序主子式：0144det 1>=H ，014421212144det 2>==H ， 0280220212212144det 3>==H ， 故)(1x H 为正定矩阵，T x )1,144,24(1--=为极小值点，极小值为6913)1,144,24()(1-=--=f x f .3.2.2 正定矩阵在积分中的应用例3.5 证明：椭球体331j 11ij i j i a x x ==Ω=∑∑：的体积等于1/24/3,Aπ-其中()33ijA a ⨯=是正定矩阵.证明 A 是正定矩阵，∴∃正交矩阵T ，使得⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=321λλλAT T T，0>i λ，)3,2,1(=i 为A 的特征值 令⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=---131211λλλB 作变换TBY y y y TB x x x X =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321321，则此变换的Jacobi 行列式为2121321)(--=====AB B T TB J λλλ13312321j 13()ij iji x a x xx x x A x x ==⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭∑∑=Y Y BY B Y ATBY T B Y AX X TTT T T T T =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==321λλλ 1/212312312311T T X AX Y Y dx dx dx dx dx dx Ady dy dy -Ω≤≤∴===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰1/24/3Aπ-3.3 正定矩阵在运筹中的应用3.3.1 具有约束方程的最优化问题例 3.6 某地区计划明年修建公路x 百公里和创建工业园区y 百公顷，假设收益函数为xy y x f =),(，受所能提供的资源（包括资金、设备、劳动力等）的限制，x 和y 需要满足约束条件369422≤+y x ，求使),(y x f 达到最大值的计划数x 和y .解 由于约束方程369422=+y x 刻画的不是坐标平面上单位向量的集合，我们需要做变量变换.将这个约束方程写成1)2()3(22=+yx ， 再设31x x =，22yx =，即13x x =，22x y =，则约束方程可以写成 12221=+x x ，而目标函数变成2121216)2)(3()2,3(x x x x x x f ==.现在的问题就成为求216)(x x x F =在1=x x T下的最大值，其中⎪⎪⎭⎫⎝⎛=21x x x .设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0330A ，则 Ax x x F T =)(，A 的特征值是3±.属于31=λ的单位特征向量是⎪⎪⎭⎫⎝⎛2121.由此得，当211=x ，212=x 时，)(x F 取得最大值3，即当12.22331≈==x x 百公里，41.1222≈==x y 百公顷时，收益函数),(y x f 去的最大值3.3.4 用正定矩阵来证明不等式例3.7 证明不等式2224222x y z xy xz ++>-（其中,,x y z 是不全为零的实数）证明 令⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=--++=z y x z y x xz xy z y x f 301051111),,(2235222则有⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=301051111P 的各阶顺序主子式为 01>，045111>=--，0731051111>=----， 所以P 是正定矩阵00,0x y z ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪∴∀≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭有0f >故可得原不等式成立.3.5 正定矩阵在几何中的应用3.5.1二次曲面的标准型 例3.8 在3R 中化简二次方程03828322620828102222=-++-+-++-z y x zx yz xy z y x ，并判断其曲面形状.解 二次项相应的对称矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=10410421410141A .A 的特征多项式为)18)(18)(9(+--=-λλλλI A ，特征值为91=λ，182=λ，183=λ，对应的单位特征向量构成的正交矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=12221222131P .令⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡'''=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡z y x P z y x ，方程化为 0938316343222222=-'-'+'-'-'+'z y x z y x ， 配方得1)34(2)31(2)31(222=+'-+'+-'z y x .令31-'=x X ，31+'=y Y ，34+'=z Z ，得122222=-+Z Y X ，故原方程表示的曲面为单叶双曲面.参考文献[1] 北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组.高等代数（第三版）[M],北京:高等教育出版社,2003.[2] 线性代数/余长安编著.—武汉：武汉大学出版社,2010.1[3] 胡跃进.广义正定矩阵的一个不等式[J],阜阳师范学院学报（自然科学版）,2001.18（1）：10-11.[4] 张禾瑞,郝丙新. 高等代数（第三版）[M],北京:高等教育出版社,1983.[5] 钱吉林.高等代数解题精粹（修订版）[M],北京:中央民族大学出版社,2002.Properties and Applications of positive definite quadratic form Summary: Based on the matrix and vector tool, we study a kind of special function, quadratic form. However many quadratics in practical application are real quadratic form, with one of the most important class being positive definite quadratic form. This paper focuses on the positive definiteness and application of the real matrix. This paper presents several discrimination methods of the real symmetric positive definite matrix and important conclusions, which allow people to make better use of this tool in the positive definite matrix. The paper is divided into three chapters, the first chapter mainly describes the definition of the quadratic, positive definite quadratic form and the positive definite matrix; the second chapter cited several matrix discrimination method of the description positive definiteness; the third chapter simply list some examples to illustrate the application of the positive definiteness of a real matrix.Keyword: positive definite quadratic form positive definite matrixcharacteristic value necessary and sufficient condition real symmetric matrix。
利普希茨函数的正定二次型
利普希茨函数的正定二次型导语：正定二次型是数学中的一个重要概念，它在优化问题、矩阵理论等多个领域中起到重要作用。
而利普希茨函数是一类具有有界斜率的函数，也是数学中的一个基本概念。
本文将结合这两个概念，详细阐述利普希茨函数的正定二次型，探讨其性质和应用。
一、正定二次型的定义和性质正定二次型是指二次型矩阵的特征值全部大于零，在优化问题中具有重要的意义。
对于一个n阶矩阵A，其正定二次型定义为：Q(x)=x^T Ax，其中x为n维实向量。
正定二次型的性质包括：1.正定二次型的特征值全部大于零。
2.正定二次型的矩阵A是对称的。
3.正定二次型的矩阵A的秩为n。
4.正定二次型的矩阵A的行列式大于零。
二、利普希茨函数的定义和性质利普希茨函数是一类具有有界斜率的函数，它在分析、控制论等领域中有广泛应用。
对于一个定义在实数集上的函数f(x)，如果存在一个正实数L，使得对于任意的x1和x2，都有|f(x1)-f(x2)|≤L|x1-x2|，那么我们称f(x)为利普希茨函数，而L为利普希茨常数。
利普希茨函数的性质包括：1.利普希茨函数是有界函数。
2.利普希茨函数的导数存在且有界。
3.利普希茨函数是一致连续的。
三、利普希茨函数的正定二次型利普希茨函数的正定二次型是指由利普希茨函数构造的满足正定性质的二次型函数。
具体来说，我们可以通过将利普希茨函数的平方作为二次型函数的系数，构造一个正定二次型。
即，对于一个利普希茨函数f(x)，其正定二次型定义为：Q(x)=x^T(f(x))^2x。
利普希茨函数的正定二次型具有以下性质：1.正定二次型的特征值全部大于零。
2.正定二次型的矩阵是对称的。
3.正定二次型的矩阵的秩为n。
4.正定二次型的矩阵的行列式大于零。
四、利普希茨函数的正定二次型的应用利普希茨函数的正定二次型在优化问题和控制理论中有广泛应用。
在优化问题中，正定二次型可以作为目标函数或约束条件，用于求解最优解。
在控制理论中，正定二次型可以用于设计控制系统的性能指标，如稳定性、鲁棒性等。
二次型正定和方程组只有零解
二次型正定和方程组只有零解正定二次型是数学中一个重要的概念，它在优化问题、矩阵理论以及物理科学中都被广泛应用。
一个二次型是正定的，意味着它的取值总是大于零，并且只有当它的自变量等于零时取值为零。
具体来说，对于一个n维的实二次型Q(x)，如果对于任意非零向量x，都有Q(x)>0，那么这个二次型就是正定的。
这意味着二次型的取值范围始终是正数。
另外，当且仅当Q(x)=0时，向量x等于零向量。
方程组只有零解是另一个数学概念，它与线性代数中的矩阵和向量有关。
一个方程组只有零解，意味着不存在任何非零向量可以满足这个方程组。
换句话说，只有零向量是方程组的解。
二次型正定和方程组只有零解之间存在一定的联系。
具体来说，当一个二次型正定时，与其对应的矩阵是满秩的，也就是说，它的行向量或列向量是线性无关的。
而矩阵满秩又意味着方程组只有零解。
这个联系可以通过线性代数的理论证明。
当二次型正定时，我们可以将其表示为矩阵形式，记作Q。
若存在非零向量x，使得Q(x)=0，那么有x^T Q x = 0，进一步可得x^T Q x = x^T · Q^T · x = (Qx)^T · x = 0。
其中，Q是对称矩阵，Q^T表示Q的转置，^T表示矩阵的转置运算。
由于Q是正定二次型，故对于非零向量x，x^T Q x > 0，而不可能等于零，矛盾。
因此，一个正定二次型对应的方程组只有零解。
总结起来，二次型正定和方程组只有零解之间存在密切的关系。
正定二次型的矩阵是满秩的，从而对应的方程组只有零解。
这一概念在数学和应用领域中都起到重要的作用，为我们的研究提供了有力的工具和方法。
二次型的正定性及其性质
二次型的正定性及其性质二次型是数学中一个非常重要的概念，也是各种数理模型中必不可少的一部分。
二次型的正定性是其性质之一，对于二次型的求解和优化有着非常重要的意义。
本文将介绍二次型的正定性及其性质，以及其在实际应用中的意义。
一、二次型的定义和表示二次型是指形如 $f(x)=x^TAx$ 的二次函数，其中 $A$ 是一个$n\times n$ 的实对称矩阵，$x$ 是一个 $n$ 维实向量。
一般情况下，二次型是所有 $n$ 维实向量上的定义域。
实对称矩阵 $A$ 是二次型的系数矩阵，也是二次型的重要特征。
二、二次型的正定性二次型的正定性是指对于所有非零的 $x$，都有 $x^TAx>0$，即二次型的取值全部大于 $0$。
简单来说，二次型的正定性就是指其取值范围全部在正半轴上。
其逆定义为负定性，即对于所有非零的$x$，都有$x^TAx<0$。
还有一种定义是半正定性（或半负定性），即对于所有非零的 $x$，都有 $x^TAx\ge 0$（或 $x^TAx\le 0$）。
正定性和负定性的性质非常相似，下面我们以正定性为例，讨论其性质。
三、正定性的性质1. 正定性是矩阵的特征正定性是指针对一个特定的实对称矩阵 $A$，其对应的二次型是正定的。
如果我们改变实对称矩阵 $A$，那么其对应的二次型的正定性也会随之改变。
2. 正定性是线性的如果我们将两个实对称矩阵 $A$ 和 $B$ 相加，那么其对应的二次型的正定性也会相加。
具体地，对于所有非零的 $x$，都有$(x^TAx)+(x^TBx)>0$，所以矩阵之和的正定性可以保持不变。
3. 正定性是半正定性的推广正定性和半正定性之间存在非常密切的关系。
如果一个实对称矩阵 $A$ 在对角线元素为正的情况下是半正定的，那么其对应的二次型在对应的坐标轴上是正定的。
换言之，正定性是半正定性的推广，而半正定性是指在坐标轴上的正定性。
4. 正定性和二次型的最小值正定性和二次型的最小值之间也存在密切的联系。
正定二次型
正定二次型正定二次型是线性代数中一种重要的二次型形式，它在数学和工程领域都有广泛的应用。
本文将介绍正定二次型的定义、性质以及一些应用。
1. 定义对于一个n维向量x=(x1,x2,...,x n)T，其中x i表示向量x的第i个分量。
正定二次型是指具有如下形式的二次型：Q(x)=x T Ax其中A是一个$n \\times n$的对称矩阵，x T表示向量x的转置。
如果对于任意的非零向量x，都有Q(x)>0，则称二次型Q(x)为正定二次型。
2. 性质正定二次型具有一些重要的性质，下面将介绍其中几个性质。
2.1 对称性正定二次型的矩阵A是一个对称矩阵，即A=A T。
这是因为对于任意的向量x，都有x T Ax=x T(A T x)=(x T Ax)T=x T A T x。
因此，正定二次型的矩阵A是对称的。
2.2 正定性与正定矩阵的关系正定二次型与正定矩阵之间有着紧密的联系。
一个$n \\times n$的对称矩阵A 是正定矩阵，当且仅当对于任意的非零向量x，都有x T Ax>0。
而正定二次型Q(x)是由矩阵A定义的，因此正定矩阵与正定二次型是等价的概念。
2.3 正定矩阵的特征值对于一个正定矩阵A，它的特征值都大于零。
这是因为如果A的一个特征值为$\\lambda$，对应的特征向量为x，那么有$Ax = \\lambda x$。
进而，我们可以得到$x^T A x = x^T (\\lambda x) = \\lambda (x^T x) > 0$。
由于x是非零向量，x T x> 0，因此必有$\\lambda > 0$。
2.4 正定矩阵的行列式对于一个正定矩阵A，它的行列式大于零。
这是因为正定矩阵的特征值都大于零，而行列式是特征值的乘积，因此正定矩阵的行列式也大于零。
3. 应用正定二次型在数学和工程领域有着广泛的应用。
下面将介绍两个典型的应用。
3.1 正定二次型在优化问题中的应用正定二次型经常出现在优化问题的目标函数中。
二次型判定方法及应用
二次型判定方法及应用二次型是高等数学中的重要概念，广泛应用于线性代数、微积分、物理学、经济学等领域。
二次型的判定方法主要有正定、负定、半正定和半负定四种类型，这些判定方法在实际问题中具有重要的应用价值。
首先，我们来回顾二次型的定义。
对于n元变量x1，x2，...，xn和常数a11，a12，...，ann，二次型可以表示为：Q(x) = a11x1^2 + a22x2^2 + ... + annxn^2 + 2a12x1x2 + 2a13x1x3 + ... + 2an-1nxn-1xn其中，a11，a22，...，ann为二次型的系数，x1，x2，...，xn为变量，Q(x)表示该二次型。
接下来，我们将讨论四个二次型判定方法的定义、性质和应用。
1. 正定：若对于任意非零的n元列向量x=(x1,x2,...,xn)T，都有Q(x)>0，称二次型Q(x)为正定二次型。
正定二次型的系数满足以下性质：- 系数矩阵A=(aij)为实对称正定矩阵；- 系数aii>0，1≤i≤n；- 正定二次型的极值点为唯一的极小值点，且该极小值点为原点。
正定二次型在优化问题中经常出现，例如，最优化问题的约束条件若是等式形式，将其通过拉格朗日乘数法转化为等价的含有二次项的目标函数，然后利用正定二次型的特性来求解最优解。
2. 负定：若对于任意非零的n元列向量x=(x1,x2,...,xn)T，都有Q(x)<0，称二次型Q(x)为负定二次型。
负定二次型的系数满足以下性质：- 系数矩阵A=(aij)为实对称负定矩阵；- 系数aii<0，1≤i≤n；- 负定二次型的极值点为唯一的极大值点，且该极大值点为原点。
负定二次型在最优化问题中也有应用，例如，在极大极小值问题中，如果一个目标函数的Hessian矩阵是负定的，那么该函数在极小值点处取得极小值。
3. 半正定：若对于任意的n元列向量x=(x1,x2,...,xn)T，都有Q(x)≥0，称二次型Q(x)为半正定二次型。
二次型的几个应用实例
二次型的几个应用实例二次型是线性代数中的一个重要知识点，其在数学、物理和力学中都有着广泛应用。
二次型的应用在高中数学知识中就有体现，如用坐标变换把圆锥曲线、双曲线、抛物线化为标准曲线的实质是将二次型进行标准化。
事实上，二次型在证明不等式、分解多项式的因式、求解二次函数最值以及计算定积分中都有重要应用。
1、用二次型证明不等式一个实二次型是正定的，若其对任意的实数，都有。
可以通过构造正定二次型，利用其正定性来证明不等式[1]。
例1：证明不等式恒成立。
其中不全为0。
证明：将不等式移项得。
令，则我们只需证明f(x)恒大于0即可。
可知f(x)是一个实二次型，其二次型矩阵的三个顺序主子式均大于零。
因此，f(x)是正定二次型。
因此，对于任意一组不全为0的数，都有f(x)>0，即证。
2、二次型在二次曲线中的应用二次型起源于将二次曲线或二次曲面方程变型为标准型，所以二次型在二次曲线中的有最基本的应用。
因为二次曲线方程经可逆线性变换后的方程所对应的二次曲线图形与原图形是全等的即既不改变曲线的形状，又不改变大小。
因此，我们在判断二次曲线的形状时，可利用正交线性变换先把二次曲线化为标准型，然后再来判定原二次曲线的形状。
例2：判断二次曲线方程的形状并求其面积。
解：为了使方程所有项全部都是二次项，我们再设一个变量z。
令z，此时有。
将此二次型的矩阵做正交变换使其化为对角矩阵diag(4,1,-2)。
对角矩阵所对应二次型为。
由于正交变换不改变二次曲线的形状和大小，则有，进一步将其整理得。
很显然，这是一个椭圆方程。
长短轴分别为面积为，即原二次曲线方程的形状为椭圆，面积为π。
3、二次型用于因式分解因式分解是初等数学中很常见的一类问题，它在解方程，求多项式的根等问题上能一定程度上简便运算过程。
由于二次型都是二次齐次多项式，我们在这里只讨论二次多项式的因式分解。
应用下面的定理，我们能直接判断给出的二次多项式是否可以分解成几个一次多项式的乘积。
正定二次型的几个应用案例
正定二次型的几个应用案例
正定二次型可以用于描述社会、经济等不同领域的现象，其应用案例包括：
1. 生产经济学中的投入产出模型，可以用正定二次型来说明增加投入如何影响产出。
2. 劳动经济学中的薪资曲线，可以用正定二次型来描述工人工资水平与经验积累之间的关系。
3. 市场经济学中的需求曲线，可以用正定二次型来描述消费者对某种商品价格变化的反应以及需求量的变化。
4. 生物学中的植物生长曲线，可以用正定二次型来描述植物在各种环境条件下的生长情况。
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正定二次型的应用
专业：数学与应用数学学好：201102014010
姓名：张文洪指导教师：武慧虹
摘要
在高等代数中，正定二次型占很重要的地位。
本文主要探讨了正定二次型的性质及正定二次型的延伸应用。
如正定二次在重积分中的应用、在解决极值问题的应用、在分块矩阵中的应用、在线性方程组中的应用、在欧式空间中的应用、在物理力学中的应用等，而且它在理论研究中也有很大的实用价值，它不仅正数学学科中用到，在其他数学延伸学科中物理和工程学中也常常用到，正定矩阵是依附正定二次型给出的，因而正定矩阵的性质的考察，有助于更好地了解正定二次型，本文在二次型的基础上研究了正定二次型与正定矩阵的一些性质及相关证明，并以例题的形式一一解答。
关键词：正定二次型；正定矩阵；合同；初等变换；分块矩阵。