函数定义域值域求法(全十一种)
函数值域求法大全
函数值域求法大全函数的值域是由定义域和对应法则共同确定。
确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。
本文介绍了十一种函数值域求法。
首先是直接观察法，对于一些简单的函数，可以通过观察得到其值域。
例如，对于函数y=1/x，由于x不等于0，因此函数的值域为(-∞,0)U(0,+∞)。
再比如，对于函数y=3-x，由于x的取值范围为(-∞,+∞)，因此函数的值域为(-∞,3]。
其次是配方法，这是求二次函数值域最基本的方法之一。
例如，对于函数y=x^2-2x+5，将其配方得到y=(x-1)^2+4，由此可得出函数的值域为[4.+∞)。
还有判别式法，例如对于函数y=(1+x+x^2)/(1+x^2)，可以将其化为关于x的一元二次方程，然后根据判别式的值来确定函数的值域。
除此之外，还有其他的函数值域求法，如利用导数、利用反函数、利用奇偶性等方法。
这些方法各有特点，应根据具体情况选择合适的方法来求解。
总之，确定函数的值域是研究函数的重要一环，掌握好函数值域的求法可以帮助我们简化运算过程，事半功倍。
换元法是一种数学方法，可以通过简单的换元将一个函数变为简单函数。
其中，函数解析式含有根式或三角函数公式模型是其题型特征之一。
换元法不仅在求函数的值域中发挥作用，也是数学方法中几种最主要方法之一。
例如，对于函数 $y=x+x^{-1}$，我们可以令 $x-1=t$，则$x=t+1$。
代入原函数，得到$y=t^2+t+1=(t+1)^2+\frac{1}{4}$。
由于 $t\geq 0$，根据二次函数的性质，当 $t=0$ 时，$y$ 取得最小值 $1$，当 $t$ 趋近于正无穷时，$y$ 也趋近于正无穷。
因此，函数的值域为 $[1,+\infty)$。
又如，对于函数 $y=x^2+2x+1-(x+1)^2$，我们可以将 $1-(x+1)^2$ 化简为 $\frac{1}{2}-\left(x+\frac{1}{2}\right)^2$，然后令 $x+1=\cos\beta$，则 $y=\sin\beta+\cos\beta+1$。
求函数值域方法十一种
在 函 数 的 定义 域 内
的 值域
。
观 察 自变 量 变 化 时 所 对 应 的 函 数 值 的 变 化情 况
,
从而 直 接 求 出函 数
例
解
:
l
求函数了
=
5 +
了百 百 护 的值 域
,
。
由偶 次 根 式 的 定 义 域
9
一 :
:
知
,
七
一
O
又由
’.
x 忿
七
0
。
可知
一
9
一 工,
(
3
9
( 丫 9
二玄蕊 《 5
x
,
可通过
x
c
o
一 元 二 次方 程 的 判 别 式 求 出值 域
例
7
求函数y
=
1
Zx
:
+
x
一
1
的值域
。
解
:
将函 数 表 达 式 化 为
( Zy )
x
,
一
,
y
x
+
(
y +
1
)
=
o
,
注意 到 y 因 为 x 是 实数
’ :
“
二
o
时
·
方 程两 边显 然不 等
( Zy ) 〔
一
一
因而 y 今
。
,
x 把上 式 看作 关 于 的 一 元 二 次 方 程
2
时
叼吓厄 二
1
十
2
二 X +
1
3
x
.
高中数学-函数定义域值域求法精编
函数定义域、值域求法总结（一）求函数定义域1、函数定义域是函数自变量的取值的集合，一般要求用集合或区间来表示；2、常见题型是由解析式求定义域，此时要认清自变量，其次要考查自变量所在位置，位置决定了自变量的范围，最后将求定义域问题化归为解不等式组的问题；3、如前所述，实际问题中的函数定义域除了受解析式限制外，还受实际意义限制，如时间变量一般取非负数，等等；4、对复合函数y＝f［g（x）］的定义域的求解，应先由y＝f（u）求出u的范围，即g（x）的范围，再从中解出x的范围I1；再由g（x）求出y＝g（x）的定义域I2，I1和I2的交集即为复合函数的定义域；5、分段函数的定义域是各个区间的并集；6、含有参数的函数的定义域的求解需要对参数进行分类讨论，若参数在不同的范围内定义域不一样，则在叙述结论时分别说明；7、求定义域时有时需要对自变量进行分类讨论，但在叙述结论时需要对分类后求得的各个集合求并集，作为该函数的定义域；（二）求函数的值域1、函数的值域即为函数值的集合，一般由定义域和对应法则确定，常用集合或区间来表示；2、在函数f：A→B中，集合B未必就是该函数的值域，若记该函数的值域为C，则C是B的子集；若C＝B，那么该函数作为映射我们称为“满射”；3、分段函数的值域是各个区间上值域的并集；4、对含参数的函数的值域，求解时须对参数进行分类讨论；叙述结论时要就参数的不同范围分别进行叙述；5、若对自变量进行分类讨论求值域，应对分类后所求的值域求并集；6、求函数值域的方法十分丰富，应注意总结一、定义域是函数()y f x =中的自变量x 的范围。
求函数的定义域需要从这几个方面入手： （1）分母不为零（2）偶次根式的被开方数非负。
（3）对数中的真数部分大于0。
（4）指数、对数的底数大于0，且不等于1（5）y=tanx 中x ≠k π+π/2；y=cotx 中x ≠k π等等。
( 6 )0x 中x 0≠二、值域是函数()y f x =中y 的取值范围。
函数定义域值域求法总结
函数定义域值域求法总结函数的定义域（Domain）和值域（Range）是函数的基本性质之一，它们是通过对函数的规则、图像以及问题的具体要求进行分析和计算得出的。
在数学中，定义域和值域的求法可能会因函数类型的不同而有所不同。
本文将总结一些常见的函数定义域和值域求法方法，并提供一些示例。
一、函数定义域的求法方法1. 使用函数规则：根据函数的定义和规则，确定函数所能接受的变量范围。
例如，对于一个有理函数（Rational Function） f(x) = 1/(x-2)，由于分母不能为零，所以定义域为除去 x=2 的所有实数。
2. 图像法：绘制函数的图像，观察函数在整个定义域上是否有意义。
一般来说，如果函数在一些点处没有定义或出现断点，则这个点不属于定义域。
例如，对于一个分段函数（Piecewise Function）f(x) = ，x，其图像是一条 V 型曲线，因此定义域为所有实数。
3.非负实数法：有些函数定义域存在特定的限制，负数、零或者正数。
例如，对于一个以平方根为主的函数f(x)=√(x-3)，它的定义域要求x-3≥0，即x≥34. 根式定义域法：对于一些函数，如开方函数、对数函数，可以通过求解不等式来确定函数的定义域。
例如，对于对数函数 f(x) = log(x)，由于 log 函数的定义域要求 x > 0，所以它的定义域为所有正实数。
5.分式的定义域法：对于一个分式函数，要求分母不为零。
因此，可以根据分式的分母求解不等式来确定函数的定义域。
例如，对于一个分式函数f(x)=2/(x+1)，由于分母要求不等于零，所以定义域为除去x=-1的所有实数。
二、函数值域的求法方法1. 观察法：通过观察函数的定义和规则，或者通过观察函数的图像，推测函数的值域。
例如，对于一个二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c，如果 a > 0，那么函数的值域是 (−∞, f(v)]，其中 f(v) 是顶点的纵坐标。
函数值域的求法大全
函数值域的求法大全值域为R（注意判别式）；对数函数y=logax(a>0,a≠1)的定义域为R+，值域为R；指数函数y=ax(a>0,a≠1)的定义域为R，值域为(0,+∞)；三角函数y=sin x，y=cos x的值域均为[-1,1]；反三角函数y=arcsin x的定义域为[-1,1]，值域为[-π/2,π/2]；y=arccos x的定义域为[-1,1]，值域为[0,π]；y=arctan x的定义域为R，值域为(-π/2,π/2)。
利用函数的单调性来求值域对于单调递增函数f(x)，其值域为[f(a),f(b)]；对于单调递减函数f(x)，其值域为[f(b),f(a)]。
利用反函数来求值域设函数f(x)的反函数为g(x)，则f(x)的值域等于g(x)的定义域，即f(x)的值域为{x|g(x)∈R}。
利用配方法来求值域对于形如y=f(x)=ax2+bx+c(a>0)的二次函数，可通过配方法将其化为y=a(x+p)2+q的形式，其中a>0，(p,q)为顶点坐标，此时，y的值域为[q,+∞)或(−∞,q]。
利用不等式来求值域对于形如y=f(x)=ax2+bx+c(a>0)的二次函数，可通过求解不等式ax2+bx+c≥0来确定其值域。
以上是常见的求值域的方法，不同的函数类型可能需要不同的方法来求值域。
在解题过程中，要根据具体情况选择合适的方法，结合图像、单调性、反函数等性质进行分析，才能得出正确的结果。
剔除下面文章的格式错误，删除明显有问题的段落，然后再小幅度的改写每段话。
求函数值域是数学中常见的问题。
下面介绍两种常用的方法：单调性法和换元法。
单调性法是指利用函数的单调性来确定函数的值域。
具体来说，可以先找到函数在给定区间内的单调区间，然后比较区间两端点的函数值，从而确定函数的最大值或最小值。
当顶点横坐标是字母时，需要根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论。
求函数值域的12种方法
求函数值域的12种方法函数是中学数学的重要的基本概念之一，它与代数式、方程、不等式、三角函数、微积分等内容有着密切的联系，应用十分广泛。
函数的基础性强、概念多，其中函数的定义域、值域、奇偶性等是难点之一，是高考的常见的题型。
下面就函数的值域的求法，举例说如下。
一．观察法通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。
例1求函数y=3+√(2－3x)的值域。
点拨：根据算术平方根的性质，先求出√(2－3x)的值域。
解：由算术平方根的性质，知√(2－3x)≥0，故3+√(2－3x)≥3。
∴函数的知域为.点评：算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性。
本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。
练习：求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。
（答案：值域为：｛0，1，2，3，4，5｝）二．反函数法当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。
例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。
点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。
解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1－2y)/（y－1）,其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为｛y∣y≠1,y∈R｝。
点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。
这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。
练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x－10-x)的值域。
（答案：函数的值域为｛y∣y<－1或y>1｝）三．配方法当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域例3：求函数y=√(－x2+x+2)的值域。
点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。
解：由－x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[－1，2]。
此时－x2+x+2=－（x－1/2）2＋9/4∈[0，9/4]∴0≤√－x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2]点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。
函数定义域值域解析式求法
函数定义域、值域、解析式的求法一、定义域是函数y=f(x)中的自变量x 的范围。
求函数的定义域需要从这几个方面入手：（1）分母不为零 （2）偶次根式的被开方数非负。
（3）对数中的真数部分大于0。
（4）指数、对数的底数大于0，且不等于1 （5）y=tanx 中x ≠k π+π/2；y=cotx 中x ≠k π等等。
( 6 )0x 中x 0≠二、值域是函数y=f(x)中y 的取值范围。
常用的求值域的方法： （1）直接法 （2）配方法 （3）反函数法 （4）分离常数法 （5）换元法 （6）判别式法 （7）函数的单调性法（8）利用有界性（9）图像法（数型结合法）（10）不等式法 （11）有理化法 等等三、典例解析 1、定义域问题例1 求下列函数的定义域：① 21)(-=x x f ；② 23)(+=x x f ；③ xx x f -++=211)( 解：①∵x-2=0，即x=2时，分式21-x 无意义，而2≠x 时，分式21-x 有意义，∴这个函数的定义域是{}2|≠x x .②∵3x+2<0，即x<-32时，根式23+x 无意义， 而023≥+x ，即32-≥x 时，根式23+x 才有意义，∴这个函数的定义域是{x |32-≥x }.③∵当0201≠-≥+x x 且，即1-≥x 且2≠x 时，根式1+x 和分式x-21同时有意义，∴这个函数的定义域是{x |1-≥x 且2≠x }另解：要使函数有意义，必须： ⎩⎨⎧≠-≥+0201x x ⇒⎩⎨⎧≠-≥21x x 例2 求下列函数的定义域：①14)(2--=x x f ②2143)(2-+--=x x x x f ③=)(x f x11111++④xx x x f -+=0)1()(⑤373132+++-=x x y解：①要使函数有意义，必须：142≥-x 即： 33≤≤-x∴函数14)(2--=x x f 的定义域为： [3,3-]②要使函数有意义，必须：⎩⎨⎧≠-≠-≤≥⇒⎩⎨⎧≠-+≥--13140210432x x x x x x x 且或 4133≥-≤<--<⇒x x x 或或∴定义域为：{ x|4133≥-≤<--<x x x 或或}③要使函数有意义，必须： 011110110≠++≠+≠⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧xx x ⇒2110-≠-≠≠⎪⎩⎪⎨⎧x x x ∴函数的定义域为：}21,1,0|{--≠∈x R x x 且④要使函数有意义，必须： ⎩⎨⎧≠-≠+001x x x ⎩⎨⎧<-≠⇒01x x∴定义域为：{}011|<<--<x x x 或⑤要使函数有意义，必须： ⎩⎨⎧≠+≥+-073032x x ⎪⎩⎪⎨⎧-≠∈⇒37x R x 即 x<37- 或 x>37- ∴定义域为：}37|{-≠x x例3 若函数aax ax y 12+-=的定义域是R ，求实数a 的取值范围 解：∵定义域是R,∴恒成立，012≥+-aax ax ∴⎪⎩⎪⎨⎧≤<⇒≤⋅-=∆>2001402a a a a a 等价于 例4 若函数)(x f y =的定义域为[-1，1]，求函数)41(+=x f y )41(-⋅x f 的定义域解：要使函数有意义，必须：43434543434514111411≤≤-⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤≤-⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤-≤+≤-x x x x x ∴函数)41(+=x f y )41(-⋅x f 的定义域为：⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-4343|x x 例5 已知f(x)的定义域为[－1，1]，求f(2x －1)的定义域。
高一数学求函数的定义域与值域的常用方法(含答案)
高一数学求函数的定义域与值域的常用方法一. 求函数的定义域与值域的常用方法求函数的解析式，求函数的定义域，求函数的值域，求函数的最值二. 求函数的解析式3、求函数解析式的一般方法有：（1）直接法：根据题给条件，合理设置变量，寻找或构造变量之间的等量关系，列出等式，解出y 。
（2）待定系数法：若明确了函数的类型，可以设出其一般形式，然后代值求出参数的值； （3）换元法：若给出了复合函数f ［g （x ）］的表达式，求f （x ）的表达式时可以令t ＝g （x ），以换元法解之； （4）构造方程组法：若给出f （x ）和f （－x ），或f （x ）和f （1/x ）的一个方程，则可以x 代换－x （或1/x ），构造出另一个方程，解此方程组，消去f （－x ）（或f （1/x ））即可求出f （x ）的表达式；（5）根据实际问题求函数解析式：设定或选取自变量与因变量后，寻找或构造它们之间的等量关系，列出等式，解出y 的表达式；要注意，此时函数的定义域除了由解析式限定外，还受其实际意义限定。
（二）求函数定义域1、函数定义域是函数自变量的取值的集合，一般要求用集合或区间来表示；2、常见题型是由解析式求定义域，此时要认清自变量，其次要考查自变量所在位置，位置决定了自变量的范围，最后将求定义域问题化归为解不等式组的问题；3、如前所述，实际问题中的函数定义域除了受解析式限制外，还受实际意义限制，如时间变量一般取非负数，等等；4、对复合函数y ＝f ［g （x ）］的定义域的求解，应先由y ＝f （u ）求出u 的范围，即g （x ）的范围，再从中解出x 的范围I 1；再由g （x ）求出y ＝g （x ）的定义域I 2，I 1和I 2的交集即为复合函数的定义域；5、分段函数的定义域是各个区间的并集；6、含有参数的函数的定义域的求解需要对参数进行分类讨论，若参数在不同的范围内定义域不一样，则在叙述结论时分别说明；7、求定义域时有时需要对自变量进行分类讨论，但在叙述结论时需要对分类后求得的各个集合求并集，作为该函数的定义域；一：求函数解析式1、换元法：题目给出了与所求函数有关的复合函数表达式，可将内函数用一个变量代换。
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文档大全
实用标准
因为CD=AB=2x，所以CDx，所以
2
L2xxx
y2x
故
22
LABCDL2xx
AD，
22
(2
)
2
2
x
Lx
根据实际问题的意义知
2x
L
0
2x
2
x
0
0x
L
2
2
故函数的解析式为y(2)xLx
2
五、参数型
，定义域（0，
即为所求的定义域。
2
例3已知f(x)的定义域为［－2，2］，求f(x1)
的定义域。
2
解：令2x12
2
，得1x3
2
，即0x3
，因此0|x|3，从而
3x3，故函数的定义域是{x|3x3}。
（2）已知f[g(x)]的定义域，求f(x)的定义域。
其解法是：已知f[g(x)]的定义域是［a，b］，求f(x)定义域的方法是：由axb，求
恒成立，解得
3
0k；
4
②当k=0时，方程左边=3≠0恒成立。
综上k的取值范围是
四、实际问题型
3
0k。
4
这里函数的定义域除满足解析式外，还要注意问题的实际意义对自变量的限制，这点要
加倍注意，并形成意识。
例7将长为a的铁丝折成矩形，求矩形面积y关于一边长x的函数的解析式，并求函
数的定义域。
1
解：设矩形一边为x，则另一边长为(a2x)
含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之
一，在求函数的值域中同样发挥作用。
例11.求函数yxx1的值域。
解：令x1t，(t0)
2
则xt1
1322
ytt1(t)
∵4
2
又t0，由二次函数的性质可知
当t0时，y1
mni
当t0时，y
故函数的值域为[1,)
例12.求函数
2
y2(x1)的值域。
故可令x5cos,[0,]
y5cos45sin10sin(
)
4
4
∵0
5
444
当/4时，y410
max
当时，y45
mni
故所求函数的值域为：[45,410]
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3.判别式法
2
1xx
y
例4.求函数
2
的值域。1x
解：原函数化为关于x的一元二次方程
2
(y1)x(y1)x0
（1）当y1时，xR
2
(1)4(y1)(y1)0
13
y
解得：2
2
13
1,
（2）当y=1时，x0，而2
2
13
,
故函数的值域为2
2
例5.求函数yxx(2x)的值域。
22
解：两边平方整理得：2x2(y1)xy0
是
m0
(
2
6m)
4m(m
8)
0
0m1综上可知0m1。
评注：不少学生容易忽略m=0的情况，希望通过此例解决问题。
例6已知函数
f(x)
kx
kx7
2的定义域是R，求实数k的取值范围。
4kx3
2
解：要使函数有意义，则必须kx4kx3≠0恒成立，因为f(x)的定义域为R，即
2
kx4kx30
无实数
2
①当k≠0时，16k43k0
2
y
解：原函数可化为：x1x1
令y1x1,yx1，显然y1,y2在[1,]上为无上界的增函数
2
所以yy1，
y在[1,]上也为无上界的增函数
2
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实用标准
所以当x=1时，
y1y有最小值2，原函数有最大值
y
2
2
2
2
显然y0，故原函数的值域为(0,2]
5.换元法
通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式
1
2x
x
2
1x
2
22,cos
sin
2
1x
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实用标准
y
1
2
sin
2
cos2
1
4
sin
4
k
当28
1
ymax
时，4
k
当28
1
ymin
时，4
而此时tan有意义。
11
,
故所求函数的值域为4
4
x,
例14.求函数y(sinx1)(cosx1)，2
12
解：y(sinx1)(cosx1)
sinxcosxsinxcosx1
1
（1）当a0
2
时，F（x）的定义域为{x|ax1a}；
（2）当
1
0a时，F（x）的定义域为{x|ax1a}；
2
（3）当
1
a或
2
1
a时，上述两区间的交集为空集，此时F（x）不能构成函数。
2
六、隐含型
有些问题从表面上看并不求定义域，但是不注意定义域，往往导致错解，事实上定义域
隐含在问题中，例如函数的单调区间是其定义域的子集。因此，求函数的单调区间，必须先
评注：③和④怎样求公共部分？你会吗？
二、抽象函数型
抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函
数的定义域求另一个抽象函数的解析式，一般有两种情况。
（1）已知f(x)的定义域，求f[g(x)]的定义域。
（2）其解法是：已知f(x)的定义域是［a，b］求f[g(x)]的定义域是解ag(x)b，
求定义域。
例10求函数ylog(x22x3)
2的单调区间。
解：由x22x30，即x22x30，解得1x3。即函数y的定义域为
（－1，3）。
函数ylog(x22x3)
2
2是由函数ylogttx2x3
2，复合而成的。
t
2
x
2x
3
(
x
1)
2
4
，对称轴x=1，由二次函数的单调性，可知t在区间
(，1]上是增函数；在区间[1，)上是减函数，而ylog2t在其定义域上单调增；
L
2
）。
对于含参数的函数，求定义域时，必须对分母分类讨论。
例9已知f(x)的定义域为［0，1］，求函数F(x)f(xa)f(xa)的定义域。
解：因为f(x)的定义域为［0，1］，即0x1。故函数F(x)的定义域为下列不等式组
的解集：
0
0
x
x
a
a
1
1
，即
ax1a
ax1a
即两个区间［－a，1－a］与［a，1+a］的交集，比较两个区间左、右端点，知
的值域。
sni
令sinxcosxt，则
xcosx
1
2
(t
2
1)
y
1
2
(
t
1
2(t1)2
1)t1
2
由tsinxcosx2sin(x/4)
x,
12
且2
可得：
2
2
t2
∴当t2时，
ymax
3
2
2
2
t
，当2
32
y
时，42
3
4
2
2
,
3
2
2
故所求函数的值域为。
例15.求函数
2
y5x的值域。
x4
2，可得|x|5解：由5x0
2
于是可得矩形面积。
yx
1
2
(a
2x)
1
2
ax
2
x
x
2
1
2
ax
。
由问题的实际意义，知函数的定义域应满足
x
1
2
0
(a2x)0
a
0x。
2
x
a
0
2x
0
1a2
故所求函数的解析式为yxax
）。，定义域为（0，
22
例8用长为L的铁丝弯成下部为矩形上部为半圆的框架，如图，若矩形底边长为2x，
求此框架围成的面积y与x的函数关系式，并求定义域。
2
(1，3)(，1](1，1]，(1，3)[1，)[1，3)，所以函数ylog(x2x3)
2在区
间(1，1]上是增函数，在区间[1，3)上是减函数。
函数值域求法十一种
1.直接观察法
对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。
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实用标准
1
y
例1.求函数x
解：∵x0
的值域。
∴
1
x
0
显然函数的值域是：(,0)(0,)
x1
2
解：因1(x1)0
2
即(x1)1
故可令x1cos,[0,]
2
∴ycos11cossincos1
2sin(
)
4
1
5
0,0
∵4
4
2
2
sin()1
4
02sin()112
4
故所求函数的值域为[0,12]
3
xx
y
例13.求函数x2x1
42
的值域。
y
解：原函数可变形为：
1
2
1
2x
x
2
1
x
21x2
可令xtg，则有
实用标准
高中函数定义域和值域的求法总结