《正方形的性质与判定》第2课时示范课教学设计【数学九年级上册北师大】

《正方形的性质与判定》教学设计

第2课时

一、教学目标

1.理解并掌握正方形的判定定理，并会用正方形的判定定理进行证明和计算；

2.经历正方形判定定理及中点四边形的探索过程，进一步发展合情推理能力.

3.能够用综合法证明正方形的判定定理，进一步发展演绎推理能力.

4.体会探索与证明过程中所蕴含的抽象、推理等数学思想.

二、教学重难点

重点：理解并掌握正方形的判定定理，会用正方形的判定定理进行证明和计算.

难点：探究证明正方形的判定定理，探究并证明中点四边形.

三、教学用具

电脑、多媒体、课件、教学用具等

四、教学过程设计

【复习回顾】

教师活动：先提出问题让学生观察，然后

再动画演示.

问题：观察下列实物中的正方形，说一说

什么是正方形？

预设答案：一组邻边相等且有一个角是直

角的平行四边形叫做正方形.

追问：正方形具有哪些性质呢？

预设答案：

正方形的四个角都是直角，四条边相等.

正方形的对角线相等并且互相垂直平分.

【想一想】

你是如何判断一个四边形是矩形、菱形？

预设答案：

追问：怎样判定一个四边形是正方形呢？【操作】如图，将一张长方形纸片对折两次，然后剪下一个角打开，只要剪口线与折痕成45°角，展开后的图形就是正方形.

你知道这样做的道理吗？

【合作探究】

教师活动：研究正方形的判定方法，准备了两个探究活动，活动1是从矩形的基础上探究，活动2是从菱形的基础上探究，最后得出正方形的4种判定方法.

活动1准备一张矩形的纸片，按照下图

折叠，然后展开，折叠部分得到一个正方形，可量一量验证.

满足怎样条件的矩形是正方形？

预设答案：

【猜想1】当矩形的一组邻边相等时，会变成

一个正方形.

【猜想2】当矩形的对角线互相垂直时，会变成一个正方形. 【证明】

猜想1：有一组邻边相等的矩形是正方形. 已知：四边形ABCD 是矩形，AB =BC . 求证：四边形ABCD 是正方形.

证明：∵四边形ABCD 是矩形

∵∵A =90°，四边形ABCD 是平行四边形 又∵ AB =BC ，

∵四边形ABCD 是正方形.

猜想2：对角线互相垂直的矩形是正方形.

已知：四边形ABCD 是矩形，对角线AC 与BD 相交于点O ，AC ∵BD .

求证：四边形ABCD 是正方形.

证明：∵四边形ABCD 是矩形

∵OA =OC =OB =OD ，∵BAD =90°. 又∵ AC ∵BD ，

∵∵AOB ∵ ∵AOD （SAS ）. ∵AB = AD .

∵四边形ABCD 是正方形.（正方形的定义）.

D

A

B C

【归纳】

正方形的判定定理1：有一组邻边相等的矩形是正方形.

符号语言：

∵四边形ABCD是矩形，AB=BC，

∵四边形ABCD是正方形.

正方形的判定定理2：对角线互相垂直的矩形是正方形.

符号语言：

∵四边形ABCD是矩形，AC∵BD，

∵四边形ABCD是正方形.

活动 2 把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察这时菱形框架的形状，量量看是不是正方形.

满足怎样条件的菱形是正方形？

预设答案：

【猜想3】当菱形的有一个角是直角时，会变成一个正方形.

【猜想4】当菱形的对角线相等时，会变成一个正方形. 【证明】

猜想3：有一个角是直角的菱形是正方形. 已知：四边形ABCD 是菱形，∵A =90°. 求证：四边形ABCD 是正方形.

证明：∵四边形ABCD 是菱形

∵AB =BC ，四边形ABCD 是平行四边形 又∵ ∵A =90°，

∵四边形ABCD 是正方形.

猜想4：对角线相等的菱形是正方形. 已知：四边形ABCD 是菱形，对角线AC 与BD 相交于点O ，AC =BD .

求证：四边形ABCD 是正方形.

证明：∵四边形ABCD 是菱形 ∵OA =OC ，OB =OD ，AC ∵BD . 又∵ AC =BD ，

∵OA =OC =OB =OD ，∵AOB =∵BOC = ∵COD =∵AOD =90°.

∵∵AOB 、∵AOD 、∵BOC 、∵COD 都

D

A

B C

是等腰直角三角形.

∵∵BAD=90°

∵四边形ABCD是正方形（正方形的定义）.

【归纳】

正方形的判定定理3：有一个角是直角的菱形是正方形.

符号语言：

∵四边形ABCD是菱形，∵A=90°，

∵四边形ABCD是正方形.

定理4：对角线相等的菱形是正方形.

符号语言：

∵四边形ABCD是矩形，AC=BD，

∵四边形ABCD是正方形.

【典型例题】

思考：任意画一个正方形，以四边的中点为顶点可以组成一个怎样的图形呢？

预设答案：

猜想：正方形

你能尝试证明吗？

【证明】

已知：如图，点A1，B1，C1，D1 分别是正方形ABCD各边的中点.

求证：四边形A1B1C1D1 为正方形.

证明：连接AC，BD，

∵A1，B1分别是AB和BC边中点，

∴A1B1∥AC且A1B1=1

2 AC，

同理可证C1D1∥AC且C1D1 =1

2 AC，

A1D1∥BD且A1D1 =1

2 BD，

B1C1∥BD且B1C1 =1

2 BD.

∴四边形A1B1C1D1 为平行四边形.

又∵四边形ABCD是正方形，

∴AC = BD（正方形的对角线相等）AC⊥BD（正方形的对角线互相垂直），