分层抽样 (15)

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A．分层抽样法、分层抽样法 B．分层抽样法、简单随机抽样法 C．简单随机抽样法、分层抽样法 D．简单随机抽样法、简单随机抽样法 答案 B 解析 依题意，第①项调查应采用分层抽样法，第② 项调查应采用简单随机抽样法．故选B项．
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2．(分层抽样中的有关计算)某校高三一班有学生54
人，二班有学生42人，现在要用分层抽样wk.baidu.com方法从两个
4．按步骤 3 所确定的数在各层中随机抽取个体，并 合在一起得到容量为 n 的样本．
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要点三 两种抽样方法的区别和联系
类别
共同点
简单随 机抽样
_抽_样__过__程__中_各__ _个_个__体__被__抽_到__ __的且__机都____会 是 抽____相 不 取____等 放__， 回____ ___________ ___________
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解析 由分层抽样的方法可得，应从一年级本科生中 抽取的学生人数为 300×4＋5＋4 5＋6＝60.
答案 60
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4．(分层抽样的应用)一个地区共有5个乡镇，总人 口3万人，其人口比例为3∶2∶5∶2∶3，从3万人中抽 取一个300人的样本，分析某种疾病的发病率，已知这 种疾病与不同的地理位置及水土有关，则应采取什么样 的方法？并写出具体过程．
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【例题1】 为了解某地区的中小学生的视力情况， 拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先 已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力 情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面 的抽样方法中，最合理的抽样方法是( )
A．简单随机抽样 B．按性别分层抽样 C．按学段分层抽样 D．无法确定
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【例题2】 某企业三月中旬生产A，B，C三种产品 共3 000件，根据分层抽样的结果，该企业统计员制作 了如下的统计表.
产品类别 A B C 产品数量/件 x 1 300 y
样本容量 m 130 n
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由于不小心，表格中A，C产品的有关数据丢失， 统计员记得A产品的样本容量比C产品的样本容量多10. 根据以上信息，可得C产品的数量是________件．
各自特点
相互联 适用范
系
围
从总体中逐 个抽取
最基本 的抽样 方法
_总__体__容__量 _较__少_
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类别
共同点 各自特点 相互联系 适用范围
分层抽 样
_抽__样__过__程_中__各_ _个__个__体__被_抽__到_
的机会相等，
_且__都__是__不_放__回_ _____抽__取____
【例题3】 一个单位有职工500人，其中不到35岁的 有125人，35岁至49岁的有280人，50岁以上的有95人， 为了了解与身体状况有关的某项指标，要从所有职工中 抽 取 100 名 职 工 作 为 样 本 ， 若 职 工 年 龄 与 这 项 指 标 有 关，应该怎样抽取？
思维导引： 观察特征 → 确定抽样方法 → 求出比例
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考点四 抽样方法的选择
(1)简单随机抽样是分层抽样的基础，是一种等可能 性抽样，一般在总体个数较少时使用．
(2)分层抽样一般在总体个数较多且由差异明显的几 个部分组成时使用．
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【例题4】 某学校有职工140人，其中教师91人，教 辅行政人员28人，总务后勤人员21人．为了了解职工的 某种情况，要从中抽取一个容量为20的样本．以下的抽 样方法中，按简单随机抽样、分层抽样的排列顺序是 ________．
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解析 ①样本容量与总体的个体数的比为22110＝110. ②确定各种商店要抽取的数目． 大型：20×110＝2(家)，中型：40×110＝4(家)，小型： 150×110＝15(家)．
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③采用简单随机抽样在各层中抽取大型商店 2 家， 中型商店 4 家，小型商店 15 家．
这样便得到了所要抽取的样本．
解决分层抽样中有关抽样比问题的计算方法 对于分层抽样中的比值问题，常利用以下关系式巧 解： (1)总样体本的容个量数nN＝该层 该抽 层取 的的 个个 体体 数数；
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(2)总体中某两层的个体数之比等于样本中这两层抽 取的个体数之比．
对于分层抽样中求某层个体数，或某层要抽取的样 本个体数，都可以通过上边两个等量关系求解．
班抽出16人参加军训表演，则一班和二班分别被抽取的
人数是( )
A．8，8
B．10，6
C．9，7
D．12，4
答案 C
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解析 抽样比为541＋642＝16，则一班和二班分别被抽 取的人数是 54×16＝9，42×16＝7.
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3．(分层抽样中的有关计算)某大学为了解在校本科 生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的 方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300 的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、三年级、 四年级的本科生人数之比为4∶5∶5∶6，则应从一年级 本科生中抽取____________名学生．
中选出3名参加座谈会．
方法：Ⅰ.随机抽样法；Ⅱ.分层抽样法．
其中问题与方法能配对的是( )
A．①Ⅰ，②Ⅱ
B．①Ⅰ，②Ⅰ
C．①Ⅱ，②Ⅰ
D．①Ⅱ，②Ⅱ
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答案 C 解析 ①总体数比较大，且是由差异比较明显的三个 部分组成，故可用分层抽样来抽取样本；②总体与样本 都较少，可用随机抽样法．故选C项．
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思维导引：根据小学、初中、高中三个学段学生的 视力差异性比较大和男女生视力差异不大可确定抽样方 法．
答案 C 解析 由于该地区的中小学生人数比较多，不能采用 简单随机抽样，所以排除A项；由于该地区小学、初 中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，可采取 按照学段进行分层抽样，而男女生视力情况差异不大， 不能按照性别进行分层抽样，所以排除B，D项．
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2．适用范围 当总体是由_差__异__明__显_的几个部分组成时，往往采用 分层抽样．
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要点二 分层抽样的步骤
1．根据已掌握的信息，将总体分成_若__干_部__分__. 2．根据总体中的个体数 N 和样本容量 n 计算出抽样 比__k_＝__Nn___.
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3．根据抽样比 k 计算出各层中应抽取的个体数： n _N__·N_i__(其中 Ni 为第 i 层所包含的个体总数)．
___________
将总体分 成几部 分，每一 部分按比 例抽取
每层抽样
时采用 _简__单__随_机__ __抽__样____
_总__体__由__差_
_异__明__显__的_
若干部分
___组__成___ ________
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思考： 计算各层所抽取个体的个数时，若 Ni·Nn的 值不是整数怎么办，分层抽样公平吗？
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C．从1 000名工人中，抽取100人调查上班途中所 用时间
D．从生产流水线上，抽取样本检查产品质量 答案 B 解析 A项中总体所含个体无差异且个数较少，适合 用简单随机抽样；C项和D项中总体所含个体无差异， 不适合用分层抽样；B项中总体所含个体差异明显，适 合用分层抽样．
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考点二 分层抽样中各层样本容量的计算
思维导引：
变量y ―→ A，C产品数量间的关系 ―→
样本容量和各层中的样本数 ―→ 求出变量y
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解析 因为 C 产品的数量为 y，则 A 产品的数量为 x ＝3 000－1 300－y＝1 700－y，又 C 产品的样本容量为 n， 则 A 产品的样本容量为 m＝10＋n，由分层抽样的定义可 知mx ＝1n7＋001－0 y＝ny＝1133000，解得 y＝800.
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【变式1】 下列问题中，最适合用分层抽样抽取样 本的是( )
A．从10名同学中抽取3人参加座谈会 B ． 某 社 区 有 500 个 家 庭 ， 其 中 高 收 入 的 家 庭 125 户，中等收入的家庭280户，低收入的家庭95户，为了 了解生活购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为 100户的样本
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考点三 分层抽样的应用
(1)分层抽样实质是利用已知信息尽量使样本结构与 总体结构相似．在实际操作时，并不排斥与其他抽样方 法联合使用．
(2)在分层抽样的过程中，为了保证每个个体被抽到 的可能性是相同的，这就要求各层所抽取的个体数与该 层所包含的个体数之比等于样本容量与总体容量之比．
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→ 确定各层样本数 → 从各层中抽样 → 成样
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解析 用分层抽样来抽取样本，步骤是： (1)分层．按年龄将 500 名职工分成三层：不到 35 岁 的职工，35 岁至 49 岁的职工，50 岁以上的职工． (2)确定每层抽取个体的个数．抽样比为150000＝15，则 在不到 35 岁的职工中抽 125×15＝25(人)；在 35 岁至 49 岁的职工中抽 280×15＝56(人)；在 50 岁以上的职工中抽 95×15＝19(人)．
课末随堂演练
1．(抽样方法的选择)某公司在甲、乙、丙、丁四个 地区分别有150个、120个、180个、150个销售点．公司 为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取 一个容量为100的样本，记这项调查为①；在丙地区中 有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其销售收入 和售后服务情况，记这项调查为②，则完成①②这两项 调查宜采用的抽样方法依次是( )
思维导引：结合两种抽样方法的特点，逐一对照比 较．
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解析 由两种抽样方法的特点可知，方法一是简单随 机抽样，方法二是分层抽样．
答案 方法一，方法二
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【变式4】 问题：①三种不同的容器中分别装有三
种不同型号的零件400个、200个、150个，现在要从这
750个零件中抽取一个容量为50的样本；②从20名学生
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(3)在各层分别按抽签法或随机数法抽取样本． (4)综合每层抽样，组成样本．
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【变式3】 某城市有210家百货商店，其中大型商店 20家，中型商店40家，小型商店150家．为了掌握各商 店的营业情况，计划抽取一个容量为21的样本，按照分 层抽样方法抽取时，各种百货商店分别要抽取多少家？ 写出抽样过程．
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第一章
统 计(必修3)
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1.1 随机抽样 1.1.3 分层抽样
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课前 教材预案 课堂 深度拓展 课末 随堂演练 课后 限时作业
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课前教材预案
要点一 分层抽样的概念 1．定义 一般地，在抽样时，将总体分成_互_不__交__叉__的层，然 后按照__一__定__的_比__例_____，从各层__独__立_地___抽取一定数量 的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽 样方法叫分层抽样．
方法一：将140人从1～140编号，然后制作出标有 1～140的形状、大小相同的号签，并将号签放入同一箱 子里搅拌均匀，然后从中抽出20个号签，编号与号签相 同的20个人被选出．
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方法二：按20∶140＝1∶7的比例，从教师中抽出 13人，从教辅行政人员中抽出4人，从总务后勤人员中 抽出3人．从各类人员中抽取所需人员时，均采用随机 数表法，可抽到20人．
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解析 因为疾病与地理位置和水土均有关系，所以不 同乡镇的发病情况差异明显，因而采用分层抽样的方法， 具体过程如下：①将 3 万人分为 5 层，其中一个乡镇为 一层；②按照样本容量的比例随机抽取各乡镇应抽取的 样本，300×135＝60(人)，300×125＝40(人)，300×155＝ 100(人)，300×125＝40(人)，300×135＝60(人)，因此各乡 镇抽取人数分别为 60，40，100，40，60；③将 300 人组 到一起，即得到一个样本．
答案 800
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【变式2】 某中学有高中生3 500人，初中生1 500 人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校
学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取
70人，则n为( )
A．100
B．150
C．200
D．250
答案 A
解析 n＝(3 500＋1 500)×3 75000＝100.故选 A 项．
提示 为获取各层的入样数目，需先正确计算出抽样
比Nn，若 Ni·Nn的值不是整数，可四舍五入取整，也可先将 该层等可能地剔除多余的个体．分层抽样中，每个个体 被抽到的可能性是相等的，与层数、分层无关.
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课堂深度拓展
考点一 分层抽样的判断
分层抽样使用的前提是总体可以分层，层与层之间 有明显区别，而层内个体间的差异较小，每层中抽取的 个体数可按各层个体数在总体的个体数中所占比例抽 取．