单调性与最大小值第1课时.ppt

——单调递增性 ——单调递减性
y 随 x 的增大而增大
即是：
y y f (x)
f（x2）
ຫໍສະໝຸດ Baidu
f（x1）
m o
x1
nx2
x
当x1＜ x2时，有f（x1） ＜ f（x2）
知识要 点
函数单调性的概念：
1．增函数
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对 于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1， x2 ， 当 x1<x2 时 ， 都 有 f(x1)<f(x2) ， 那 么 就 说 f(x) 在 区间D上是增函数,如图1 .
若函数在此区间上是增函数，则区间为单调递增区间 若函数在此区间上是减函数，则区间为单调递减区间
例: 证明：函数 f ( x ) = 3x+2 在 R上
是单调增函数。
取值
证明：设 x 1 ，x 2是R上的任意两个值，且x 1 ＜ x 2，
作差
则 f ( x 1 ) －f ( x 2 ) = （3x 1 +2）－（3 x 2 +2）
1)
Q x1, x2 1, ，且 x1 x2 x1 x2 0, x1x2 1 0
f (x1) f (x2 ) 0, f (x1) f (x2 )
所以函数 y x 1 在区间上 1, 是增函数. x
结论
定号
返回
判断函数单调性的一般步骤 ：
1. 任取x1，x2∈D，且x1<x2； 2. 作差f(x1)－f(x2)； 3. 变形（通常是因式分解和配方）； 4. 定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）； 5. 下结论
y
o
x
函数的单调性定义
如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函 数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的） 单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间.
例1、下图为函数 y = f x, x [4,7] 的图像，
指出它的单调区间。
y 3 2 1
-1.5
-4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 6 7x
y x2
f (x1)
O
x1
x
(3)
(4) y随x的增大而增大
y y = x2
y y = x3
o
x
o
x
（-∞，0]上 y随x的增大而减小
[0，+∞）上y随x的增大而增大
y
y f (x)
y y f (x)
om
nx
在[m，n]上，函数
y随x的增大而增大
通
俗
定
义 om
nx
[m，n]上，函数
y随x的增大而减小
5
f(x)=x
-5 o
5
-5
问题2
画出 f(x) = x2 的图像，并观察图像.
1、在区间 __(_-∞__,0_]__ 上，f(x)的值随着x的增大而
_减__小___.
f(x) = x2 2、 在区间 ____(_0_,+_∞_ )上，
f(x) 的 值 随 着 x 的 增 大 而
5
___增__大.
-5 o
5
-5
y
f (x1)
x1 O
y x2
x
y
y x2
f (x1)
x1 O
x
y
y x2
f (x1)
x1 O
x
y
y x2
f (x1)
x
O
1
x
y
y x2
f (x1)
Ox1
x
y
y x2
f (x1)
O x1
x
y
y x2
f (x1)
O x1
x
y
y x2
f (x1)
O
x1
x
y
图2
注 意
1、函数的单调性是在定义域内的某个区间上的 性质，是函数的局部性质.
2 、必须是对于区间D内的任意两个自变量x1， x2；当x1<x2时，总有f(x1)<f(x2) 或f(x1)>f(x2) ，则函 数f(x)分别是增函数或减函数.
在某区间上，
增函数 图象上升
y
o
x
减函数 图象下降。
增区间为
(, )
单
调 区
y
y 1 x
间
O
x
减区间为
(,0),(0, )
o1
-1
2x
增区间为 [1, )
减区间为 (,1]
y
y =x3
o
x
增区间为
(, )
（1）函数的单调性也叫函数的增减性；
（2）函数的单调性是对某个区间而言的，它是个 局部概念。这个区间是定义域的子集。
（3）单调区间：针对自变量 x 而言的。
上升
y y x 1
o
x
下降
y
y x 1
o
x
局部上升或下降 y
y x2
o
x
函数图象的上升下降反映了函数的一个基本性质——
单调性
问题1
画出f(x)=x的图像，并观察其图像。
1、从左至右图象上升还是下降 ? _上_升__
2、在区间 (_-___,____)上，随着x的增大，f(x)的值
随着 __增__大__.
= 3 （x 1 －x 2 ）
∵x 1 ＜ x 2 ， ∴x 1 － x 2< 0
∴f ( x 1 ) －f ( x 2 ) < 0
定号
即f ( x 1 ) < f ( x 2 )
结论
所以,函数 f ( x ) = 3x+2 在 R上是单调增函数。
判断函数单调性的一般步骤 ：
1. 任取x1，x2∈D，且x1<x2； 2. 作差f(x1)－f(x2)； 3. 变形（通常是因式分解和配方）； 4. 定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）； 5. 下结论
-1 -2
解：单调增区间为 [-1.5，3]，[5，6] 单调减区间为 [-4，-1.5]，[3，5]，[6，7]
例1 下图是定义在区间[-4,5]上的函数y=f (x)，根 据图像说出函数的单调区间，以及在每一单调区 间上，它是增函数还是减函数？
3 2
o
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -2 -3
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于
定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2 ， 当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2) ，那么就说f(x)在区间D 上是减函数 ,如图2.
y
y=f(x)
f(x1)
f(x2) x
0
x1
x2
图1
y y=f(x)
f(x1) f(x2)
0
x1
x2 x
解：函数y=f(x)的单调区间有[-4，-2)，[-2，-1)， [-1，1)，[1，3)，[3，5],其中y=f (x)在区间 [-4，-2)， [-1，1)， [3，5]上是增函数，在区间 [-2，-1)， [1，3)上是减函数.
y 例2:
Y=2x+1
y
Y=(x-1)2-1
写 出
o
x
函
数 的
证明函数 y x在定1义域 x
上的1,单调性 .
证明：在区间 1, 上任取两个值 x1, x2 且 x1 x2 取值
则
f
( x1 )
f
(x2 )
( x1
1) x1
( x2
1 x2
)
作差
( x1
x2
)
(
1 x1
1 x2
)
( x1
x2
)
(
x2 x1
x1 x2
)
变 形
(
x1
x2
)(
x1 x2 x1 x2