斐波那契数列问题

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斐波那契数列题目[集锦]

斐波那契数列问题。

（专业C++作业ch4-1）题目描述著名意大利数学家斐波那契（Fibonacci）1202年提出一个有趣的问题。

某人想知道一年内一对兔子可以生几对兔子。

他筑了一道围墙，把一对大兔关在其中。

已知每对大兔每个月可以生一对小兔，而每对小兔出生后第三个月即可成为“大兔”再生小兔。

问一对小兔一年能繁殖几对小兔？提示：由分析可以推出，每月新增兔子数Fn={1,1,2,3,5,8,13,21,34,…}（斐波那契数列），可归纳出F1=1，F2=1，……，Fn=Fn-2+Fn-1。

仿照课本P128页的“2.基本题（1）”进行编程。

注意，（1）课本上的程序显示出数列的前16项的所有数值，这里要求只显示第n项数值；（2）课本上的程序在每次循环时显示数列中的两个数值（i=3时，显示了数列的第3项和第4项）。

输入描述一个正整数n，表示求第n个月的新增的兔子数。

输出描述对输入的n，求第n个月的新增的兔子数。

输入样例16输出样例9872. (18分)求阶乘和。

（专业C++作业ch4-2）题目描述编程求出阶乘和1!+2!+3!+…+n!。

注意：13!=6 227 020 800已经超出unsigned long的范围，故程序中不宜采用整型数据类型，而应使用双精度类型存放结果。

输入描述一个正整数n，n的值不超过18。

输出描述对输入的n，求阶乘和1!+2!+3!+…+n!。

（输出结果时，可以用输出格式控制“cout<<setprecision(17)”来控制双精度类型的结果按17个有效数字的方式显示）输入样例10输出样例40379133. (18分)除法问题。

（专业C++作业ch4-3）题目描述编写一个函数原型为int f(int n);的函数，对于正整数n计算并返回不超过n 的能被3除余2，并且被5除余3，并且被7出余5的最大整数，若不存在则返回0。

应编写相应的主函数调用该函数，在主函数中接受用户输入的正整数n。

Fibonacci数列(斐波那契数列)

1 5 1 5 f n C1 C 2 2 2
n
n
3.Fibonacci数列的通项公式
根据初始条件 f1 f 2 1 ,可能确定常数
c1 , c2 ,
[c1,c2]=solve('c1*(1+sqrt(5))/2+c2* (1sqrt(5))/2=1','c1*((1+sqrt(5))/2)^2+ c2*((1-sqrt(5))/2)^2=1')
4.自然界中的斐波那契数列
科学家发现，很多植物的花瓣、萼片、果实的数目以及排列的方式上，都有一个神奇的规律，它们都非常符合著名的斐波那契数列。
4.自然界中的斐波那契数列
现代科学研究表明，0.618在养生中起重要作用。注意了这些黄金分割点，对养生健体大有好处。现在发现此比值和医学保健、健康长寿有着千丝万缕的联系，亦可称为健康的黄金分割律。在人体结构上，0.618更是无处不在。脐至脚底与头顶至脐之比；躯干长度与臀宽之比；下肢长度与上肢长度之比，均近似于0.618。
4.自然界中的斐波那契数列
另外，也确实因为它具有悦目的性质，所以有时人们在时间中并非注意到这个比例，而特意去运用它，但往往就不自觉中，进入了这个法则之中。这也说明了，黄金分割的本身就存在有美的性质。
5.练习
借助计算机，求解下列线性差分方程（即求出数列的通项公式）。
an2 2an1 2an a1 3, a2 8
得到
fn2 fn1 fn n2 n 1 n
3.Fibonacci数列的通项公式
消去因子有
解得
1

初中奥数竞赛数列问题解析

初中奥数竞赛数列问题解析数列是数学中一个非常重要的概念和工具，常常在奥数竞赛中出现。

初中生们在学习数列的过程中，不可避免地会遇到一些数列问题。

本文将对一些常见的初中奥数竞赛数列问题进行详细解析。

1. 等差数列问题：等差数列是指数列中相邻两项之差恒定的数列。

解答等差数列问题的关键是找到公差，即相邻两项之差。

通常，我们可以通过观察数列中相邻项之间的关系来找到这个公差。

如果数列中的公差已知，则可以通过公式 an = a1 + (n-1)d 来计算第n 项的值，其中 an 表示第n项，a1 表示首项，d 表示公差。

如果只给出数列的前几项，我们可以使用多种方法来计算后面的项数。

2. 等比数列问题：等比数列是指数列中相邻两项之比恒定的数列。

解答等比数列问题的关键是找到公比，即相邻两项之比。

与等差数列类似，我们可以观察数列中相邻项之间的关系来找到这个公比。

如果数列中的公比已知，则可以通过公式 an = a1 * r^(n-1) 来计算第n项的值，其中 an 表示第n项，a1 表示首项，r 表示公比。

3. 斐波那契数列问题：斐波那契数列是指数列中每一项都是前两项之和的数列。

解答斐波那契数列问题的关键是找到数列的递推关系。

通常，我们可以通过观察数列的前几项来发现其递推规律。

例如，前两项分别为1和1，后面的项数等于前两项之和。

我们可以使用递归或循环的方式来计算斐波那契数列的任意项。

4. 等差数列与等比数列的混合问题：有时候，在题目中会涉及到等差数列和等比数列的混合问题。

解答这种问题的关键是要分别找到等差数列和等比数列的递推关系，然后将两者的结果相加或相乘得到最终的结果。

在解答这类问题时，我们需要注意区分等差数列的公差和等比数列的公比。

5. 数列的和问题：数列的和是指数列中前n项之和。

对于等差数列而言，我们可以使用求和公式Sn = (n/2)(a1+an) 来计算前n项的和，其中 Sn 表示前n项的和，a1 表示首项，an 表示第n项。

高考题中的斐波那契数列问题

斐波那契数列是一个在数学和自然界中广泛出现的数列，其定义是：数列的第一个和第二个数都是1，之后的每一个数都是前两个数的和。

这个数列的前几项是：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...
在高考题中，斐波那契数列可能会以多种形式出现，例如选择题、填空题或应用题。

题目可能会要求考生识别斐波那契数列，或者利用斐波那契数列的性质来解决某个问题。

以下是一个可能的斐波那契数列高考题示例：
题目：数列{an} 满足a1 = 1, a2 = 1, an+2 = an + an+1 (n ∈N*)，则a8 = ()
A. 21
B. 34
C. 55
D. 89
解析：根据斐波那契数列的定义，我们可以依次计算出数列的前几项：
a3 = a1 + a2 = 1 + 1 = 2
a4 = a2 + a3 = 1 + 2 = 3
a5 = a3 + a4 = 2 + 3 = 5
a6 = a4 + a5 = 3 + 5 = 8
a7 = a5 + a6 = 5 + 8 = 13
a8 = a6 + a7 = 8 + 13 = 21
因此，a8 = 21，选项 A 正确。

这类题目主要考察考生对斐波那契数列定义的理解以及数列计算能力。

通过熟练掌握斐波那契数列的性质和递推公式，考生可以迅速找到问题的答案。

同时，这类题目也考察了考生的逻辑推理能力和数学运算能力。

兔子繁衍问题（斐波那契数列）

假如兔子都不死请问第1个月出生的一对兔子至少需要繁衍到第几个月时兔子总数才可以达到n对
兔子繁衍问题（斐波那契数列）
一对兔子，从出生后第3个月起每个月都生一对兔子。小兔子长到第3个月后每个月又生一对兔子。假如兔子都不死，请问第1个月出生的一对兔子，至少需要繁衍到第几个月时兔子总数才可以达到N对？
输入格式: 输入在一行中给出一个不超过10000的正整数N。
int N,month=1,i,number=1;
scanf("%d",&N);
int count [2];
while (number < N) {
i = month%2;
if (month &unt [i]=number;
continue;
// 也可在下面使用else语句，月份大于二时。
}
number = count[0] + count[1];
count[0] = count [1];
count[1] = number;
month ++; } printf("%d\n",month); return 0; }
输出格式: 在一行中输出兔子总数达到N最少需要的月数。 ————————————————
/* 列表说明关系
month 1 2 3 4 5 6 7 number 1 1 2 3 5 8 13
规律：第n个月的兔子数是n-2月+n-1月的兔子的和
*/
#include <stdio.h>
int main (){

斐波那契数数列原理

斐波那契数数列原理斐波那契数列原理斐波那契数列是数学领域的一个经典问题，是自然数列中最为有趣的一个数列之一。

斐波那契数列是由0和1开始的数字序列，序列中每个数字都是前两个数字的和。

例如：0、1、1、2、3、5、8、13、21、34……斐波那契数列的起源可以追溯到12世纪意大利数学家列奥纳多·斐波那契，他在他的书《算盘书》中首次提出了这个问题。

曾经是一个简单的数学问题，如今它被应用到多种场景，例如金融，计算机科学，生物学等。

这个数列看似简单，但是其背后的原理和应用却是十分复杂的。

斐波那契数列的公式为：F(n) = F(n-1) + F(n-2)，其中F(0)=0，F(1)=1。

这个公式描述了斐波那契数列中的每一项是由其前面两项的和求得。

例如：F(2) = F(1) + F(0) = 1 + 0 = 1，F(3) = F(2) + F(1) = 1 + 1 = 2，以此类推。

斐波那契数列的众多特征和应用使其成为许多研究者的热点问题。

其一，斐波那契数列的增长速度非常快，这是因为斐波那契数列的每一项都是前两项的和，因此每一项都比前一项要大。

其二，斐波那契数列和黄金分割（Golden Ratio）有着紧密的联系。

斐波那契数列中，相邻两项的比值接近于黄金分割的比例（约等于1.618）。

斐波那契数列的应用涉及金融，计算机科学，生物学等多个领域。

在金融领域，斐波那契数列可以用于分析市场趋势，确定买进或卖出的时机。

在计算机科学中，斐波那契数列可以用于优化算法性能，例如用于计算斐波那契数列的递归算法时间复杂度较高，可以用迭代算法进行优化。

在生物学领域，斐波那契数列可以用于描述病毒数量的增长速度，以及DNA序列中的特征。

总之，斐波那契数列虽然简单，但其背后的原理和应用十分复杂。

斐波那契数列和黄金分割有着紧密的联系，其应用涉及多个领域。

因此，深入研究斐波那契数列的原理与应用，将有助于我们更好地理解和解决实际问题。

斐波那契数列相关问题

斐波那契数列相关问题斐波那契数列是指每个数字都是前两个数字的和，从0和1开始。

数列的前几个数字依次是0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、…。

这个数列在数学上有很多有趣的性质和应用，本文将介绍斐波那契数列的定义、性质、递推公式、应用和扩展。

一、斐波那契数列的定义斐波那契数列的定义是：F(0) = 0，F(1) = 1，F(n) = F(n-1) +F(n-2) (n≥2)。

通过这个定义可以得到斐波那契数列的前几个数字：0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、…。

二、斐波那契数列的性质斐波那契数列有很多有趣的性质，下面列举一些主要的性质：1. 对称性：斐波那契数列是关于中间数字对称的，即F(n) =F(n-1) + F(n-2) = F(n-2) + F(n-3) = ... = F(2) + F(1) = F(1) + F(0)。

这个性质可以通过数学归纳法证明。

2. 黄金分割比：斐波那契数列的相邻数字之间的比值趋近于黄金分割比，即lim(n→∞) F(n+1)/F(n) = φ，其中φ≈1.6180339887是黄金分割比。

这个性质在建筑、艺术等领域被广泛应用。

3. 奇偶性：斐波那契数列中，奇数位的数字是奇数，偶数位的数字是偶数。

这个性质可以通过对斐波那契数列进行模2求余证明。

4. 二项式系数：斐波那契数列与二项式系数之间存在一定的关系。

具体来说，斐波那契数列中每隔一位的数字之和是前一位的数字。

这个性质可以通过斐波那契数列的递推公式证明。

三、斐波那契数列的递推公式斐波那契数列可以使用递推公式计算，即F(n) = F(n-1) + F(n-2)。

通过递推公式可以快速计算斐波那契数列的任意项。

递推公式的衍生形式包括通项公式和矩阵乘法公式。

通项公式是指可以直接计算第n项的公式，通常会涉及到根号、指数和对数等数学运算。

矩阵乘法公式是指将斐波那契数列的前两个数字构成矩阵，并进行矩阵乘法得到第n项的公式。

数学-以斐波那契数列为背景的高中数学问题

这就产生了斐波那契数列：1,1,2,3,5,8,13,21,34…其规律是从第三项起，每一项都是前两项的和.用递推公式表达表达就是：12211n n na aa a a++==⎧⎨=+⎩斐波那契数列通项公式为n nna⎡⎤⎥=−⎥⎝⎭⎝⎭1.斐波那契数列因意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例引入,故又称为“兔子数列”,即1,1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233 …实标生活中,很多花朵(如梅花、飞燕草、万寿菊等)的瓣数恰是斐波那契数列中的数,斐波那契数列在现代物理及化学等领域也有着广泛的应用.斐波那契数列{}n a 满足:12211, ()n n n a a a a a n N *++===+∈,则357920211a a a a a ++++++是斐波那契数列{}n a 中的第__________项.答案：2022解析：由题意得357920212357920214579202167920212020202120221.a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++++++=++++++=+++++=++++==+=2.“斐波那契数列”是数学史上一个著名数列, 在斐波那契数列{}n a 中, 12211, ()n n n a a a a a n N *++===+∈ .用n S 表示他的前n 项和,若已知2020S m = ,那么2022________.a =答案：m +1解析：()12211,1n n n a a a a a n N *++===+∈123234345,,a a a a a a a a a ∴+=+=+=201920202021202020212022,a a a a a a +=+=以上累加得：1234202020212222a a a a a a ++++⋯⋯++3420212022a a a a =++⋯⋯++12320202022220221a a a a a a m a m ∴+++⋯⋯+=−=∴=+3.“斐波那契数列”由13世纪意大利数学家斐波那契发现，因为斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称该数列为“兔子数列”，斐波那契数列{}n a 满足: 12121,(3)n n n a a a a a n −−===+≥,记其前n 项和为n S ,则6543( )S S S S +−−=A.8 B.13 C.21 D.34答案：C解析：【分析】由数列的递推式和斐波那契数列{}n a 的定义，计算可得所求值.【详解】()12121,1,3,n n n a a a a a n n *−−===+≥∈N 1n a −+++1n a −+++)21n a a −++++1n a a −+++2=1n a +−21n a −++=2n a a ++=31242323a a a a a a =+==+=，5346455,8a a a a a a =+==+= 65436453S S S S S S S S ∴+−−=−+−6554855321a a a a =+++=+++=故选C.4.若数列{}n F 满足,则称{}n F 为斐波那契数列.记数列{}n F 的前n 项和为n S ,则( ) A.26571F F F =+ B.681S F =−C.135910F F F F F +++= D.2222123678F F F F F F +++=答案：BC解析：()1212,A.11,3,n n n F F F F F n n N *−−===+>∈3214325436547658769871098226576576868132, 3,5, 8,13, 2134, 55,64,166, 1 ,A B.1123520, 120, B ;C.F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F S F S F F F F ∴=+==+==+==+==+==+==+==+=∴=+=≠+=++++=−=++故错误；=-1故正确591022221236222278123678125133455;D.114925641041321273,, .C F F F F F F F F F F F F F FD ++=++++==+++=+++++==⨯=∴++++≠.故确故错误正5.斐波那契数列，又称黄分割数列，它在很多方面与大自然神奇地契合,小到地球上的动植物，如向日葵、松果、海螺的成长过程，大到海浪、飓风、宇宙星系演变,都遵循着这个规律，人们亲切地称斐波那契数列为自然界的数学之美,在数学上斐波那契数列{}n a 一般以递推的方式被定义:12211, ()n n n a a a a a n N *++===+∈,则( )A.1055a = B .2211n n n a a a ++−=C. 1n n a +⎧⎫⎪⎪+⎨⎬⎪⎪⎩⎭是等比数列 D.设1n n na b a +=,则112n n n n b b b b +++−<−答案：ABC解析：12213A.1,,n n n a a a a a a ++===+开始各项依次为：则从102, 3 ,5 ,8 ,13 ,21 ,34 ,55 ,,55,;a ⋯⋯=因此正确()222211111B.n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a ++++−+−=+−=−由222111n n n n n n a a a a a a ++−+−=−=⋯⋯可得：22132121 1.;a a a =−=⨯−=因此正确211111C.22n n n n n a a a a a ++++−+=++11111,222n n n n a a a a ++⎛⎫+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭21a +2111,,;22n n a a ++⎧⎫⎪⎪∴+⎨⎬⎪⎪⎩⎭数列是等比数列因此正确11211D.,n n n n n n n n n a a a b b b a a a +++++=−=−由则212111n n n n n n n a a a a a a a ++++−==12121,n n n n b b a a ++++−=同理可得：20,n n a a +>>由斐波那契数列的单调性可得：11211,.ABC.n n n n a a a a +++>因此因此不正确故选6.(多选)斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋”，是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，自然界中存在许多斐波那契螺旋线的图案，是自然界最完美的经典黄金比例.作图规则是在以斐波那契数为边的正方形拼成的长方形，然后在正方形里面画一个 90度的扇形，连起来的弧线就是斐波那契螺旋线.它来源于斐波那契数列，又称为黄金分割数列现将斐波那契数列记为{}n a ,12121,(3)n n n a a a a a n −−===+≥, 边长为斐波那契数a n 的正方形所对应扇形面积记为b n , (n ∈N *),则( )A.223 (3)n n n a a a n −+=+≥B. 123201920211a a a a a ++++=+C.()20202019201820214b b a a π−=⋅ D. 123202*********4b b b b a a π++++=⋅答案：AD解析：123,n n n a a a n −−=+≥由（递推公式）可得211212 n n n n n n n n a a a a a a a a ++−−−=+=+=−()221123A 3n n n n n n n a a a a a a n a +−−−+=++−=≥正确所以.故选项12313421,,,a a a a a a a ==−=−类似的有:11122(2),,1,n n n n n n a a a n a a a a +−++=−≥+−=−迭加可得123201920211B ;a a a a a +++⋯+=+故错误，故选项错误2112,,44n n n n n n b a b b a a ππ−+−=−=由题意可知，扇形面积为故()2020201920182021C ;4b b a a π−⋅=则错，故选项错误误121212223221(3),,,n n n a a a n a a a a a a a a −−=+≥==−由可得222211121,,n n n n n n n n a a a a a a a a a a +−+=−+++=迭加可得2123202020202021n n b a b b b b a a ππ=+++⋯+=⋅所以又.D AD.错误，故选故选项7.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8…，这列数的特点是：前两个数均为1，从第三个数起，一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列数组成的数列{}n f 称为斐波那契数列，并将数列{}n f 中的各项除以4所得余数按原顺序构成的数列记为{}n g ，则下列说法正确的是( ) A.20211g = B.12320212696g g g g ++++=C.22221232020201920212f f f f f f ++++= D. 222123222022210f f f f f f −+−=答案：ABD解析：123451,1,2,3,1,g g g g g =====由已知得67891011120,1,1,2,3,1,0,,g g g g g g g ======={}6.n g 所以数列是以为周期的周期函数2021A ,202163365,1,A g =⨯+=对；故于选项因为所以选项正确1232021B ,g g g g ++++对于选项336(112310)(11231)2696,B ;=⨯++++++++++=故选项正确1221C ,,n n n f f f f f ++==+，对于选项()2211222312321,,f f f f f f f f f f f ∴==−=−()233423432,,f f f f f f f f =−=−()2112121,n n n n n n n n f f f f f f f f ++++++=−=−22221232020f f f f ++++所以()()()()122312343220192020201920182020202120202019f f f f f f f f f f f f f f f f f f =+−+−++−+−20202021,C ;f f =故错误()22222232122232221D ,,f f f f f f f f =−=−对于选项因为()22121222021222120,f f f f f f f f =−=−22212322202221212322232221202221222120f f f f f f f f f f f f f f f f f f −+−=++−+所以()20212221232223202321232223f f f f f f f f f f f f f =+−+−=+222322230,D .ABD.f f f f =−=故正确故选8.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{}n a 2na a ++=2211223n n n na a a +++=22223233n na a a a a a +++=+++224na a ++1n n a a +=称为“斐波那契数列”，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论确的是() A.68a = B.954S =C.135********a a a a a ++++= D.22212201920202019a a a a a +++=答案:ACD解析：{}A ,61,1,2,3,5,8,A ;n a 对于选项数列的前项为故正确()81234256420192020201813520192020135201921221212231232B ,112358132154,B ;C ,,,,,:2020D ,,n n n S a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++=+++++++===−=−⋯⋯=−++++=++++=+==−=−对于选项故错误对于选项由项；可得故是斐波那契数波列对于选项,斐的那契数列总有中第则()()21334234232220182018201920172018201920172018201920192020201920182222123201920192020,,,,D ;:A ,CD.,a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a =−=−⋯⋯=−=−=−++++=故正确故选312n a ++=是奇数时等于第n+12, 当 n1.半径为1的两个圆12,O O外切,l是它们的一条外公切线,作312O O O l和、、均相切，作234,O O O l和、、均相切……,作11n n nO O O l+−和、、均相切,求8O的半径.解析：111,,,n n n n nO R l O S l O l O R O S P Q−+−⊥⊥作作过的平行线、于、111,n n n n nO M O R M O M PQ O P O Q−++⊥==+作于，则1nO Q+==因为1,n nO P O M+==同理==可得1112(2),1,n n n na a a a n a a+−==+≥==令则且3124235346452,3,5,8a a a a a a a a a a a a =+==+==+==+=75686713,21a a a a a a =+==+=,8228111.21441r a ===所以2.(2012上海)已知1()1f x x=+,各项均为正数的数列{}n a 满足()121,n n a a f a +==.若20102012a a =, 则2011a a +=__________.解析：2010201020121,,,1a t a a t t t ===+设由得解得则：()201020082200811,,.12k a t a t a k N a *====∈+则同理123579111123581,,,,,,,1235813n n a a a a a a a a +=======+又则2011813a a +故。

山大附中必考题型——斐波那契数列习题

斐波那契数列计算题有一列数:1,1,2,3,5,8,13,21,...此数列的第2010项除以8的余数是___.从第三项起每一项是前2项的和前6个数除以8的余数分别是1，1，2，3，5，0，后面的数除以8的余数则用前两个余数相加得到即依次是5，5，2，7，1，0，1，1，2，3，5，0，……则循环周期是1，1，2，3，5，0，5，5，2，7，1，0，共12个数一个周期，因为2010÷12余数是6 就相当于是第6个数的余数，即为0有一列数1，2，3，5，8......从左往右第100个数是奇数还是偶数。

要算式这些数其实是有规律的，除了前两位1和2之后，就是按：奇、奇、偶这样的顺序排列的，所以有：（100-2）/3=98/3=32余2所以第100个数是奇数。

有一列数1、2、3、5、8、13、21......这列数中第1001个数除以3，余数是几？依次算余数，发现8个数一组，是12022101，所以第1001个余数是1！有1列数1，2，3，5，8，13，21，34，55..从第三个数开始每个数是前两个数的和，那么在前1000个数有多少奇每3个数当中有2个奇数，1000÷3=333余1 一共333组多1个多的那个是第334组的第一个，也是奇数奇数一共有：333×2+1=667个有一列数1,2,3,5,8,13,21.从第三个数起,每个数都是前面两个数的和,在前20005个数中,偶数有多少个?1,2,3,5,8,13,21,34,55..规律：奇偶奇/ 奇偶奇/ 奇偶奇/.20005÷3=6668余1所以在前20005个数中,偶数有6668个有一列数1，1，2，3，5，8，13，21，34，从第三个数开始每一个数都是它前面两个数的和，求这一列数的第2006个除以4后所得的余数？如果硬算,那是算不出来的,所以,我们要找规律.1÷4余1,1÷4余1,2÷4余2,3÷4余3,5÷4余1,8÷4余0,13÷4余1,21÷4余1,34÷4余2,55÷4余3,89÷4余1,144÷4余0余数是1,1,2,3,1,0这样循环的,把2006÷6=334余2,那么,1,1,2,3,1,0中的第2个是1,答第2006个除以4后所得的余数是1有一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，34......从第3个数开始，每一个数都是它前面2个数的和。

【高中数学文化鉴赏】斐波那契数列

【高中数学文化鉴赏】斐波那契数列一、单选题1．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，即()*21n n n a a a n N ++=+∈，后来人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”.记2022a t =，则1352021a a a a +++⋅⋅⋅+=（） A ．2tB ．1t −C ．tD ．1t +2．意大利数学家列昂那多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”（斐波那契数列）：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…，在实际生活中，很多花朵（如梅花，飞燕草等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在物理及化学等领域也有着广泛的应用．已知斐波那契数列{}n a 满足：11a =，21a =，21n n n a a a ++=+，若3579112k a a a a a a a ++++=−，则k 等于（） A ．12B ．13C ．89D ．1443．斐波那契数列指的是这样一个数列：11a =，21a =，当3n ≥时，12n n n a a a −−=+.学习了斐波那契数列以后，班长组织同学们体育课上做了一个报数游戏：所有同学按身高从高到低的顺序站成一排，第一位同学报出的数为1，第二位同学报出的数也为1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和.若班上一共有30位同学，且所报数为5的倍数的同学需要说出斐波那契数列的一个性质，则需要说性质的同学有几个？（） A ．4B ．5C ．6D ．74．斐波那契数列又称黄金分割数列，也叫“兔子数列”，在数学上，斐波那契数列被以下递推方法定义：数列{}n a 满足121a a ==，21++=+n n n a a a ，先从该数列前12项中随机抽取1项，是质数的概率是（） A ．512B ．14 C ．13D ．7125．斐波那契数列因以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用.斐波那契数列{}n a 可以用如下方法定义：21n n n a a a ++=+，且121a a ==，若此数列各项除以4的余数依次构成一个新数列{}n b ，则数列{}n b 的第2022项为（） A ．0B ．1C ．2D ．36．斐波那契数列，又称黄金分割数列，该数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域有着非常广泛的应用，在数学上，斐波那契数列是用如下递推方法定义的：121a a ==，()*123,.n n n a a a n n N −−=+≥∈ 已知2222123mma a a a a ++++是该数列的第100项，则m =（）A ．98B ．99C ．100D ．1017．意大利数学家斐波那契在 1202 年著的《计算之书》中记载了斐波那契数列{}n F ，此数列满足：121F F ==，且从第三项开始，每一项都是它的前两项的和，即*21()n n n F F F n N ++=+∈，则在该数列的前 2022 项中，奇数的个数为（） A ．672B ．674C ．1348D ．20228．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8，….该数列的特点如下：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为斐波那契数列，现将{}n a 中的各项除以4所得余数按原顺序构成的数列记为{}n b ，则下列四个结论：①20211b =；②123202120221a a a a a ++++=−L ； ③12320212694b b b b ++++=；④2222123202120212022a a a a a a ++++=.其中正确结论的序号是（） A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④9．意大利数学家斐波那契，以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”，1，1，2，3，5，8，13，21…，在实际生活中很多花朵的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在物理化学等领域也有着广泛的应用.已知斐波那契数列{}n a 满足：11a =，21a =，21n n n a a a ++=+，若3579112k a a a a a a a ++++=−，则k 等于（） A ．12B ．14C ．377D ．60810．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，L ．该数列的特点如下：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和．人们把由这样一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，记n S 是数列{}n a 的前n 项和，则()()()()31425310098−+−+−+⋅⋅⋅+−=a S a S a S a S （）A ．0B ．1C ．98D ．10011．意大利数学家列昂纳多·斐波那契是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人，斐波那契数列被誉为是最美的数列，斐波那契数列{}n a 满足11a =，21a =，()*123,n n n a a a n n −−=+≥∈N .若将数列的每一项按照下图方法放进格子里，每一小格子的边长为1，记前n 项所占的格子的面积之和为n S ，每段螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形面积为n c ，则其中不正确结论的是（）A ．2111n n n n S a a a +++=+⋅ B ．12321n n a a a a a +++++=−C ．1352121n n a a a a a −++++=−D ．()121)4(3n n n n c c a n a π−−+−≥=⋅12．斐波那契数列又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多•斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”．斐波那契数列用递推的方式可如下定义：用n a 表示斐波那契数列的第n 项，则数列{}n a 满足：12211,n n n a a a a a ++===+，记121ni n i a a a a ==+++∑，则下列结论不正确的是（）A ．105a =B ．()2233n n n a a a n −+=+≥C ．201920211i i a a ==∑D ．20212202120221i i a a a ==⋅∑13．斐波那契数列又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多•斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”．斐波那契数列用递推的方式可如下定义：用n a 表示斐波那契数列的第n 项，则数列{}n a 满足： 12211,n n n a a a a a ++===+. ，记121ni n i a a a a ==+++∑，则下列结论不正确的是（）A ．1055a =B ．223(3)n n n a a a n −+=+≥C ．201920211i i a a ==∑D ．20212202120221i i a a a ==⋅∑14．数列{}n a ：1,1,2,3,5,8,13,21,34…，称为斐波那契数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多⋅斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和.记该数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（） A ．202220211a S =−B ．202220201a S =+C ．202220202a S =+D ．202220212a S =−15．斐波那契数列{}n a 满足121a a ==，()123n n n a a a n −−=+≥，其每一项称为“斐波那契数”.如图，在以斐波那契数为边长的正方形拼成的长方形中，利用下列各图中的面积关系，推出2221220212021a a a a ++⋅⋅⋅是斐波那契数列的第（）项.A ．2020B ．2021C ．2022D ．202316．斐波那契数列（Fibonacci sequence ），又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci ）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，….从第3项开始，每一项都等于前两项之和，记此数列为{}n a ，则222122021a a a ++⋅⋅⋅+=（） A ．20202021a aB ．20202022a aC ．20212022a aD ．20222023a a17．斐波那契数列又称“黄金分割数列”，在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用．斐波那契数列{}n a 可以用如下方法定义：()*123,n n n a a a n n N −−=+≥∈，121aa ==，则()20222120221,2,,2022ii ai a ==⋅⋅⋅∑是数列{}n a 的第几项？（） A ．2020B ．2021C ．2022D ．202318．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8，…，该数列的特点是前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列数所组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，数列{}n a 的前n 项和为n S ，则下列结论错误的是（） A ．854S = B ．135720192020a a a a a a +++++=C ．2468202020211a a a a a a +++++=− D ．20202019201820172021S S S S a +−−=19．斐波那契数列因以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.此数列在现代物理､准晶体结构､化学等领域都有着广泛的应用.斐波那契数列{}n a 可以用如下方法定义：21n n n a a a ++=+，且121a a ==，若此数列各项除以4的余数依次构成一个新数列{}n b ，则数列{}n b 的前2022项和为（） A ．2698B ．2697C ．2696D ．269520．十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契从兔子繁殖问题中发现了这样的一列数：1，1，2，3，5，8，13，…．即从第三项开始，每一项都等于它前两项的和．后人为了纪念他，就把这列数称为斐波那契数列．因以兔子繁殖为例子而引入，故又称该数列为“兔子数列”．下面关于斐波那契数列{}n a 的说法不正确的是（） A ．2021a 是奇数B ．62420202021a a a a a ++++=C ．135********a a a a a ++++=D ．2222123202*********a a a a a a ++++=二、填空题21．意大利数学家斐波那契的《算经》中记载了一个有趣的数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，⋯，这就是著名的斐波那契数列，该数列的前2022项中奇数的个数为_______．22．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是______． ①733S = ②202220241S a =− ③135********a a a a a ++++= ④2222123202120212022a a a a a a ++++=23．意大利数学家斐波那契于1202年在他的著作《算盘书》中，从兔子的繁殖问题得到一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55……，这个数列称斐波那契数列，也称兔子数列．斐波那契数列中的任意一个数叫斐波那契数．人们研究发现，斐波那契数在自然界中广泛存在，如图所示：大多数植物的花斑数、向日葵花盘内葵花籽排列的螺线数就是斐波那契数等等，而且斐波那契数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域有着直接的应用．设斐波那契数列为{}n a ，其中121a a ==，有以下几个命题：①()12n n n a a a n ++++=∈N ；②2222123445a a a a a a +++=⋅；③135********a a a a a ++++=；④()2212221n n n a a a n +++=⋅−∈N ．其中正确命题的序号是________．24．斐波那契数列（Fibonaccisequence ）又称黄金分割数列，是数学史上一个著名的数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…….已知在斐波那契数列{}n a 中，11a =，21a =，()21N n n n a a a n +++=+∈，若2022a m =，则数列{}n a 的前2020项和为___________（用含m 的代数式表示）.25．历史上数列的发展，折射出许多有价值的数学思想方法，对时代的进步起了重要的作用，比如意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”，1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和.后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，现有与斐波那契数列性质类似的数列{}n a 满足：12a =，410a =，且21n n n a a a ++=+（n *∈N ），记数列{}2n a 的前n 项和为n S ，若2852p S =，则p =___________.26．数列{}n a ：1，1，2，3，5，8，…，称为斐波那契数列，该数列是由意大利数学家菜昂纳多·斐波那契(Leonardo Fibonacci )从观察兔子繁殖而引入，故又称为“兔子数列”．数学上，该数列可表述为121a a ==，()21N*n n n a a a n ++=+∈．对此数列有很多研究成果，如：该数列项的个位数是以60为周期变化的，通项公式11(()22⎡⎤−⎥⎦n n n a 等．借助数学家对人类的此项贡献，我们不难得到()2112211n n n n n n n n a a a a a a a a ++++++=−=−，从而易得21a ＋22a ＋23a ＋…＋2126a 值的个位数为__________．27．1202年意大利数学家列昂那多－斐波那契以兔子繁殖为例，引人“兔子数列”，又称斐波那契数列.即1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,该数列中的数字被人们称为神奇数，在现代物理，化学等领域都有着广泛的应用.若此数列各项被3除后的余数构成一新数列{}n a ，则数列{}n a 的前2022项的和为________.28．斐波那契数列，又称“兔子数列”，由数学家斐波那契研究兔子繁殖问题时引入．已知斐波那契数列{}n a 满足10a =，21a =，()*21n n n a a a n ++=+∈N ，若记1352019a a a a M ++++=，2462020a a a a N ++++=，则2022a =________．（用M ，N 表示）29．斐波那契数列{}n a 满足：12211,1,n n n a a a a a ++===+．该数列与如图所示的美丽曲线有深刻联系，设2221212,n n n n S a a a T a a a =+++=+++，给出以下三个命题：①22213n n n n a a a a +++−=⋅； ②21n n S a +=−；③2111n n n n T a a a +++=+⋅．其中真命题的是________________（填上所有正确答案）30．意大利数学家斐波那契(1175年1250−年）以兔子繁殖数量为例，引入数列：1，1，2，3，5，8，，该数列从第三项起，每一项都等于前两项之和，即*21()n n n a a a n ++=+∈N ，故此数列称为斐波那契数列，又称“兔子数列”，其通项公式为11()(22⎡⎤−⎥⎦n n n a ．设n 是不等式(1(1211n n n ⎡⎤−>+⎣⎦的正整数解，则n 的最小值为______．【数学文化鉴赏与学习】斐波那契数列一、单选题1．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，即()*21n n n a a a n N ++=+∈，后来人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”.记2022a t =，则1352021a a a a +++⋅⋅⋅+=（） A ．2t B ．1t − C ．t D ．1t +【答案】C 【解析】【分析】根据斐波那契数列的性质进行求解即可. 【详解】由()*21n n n a a a n N ++=+∈，得202220212020202120192018a a a a a a =+=++=⋅⋅⋅=20212019322021201931a a a a a a a a t ++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅++=. 故选：C.2．意大利数学家列昂那多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”（斐波那契数列）：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…，在实际生活中，很多花朵（如梅花，飞燕草等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在物理及化学等领域也有着广泛的应用．已知斐波那契数列{}n a 满足：11a =，21a =，21n n n a a a ++=+，若3579112k a a a a a a +++=−，则k 等于（） A ．12 B ．13C ．89D ．144【答案】A 【解析】【分析】根据斐波那契数列的性质进行求解即可. 【详解】由斐波那契数列的性质可得：2357911457911791191681011112,a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++++=++++++++=+=++==所以k 等于12，故选：A3．斐波那契数列指的是这样一个数列：11a =，21a =，当3n ≥时，12n n n a a a −−=+.学习了斐波那契数列以后，班长组织同学们体育课上做了一个报数游戏：所有同学按身高从高到低的顺序站成一排，第一位同学报出的数为1，第二位同学报出的数也为1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和.若班上一共有30位同学，且所报数为5的倍数的同学需要说出斐波那契数列的一个性质，则需要说性质的同学有几个？（） A ．4 B ．5C ．6D ．7【答案】C 【解析】【分析】根据题意列出所报数构成的数列即可判断. 【详解】由题意知所报数为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610…5a ，10a ，15a ，20a ，25a ，30a 均为5的倍数，故有6个同学．故选：C ．4．斐波那契数列又称黄金分割数列，也叫“兔子数列”，在数学上，斐波那契数列被以下递推方法定义：数列{}n a 满足121a a ==，21++=+n n n a a a ，先从该数列前12项中随机抽取1项，是质数的概率是（） A ．512B ．14 C ．13D ．712【答案】A 【解析】【分析】根据递推公式写出前12项，找出质数的个数，利用古典概型求概率公式进行求解. 【详解】由斐波那契数列的递推关系可知，前12项分别为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，所以基本事件数共有12，其中质数有2，3，5，13，89，共5种，故是质数的概率为512P =．故选：A ．5．斐波那契数列因以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用.斐波那契数列{}n a 可以用如下方法定义：21n n n a a a ++=+，且121a a ==，若此数列各项除以4的余数依次构成一个新数列{}n b ，则数列{}n b 的第2022项为（） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】A 【解析】【分析】根据数列各项的规律可知{}n b 是以6为周期的周期数列，由此可得202260b b ==. 【详解】由题意知：数列{}n a 为：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,⋅⋅⋅，则数列{}n b 为：1,1,2,3,1,0,1,1,2,3,1,0,1,1,⋅⋅⋅，即数列{}n b 是以6为周期的周期数列，2022337660b b b ⨯∴===. 故选：A.6．斐波那契数列，又称黄金分割数列，该数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域有着非常广泛的应用，在数学上，斐波那契数列是用如下递推方法定义的：121a a ==，()*123,.n n n a a a n n N −−=+≥∈ 已知2222123mma a a a a ++++是该数列的第100项，则m =（）A ．98B ．99C ．100D ．101【答案】B 【解析】【分析】根据题意推出2121a a a =，222321a a a a a =−，L ，211m m m m m a a a a a +−=−，利用累加法可得211mi m m i a a a +==∑，即可求出m 的值.【详解】由题意得，2121a a a =，因为12n n n a a a −−=−，得222312321()a a a a a a a a =−=−，233423432()a a a a a a a a =−=−， L ，21111()m m m m m m m m a a a a a a a a +−+−=−=−，累加，得222121m m m a a a a a ++++=，因为22212m ma a a a +++是该数列的第100项，即1m a +是该数列的第100项，所以99m =. 故选：B.7．意大利数学家斐波那契在 1202 年著的《计算之书》中记载了斐波那契数列{}n F ，此数列满足：121F F ==，且从第三项开始，每一项都是它的前两项的和，即*21()n n n F F F n N ++=+∈，则在该数列的前 2022 项中，奇数的个数为（） A ．672 B ．674C ．1348D ．2022【答案】C【解析】【分析】先考虑前6项的奇偶性，从而可得各项奇偶性的周期性，故可得正确的选项. 【详解】121F F ==，故32F =，4563,5,8F F F ===，故各项奇偶性呈现周期性（奇奇偶），且周期为3，因为20223674=⨯，故奇数的个数为67421348⨯=，故选：C.8．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8，….该数列的特点如下：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为斐波那契数列，现将{}n a 中的各项除以4所得余数按原顺序构成的数列记为{}n b ，则下列四个结论：①20211b =；②123202120221a a a a a ++++=−L ； ③12320212694b b b b ++++=；④2222123202120212022a a a a a a ++++=.其中正确结论的序号是（） A ．①③ B ．①④C ．②③D ．②④【答案】B 【解析】【分析】根据数列{}n b 的周期性，结合数列{}n a 的性质进行求解判断即可. 【详解】因为11b =，21b =，32b =，43b =，51b =，60b =，71b =，81b =，…，所以{}n b 是以6为周期的周期数列，所以202151b b ==，所以①正确；因为123202133782696b b b b ++++=⨯=，所以③错误；因为1232021a a a a ++++()()()()()()324354202120202022202120232022a a a a a a a a a a a a =−+−+−++−+−+−L2023220231a a a =−=−，所以②错误；因为2222222123202112232021a a a a a a a a a ++++=++++()2222212320212332021a a a a a a a a a =++++=+++=，所以()22222123202120202021202120212020202120212022a a a a a a a a a a a a ++++=+=+=，所以④正确.故选：B9．意大利数学家斐波那契，以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”，1，1，2，3，5，8，13，21…，在实际生活中很多花朵的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在物理化学等领域也有着广泛的应用.已知斐波那契数列{}n a 满足：11a =，21a =，21n n n a a a ++=+，若3579112k a a a a a a a ++++=−，则k 等于（） A ．12 B ．14C ．377D ．608【答案】A 【解析】【分析】利用21n n n a a a ++=+可化简得357911212a a a a a a a +++=++，由此可得12k =. 【详解】由21n n n a a a ++=+得：3579115791179112468911a a a a a a a a a a a a a a a a a a +++++++++++=+==++101112a a a =+=， 357912211a a a a a a a ++++=−∴，即12k =.故选：A.10．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，L ．该数列的特点如下：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和．人们把由这样一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，记n S 是数列{}n a 的前n 项和，则()()()()31425310098−+−+−+⋅⋅⋅+−=a S a S a S S （）A ．0B ．1C ．98D ．100【答案】C 【解析】【分析】推导出当2n ≥时，21n n a S +−=，结合311a S −=可求得所求代数式的值. 【详解】当2n ≥时，11n n n a a a −++=，则11n n n a a a +−=−，故当2n ≥时，()()()1231314211n n n n S a a a a a a a a a a a +−=++++=+−+−++−()()1341123111n n n n a a a a a a a a a a +−+=++++−++++=+−，此时()21111n n n n n n a S a a a a +++−=+−+−=，又因为31211a S −=−=，因此，()()()()3142531009898a S a S a S a S −+−+−+⋅⋅⋅+−=. 故选：C.11．意大利数学家列昂纳多·斐波那契是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人，斐波那契数列被誉为是最美的数列，斐波那契数列{}n a 满足11a =，21a =，()*123,n n n a a a n n −−=+≥∈N .若将数列的每一项按照下图方法放进格子里，每一小格子的边长为1，记前n 项所占的格子的面积之和为n S ，每段螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形面积为n c ，则其中不正确结论的是（）A ．2111n n n n S a a a +++=+⋅ B ．12321n n a a a a a +++++=−C ．1352121n n a a a a a −++++=−D ．()121)4(3n n n n c c a n a π−−+−≥=⋅【答案】C 【解析】【分析】A 选项由前()1n +项所占格子组成长为1n n a a ++，宽为1n a +的矩形即可判断；B 选项由()*123,n n n a a a n n −−=+≥∈N 结合累加法即可判断；C 选项通过特殊值检验即可；D 选项表示出221111,44n n n n c a c a ππ−−==，作差即可判断. 【详解】由题意知：前()1n +项所占格子组成长为1n n a a ++，宽为1n a +的矩形，其面积为()211111n n n n n n n S a a a a a a +++++=+=+，A 正确；32143221,,,n n n a a a a a a a a a ++=+=+=+，以上各式相加得，()34223112()n n n a a a a a a a a a +++++=+++++++，化简得2212n n a a a a a +−=+++，即1221n n a a a a ++++=−，B 正确；12345613561,2,3,5,8,817a a a a a a a a a a ======∴++=≠−=，C 错误；易知221111,44n n n n c a c a ππ−−==，()()()221111214()(3)n n n n n n n n n n c c a a a a a a a a n πππ−−−−−+∴−=−=−+=≥，D 正确.故选：C.12．斐波那契数列又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多•斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”．斐波那契数列用递推的方式可如下定义：用n a 表示斐波那契数列的第n 项，则数列{}n a 满足：12211,n n n a a a a a ++===+，记121ni n i a a a a ==+++∑，则下列结论不正确的是（）A ．105a =B ．()2233n n n a a a n −+=+≥C ．201920211i i a a ==∑D ．20212202120221i i a a a ==⋅∑【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件逐项分析、推理计算即可判断作答. 【详解】依题意，{}n a 的前10项依次为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，即1055a =，A 正确；依题意，当3n ≥时，12n n n a a a −−=+，得2121223n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a −−−+−+=+++=++=+，B 正确；由给定的递推公式得：321a a a −=，432a a a −=，…，202120202019a a a −=，累加得20212122019a a a a a −=+++，于是有1220192021220211a a a a a a +++=−=−，即2019202111i i a a ==−∑，C 错误；2121a a a =⋅，222312321()a a a a a a a a =⋅−=⋅−⋅，233423432()a a a a a a a a =⋅−=⋅−⋅，…，22021202120222020()a a a a =⋅−2021202220212020a a a a =⋅−⋅，累加得22212202120212022a a a a a +++=⋅，D 正确.故选：C 【点睛】思路点睛：涉及给出递推公式探求数列性质的问题，认真分析递推公式并进行变形，可借助累加、累乘求通项的方法分析、探讨项间关系而解决问题.13．斐波那契数列又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多•斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”．斐波那契数列用递推的方式可如下定义：用n a 表示斐波那契数列的第n 项，则数列{}n a 满足： 12211,n n n a a a a a ++===+. ，记121ni n i a a a a ==+++∑，则下列结论不正确的是（）A ．1055a =B ．223(3)n n n a a a n −+=+≥C ．201920211i i a a ==∑D ．20212202120221i i a a a ==⋅∑【答案】C 【解析】【分析】根据给定的数列的递推公式，逐项分析、推理计算即可判断作答．【详解】依题意，数列{}n a 的前10项依次为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，即1055a =，所以A 正确；当3n ≥时，122121223n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a −−−−−+−+=+=+++=++=+，，所以B 正确；由12211,n n n a a a a a ++===+，可得321432202120202019,,,a a a a a a a a a −=−=−=，累加得20212122019a a a a a −=+++则122019202122021220211a a a a a a a a +++=−=−=−，即2019202111i i a a ==−∑，所以C 错误；由2212122312321,()a a a a a a a a a a a ==−=−，233423432(),a a a a a a a a =−=−，220212021202220202021202220212020()a a a a a a a a =−=−，所以22212202120212022a a a a a +++=⋅，所以D 正确.故选：C.14．数列{}n a ：1,1,2,3,5,8,13,21,34…，称为斐波那契数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多⋅斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和.记该数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（） A ．202220211a S =− B ．202220201a S =+C ．202220202a S =+D ．202220212a S =−【答案】B 【解析】【分析】利用迭代法可得2n a +123211n n n n a a a a a a −−−=+++++++，可得21n n a S +=+，代入2020n =即可求解.【详解】由题意，该数列从第三项开始，每项等于其前两相邻两项之和，所以211n n n n n n a a a a a a ++−=+=++=...123211n n n n a a a a a a −−−=+++++++，所以21n n a S +=+，令2020n =，可得202220201a S =+，故选：B【点睛】关键点点睛：理解数列新定义的含义得出21++=+n n n a a a ，利用迭代法得出2n a +123211n n n n a a a a a a −−−=+++++++，进而得出21n n a S +=+.15．斐波那契数列{}n a 满足121a a ==，()123n n n a a a n −−=+≥，其每一项称为“斐波那契数”.如图，在以斐波那契数为边长的正方形拼成的长方形中，利用下列各图中的面积关系，推出2221220212021a a a a ++⋅⋅⋅是斐波那契数列的第（）项.A ．2020B ．2021C ．2022D ．2023【答案】C 【解析】【分析】由斐波那契数列的递推关系可得21121n n n n n a a a a a ++++=−，应用累加法求2222021122021T a a a =+++，即可求目标式对应的项. 【详解】由12n n n a a a ++=−，则1222111()n n n n n n n n a a a a a a a a ++++++=−=−，又1a =21a =，所以2121a a a =，223221a a a a a =−，234332a a a a a =−，…，220212021202102222020a a a a a =−，则222022021122021202221T a a aa a ==+++，故2221220212021202220212021...a a a Ta a a +++==. 故选：C16．斐波那契数列（Fibonacci sequence ），又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci ）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，….从第3项开始，每一项都等于前两项之和，记此数列为{}n a ，则222122021a a a ++⋅⋅⋅+=（） A ．20202021a a B ．20202022a aC ．20212022a aD ．20222023a a【答案】C 【解析】【分析】由21n n n a a a ++=+，则12n n n a a a ++=−，且12a a =，可得222122021a a a ++⋅⋅⋅+()212321a a a a a a =+−()()20202021201920202021202220212020a a a a a a a a +⋅⋅−⋅−++，化简即可求解. 【详解】由已知条件可知21n n n a a a ++=+，则12n n n a a a ++=−，且12a a =，则2121a a a =，()222312321a a a a a a a a =−=−，()233423423a a a a a a a a =−=−，…， ()220202020202120192020202120192020a a a a a a a a =−=−， ()220212021202220202021202220212020a a a a a a a a =−=−，上述各式相加得222122021a a a ++⋅⋅⋅+()()()()202020212019202020212022202122123213243002a a a a a a a a a a a a a a a a a a −=+−+−+⋅⋅⋅++− 20212022a a =. 故选：C .17．斐波那契数列又称“黄金分割数列”，在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用．斐波那契数列{}n a 可以用如下方法定义：()*123,n n n a a a n n N −−=+≥∈，121aa ==，则()20222120221,2,,2022ii ai a ==⋅⋅⋅∑是数列{}n a 的第几项？（） A ．2020 B ．2021 C ．2022 D ．2023【答案】D 【解析】【分析】由题意结合递推关系式,采用累加求和可得202221i i a =∑的值，进一步做比值即可．【详解】由题意可得211a =，2223123()1a a a a a a =⋅−=⋅−， 233423432()a a a a a a a a =⋅−=⋅−⋅，L ，220222022202320212022202320222021()a a a a a a a a =⋅−=⋅−⋅，累加得：22212202220222023a a a a a +++=⋅，即20222202220231i i a a a ==⋅∑，20222120232022ii a a a ==∑,故选：D ．18．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8，…，该数列的特点是前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列数所组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，数列{}n a 的前n 项和为n S ，则下列结论错误的是（） A ．854S = B ．135720192020a a a a a a +++++=C ．2468202020211a a a a a a +++++=−D ．20202019201820172021S S S S a +−−=【答案】D 【解析】【分析】利用“斐波那契数列”的定义及数列的性质对选项A 、B 、C 、D 逐一分析即可得答案．【详解】解：对A ：81238...112358132154S a a a a =++++=+++++++=，故选项A 正确；对B ：由“斐波那契数列”的定义有2020201920182019201720162019201720152014a a a a a a a a a a =+=++=+++20192017201532a a a a a ==+++++，因为21a a =，所以135720192020a a a a a a +++++=，故选项B 正确；对C ：由“斐波那契数列”的定义有202120202019202020182017202020182016421a a a a a a a a a a a a =+=++==++++++，因为11a =，所以2468202020211a a a a a a +++++=−，故选项C 正确；对D ：()()()()20202019201820172018201920172019202020182019202120202022S S S S S S S S a a a a a a a +==++−−=−−++=+，故选项D 错误．故选：D ．19．斐波那契数列因以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.此数列在现代物理､准晶体结构､化学等领域都有着广泛的应用.斐波那契数列{}n a 可以用如下方法定义：21n n n a a a ++=+，且121a a ==，若此数列各项除以4的余数依次构成一个新数列{}n b ，则数列{}n b 的前2022项和为（） A ．2698 B ．2697 C ．2696 D ．2695【答案】C 【解析】【分析】根据()*12123,,1n n n a a a n n a a −−=+⋯∈==N , 递推得到数列{}n a ,然后再得到数列{}n b 是以6为周期的周期数列求解. 【详解】因为()*12123,,1,n n n a a a n n a a −−=+⋯∈==N所以数列{}n a 为 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,⋯此数列各项除以 4 的余数依次构成的数列{}n b 为:1,1,2,3,1,0,1,1,2,3,1,0,是以 6 为周期的周期数列, 所以20222022=(1+1+2+3+1+0)=26966S . 故选：C.20．十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契从兔子繁殖问题中发现了这样的一列数：1，1，2，3，5，8，13，…．即从第三项开始，每一项都等于它前两项的和．后人为了纪念他，就把这列数称为斐波那契数列．因以兔子繁殖为例子而引入，故又称该数列为“兔子数列”．下面关于斐波那契数列{}n a 的说法不正确的是（） A ．2021a 是奇数 B ．62420202021a a a a a ++++=C ．135********a a a a a ++++=D ．2222123202120212022a a a a a a ++++=【答案】B 【解析】【分析】直接根据斐波那契数列的递推关系21n n n a a a ++=+及数列求和，相消法的应用进行判断即可求解. 【详解】因为{}n a 的项n a 具有2奇1偶，3项一周期的周期性，所以2021a 是奇数，所以A 正确；因为34682020562020201920202021a a a a a a a a a a +++++=++==+=，所以B 错误；因为13520212352021452021202020212022a a a a a a a a a a a a a a ++++=++++=+++=+=，所以C 正确；因为()22222222212320211223202121232021a a a a a a a a a a a a a a ++++=++++=++++()22222332021323202134202120212022a a a a a a a a a a a a a =+++=+++=++==，所以D 正确．故选：B. 二、填空题21．意大利数学家斐波那契的《算经》中记载了一个有趣的数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，⋯，这就是著名的斐波那契数列，该数列的前2022项中奇数的个数为_______．【答案】1348 【解析】【分析】根据已知数据进行归纳，发现规律，再结合题意，即可求得结果. 【详解】对数列中的数据归纳发现，每3个数中前2个都是奇数，又20223674=⨯，故该数列前2022项有67421348⨯=个奇数. 故答案为：1348.22．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是______． ①733S = ②202220241S a =− ③135********a a a a a ++++= ④2222123202120212022a a a a a a ++++=【答案】①②③④ 【解析】【分析】根据斐波那契数列的定义验证各结论是否正确．【详解】71123581333S =++++++=，①正确；2024202220232022202120222022202120202021a a a a a a a a a a =+=++=+++==2022202123a a a a ++++=2022202121220221a a a a a S +++++=+，所以202220241S a =−，②正确；20222021202020212019201820212019322021201931a a a a a a a a a a a a a a =+=++=++++=++++，③正确222222221232021202120221232020202120212022()a a a a a a a a a a a a a ++++−+++−=++2222123202020212020a a a a a a =+++++−21120a a a ==−=，④正确．故答案为：①②③④．23．意大利数学家斐波那契于1202年在他的著作《算盘书》中，从兔子的繁殖问题得到一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55……，这个数列称斐波那契数列，也称兔子数列．斐波那契数列中的任意一个数叫斐波那契数．人们研究发现，斐波那契数在自然界中广泛存在，如图所示：大多数植物的花斑数、向日葵花盘内葵花籽排列的螺线数就是斐波那契数等等，而且斐波那契数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域有着直接的应用．设斐波那契数列为{}n a ，其中121a a ==，有以下几个命题：①()12n n n a a a n ++++=∈N ；②2222123445a a a a a a +++=⋅；③135********a a a a a ++++=；④()2212221n n n a a a n +++=⋅−∈N ．其中正确命题的序号是________．【答案】①②③ 【解析】【分析】根据斐波那契数列的知识对四个命题进行分析，从而确定正确答案. 【详解】斐波那契数列从第3项起，每一项都是前2项的和，所以()12n n n a a a n ++++=∈N ，①正确.22221234451143915,515a a a a a a =+++++⋅=⨯=+=，②正确.202220212020202120192018a a a a a a =+=++ 2021201920172016a a a a =+++=202120192017201532a a a a a a =++++++202120192017201531a a a a a a =++++++，所以③正确.当1n =时，222134n a a +==，22224111312n n a a a a +⋅−=⋅−=⨯−=，所以④错误.故答案为：①②③24．斐波那契数列（Fibonaccisequence ）又称黄金分割数列，是数学史上一个著名的数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…….已知在斐波那契数列{}n a 中，11a =，21a =，()21N n n n a a a n +++=+∈，若2022a m =，则数列{}n a 的前2020项和为___________（用含m 的代数式表示）.【答案】1m −##1m −+ 【解析】【分析】通过累加得到22n n a a S +=+即可求得前2020项和. 【详解】由21n n n a a a ++=+，可知11n n n a a a +−=+，……，432a a a =+，321a a a =+，将以上各式相加得1312121222n n n n n a a a a a a a a +−++++++++=++，整理得22n n a a S +=+，则2020202221S a a m =−=−. 故答案为：1m −.25．历史上数列的发展，折射出许多有价值的数学思想方法，对时代的进步起了重要的作用，比如意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”，1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和.后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，现有与斐波那契数列性质类似的数列{}n a 满足：12a =，410a =，且21n n n a a a ++=+（n *∈N ），记数列{}2n a 的前n 项和为n S ，若2852p S =，则p =___________. 【答案】7 【解析】【分析】根据递推关系写出{}n a 的前面若干项，利用并项求和法求得n S ，从而确定p 的值. 【详解】∵43212222210a a a a a a =+=+=+=，∴24a =，36a =，则数列{}n a 中的项依次为2，4，6，10，16，26，42，68，…，又214a =，()222312312a a a a a a a a =−=−，()233423423a a a a a a a a =−=−，()244534543a a a a a a a a =−=−，…， ()21111n n n n n n n n a a a a a a a a +−+−=⋅−=⋅−⋅，将上面的式子相加，可得1124n n n S a a a a +=⋅−+，又77812442682442852S a a a a =−+=⨯−⨯+=， ∴7p =. 故答案为：726．数列{}n a ：1，1，2，3，5，8，…，称为斐波那契数列，该数列是由意大利数学家菜昂纳多·斐波那契(Leonardo Fibonacci )从观察兔子繁殖而引入，故又称为“兔子数列”．数学上，该数列可表述为121a a ==，()21N*n n n a a a n ++=+∈60为周期变化的，通项公式⎡⎤−⎥⎦n n n a 等．借助数学家对人类的此项贡献，我们不难得到()2112211n n n n n n n n a a a a a a a a ++++++=−=−，从而易得21a ＋22a ＋23a ＋…＋2126a 值的个位数为__________．【答案】4 【解析】【分析】先根据()2112211n n n n n n n n a a a a a a a a ++++++=−=−将式子化简，进而根据该数列项的个位数是以60为周期变化求得答案. 【详解】因为()2112211n n n n n n n n a a a a a a a a ++++++=−=−，所以()()()2123213432126127126125a a a a a a a a a a a a a +−+−++−211261271261271a a a a a a =−+=.又该数列项的个位数是以60为周期变化，所以1266,a a 的个位数字相同，1277,a a 的个位数字相同，易知67658,13a a a a ==+=，则2438=⨯，所以126127a a 的个位数字为4. 故答案为：4.27．1202年意大利数学家列昂那多－斐波那契以兔子繁殖为例，引人“兔子数列”，又称斐波那契数列.即1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,该数列中的数字被人们称为神奇数，在现代物理，化学等领域都有着广泛的应用.若此数列各项被3除后的余数构成一新数列{}n a ，则数列{}n a 的前2022项的和为________. 【答案】2276 【解析】【分析】由数列1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,各项除以3的余数，可得{}n a 为1,1,2,0,2,2,1,0,1,1,2,0,2,2,1，知{}n a 是周期为8的数列，即可求出数列{}n a 的前2022项的和. 【详解】由数列1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,各项除以3的余数，可得{}n a 为1,1,2,0,2,2,1,0,1,1,2,0,2,2,1，{}n a ∴是周期为8的数列，一个周期中八项和为112022109+++++++=，又202225286=⨯+，∴数列{}n a 的前2022项的和2022252982276S =⨯+=. 故答案为：2276.28．斐波那契数列，又称“兔子数列”，由数学家斐波那契研究兔子繁殖问题时引入．已知斐波那契数列{}n a 满足10a =，21a =，()*21n n n a a a n ++=+∈N ，若记1352019a a a a M ++++=，2462020a a a a N ++++=，则2022a =________．（用M ，N 表示）【答案】1M N ++ 【解析】【分析】由已知两式相加求得2020=+S N M ，1352019a a a a M ++++=得20181=−=S M a M ，2462020a a a a N ++++=得到20191=−S N ，从而得到202020202019a S S =−，201920192018=−a S S ，利用21n n n a a a ++=+可得答案. 【详解】因为1352019a a a a M ++++=，由1352019a a a a M ++++=，2462020a a a a N ++++=，得2020=+S N M ，所以()()()()11362018102451201728+++++++=+=++a a a a a a a a a a S M ，得20181=−=S M a M ，因为2462020a a a a N ++++=，所以()()()224201820192019251320911+++++++=−+=+=a a a a a a a S a a S N ，。

斐波那契数列

在这个问题中，144>143，这个143是斐波那契数列的前n项和，我们是把144超出143的部分加到最后的一个数上去，如果加到其他数上，就有3条线段可以构成三角形了。

变式训练1 一只青蛙从宽5米的水田的一边要跳往另一边，它每次只能跳0.5米或1米，这只青蛙跳过水田共有多少种不同的方法?变式训练2 有一堆火柴共12根，如果规定每次取1～3根，那么取完这堆火柴共有多少种不同的取法?假定一对大兔子每一个月可以生一对小兔子，而小兔子出生后两个月就能有生殖能力。

问：从一对大兔子开始，如果所有兔子都不死，一年后能繁殖成多少对兔子？这就产生了斐波那契数列：如果一对兔子每月生一对兔子；一对新生兔，从第二个月起就开始生兔子；假定每对兔子都是一雌一雄，试问一对兔子，一年能繁殖成多少对兔子？先看前几个月的情况：第一个月有一对刚出生的兔子，即F(1)=1；第二个月，这对兔子长成成年兔，即F(2)=1；第三个月，这对成年兔生出一对小兔，共有两对兔子，即F(3)=2；第四个月，成年兔又生出一对小兔，原出生的兔子长成成年兔，共有三对兔子，即F(4)=3；第五个月，原成年兔又生出一对小兔，新成年兔也生出一对小兔，共有五对兔子，即F(5)=5；……以此类推，可得每个月的兔子对数，组成数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，…，这就是著名的斐波那契数列，其中的任一个数，都叫斐波那契数。

题中本质上有两类兔子：一类是能生殖的兔子，称为成年兔子；新生的兔子不能生殖；新生兔子一个月就长成成年兔子。

求的是成年兔子与新生兔子的总和。

每月新生兔对数等于上月成年兔对数。

每月成年兔对数等于上个月成年兔对数与新生兔对数之和。

最后得关系式：F(1)=F(2)=1；F(n)=F(n-1)+F(n-2)(n≥3)。

法国数学家比内(Binet)证明了通项公式为2、斐波那契数列的性质斐波那契数列有很多有趣的性质，归纳如下：性质1：相邻的斐波那契数之平方和(差)仍为斐波那契数。

Fibonacci数列(斐波那契数列)

pln(f)f ep
f e 0 . 4 7 8 2 n 0 . 7 6 2 4 0 . 4 6 6 5 e 0 . 4 7 8 2 n
这是粗略通项公式，那怎样寻找精确的通项公式呢？
3.Fibonacci数列的通项公式
数列满足递推关系 fn2fn1fn ，称这样的递推关系为二阶线性差分方程。
猜测： 1 和 2 都是差分方程的解，都是数列
的通项，但这是不怎么可能，因为数列不会有两个通项吧。猜测 1 与 2 的线性组合仍是差分方程的解。设 fnC 11nC2 2 n ，代入差分方程进行检验，猜测确实成立！
因此，差分方程的解为：
n
n
fnC1125 C2125
3.Fibonacci数列的通项公式
4.自然界中的斐波那契数列
这也可纳入饮食的0.618规律之列。抗衰老有生理与心理抗衰之分，哪个为重？研究证明，生理上的抗衰为四，而心理上的抗衰为六，也符合黄金分割律。充分调动与合理协调心理和生理两方面的力量来延缓衰老，可以达到最好的延年益寿的效果。一天合理的生活作息也符合0.618的分割，24小时中，2/3时间是工作与生活，1/3时间是休息与睡眠；在动与静的关系上，究竟是"生命在于运动"，还是"生命在于静养"？
根据初始条件 f1 f2 1,可能确定常数 c 1 , c 2 ,
[c1,c2]=solve('c1*(1+sqrt(5))/2+c2* (1sqrt(5))/2=1','c1*((1+sqrt(5))/2)^2+ c2*((1-sqrt(5))/2)^2=1')
3.Fibonacci数列的通项公式
Fibonacci数列（斐波那契数列）

动态规划问题（斐波那契数列）

动态规划问题（斐波那契数列）算法1. 动态规划题⽬1：写⼀个函数，输⼊ n ，求斐波那契（Fibonacci）数列的第 n 项（即 F(N)）。

斐波那契数列的定义如下：F(0) = 0, F(1)= 1F(N) = F(N - 1) + F(N - 2), 其中 N > 1.斐波那契数列由 0 和 1 开始，之后的斐波那契数就是由之前的两数相加⽽得出。

答案需要取模 1e9+7（1000000007），如计算初始结果为：1000000008，请返回 1。

⽰例 1：输⼊：n = 2思路：1. ⾸先想到的是递归，后⾯的函数需要调⽤前⾯的函数，并且有明显的停⽌条件。

2. 然后是动态规划，要计算第三个数，只需要知道前⾯两个数即可，⽽最开始的两个很容易得出。

再下⼀次计算中舍弃第⼀个，保留第⼆三个数。

作为下⼀轮的第⼀⼆位。

如此重复操作即可。

（就是⼀个循环的问题）代码：public class Fib {//测试public static void main(String[] args) {System.out.println(fib(22));System.out.println(fib01(1000));}//思路1public static int fib(int n) {if (n == 0 || n == 1) {return n;}return fib(n - 1) + fib(n - 2);}//思路2public static int fib01(int n) {if (n < 2) {return n;}final int MOD = 1000000007;int a = 0;int b = 1;int c = 0;for (int i = 1; i < n; i++) {c = (a + b) % MOD;a = b;b = c;}return c;}}题⽬2：⼀只青蛙⼀次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级台阶。

斐波那契数列的应用问题

斐波那契数列的应用问题：
1．爬楼梯问题:
上楼梯的时候,如果允许每次跨一蹬或二蹬,那么对于楼梯数为1,2,3,4,…时的上楼方式数会有什么关系吗？
理论上说明:若登层阶梯有种方法,设第一步一层,则其余层的方法为种;若第一步二层,则其余层的方法为种;即登层阶梯的方法应有种.又因应登一层阶梯的方法只有一种;登两层的阶梯有两种方法(一步一层或一步两层),所以显然这是一个斐波那契数列的应用问题.
1,2,3,5,8,13,21,34,55,89……
2.座位问题:
师生集合坐一排,但老师们坐在一起总会聊些有关学校的无聊话题,因此规定老师彼此不可相邻而坐,若有不同数目的椅子,则有多少种可能的坐法(这同样是斐波那契数列的应用问题)
理论上说明:若只有一张椅子,可坐老师(T)或学生(S),共有两种坐法=>;若有二张椅子,可坐TS,ST,SS,共有三种坐法=>;若有n张椅子,可考虑n-1张椅子的情形下,最右边再加入一张椅子,如果最后坐的是学生则没有问题,有种坐法;如果最后坐的是老师,则最后两张坐的必定要是ST才符合条件,因此最后两张已经固定,相当于有种坐法,于是,斐波那契数列又再度出现.。

(最新整理)斐波那契数列问题

方法二：只计算原数列的个位数字只针对除以5的余数
数列 1,1,2,3,5,8,3,1,4,5,9,4,3,7,0,7,7,4,1,
余数 1,1,2,3,0,3,3,1,4,0,4,4,3,2,0,2,2,4,1,
数列 5,6,1,7,8…… 余数 0,1,1,2,3……
2013÷20=100（组）……13（个20）个数为一个周期
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二、选题分析
这是一道综合运用题，本题是在学生熟练掌握了有余数的除法后，对有余数除法的进一步深化和拓展。主要考查同学们能否根据所学的知识来解决斐波那契数列中余数的周期问题。
2021/7/26
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三、选题解法
数列1、1、2、3、5、8......，从第三项起，每一项都是前两项的和。问这个数列中的第2013项除以5的余数是多少？
1、分析题目所给的已知条件：数列的规律。
2、解题思路分析：一、求数列中的第2013项舍弃
二、找到余数的规律
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方法一：
数列 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233, 余数 1,1,2,3,0,3, 3, 1, 4, 0, 4, 4, 3, 数列 377,610,987,1597,2584,4181,6765, 余数 2, 0, 2, 2, 4, 1, 0,Βιβλιοθήκη 2021/7/2619
列表
斐波那契数列中各数除以n的余数规律是什么？
除数n 2 3 4 6 7 8 9
余数
周期
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斐波那契数列中各数除以n的余数规律是什么？
除数n 2 3 4 6 7 8 9
余数 1,1,0,1,1,0…… 1,1,2,0,2,2,1,0,1,1,2…… 1,1,2,3,1,0,1,1,2…… 1,1,2,3,5,2,1,3,4,1,5,0,5,5,4,3,1,4,5,3,2,5,1,0,…… 1,1,2,3,5,1,6,0,6,6,5,4,2,6,1,0,1,1,2,…… 1,1,2,3,5,0,5,5,2,7,1,0,…… 1,1,2,3,5,8,4,3,7,1,8,0,8,8,7,6,4,1,5,6,2,8,1,0,……

赏析几道以斐波那契数列为背景的高考题和竞赛题_周湖平

… 则 a10 + b10 =
（）
A． 28 B． 76 C． 123 D． 10
( 2012 年江西省数学高考理科试题) 解记 an + bn = f（ n），则
f（ 3） = f（ 1） + f（ 2） = 1 + 3 = 4；
f（ 4） = f（ 2） + f（ 3） = 3 + 4 = 7；
f（ 9） = f（ 7） + f（ 8） = 76；
f（ 10） = f（ 8） + f（ 9） = 123，
故
a10 + b10 = 123．
点评本题考查了归纳推理的有关知识，在归
纳方法中考查了斐波那契数列通项的特点（即从
第 2 项起，每一项都是前两项之和）．
例2
已知 f（ x）
=
1
1 +
( ) ( ) 2
n +1
－
n +2
－
n +1
1 －槡5 2 n +2 （ n = 0，1，2，…）．
1 －槡5 2
点评这是一道有着深刻背景的好题，涉及到
黄金分割数、斐波那契数列、迭代数列等诸多问题．
（ 1）猜想数列｛ xn ｝的单调性，并证明你的结
论；
( ) （
2
证明：
| xn +1
α－β
α－β
α－β
即
an +2 = an +1 + an．
（
2）
对数列｛
an｝
，由
an
=
αn α
－－
βn（ β

斐波那契数列问题和扩展

斐波那契数列问题和扩展作者：原⽂地址：斐波那契数列介绍斐波那契数，通常⽤ F(n) 表⽰，形成的序列称为斐波那契数列。

该数列由 0 和 1 开始，后⾯的每⼀项数字都是前⾯两项数字的和。

也就是：F(0) = 0，F(1) = 1F(n) = F(n - 1) + F(n - 2)，其中 n > 1相关题⽬参考：思路暴⼒解法：递归版本public static int fib(int N) {if (N <= 0) {return 0;}if (N == 1 || N == 2) {return 1;}return fib(N - 1) + fib(N - 2);}暴⼒解法：迭代版本public static int fib2(int N) {if (N <= 0) {return 0;}if (N == 1 || N == 2) {return 1;}int first = 1;int second = 1;int result = 0;for (int i = 3; i <= N; i++) {result = first + second;first = second;second = result;}return result;}最优解如果某个递归，除了初始项之外，具有如下的形式F(N) = C1 * F(N) + C2 * F(N-1) + ... + Ck * F(N-k) ( C1...Ck 和k都是常数)并且这个递归的表达式是严格的、不随条件转移的, 那么都存在类似斐波那契数列的优化，时间复杂度都能优化成O(logN),斐波那契数列的通项公式F(N) = F(N - 1) + F(N - 2)斐波那契数列的任意项（以F2，F3，F4为例），都有如下公式：|F2,F3| * |a,b| = |F3,F4||c,d|其中，矩阵中a = 0, b = 1, c = 1, d = 1所以针对斐波那契第N项，有|F(N),F(N-1)| = |F2,F1| * |0,1| ^ (N - 2)|1,1|所以优化的关键在于，求⼀个矩阵的(N - 2)次⽅如何更快，我们可以参考求⼀个整数的N次⽅如何最快，可以通过快速幂⽅式来计算。

与斐波那契数列相关的问题并解答

与斐波那契数列相关的问题并解答
斐波那契数列是一个经典的数学问题，其中每个数字都是前两个数字的和。

斐波那契数列通常以0和1开始，后续的数字依次为1，2，3，5，8，13，21，34等。

以下是一些与斐波那契数列相关的问题及其解答：
1. 如何计算第n个斐波那契数？
解答：可以使用递归或迭代的方法计算第n个斐波那契数。

递归方法是将问题分解为更小的子问题，直到达到基本情况（如斐波那契数列的前两个数字）。

迭代方法是使用循环来计算每个数字，并保存中间结果。

2. 斐波那契数列有什么特点？
解答：斐波那契数列具有多个特点。

首先，每个数字都是前两个数字的和。

其次，随着数字的增加，相邻两个数字的比率接近黄金比例（约为1.618）。

另外，斐波那契数列在自然界中也有许多应用，如植物的叶子排列、螺旋壳的形状等。

3. 斐波那契数列有哪些应用？
解答：斐波那契数列在计算机科学、金融学和自然科学等领域有
多种应用。

在计算机科学中，它可以用于动态规划、递归算法和记忆化搜索等问题。

在金融学中，斐波那契数列可以用于分析股票市场的波动趋势。

此外，在自然科学中，斐波那契数列可以解释一些生物现象，如植物的叶子排列和花瓣的分布等。

4. 斐波那契数列有没有其他变体？
解答：是的，斐波那契数列有许多变体，如斐波那契数列模9后的结果、斐波那契素数等。

这些变体通常对原始的斐波那契数列进行了某种扩展或限制，以便研究不同的数学性质和特点。

以上是一些与斐波那契数列相关的问题及其解答。

斐波那契数列是一个有趣且重要的数学问题，其深入研究可以帮助我们更好地理解数学和自然界的规律。

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