苏教版数学高一《分段函数》 同步导学案 苏教
江苏省包场高级中学苏教版高中数学必修1导学案 2.1.2函数的表示方法
§2.1.2 函数的表示方法(一)【学习目标】：掌握函数的三种表示方法（列表法，解析法，图象法），及其互相转化；理解分段函数的概念。
【教学过程】：一、复习引入：回顾初中学过的函数及其表示方法二、 新课讲授：函数的三种表示方法： 1 列表法：2 解析法：3 图象法：三、典例欣赏例1．购买某种饮料x 听，所需钱数为y 元。
若每听2元，试分别用解析法、列表法、图象法将y 表示为x （x ∈{1，2，3，4}）的函数，并指出函数的值域。
例2．某市出租汽车收费标准如下：在km 3以内（含km 3）路程按起步价7元收费，超过km 3 以外的路程按2.4元km /收费，试写出收费额关于路程的函数的解析式。
回顾小结：分段函数（1） 概念：（2） 理解：练习与思考：考虑例2中所求得的函数解析式()7,037 2.43 2.40.2,3x y x x x <≤⎧⎪=⎨+-=->⎪⎩， 回答下列问题：（1）函数的定义域是_______________.（2）若x = 8，则y =_______________；若y = 11.8，则x =_______________.（3）画出函数的图像.（4）函数的值域是_______________. 例3．（1）已知⎩⎨⎧<-≥=-=)0.(1)0.()(,12)(2x x x x g x x f ，求[][])(,)(x f g x g f 。
（2）已知函数22(1)()(12)2(2)x x f x x x x x +≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩，若a a f 求,3)(=。
例4.如图AOB ∆是边长为2的正三角形，这个三角形在直线t x =左侧部分的面积为y,求函数)(t f y =的解析式，并画出)(t f y =的图象.例5．作出函数)1(|2|-+=x x y 的图象，并求函数的定义域与值域。
【反思小结】：【针对训练】： 班级 姓名 学号1. 已知函数⎩⎨⎧<≥=)0()0()(2x x x x x f ，则)]2([-f f = 2. 已知函数()21,0231,24,11,4x x f x x x x ⎧+≤≤⎪=-<≤⎨⎪>⎩则()()15f f +=3．建造一个容积为38m 、深为m 2的长方形无盖水池，如果池底与池壁的造价分别为2/120m 元 和2/80m 元，则总造价y （元）与关于底面一边长x （m ）的函数解析式是，且此函数的定义域是4. 函数⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤<-=)41()10(2)0()(2x x x x x x f 的定义域为5. 设函数3,(10)()((5)),(10)x x f x f f x x -≥⎧=⎨+<⎩，则(5)f ＝ ． 6. 若一个函数满足()()()f x y f x f y +=+，则满足该条件的一个函数解析式是()f x =7. （1）作出函数y=2x 2+|x 2-1|的图象。
苏教版高一数学函数教案学案
课题：函数的概念和图象（1）一、阅读课本完成下列问题：1.函数的概念：设A 、B 是两个 ，如果按某种对应法则f,对于集合A 中的 在集合B 中 和它对应，这样的对应叫从A 到B 的一个 ，通常记为 其中所有输入值x 组成的集合A 叫做函数y=f(x)的 ，与输入值对应的输出值y 组成的集合叫函数的 。
2.函数的三要素是 、 、1．函数的定义：（1）传统定义：设在一个变化过程中有两个变量x 与y ，如果对于x 的每一个值，y 都有＿＿＿＿＿＿＿＿与它对应，那么就说x 是自变量，y 是x 的函数，自变量x 的取值的集合叫做＿＿＿＿＿＿，自变量x 的值对应的y 的值叫做＿＿＿＿＿，函数值的集合叫做函数的值域。
（2）近代定义：如果,A B 都是非空的数集，那么A 到B 的映射f ：A B →就叫做A 到B 的函数，记作()y f x =，其中x A ∈，y B ∈，原象的集合叫做函数()y f x =的定义域，象的集合C （C B ⊆）叫做函数()y f x =的值域。
2、函数的三要素问题1）、若给出两个函数()()2,x x g x x f ==，它们是否是同一函数？如何判断两个函数是否为同一函数问题2）、如何理解函数符号()x f ？以()53+=x x f 为例作出解释。
问题3）、假设A 、B 是两个非空的数集，()x f 是从集合A 到集合B 的一个函数。
那么A 就是这个函数的定义域，B 就是这个函数的值域吗？ 3、函数的图象问题：垂直于x 轴的直线与一个函数图象交点可以有哪些情况？三、师生研究：例1课本（P22例1）变：设{}{}20,20≤≤=≤≤=y y N x x M ，给出下列4个图形，其中能表示集合M 到集合N 的函数关系的有 个例题2课本（P22例2）变：1、判断下列各组中的两个函数是否是同一函数？为什么？（1）3)5)(3(1+-+=x x x y52-=x y （2）111-+=x x y )1)(1(2-+=x x y（3）x x f =)( 2)(x x g =（4）x x f =)( 33)(x x F =（5）21)52()(-=x x f 52)(2-=x x f变：2、已知函数f(x)=x 2+1,求 (1) f(0),f(1),f(a)(2) f(2a),f(2x),f(x+1)(3)求f[f(x)],并比较与[f(x)]2是否相等。
苏教版高中数学必修1《函数的概念和图象》导学案
2.1.1 函数的概念和图象一、学习内容、要求及建议二、预习指导1．预习目标(1)准确利用前面所学的集合以及对应的语言来刻画函数；(2)了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；(3)会画一些简单函数的图象。
2．预习提纲：(1)强化对函数的概念的认识阅读教材第23-25页以及典型例题例1-5，教材开头以三个问题引出函数的概念，这三个函数分别以表格、解析式、图象形式给出的，具有一定的代表性。
教材的例1和典型例题例1、例3是从“数”的角度深化对函数概念的认识，教材例2以及典型例题例4都是求函数的定义域，要注意对常见的约束条件的认识，教材例3和典型例题例4-5都是求函数的值域问题，要掌握求值域的常见方法。
(2)养成通过“形”(主要指图象)来研究函数的习惯阅读教材第27-30页，教材例4目的是熟悉一次函数和二次函数图象的作法，而例5是离散型的函数图象(由一些孤立的点组成)，例6是函数图象的一个直接应用(比大小)，可以体会到图象的直观性的好处。
(3)完成自我测试题3．典型例题例1 判断下列对应关系是否为函数关系。
（1）||x y x =→，R y R x ∈∈,；（2）x y x 1=→,}2,0,1{-∈x }21,0,1{-∈y ；（3）x y →为x 的平方根，R y x ∈+∞∈),,0(。
分析：欲判断一个对应A →B 是否为函数，必须抓住函数概念的实质，即A 中元素的任意性，B 中元素的惟一性。
解：(1)对于任意一个实数x ，||x 被惟一确定，所以这个对应是函数；(2)对于0=x ，在}21,0,1{-中没有元素与它对应，所以这个对应不是函数； (3)对于1=x ，有两个元素1±与它对应，所以这个对应也不是函数。
点评：函数的本质是两个非空数集之间的一种单值对应，把握函数定义中的“非空”、“每一个”、“惟一”三个关键词，并能据此判断一个对应是否是函数。
例2 判断下列函数()f x 与()g x 是否表示同一函数，为什么？（1）0()(1)()1f x x g x =-=，； （2）()()f x x g x ==，（3）22()()(1)f x x g x x ==+，； （4）()()f x g x == 分析：相同函数是指定义域、对应法则、值域都相同的函数，由于这些函数都是以解析形式给出，因此，可以用研究其函数的定义域与对应法则是否相同来说明两个函数是否相同。
5.2函数的表示方法第2课时分段函数-【新教材】苏教版(2019)高中数学(学生版+教师版)
编号：026 课题:函数的表示方法——第2课时分段函数目标要求1.会作出分段函数的图象；2.会根据分段函数的图象进行求值或求范围；3.理解并掌握分段函数的表示方法及应用；4.理解并掌握分段函数在实际问题中的应用.重点难点重点：分段函数的表示方法及应用；难点：分段函数在实际问题中的应用．教学过程基础知识点分段函数(1)定义:在定义域内不同部分上,有不同的解析表达式,像这样的函数叫作分段函数.(2)本质:函数在定义域的不同的范围内,有着不同的对应关系.(3)应用:可以用分段函数描述很多生活中的实际问题.【思考】1.分段函数31,0,()31,0,x xf xx x+⎧=⎨-+<⎩≥是两个函数吗?2.分段函数的定义域、值域是怎么规定的?【基础小测】1.下列说法正确的是（）(1)分段函数中各段函数的定义域交集是空集,并集是分段函数的定义域.(2)函数y=|x+1|是分段函数.(3)分段函数,0,()2,0,x x f x x x ⎧=⎨<⎩≥则f (-2)=-2.A .(1)(2)B .(1)(3)C .(2)(3)D .(1)(2)(3)2.若2,0,(),0,x x f x x x ⎧=⎨-<⎩≥则f (f (-2))= ( )A .2B .3C .4D .53.某城市出租车起步价为10元,最长可租乘3 km (含3 km ),以后每1 km 为1.6元(不足1 km ,按1 km 计费),若出租车行驶在不需等待的公路上,则出租车的费用y (元)与行驶的里程x (km )之间的函数图象大致为( )关键能力·合作学习类型一 分段函数的求值(范围)问题(数学运算) 【题组训练】1.设函数11,0,2()1,0,x x f x x x⎧-⎪⎪=⎨⎪<⎪⎩≥若f (a )=a ,则实数a 的值为 ( )A .±1B .-1C .-2或-1D .±1或-22.已知211,0,()2(1),0,x x f x x x ⎧+⎪=⎨⎪-->⎩≤使()1f x -≥成立的x 的取值范围是 ( )A .[-4,2)B .[-4,2]C .(0,2]D .(-4,2]3.已知1,0,()1,0,xf xx⎧=⎨-<⎩≥则不等式x+(x+2)·f(x+2)≤5的解集是 ()A.[-2,1]B.(-∞,-2]C.3[2,]2-D.3(,]2-∞【解题策略】1.分段函数求函数值的方法(1)确定要求值的自变量属于哪一段区间.(2)代入该段的解析式求值,直到求出值为止.当出现f(f(x0))的形式时,应从内到外依次求值.2.已知函数值求字母取值(范围)的步骤(1)先将字母分情况代入解析式,列出方程(不等式).(2)解方程(不等式)求字母的值(范围),并检验是否符合字母的取值范围.(3)符合题意的所有值(范围的并集)即为所求.【补偿训练】设2,10,()((6)),10,x xf xf f x x-⎧=⎨+<⎩≥则f(5)的值为 ( )A.10B.11C.12D.13类型二分段函数的表示方法及应用(数学运算、直观想象) 角度1 求分段函数的解析式【典例】函数f(x)的图象如图所示,则函数f(x)=______.【变式探究】本例中,若f(a)=12,求实数a的取值的集合.角度2 分段函数图象的应用【典例】已知f(x)=-x+3,31()22g x x=+,h(x)=x2-4x+3.(1)在同一坐标系中画出函数f(x),g(x),h(x)的图象.(2)∀x∈R,令M(x)表示f(x),g(x),h(x)中的最大者,记作M(x)={f(x),g(x),h(x)},请分别利用图象法和解析法表示函数M(x),并求M(x)的值域.【解题策略】1.关于分段函数的求值(范围)一是要分段求值或范围,二是求出的值和范围要符合本段的自变量取值范围.2.关于分段函数图象的应用首先要准确作出函数的图象,再根据图象的关系、条件的要求解题.【题组训练】1.函数||()xf x xx=+图象是 ( )2.在平面直角坐标系xOy中,若直线y=2a与函数y=|x+1|-1的图象只有一个交点,则a的值为________.【补偿训练】已知函数f(x)的图象如图所示,则f(x)的解析式是________.类型三分段函数在实际问题中的应用(数学建模)【典例】1.在股票买卖过程中,经常用到两种曲线:一种是即时价格曲线y=f(x),另一种是平均价格曲线y=g(x).例如,f(2)=3是指开始买卖2小时的即时价格为3元;g(2)=3是指开始买卖2小时内的平均价格为3元.下图给出的四个图象中,实线表示y=f(x),虚线表示y=g(x),其中可能正确的是 ( )2.某地区的电力紧缺,电力公司为鼓励市民节约用电,采取按月用电量分段收费办法,若某户居民每月应交电费y(元)关于用电量x(度)的函数图象是一条折线(如图所示),根据图象解下列问题:(1)求y关于x的函数解析式.(2)利用函数解析式,说明电力公司采取的收费标准.(3)若该用户某月用电62度,则应交费多少元?若该用户某月交费105元,则该用户该月用了多少度电?【解题策略】分段函数应用问题的两个关注点(1)应用情境日常生活中的出租车计费、自来水费、电费、个人所得税的收取等,都是最简单的分段函数.(2)注意问题求解分段函数模型问题应明确分段函数的“段”一定要分得合理.【跟踪训练】根据统计,一名工人组装第x 件产品所用的时间(单位:分钟)为,,(),,x A xf x x A A<⎪⎪=⎨⎪⎪⎩≥(A ,c为常数).已知该工人组装第4件产品用时30分钟,组装第A 件产品用时15分 钟,则A 的值为________.课堂检测·素养达标1.一列货运火车从某站出发,匀加速行驶一段时间后开始匀速行驶,过了一段时间,火车到达下一站停车,装完货以后,火车又匀加速行驶,一段时间后再次匀速行驶,下列图象可以近似地刻画出这列火车的速度变化情况的是( )2.已知函数2,2,()(1),2,x x f x f x x -<⎧=⎨-⎩≥则f (2)= ( )A .-1B .0C .1D .23.国家规定个人稿费纳税办法:不超过800元的不纳税;超过800元而不超过4 000元的按超过800元部分的14%纳税;超过4 000元的按全部稿酬的11.2%纳税.已知某人出版一本书,共纳税420元,则这个人应得稿费(扣税前)为 ( ) A .2 800元 B .3 000元 C .3 800元 D .3 818元4.已知函数22,0,(),03,x x f x x x +⎧=⎨<⎩≤≤若f (x )=3,则x =________.5.已知函数f (x )的图象是两条线段(如图所示,不含端点),则1(())3f f =________.编号：026 课题:函数的表示方法——第2课时分段函数目标要求1.会作出分段函数的图象；2.会根据分段函数的图象进行求值或求范围；3.理解并掌握分段函数的表示方法及应用；4.理解并掌握分段函数在实际问题中的应用.重点难点重点：分段函数的表示方法及应用；难点：分段函数在实际问题中的应用．教学过程基础知识点分段函数(1)定义:在定义域内不同部分上,有不同的解析表达式,像这样的函数叫作分段函数.(2)本质:函数在定义域的不同的范围内,有着不同的对应关系.(3)应用:可以用分段函数描述很多生活中的实际问题.【思考】1.分段函数31,0,()31,0,x xf xx x+⎧=⎨-+<⎩≥是两个函数吗?提示:分段函数是一个函数,只不过在不同范围上解析式不同.2.分段函数的定义域、值域是怎么规定的?提示:定义域为各段范围的并集;值域为各段上值域的并集.【基础小测】1.下列说法正确的是（）(1)分段函数中各段函数的定义域交集是空集,并集是分段函数的定义域.(2)函数y=|x+1|是分段函数.(3)分段函数,0,()2,0,x xf xx x⎧=⎨<⎩≥则f(-2)=-2.A.(1)(2)B.(1)(3)C.(2)(3)D.(1)(2)(3) 【答案】选A.【解析】(1)√.由分段函数的定义可知,此说法正确.(2)√.函数1,1,|1|1,1,x xy xx x+-⎧=+=⎨--<-⎩≥是分段函数.(3)×.f(-2)=2×(-2)=-4.2.若2,0,(),0,x xf xx x⎧=⎨-<⎩≥则f(f(-2))= ( )A.2B.3C.4D.5【解析】选C.因为-2<0,所以f(-2)=-(-2)=2,又因为2>0,所以f(f(-2))=f(2)=22=4.3.某城市出租车起步价为10元,最长可租乘3 km(含3 km),以后每1 km为1.6元(不足1 km,按1 km计费),若出租车行驶在不需等待的公路上,则出租车的费用y(元)与行驶的里程x(km)之间的函数图象大致为( )【解析】选C.由题意,当0<x≤3时,y=10;当3<x ≤4时, y =10+1.6,当4<x ≤5时, y =10+1.6×2,C 是正确选项.关键能力·合作学习类型一 分段函数的求值(范围)问题(数学运算) 【题组训练】1.设函数11,0,2()1,0,x x f x x x⎧-⎪⎪=⎨⎪<⎪⎩≥若f (a )=a ,则实数a 的值为 ( )A .±1B .-1C .-2或-1D .±1或-2【解析】选B.由题意知,()f a a =,当0a ≥时,有112a a -=,解得2a =-,(不满足条件,舍去！); 当0a <时,有1a a=,解得1a = (不满足条件,舍去)或1a =-. 所以实数a 的值是1-.2.已知211,0,()2(1),0,x x f x x x ⎧+⎪=⎨⎪-->⎩≤使()1f x -≥成立的x 的取值范围是 ( )A .[-4,2)B .[-4,2]C .(0,2]D .(-4,2]【解析】选B .因为()1f x -≥,所以0,111,2x x ⎧⎪⎨+-⎪⎩≤≥或20,(1)1,x x >⎧⎨---⎩≥ 所以-4≤x ≤0或0<x ≤2,即-4≤x ≤2.3.已知1,0,()1,0,xf xx⎧=⎨-<⎩≥则不等式x+(x+2)·f(x+2)≤5的解集是 ()A.[-2,1]B.(-∞,-2]C.3[2,]2-D.3(,]2-∞【解析】选D.(1)当x+2≥0,即x≥-2时,f(x+2)=1.由x+(x+2)·f(x+2)≤5可得x+x+2≤5,所以32x≤,即322x-≤≤;(2)当x+2<0即x<-2时,f(x+2)=-1,由x+(x+2)·f(x+2)≤5可得x-(x+2)≤5,即-2≤5,所以x<-2.综上不等式的解集为3 {|}2 x x≤【解题策略】1.分段函数求函数值的方法(1)确定要求值的自变量属于哪一段区间.(2)代入该段的解析式求值,直到求出值为止.当出现f(f(x0))的形式时,应从内到外依次求值.2.已知函数值求字母取值(范围)的步骤(1)先将字母分情况代入解析式,列出方程(不等式).(2)解方程(不等式)求字母的值(范围),并检验是否符合字母的取值范围.(3)符合题意的所有值(范围的并集)即为所求.【补偿训练】设2,10,()((6)),10,x xf xf f x x-⎧=⎨+<⎩≥则f(5)的值为 ( )A.10B.11C.12D.13【解析】选B.因为2,10,()((6)),10,x xf xf f x x-⎧=⎨+<⎩≥所以f (5)=f (f (11))=f (9)=f (f (15))=f (13)=11.类型二 分段函数的表示方法及应用(数学运算、直观想象) 角度1 求分段函数的解析式【典例】函数f (x )的图象如图所示,则函数f (x )=______.【思路导引】由图象确定函数类型,待定系数法求解析式. 【解析】当x <-1时,设f (x )=ax +b ,则1,20,a b a b -+=⎧⎨-+=⎩解得1,2,a b =⎧⎨=⎩所以f (x )=x +2;当-1≤x ≤2时,设f (x )=kx 2,由4=k ·22得k =1,所以f (x )=x 2;当x >2时,设f (x )=cx +d ,则24,36,c d c d +=⎧⎨+=⎩解得2,0,c d =⎧⎨=⎩所以f (x )=2x ,所以22,1,(),12,2, 2.x x f x x x x x +<-⎧⎪=-⎨⎪>⎩≤≤答案:22,1,,12,2, 2.x x x x x x +<-⎧⎪-⎨⎪>⎩≤≤【变式探究】本例中,若f (a )=12,求实数a 的取值的集合.【解析】当a <-1时,f (a )=a +2=12,可得32a =-; 当-1≤a ≤2时,21()2f a a ==,可得22a =±;当a >2时,f (a )=2a =12,可得a =14(舍去), 综上所述,a 的取值构成的集合为322{,,}222--.角度2 分段函数图象的应用 【典例】已知f (x )=-x +3,31()22g x x =+,h (x )=x 2-4x +3. (1)在同一坐标系中画出函数f (x ),g (x ),h (x )的图象.(2)∀x ∈R ,令M (x )表示f (x ),g (x ),h (x )中的最大者,记作M (x )={f (x ),g (x ),h (x )},请分别利用图象法和解析法表示函数M (x ),并求M (x )的值域. 【思路导引】(1)利用描点法作三个函数在同一坐标系中的图象. (2)根据M (x )的图象及定义解题.【解析】(1)由题意可以画出函数f (x )=-x +3, 31()22g x x =+,h (x )=x 2-4x +3在同一坐标系下的图象:(2)由图中函数的取值情况,结合函数M (x )的定义,可得M (x )的图象为:结合图象得函数2243,0,3,01,()31,15,2243,5,x x x x x M x x x x x x ⎧-+⎪-+<<⎪⎪=⎨+<⎪⎪-+>⎪⎩≤≤ 且最小值在x =1处取得,最小值是2,故值域为[2,+∞). 【解题策略】1.关于分段函数的求值(范围)一是要分段求值或范围,二是求出的值和范围要符合本段的自变量取值范围. 2.关于分段函数图象的应用首先要准确作出函数的图象,再根据图象的关系、条件的要求解题.【题组训练】 1.函数||()x f x x x=+图象是 ( )【解析】选C .由题意得, 当x >0时,()1x f x x x x =+=+;当x <0时, ()1xf x x x x=-=-, 根据一次函数图象可知C 正确.2.在平面直角坐标系xOy 中,若直线y =2a 与函数y =|x +1|-1的图象只有一个交点,则a 的值为________.【解析】在同一平面直角坐标系内,作出函数y =2a 与y =|x +1|-1的图象, 如图所示.由题意,可知2a =-1,则12a =-. 答案:12-【补偿训练】已知函数f (x )的图象如图所示,则f (x )的解析式是________.【解析】由题图可知,当-1≤x <0时,设f (x )=ax +b ,将(-1,0),(0,1)代入解析式,得0,1a b b -+=⎧⎨=⎩所以1a b ==，即f (x )=x +1.当0≤x ≤1时,设f (x )=kx ,将(1,-1)代入,得k = - 1,即f (x )= - x .综上,1,10,(),0 1.x x f x x x +-<⎧=⎨-⎩≤≤≤答案:1,10,(),0 1.x x f x x x +-<⎧=⎨-⎩≤≤≤类型三 分段函数在实际问题中的应用(数学建模)【典例】1.在股票买卖过程中,经常用到两种曲线:一种是即时价格曲线y =f (x ),另一种是平均价格曲线y =g (x ).例如,f (2)=3是指开始买卖2小时的即时价格为3元;g (2)=3是指开始买卖2小时内的平均价格为3元.下图给出的四个图象中,实线表示y =f (x ),虚线表示y =g (x ),其中可能正确的是 ( )【思路导引】根据即时价格和平均价格的变化趋势判断.【解析】选A .开始时平均价格与即时价格一致,排除C ,D ,即时价格减少时,平均价格不可能增大,排除B.2.某地区的电力紧缺,电力公司为鼓励市民节约用电,采取按月用电量分段收费办法,若某户居民每月应交电费y(元)关于用电量x(度)的函数图象是一条折线(如图所示),根据图象解下列问题:(1)求y关于x的函数解析式.(2)利用函数解析式,说明电力公司采取的收费标准.(3)若该用户某月用电62度,则应交费多少元?若该用户某月交费105元,则该用户该月用了多少度电?【思路导引】先分段求出解析式,再利用解析式解题.【解析】(1)当0≤x≤100时,设函数解析式为y=kx.将x=100,y=65代入,得k=0.65,所以y=0.65x.当x>100时,设函数解析式为y=ax+b.将x=100,y=65和x=130,y=89代入,得10065,13089,a ba b+=⎧⎨+=⎩解得0.8,15.ab=⎧⎨=-⎩所以y=0.8x-15.综上可得0.65,0100,0.815,100.x xyx x⎧=⎨->⎩≤≤(2)由(1)知电力公司采取的收费标准为用户月用电量不超过100度时, 每度电0.65元;超过100度时,超出的部分,每度电0.80元.(3)当x=62时,y=62×0.65=40.3(元);当y =105时,因为0.65×100=65<105,故x >100, 所以105=0.8x -15,解得x =150.即若用户月用电62度时,则用户应交费40.3元;若用户月交费105元, 则该用户该月用了150度电. 【解题策略】分段函数应用问题的两个关注点 (1)应用情境日常生活中的出租车计费、自来水费、电费、个人所得税的收取等,都是最简单的分段函数. (2)注意问题求解分段函数模型问题应明确分段函数的“段”一定要分得合理.【跟踪训练】根据统计,一名工人组装第x 件产品所用的时间(单位:分钟)为,(),x A f x x A <=≥(A ,c为常数).已知该工人组装第4件产品用时30分钟,组装第A 件产品用时15分 钟,则A 的值为________.【解析】由函数解析式可以看出,组装第A15=, 因为该工人组装第4件产品用时30分钟>15分钟,所以4<A ,故(4)30f ==,解得c =60.15=,解得A =16. 答案:16课堂检测·素养达标1.一列货运火车从某站出发,匀加速行驶一段时间后开始匀速行驶,过了一段时间,火车到达下一站停车,装完货以后,火车又匀加速行驶,一段时间后再次匀速行驶,下列图象可以近似地刻画出这列火车的速度变化情况的是( )【解析】选B .根据题意,知这列火车从静止开始匀加速行驶,所以排除A ,D ;然后匀速行驶一段时间后又停止了一段时间,排除C .2.已知函数2,2,()(1),2,x x f x f x x -<⎧=⎨-⎩≥则f (2)= ( )A .-1B .0C .1D .2 【解析】选A .f (2)=f (2-1)=f (1)=1-2=-1.3.国家规定个人稿费纳税办法:不超过800元的不纳税;超过800元而不超过4 000元的按超过800元部分的14%纳税;超过4 000元的按全部稿酬的11.2%纳税.已知某人出版一本书,共纳税420元,则这个人应得稿费(扣税前)为 ( ) A .2 800元 B .3 000元 C .3 800元 D .3 818元【解析】选C .设纳税额为y 元,稿费(扣税前)为x 元, 由题意,知纳税额y 元与稿费(扣税前)x 元之间的函数解析式为0,800,0.14(800),8004000,0.112,4000.x y x x x x ⎧⎪=-<⎨⎪>⎩≤≤由于此人纳税420元,所以当800<x ≤4 000时,则(x -800)×0.14=420, 解得x =3 800,符合题意;当x >4 000时,0.112x =420,解得x =3 750(舍去),故这个人应得稿费(扣税前)为3 800元.4.已知函数22,0,(),03,x x f x x x +⎧=⎨<⎩≤≤若f (x )=3,则x =________. 【解析】依题意,若x ≤0,则x +2=3,解得x =1,不合题意,舍去;若0<x ≤3,则x 2=3,解得3x =- (舍去)或3x =.答案:35.已知函数f (x )的图象是两条线段(如图所示,不含端点),则1(())3f f =________.【解析】由题图可知,函数()f x 的解析式为1,01,()1,10,x x f x x x -<<⎧=⎨+-<<⎩所以112()1333f =-=- ，所以1221(())()13333f f f =- =- += 答案:13。
苏教版高中数学必修一函数的表示方法教案
2.1.2函数的表示方法（2）教学目标：1．进一步理解函数的表示方法的多样性，理解分段函数的表示，能根据实际问题列出符合题意的分段函数；2．能较为准确地作出分段函数的图象；3．通过教学，进一步培养学生由具体逐步过渡到符号化，代数式化，并能对以往学习过的知识进行理性化思考，对事物间的联系的一种数学化的思考．教学重点：分段函数的图象、定义域和值域．教学过程：一、问题情境1．情境．复习函数的表示方法；已知A＝{1，2，3，4}，B＝{1，3，5}，试写出从集合A到集合B的两个函数．2．问题．函数f(x)＝|x|与f(x)＝x是同一函数么？区别在什么地方？二、学生活动1．画出函数f(x)＝|x|的图象；2．根据实际情况，能准确地写出分段函数的表达式．三、数学建构1．分段函数：在定义域内不同的部分上，有不同的解析表达式的函数通常叫做分段函数．（1）分段函数是一个函数，而不是几个函数；（2）分段函数的定义域是几部分的并；（3）定义域的不同部分不能有相交部分；（4）分段函数的图象可能是一条连续但不平滑的曲线，也可能是由几条曲线共同组成；（5）分段函数的图象未必是不连续，不连续的图象表示的函数也不一定是分段函数，如反比例函数的图象；（6）分段函数是生活中最常见的函数．四、数学运用1．例题．例1 某市出租汽车收费标准如下：在3km 以内(含3km)路程按起步价7元收费，超过3km 以外的路程按2.4元/km 收费．试写出收费额关于路程的函数解析式．例2 如图，梯形OABC 各顶点的坐标分别为O (0，0)，A (6，0)，B (4，2)，C (2，2)．一条与y 轴平行的动直线l 从O 点开始作平行移动，到A 点为止．设直线l 与x 轴的交点为M ，OM ＝x ，记梯形被直线l 截得的在l 左侧的图形的面积为y ．求函数y ＝f(x )的解析式、定义域、值域．例3 将函数f (x )＝ | x ＋1|＋| x －2|表示成分段函数的形式，并画出其图象，根据图象指出函数f (x )的值域．2．练习：练习1：课本32页7，9两小题．练习2：（1）画出函数f (x )＝的图象． （2） 若f (x )＝ 求f (－1)，f (0)，f (2)，f (f (－1))，f (f (0))，f (f (12))的值．（3）试比较函数f (x )＝|x ＋1|＋|x |与g (x )＝|2x ＋1|是否为同一函数．（4）定义[x ]表示不大于x 的最大整数，试作出函数f (x )＝[x ] (x ∈[－1，3))的图象．并将其表示成分段函数．练习3：如图，点P 在边长为2的正方形边上按A →B →C →D →A 的方向移动，试将AP 表示成移动的距离x 的函数．五、回顾小结x 2－1，x ≥0， 2x ＋1，x ＜0． x －1 (x ≥0) 1－x (x ＜0) A B C D P x y O A BC分段函数的表示→分段函数的定义域→分段函数的图象；含绝对值的函数常与分段函数有关；利用对称变换构造函数的图象．六、作业课堂作业：课本32页3，7，12；课后探究：已知函数f(x)＝2x－1(x∈R)，试作出函数f(|x|)，|f(x)|的图象．。
苏教版高中数学必修一函数的概念和图象教案五
2.1.2函数的表示方法（2）教学目标：1．进一步理解函数的表示方法的多样性，理解分段函数的表示，能根据实际问题列出符合题意的分段函数；2．能较为准确地作出分段函数的图象；3．通过教学，进一步培养学生由具体逐步过渡到符号化，代数式化，并能对以往学习过的知识进行理性化思考，对事物间的联系的一种数学化的思考．教学重点：分段函数的图象、定义域和值域．教学过程：一、问题情境1．情境．复习函数的表示方法；已知A＝{1，2，3，4}，B＝{1，3，5}，试写出从集合A到集合B的两个函数．2．问题．函数f(x)＝|x|与f(x)＝x是同一函数么？区别在什么地方？二、学生活动1．画出函数f(x)＝|x|的图象；2．根据实际情况，能准确地写出分段函数的表达式．三、数学建构1．分段函数：在定义域内不同的部分上，有不同的解析表达式的函数通常叫做分段函数．（1）分段函数是一个函数，而不是几个函数；（2）分段函数的定义域是几部分的并；（3）定义域的不同部分不能有相交部分；（4）分段函数的图象可能是一条连续但不平滑的曲线，也可能是由几条曲线共同组成；（5）分段函数的图象未必是不连续，不连续的图象表示的函数也不一定是分段函数，如反比例函数的图象；（6）分段函数是生活中最常见的函数．四、数学运用1．例题．例1 某市出租汽车收费标准如下：在3km 以内 (含3km)路程按起步价7元收费，超过3km 以外的路程按2.4元/km 收费．试写出收费额关于路程的函数解析式．例2 如图，梯形OABC 各顶点的坐标分别为O (0，0)，A (6，0)，B (4，2)，C (2，2)．一条与y 轴平行的动直线l 从O 点开始作平行移动，到A 点为止．设直线l 与x 轴的交点为M ，OM ＝x ，记梯形被直线l 截得的在l 左侧的图形的面积为y ．求函数y ＝f(x )的解析式、定义域、值域．例3 将函数f (x )＝ | x ＋1|＋| x －2|表示成分段函数的形式，并画出其图象，根据图象指出函数f (x )的值域．2．练习：练习1：课本32页7，9两小题．练习2：（1）画出函数f (x )＝的图象． （2） 若f (x )＝ 求f (－1)，f (0)，f (2)，f (f (－1))，f (f (0))，f (f (12))的值．（3）试比较函数f (x )＝|x ＋1|＋|x |与g (x )＝|2x ＋1|是否为同一函数．（4）定义[x ]表示不大于x 的最大整数，试作出函数f (x )＝[x ] (x ∈[－1，3))的图象．并将其表示成分段函数．练习3：如图，点P 在边长为2的正方形边上按A →B →C →D →A 的方向移动，试将AP 表示成移动的距离x 的函数．五、回顾小结分段函数的表示→分段函数的定义域→分段函数的图象； x 2－1，x ≥0， 2x ＋1，x ＜0． x －1 (x ≥0) 1－x (x ＜0) B C P含绝对值的函数常与分段函数有关；利用对称变换构造函数的图象．六、作业课堂作业：课本32页3，7，12；课后探究：已知函数f(x)＝2x－1(x∈R)，试作出函数f(|x|)，|f(x)|的图象．。
江苏省赣马高级中学10-11学年高一数学分段函数导学案苏教版
【互动探究】
一、含有绝对值的解析式
例 1、已知函数 y=|x －1|+|x+2| (1) 作出函数的图象。 (2) 写出函数的定义域和值域。
二、生活中函数解析式问题
用心 爱心 专心
-1-
例 2、某同学从甲地以每小时 6 千米的速度步行 2 小时到达乙地， 在乙地耽搁 1 小 时后，又以每小时 4 千米的速度步行返回甲地。写出该同学在上述过程中，离甲 地的距离 S( 千米 ) 和时间 t( 小时 ) 的函数关系式，并作出函数图象。
例 1、已知函数 y=|x －1|+|x+2| (1) 作出函数的图象。 (2) 写出函数的定义域和值域。
【解】：
(1) 首先考虑去掉解析式中的绝对值符号，第一个绝对值的分段点 x=1，第二个绝 对值的分段点 x=－ 2，这样数轴被分为三部分： ( －∞，－ 2] ，( －2,1] ，(1 ，+∞ ) 所以已知函数可写为分段函数形式：
【解】：
用心 爱心 专心
-4-
先考虑由甲地到乙地的过程：
0≤ t ≤ 2 时，
y=6t
再考虑在乙地耽搁的情况：
2<t ≤3 时，
y=12
最后考虑由乙地返回甲地的过程：
3<t ≤6 时，
y=12－4(t － 3)
6t (0 t 2) 所以 S(t)= 12(2 t 3)
4t 24(3 t 6)
函数图象（略）
【解】：
对称轴 x= a 分 a
1；a
a [ 1,1];
22
2
2
1讨论
2a 5(a 2)
得 g(a)
a2 3 (2
2 2a 5(a
a 2) 2)
高一数学分段函数学案苏教版必修1
分段函数一、 学习目标：1、 能研究分段函数相关的函数性质；2、 能利用分段函数解决一些非常规函数问题；3、 学会利用函数图象研究函数性质。
二、 复习回顾：在前面学习函数的表示方法时，我们曾经提及一类特殊的函数:它在定义域的上，有着不同的 ，像这样一类函数通常叫做 。
例如函数），R x x x f ∈=()(可以写成 。
今天我们就来研究这类函数的相关性质。
三、 问题解决：问题1、分段函数中函数值的计算和值域的求法。
0,432>-x x例1、画出函数=)(x f 0,2=x 的图像，并求出f(-2)，f(1),f(f(-2))的值。
0,0<x1,22≤+x x x 变题：设函数=)(x f若为何值，则x x f 2)(=，并求出函数的值域 。
1,4x >-x问题2、分段函数的单调性研究。
例2、（1）.试写出函数）的单调减区间。
，R x x x x f ∈+-+=(32)(21,4-≤-x xa(2).若函数=)(x f 为单调增函数，求a 的范围 1,12->+-x ax x问题3、分段函数奇偶性的研究。
0,32≥-x x x例3、判断函数=)(x f 的奇偶性并用定义证明。
0,32<+x x x四、 课堂检测 0,2≥x x 1、已知函数=)(x f 1)().2(,))2(().1(>-x f f f 解不等式值求的0,2<x x2、设22)(++-=x x x f ，试判断函数的奇偶性，写成函数的单调区间，并求出函数值域。
3、 画出函数1)(2+-=x x x f 的图像，根据图像研究函数的单调性，奇偶性，值域等相关性质，并说明它与1-)(2+=x x x f 的图像的关系。
]五、课堂小结：通过本节课的学习，你有哪些收获感悟：六、课后作业： 基础达标0,1>-x x 1、=)(x f0,0=x 则0)(,,))3((≤∈=m fm f f 时当0,1<+x x 93≥+x x ，2、=)(x f =)2(f 则。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修1 2.2.1 函数的单调性》37
【复习回顾】1. 单调性概念：{单调增函数单调减函数2. 判断或证明单调性的方法？3. 奇偶性概念：{奇函数偶函数4. 判断或证明奇偶性的方法？5. 单调性与奇偶性的区别？6. f =错误!f =错误!√x 2+10时，f =1-,求f 表达式思考：两个性质的学习过程中做过哪些题型？它们可以归结于哪类函数？【新课讲解】具体函数：分段函数、分式函数 抽象函数【分段函数】例、已知函数f (x )= {−x 2+2x, x >00 , x =0x 2+mx , x <0 是奇函数（1） 求实数m 的值； （2） 画出函数的f 的图象；（3） 若函数f 在区间[2a -4, a -2]上为单调增函数，求实数a 的范围目的：根据分段函数的定义和特点、奇偶函数的定义与性质、单调性的定义与性质，求①未知数的值；②画出函数的完整图象；③数形结合，求解参数的范围【分式函数】=错误!是奇函数，且f2=错误! 1求实数a, b 的值;2判断f 在−∞, 0上的单调性, 并加以证明 练习：函数f (x )=ax+b1+x 2 是定义在（-1,1）上的奇函数，且f (12)=25(1) 确定函数f 的解析式；(2) 用定义证明：f 在（-1,1）上是增函数； (3) 解不等式：f (t −1)+f(t)<0【抽象函数】, 且在−∞,0]上是减函数, 判断f在[0,∞上的单调性1f是奇函数；2f是偶函数结论：奇函数在关于数“0”对称的区间上有相同的单调性；偶函数在关于数“0”对称的区间上有相反的单调性（简记为“奇同偶异”）引申:设奇函数f定义域为−∞,0∪0,∞, 且f在0∞上是增函数, f1=0, 解不等式f0,求m的取值范围（2）定义域为[– 2，2]上的偶函数f,且f在≥0时为增函数，若fm > f1 –m,求m的取值范围结论：对于奇函数，可以直接根据整个定义域上的单调性，转换对应自变量的大小关系；对于偶函数，由于图象关于轴对称，根据单调性，转换为自变量到原点的距离（绝对值）设f是定义在R上的奇函数，f2=2，且对于任意1、2∈[0,∞，且1≠2，都有f1—f2 >1—2，求不等式f>的解集方法：根据条件构造出新函数，进而利用新函数的单调性与奇偶性求解问题1、例2已知定义在0, ∞上的函数f满足f错误!=f1−f2,且当>1时, f0时, ffN的形式；2、确定：确定函数的单调性；去f：去掉“f”，转化为M>N或M√x2+11xf(x)=√−x2−2x+30时，f=1-,求f表达式设函数f= m2－23在[－1，∞上单调递减，则实数m 的取值范围是___________若f = a2b3a b为偶函数，定义域为[a –3，2a]，则a=_________, b=__________若定义在R上的偶函数f在[0，∞上单调递增，则f3，f-4, fπ的从大到小的关系为______________一、说出下列函数的单调区间：（1）、f=1x；（2）、f =√x2+1二、判断下列函数的奇偶性：（1）、f =错误!（2）、f ={x(x−1),x>0−x(x+1),x<0例：函数f(x)=ax+b1+x2是定义在（-1,1）上的奇函数，且f(12)=25(4)确定函数f的解析式；(5)用定义证明：f在（-1,1）上是增函数；(6)解不等式：f(t−1)+f(t)<0。
高中数学 函数(师生共用)导学案 苏教版必修1
（2） (1.2) ,(1.25) （3） 5.25 ,5.26 ,5.26
3 3
1
1
2
例 3：已知 y xa , y xb , y xc , y xd 的图象如图所示：
y
y
x
c
y x
y
x
a
y
x
b
1
yx
0
d
1
x
则 a ， b ， c ， d 的大小关系是_________________________
小 组
1 3
二：课堂活动
例 1：写出下列函数的定义域，并指出它们的奇偶性： （1） y x3 （2） y x 2
1 2 1
（3） y x 2
1 2 1 4
（4） y x2 x2
姓 名
（5） y x x
1 2
（6） f ( x) x 3( x)
例 2：比较大小： （1） 1.5 ,1.7
三：当堂检测
1． 在函数 （1）y
1 ,（2）y 2 x2 , （3）y x2 x ， （4）y 1 中， 是幂函数序号为 x2
．
2.已知幂函数 y f ( x) 的图象过 (2, 2) ，则这个函数的解析式_____________________ 3. 比较下列几组数大小 （1） 1.5 ， 1.7 ， 1 ； （2） (
学习札记
常数； 注意：幂函数与指数函数的区别． 2.幂函数的性质： （1）幂函数的图象都过点 (1,1) ；任何幂函数都不过 第四 象限； （2）当 0 时，幂函数在 [0, ) 上单调递增；当 0 时，幂函数在 (0, ) 上 单调递 减； （3） 在经过点 (1,1) 平行于 y 轴的直线的右侧， 按幂指数由小到大的关系幂函数的图象从 下 到 上 分布； (4)当 2, 2 时，幂函数是 偶函数 ； 当 1,1,3, 时，幂函数是 奇函数 ．
苏教版高中同步学案数学必修第一册精品课件 第5章 函数概念与性质 分段函数的若干问题
【题型二】解与分段函数有关的方程或不等式
+ 1, ≥ 1,
例2已知函数() = ቊ
且() = 2，则的值是()
4, < 1,
1
2
1
2
A.1B. C.1或 D.2或1
[解析]当 ≥ 时，令 + = ，解得 = ；
当 < 时，令 = ，解得 =
所以的值是1或 .故选C.
[解析]由题意，在() = ቊ
中，(−) = | − | + = .故选B.
∣ ∣ +, ≤
2 + 1, > 1
跟踪训练1(2023盐城检测)已知函数() = ቊ 2
，则((1)) =___.7
+ 2, ≤ 1
[解析]() = + = ,(()) = () = × + = .故答案为7.
1
2
即22 − − 1 ≥ 0，所以 ≥ 1或 ≤ − .
1
2
所以实数的取值范围为ቀ−∞, − ∖ ] ∪ [1, +∞).
【题型三】分段函数的图象及其应用
− 2 + 2, ≥ 0,
例3已知函数() = ቊ 2
若关于的不等式
− 2, < 0,
(3,8]
[()]2 − ( + 1)() + < 0恰有一个整数解，则实数的取值范围是______.
[解析]函数() =
− + , ≥ ,
൝
− , < ,
由[()] − ( + )() + < ,得[() − ][() − ] < ,
2023-2024学年苏教版必修第一 5.2 函数的表示方法第2课时分段函数 课件(26张)
1.判断正误.（正确的画，错误的画）
（1）分段函数是一个函数,其定义域为各段的定义域的并集.( )
√
（2）分段函数每一段对应函数值的集合均可以作为分段函数的值域.( )
×
（3）函数可以转化为分段函数的形式.()
√
（4）分段函数的图象可以画出来.()
×
2.函数的图象是()
B
A. B. C. D.
变式训练1［北师大版教材例题］画出取整函数的图象.
解依题意知函数的定义域为,值域是.它的图象如图.
探究点三 根据分段函数图象求解析式
【例3】已知函数的图象由图中的两条射线和抛物线的一部分组成，则函数的解析式为____________________________________________.
探究点二 分段函数的图象
【例2】 画出下列函数的图象,并写出它们的值域:
（1）
图①
解函数的图象如图①,观察图象,得函数的值域为符号去掉,化为分段函数它的图象如图②.观察图象,得函数的值域为.
规律方法 分段函数图象的关注点 （1）因为分段函数在定义域的不同区间内解析式不一样,所以它的图象也由几部分构成,有的可以是光滑的曲线段,有的也可以是一些孤立的点或几段线段,画图时要特别注意区间端点处对应点的实虚之分. （2）对含有绝对值的函数,要作出其图象,首先根据绝对值的意义去掉绝对值符号,将函数转化为分段函数来画图象.
1
基础落实·必备知识全过关
2
重难探究·能力素养全提升
课程标准
1.了解分段函数的概念.2.会求分段函数的函数值,能画出分段函数的图象.3.能在实际问题中列出分段函数,并能解决有关问题.
01
基础落实·必备知识全过关
苏教版高中数学必修一第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ教案四
高一数学必修1 分段函数【学习导航】知识网络分段函数⎪⎩⎪⎨⎧分段函数图象分段函数定义域值域分段函数定义学习要求1、了解分数函数的定义；2、学会求分段函数定义域、值域；3、学会运用函数图象来研究分段函数；自学评价：1、分段函数的定义在函数定义域内，对于自变量x 的不同取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数叫做分段函数；2、分段函数定义域，值域；分段函数定义域各段定义域的并集，其值域是各段值域的并集(填“并”或“交”)3、分段函数图象画分段函数的图象，应在各自定义域之下画出定义域所对应的解析式的图象；【精典范例】一、含有绝对值的解析式例1、已知函数y=|x －1|+|x+2|(1)作出函数的图象。
(2)写出函数的定义域和值域。
【解】：(1)首先考虑去掉解析式中的绝对值符号，第一个绝对值的分段点x=1，第二个绝对值的分段点x=－2，这样数轴被分为三部分：(－∞，－2]，(－2,1]，(1，+∞) 所以已知函数可写为分段函数形式：y=|x －1|+|x+2|=⎪⎩⎪⎨⎧>+≤<--≤--)1(12)12(3)2(12x x x x x在相应的x 取值范围内，分别作出相应函数的图象，即为所求函数的图象。
（图象略）(2)根据函数的图象可知：函数的定义域为R ，值域为[3，+∞）二、实际生活中函数解析式问题例2、某同学从甲地以每小时6千米的速度步行2小时到达乙地，在乙地耽搁1小时后，又以每小时4千米的速度步行返回甲地。
写出该同学在上述过程中，离甲地的距离S(千米)和时间t(小时)的函数关系式，并作出函数图象。
【解】：先考虑由甲地到乙地的过程：0≤t ≤2时， y=6t再考虑在乙地耽搁的情况：2<t ≤3时， y=12最后考虑由乙地返回甲地的过程：3<t ≤6时， y=12－4(t －3)所以S(t)=⎪⎩⎪⎨⎧≤<+-≤<≤≤)63(244)32(12)20(6t t t t t函数图象（略）点评：某些实际问题的函数解析式常用分段函数表示，须针对自变量的分段变化情况，列出各段不同的解析式，再依据自变量的不同取值范围，分段画出函数的图象.三、二次函数在区间上的最值问题例3、已知函数f(x)=2x 2－2ax+3在区间[－1，1]上有最小值，记作g(a).(1)求g(a)的函数表达式(2)求g(a)的最大值。
1422一次函数-分段函数导学案.docx
1422 —次函数•分段函数学习目标：I .了解分段函数的特点，会根据题意求出分段函数的解析式并画出函数的图像;2、能利用一次函数及其图像解决简单的实际问题学习重点：分段函数的初步认识与简单多变量问题的解决：学习难点：对数学建模的过稈、思想、方法的领会，提升分析问题的能力。
学习过程：一情景导入:小明家距学校3千米，星期一早上，小明步行按每小时5千米的速度去学校，行走1 千米时，遇到学校送学生的班车，小明乘坐班车以每小时20千米的速度直达学校，则小明上 学的行程s 关于行驶时间/的函数的图像大致是下图屮的小明运动的路程图像又是什么函数的图像呢？这种函数的解析式应该怎样来表示呢?二、自主研讨：实际问题中的分段函数例5、 “黄金一号”玉米种子的价格为5元/千克，如果一次买2千克以上的种子，超过2 千克部分的种子的价格打8折。
⑴填写下表：（2）写岀购买种子数量与付款金额之间的函数解析式，并画出函数图像° 解：（1）列表：购买种子数量/千克0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4付款金额/元（2）设购买种子数量为x 千克，付款金额为y 元; 当 0WxW2 时，y= _____________ : 当 x>2 时，y 二—y 与x 的函数解析式也可合起来表示为 _________________________例6、某医药研究所开发了一种新药，在实际验药时发现，如果成人按规定剂量服用，那么 每毫升血液中含药量y （毫克）随时间x （时）的变化情况如图所示，当成年人按规定剂量 服药后。
（1）服药后 ____ 时，血液中含药量最高，达到每毫升 ________ 毫克，接着逐步衰弱。
（2） ________________________________ 服药5吋，血液中含药量为每毫升 ________________________ 毫克。
（3） _________________________________________ 当xW2时y 与x 之间的函数关系式是 ___________________（4） _________________________________________ 当x22时y 与x 之间的函数关系式是 ____________________（5） 如果每毫升血液屮含药量3毫克或3毫克以上时, 治疗n y/毫克2 5 x/吋疾病最有效，那么这个有效时间是—小时。
苏教版初高中衔接教材、必修一导学案第14课时(函数的表示方法Ⅰ)
总 课 题 函数概念与基本初等函数 分课时 第课时 总课时 总第课时
分 课 题 函数的表示方法（）
课 型
新 授 课
教学目标 初步掌握函数的三种表示方法；了解简单的分段函数、会作其图象，并简单应用；会用待定系数法、换元法等求函数的解析式。
重 点 函数的解析法及分段函数
难 点
函数的解析式
、复习函数的有关概念及性质
、函数的三种表示方法 （）列表法
（）解析法
（）图象法
（）三种表示方法各自特点
、分段函数
二、例题分析
例、设购买某种饮料听，所需钱数为元。
若每听元，试分别用解析法、列表法、图象法将表
示成的函数，并指出该函数的值域。
例、设是定义在上的函数，且。
求
的解析式。
例、已知是一次函数，且
，求
的解析式。
例、定义在闭区间
上的函数
的图象如图所示，
求此函数的解析式、定义域、值域及，，的值。
三、随堂练习
、画出函数的图象。
、用长为的铁丝围成矩形，试将矩形面积
表示为矩形一边长
的函数，并画出函数的图象。
、某人去公园玩，先步行、后骑自行车，如果表示该人离公园的距离，表示出发后的时间，则下列图象中符合此人走法的是。
（） （） （） （） 、设函数，它的值域为
，求此函数的定义域。
、已知一次函数满足
，求。
四、回顾小结
、重点掌握函数的解析方法；
、会用待定系数法、换元法等求函数的解析式； 、分段函数及其简单应用。
课后作业
班级：高一（）班 姓名
一、基础题。
苏教版高中数学必修一第课时分段函数教师
让学生学会学习第九课时 分段函数【学习导航】知识网络分段函数⎪⎩⎪⎨⎧分段函数图象分段函数定义域值域分段函数定义学习要求1、了解分数函数的定义；2、学会求分段函数定义域、值域；3、学会运用函数图象来研究分段函数；自学评价：1、分段函数的定义在函数定义域内，对于自变量x 的不同取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数叫做分段函数； 2、分段函数定义域，值域；分段函数定义域各段定义域的并集，其值域是各段值域的并集(填“并”或“交”) 3、分段函数图象画分段函数的图象，应在各自定义域之下画出定义域所对应的解析式的图象；【精典范例】一、含有绝对值的解析式例1、已知函数y=|x －1|+|x+2| (1)作出函数的图象。
(2)写出函数的定义域和值域。
【解】：(1)首先考虑去掉解析式中的绝对值符号，第一个绝对值的分段点x=1，第二个绝对值的分段点x=－2，这样数轴被分为三部分：(－∞，－2]，(－2,1]，(1，+∞)所以已知函数可写为分段函数形式：y=|x －1|+|x+2|=⎪⎩⎪⎨⎧>+≤<--≤--)1(12)12(3)2(12x x x x x在相应的x 取值范围内，分别作出相应函数的图象，即为所求函数的图象。
（图象略）(2)根据函数的图象可知：函数的定义域为R ，值域为[3，+∞）二、实际生活中函数解析式问题例2、某同学从甲地以每小时6千米的速度步行2小时到达乙地，在乙地耽搁1小时后，又以每小时4千米的速度步行返回甲地。
写出该同学在上述过程中，离甲地的距离S(千米)和时间t(小时)的函数关系式，并作出函数图象。
【解】：先考虑由甲地到乙地的过程：0≤t ≤2时， y=6t 再考虑在乙地耽搁的情况： 2<t ≤3时， y=12最后考虑由乙地返回甲地的过程：让学生学会学习3<t ≤6时， y=12－4(t －3) 所以S(t)=⎪⎩⎪⎨⎧≤<+-≤<≤≤)63(244)32(12)20(6t t t t t函数图象（略）点评：某些实际问题的函数解析式常用分段函数表示，须针对自变量的分段变化情况，列出各段不同的解析式，再依据自变量的不同取值范围，分段画出函数的图象.三、二次函数在区间上的最值问题例3、已知函数f(x)=2x 2－2ax+3在区间[－1，1]上有最小值，记作g(a). (1)求g(a)的函数表达式 (2)求g(a)的最大值。
2022-2023学年高一数学 苏教版必修第一册5-2 函数的表示方法教学教案
【教学目标】1. 了解分段函数的定义和绘制方法；2. 掌握泰勒展开式的概念和应用；3. 了解周期函数的傅里叶级数展开式，并能够应用于实际问题。
【教学重点】1. 分段函数的定义和绘制方法；2. 泰勒展开式的应用；3. 傅里叶级数展开式及其应用。
【教学难点】傅里叶级数展开式的应用。
【教学过程】【Step 1】引入1. 引出“函数的表示方法”的话题，提问：除了符号表示，还有哪些函数的表示方法？2. 通过例子展示一个函数的图形，让学生思考、猜测这个函数的表达式。
【Step 2】分段函数1. 讲解分段函数的概念和定义；2. 通过条件语句（如if-else）来表示一个分段函数；3. 通过例题演示在平面直角坐标系中如何绘制出一个分段函数的图形。
【Step 3】泰勒展开式1. 讲解泰勒展开式的概念、公式和类型；2. 通过例题演示如何求得一个函数的泰勒展开式；3. 强调泰勒展开式在实际问题中的应用，如求近似值、优化和求导等问题。
【Step 4】傅里叶级数展开式1. 讲解周期函数的概念和傅里叶级数展开式的定义；2. 介绍四种傅里叶级数展开式类型：正弦级数、余弦级数、全傅里叶级数和复数傅里叶级数；3. 通过示例演示如何求得一个周期函数的傅里叶级数展开式，并结合实际问题进行具体应用。
【Step 5】实际应用提出一个实际问题：有一振动系统，其运动方程表示为$f(x)=x^2\sin x$，求该系统的最大振幅。
引导学生利用函数表示方法解决实际问题。
【Step 6】总结归纳1. 总结分段函数的定义和绘制方法；2. 总结泰勒展开式的概念和公式；3. 总结傅里叶级数展开式的定义和应用。
【Step 7】课堂练习1. 求$f(x)=\sqrt{x}$在$x=1$处的二阶泰勒展开式；2. 将函数$f(x)=\begin{cases}x,\qquad & -1<x \\x^2,\qquad & 0\le x \end{cases}$表示为分段函数；3. 求周期函数$f(x)=\sin x$在周期$2\pi$内的前三项傅里叶级数展开式。
2022-2023学年高一数学 苏教版必修第一册5-2 函数的表示方法教案(2)
【教学目标】1. 了解函数的各种表示方法；2. 掌握函数的泰勒展开式和周期函数的傅里叶级数展开式的表示方法；3. 能够应用函数表示方法解决实际问题。
【教学重点】函数的泰勒展开式和周期函数的傅里叶级数展开式的表示方法。
【教学难点】应用函数表示方法解决实际问题。
【教学过程】【Step 1】引入回顾上节课所学的函数概念和符号表示，提问学生：函数除了符号表示外还有哪些表示方法？【Step 2】分段函数讲解分段函数的定义和符号表示以及绘制图象的方法，强调分段函数中间的分界点的处理方法，同时给出例题进行讲解。
【Step 3】泰勒展开式1. 讲解泰勒展开式的定义和符号表示，介绍泰勒级数和泰勒多项式的概念。
2. 通过例题演示怎样求得一个函数的泰勒展开式并应用。
【Step 4】傅里叶级数展开式1. 讲解周期函数的概念和傅里叶级数展开式的定义；2. 通过例题演示如何求得一个周期函数的傅里叶级数展开式并应用。
【Step 5】实际应用提出一个三角函数的实际问题：假设一个时钟表盘的秒针在$x$轴正半轴上运动，求其在$t$秒时与$x$轴正半轴夹角的大小。
引导学生利用函数表示方法解决实际问题。
【Step 6】总结归纳1. 总结函数的各种表示方法；2. 总结泰勒展开式和傅里叶级数展开式的定义和应用。
【Step 7】课堂练习1. 求函数$y=\dfrac{x}{1-x}$在$x=0$处的$n$阶泰勒展开式；2. 将函数$f(x)=\begin{cases}x+1,\quad & -2<x<0 \\\sqrt{x+3},\quad & 0\le x<4\end{cases}$表示为分段函数；3. 求函数$f(x)=\sin x$在周期$2\pi$内的傅里叶级数展开式。
【Step 8】作业布置】1. 完成教材上的相关习题；2. 搜集有关函数表示方法的实用题目，进行练习。
【教学反思】本课时主要讲解了函数的分段表示、泰勒展开式和傅里叶级数展开式的概念和应用，强调应用函数表示方法解决实际问题。
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(1)求函数定义域；
(2)化简解析式用分段函数表示；
(3)作出函数图象
学生质疑
教师释疑
。
点评：某些实际问题的函数解析式常用分段函数表示，须针对自变量的分段变化情况，列出各段不同的解析式，再依据自变量的不同取值范围，分段画出函数的图象.
三、二次函数在区间上的最值问题
例3、已知函数f(x)=2x2－2ax+3在区间[－1，1]上有最小值，记作g(a).
(1)求g(a)的函数表达式
(2)求g(a)的最大值。
第九课时分段函数
【学习导航】
知识网络
分段函数
学习要求
1、了解分数函数的定义；
2、学会求分段函数定义域、值域；
3、学会运用函数图象来研究分段函数；
自学评价：
1、分段函数的定义
在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数叫做分段函数；
2、分段函数定义域，值域；
分段函数定义域各段定义域的并集，其值域是各段值域的并集(填“并”或“交”)
3、分段函数图象
画分段函数的图象，应在各自定义域之下画出定义域所对应的解析式的图象；
【精典范例】
一、含有绝对值的解析式
例1、已知函数y=|x－1|+|x+2|
(1)作出函数的图象。
(2)写出函数的定义域和值域。
二、实际生活中函数解析式问题
例2、某同学从甲地以每小时6千米的速度步行2小时到达乙地，在乙地耽搁1小时后，又以每小时4千米的速度步行返回甲地。写出该同学在上述过程中，离甲地的距离S(千米)和时间t(小时)的函数关系式，并作出函数图象。
点评：二次函数在闭区间上的最值问题往往结合图象讨论。
追踪训练
1、设函数f(x)= 则f(－4)=___________,若f(x0)=8，则x0=________
2、已(－3)]}的值.
3、出下列函数图象
y=┃x+2┃－┃x－5┃
4、已知函数y= ，则f(4)=_______.