复变函数复习题一(参考答案)
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
复习题一
一、 判断题（正确打∨，错误打⨯，把判断结果填入下表）：
1、若函数f (z )在0z 解析，则f (z )在0z 的某个邻域内可导。（∨）
2、若函数f (z )在0z 处解析，则f (z )在0z 满足C.-R.条件。（ ∨）
3、如果0z 是f (z )的可去奇点，则)(lim 0
z f z z →不存在。(⨯ )
4、若函数f (z )在区域D 内解析，则)('z f 在区域D 内解析。（∨ ）
5、若函数f (z )在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展为幂级数。（ ∨）
6、若f (z )在单连通区域D 内解析，则对D 内任一简单闭曲线C 都有0)(=⎰C
dz z f 。（∨ ）
7、若函数f (z )在区域D 内的解析，且在D 内某一条曲线上恒为常数，则f (z )在区域D 内恒等于常数。（∨ ）
8、若0z 是f (z )的m 阶零点，则0z 是
)
(1
z f 的m 阶极点。（∨ ） 9、如果函数f (z )在闭圆3||k ≤z ：上解析，且时当3|z |=，有)0(|)(|>≤m m z f ，则m z f ≤∈∀|)(|,k z 有。（ ∨ ） 10、lim z z e →∞
=∞。（⨯ ）
二、 单项选择题（将选择结果填入下表。）
1、方程| z + 3 | + | z + 1 | = 4所表示的图形是：
（A ）双曲线； （B ）椭圆； （C ）直线； （D ）圆。
.
)(()()()()()()
()
(2)(22轴上可导仅在；仅在原点可导；处处不可导；处处可微，那么
设、x z f D z f C z f B z f A x i xy z f
-=
3、设c ：,1=-i z 则
⎰=-C dz i z z
2)(cos
（A ）
e
i
π2 （B ）1sinh 2π （C ）0 （D ）i i cos
.
0)(;0)
(;
)
(;)
()
(41
2
32但发散，通项趋于通项不趋于条件收敛绝对收敛为
级数
、D C B A n
e n i
n ∑
∞
=
.
)
(;
)
(;
)
(;)()
(
353sin 二级极点一级极点可去奇点本性奇点是
在点函数、D C B A z e z
z =-
三、填空题
,2,1,0;23arctan ,311
±±=+-=--=k k Argz i z ππ则设、 2、
=-+22
i i __5
43i +-__。 i z d z z z z π81
1
232
2=
++-⎰
=计算积分
、
.!
40∞=
∑∞
=R n z n n
的收敛半径级数、
)1
(cos Re 50=
=z s z 、
四、证明题
1．设f (z )在 | z |≤ a 上解析，在 | z | = a 上有 | f (z ) | > m ，并且 | f (0) | < m ，其中a 及
m 是有限正数。证明：f (z )在 | z | < a 内至少有一零点。见教材p174例4.19
2、证明,0
00
,Im )(2
2⎪⎩
⎪
⎨⎧=≠=z z z z
z f 在原点不连续。 证 ,因为,当z 沿实轴趋于0时,0)(lim 0
=→z f z ; 当z 沿虚轴趋于0时,1)(lim 0
-==→z f z ;所以
)(lim 0
z f z →不存在,故函数在原点不连续.
及解析函数
求其共轭调和函数平面上的调和函数，并为、证明),(3322y x v z x y x u +-=),(),()(y x v i y x u z f +=使合条件0)0(=f .(z z z f 3)(2+=)
五、计算题
1、设5z w =确定在从原点0=z 起沿正实轴割破了的z 平面上，并且()11-=-w ，试求()i w -1的值。 解 设θ
i re z =,则5
25)(π
θk i
e
r z w +=,πθ20:<<∈G z ,4,3,2,1,0=k .当1-=z 时,πθ==,1r ,由
11)1(5
25-==-+π
πk i
e
w ,确定2=k ;当i z -=1时,4
7;2π
θ==r ;故()20
23105
44
710221πππ
i
i e
e i w ==-+.
2、函数)
2)(1(1
)(--=
z z z f 在z 平面内有两个奇点2z 1==及z ，试分别求)(z f 在此二点去心邻域
1|2|01|1|0<-<<- 3、设C 是θi e z =，θ从0到 2 π 的圆弧段，计算⎰C zdz ln ，（z ln 为主值支）。 解 θi z z +=||ln ln ,)(|)1(ln ln 20 202020θθθθπθπ θ π θ π θ i d e e i de i de i zdz i i i i C ⎰⎰⎰⎰-==+= i e i --=-- =2 1|2 20π π π θ 4、计算⎰ +π θ θ 20 sin 23d 解 命θ i e z =,则iz dz d =θ,iz iz z iz z 1 32123sin 2322-+=-+=+θ,故有 ⎰⎰⎰ ==-+=-+=+1||21||220 1 31 131sin 23z z dz iz z iz dz iz iz z d π θθ,被积函数131)(2-+=iz z z f 在1|| 5 30+-=,所以, 5 2| 321 2)(Re 2sin 232 5 320 0πππθθπ = +==++ -==⎰ i z z z i z i z f s i d .