复变函数复习题

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复变函数积分变换复习题

复变函数及拉普拉斯变换复习题一、选择题 1.复数z=1625825-i 的辐角为（）02-4 A.arctan 12B.-arctan12 C.π-arctan 12D. π+arctan122.方程Rez 2=1所表示的平面曲线为（） A.圆 B.直线C.椭圆D.双曲线3.复数z=--355(cossin )ππi 的三角表示式为（） A.-+34545(cos sin )ππiB.34545(cos sin )ππ-iC. 34545(cos sin )ππ+iD.--34545(cos sin )ππi4.设z=cosi ，则（）A.Imz=0B.Rez=πC.|z|=0D.argz=π 5.复数e 3+i 所对应的点在（） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限6.设w=Ln(1-i)，则Imw 等于（） A.-π4B.2401k k ππ-=±⋅⋅⋅,,, C.π4D.2401k k ππ+=±⋅⋅⋅,,, 7.函数w=z 2把Z 平面上的扇形区域：0<argz<π3，0<|z|<2映射成W 平面上的区域（） A.0<argw<23π，0<|w|<4 B.0<argw<π3，0<|w|<4 C.0<argw<23π，0<|w|<2D.0<argw<π3，0<|w|<2 8.若函数f(z)在正向简单闭曲线C 所包围的区域D 内解析，在C 上连续，且z=a 为D 内任一点，n 为正整数，则积分f z z a dz n C ()()-+⎰1等于（）A.211πin f a n ()!()()++B.2πi n f a !()C.2πif a n ()()D.2πi n f a n !()()9.设C 为正向圆周|z+1|=2，n 为正整数，则积分dz z i n C()-+⎰1等于（）A.1B.2πiC.0D.12πi10.设C 为正向圆周|z|=1，则积分dzz C ||⎰等于（） A.0 B.2πi C.2πD.-2π11.设函数f z e d z()=⎰ξξξ0，则f(z)等于（）A.ze z +e z +1B.ze z +e z -1C.-ze z +e z -1D.ze z -e z +112.设积分路线C 是由点z=-1到z=1的上半单位圆周，则z z dz C +⎰12等于（）A.2+πiB.2-πiC.--2πiD.-+2πi13.下列积分中，积分值不为零的是（） A.()z z dz C323++⎰，其中C 为正向圆周|z -1|=2B.e dz z C ⎰，其中C 为正向圆周|z|=5C.zzdz C sin ⎰，其中C 为正向圆周|z|=1 D.cos zz dz C -⎰1，其中C 为正向圆周|z|=2 14．复数方程z=2+θi e (θ为实参数，0≤θ<2π)所表示的曲线为（）04-4 A ．直线 B ．圆周 C ．椭圆D ．抛物线15．已知4z arg 2π=，则argz=（） A ．8πB ．4π C ．2πD ．π16．Re(cosi)= （） A ．2e e 1-+B ．2e e 1--C ．2e e 1+--D ．2e e 1--17．设f(z)=(1-z)e -z ，则)z (f '=（）A ．(1-z)e -zB ．(z -1)e -zC ．(2-z)e -zD ．(z -2)e -z18．设e z =i 31+，则Imz 为（）A ．ln2B ．32π C ．2k π,k=1,0±…D ．3π+2k π,k=0, 1±… 19．设C 为正向圆周|z|=1，则⎰=C dz z zcos （） A ．i πB ．2i πC ．0D ．120．设C 为正向圆周|z -1|=1，则积分dz )1z (2z 3z 5C32⎰-+-等于（）A ．5i πB ．7i πC ．10i πD ．20i π21．设C 为正向圆周|ξ|=1.则当|z|>1时，f(z)==-ξ-ξξπ⎰C3)z )(2(d i21（）A ．0B ．1C ．3)2z (2-D ．3)2z (2--22．设z=3+4i,，则Re z 2=( )05-4 A ．-7B ．9C ．16D ．2523．下列复数中，使等式z1=-z 成立的是( ) A ．z=e 2πiB ．z=e πiC ．z=i2e π-D ．z=i 43e π24．设0<t ≤2π,则下列方程中表示圆周的是( ) A ．z=(1+i)tB ．z=e it +2iC ．z=t+tiD ．z=2cost+i3sint25．下列区域为有界单连通区域的是( ) A ．0<|z-i|<1B ．0<Imz<πC ．|z-3|+|z+3|<12D ．0<argz<43π26．若f(z)=u+iv 是复平面上的解析函数，则f '(z)=( )A ．y u i x u ∂∂+∂∂B ．x v i y v ∂∂+∂∂C ．xv i x u ∂∂-∂∂ D ．xvi y v ∂∂-∂∂ 27．设f(z)=⎪⎩⎪⎨⎧≠=-0z ,ze 0z ,A 1z 在整个复平面上解析，则常数A=( )A ．0B ．e -1C ．1D ．e28．设f(z)=ax+y+i(bx+y)是解析函数，则实常数a,b 为( ) A ．a=-1,b=1 B ．a=1, b=1 C ．a=-1,b=-1D ．a=1,b=-129．设z 为复数，则e -iz =( ) A ．cosz+isinzB ．sinz+icoszC ．cosz-isinzD ．sinz-icosz 30．设f(z)和g(z)在有向光滑曲线C 上连续，则下列式子错误．．的是( ) A ．⎰⎰=zCdz )z (f )z (g dz )z (f )z (gB ．⎰⎰--=CC ,dz )z (f dz )z (f 其中C －为C 的反向曲线C ．⎰⎰⎰±=±CCCdz )z (g dz )z (f dz ))z (g )z (f (D ．⎰⎰=CCdz )z (f 3dz )z (f 331．设C 为从-I 到I 的左半单位圆周，则⎰=Cdz |z |( )A ．iB ．2iC ．-iD ．-2i 32．设C 为正向圆周|z|=2, 则下列积分值不为．．0的是( ) A ．⎰-C dz 1z zB ．⎰C 3zdz cos zC ．⎰C dz zz sinD ．⎰-C zdz 3z e 33．设D 是单连通区域，C 是D 内的正向简单闭曲线，则对D 内的任意解析函数f(z)恒有( )A ．f(z)=⎰ζ-ζζπC d z )(f i 21, z 在C 的外部 B ．f (n)(z)=⎰ζ-ζζπ+C 1n d )z ()(f i 21，z 在C 的内部，n ≥2 C ．f (n)(z)=⎰ζ-ζζπC n d )z ()(f i 2!n ，z 在C 的内部，n ≥2 D ．f (n)(z)=⎰ζ-ζζπ+C 1n d )z ()(f i 2!n ，z 在C 的内部，n ≥2 34．设z 为非零复数，a ,b 为实数，若ib a zz+=_，则a 2+b 2的值（）08-4 A ．等于0 B ．等于1 C ．小于1D ．大于135．设2,3z w i z =+=,则（） A ．3arg π=w B ．6arg π=wC ．6arg π-=wD ．3arg π-=w36．=i 2ln （） A ．2ln B ．i 22ln π+C ．i 22ln π-D ．i i 2Arg 2ln +37．设C 为正向圆周|z |=1,则dz z C⎰=（）A ．i π6B ．i π4C ．i π2D ．038．设C 为正向圆周|z -1|=2,则dz z e zC2-⎰=（） A ．e 2 B ．i e 22π C ．i e 2πD ．i e 22π-39．设C 为正向圆周|z |=2，则dz z e z zC4)1(++⎰=（） A ．i e3π B ．e6πC ．ei π2D ．i e 3π 40．设z =1-i ,则Im(21z)=（）09-4 A ．-1 B ．-21 C ．21 D ．141．复数z =ii-+23的幅角主值是（） A ．0 B ．4π C ．2π D ．43π 42．设n 为整数，则Ln （-ie ）=（）A ．1-2πiB ．)22(πn π-iC ．1+)i π(n π22-D ．1+i π(n π)22+43．设z =x +iy .若f (z )=my 3+nx 2y +i (x 3-3xy 2)为解析函数，则（） A ．m =-3,n =-3 B ．m =-3,n =1 C ．m =1,n =-3 D ．m =1,n =144．积分⎰=2i iπz dz e （）A ．)1(1i +πB ．1+iC ．πi2D ．π245．设C 是正向圆周,11=-z 则⎰-C dz z z 1)3/sin(2π=（） A ．i π23- B ．i π3- C ．i π43 D ．i π2346．设C 是正向圆周3=z ，则⎰-Cdz z z 3)2(sin π=（） A ．i π2- B ．i π- C ．i πD ．2i π47．拉普拉斯变换()[]()dt e t f t f L st ⎰=+∞-0中的f(t)的自变量的范围是（）（A ）()+∞,0 （B ）[)+∞,0 （C ）()+∞∞-, （D ）()0,∞-48．拉普拉斯变换()()dt e t f s F st ⎰=+∞-0中的参数s 是（）（A ）实变数（B ）虚变数（C ）复变数（D ）有理数49．若()[]()s F t f L =，那么()[]=-t f e L at （）（A ）()a s F - (B)()a s F + (C)()e s F as - (D)()a s F s+150．若t ≥0时函数f(t)有拉氏变换()[]1=t f L ，则（）（A ）()()t u t f = （B ）()t t f = （C ）()()t t f δ= （D ）()1=t f 51．若()[]()s F t f L =，那么()[]=+a t f L （）（A ）()s F e as - （B ）()s F e as （C ）()a s F e as -- （D ）()a s F e as +52．若()[]()s F t f L =，那么()=⎥⎦⎤⎢⎣⎡t f t L 1（）（A ）()s F '- （B ）()s F s 1（C ）()ds s F s ⎰+∞ （D ）()ds s F s ⎰053．若()[]()s F t f L =，那么()[]='t f L （）（A ）()s F ' （B ）()s sF （C ）()s F s ' （D ）()()0f s sF -54．若()[]()s F t f L =，那么()=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰dt t f L t 0 （）（A ）()s F s 1（B ）()ds s F s ⎰+∞ （C ）()ds s F s ⎰0（D ）()s F s e -55．若()[]()s F t f L =，当0>a 时，那么()[]=at f L （）（A ）()s F a 1 （B ）⎪⎭⎫ ⎝⎛a s F a 1 （C ）⎪⎭⎫⎝⎛a s aF （D ）()a s F - 56．若()[]()s F t f L =，且()()000='=f f ，那么()[]=''t f L （）（A ）()s F s ' （B ）()s F '' （C ）()s F s 2 （D ）()s F s '2 二、填空题1.复数z=4+48i 的模|z|= .2.设z=(1+i)100，则Imz= .3.设z=e 2+i ，则argz= .4.f(z)=z 2的可导处为 . 5.方程lnz=π3i 的解为 . 6.设C 为正向圆周|z|=1，则()1zz dz C +=⎰. 7.设C 为正向圆周|z -i|=12，则积分e z z i dz z Cπ()-=⎰2.8.设C 为正向圆周|ξ|=2，f(z)=sinπζζζ3-⎰zd C，其中|z|<2，则'=f ()1 . 9．设i z 101103+-=，则=_z ____________.10．方程i z 31ln π+=的解为____________.11．设C 为从i 到1+i 的直线段，则=⎰zdz CRe ____________.12．设C 为正向单位圆周在第一象限的部分，则积分=⎰dz z z C 3_)(____________.13．设C 为正向圆周|z |=2，则⎰=-Cdz z z 32)2(cos π____________.14．复数1i --的指数形式为__________.15．设z =x +iy 满足x -1+i (y +2)=(1+i )(1-i )，则z =__________. 16．区域0<arg z<4π在映射w =z 3下的像为__________.17．设C 为正向圆周,2=z 则⎰=-C zdz z e 12__________. 18.若z 1=e 1+i π,z 2=3+i ，则z 1·z 2=________.19.若cosz=0，则z=________.20.设f ′(z)=⎰==ζ<-ζζζL )z (f L )|z (|，则｜：｜， 55d ζz)( cos e 2________. 21．在复数域内，方程cosz=0的全部解为。

复变函数复习资料

单连通域.
21
(3) 0 z 1 i 2, 以 (1 i) 为圆心, 2为半径的去心圆盘, 是多连通域. (4) arg( z i) ,
4 以 i 为端点, 斜率为1的半射线 (不包括端点i ), 不是区域.
22
4. 复变函数与自变量之间的关系: 复变函数 w 与自变量 z 之间的关系w f (z) 相当于两个关系式:
当 z 沿直线 y kx 趋于零时,
lim u( x, y) lim x lim
x
x0 ykx
x0 ykx
x2 y2
x0 x2 (kx)2
27
lim
x
1 ,
x0 x2(1 k 2 )
1 k2
随 k 值的变化而变化,
所以 lim u( x, y) 不存在, lim v( x, y) 0,
23
三、典型例题
例1 在映射 w z2 下求下列平面点集在w 平面
上的象:
(1) 线段 0 r 2, π;
4
解设 z rei ,
y
w ei ,
还是线段.
v
wz2
则 r2, 2 , o
x
o
u
故线段 0 r 2, π 映射为 0 4, π ,
4
2
24
例1 在映射 w z2 下求下列平面点集在w 平面
5
5
显然 r z 1,
sin
5
cos
2
5
cos
3 10
,
cos 5
sin
2
5
sin 3 , 10
故三角表示式为 z cos 3 i sin 3 ,
10
10
指数表示式为

复变函数期末考试复习题及答案详解

《复变函数》考试试题（一）三 . 计算题（ 40 分）：dz1、|z z 0 | 1 ( z z )n__________. （ n 为自然数）f ( z)12.sin 2 z cos 2z _________.3. 函数sin z的周期为 ___________.f (z)14. z 2 1 ，则f ( z)的孤立奇点有 __________.设 5. 幂级数nz n的收敛半径为 __________.n 06. 若函数 f(z) 在整个平面上处处解析，则称它是__________.lim z nlimz 1z 2 ... z n7. 若 n，则 nn ______________.Res(ez8.n,0)z________，其中 n 为自然数 .9.sin z的孤立奇点为 ________ .z10. 若zlimf (z) ___是f (z) 的极点，则z z.1. 设( z 1)( z 2) ，求 f ( z) 在 D { z : 0 | z | 1}内的罗朗展式 .1dz.2.|z| 1cos zf ( z) 3 2 71，其中 C { z :| z |3} ，试求 f '(1 i ).3.d设Czwz 14. 求复数 z 1 的实部与虚部 .四 . 证明题 .(20 分 )1. 函数f (z)在区域 D 内解析 . 证明：如果 | f ( z) |在 D 内为常数，那么它在 D 内为常数 .2. 试证 :f (z)z(1 z) 在割去线段 0 Re z 1 的 z 平面内能分出两个单值解析分支 , 并求出支割线 0 Re z 1 上岸取正值的那支在 z 1 的值 .《复变函数》考试试题（二）二. 填空题 . (20 分)1.设z i ，则| z |__,arg z__, z__2.设 f ( z)(x2 2 xy) i (1 sin( x2y2 ), z x iy C，则lim f (z)________.z1idz_________. （n为自然数）3.|z z0 |1 ( z z )n4.幂级数nz n的收敛半径为 __________ .n05.若 z0是 f(z) 的 m 阶零点且 m>0，则 z0是f ' ( z)的 _____零点 .6.函数 e z的周期为 __________.7.方程 2z5z33z 8 0 在单位圆内的零点个数为________.18.设 f ( z)1z2，则 f ( z) 的孤立奇点有_________.9.函数 f (z)| z |的不解析点之集为________.10.Res( z41,1)____ . z三.计算题 . (40 分)1.求函数sin(2z3)的幂级数展开式 .2. 在复平面上取上半虚轴作割线 . 试在所得的区域内取定函数z在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点z i 处的值.计算积分： Ii1）单位圆（| z |1）3.| z | dz，积分路径为（i的右半圆 .sin zdzz22( z)4.求2.四. 证明题 . (20 分)1.设函数 f(z) 在区域 D 内解析，试证：f(z)在 D 内为常数的充要条件是 f ( z)在D内解析.2.试用儒歇定理证明代数基本定理 .《复变函数》考试试题（三）二. 填空题 .(20 分)11.设 f ( z)，则f(z)的定义域为___________.z212.函数 e z的周期为_________.3.若 z nn 2 i (1 1 )n，则 lim z n __________.1 nn n4. sin 2 z cos 2z___________.dz5.|z z 0 | 1 ( z z )n_________. （ n 为自然数）6.幂级数nx n的收敛半径为 __________.n 07.设f (z)1，则 f ( z ) 的孤立奇点有 __________.z218. 设ez1，则 z___ .9.若z 0 是 f (z) 的极点，则 limf ( z) ___ .z z 010.Res( e z,0)____.z n三. 计算题 . (40分)11.将函数 f ( z)z 2e z在圆环域 0z内展为 Laurent 级数 .n!n2. 试求幂级数nnz的收敛半径 .n3. 算下列积分：e zdz，其中C 是| z| 1.Cz 2 (z29)4. 求z 9 2z 6z28z 2 0 在 | z |<1内根的个数 .四 . 证明题 . (20 分)1.函数f (z)在区域 D 内解析 . 证明：如果 | f ( z) |在 D 内为常数，那么它在D 内为常数 .2.设f (z) 是一整函数，并且假定存在着一个正整数n ，以及两个正数R 及 M ，使得当| z|R 时| f (z) |M | z |n ，证明f (z) 是一个至多 n 次的多项式或一常数。

复变函数与积分变换复习题.

第一章一、选择题1. 一个向量顺时针旋转3π，向右平移3个单位，再向下平移1个单位，对应的复数为1-，则原向量对应的复数是（A ） A. 2B. 1C.i D.i +2. 设z 为复数，则方程2z z i +=+的解是（B ） A. 34i -+ B. 34i + C. 34i - D. 34i -- 3.方程23z i +-= C ）A. 中心为23i -的圆周 B. 中心为23i -+，半径为2的圆周 C. 中心为23i -+D. 中心为23i -，半径为2的圆周 4. 15()1, 23, 5f z z z i z i =-=+=-则 12()f z z -=（C ） A. 44i -- B. 44i + C. 44i - D. 44i -+5. 设z C ∈，且1z =,则函数21()z z f z z-+=的最小值是（A ）A. -3B. -2C. -1D. 1 二、填空题1.不等式225z z -++<所表示的区域是曲线_________________的内部。

（椭圆2222153()()22x y +=） 2. 复数22(cos5sin 5)(cos3sin 3)θθθθ+-的指数表示式为_______________.（16ieθ）3. 方程2112(1)z ii z--=--所表示曲线的直角坐标方程为__________________.（221x y +=）4. 满足5|2||2|≤-++z z 的点集所形成的平面图形为，以±2为焦点，长半轴为25的椭圆，该图形是否为区域否 .5．复数()i i z --=1132的模为_________，辐角为____________.（5/12π-）6. 曲线()2z i t =+在映射2w z =下的象曲线为____________.（43v u =）三、对于映射12()w z z=+，求出圆周4z =的像。

（表示平面上的椭圆2222u v +=11715()()22）第二章一、选择题1.下列函数中，为解析函数的是（C ）A. 222x y xyi -- B. 2x xyi + C. 222(1)(2)x y i y x x -+-+ D. 33x iy +2. 若函数2222()2()f z x xy y i y axy x =+-++-在复平面内处处解析，那么实常数a=（C ） A. 0 B. 1 C. 2 D. -23. 函数2()ln()f z z z =在0z =处的导数（A ） A. 0 B. 1 C. -1 D. 不存在 4. 22()f z x iy =+则 (1)f i '+=（A ） A. 2 B. 2i C. 1+I D. 2+2i 5. ii 的主值为（D ） A. 0 B. 1 C. 2e πD. 2eπ-6.设()sin f z z =，则下列命题中，不正确是（C ）A. ()f z 在复平面B. ()f z 以为周期C. ()2iz ize ef z --= D. ()f z 是无界7. 设α是复数则（C ）A. z α是在复平面上处处解析 B. z α的模为 zαC. z α一般是多值函数 D . z α的幅角为z 的幅角的α倍二、填空题1.设(0)1, (0)1f f i '==+，0()1lim z f z z→-=______________(1+i)2. 3322()f z x y ix y =++ 则 33 ()22f i '-+=______________(272748i -)3.复数1i 的模为______________(2(0,1)k e k π-=±)4.方程10ze--=的全部解为______________(2(0,1)k i k π=±)5.ii -+1)1(的值为,1,0)],2ln 4sin()2ln 4[cos(224±=-+-+k i e k ππππ；主值为)]2ln 4sin()2ln 4[cos(24-+-πππi e .三、设i y x y x z f 22332)(+-=，问)(z f 在何处可导？何处解析？并在可导处求出导数值.；,0)))0(0,0(0,0(=∂∂+∂∂='xv ixuf)1(1627)4343()43,43()43,43(i xv ixu i f +=∂∂+∂∂=+'四、解方程：sin cos 4z i z i +=一、选择题1. 设C 为从原点沿2y x =至1+i 的弧段，则2()cx iy dz +=⎰（）DA.1566i - B. 1566i -+ C. 1566i -- D. 1566i + 2. 设C 为不经过点1与－1的正向简单闭曲线，则(1)(1)c zdz z z -+⎰为（）DA.2i π B. 2i π-C. 0D. A,B,C 都有可能二、1..解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的________(平均值)2. 积分⎰=1||z zdz z e的值为i π2，⎰==-2||2)2(sin z dz z zπ 0 .3. 设()2sin2f z d zξπξξξ==-⎰，其中2z ≠，则()1f '=_______.（0）三、计算26(1)(2)z R zdz z z =-+⎰，其中0 1 R R >≠，，且2R ≠。

复变函数复习题详细答案

复变函数复习题详细答案复变函数复习题详细答案如下：1. 复数的代数形式和几何解释复数 \( z = a + bi \) 可以表示为平面上的一个点 \( (a, b) \)，其中 \( a \) 是实部，\( b \) 是虚部。

复数的模 \( |z| \) 表示该点到原点的距离，即 \( |z| = \sqrt{a^2 + b^2} \)。

2. 复数的运算两个复数 \( z_1 = a + bi \) 和 \( z_2 = c + di \) 的加法和乘法运算如下：\[ z_1 + z_2 = (a + c) + (b + d)i \]\[ z_1 \cdot z_2 = (ac - bd) + (ad + bc)i \]3. 复数的共轭和模复数 \( z = a + bi \) 的共轭为 \( \overline{z} = a - bi \)，模为 \( |z| = \sqrt{a^2 + b^2} \)。

4. 复数的指数形式复数 \( z \) 可以表示为指数形式 \( z = re^{i\theta} \)，其中\( r = |z| \) 是模，\( \theta \) 是 \( z \) 的辐角，满足\( \cos\theta = \frac{a}{r} \) 和 \( \sin\theta = \frac{b}{r} \)。

5. 复数的对数复数 \( z \) 的对数定义为 \( \log z = \log r + i\theta \)，其中 \( r = |z| \)，\( \theta \) 是 \( z \) 的主辐角。

6. 复数的导数设 \( f(z) = u(x, y) + iv(x, y) \) 是复函数，其中 \( z = x +iy \)，则 \( f(z) \) 的导数为：\[ f'(z) = \frac{\partial u}{\partial x} + i\frac{\partialv}{\partial x} \]前提是 \( u \) 和 \( v \) 的偏导数满足柯西-黎曼方程。

复变函数期末考试复习题及答案详解

《复变函数》考试试题（一） 1、 =-⎰=-1||00)(z z nz z dz__________.（n 为自然数）2.=+z z 22cos sin_________.3.函数z sin 的周期为___________.4.设11)(2+=z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________.5.幂级数n n nz ∞=∑的收敛半径为__________.6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________.7.若ξ=∞→n n z lim ，则=+++∞→n z z z nn (i)21______________.8.=)0,(Re n zz es ________，其中n 为自然数.9. zz sin 的孤立奇点为________ .10.若0z 是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .三.计算题（40分）：1. 设)2)(1(1)(--=z z z f ，求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式.2. .cos 11||⎰=z dz z3. 设⎰-++=C d z z f λλλλ173)(2，其中}3|:|{==z z C ，试求).1('i f +4. 求复数11+-=z z w 的实部与虚部.四. 证明题.(20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数.2. 试证: ()f z =在割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内能分出两个单值解析分支, 并求出支割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那支在1z =-的值.《复变函数》考试试题（二）二. 填空题. (20分)1. 设i z -=，则____,arg __,||===z z z2.设Ciy x z y x i xy x z f ∈+=∀+-++=),sin(1()2()(222，则=+→)(l i m 1z f iz ________.3.=-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.（n 为自然数）4. 幂级数nn nz∞=∑的收敛半径为__________ .5. 若z 0是f (z )的m 阶零点且m >0，则z 0是)('z f 的_____零点.6. 函数e z 的周期为__________.7. 方程083235=++-z z z 在单位圆内的零点个数为________.8. 设211)(z z f +=，则)(z f 的孤立奇点有_________.9. 函数||)(z z f =的不解析点之集为________.10. ____)1,1(Res 4=-zz .三. 计算题. (40分)1. 求函数)2sin(3z 的幂级数展开式. 2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数z 在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点i z =处的值.3. 计算积分：⎰-=iiz z I d ||，积分路径为（1）单位圆（1||=z ）的右半圆.4. 求dzz zz ⎰=-22)2(sin π.四. 证明题. (20分)1. 设函数f (z )在区域D 内解析，试证：f (z )在D 内为常数的充要条件是)(z f 在D 内解析.2. 试用儒歇定理证明代数基本定理.《复变函数》考试试题（三）二. 填空题. (20分) 1. 设11)(2+=z z f ，则f (z )的定义域为___________. 2. 函数e z的周期为_________.3. 若n n ni n n z )11(12++-+=，则=∞→n z n lim __________.4. =+z z 22cos sin ___________.5. =-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.（n 为自然数） 6. 幂级数∑∞=0n nnx的收敛半径为__________.7. 设11)(2+=z z f ，则f (z )的孤立奇点有__________.8. 设1-=z e ，则___=z . 9. 若0z是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .10. ____)0,(Res =n zze.三. 计算题. (40分)1. 将函数12()zf z z e =在圆环域0z <<∞内展为Laurent 级数.2. 试求幂级数nn nz nn ∑+∞=!的收敛半径. 3. 算下列积分：⎰-C z z z ze )9(d 22，其中C 是1||=z .4. 求0282269=--+-z z z z在|z |<1内根的个数.四. 证明题. (20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数.2. 设)(z f 是一整函数，并且假定存在着一个正整数n ，以及两个正数R 及M ，使得当R z ≥||时n z M z f |||)(|≤，证明)(z f 是一个至多n 次的多项式或一常数。

复变函数复习习题

和 x, y 之间的对应关系,因而无法用同一平面内的几何图形表示出来, 必须看成是两个复平面上的点集之间的对应关系.
14
2.映射的定义: 如果用z 平面上的点表示自变量z 的值,
而用另一个平面w 平面上的点表示函数w 的值, 那末函数 w f (z) 在几何上就可以看作是把 z 平面上的一个点集G (定义集合) 变到 w 平面上的一个点集G * (函数值集合)的映射 (或变换).
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29
作业：P-28
• 1.4.1，1.4.2，1.4.3，1.4.5
30
4
例2 满足下列条件的点集是什么, 如果是区域,
指出是单连通域还是多连通域?
y
6
解 (1) Im z 3,
5
4
是一条平行于实轴的直线,
3 2
不是区域.
1 -3 -2 -1
x 123
(2) Re z 2, 以 Re z 2 为左界的半平面 (不包括直线Re z 2 ), 单连通域.
5
(3) 0 z 1 i 2, 以 (1 i) 为圆心, 2为半径的去心圆盘, 是多连通域. (4) arg( z i) ,
15
这个映射通常简称为由函数 w f (z) 所构成的映射.
如果G中的点 z 被映射 w f (z)映射成G * 中的点 w, 那末 w 称为 z 的象 (映象), 而 z 称为 w 的原象.
16
3. 两个特殊的映射:
(1) 函数 w z 构成的映射.
将 z 平面上的点z a ib 映射成 w 平面上
9
2.单(多)值函数的定义: 如果 z 的一个值对应着一个w 的值, 那末
我们称函数 f (z) 是单值的. 如果 z 的一个值对应着两个或两个以上

复变函数考试复习资料

一、单选题1.设f(z)=sin z，则下列命题中，不正确的是( )。

A、f(z)在复平面上处处解析B、f(z)以2T为周期C、D、丨f(z)丨是无界的答案： C2.A、iB、-iC、1D、-1答案： B3.下列命题中，不正确的是（）。

A、B、C、若在区域D内有f '(z)=g(z)，则在D内g'(z)存在且解析D、答案： D4.设f(z)在区域D内解析，c为D内任一条正向简单闭曲线，它的内部全属于D．如果f(z)在c上的值为2，那么对c内任一点z0，f(z0)( )A、等于0B、等于1C、等于2D、不能确定答案： C5.下列函数中，为解析函数的是（）。

A、x²-y²-2xyB、x²+xyiC、2(x-1)y+i(y²-x²+2x)D、x³+iy³答案： C6.下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为( ).A、B、C、D、答案： B7.函数f(z)在点z可导是f(z)在点z解析的( )A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充分必要条件D、既非充分条件也非必要条件答案： B8.A、2B、2iC、1+iD、2+2i答案： A9.A、不存在的B、唯一的C、纯虚数D、实数答案： D10.A、有界区域B、无界区域C、有界闭区域D、无界闭区域答案： D11.设v(x,y)在区域D内为u(x,y)的共辄调和函数，则下列函数中为D内解析函数的是（）。

A、v(x,y)+iu(x,y)B、v(x,y)-iu(x, y)二、判断题C 、u(x,y)-iv(x,y)D 、答案： B12.下列数中，为实数的是（）。

A 、B 、cos iC 、In iD 、答案： B1.若f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0处满足柯西-黎曼条件.A 、正确B 、错误答案：正确2.若a 是f(z)和g(z)的一个奇点,则a 也是f(z)+g(z)的奇点。

复变函数复习题

第一章复习题1. 设z=1+2i ，则Im z 3=（） A. -2 B. 1 C. 8 D. 142. z=2-2i ，|z 2|=（） A. 2 B.8 C. 4 D. 83. z=(1+cost)+i(2+sint),0≤t<2π所表示的曲线为（） A.直线B.双曲线C.抛物线D.圆4. 设z=x+iy,则（1+i ）z 2的实部为（）A.x 2-y 2+2xyB.x 2-y 2-2xyC.x 2+y 2+2xyD.x 2+y 2-2xy5. arg(2-2i)=（） A.43π- B.4π- C.4π D.43π6．设2,3z w i z =+=,则（） A ．3arg π=w B ．6arg π=w C ．6arg π-=w D ．3arg π-=w7．设z 为非零复数，a ,b 为实数，若ib a zz+=_，则a 2+b 2的值（）A ．等于0B ．等于1C ．小于1D ．大于18．设11z i=-+，则z 为（） A ．21i +- B ．21i -- C ．21i - D ．21i + 9. 设z=x+iy ，则|e 2i+2z |=（） A. e 2+2x B. e |2i+2z| C. e 2+2z D. e 2x 10. Re(e 2x+iy )=（）A. e 2xB. e yC. e 2x cosyD. e 2x siny11. 包含了单位圆盘|z|<1的区域是（） A.Re z<-1 B.Re z<0 C.Re z<1D.Im z<012. 复数方程z=3t+it 表示的曲线是（） A.直线 B.圆周 C.椭圆 D.双曲线13 .下列集合为无界多连通区域的是（）A.0<|z-3i|<1B.Imz>πC.|z+ie|>4D.π<<π2z arg 2314.复数方程z=cost+isint 的曲线是（） A.直线 B.圆周 C.椭圆 D.双曲线 15.下列集合为有界单连通区域的是（） A.0<|z-3|<2 B.Rez>3 C.|z+a|<1D.π≤<πargz 2116．下列集合为有界闭区域的是（） A ．0< arg (z+3)≤2πB ．Re (z-i)<1C ．1≤Imz ≤2D ． 1≤||z i -≤417. arg(3-i)=___________.18. arg (-1+3i )= .19. 若i3i1z -+=，则z =___________.20．设i z 101103+-=，则=_z ____________. 21. 若z 1=e 1+i π,z 2=3+i ，则z 1·z 2=________.22. 复数1-3i 的三角表达式是_________________.23. 求方程z 3+8=0的所有复根. 24. 解方程z 4=-1.25 计算复数z=327-的值.26．求z =（-1+i ）6的共轭复数z 及共轭复数的模|z |.27．设复数)2)(1(--=i i iz（1）求z 的实部和虚部；（2）求z 的模；（3）指出z 是第几象限的点. 28．设t 为实参数，求曲线z=re it +3 (0≤t ＜2π的直角坐标方程.29．设iy x z +=.将方程1Re ||=+z z 表示为关于x ,y 的二元方程，并说明它是何种曲线. 30．用θcos 与θsin 表示θ5cos ．第二章复习题1. ln(-1)为（） A.无定义的B.0 C .πi D.(2k+1)πi(k 为整数)2．=i 2ln （） A ．2ln B ．i 22ln π+C ．i 22ln π-D ．i i 2Arg 2ln +3．Ln(-4+3i)的主值是（） A .ln5+i(-π-arctg43) B .ln5+i(π-arctg 43) C .ln5+i(-π-arctg 34) D .ln5+i(π-arctg 34) 4. 设z=x+iy ，解析函数f(z)的虚部为v=y 3-3x 2y ，则f(z)的实部u 可取为（） A.x 2-3xy 2B.3xy 2-x 3C.3x 2y-y 3D.3y 3-3x 35. 设f(z)=e x (xcosy+aysiny)+ie x (ycosy+xsiny)在Z 平面上解析，则a=（） A. -3 B. -1 C. 1 D. 36. 设f(z)=x 3-3xy 2+(ax 2y-y 3)i 在Z 平面上解析，则a=（） A. -3 B. 1 C. 2 D. 37. 若f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在Z 平面上解析，u(x,y)=x 2-y 2+x ，则v(x,y)=（）A.xy+xB.2x+2yC.2xy+yD.x+y8. 若f(z)=u(x ，y)+iv(x ，y)在Z 平面上解析，v(x,y)=e x (ycosy+xsiny)，则u(x ，y)=（）A. e x (ycosy-xsiny)B. e x (xcosy-xsiny)C. e x (ycosy-ysiny)D. e x (xcosy-ysiny)9. 设v(x,y)=e axsiny 是调和函数，则常数a=（）A. 0 B. 1 C.2 D.3 10. 设f(z)=z 3+8iz+4i ，则f ′(1-i)=（） A. -2i B. 2i C. -2 D. 2 11．正弦函数sinz=（）A ．i e e iz iz 2-- B ．2iz iz e e -- C ．i e e iz iz 2-+D ．2iziz e e -+12. 对数函数w=ln z 的解析区域为___________. 13．已知f(z)=u+iv 是解析函数，其中u =)ln(2122y x +,则=∂∂yv. 14. 若sinz=0，则z=___________. 15. 若cosz=0，则z=________.16．方程i z 31ln π+=的解为____________. 17. tgz 的所有零点为_________________.18. 设f(z)=x 2+axy+by 2+i(-x 2+2xy+y 2)为解析函数，试确定a ，b 的值. 19．设)()(2323y cx y i bxy ax z f +++=为解析函数，试确定a,b,c 的值. 20. 设f(z)=my 3+nx 2y+i(x 3-3xy 2)为解析函数，试确定m 、n 的值.21．函数f(z)=x2-y2-x+i(2xy-y2)在复平面上何处可导？何处解析？22. 已知调和函数v=arctg x y,x>0，求f ′(z)，并将它表示成z 的函数形式.23．设),(),()(y x iv y x u z f +=是解析函数，其中xy x y y x u 2),(22--=，求),(y x v . 24.设u=x 2-y 2+xy 是解析函数f(z)的实部，其中z=x+iy.求f ′(z)并将它表示成z 的函数形式. 25.设v=e ax siny ，求常数a 使v 成为调和函数.26.已知调和函数u=(x-y)(x 2+4xy+y 2)，求f ′(z)，并将它表示成z 的函数形式. 27．设u=e 2x cos 2y 是解析函数f(z)的实部，求f(z).28．已知z ≠0时，22x yu x y -=+为调和函数，求解析函数()f z u iv =+的导数f ′(z)，并将它表示成z 的函数形式．29．求方程sin z +cos z =0 的全部根.第三章复习题1.设C 为正向圆周|z|=1，则⎰=C2zdz （）A. 0 B. 1 C.πi D. 2πi2.设C 为从-i 到i 的直线段，则⎰=Cdz |z |（）A. i B. 2i C. -i D. -2i3.设C 为正向圆周|z|=1，则⎰=-Cz dz 1e z sin （）A.2πi ·sin 1B.-2πiC.0D.2πi4.⎰==-2|z |2)i z (dz（） A. 0 B. 1 C. 2π D. 2πi5.⎰=-=2|1z |dz z zcos （） A. 0 B. 1 C. 2π D. 2πi 6.⎰+=i220zdz （） A. i B. 2i C. 3i D. 4i7.设C 为正向圆周|z-a|=a(a>0)，则积分⎰-Ca z dz22=（）A. a i 2π-B. ai π- C. a i 2π D. ai π8.设C 为正向圆周|z-1|=1，则⎰=-C dz z z 53)1(（）A.0 B.πi C.2πi D.6πi9.设C 为正向圆周|z |=1，则⎰=czdz cot （）A. -2πi B. 2πi C. -2π D.2π10.⎰=-3|i z |z dz=（） A. 0 B. 2π C. πi D. 2πi 11.⎰=---11212z z sinzdz |z |=（）A. 0 B. 2πisin1 C. 2πsin1 D.1sin 21iπ 12.⎰32dz zcosz =（） A.21sin9 B.21cos9 C.cos9 D.sin913．设C 为正向圆周|z |=1,则dz z C⎰=（）A ．i π6 B ．i π4 C ．i π2 D ．0 14．设C 为正向圆周|z -1|=2,则dz z e zC2-⎰=（） A ．e 2 B ．i e 22π C ．i e 2π D ．i e 22π-15．设C 为正向圆周|z |=2，则dz z e z zC4)1(++⎰=（）A ．i e 3π B ．e6πC ．ei π2D ．i e3π 16．复积分iizedz ⎰的值是（）A ． 1(1)e i ---B ．1e i -C ．1(1)e i --D ．1e i --17．复积分|1|2z z i e z i --=-⎰ dz 的值是（）A ．i e B ．i e - C ．2πi i e D ．2πi ie -18.设C 为正向圆周⎰=ξ-ξξ=<=ξC3d )z (2sin )z (f 1|z |1||时，，则当___________.19.设⎰==ζ<ζ-ζζ=L )z (f 3|:|L ),3|z (|,d zsin )z (f ，则___________. 20.设f ′(z)=⎰==ζ<-ζζζL )z (f L )|z (|，则｜：｜， 55d ζz)( cos e 2________.21.设C 为正向圆周|z |=1,则=-⎰dz ie cz 22π. 22. 设C 为正向圆周|z|=1，则积分⎰=Cdz z1___________.23．设C 为从i 到1+i 的直线段，则=⎰zdz CRe ____________.24．设C 为正向单位圆周在第一象限的部分，则积分=⎰dz z z C 3_)(____________.25．设C 为正向圆周|z |=2，则⎰=-Cdz z z 32)2(cos π____________.26．|3|1cos z z i e zdz -=⎰=______________.27. 设C 为正向圆周|z|=1，计算积分⎰+-=C 2.dz )2z )(21z (zsin I28. 计算积分⎰-=C3z dz )a z (e I ，其中C 为正向圆周|z|=1，|a|≠1.29. 计算积分⎰+-=C2dz z)i 1(z 1I ，其中C 为正向圆周|z|=2.30. 求积分⎰++-Cdz i z 22z 3I ）（＝的值，其中C:|z|=4为正向. 31. 求积分⎰-C4z dz z 3e I ＝的值，其中C:|z|=1为正向.32．设C 为正向圆周|z|=1，求I=dz zec z ⎰21.33．设C 为正向圆周|z-i |=21,求I =⎰+c z z dz )1(2.34．设C 为正向圆周|z|=1，求I=⎰C zdz ze 5.35. 求积分I=⎰+Cdz z i 的22值，其中C ：|z|=4为正向.36. 求积分I=⎰+C zdz )i z (e 的42值，其中C ：|z|=2为正向.37．设C 为正向简单闭曲线，a 在C 的内部，计算I =.)(213dz a z ze izC-⎰π38．计算积分I=2()cx y ix dz -+⎰，其中C 为从0到1+i 的直线段．39．计算积分I=221(1)(1)Cdz z z -+⎰ ，其中C 为正向圆周2220x y x +-= 第四章复习题1. 复数列i2n n e z π=的极限为（） A.-1B.0C.1D.不存在 2. 设∑∞==0n n!n z )z (f ，则f (10)(0)为（）A.0B.!101C.1D.10！3．z-21的幂级数展开式∑∞=0n nnza 在z =-4处（）A ．绝对收敛B ．条件收敛C ．发散D ．收敛于61 4．幂级数∑∞=+0)1(1n nn z i 的收敛半径为（） A ．2 B ．1 C ．21 D ．0 5. 下列级数中绝对收敛的是（）A.∑∞=+1!)43(n nn i B.nn i∑∞=+1)231( C. ∑∞=1n nni D.∑∞=+-11)1(n n n i6. 1e 1)z (f z-=在z=πi 处的泰勒级数的收敛半径为（）A. πiB. 2πiC. πD. 2π7. 处在0z )i z )(2z (1)z (f =--=泰勒展开式的收敛半径是（） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 8. f(z)=211z +在z=1处的泰勒展开式的收敛半径为（） A.23B. 1C.2D.3 9. f(z)=2i)z(z cosz -在z=1处泰勒展开式的收敛半径是（）A.0B.1C.2D.310. z=2i 为函数222z )4z (z e )z (f +=的（）A.可去奇点B.本性奇点C.极点D.解析点11. 以z=0为本性奇点的函数是（）A.z zsin B.)1z (z 1- C.2z z cos 1-D.z1sin12．点z=-1是f(z)=(z+1)5sin)1(1+z 的（）A.可去奇点B.二阶极点C.五阶零点D.本性奇点13. z=0为函数cos z1的（）A.本性奇点B.极点C.可去奇点D.解析点14．z=0是函数2zcos 1z -的（）A ．本性奇点B ．可去奇点C ．一阶极点D ．二阶极点15. 2)1z (z 1)z (f -=在0<|z-1|<1内的罗朗展开式是（）A.∑∞=-0n nnz )1( B.∑∞=-0n n2z)1z (1 C.∑∞=--0n nn)1z ()1(D.∑∞=---0n 2n n)1z ()1(16. 可以使f(z)=3)3(1+z z 在点z=0处的罗朗展开式收敛的区域是（） A.0<|z|<2或2<|z|<+∞ B. 0<|z|<+∞ C. 0<|z-2|<2 D. 0<|z-2|<+∞17. f(z)=)z )(z (121--在0<|z-2|<1内的罗朗展开式是（）A.∑∞=-01n nn z )( B.∑∞=-021n n z )z ( C.∑∞=-02n n)z ( D.∑∞=---0121n n n )z ()(18. 设i 1a a lim n 1n n +=+∞→，则幂级数∑∞=+0n nn z 1n a 的收敛半径为___________.19. 幂级数∑∞=0n n nz 3n的收敛半径是___________.20. 幂级数∑∞=1n n nz n!n 的收敛半径是________.21．若在幂级数∑∞=0n n n z b 中，i b b nn n 43lim1+=+∞→，则该幂级数的收敛半径为____________.22．幂级数∑∞-12n n nnz 的收敛半径是____________.23．设n z z f nn n2)1()(0∑∞=-=，则)0()10(f =___________.24. z =0是f(z)=zz )1ln(+的奇点，其类型为 . 25. f(z)=21z z -在圆环域0<|z|<1内的罗朗展开式为 . 26．设zz f -=11sin )(的幂级数展开式为∑∞=0n nnza ，求它的收敛半径，并计算系数a 1,a 2.27. 求f(z)=ln z 在点z=2的泰勒级数展开式，并求其收敛半径.28 将函数0z )2z )(1z (1)z (f =++=在展开为泰勒级数. 29．求)2)(1(1)(--=z z z f 在z =0处的泰勒展开式.30. 将函数f(z)=ln(3+z)展开为z 的泰勒级数.31．将函数f(z)=ln(z2-3z+2)在z=0处展开为泰勒级数．32. (1)求z 1在圆环域1<|z-1|<+∞内的罗朗级数展开式； (2)求2z1在圆环域1<|z-1|<+∞内的罗朗级数展开式.33. 将函数)1z (z 1)z (f -=在圆环域1<|z-1|<+∞内展开为罗朗级数.34. 将函数f(z)=()22+z z 在圆环域0<|z|<2内展开为罗朗级数.35．求)2)(4(2)(---=z z z f 在圆环域3|1|1<-<z 内的罗朗级数展开式.36．将函数)1(1)(2-+=z z z z f 在圆环域0<z <1内展开为罗朗级数．第五章复习题1. 设函数22iz )1z (e )z (f +=，则Res[f(z),-i]=（）A.0 B.4ie -C.4ie D.4e2. 设f(z)=1z z 22-，则Res[f(z),1]=（） A.0 B.1 C.π D.2π3. 若f(z)=tgz ，则Res[f(z)，2π]=（） A. -2π B. -π C. -1 D. 04．函数z z tan 在z =0点的留数为（）A ．2B ．iC ．1D ．05．函数2z e e ibziaz -(a 、b 为实数,a ≠b)在z=0点的留数为（）A ．)(a b i -B ．a b -C ．b a -D ．)(b a i -6．Re [cot ,1]s z π=（） A ．1π- B ．1πC ．-2iD ．2i7.设f(z)=+--++--+---nn z z z z )1()1()1(1)1(1)1(12,则Res[f(z),1]= . 8.利用留数计算积分⎰=+-=2|z |4zdz )4z )(1z (e I9.（1）求)4z )(1z (1)z (f 22++=在上半平面的所有孤立奇点；（2）求f(z)在以上各孤立奇点的留数；（3）利用以上结果计算积分⎰+∞∞-++=)4x )(1x (dx I 22.10.（1）求2z 2i z 4e )z (f +=在上半平面的所有孤立奇点；（2）求f(z)在以上各孤立奇点的留数；（3）利用以上结果计算积分⎰+∞∞-+=.dx 4x x2cos I 211．（1）求f(z)=12+z z在上半平面内的孤立奇点，并指出其类型；（2）求f(z)e iz 在以上奇点的留数；（3）利用以上结果，求I=⎰+∞∞-+dx x xx 1sin 2. 12. 利用留数计算积分I=⎰C zsinzdz，其中C 为正向圆周|z|=1.13．（1）求f(z)=iz e z z21+在上半平面的所有孤立奇点；（2）求f(z)在以上各孤立奇点的留数；（3）利用以上结果计算积分I=⎰+∞∞-+x d x 1xsinx214．求)(1)(3i z z z f -=在各个孤立奇点处的留数.15．利用留数计算积分⎰+∞∞-++=dx x x x I )9)(1(222. 16．利用留数计算积分I=22(1)zc e dz z -⎰ ，其中C 为正向圆周||z =2．17．（1）求242()1z f z z z =++在上半平面内的所有孤立奇点．（2）求)(z f 在以上各孤立奇点的留数．（3）利用以上结果计算积分I=2421x dx x x +∞-∞++⎰．第六章复习题1. 把点z=1，i,-1分别映射为点w=∞,-1,0的分式线性映射为（）A.1z 1z w +-=B.z 1)1z (i w -+=C.z 11z w -+= D.1z )1z (i w +-=2. w=e z 把带形区域0<Im z<2π映射成W 平面上的（） A.上半复平面B.整个复平面C.割去负实轴及原点的复平面D.割去正实轴及原点的复平面3. 线性变换z1z2+=ω（）A.将上半平面Imz>0映射为上半平面Im ω>0B.将上半平面Imz>0映射为单位圆|ω|<1C.将单位圆|z|<1映射为上半平面Im ω>0D.将单位圆|z|<1映射为单位圆|ω|<14. 线性变换ω=iz zi +-（）A.将上半平面Imz>0映射为上半平面Im ω>0B.将上半平面Imz>0映射为单位圆|ω|<1C.将单位圆|z|<1映射为上半平面Im ω>0D.将单位圆|z|<1映射为单位圆|ω|<15．3z =ω把Z 平面上区域0<θ<π映射成W 平面上的区域（）A ．-3π<ϕ<0B ．3π-<ϕ<0 C ．0<ϕ<3πD ．0<ϕ<3π6. 映射z1=ω是关于___________的对称变换.7. 线性映射ω=z 是关于________的对称变换.8．分式线性映射i z i z +---=11ω把上半平面Imz>0映射成___________. 9. 设D 是上半单位圆：Im z>0,|z|<1，求下列保角映射：（1）w 1=f(z)把D 映射为第Ⅱ象限D 1，且f(1)=0；（2）w 2=g(w 1)把D 1映射为第Ⅰ象限D 2；（3）w=h(w 2)把D 2映射为上半平面D 3；（4）求把D 映射为D 3的保角映射w=F(z).10. 设D 是Z 平面上的带形区域：10<Imz<10+π，试求下列保角映射：（1）ω1=f 1(z)把D 映射成ω1平面上的带形区域D 1：0<Im ω1<π；（2）ω2=f 2(ω1)把D 1映射成ω2平面上的上半平面D 2：Im ω2>0；（3）ω=f 3(ω2)把D 2映射成ω平面上的单位圆域D 3：|ω|<1，且f 3(i)=0；（4）综合以上三步，试用保角映射ω=f(z)把D 映射成单位圆域D 3. 11．设D 为Z 平面的单位圆盘去掉原点及正实轴的区域. 求下列保角映射：（1）w 1=f 1(z)把D 映射成W 1平面的上半单位圆盘D 1；（2）w=f 2(w 1)把D 1映射成W 平面的第一象限；（3）w=f(z)把D 映射成W 平面的第一象限..12. 设D 是Z 平面上的带形区域：1<Rez<1+π，求下列保角映射：（1）ω1=f 1(z)把D 映射成ω1平面上的带形区域D 1：0<Re ω1<π；（2）ω2=f 2(ω1)把D 1映射成ω2平面上的带形区域D 2：0<Im ω2<π；（3）ω=f 3(ω2)把D 2映射成ω平面上的上半平面D 3：Im ω>0；（4）综合以上三步，求把D 映射成D 3的保角映射ω=f(z). 13．设D 为Z 平面上的扇形区域.1||,3arg 0<<<z z π求下列保角映射：（1）)(11z f w =把D 映射为W 1平面的上半单位圆盘D 1；（2）)(12w f w =把D 1映射为W 平面上的第一象限；（3）)(z f w =把D 映射为W 平面上的第一象限.14．设Z 平面上区域D ：||z <2且||z i ->1．试求以下保角映射:（1）)(11z f =ω把D 映射成W1平面上的带形域D1：41<Im 1ω<21;（2）)(122ωωf =把D1映射成W2平面上的带形域D2：0<Im 2ω<π; （3）)(23ωωf =把D2映射成W 平面上的区域D3：Im ω>0;（4）综合以上三步，求保角映射)(z f =ω把D 映射成Im ω>0.第二篇复习题1.δ函数的傅氏变换F )]t ([δ为（） A.-2 B.-1 C.1 D.22. 函数f(t)=t 的傅氏变换F [f(t)]为（）A.δ(ω)B.2πi δ(ω)C.2πi δ'(ω)D.δ'(ω) 3．函数f(t)=π2122t e -的傅氏变换F [])(t f 为（）A ． 2ω-eB ． 22ω-eC ．22ωeD ． 2ωe4.求函数)t (f 3)t (2-δ的傅氏变换，其中⎩⎨⎧≤>=-.0t ,00t ,te )t (f t5．求函数3f(t)+2sint 的付氏变换，其中 f(t)=⎩⎨⎧>≤1||,01||,1t t6. (1)求e -t 的拉氏变换F [e -t ]；(2)设F(p)=F [y(t)]，其中函数y(t)二阶可导，F [y ′(t)]、F [y ″(t)]存在，且y(0)=0， y ′(0)=1，求F [y ′(t)]、F [y ″(t)]；（3）利用拉氏变换求解常微分方程初值问题：⎩⎨⎧='==-'+''-1)0(y ,0)0(y e 2y 3y 2y t7.(1)求e t 的拉氏变换L [e t ];(2)设F （p ）=L [y(t)]，其中函数y(t)二阶可导，L [y ′(t)]、L [y ″(t)]存在，且y(0)=0， y ′(0)=0，求L [y ′(t)]、L [y ″(t)]; (3)利用拉氏变换求解常微分方程初值问题：⎩⎨⎧='==+'-''.)(y ,)(y e y y y t000028．求函数222)4(4)(-+=p p p F 的拉氏逆变换9.（1）求sint 的拉氏变换（sint ）；（2）设F （p ）=[])(t y ，其中函数)(t y 可导，且1)0(-=y ,求[])(t y '.（3）利用拉氏变换求解常微分方程初值问题：⎩⎨⎧-==+'1)0(sin y ty y全国2009年4月自考复变函数与积分变换试题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1．设z =1-i ,则Im(21z )=（）A ．-1B ．-21C ．21D ．12．复数z =ii-+23的幅角主值是（） A ．0 B ．4π C ．2π D ．43π3．设n 为整数，则Ln （-ie ）=（）A ．1-2πi B ．)22(πn π-i C ．1+)i π(n π22-D ．1+i π(n π)22+4．设z =x +iy .若f (z )=my 3+nx 2y +i (x 3-3xy 2)为解析函数，则（） A ．m =-3,n =-3 B ．m =-3,n =1 C ．m =1,n =-3 D ．m =1,n =15．积分⎰=2iiπz dz e （）A ．)1(1i +πB ．1+iC ．πi2 D ．π26．设C 是正向圆周,11=-z 则⎰-C dz z z 1)3/sin(2π=（）A ．i π23-B ．i π3-C ．i π43D ．i π237．设C 是正向圆周3=z ，则⎰-Cdz z z 3)2(sin π=（） A ．i π2- B ．i π- C ．i π D ．2i π 8．点z =0是函数)1(sin )1()(2--=z z ze zf z 的（）A ．可去奇点B ．一阶极点C ．二阶极点D ．本性奇点9．函数)3)(2()(-+=z z zz f 在1=z 的泰勒展开式的收敛圆域为（）A ．z ＜2B ．1-z ＜2C ．z ＜3D ．1-z ＜3 10．设)1(sin )(2z z zz f -=,则Res[f (z ),0]=（）A ．-1B ．-21 C ．21D ．1二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分） 11．复数-1-i 的指数形式为__________.12．设z =x +iy 满足x -1+i (y +2)=(1+i )(1-i )，则z =__________. 13．区域0<arg z<4π在映射w =z 3下的像为__________.14．设C 为正向圆周,2=z 则⎰=-Czdz z e 12__________. 15．函数)1(1)(2z z z f -=在圆环域0<z <1内的罗朗展开式为__________.16．设)1()(1-=ze z zf ,则Res[f (z ),0]=__________.三、计算题（本大题共8小题，共52分）17．（本题6分）将曲线的参数方程z =3e it +e -it （t 为实参数）化为直角坐标方程. 18．（本题6分）设C 是正向圆周⎰+-=-C zdz z z e z .23,2112计算19．（本题6分）求0)2)(1()(=-+=z z z zz f 在处的泰勒展开式，并指出收敛圆域. 20．（本题6分）求)2)(1(12)(+-+=z z z z f 在圆环域1<z <2内的罗朗展开式.21．（本题7分）计算z =(1+i )2i 的值.22．（本题7分）设v (x ,y )=arctan )(),0(z f x xy>是在右半平面上以v (x ,y )为虚部的解析函数，求f (z ).23．（本题7分）设C 是正向圆周2=z ，计算.)1(2dz z z e I Cz⎰-=24．（本题7分）设C 是正向圆周1=z ，计算⎰+=C dz zz I .2sin )1(2 四、综合题（下列3个小题中，第25题必做，第26、27题中只选做一题。

复变函数复习题

山东理工大学成人高等教育复变函数复习题一、选择题1.方程|z+2-3i|=√2所代表的曲线是（）。

A.中心为2-3i，半径为√2的圆周B.中心为-2+3i，半径为2的圆周C.中心为-2+3i，半径为√2的圆周D.中心为2-3i，半径为2的圆周2.设函数f(z)在区域D内有定义，则下列命题中，正确的是( )。

A.若|f(z)|在D内是一常数，则f(z)在D内是一常数B.若Ref(z)在D内是一常数，则f(z)在D内是一常数C.若f(z)与f(z)的共轭在D内解析，则f(z)在D内是一常数D.若)(argzf在D内是一常数，则)(zf在D内是一常数3.设f(z)=sinz，则下列命题中，不正确的是( )。

A.f(z)在复平面上处处解析B.f(z)以2π为周期C.f(z)=（e iz-e-iz）/2D.f(z)是无界的4.Z=0是函数sinz/z3的（）。

A.可去奇点B.三级极点C.二级极点D.本性奇点5.方程|z+3|+|z+1|=4表示的图形是（）。

A.双曲线B.椭圆C.直线D.圆6.设C为椭圆x2+4y2=1，则积分1/zdz=( )。

A.2πiB.πC.0D.-2πi7.z=0是f(z)=sinz2/z的（）。

A.木性奇点B.极点C.连续点D.可去奇点8.对于幂级数，下列命题中正确的是（）。

A.在收敛圆内，其条件收敛B.在收敛圆内，其绝对收敛C.在收敛圆上，其处处收敛D.在收敛圆上，其出处发散9.在复平面内，关于sinz的命题中，错误的是（）。

A.sinz是周期函数B. sinz是解析函数C.| sinz|<=1D. (sinz)’=cosz10.复数z=(1+i)/(2-i)在第( )象限。

A.一B.二C.三D.四11.复数z=i2010+i2011的幅角argz等于( ) 。

A. π/4B.3π/4C.-3π/4 D-π/412.下列函数不是全平面的解析函数的是( ) 。

A.e2z2+1B.cos(3z2+1)C.1/(z2+2)D.sin2(3z+1)13.设c: |z|=1,下列复积分的值不等于零的是( ) 。

大学复变函数复习题+答案

《复变函数和积分变换》一．（本题30分，其每小题各3分）1. 方程()t i 1z +=（t 为实参数）给出的曲线是；2. 复数3i 1+的指数形式是 ____3. 计算34-________4.函数()224z z 1z +-，z=0为级极点，2i z ±=为级极点5. 若∑==0n n n 2nz )(z f ，则其收敛半径； 6.计算留数：⎪⎭⎫⎝⎛0,z cosz Res 3 ；7. 函数()()()y ,x iv y ,x u z f +=在()y ,x z =可微的充要条件为 _____8. 曲线y x :=C 在映射z1)(=z f 下的像是_______ 9. C 为以a 为圆心，r 为半径的圆周，计算()⎰-Cna z dz（n 为正整数）；10. 判断n1n 25i 1∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛+的敛散性 .二、计算题（25分，每小题各5分）(1)、计算积分⎰CRezdz 其中积分路径C 为： ①连接由原点到1+i 的直线段；②连接由原点到点1的直线段及连接由点1到点1+i 的直线段所组成的折线.(2)、已知：()()3z e 1zsinzz f -=求：]0),z (f [Re s(3)、计算()()10dz z 1ln rz <<+⎰=r 4）、计算()()dz i z z 9zC2⎰+-，其中2||=z C 为正向圆周：。

（5）计算dz e 1z z 12⎰=.三、求积分()dz 1z z e 4z 22z⎰=-（7分）四、求解析函数),(),()(y x v y x u z f +=，已知()233x y x y ,x u -= ，且()i 0f =. （7分）五、验证()()0x xyarctgy ,x v >=在右半z 平面内满足Laplace 方程，即0,0=∆=∆ψϕ；其中22yx ∂∂+∂∂=∆，并求以此为虚部的解析函数()z f .（8分六、（8分）求函数()()()2z 1z 1z f --=分别在如下区域展成洛朗展式（1）.1|1|0<-<z （2）0<2z -<1.七、求实轴在映射iz 2i+=ω下的象曲线（8分）八、求函数()()0t 0,t 1,t f >⎪⎩⎪⎨⎧>≤=δδδ的傅立叶变换（7分）答案一、(1)直线y=x (2)i32k 2e⎪⎭⎫ ⎝⎛+ππ (3)一;二 (4)()()3i 12;2;3i 12313231--+--(5)2 (6)21- (7)①函数u(x,y),v(x,y)在(x,y)可微 ②u(x,y),v(x,y)在(x,y)满足C.-R.条件.即x y y x v u ,v u -==. (8)x=-y (9)⎩⎨⎧>=1n ,01n ,i 2π (10发散二、(1) ①连接原点到点1+i 的直线段的参数方程为： z=(1+i)t 1)t (0≤≤故 ⎰CRezdz =()[]{}()dt i 1t i 1Re 10++⎰ =()⎰+1tdt i 1=2i 1+ ②连接由原点到点1的直线段的参数方程为: z=t 1)t (0≤≤,连接由点1到点1+i 的直线段参数方程为: z=(1-t)+(1+i)t 1)t (0≤≤,即 z=1+it 1)t (0≤≤,故 ⎰C Rezdz =()[]⎰⎰++101idt it 1Re Retdt =⎰⎰+110dt i tdt =i 21+ (2)由题可知被积函数只有z=0一个奇点。

复变函数练习题考试复习题

一. 填空（每题4分，共40分）1．θθsin cos 1i +-的指数形式： ()22sin 2θπθ-⋅⎪⎭⎫⎝⎛i e2 ()=++i i 143()()[]()[][]34arctan 5ln sin 34arctan 5ln cos 5234arctan +++--i e k π3 ()=-i 3tan ()3sin 1226sin 22--ch ish4 函数()()232333xy x i y x y z f -+-=解析，则则()='z f ()22336y x i xy -+-5 =++⎰=1222z z z dz0 6()()()⎰==--+21031z z z i z dz()103i i+-π7 函数()()()ze z z zf π++=112的奇点：iz ±=，二级极点；() ,2,1,12±=+=k i k z k 为一级极点（说出类型，如果是极点，则要说明阶数）8 将函数()z z f 2sin =展开为z 的幂函数：()()()+∞<-=∑∞=-+z z n z f nn n n ,!221211219 设194:22=+y x C 的正向，求积分()=-⎰-dz e z C z 1111/2 10 Res [,132z e z- 0 ]= －2 选择题（每题4分，共20分）1 0=z 是函数()ze z zf 12=的【】A 一级极点B 本性奇点C 可去奇点D 零点 2 函数bw z =（n n b 1,≠；b 为复常数）的解析区域是：【】A 复平面B 扩充复平面C 除去原点的复平面D 除去原点与负实轴的复平面3 设C 为正向圆周2=z ，则积分()⎰-C z z dz231的值为【】 A 4 B i π6 C 0 D i π84 函数()1368(1)(1)z f z z z =-+在复平面上的所有有限奇点处留数的和：【】A 4B 1C －1D 25 分式线性映射()z f w =将上半平面()0Im >z 映为上半平面()0Im >w ，()i i w =2,()10='w ,则映射()z f w =可能为：【】A ()112+-+=z z z f , B ()22+-+=z iz z f , C ()22+-+=z z z f , D ()iz iz z f 22+-+=三设函数()z f 在0z z =连续，且()00≠z f ，求证:可以找到0z 的一个邻域，使函数()z f 在此邻域的内取值不为零。

《复变函数》期末复习题及答案

复变函数复习题及答案一、判断题(红色的是错误的)1.0的幅角为0.2.i i 2<.3.z z ln 2ln 2=. 4.Lnz Lnz 22=.5.Lnz z Ln 21=. 6.0=-Lnz Lnz .7.z z Re ||>. 8.z z z Im Re ||+≤.9.Lnz Lnz z Lnz Lnz +=+=ln 2.10.函数()()231z z f +=在复平面内没有奇点. 11.若0z 是函数()z f 的奇点，则()0/z f不存在.12.设()y x v ,是()y x u ,的共轭调和函数，函数则()y x u ,也是()y x v ,的共轭调和函数. 13．设()y x v ,是()y x u ,的共轭调和函数，则22v u +一定是调和函数.14.函数()zzz f =的奇点只有一个0=z . 15.设C 是不经过原点的简单闭曲线，则⎰=Cdz z 012. 16.解析函数的导数还是解析函数. 17.Argz nArgz n11=. 18.1|cos |≤z . 19.1cos sin 22=+z z .20.∑+∞==-011n n z z .21.0sin lim=∞→zzz .22.若c z f z z =→)(lim 0，则z 0是函数的可去奇点.23.若函数f (z )在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. 24. 若∞=z 是函数)(z f 的可去奇点，则[]0),(Re =∞z f s .25. 设0z 是)(z f 的孤立奇点,如果∞=→)(lim 0z f z z ,则0z 是)(z f 的极点.二、选择题1．下列各式中表示有界区域的是（ C ）.A.0Re >zB.0Im >zC.2|2|<-zD.2||>z 2．在映射2z w =下，双曲线122=-y x 在w 平面上的象是（A ）. A.平行于u 的直线 B.平行于v 的直线 C.双曲线 D.圆3.方程2|||1|=+++i z z 所表示的曲线是（ B ）.A ．圆 B.椭圆 C ．双曲线 D.直线4.下列方程中表示直线的是（ C ）.A.1Re 2=z B.1=z z C.1=+z z D.1||||=+z z5.复数iiz -+=21在第（ A ）象限. A.一 B.二 C.三 D.四 6．=Lni ( A )，其中k 是整数. A.i k ⎪⎭⎫⎝⎛+ππ22 B.i k ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-ππ22 C.i k ⎪⎭⎫ ⎝⎛+ππ24 D. i k ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-ππ24 7．对于幂级数，下列命题中正确的是（ B ）.A.在收敛圆内，其条件收敛B.在收敛圆内，其绝对收敛C.在收敛圆上，其处处收敛 D 在收敛圆上，其处处发散8．0=z 是()zz z f 2sin =的（ D ）.A.本性奇点B.极点C.连续点D.可去奇点 9．在复平面内，关于z sin 的命题中，错误的是（ C ）.A.z sin 是周期函数B.z sin 是解析函数C.1|sin |≤zD.()z z cos sin /=10．设C 为正向曲线1||=z ，则()=--⎰Ci z dz21( A ).A.0B.iπ1C.i πD. i π2 11．设()zz z z f 222-+=，则()[]=0,Re z f s ( C ).A.0B.1C.1-D. 212.函数()zz f 1=将z 平面上的曲线1=x 映射成w 平面内的一条（ A ）. A ．圆 B.椭圆 C ．双曲线 D.直线13. 下列积分中，值不为零的是（ D ）（其中C 是正向曲线1||=z ）. A.⎰Czdz B.⎰C dz z z sin C.()⎰-C dz z z 5.01 D.()⎰-Cdz z z 2114. 下列级数中，绝对收敛的级数为（ D ）. A.∑∞=1n )1(1n i n + B.∑∞=1n ]2)1([n n i n +- C.∑∞=2n n i n ln D. ∑∞=1n nni 2 15. 2lim1n n nini→∞+-=（ A ）.A.12i -+B.12i +C.2i +D.∞16. 0=z 为函数()()zz z z z f 1sin11)(+-=的（ A ）.A.非孤立奇点B.极点C.本性奇点D.可去奇点17.下列式子中成立的是（ D ）.A.i i 2<B.1sin ≤zC.z z ln 2ln 2=D.z Lnz Lnz ln 2+=18.若幂级数∑+∞=0n nn z c 在点12i +收敛，则∑+∞=1n nn n z c 在点2=z 处的敛散性为（ A ）.A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.不能确定(∑+∞=1n nn n z c 与∑+∞=0n n n z c 收敛半径是一样的，再根据阿贝尔定理)19.0=z 是函数()zzz f 1sin =的（ D ）.A.可去奇点B.极点C.本性起点D.非孤立奇点 20.下列级数中条件收敛的是（ B ）.A. nn i ∑∞+=⎪⎭⎫⎝⎛+021 B. ∑+∞=0n n n i C. ∑+∞=02n n n i D. ∑+∞=+021n n n i21.下列级数绝对收敛的是（ B ）.()()()()()221111112nnnn n n n i i i A B C i D nnn ∞∞∞∞====⎛⎫++⎪⎝⎭∑∑∑∑22、级数∑∞=++-111)1(n n n nz 的收敛半径R 和和函数为（ B ）. A.1),1ln(=+R z B.1),1ln(=+R z z C.1),1ln(=-R z D.1),1ln(=-R z z （∑∞=++-111)1(n n n n z =∑⎰∑∑∞=∞=++∞=+-=+-=-0001211d )1(1)1()1(n z n nn n n n n n z z z n z z n z z()z z dz zz dz z z z z zzz n n n znn +=+=-=-=⎰⎰∑∑⎰∞=∞=+1ln 11)(d )1(001) 23.设C 为椭圆1422=+y x ，则积分⎰Cz z d 1= （ A ）. A.i π2 B.π C.0 D.i π2-24.设),(y x v 在区域D 内为),(y x u 的共轭调和函数，则( B )为D 内解析函数.A.),(),(y x iu y x v +B.),(),(y x iu y x v -C.),(),(y x iv y x u -D.xvi x u ∂∂-∂∂ 25. 级数∑∑+∞=+∞=+01n n nn n n bz z a b a ,(是复常数），则其收敛域是（ D ）.A.||||a z <B.||||b z <C.+∞<<||0zD.当||||b a <时||||||b z a << 三、填空题 1．设42πiez -=，则=z Re 12． ()()112-+=z z z z f 在奇点0=z 附近的洛朗级数的收敛圆环域为1||0<<Z .3．方程0=chz 的根是i k π⎪⎭⎫ ⎝⎛+21 4．=-⎰=1||12sin z dz z zπ____i π_________. 5． =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0,sin Re 4z z z s 61. 6．=⎰=1||z dz z i π2.7． ()()by x i ay x z f +++=在复平面内解析，则=a 1-,=b 1 .8.设i e z +=1，则=z Im i k ⎪⎭⎫⎝⎛+24π；9.函数2z w =将z 平面内的曲线222=-y x 映射成w 平面内曲线的方程为2=u . 10.=⎰+idz z 102()3131i +. 11.设()12-=z ze z f z，则()=0///f__-９_____________.(()12-=z ze z f z zz z e zz e z z z ze 222111--=-=-= ()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++++-=...!31 (3)253z z z z z z z = (2)332----=z z z ()()()()()32///!3002100z f z f z f f z f '''+++=所以()()9!3230,23!30-=-='''-='''f f ） 12.设()∑+∞=-=+02111n nn z c z ，则此幂级数的收敛半径是2 .13.=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+0,1sin Re 6z chz z s 1201. 14.=-⎰=3||24z dz z i π2 15. =⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞+,11Re 3z s ___０_______. 16. 设i z 22-=,则z arg =4π-,z ln =i 48ln π-.17.dz zez z⎰=11= i π18.设i z 432+=，则=||z 5.19. 若函数23),(axy x y x u +=为某一解析函数的虚部，则常数=a ____－３ .20. 0=z 是函数()121sin z e z z f z --=的__10__级极点.21. =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∞,Re 1z e 0 .22.函数()4ln 2-=z zz f 的奇点的集合是}2{]0,( -∞ 23. 若n n ni n n z )11(12++-+=，则=∞→n z n lim __-1+ie________. 24.()1-=z zz f 将区域2||=z 映射成___________________.25. z=0为()()122-=z e z z f 的 4 级零点.四、计算题1. 计算()i -1ln ，()1sin -i π和21的值解：()()i i i i i 42ln 211arg |1|ln 1ln π-=-+-=- ()i ee sh i ch i 211cos 1sin sin 2--=+=+πππ（()xshy i xchy iy x cos sin sin +=+）()()ππππ2sin 2cos 12)1(ln 2122i eeeii Ln +====+2. 求解析函数()iv u z f +=其中()01,22=+=f y x yu解：()()()222222222/2ziy xy x iy x xy y u i x u z f =+-++=∂∂-∂∂= ()()c zidz z fz f +-==⎰/由()01=f 得到，i c = 3. 求满足方程i y iix 21+=++的x 和y 的值。

复变函数考题及答案

复变函数考题及答案【篇一：复变函数试题与答案】>一、选择题1．当z?1?i时，z100?z75?z50的值等于（） 1?i（a）i （b）?i（c）1 （d）?12．设复数z满足arc(z?2)??3，arc(z?2)?5?，那么z?（） 61331?i （d）??i 2222（a）?1?3i （b）?3．复数z?tan??i(3?i （c）??????)的三角表示式是（） 2 ???)?i??)] （b）sec?（a）sec22??3?3???)?i??)] 22?（c）?sec3?3?????)?i??)]（d）?sec???)?i??)] 2222224．若z为非零复数，则z?与2z的关系是（）2222（a）z??2z （b）z??2z22（c）z??2z （d）不能比较大小５．设x,y为实数，则动点(x,y)z1?x??yi,z2?x??yi且有z1?z2?12，的轨迹是（）（a）圆（b）椭圆（c）双曲线（d）抛物线６．一个向量顺时针旋转?3，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为1?3i，则原向量对应的复数是（）（a）2（b）1?i （c）3?i （d）3?i1７．使得z2?z成立的复数z是（） 2（a）不存在的（b）唯一的（c）纯虚数（d）实数８．设z为复数，则方程z??2?i的解是（）（a）?3333?i （b）?i （c）?i （d）??i 4444９．满足不等式z?i?2的所有点z构成的集合是（） z?i（a）有界区域（b）无界区域（c）有界闭区域（d）无界闭区域10．方程z?2?3i?2所代表的曲线是（）（a）中心为2?3i，半径为2的圆周（b）中心为?2?3i，半径为２的圆周（c）中心为?2?3i，半径为2的圆周（d）中心为2?3i，半径为２的圆周11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（）（a）z?1?2 （b）z?3?z?3?4 z?2z?a?1(a?1) （d）z?a?z?a?c?0(c?0) 1?az（c）12．设f(z)?1?,z1?2?3i,z2?5?i,，则f(z1?z2 ）（a）?4?4i（b）4?4i（c）4?4i（d）?4?4i13．limim(z)?im(z0)（） x?x0z?z0（a）等于i（b）等于?i（c）等于0（d）不存在14．函数f(z)?u(x,y)?iv(x,y)在点z0?x0?iy0处连续的充要条件是（）（a）u(x,y)在(x0,y0)处连续（b）v(x,y)在(x0,y0)处连续（c）u(x,y)和v(x,y)在(x0,y0)处连续（d）u(x,y)?v(x,y)在(x0,y0)处连续 2z2?z?115．设z?c且z?1，则函数f(z)?的最小值为（） z （a）?3 （b）?2（c）?1 （d）1二、填空题1．设z?(1?i)(2?i)(3?i)，则z? (3?i)(2?i)2．设z?(2?3i)(?2?i)，则argz?3．设z?,arg(z?i)?3?，则z? 4(cos5??isin5?)24．复数的指数表示式为 2(cos3??isin3?)5．以方程z?7?i的根的对应点为顶点的多边形的面积为６．不等式z?2?z?2?5所表示的区域是曲线的内部 6７．方程2z?1?i?1所表示曲线的直角坐标方程为2?(1?i)z８．方程z?1?2i?z?2?i所表示的曲线是连续点和的线段的垂直平分线９．对于映射??2i22，圆周x?(y?1)?1的像曲线为 z410．lim(1?z?2z)? z?1?i三、若复数z满足z?(1?2i)z?(1?2i)?3?0，试求z?2的取值范围．四、设a?0，在复数集c中解方程z2?2z?a.五、设复数z??i，试证z是实数的充要条件为z?1或im(z)?0. 21?z3六、对于映射??11(z?)，求出圆周z?4的像. 2z七、试证１.z1?0(z2?0)的充要条件为z1?z2?z1?z2； z2z1?0(zj?0,k?j,k,j?1,2,?,n))的充要条件为 z2２.z1?z2???zn?z1?z2???zn.八、若limf(z)?a?0，则存在??0，使得当0?z?z0??时有f(z)?x?x01a. 2九、设z?x?iy，试证x?y2?z?x?y.十、设z?x?iy，试讨论下列函数的连续性： ?2xy,z?0?1.f(z)??x2?y2 ?0,z?0??x3y?,z?02.f(z)??x2?y2.?0,z?0?第二章解析函数一、选择题：1．函数f(z)?3z在点z?0处是( )（a）解析的（b）可导的（c）不可导的（d）既不解析也不可导2．函数f(z)在点z可导是f(z)在点z解析的( )4 2（a）充分不必要条件（b）必要不充分条件（c）充分必要条件（d）既非充分条件也非必要条件3．下列命题中，正确的是( )（a）设x,y为实数，则cos(x?iy)?1（b）若z0是函数f(z)的奇点，则f(z)在点z0不可导（c）若u,v在区域d内满足柯西-黎曼方程，则f(z)?u?iv在d内解析（d）若f(z)在区域d内解析，则在d内也解析4．下列函数中，为解析函数的是( )（a）x2?y2?2xyi（b）x2?xyi（c）2(x?1)y?i(y2?z?x20?2x)（d）x3?iy35．函数f(z)?z2im(z)在处的导数( )（a）等于0 （b）等于1 （c）等于?1（d）不存在6．若函数f(z)?x2?2xy?y2?i(y2?axy?x2)在复平面内处处解析，那么实常数a?( )（a）0（b）1（c）2（d）?27．如果f?(z)在单位圆z?1内处处为零，且f(0)??1，那么在z?1内f(z)?( )（a）0（b）1（c）?1（d）任意常数8．设函数f(z)在区域d内有定义，则下列命题中，正确的是（a）若f(z)在d内是一常数，则f(z)在d内是一常数（c）若f(z)与f(z)在d内解析，则f(z)在d内是一常数（d）若argf(z)在d内是一常数，则f(z)在d内是一常数9．设f(z)?x2?iy2，则f?(1?i)?( )5【篇二：复变函数期末考试复习题及答案详解】=txt>1、 ?|z?z?1(z?z)n?0|__________.（n为自然数） 022.sinz?cos2z? _________.3.函数sinz的周期为___________.f(z)?14.设z2?1，则f(z)的孤立奇点有__________.?5.幂级数?nzn的收敛半径为__________.n?06.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________. lim 1?z2?...?zn7.若nlim??zn??z，则n??n?______________.zres(ezn,0)?8.________，其中n为自然数.9. sinzz的孤立奇点为________ .limf(10.若z0是f(z)z?zz)?___的极点，则0.三.计算题（40分）：f(z)?11. 设(z?1)(z?2)，求f(z)在d?{z:0?|z|?1}内的罗朗展式.1dz2. ?|z|?1cosz.2??13. 设f(z)??3??7c??zd?，其中c?{z:|z|?3}，试求f(1?i).w?z?14. 求复数z?1的实部与虚部.四. 证明题.(20分) 1. 函数f(z)在区域d内解析. 证明：如果|f(z)|在d内为常数，那么它在d内为常数.2. 试证: f(z)在割去线段0?rez?1的z平面内能分出两个单值解析分支, 并求出支割线0?rez?1上岸取正值的那支在z??1的值.《复变函数》考试试题（二）二. 填空题. (20分)1. 设z??i，则|z|?__,argz?__,?__2.设f(z)?(x2?2xy)?i(1?sin(x2?y2),?z?x?iy?c，则zlim?1?if(z)?________.3.?dz|z?z0|?1(z?zn?_________.（n为自然数）0)?4. 幂级数?nzn的收敛半径为__________ .n?05. 若z0是f(z)的m阶零点且m0，则z0是f(z)的_____零点.6. 函数ez的周期为__________.7. 方程2z5?z3?3z?8?0在单位圆内的零点个数为________.8. 设f(z)?11?z2，则f(z)的孤立奇点有_________.9. 函数f(z)?|z|的不解析点之集为________.10. res(z?1z4,1)?____. 三. 计算题. (40分)1. 求函数sin(2z3)的幂级数展开式. 2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点z?i处的值.i3. 计算积分：i???i|z|dz，积分路径为（1）单位圆（|z|?1）的右半圆.sinzz?24. 求(z?dz)22.四. 证明题. (20分)1. 设函数f(z)在区域d内解析，试证：f(z)在d内为常数的充要条件是f(z)在d内解析.2. 试用儒歇定理证明代数基本定理.《复变函数》考试试题（三）二. 填空题. (20分) 1. 设f(z)?1z2?1，则f(z)的定义域为___________. 2. 函数ez 的周期为_________.3. 若zn?21?n?i(1?1n?n)n，则limn??zn?__________.4. sin2z?cos2z?___________.dz5. ?|z?z?0|?1(z?zn_________.（n为自然数） )?6. 幂级数?nxn的收敛半径为__________.n?07. f(z)?1设z2?1，则f(z)的孤立奇点有__________.8. 设ez??1，则z?___. 9. 若z0是f(z)的极点，则limz?zf(z)?___.z10. res(ezn,0)?____.三. 计算题. (40分)11. 将函数f(z)?z2ez在圆环域0?z??内展为laurent级数.??2. 试求幂级数?n!nzn的收敛半径. n?n3. 算下列积分：?ezdzcz2(z2?9)，其中c是|z|?1.4. 求z9?2z6?z2?8z?2?0在|z|1内根的个数.四. 证明题. (20分) 1. 函数f(z)在区域d内解析. 证明：如果|f(z)|在d内为常数，那么它在d内为常数.2. 设f(z)是一整函数，并且假定存在着一个正整数n，以及两个正数r及m，使得当|z|?r时|f(z)|?m|z|n，证明f(z)是一个至多n次的多项式或一常数。

总复习题(复变)

《复变函数与积分变换》总复习题一、填空1.=+-4)i1i 1( 。

2. 2z 1lim 1+z →∞= 。

3. 已知虚数8z 3=，则=+++22z z z 23 。

4. i 31z 1+-=，i 1z 2+-=，=21z argz 。

5.=+3)i 31( 。

6. 区域就是。

7.函数)y ,x (iv )y ,x (u )z (f +=在区域D 内解析的充分必要条件是：)y ,x (u 和)y ,x (v 在D 内任一点iy x z +=可微，而且满足柯西—黎曼方程即。

8. 如果函数)z (f 在0z 及其邻域内处处可导，则称)z (f 在0z 。

9.没有重点的连续曲线C ，称为曲线（或若尔当曲线）。

10. 复平面加上无穷远点称为。

11. 若()f z 在0z 不解析，则称0z 为()f z 的。

12. 如果函数()f z 在单连通域D 内处处解析，那么()f z 沿D 内的任意一条封闭曲线C 的积分()Cf z dz =⎰Ñ 。

13.+=lnz Lnz 。

14. 如果二元实函数)y ,x (ϕ在区域D 内有二阶连续偏导数，且满足二维拉普拉斯方程0yx 2222=∂∂+∂∂ϕϕ，则称)y ,x (ϕ为区域D 内的。

15. 复变函数)y ,x (iv )y ,x (u )z (f +=在区域D 内解析的充要条件为：在区域D 内，)z (f 的虚部)y ,x (v 是实部)y ,x (u 的。

16. 3i2e-的辐角主值为。

17. 一个解析函数在圆心处的值等于它在上的平均值。

18. 如果函数)z (f 在单连通域B 内处处解析，那么函数)z (f 沿B 内的任何一条封闭曲线C 的积分为_____________________。

19. 设函数)z (f 在区域D 内解析，且)z (f 不是常数，则在D 内)z (f 最大值。

20. 在区域D 内解析的函数，若其模在D 的内点达到最大值，则此函数必恒为。

复变函数复习题答案

复变函数复习题答案1. 复数的代数形式是什么？复数的代数形式为 \( z = a + bi \)，其中 \( a \) 和 \( b \) 是实数，\( i \) 是虚数单位，满足 \( i^2 = -1 \)。

2. 复数的模和辐角的定义是什么？复数 \( z = a + bi \) 的模定义为 \( |z| = \sqrt{a^2 + b^2} \)，辐角定义为 \( \arg(z) = \tan^{-1}\left(\frac{b}{a}\right) \)（考虑主值）。

3. 复数的乘法和除法如何进行？两个复数 \( z_1 = a_1 + b_1i \) 和 \( z_2 = a_2 + b_2i \) 的乘法为：\[ z_1 \cdot z_2 = (a_1a_2 - b_1b_2) + (a_1b_2 + a_2b_1)i \]除法为：\[ \frac{z_1}{z_2} = \frac{(a_1 + b_1i)(a_2 - b_2i)}{a_2^2 +b_2^2} \]4. 复数的共轭是什么？复数 \( z = a + bi \) 的共轭为 \( \overline{z} = a - bi \)。

5. 复数的实部和虚部如何表示？复数 \( z = a + bi \) 的实部表示为 \( \Re(z) = a \)，虚部表示为 \( \Im(z) = b \)。

6. 复数的指数形式和对数形式是什么？复数的指数形式为 \( z = |z|e^{i\arg(z)} \)，对数形式为\( \log(z) = \ln|z| + i\arg(z) \)。

7. 复变函数的导数定义是什么？设 \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处可导，则导数定义为：\[ f'(z_0) = \lim_{\Delta z \to 0} \frac{f(z_0 + \Delta z) -f(z_0)}{\Delta z} \]8. 柯西-黎曼方程是什么？对于复变函数 \( f(z) = u(x, y) + iv(x, y) \)，柯西-黎曼方程为：\[ \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \]\[ \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partialv}{\partial x} \]9. 复变函数的积分定义是什么？复变函数 \( f(z) \) 在曲线 \( C \) 上的积分定义为：\[ \int_C f(z) \, dz = \int_C (u(x, y) + iv(x, y)) \, (dx + idy) \]10. 留数定理的内容是什么？留数定理指出，对于在简单闭合曲线 \( C \) 内部及其上除了有限个奇点外处处解析的函数 \( f(z) \)，其在 \( C \) 上的积分可以表示为：\[ \int_C f(z) \, dz = 2\pi i \sum \text{Res}(f, z_k) \]其中 \( z_k \) 是 \( f(z) \) 在 \( C \) 内部的奇点，\( \text{Res}(f, z_k) \) 是 \( f(z) \) 在 \( z_k \) 处的留数。

复变函数期末考试分章节复习题

第一章复习题1. 设z=1+2i ，则Im z 3=（） A. -2 B. 1 C. 8 D.142. z=2-2i ，|z 2|=（） A. 2 B.8 C. 4 D. 83. z=(1+cost)+i(2+sint),0≤t<2π所表示的曲线为（） A.直线B.双曲线C.抛物线D.圆4. 设z=x+iy,则（1+i ）z 2的实部为（） A.x 2-y 2+2xyB.x 2-y 2-2xyC.x 2+y 2+2xyD.x 2+y 2-2xy5. arg(2-2i)=（） A.43π-B.4π-C.4πD.43π 6．设2,3z w i z =+=,则（） A ．3arg π=w B ．6arg π=w C ．6arg π-=wD ．3arg π-=w7．设z 为非零复数，a ,b 为实数，若ib a zz+=_，则a 2+b 2的值（）A ．等于0B ．等于1C ．小于1D ．大于18．设11z i=-+，则z 为（） A ．21i +- B ．21i -- C ．21i - D ．21i + 9. 设z=x+iy ，则|e 2i+2z |=（）A. e 2+2xB. e |2i+2z|C. e 2+2zD. e 2x 10. Re(e 2x+iy )=（）A. e 2xB. e yC. e 2x cosyD. e 2x siny11. 包含了单位圆盘|z|<1的区域是（） A.Re z<-1 B.Re z<0 C.Re z<1D.Im z<012. 复数方程z=3t+it 表示的曲线是（） A.直线 B.圆周 C.椭圆 D.双曲线13 .下列集合为无界多连通区域的是（）A.0<|z-3i|<1B.Imz>πC.|z+ie|>4D.π<<π2z arg 2314.复数方程z=cost+isint 的曲线是（） A.直线 B.圆周 C.椭圆 D.双曲线15.下列集合为有界单连通区域的是（） A.0<|z-3|<2 B.Rez>3 C.|z+a|<1D.π≤<πargz 2116．下列集合为有界闭区域的是（） A ．0< arg (z+3)≤2πB ．Re (z-i)<1C ．1≤Imz ≤2D ． 1≤||z i -≤417. arg(3-i)=___________.18. arg (-1+3i )= .19. 若i3i1z -+=，则z =___________.20．设i z 101103+-=，则=_z ____________.21. 若z 1=e 1+i π,z 2=3+i ，则z 1·z 2=________.22. 复数1-3i 的三角表达式是_________________.23. 求方程z 3+8=0的所有复根. 24. 解方程z 4=-1.25 计算复数z=327-的值.26．求z =（-1+i ）6的共轭复数z 及共轭复数的模|z |.27．设复数)2)(1(--=i i iz（1）求z 的实部和虚部；（2）求z 的模；（3）指出z 是第几象限的点. 28．设t 为实参数，求曲线z=re it +3 (0≤t ＜2π的直角坐标方程. 29．设iy x z +=.将方程1Re ||=+z z 表示为关于x ,y 的二元方程，并说明它是何种曲线.30．用θcos 与θsin 表示θ5cos ．第二章复习题1. ln(-1)为（） A.无定义的B.0 C .πi D.(2k+1)πi(k 为整数)2．=i 2ln （） A ．2ln B ．i 22ln π+C ．i 22ln π-D ．i i 2Arg 2ln +3．Ln(-4+3i)的主值是（） A .ln5+i(-π-arctg 43) B .ln5+i(π-arctg 43) C .ln5+i(-π-arctg 34)D .ln5+i(π-arctg 34)4. 设z=x+iy ，解析函数f(z)的虚部为v=y 3-3x 2y ，则f(z)的实部u 可取为（） A.x 2-3xy 2B.3xy 2-x 3C.3x 2y-y 3D.3y 3-3x 35. 设f(z)=e x (xcosy+aysiny)+ie x (ycosy+xsiny)在Z 平面上解析，则a=（） A. -3 B. -1 C. 1 D. 36. 设f(z)=x 3-3xy 2+(ax 2y-y 3)i 在Z 平面上解析，则a=（） A. -3 B. 1 C. 2 D. 37. 若f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在Z 平面上解析，u(x,y)=x 2-y 2+x ，则v(x,y)=（） A.xy+x B.2x+2y C.2xy+y D.x+y 8. 若f(z)=u(x ，y)+iv(x ，y)在Z 平面上解析，v(x,y)=e x (ycosy+xsiny)，则u(x ，y)=（）A. e x (ycosy-xsiny)B. e x (xcosy-xsiny)C. e x (ycosy-ysiny)D. e x (xcosy-ysiny)9. 设v(x,y)=e axsiny 是调和函数，则常数a=（）A. 0 B. 1 C.2 D.310. 设f(z)=z 3+8iz+4i ，则f ′(1-i)=（） A. -2i B. 2i C. -2D. 211．正弦函数sinz=（）A ．i e e iz iz 2-- B ．2iziz ee --C ．i e e iz iz 2-+D ．2iziz e e -+12. 对数函数w=ln z 的解析区域为___________. 13．已知f(z)=u+iv 是解析函数，其中u =)ln(2122y x +,则=∂∂y v .14. 若sinz=0，则z=___________. 15. 若cosz=0，则z=________. 16．方程i z 31ln π+=的解为____________. 17. tgz 的所有零点为_________________.18. 设f(z)=x 2+axy+by 2+i(-x 2+2xy+y 2)为解析函数，试确定a ，b 的值.19．设)()(2323y cx y i bxy ax z f +++=为解析函数，试确定a,b,c 的值. 20. 设f(z)=my 3+nx 2y+i(x 3-3xy 2)为解析函数，试确定m 、n 的值.21．函数f(z)=x2-y2-x+i(2xy-y2)在复平面上何处可导？何处解析？22. 已知调和函数v=arctg xy,x>0，求f ′(z)，并将它表示成z 的函数形式. 23．设),(),()(y x iv y x u z f +=是解析函数，其中xy x y y x u 2),(22--=，求),(y x v .24.设u=x 2-y 2+xy 是解析函数f(z)的实部，其中z=x+iy.求f ′(z)并将它表示成z 的函数形式. 25.设v=e ax siny ，求常数a 使v 成为调和函数.26.已知调和函数u=(x-y)(x 2+4xy+y 2)，求f ′(z)，并将它表示成z 的函数形式.27．设u=e 2x cos 2y 是解析函数f(z)的实部，求f(z).28．已知z ≠0时，22x yu x y -=+为调和函数，求解析函数()f z u iv =+的导数f ′(z)，并将它表示成z 的函数形式．29．求方程sin z +cos z =0 的全部根.第三章复习题1.设C 为正向圆周|z|=1，则⎰=C2zdz （）A. 0 B. 1 C.πiD. 2πi2.设C 为从-i 到i 的直线段，则⎰=Cdz |z |（）A. i B. 2i C.-i D. -2i3.设C 为正向圆周|z|=1，则⎰=-Czdz 1e z sin （）A.2πi ·sin 1B.-2πiC.0D.2πi4.⎰==-2|z |2)i z (dz （） A. 0 B. 1 C. 2π D. 2πi5.⎰=-=2|1z |dz z zcos （） A. 0 B. 1 C. 2π D. 2πi 6.⎰+=i220zdz （） A. i B. 2i C. 3i D. 4i7.设C 为正向圆周|z-a|=a(a>0)，则积分⎰-Ca z dz22=（）A. ai2π-B. aiπ-C.ai2πD. ai π8.设C 为正向圆周|z-1|=1，则⎰=-C dz z z 53)1(（）A.0 B.πiC.2πiD.6πi9.设C 为正向圆周|z |=1，则⎰=c z d z c o t （）A. -2πi B. 2πi C.-2π D.2π10.⎰=-3|i z |z dz=（） A. 0 B. 2π C. πi D. 2πi 11.⎰=---11212z z sinzdz |z |=（）A. 0 B. 2πisin1 C. 2πsin1 D.1sin 21i π 12.⎰32dz zcosz =（） A.21sin9 B.21cos9 C.cos9D.sin913．设C 为正向圆周|z |=1,则dz z C⎰=（）A ．i π6 B ．i π4 C ．iπ2D ．014．设C 为正向圆周|z -1|=2,则dz z e zC2-⎰=（） A ．e 2 B ．i e 22π C ．i e 2π D ．i e 22π-15．设C 为正向圆周|z |=2，则dz z e z zC4)1(++⎰=（）A ．i e3πB ．e6πC ．ei π2D ．i e 3π 16．复积分iiz e dz ⎰的值是（）A ． 1(1)e i ---B ．1e i -C ．1(1)e i --D ．1e i --17．复积分|1|2zz i e z i --=-⎰dz 的值是（）A ．i e B ．i e - C ．2πi ieD ．2πi ie -18.设C为正向圆周⎰=ξ-ξξ=<=ξC3d )z (2sin )z (f 1|z |1||时，，则当___________.19.设⎰==ζ<ζ-ζζ=L )z (f 3|:|L ),3|z (|,d zsin )z (f ，则___________. 20.设f ′(z)=⎰==ζ<-ζζζL )z (f L )|z (|，则｜：｜， 55d ζz)( cos e 2________. 21.设C 为正向圆周|z |=1,则=-⎰dz ie cz22π. 22. 设C 为正向圆周|z|=1，则积分⎰=Cdz z1___________. 23．设C 为从i 到1+i 的直线段，则=⎰zdz CRe ____________.24．设C 为正向单位圆周在第一象限的部分，则积分=⎰dz z z C3_)(____________.25．设C 为正向圆周|z |=2，则⎰=-Cdz z z 32)2(cos π____________.26．|3|1cos z z i e zdz -=⎰=______________.27. 设C 为正向圆周|z|=1，计算积分⎰+-=C 2.dz )2z )(21z (zsin I28. 计算积分⎰-=C3z dz )a z (e I ，其中C 为正向圆周|z|=1，|a|≠1.29. 计算积分⎰+-=C2dz z)i 1(z 1I ，其中C 为正向圆周|z|=2.30. 求积分⎰++-Cdz i z 22z 3I ）（＝的值，其中C:|z|=4为正向. 31. 求积分⎰-C4z dz z3e I ＝的值，其中C:|z|=1为正向.32．设C 为正向圆周|z|=1，求I=dz zec z ⎰21.33．设C 为正向圆周|z-i |=21,求I =⎰+c z z dz )1(2. 34．设C 为正向圆周|z|=1，求I=⎰C zdz ze 5.35. 求积分I=⎰+Cdz z i 的22值，其中C ：|z|=4为正向. 36. 求积分I=⎰+C zdz )i z (e 的42值，其中C ：|z|=2为正向.37．设C 为正向简单闭曲线，a 在C 的内部，计算I =.)(213dz a z ze izC-⎰π 38．计算积分I=2()cx y ix dz -+⎰，其中C 为从0到1+i 的直线段．39．计算积分I=221(1)(1)Cdz z z -+⎰，其中C 为正向圆周2220x y x +-= 第四章复习题1. 复数列i 2n n e z π=的极限为（） A.-1 B.0 C.1D.不存在2. 设∑∞==0n n!n z )z (f ，则f (10)(0)为（）A.0 B.!101C.1D.10！3．z-21的幂级数展开式∑∞=0n nnza 在z =-4处（）A ．绝对收敛B ．条件收敛C ．发散D ．收敛于61 4．幂级数∑∞=+0)1(1n nn z i 的收敛半径为（） A ．2 B ．1 C ．21 D ．05. 下列级数中绝对收敛的是（）A.∑∞=+1!)43(n nn i B.nn i∑∞=+1)231( C. ∑∞=1n nni D.∑∞=+-11)1(n n n i6. 1e 1)z (f z -=在z=πi 处的泰勒级数的收敛半径为（）A. πiB. 2πiC. πD. 2π 7. 处在0z )i z )(2z (1)z (f =--=泰勒展开式的收敛半径是（）A. 0B. 1C. 2D. 38. f(z)=211z+在z=1处的泰勒展开式的收敛半径为（） A.23B. 1C.2D.3 9. f(z)=2i)z(z cosz -在z=1处泰勒展开式的收敛半径是（）A.0B.1C.2D.310. z=2i 为函数222z )4z (z e )z (f +=的（）A.可去奇点B.本性奇点C.极点D.解析点11. 以z=0为本性奇点的函数是（）A.z zsin B.)1z (z 1- C.2z z cos 1- D.z1sin12．点z=-1是f(z)=(z+1)5sin)1(1+z 的（）A.可去奇点B.二阶极点C.五阶零点D.本性奇点13. z=0为函数cos z1的（）A.本性奇点B.极点C.可去奇点D.解析点14．z=0是函数2zcos 1z-的（）A ．本性奇点B ．可去奇点C ．一阶极点D ．二阶极点15. 2)1z (z 1)z (f -=在0<|z-1|<1内的罗朗展开式是（）A.∑∞=-0n nnz )1( B.∑∞=-0n n2z )1z (1 C.∑∞=--0n nn )1z ()1(D. ∑∞=---0n 2n n)1z ()1(16. 可以使f(z)=3)3(1+z z 在点z=0处的罗朗展开式收敛的区域是（） A.0<|z|<2或2<|z|<+∞ B. 0<|z|<+∞ C. 0<|z-2|<2 D. 0<|z-2|<+∞17. f(z)=)z )(z (121--在0<|z-2|<1内的罗朗展开式是（）A.∑∞=-01n nn z )( B.∑∞=-021n nz )z ( C.∑∞=-02n n )z ( D.∑∞=---0121n n n)z ()(18. 设i 1a a limn 1n n +=+∞→，则幂级数∑∞=+0n n n z 1n a 的收敛半径为___________. 19. 幂级数∑∞=0n n nz 3n的收敛半径是___________.20. 幂级数∑∞=1n n nz n!n 的收敛半径是________.21．若在幂级数∑∞=0n nn z b 中，i b bnn n 43lim 1+=+∞→，则该幂级数的收敛半径为____________.22．幂级数∑∞-12n nn nz 的收敛半径是____________.23．设n z z f nn n2)1()(0∑∞=-=，则)0()10(f =___________.24. z =0是f(z)=zz )1ln(+的奇点，其类型为 . 25. f(z)=21z z -在圆环域0<|z|<1内的罗朗展开式为 . 26．设zz f -=11sin )(的幂级数展开式为∑∞=0n nnza ，求它的收敛半径，并计算系数a 1,a 2.27. 求f(z)=ln z 在点z=2的泰勒级数展开式，并求其收敛半径.28 将函数0z )2z )(1z (1)z (f =++=在展开为泰勒级数.29．求)2)(1(1)(--=z z z f 在z =0处的泰勒展开式.30. 将函数f(z)=ln(3+z)展开为z 的泰勒级数.31．将函数f(z)=ln(z2-3z+2)在z=0处展开为泰勒级数．32. (1)求z 1在圆环域1<|z-1|<+∞内的罗朗级数展开式； (2)求2z1在圆环域1<|z-1|<+∞内的罗朗级数展开式.33. 将函数)1z (z 1)z (f -=在圆环域1<|z-1|<+∞内展开为罗朗级数.34. 将函数f(z)=()22+z z 在圆环域0<|z|<2内展开为罗朗级数.35．求)2)(4(2)(---=z z z f 在圆环域3|1|1<-<z 内的罗朗级数展开式.36．将函数)1(1)(2-+=z z z z f 在圆环域0<z <1内展开为罗朗级数．第五章复习题1. 设函数22iz )1z (e )z (f +=，则Res[f(z),-i]=（）A.0 B.4ie-C.4ie D.4e 2. 设f(z)=1z z22-，则Res[f(z),1]=（） A.0 B.1 C.πD.2π3. 若f(z)=tgz ，则Res[f(z)，2π]=（） A. -2π B. -π C. -1 D. 04．函数z z tan 在z =0点的留数为（）A ．2B ．iC ．1D ．05．函数2z e e ibziaz -(a 、b 为实数,a ≠b)在z=0点的留数为（）A ．)(a b i -B ．a b -C ．b a -D ．)(b a i -6．Re [cot ,1]s z π=（） A ．1π- B ．1πC ．-2iD ．2i 7.设f(z)= +--++--+---nn z z z z )1()1()1(1)1(1)1(12,则Res[f(z),1]= . 8.利用留数计算积分⎰=+-=2|z |4zdz )4z )(1z (e I9.（1）求)4z )(1z (1)z (f 22++=在上半平面的所有孤立奇点；（2）求f(z)在以上各孤立奇点的留数；（3）利用以上结果计算积分⎰+∞∞-++=)4x )(1x (dx I 22.10.（1）求2z2i z4e)z (f +=在上半平面的所有孤立奇点；（2）求f(z)在以上各孤立奇点的留数；（3）利用以上结果计算积分⎰+∞∞-+=.dx 4x x2cos I 211．（1）求f(z)=12+z z在上半平面内的孤立奇点，并指出其类型；（2）求f(z)e iz 在以上奇点的留数；（3）利用以上结果，求I=⎰+∞∞-+dx x x x 1sin 2.12. 利用留数计算积分I=⎰C zsinzdz，其中C 为正向圆周|z|=1.13．（1）求f(z)=iz e zz21+在上半平面的所有孤立奇点；（2）求f(z)在以上各孤立奇点的留数；（3）利用以上结果计算积分I=⎰+∞∞-+x d x 1xsinx214．求)(1)(3i z z z f -=在各个孤立奇点处的留数.15．利用留数计算积分⎰+∞∞-++=dx x x x I )9)(1(222. 16．利用留数计算积分I=22(1)zc e dz z -⎰，其中C 为正向圆周||z =2． 17．（1）求242()1z f z z z =++在上半平面内的所有孤立奇点．（2）求)(z f 在以上各孤立奇点的留数．（3）利用以上结果计算积分I=2421x dx x x +∞-∞++⎰．第六章复习题1. 把点z=1，i,-1分别映射为点w=∞,-1,0的分式线性映射为（）A.1z 1z w +-=B.z 1)1z (i w -+=C.z 11z w -+= D.1z )1z (i w +-=2. w=e z 把带形区域0<Im z<2π映射成W 平面上的（） A.上半复平面B.整个复平面C.割去负实轴及原点的复平面D.割去正实轴及原点的复平面3. 线性变换z1z2+=ω（）A.将上半平面Imz>0映射为上半平面Im ω>0B.将上半平面Imz>0映射为单位圆|ω|<1C.将单位圆|z|<1映射为上半平面Im ω>0D.将单位圆|z|<1映射为单位圆|ω|<14. 线性变换ω=iz zi +-（） A.将上半平面Imz>0映射为上半平面Im ω>0 B.将上半平面Imz>0映射为单位圆|ω|<1C.将单位圆|z|<1映射为上半平面Im ω>0D.将单位圆|z|<1映射为单位圆|ω|<15．3z =ω把Z 平面上区域0<θ<π映射成W 平面上的区域（）A ．-3π<ϕ<0B ．3π-<ϕ<0 C ．0<ϕ<3πD ．0<ϕ<3π6. 映射z1=ω是关于___________的对称变换.7. 线性映射ω=z 是关于________的对称变换.8．分式线性映射i z i z +---=11ω把上半平面Imz>0映射成___________. 9. 设D 是上半单位圆：Im z>0,|z|<1，求下列保角映射：（1）w 1=f(z)把D 映射为第Ⅱ象限D 1，且f(1)=0；（2）w 2=g(w 1)把D 1映射为第Ⅰ象限D 2；（3）w=h(w 2)把D 2映射为上半平面D 3；（4）求把D 映射为D 3的保角映射w=F(z).10. 设D 是Z 平面上的带形区域：10<Imz<10+π，试求下列保角映射：（1）ω1=f 1(z)把D 映射成ω1平面上的带形区域D 1：0<Im ω1<π；（2）ω2=f 2(ω1)把D 1映射成ω2平面上的上半平面D 2：Im ω2>0；（3）ω=f 3(ω2)把D 2映射成ω平面上的单位圆域D 3：|ω|<1，且f 3(i)=0；（4）综合以上三步，试用保角映射ω=f(z)把D 映射成单位圆域D 3. 11．设D 为Z 平面的单位圆盘去掉原点及正实轴的区域. 求下列保角映射：（1）w 1=f 1(z)把D 映射成W 1平面的上半单位圆盘D 1；（2）w=f 2(w 1)把D 1映射成W 平面的第一象限；（3）w=f(z)把D 映射成W 平面的第一象限..12. 设D 是Z 平面上的带形区域：1<Rez<1+π，求下列保角映射：（1）ω1=f 1(z)把D 映射成ω1平面上的带形区域D 1：0<Re ω1<π；（2）ω2=f 2(ω1)把D 1映射成ω2平面上的带形区域D 2：0<Im ω2<π；（3）ω=f 3(ω2)把D 2映射成ω平面上的上半平面D 3：Im ω>0；（4）综合以上三步，求把D 映射成D 3的保角映射ω=f(z). 13．设D 为Z 平面上的扇形区域.1||,3arg 0<<<z z π求下列保角映射：（1）)(11z f w =把D 映射为W 1平面的上半单位圆盘D 1；（2）)(12w f w =把D 1映射为W 平面上的第一象限；（3）)(z f w =把D 映射为W 平面上的第一象限.14．设Z 平面上区域D ：||z <2且||z i ->1．试求以下保角映射:（1）)(11z f =ω把D 映射成W1平面上的带形域D1：41<Im 1ω<21;（2）)(122ωωf =把D1映射成W2平面上的带形域D2：0<Im 2ω<π; （3）)(23ωωf =把D2映射成W 平面上的区域D3：Im ω>0;（4）综合以上三步，求保角映射)(z f =ω把D 映射成Im ω>0.第二篇复习题1.δ函数的傅氏变换F )]t ([δ为（）A.-2B.-1C.1D.22. 函数f(t)=t 的傅氏变换F [f(t)]为（）A.δ(ω)B.2πi δ(ω)C.2πi δ'(ω)D.δ'(ω) 3．函数f(t)=π2122t e -的傅氏变换F [])(t f 为（）A ． 2ω-eB ． 22ω-eC ． 22ωeD ． 2ωe4.求函数)t (f 3)t (2-δ的傅氏变换，其中⎩⎨⎧≤>=-.0t ,00t ,te )t (f t5．求函数3f(t)+2sint 的付氏变换，其中 f(t)=⎩⎨⎧>≤1||,01||,1t t6. (1)求e -t 的拉氏变换F [e -t ]；(2)设F(p)=F [y(t)]，其中函数y(t)二阶可导，F [y ′(t)]、F [y ″(t)]存在，且y(0)=0，y ′(0)=1，求F [y ′(t)]、F [y ″(t)]；（3）利用拉氏变换求解常微分方程初值问题：⎩⎨⎧='==-'+''-1)0(y ,0)0(y e 2y 3y 2y t7.(1)求e t 的拉氏变换L [e t ];(2)设F （p ）=L [y(t)]，其中函数y(t)二阶可导，L [y ′(t)]、L [y ″(t)]存在，且y(0)=0，y ′(0)=0，求L [y ′(t)]、L [y ″(t)]; (3)利用拉氏变换求解常微分方程初值问题：⎩⎨⎧='==+'-''.)(y ,)(y e y y y t000028．求函数222)4(4)(-+=p p p F 的拉氏逆变换9.（1）求sint 的拉氏变换（sint ）；（2）设F （p ）=[])(t y ，其中函数)(t y 可导，且1)0(-=y ,求[])(t y '.（3）利用拉氏变换求解常微分方程初值问题：⎩⎨⎧-==+'1)0(sin y ty y全国2009年4月自考复变函数与积分变换试题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1．设z =1-i ,则Im(21z )=（）A ．-1B ．-21C ．21D ．12．复数z =ii-+23的幅角主值是（） A ．0 B ．4π C ．2π D ．43π 3．设n 为整数，则Ln （-ie ）=（）A ．1-2πiB ．)22(πn π-iC ．1+)i π(n π22-D ．1+i π(n π)22+4．设z =x +iy .若f (z )=my 3+nx 2y +i (x 3-3xy 2)为解析函数，则（） A ．m =-3,n =-3 B ．m =-3,n =1 C ．m =1,n =-3 D ．m =1,n =15．积分⎰=2i iπz dz e （）A ．)1(1i +πB ．1+iC ．πi2 D ．π26．设C 是正向圆周,11=-z 则⎰-C dz z z 1)3/sin(2π=（） A ．i π23-B ．i π3-C ．i π43D ．i π23 7．设C 是正向圆周3=z ，则⎰-Cdz z z 3)2(sin π=（） A ．i π2- B ．i π- C ．i π D ．2i π 8．点z =0是函数)1(sin )1()(2--=z z ze zf z 的（）A ．可去奇点B ．一阶极点C ．二阶极点D ．本性奇点9．函数)3)(2()(-+=z z zz f 在1=z 的泰勒展开式的收敛圆域为（）A ．z ＜2B ．1-z ＜2C ．z ＜3D ．1-z ＜3 10．设)1(sin )(2z z zz f -=,则Res[f (z ),0]=（）A ．-1B ．-21 C ．21D ．1 二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分） 11．复数-1-i 的指数形式为__________.12．设z =x +iy 满足x -1+i (y +2)=(1+i )(1-i )，则z =__________. 13．区域0<arg z<4π在映射w =z 3下的像为__________. 14．设C 为正向圆周,2=z 则⎰=-Czdz z e 12__________. 15．函数)1(1)(2z z z f -=在圆环域0<z <1内的罗朗展开式为__________. 16．设)1()(1-=ze z zf ,则Res[f (z ),0]=__________.三、计算题（本大题共8小题，共52分）17．（本题6分）将曲线的参数方程z =3e it +e -it （t 为实参数）化为直角坐标方程.18．（本题6分）设C 是正向圆周⎰+-=-C z dz z z e z .23,2112计算19．（本题6分）求0)2)(1()(=-+=z z z zz f 在处的泰勒展开式，并指出收敛圆域.20．（本题6分）求)2)(1(12)(+-+=z z z z f 在圆环域1<z <2内的罗朗展开式.21．（本题7分）计算z =(1+i )2i 的值.22．（本题7分）设v (x ,y )=arctan )(),0(z f x xy>是在右半平面上以v (x ,y )为虚部的解析函数，求f (z ).23．（本题7分）设C 是正向圆周2=z ，计算.)1(2dz z z e I Cz⎰-=24．（本题7分）设C 是正向圆周1=z ，计算⎰+=C dz zz I .2sin )1(2四、综合题（下列3个小题中，第25题必做，第26、27题中只选做一题。

复变函数复习题

一、选择题1.z=2-2i ，|z 2|=（） A.2 B.8C.4 D.82.复数方程z=cost+isint 的曲线是（） A.直线B.圆周C.椭圆D.双曲线3.Re(e 2x+iy )=（）A.e 2xB.e yC.e 2x cosyD.e 2x siny4.下列集合为有界单连通区域的是（） A.0<|z-3|<2 B.Rez>3 C.|z+a|<1 D.π≤<πargz 215.设f(z)=x 3-3xy 2+(ax 2y-y 3)i 在Z 平面上解析，则a=（） A.-3 B.1 C.2 D.36.若f(z)=u(x ，y)+iv(x ，y)在Z 平面上解析，v(x,y)=e x (ycosy+xsiny)，则u(x ，y)=（）A.e x (ycosy-xsiny)B.e x (xcosy-xsiny)C.e x (ycosy-ysiny)D.e x (xcosy-ysiny) 7.⎰=-3|i z |z dz=（） A.0 B.2πC.πi D.2πi 8.⎰=---11212z z sinzdz |z |=（）A.0B.2πisin1C.2πsin1D.1sin 21iπ 9.⎰302dz zcosz =（）A.21sin9B.21cos9 C.cos9 D.sin9 10.若f(z)=tgz ，则Res[f(z)，2π]=（） A.-2π B.-π C.-1 D.011.f(z)=2i)z(z cosz -在z=1处泰勒展开式的收敛半径是（）A.0B.1C.2D.312.z=0为函数cos z1的（） A.本性奇点 B.极点 C.可去奇点D.解析点 13.f(z)=)z )(z (121--在0<|z-2|<1内的罗朗展开式是（）A.∑∞=-01n nnz )( B.∑∞=-021n n z )z ( C.∑∞=-02n n)z ( D.∑∞=---0121n n n )z ()(14.线性变换ω=iz zi +-（） A.将上半平面Imz>0映射为上半平面Imω>0B.将上半平面Imz>0映射为单位圆|ω|<1C.将单位圆|z|<1映射为上半平面Imω>0D.将单位圆|z|<1映射为单位圆|ω|<1 15.函数f(t)=t 的傅氏变换J [f(t)]为（） A.δ(ω)B.2πiδ(ω)C.2πi δ'(ω)D.δ'(ω) 16.arg(2-2i)=（）A.43π-B.4π-C.4π D.43π17.复数方程z=3t+it 表示的曲线是（） A.直线B.圆周C.椭圆D.双曲线 18.设z=x+iy ，则|e 2i+2z |=（） A.e 2+2x B.e |2i+2z| C.e 2+2z D.e 2x19.下列集合为无界多连通区域的是（） A.0<|z-3i|<1 B.Imz>π C.|z+ie|>4D.π<<π2z arg 2320.设f(z)=e x (xcosy+aysiny)+ie x (ycosy+xsiny)在Z 平面上解析，则a=（） A.-3 B.-1 C.1 D.3 21.若f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在Z 平面上解析，u(x,y)=x 2-y 2+x ，则v(x,y)=（）A.xy+xB.2x+2yC.2xy+yD.x+y22.⎰==-2|z |2)i z (dz （）A.0B.1C.2πD.2πi 23.⎰=-=2|1z |dz z zcos （） A.0B.1C.2πD.2πi 24.⎰+=i220zdz （）A.iB.2iC.3iD.4i 25设f(z)=1z z 22-，则Res[f(z),1]=（）A.0B.1C.πD.2π26.处在0z )i z )(2z (1)z (f =--=泰勒展开式的收敛半径是（）A.0B.1C.2D.3 27.z=2i 为函数222z )4z (z e )z (f +=的（）A.可去奇点B.本性奇点C.极点D.解析点28.2)1z (z 1)z (f -=在0<|z-1|<1内的罗朗展开式是（）A.∑∞=-0n nnz )1(B.∑∞=-0n n2z)1z (1C.∑∞=--0n nn)1z ()1(D.∑∞=---0n 2n n )1z ()1(29.线性变换z1z2+=ω（） A.将上半平面Imz>0映射为上半平面Imω>0 B.将上半平面Imz>0映射为单位圆|ω|<1 C.将单位圆|z|<1映射为上半平面Imω>0 D.将单位圆|z|<1映射为单位圆|ω|<1 30.δ函数的傅氏变换F )]t ([δ为（） A.-2B.-1C.1D.231.z z f sin )(=的导数是（） A.cosz B.z sin C.0 D.1 32.i e 52+=（）A.0B.1C.2e (cos5+isin5)D. 2e 33.若曲线C 为|z|=1的正向圆周，()2(3=-⎰Cz dz）A.0B.1C.-1D.234.0z =为函数3sin )(zzz f =的（）A.一级极点B.二级极点C.本性奇点D.可去奇点 35.δ-函数的傅氏变换为（）A.1ω+B.2ωC.0D.1 36.()f z z z =，则()f z （）A. 在全平面解析B. 仅在原点解析C. 在原点可导但不解析D. 处处不可导 37.z z f cos )(=的导数是（） A.cosz B.-z sin C.0 D.1 38.i e 53+=（）A.0B.1C.3e (cos5+isin5)D. 3e39.若曲线C 为|z|=1的正向圆周，(21=-⎰C z dz） A.0 B.1 C.-1 D.2i π40.0z =为函数3cos )(zzz f =的（）A.一级极点B.三级极点C.本性奇点D.可去奇点41.若幂级数∑∞=0n n n z c 在i z 21+=处收敛，则该级数在2=z 处的敛散性为（）。

《复变函数》复习题

1 dz.
1 dz. y
z 1 2z 3
z- 3 1 2z 3
2
C1
C2
o
•
3
x
2
复习题
21
例 3.2.6
计算积分
C
2z 1
z2
dz, z
其中Ｃ为包含圆周
z 1 在内的任意分段光滑正向简单闭曲线.
例 3.3.1
解:
求积分(1)
cos z dz,
|z2|1 z 2
复习题
22
z2
(2)
lim cn1 c n
n
n3
lim
n
(n 1)3
1
R 1
复习题
24
复习题
25
例4.8 求 (n 1)zn 的收敛半径.
n0
解因为 lim cn1 lim n 2 1, 所以 R 1.
c n n
n n 1
25
附: 常见函数的Taylor展开式
复习题
26
(1) ez 1 z z2
3
2
由复合闭路定理，得：
dz
dz
dz
C z(z2 1) C1 z(z2 1) C2 z(z2 1)
1
1
(z2 1) dz z(z i) dz
z C1
C2 (z i)
2 if1(0) 2 if2 (i)
2 i 2 i( 1 ) i.
2
幂级数
zn n3
n1
的收敛半径为？
复习题
29
例4.15 将函数 f (z)
1
在圆环域
(z 1)(z 2)
(1) 0 z 1;
(2) 1 z 2;