第一章直角三角形的边角关系重点0001

第一章直角三角形的边角关系

万州第一中学刘小红

§1.1 从梯子的倾斜程度谈起

课时安排

2 课时

从容说课

直角三角形中边与角之间的关系是现实世界中应用广泛的关系之一。锐角三角函数在解决现实问题中有着重要的作用。如在测量、建筑、工程技术和物理学中，人们常常遇到距离、高度、角度的计算问题，一般来说，这些实际问题的数量关系往往归结为直角三角形中边与角的关系问题。

本节首先从梯子的倾斜程度谈起，引入了第一个锐角三角函数——正切。因为相比之下，正切是生活中用的最多的三角函数概念，如刻画物体的倾斜程度，山的坡度等都往往用正切，而正弦、余弦的概念是类比正切的概念得到的。所以本节从现实情景出发，让学生在经历探索直角三角形边角关系的过程中，理解锐角三角函数的意义，并能够举例说明；能用sinA 、cosA、 tanA 表示直角三角形中两边的比，并能够根据直角三角形的边角关系进行计算。

本节的重点就是理解sinA 、cosA、tanA 的数学含义，并能够根据它们的数学意义进行直角三角形边角关系的计算，难点是从显示情景中理解 sinA 、cosA、tanA 的数学含义。所以在教学中要注重创设符合学生实际的问题情景，引出锐角三角函数的概念，使学生感受到数学与现实世界的联系，鼓励他们有条理地进行表达和思考，特别关注他们对概念的理解。

第1 课时

课题

§ 1.1.1 从梯子的倾斜程度谈起

教学目标

1、经历探索直角三角形中边角关系的过程

2、理解锐角三角函数（正切、正弦、余弦）的意义，并能够举例说明

3、能够运用三角函数表示直角三角形中两边的比

4、能够根据直角三角形中的边角关系，进行简单的计算教学重点和难点

重点：理解正切函数的定义

难点：理解正切函数的定义教学方法

引导一一探索法

教学过程设计

一、从学生原有的认知结构提出问题

直角三角形是特殊的三角形，无论是边，还是角，它都有其它三角形所没有的性质，那么在直角三角形中，知道一边和一个锐角，你能求出其他的边和角吗？通过本章的学习，相信大家一定能够解决。

这节课，我们就从梯子的倾斜程度谈起。（板书课题§ 1.1.1从梯子的倾斜程度谈起

）

二、师生共同研究形成概念

仆梯子的倾斜程度

梯子是我们日常生活中常见的物体，我们经常说这个梯子放的“陡”，那个梯子放的“平缓”，人们是如何判断的？请同学们看下图，并回答问题

（1）在图中，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？你有几种判断方法？

B 2m

C F 3m D

梯子AB比梯子EF更陡。因为从图中很容易发现/ ABC >Z EFD所以梯子 AB比梯子EF 更陡。

还有说是因为 AC=ED，所以只要比较 BC、FD的长度即可知哪个更陡。 BC V FD，所以梯子 AB比梯子EF 更陡。

（2 ）在下图中，梯子AB 和 EF 哪个更陡？你是怎样判断的？

3、正切函数

（1） 明确各边的名称 • A 的对边

厶A 的邻边

B 1.5m

C F 1.3m D

我们观察上图直观判断梯子的倾斜程度，即哪一个更陡，就比较困难了。能不能从第（

1）

问中得到什么启示呢？

在第（1）问中的图形中梯子的垂直高度即 AC 和ED 是相等的，而水平宽度 BC 和FD 不一 样长，由此想到梯子的垂直高度和水平宽度的比值越大，梯子就应该越陡。那么请同学们算一下 梯子AB 和EF 哪个更陡？

我们已经知道可以用梯子的垂直高度和水平宽度的比描述梯子的倾斜程度， 即用倾斜角的对 边与邻边的你来描述梯子的倾斜程度。所以在很多建筑物里，为了达到美观等目的，往往都有部 分设计成倾斜的。这就涉及到倾斜角的问题。用倾斜角刻画倾斜程度是非常自然的。但在很多实 现问题中，人们无法测得倾斜角，这时通常采用一个比值来刻画倾斜程度，这个比值就是我们这 节课所要学习的一一倾斜角的正切。

1） （重点讲解）如果梯子的长度不变，那么墙高与地面的比值越大，则梯子越陡；

2） 如果墙的高度不变，那么底边与梯子的长度的比值越小，则梯子越陡；

3） 如果底边的长度相同，那么墙的高与梯子的高的比值越大，则梯子越陡；

通过对以上问题的讨论，引导学生总结刻画梯子倾斜程度的几种方法，

以便为后面引入正切、 正弦、余弦的概念奠定基础。 2、想一想（比值不变）

☆ 想一想 书本P 3想一想

通过对前面的问题的讨论，学生已经知道可以用倾斜角的对边与邻边之比来刻画梯子的倾斜

程度。当倾斜角确定时，其对边与邻边的比值随之确定。

直角三角形的大小无关 这一比值只与倾斜角的大小有关，而与

B

/ A 的对边 C

3

例2 如图，在△ ACB 中，/ C = 90° , AC = 6 , tan B ，求 BC 、AB 的长。

4

分析：通过正切函数求直角三角形其它边的长。

三、 随堂练习

书本P 6 随堂练习

四、 小结

本节课从梯子的倾斜程度谈起，经历了探索直角三角形中的边角关系，得出了在直角三角形中 的锐角确定之后，它的对边与邻边之比也随之确定，并以此为基础，在直角三角形中定义了

N A 的对边

tan A = ■

N A 的邻边

接着，我们研究了梯子的倾斜程度，工程中的问题坡度与正切的关系，了解了正切在现实生活 中是一个具有实际意义的一个重要的概念。

五、 作业

书本P 6 习题1.1 1、2。

(3) 明确要求：1)必须是直角三角形；2)是/ A 的对边与/ A 的邻边的比值。

☆ 巩固练习

a 、如图，在△ ACB 中，/ C = 90° ,

1) tanA = ________; tanB = _________ ;

2) _____________________________________ 若 AC = 4 , BC =

3，贝U tanA = ________________________________ ; tanB = __________ ;

b 、如图，在△ ACB 中，tanA = _____________ 。(不是直角三角形)

(4) tanA 的值越大，梯子越陡

4、讲解例题

例1 图中表示甲、乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡？

分析：通过计算正切值判断梯子的倾斜程度。这是上述结论的直接应用。